- O documento discute como explicar conceitos matemáticos que não existem materialmente no mundo real, como retas e pontos. - É proposto que objetos matemáticos existem como ideias em um "mundo à parte", e precisam ser representados através de símbolos como desenhos ou equações para serem explicados. - A matemática depende de problemas enfrentados, e não deve ser vista como uma realidade empírica, mas como ferramenta para entender a realidade.

1. De que falamos
quando falamos de/da
Matemática?
Fevereiro, 15
Prof. Bruno

2. Atividade I: criando métodos
• Formar 4 grupos.
• Cada grupo receberá uma situação sobre a qual deverá detalhar que ou quais meios
utilizariam para explicar o objeto de conhecimento de tal situação. Em outras
palavras, como pode ser exposto o conhecimento operado na situação?
• Cada integrante do grupo anota sua situação no caderno e a proposição de resposta.
• Um integrante do grupo será responsável por redigir a resposta acordada pelo seu
próprio grupo.
• Outro integrante do grupo será o porta-voz: cabe a ele expor, à turma, as ideias
debatidas em seu grupo e defende-las.
• O terceiro integrante terá seu duplo papel de participante e líder do grupo: estudante
responsável por controlar o tempo e as discussões do grupo.

3. Situações: suposições
1. Suponhamos que você queira explicar a alguém que existem seres vivos bípedes e
quadrúpedes. De que(quais) maneira(s) pode ser feito isso?
2. Suponhamos que queira explicar alguém como funciona, em física, a queda dos
pesos (isto é, dos corpos). Que ou quais processos você utilizaria para promover
essa explicação?
3. Suponhamos que você queira diferenciar um recipiente de 𝐻2𝑂 (água) de um de
𝐻2𝑆𝑂4 (ácido sulfúrico). O que será preciso fazer?
4. Suponhamos que você queira verificar que duas retas concorrentes possuem um
único ponto em comum. Que método explicativo alcançaria tal feito?

4. Os quadrúpedes existem, os ácidos
existem; mas e as retas?

5. 1. Suponhamos que você queira explicar a alguém que
existem seres vivos bípedes e quadrúpedes. De
que(quais) maneira(s) pode ser feito isso?
• Isto pode ser feito oralmente, mas pode ser mostrado; basta, por exemplo, ir a
uma fazenda e indicar, de um lado, galinhas, perus, e do outro, vacas, cavalos,
cabras. Mostrar, indicar...

6. 2. Suponhamos que queira explicar alguém como funciona,
em física, a queda dos pesos (isto é, dos corpos). Que ou quais
processos você utilizaria para promover essa explicação?
• Escolhe-se uma torre, preparam-se cronômetros, folhas de papel; alguém sobe no
alto da torre e, ao sinal do experimentador, deixa cair um objeto. Mede-se a
altura da torre, mede-se o tempo da queda e, fazendo induções sobre os resultados
das provas, descobre-se que 𝑠 =
1
2
𝑔𝑡2
, onde s é o percurso do objeto, g é a
aceleração da gravida terrestre (cerca de 9,81 m/seg²), t é o tempo de queda. É o
que se poderia chamar método empírico.

7. 3. Suponhamos que você queira diferenciar um recipiente de
𝐻2𝑂 (água) de um de 𝐻2𝑆𝑂4 (ácido sulfúrico). O que será preciso
fazer?
• Se queremos diferenciar os recipientes, que parecem bastante similares, não basta
olhá-los de longe, é preciso também fazer alguma prova empírica.

8. 4. Suponhamos que você queira verificar que duas retas
concorrentes possuem um único ponto em comum. Que
método explicativo alcançaria tal feito?
• Pois bem, vamos na gaveta onde guardamos as retas, escolhemos duas delas...
A reta (objeto matemático) não existe na realidade concreta; bem então desenhamos
duas retas concorrentes e, com uma poderosa lente de aumento, examinamos a
intersecção. Mas...
Uma coisa é a reta, outra coisa é o desenho de uma reta.

9. Em resumo:

10. • As ciências, normalmente,
podem usufruir destes
métodos que utilizam
objetos concretos, coisas,
misturas, experimentos,
provas, verificações.

