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Autômatos Celulares
GabrielaSalvador Thumé
gabithume@gmail.com
U n i v e r s i d a d e d o E s t a d o d e S a n t a C a t a r i n a
25de Maio de 2011

Estrutura da apresentação
1
2
3
5
6
7
8
9
1 0
Áreas de estudo
Histórico
Modelo Teórico
Características
Atributos
4 Classi cação
Autômatos Celulares Elementares
Unidimensional
Bidimensional
Tridimensional
Aplicações
Propagação deEpidemias
Teoria de Tudo
Conclusão
Exercícios
Exercícios
Referências

Áreas de estudo
Áreas de estudo
VidaArti cial
Sistemas Complexos
Teoria do Caos
Fractais
Máquinas deEstados

Histórico
Histórico
CNecessidade de um modelo matemático para sistemas
complexos.
CProjeto Manhattan: sistemas auto-generativos.
CSistemas Complexos:
Propriedades que não são consequências dos elementos
isolados
Emergência, seleção e evolução de padrões auto-organizados
Organização de padrões formados pelas interações locais de
seus indivíduos

Histórico
Histórico
1940Stanislaw Ulam:modelo de cristais arranjados emuma
"lattice" (estrutura com dimensão e formato) de células.
Figura:Lattices de cristais [COLLAÇO, 2010]

Histórico
Modelode formação decristais
σt+1(xi ) = uma célula torna-se negra se possui somente uma célula
vizinha negra
Figura:Cristais de Ulam [WOLFRAM, 2002]

Histórico
Histórico
1940Jon V
onNeumann: estudo de auto-replicação de sistemas
biológicose robóticos.
CConstrutor universal 2D, com29estados possíveis para cada
célula e regras que simulam operações da eletrônica e mecânica
computacionais como objetivo de auto-replicar.
Figura:Construtor Universal [WOLFRAM, 1982]

Histórico
Histórico
1969Konrad Zuse: propôs a idéia de que o universoseria um
autômata celular gigante regido por regras.
1970John Conway: GameofLife.
1983Stephen Wolfram:descreveu um estudo massivosobre o
comportamento de autômatos celulares e suas classi cações.
2002EmANewKindofScience, Wolfram mostra umestudo
empírico de sistemas gerais simulados em autômatos celulares.
[WOLFRAM, 2002]

Modelo Teórico
Modelo Teórico
Autômatos Celulares são formados por uma matriz/lattice/rede
de células que possuem estados alterados de acordo comoseu
estado anterior e o estado das células vizinhas em um tempo
discreto (iterações) [WOLFRAM,1982]

Modelo Teórico
Modelo Teórico
Para xi ∈E , com1≤i ≤n −1, sendo n a quantidade de colunas
(células) de uma lattice de la de 1 dimensão, e xi o estado de suas
células na iteração 1≤t ≤m, sendo m onúmero máximode
iterações doAC.
Atransição dos estados xi do instante t para t + 1 é dada pela
função de transição σt+1(xi ) de nida combase na regra que
modela ocomportamento desejado.
Ex: σt + 1 i
(x)=
.
it i − 1 i+1
t t
1, se x i − 1 t
= 0 ∨x i +1 t
x , se x = 0∧x =0
=1

Modelo Teórico
Características
Características
Umautômato celular possui uma estrutura discreta de células que
tem características de [ILabs, 2009]:
CHomogeneidade: regras iguais para todas as células;
CEstados discretos: cada célula pode estar emum dos nitos
estados possíveis;
CInterações locais: oestado de uma célula depende sódo seu
estado anterior e dos estados das células vizinhas;
CDinâmicas deterministas: a cada instante de tempo a célula
sofreu uma atualização no seu estado;
CParalelismo: as células evoluem de forma autônoma e
independente.

