Este documento descreve um projeto de investigação matemática conduzido por alunos, professores e pesquisadores utilizando uma bola de futebol como objeto de estudo. O projeto permitiu que os alunos investigassem e classificassem poliedros, descobrindo propriedades geométricas. Os resultados mostraram que a bola de futebol é na verdade um icosaedro e levaram à formalização do conhecimento adquirido. O método baseado na investigação promoveu o prazer pela aprendizagem.

1. ou… Elda Vieira Tramm EMFoco/UFBA [email_address] www.grupoemfoco.com.br A construção de um Objeto de desejo do aluno?

2. Como nasceu e floresceu O processo Alunos, professores e pesquisadora Os resultados O método Uma Investigação Matemática: a bola de futebol

3. Concurso do AMM2000 - Portugal Tema: Poliedros População alvo: professores da Escola Básica do 1º ciclo COMO NASCEU e FLORESCEU

4. Que condições são necessárias para que isto aconteça? Os professores são capazes de promover a descoberta de conceitos na sua sala de aula utilizando a investigação? Os alunos conseguem investigar ideias matemáticas avançadas?

5. Matemática realista Instituto Freudenthal - www.fi.ru.nl No domínio do conhecimento Matemático sobre poliedros Onde busquei o elo e o apoio para Ousar Investigar ?

6. Matemática realista? Consiste em matematizar a realidade do aluno e cabe a nós especialistas/pesquisadores promover isto.

7. Que a Matemática euclideana não é um objeto ideal para se pensar dedutivamente. Prof. Freudenthal defendia: (meus pressupostos) A inclusão da geometria, o mais cedo possível, na aprendizagem da Matemática. A Matemática é uma atividade humana e a melhor forma de aprender uma atividade é executá-la , reinventa-la, recriá-la. (...)

8. A geometria (espaço e plano) se presta muito bem para a matematização da realidade do aluno pois a criança vive uma ótima oportunidade de experimentar a organização local (espaço), se locomove no plano e com “boas” experiências descobre idéias matemáticas (Tramm, 2000) O que se conclui que:

9. “ As descobertas sendo feitas com os próprios olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes” (Freudenthal,1983) Instituto Freudenthal (FI) trabalha para abrir a Matemática para todos mas nunca para diminuir a exigência de um intelectual, de um pensador científico (htpp://www.fi.ru.nl) COMO?

10. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de "Reinventar".

11. Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o jovem que aprende tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...) (Freudenthal, 1983)

12. Buscando um elo entre a teoria e a cultura popular/prática – a bola de futebol Tendo um olhar de observador Sendo corajoso e criativo Investigando Sendo um pesquisador da prática COMO? A bola de futebol (Icosaedro truncado)

13. Investigação Matemática E o Método?

14. Qual o papel do ALUNO/investigador? Descobrir e construir conceitos (os poliedros) e considerar este trabalho: Significativo, Útil, Instigante, Uma fonte de desejo Do mundo do adulto/ do currículo Lúdico

15. E o professor?Qual o papel? Elaborar e (re)elaborar atividades identificando elos que permitam que o aluno trabalhe conhecimentos matemáticos no contexto do aluno. Ter um olhar de observador Ser um professor/pesquisador

16. Como fazer isto? Eis o grande desafio ??? (para nós professores -pesquisadores)

17. Por etapas Convite para construir uma bola de futebol Investigação do objeto de estudo (a bola de futebol) Construção dos poliedros segundo regras/limites pré-estabelecidos E como foi o processo?

18. Aceita a proposta Identificar regularidades e padrões Investigação do objeto PARA QUE?

19. O que descobrimos??? É formada por hexágonos e pentágonos O pentágono é arrodeado por hexágonos A aresta tem a mesma medida.

20. Porque é que a bola de futebol é formada por hexágonos e pentágonos? Quantos pentágonos e hexágonos são usados na bola de futebol? Criando hipóteses de trabalho ou simplesmente alimentando desafios.... Para responder partimos para a investigação matemática dos poliedros com regras/limites.

21. S e g u i n d o P A D R Õ E S Regularidades Investigação dos poliedros....

22. Classificando e... Eis os poliedros!!!

23. Registrando ...Formalizando

24. Nasce a tabela Polígonos (com lados iguais) Poliedros formados por polígonos Elementos do poliedro (quantidade) Faces Arestas Vértices Triângulos (3 lados) Tenda 4 6 4 Triângulos Diamante 6 9 5 Triângulos Abajour 12 24 10 Triângulos Balão 8 12 6 Triângulos Pião 10 15 7 Triângulos Bola 20 30 12 Quadrados(4 lados) Cubo 6 12 8 Pentágono (5 lados) Invenção 12 30 20 Hexágonos (6 lados) Não forma - - -

25. brota os “certinhos”, ops!, os “Poliedros de Platão” E da arrumação / classificação

26. Investigando o porque não fica em pé, REINVENTANDO DURO!!? Aparecem SURPRESAS!!!

27. balão transferidor As soluções dependem da vivência dos alunos Inventando uma solução REINVENTANDO.

