Aula 14&15 -Capitulo III.pptx

Curso: Engenharia Hidráulica
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Capítulo III .
• Concepção de um projecto
de abastecimento de água
Previsão da população
Sistemas de Abastecimento
e Tratamento de Água
Aula 14 & 15

Concepção de um Sistema de Abastecimento de água
Introdução .
• Neste subtema são estudados os diversos métodos
utilizados para a estimativa da população futura ou
a ser servida pelo projecto.
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.

• Para além dos vários parâmetros que
devem ser levados em conta, a correcta
estimativa da população a ser servida, é de
grande importância, pois ela é o objeto
principal para o qual todo o complexo deve
existir
• Torna-se necessário conhecer a população
do tempo de alcance do projecto, assim
como a sua evolução ao longo do tempo
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Introdução

Métodos de previsão
• São vários os métodos que permitem
estimar a população futura
 Método aritmético
 Método geométrico
 Método da curva logística
 Método de mínimos quadrados
Componentes de um sistema de abstecimento de água
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.

Método aritmético
• O crescimento populacional tem
características lineares
• Pressupõe que a variação da população no
tempo é constante
• Para estimativas de menor prazo
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Métodos

𝑃𝐹 = 𝑃0 + 𝑟 𝑡𝐹 − 𝑡0 → 𝑟 =
𝑃1 − 𝑃0
𝑡1 − 𝑡0
A taxa de crescimento anual pode ser dada por
𝑖𝑛 =
𝑃𝑛 − 𝑃𝑛−1
𝑃𝑛−1
Onde:
𝑃𝐹 = população futura ou do projecto (hab.)
𝑃0, 𝑃1 e 𝑃2 = população nos anos 𝑡0, 𝑡1 e 𝑡2,
respectivamente
𝑟 = constante de crescimento populacional
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Método aritmético
n nº do censo = 1; 2; 3 … .
𝑃𝑛 e 𝑃𝑛−1 = o respectivo # hab em cada censo.

Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Método aritmético
Gráfico tipo
r

Método geométrico
• Pressupõe que o crescimento da população
é proporcional ao crescimento da taxa em
cada instante e à população existente em
um determinado período
• Para estimativas de menor prazo
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.

𝑃𝐹 = 𝑃0 ∙ 𝑞 𝑡𝐹−𝑡0 → 𝑞 =
𝑃1
𝑃0
1
𝑡1−𝑡0
A taxa de crescimento anual pode ser dada por
𝑖 =
𝑃2 − 𝑃1
𝑃1
= 𝑞 − 1
Onde:
𝑃0, 𝑃1 e 𝑃2 = população nos anos 𝑡0 , 𝑡1 e 𝑡2 ,
respectivamente
𝑞 = taxa de crescimento populacional
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Método geométrico

Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Método geométrico
Gráfico tipo
r
t0

Método da curva logística
• Estabelece uma curva em forma de S
• A população tende assintopticamente a um
valor de saturação
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.

𝑃𝐹 =
𝑃𝑆
1 + 𝑒𝑎−𝑏∆𝑡𝑓
→ 𝑞 =
𝑃1
𝑃0
1
𝑡1−𝑡0
Onde:
𝑃𝑆 = população de saturação
𝑎 e 𝑏 = coeficientes dependentes de 𝑃𝑆, 𝑃1 e 𝑃0
(𝑏 = razão de crescimento da população)
∆𝑡𝑓 = período de análise considerado
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Método da curva logística

𝑃𝑆 =
2𝑃0𝑃1𝑃2 − 𝑃1
2
𝑃0 + 𝑃2
𝑃0𝑃2 − 𝑃1
2
Onde:
𝑃0 , 𝑃1 e 𝑃2 = corresponde a população nos anos
equidistantes 𝑡0 , 𝑡1 e 𝑡2,
respectivamente
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
População de saturação