Modelo Teórico
Atributos
Atributos
CGeometria da rede
Dimensão:
Figura:Dimensão da Rede [CERQUEIRA, 2011]

Modelo Teórico
Atributos
Atributos
Formato: retangular, triangular, quadrada ou hexagonal.
Figura:Formato da Rede [CERQUEIRA, 2011]

Modelo Teórico
Atributos
CEstados de uma célula: cada célula possui um estado alterado de
acordo comregras.
Setodas as células estiverem emseu estado inicial, uma regra pode
de nir um estado especial para uma célula desencadear aevolução;
Échamado de binário oautômato celular que suportar apenas 2
estados para cada célula.
Figura:Binário
Figura:Seis estados possíveis

Modelo Teórico
Atributos
CRegras: determinam a atualização dos estados dascélulas
Determinísticas: possívelsaber comexatidão o próximoestado
sabendo oestado das células vizinhas;
Não-determinísticas: se baseiam em probabilidades.
CTipos de vizinhança: em unidimensional = direita e esquerda,
em bidimensional:
células na vertical, horizontalmente a adjacentes à célula;
Figura:Neumann

Modelo Teórico
Atributos
células na vertical, horizontal e diagonalmente adjacentes à
célula;
Figura:Moore
vizinhança aleatória e arbitrária.
Figura:Aleatória

Classi cação
Classi cação
CClasse I: estado homogêneo. Todas as células chegarão a um
mesmoestado após um número nito de interações.
CClasse II: estável simplesou limite periódico. Ascélulas não
possuirão todas omesmovalore criarão imagens que se repetem
coma evolução temporal.
CClasse III: padrão irregular. Não possui padrão reconhecível.
CClasse IV:estrutura complexa. Geração de estruturas complexas
que evoluem imprevisivelmente. [COLLAÇO,2010]

Unidimensional
Autômato CelularUnidimensional
CUnidimensional: uma linha de células
CPartindo de uma linha inicial de células, evolui-seempassos de
tempo de acordo comregras criando novas linhas abaixo da
anterior.
CBinário: Estados 0 (branco) ou 1 (preto).
CUma célula e as suas duas vizinhas (da direita e esquerda)
formam uma vizinhança de 3 células, por isso existem 23
= 8
padrões possíveis para uma vizinhança. Há então 28
= 256 regras
diferentes possíveis.
CClasse II: padrões que se repetem.

Unidimensional
Regra:
t +1 i
σ (x)=
.
i
x , se x i− 1 i+1
1, se x i− 1 = 0∨x i+1
= 0∧x =0
=1
Con guração 000 001 100 101 010 011 110 111
Retorno 0 1 1 1 1 1 1 1
t = 1
t = 2
t = 3
t = 4
t = 5
t = 6
t = 7
t = 8
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Unidimensional
Algoritmo
Para t = 1 até t = T, sendo t o tempo corrente e T o número
máximo de passos, faça:
Para i = 0 até i = N, sendo i o número da célula
corrente e N o número total de células, faça:
(xi) ←−σt −1(xi )

Unidimensional
Demonstração
Figura:Unidimensional
Códigoem h t t p : / / t e c e n d o b i t s . c c / a c /

Bidimensional
Autômato CelularBidimensional
GameofLife(Conway): Simulara vida e a morte utilizando regras
básicas desobrevivência:
A idéia básica é que um ser vivo necessita de outros seres vivos
para sobreviver e procriar, mas um excesso de densidade
populacional provoca a morte do ser vivo devido à escassez de
comida [GremoninieVicentini 2008].

Bidimensional
CO número de con gurações possíveispara uma célula e seus 8
vizinhos(grade bidimensional de Moore), com2estados possíveis
para cada célula (0 ou 1) é de 29
= 512.
CAtualizam-se os estados de todas as células da grid a cada
iteração.
CUtilizando doisestados possíveis - binário.
CClasse IV:formam-se estruturas complexas.

Bidimensional
Leisgenéricas deConway:
1Umacélula vivacom2ou 3vizinhosvivos,permanece viva;
2Umacélula vivacom1ou 0vizinhosvivos,morre de solidão;
3Umacélula vivacom4ou mais vizinhos,morre sufocada;
4Umacélula morta comexatamente 3 vizinhosvivo, renasce;
Figura:Jogo da Vida

Bidimensional
Demonstração
Figura:Jogo da Vida
Código emh t t p : / / t e c e n d o b i t s . c c / a c /

Tridimensional
Autômato CelularTridimensional
Permitem simulações mais complexas. (Exemplos: na biologia,
comportamento de cardumes face à ameaça de predador; na física,
simulação de explosão de partículas, cristalização de gelo, etc).