28. Nosso objetivo, são os certinhos!!!! E a fórmula de Euler? F + V – A = 2?

29. Identificam o Icosaedro como a bola!!! O do aluno é a bola, então, comparando os registros e ….. Poliedros Elementos F V A OCA 4 4 6 BOLA 20 12 30 É hora de Formalizar

30. As faces (F) crescem de 2 em 2 Arestas (A) – crescem de 3 em 3 Vértices (V) – crescem de 1 em 1 Alguns poliedros tem a seguinte propriedade: de cada vértice parte o mesmo número de arestas Estes poliedros formam um grupo onde existe uma lei que relaciona os elementos (F, A e V) deste poliedros que é F + V – A = 2 (Euler) Estes poliedros foram chamados pelos alunos de “certinhos” e....pelos matemáticos de… Descobrem regularidades na tabela

31. Platão e o que significava? É hora da História….e de pesquisa Curiosidade!!! Surge a razão Tetraedro Hexaedro/ Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

32. Alunos do Ensino Fundamental (3º e 4º) A Bola de futebol construída por

33. Ensino Fundamental (3º e 4º) Alunos O professor influencia… A Bola de futebol construída por

34. I C O S A E D R O Professores do Ensino Fundamental 1ª a 4ª A bola vista como o Icosaedro

35. Professores do Ensino Fundamental 1ª a 4ª A BOLA !!! Triângulos sem bicos , Por que?

36. Por que é formada de hexágonos e pentágonos? Quantos ? O triângulo equilátero se transforma no hexágono – face da bola

37. Professores Fundamental Ensino Médio Bola de futebol construída por

38. Rigidez - ângulos Unidade de medidas ângulo comprimento com hexágonos não é possível construir poliedros Descoberta de propriedades como se fosse uma brincadeira Resultados - alunos

39. A consolidação e a transferência dos conhecimentos trabalhados acontece de maneira natural. A L U N O S As REINVENÇÕES dependem dos desejos e vivência dos alunos Resultados - alunos

40. Deu trabalho mas não desistimos. Por que? Estávamos motivados. Motivação é o problema nº 1 do ensino (professor e alunos). Imagens falam mais que palavras Alegria - é o que este trabalho representou para todos os participantes envolvidos Considerações Finais - alunos

41. O grande prazer que é aprender, manifestado desta forma A L U N O S Resultados - alunos

42. C O N E X Õ E S Geometria e aritmética N A S C E M E L O S Resultados – professores/pesquisador

43. Divisores de um número natural Cria-se atividades significativas para o aluno Resultados – professores/pesquisador

44. Planificação dos poliedros Nasce o estudo de ângulos, com o transferidor Resultados – professores/pesquisador

45. Criação do triângulo com corte Cria-se material Resultados – professores/pesquisador

46. Nascem Atividades que reorganizam o ambiente de aprendizagem (currículo) Investigando e construindo o conceito de Nós iniciamos um percurso de inovação, reflexão e reorganização do ambiente de aprendizagem que ultrapassam a área de matemática. Despertou a curiosidade das comunidades envolventes, especialmente a família... (prof. da EB 1 – Lisboa) quadriláteros triângulos Resultados – professores/pesquisador

47. Imagens falam mais que palavras Contagiou a Escola e o Ministério de Educação. Todos querem aprender. Considerações Finais

48. Problemas de disciplina? Tô fora. Considerações Finais

49. “ Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado de cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo... Só assim se pode ser inundado pela paixão “detetivesca” indispensável à verdadeira fruição da matemática (p.98) Braumann (2002, apud Ponte, 2003)

50. Respondemos as perguntas Fizemos uma investigação matemática? E mais… Por que os jogadores estao estranhando a Jobulani? E aí?

51. Agradecimentos http://www.fi.ru.nl Matemática realista

52. Referências NCTM. Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Trad. Associação de Professores de Matemática (APM). Lisboa. 2007. Disponível em: http://www.apm.pt/portal/index.php?id=89310 Acesso em 14/05/2008. Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel 1976. ____. Didactical Phenomenology...p.ix. Pag. 125 - 127. in www.fi.ru.nl Ponte, J.P. da et alli.(org). Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. De Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002.

53. TRAMM, Elda. O prazer da Geometria. 1º lugar nas comemorações do Ano Mundial da Matemática (AMM 2000). Disponível em http://www.faced.ufba.br/~dept02/ professores/elda/e_tra mm.htm . Acesso em 18/05/2008. TRAMM, Elda. A bola de futebol como um importante aliado na aquisição de novos conhecimentos . In Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. de Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002. pag 159 a 167. PONTE, J. P. et al. Investigar a nossa própria prática . In GTI (Org), Reflectir e Investigar sobre a prática profissional. (pp. 5 – 28). Lisboa: Associação de Professores de Matemática (APM).2002.