𝑏 =
1
0,4343𝑑
𝑙𝑜𝑔
𝑃1 𝑃𝑆 − 𝑃0
𝑃0 𝑃𝑆 − 𝑃1
𝑎 =
1
0,4343
𝑙𝑜𝑔
𝑃𝑆 − 𝑃0
𝑃0
Onde:
𝑑 = intervalo entre dois censos consecutivos
considerados na análise
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Coeficientes a e b

• Para a aplicação deste método, devem ser
observadas as seguintes condições:
 As populações 𝑃0 , 𝑃1 e 𝑃2
correspondentes às datas 𝑡0, 𝑡1 e 𝑡2
são conhecidas
 𝑃0𝑃2 < 𝑃1
2
 𝑑 = ∆𝑡1; ∆𝑡2 = 2𝑑
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Condições

Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Gráfico tipo
t0
O coeficiente a, é
tal que, para
𝑡 =
𝑎
𝑏
Há uma inflexão na
curva

Método dos mínimos quadrados
• Consiste em ajustamento de uma curva
partindo de valores observados
• Quanto mais dados estiverem disponíveis,
maior será a representatividade, e maior
precisão na previsão
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.

• Permite-nos encontrar a equação de uma recta a
partir de dados experimentais
𝑃𝑐 = 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑡𝑃
𝑎 =
𝑃𝑖 − 𝑏 𝑡𝑖
𝑁
𝑏 =
𝑁 𝑡𝑖 𝑃𝑖 − 𝑡𝑖 𝑃𝑖
𝑁 𝑡𝑖
2 𝑡𝑖
2
Onde: 𝑃𝑐 = 𝑃𝐹
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Previsão da população Método mínimos quadrados
Ajuste linear

𝑃𝐹 = 𝑎 ∆𝑡𝑓
𝑏
𝐴
Onde:
𝑎 e 𝑏 = coeficientes obtidos com base em dados
observados através da aplicação da regra
dos mínimos quadrados
∆𝑡𝑓 = período de análise considerado
Nota. 𝑃𝐹 = 𝑃𝑃 = 𝑃𝐶
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Ajuste potencial

Transformando a expressão (A), tem-se:
log 𝑃𝑐 = log 𝑎 + 𝑏 log 𝑡𝑃 𝐵
E para os mínimos quadrados:
1
𝑛
𝑃𝑐 − 𝑃𝑟
2 = 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 (𝐶)
Onde n = é o número de observações
𝑃𝑟 = população do censo
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Método mínimos quadrados Ajuste potencial
Coeficientes a e b

Relacionando as equações (B) e (C), chega-se ao
sistema de equações abaixo:
𝑛 log 𝑎 +
1
𝑛
𝑏 log 𝑡 −
1
𝑛
log 𝑃𝑟 = 0
log 𝑎
1
𝑛
log 𝑡 + 𝑏
1
𝑛
log 𝑡 2
−
1
𝑛
log 𝑃𝑟 ∙ log 𝑡 = 0
Duas equações e duas incógnitas:
log 𝑎
𝑏
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Método mínimos quadrados Ajuste potencial

Para facilitar os cálculos, pode ser utilizada a tabela
modelo abaixo
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Tabela de cálculo
Data
(anos)
𝒕
= 𝒕, − 𝒕∗ log 𝒕 log 𝒕 𝟐 𝑷𝒓 log 𝑷𝒓 log 𝒕 ∙ log 𝑷𝒓
𝑛 =? =? =? =? =?
𝒕, = data conhecida
𝒕∗
= data inferior a data 𝒕,

Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Gráfico tipo

Exercício nº 2
• Pretendendo-se levar a cabo um projecto
de abastecimento de água a uma
comunidade da qual tem os seus registos
populacionais dos seus últimos censos na
tabela 1, e tendo em conta que o projecto
tem um horizonte até 2040, estime a
população de projecto utilizando os 4
métodos estudados.
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.

N t (ano) População
(hab.)
1 1965 464
2 1975 677
3 1985 845
4 1995 1136
5 2005 1460
6 2015 1498
Tabela 1. Dados censitários
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.
Tabela 1. Dados censitários

Fim da aula 14 & 15
Sistemas
de
Abastecimento
e
Tratamento
de
Água.
Capítulo
III.

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