Aplicações
Aplicações
Autômatos celulares são usados na prática para simular e prever
eventos e comportamentos de sistemas queevoluem comotempo
Simulação de Tráfego Urbano
Incêncios orestais
Criptogra a
Sistemas Sociais
Criatividade Musical
Fractais
Formação decristais

Aplicações
Propagação de Epidemias
CModelagem deum autômata celular bidimensionalpara
propagação de um vírus;
CBaseado em probabilidades de infecção e recuperação
[CERQUEIRA, 2011];
CAvizinhança considerada foia Vizinhança de Moore(oito
vizinhos);
CPopulação de indivíduosSucetíveis (S), Infectados(I),
Recuperados (R) e Mortos (M) - Quatros estados possíveis;
COs indivíduosStêm uma probabilidade, Pi , de serem infectados
i
v
V
de acordo com P (v) = . Onde vé a quantidade de vizinhos
infectados e Vé o número total de vizinhos;
CDe acordo coma vizinhança, indivíduosinfectados podem se
recuperar e sucetíveis se infectar.

Aplicações
Propagação de Epidemias
Demonstração
Códigoem h t t p : / / t e c e n d o b i t s . c c / a c /

Aplicações
Teoria de Tudo
Teoria deTudo
Por que a própria realidade não poderia ser um grande
autômato celular?
Nesta perspectiva, a teoria uni cadora do comportamento de
qualquer objeto e evento seria "apenas"a especi cação da estrutura
e da regra que rege um autômato celular. Ese onosso universo é um
autômato celular, qualquer coisa pode ser decomposta em
muitas células elementares, cuja evolução no tempo é estritamente
determinada por regras simplese determinísticas. Exatamente
como acontece na vida, a complexidade do nosso mundo é a
conseqüência de quatro elementos: espaço, tempo, estados e
regras. [ILabs, 2009]

Conclusão
Conclusão
Autômatos Celulares permitem simular sistemas complexoscom
regras signi cativamente simples.
Seu estudo proporcionou uma visãode um algoritmo evolutivo
aplicável às mais diversas áreas deconhecimento.
Oprograma desenvolvidopossibilitoua experimentação de
autômatos unidimensionais e bidimensionais, inclusivea simulação
de uma aplicação prática coma modelagem da propagação de
epidemias virais.

Exercícios
Exercícios
1Dadas as gerações demonstradas na gura doACunidimensional
seguinte, deduza as 8regras de sua função de transição.

Exercícios
Exercícios
1Regras da função detransição
Figura:Resposta de Guilherme Parmezani

Exercícios
Exercícios
2Dadas as 8regras da função de transição seguinte, desenhe as
primeiras 5 gerações doAC1Dresultante.

Exercícios
Exercícios
2Autômato Resultante

Exercícios
Exercícios
3Crie8novas regras para a função de transição de umAC
unidimensional e aplique-as em 5gerações, desenhando oAC
resultante emcada geração.
4Sugira uma aplicação para um modelodeAC.Comoseria a
função de transição? Que comportamento demonstrariam as
gerações? Justi que sua resposta.

Referências
Referências
WOLFRAM,S. (1982).
Cellular Automata as Simple Self-Organizing Systems.
Disponívelem: http://www.stephenwolfram.com/
p u b l i c a t i o n s / a rt i c l e s / c a / 8 2 - c e l l u l a r / 2 / t e x t . h t m l .
Acessoem: 22 de maio de2011.
WOLFRAM, S. (2002).
A New Kind of Science.
Disponível em: < h t t p :
//www.wolframscience.com/nksonline/toc.html >.
Acessoem: 22 de maio de2011.
COLLAÇO,Caroline (2010).
Pós Graduação: Autômato Celular aplicado ao crescimento do
câncer.
Universidade Federal de Ponta Grossa.

Referências
Referências
CERQUEIRA,M., G.,C.
Autômatos Celulares.
Disponívelem: <ht t p : / / www. d i . u fp e . b r / ~ i o b l /
monografia/especificacoes.htm>. Acessoem: 24de maio
de 2011.
ILabs (2009).
The Mathematics of Models ofReference.
Disponívelem: <http://www.mmdr.it/provaEN.asp>.
Acessoem: 24de maio de2011.

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