11. • Toda vez que se deseja evocar um objeto da matemática, é
preciso representá-lo num registro semiótico (em palavras,
desenho, uma equação, indicá-lo com o dedo).
• A palavra (escrita ou oral), o desenho, a equação, o
percurso sugerido com a mão, não são a “reta”, são evocações
da reta, são representações da reta, são imagens dela.
• A reta, em um sentido realista, não existe.

12. Mas então, existem ou não existem?

13. • Dizemos que, enquanto puras ideias, enquanto conceitos,
os objetos da matemática possuem uma própria existência,
mas não do sensível, “normal”, que observamos na nossa
experiência. Trata-se de uma existência diferente em um
mundo à parte, como se ocorre num outro universo.
• Mas o que significa existem? Diriam outros pensadores?

14. • Os objetos matemáticos e o significado de tais objetos
dependem dos problemas que são enfrentados em matemática.
• Muitos têm dificuldades, estudantes, pessoas comuns,
mesmo gênios universais, para entender que a matemática
não é uma realidade empírica; as verdades da matemática
são um ótimo instrumento para entender a realidade, para
descrevê-la

15. Esse importante filósofo
grego nasceu em Atenas,
provavelmente em 427 a.C. e
morreu em 347 a.C. É
considerado um dos
principais pensadores
gregos, pois influenciou
profundamente a filosofia
ocidental. Ele defendia a
existência de ideias inatas
na matemática e...
Imagem: Unknown Author / Public Domain

16. Além de acreditar nas ideias inatas, Platão também afirmava
que não podíamos confiar nos sentidos, já que eles estão
sujeitos a erros e a falsas opiniões. Para exemplificar sua
tese, Platão cria o famoso “Mito da caverna”.
Vejamos o que nos diz o mito da caverna:

17. Imaginemos um muro bem alto
separando o mundo externo e
uma caverna. Na caverna,
existe uma fresta por onde
passa um feixe de luz
exterior. No interior da
caverna, permanecem seres
humanos que nasceram e
cresceram ali. Ficam de costas
para a entrada, acorrentados,
sem poder mover-se, forçados a
olhar somente a parede do
fundo da caverna, onde são
projetadas sombras de outros
homens. Desse modo, os
prisioneiros julgam que essas
sombras sejam a realidade.
O mito da caverna

18. Imagine que um dos prisioneiros consiga se libertar e, aos poucos, vá se
movendo e avance na direção do muro e o escale, enfrentando com dificuldade
os obstáculos que encontre e saia da caverna, descobrindo não apenas que as
sombras eram feitas por homens como eles e, mais além, todo o mundo e a
natureza. Caso ele decida voltar à caverna para revelar aos seus antigos
companheiros a situação extremamente enganosa em que se encontram, correrá,
segundo Platão, sérios riscos - desde o simples ser ignorado até, caso
consigam, ser agarrado e morto por eles, que o tomaram por louco e inventor
de mentiras.

19. Animação disponível no Youtube:
http://www.youtube.com/watch?v=Rft3s0bGi78&feature=related

20. • O que é a caverna?
- O mundo de aparências em que vivemos.
• O que são as sombras projetadas no fundo?
- As coisas que percebemos.
• O que são os grilhões e as correntes?
- Nossos preconceitos e
opiniões..............
• Quem é o prisioneiro que se liberta e sai
da caverna?
- O filósofo.
• O que é o mundo fora da caverna?
- A realidade.

21. O que é a caverna?
O que são as sombras projetadas no fundo?
O que são os grilhões e as correntes?
Quem é o prisioneiro que se liberta e sai da caverna?
O que é o mundo fora da caverna?

22. Você acha que os
sentidos podem
enganar a gente?

23. A ilusão da grelha de Hermann foi
observada por Ludimar Hermann em
1870.
Imagem: en:User:Famousdog / Public Domain

24. Imagem:
William
Ely
Hill
/
Public
Domain
Qual é VERDADEIRA
imagem apresentada?
Você vê uma jovem ou
uma senhora de perfil?

25. https://prezi.com/vpccvt9xs0wr/fita-de-moebius/
https://piziadas.com/pt/2011/03/cortando-una-
cinta-de-moebius.html