Aula 00 - Sistemas de Controle - Thiago Rocha 2019.1.pdf

Laboratório de Eletrônica Industrial e
Energias Renováveis
Research Group
Prof. Ricardo Lúcio Março / 2017
Thiago Rocha 1
Sistema de controle
•Professor: Thiago de Oliveira Alves Rocha
•Email: thiago.rocha@ct.ufrn.br
Controle e Eletrônica Industrial

Laboratório de Eletrônica Industrial e Energias Renováveis
Prof. Ricardo Lúcio Março / 2017 2
Resposta no Domínio do Tempo
 Pólos, Zeros e Resposta do Sistema: Definições
• Resposta do sistema: soma da resposta forçada + resposta natural
1. Resposta forçada é também chamada de resposta estacionária
(ou solução particular);
2. Resposta natural é também chamada de solução homogênea.
• Pólos de uma Função de Transferência:
Os valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com a FT se
torne infinita.
• Zeros de uma Função de Transferência:
Os valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com a FT se
torne igual a zero.
 Pólos, Zeros e Resposta do Sistema de Primeira Ordem
Seja a Função de Transferência G(s) dada por:
5
2
)
(



s
s
s
G
Thiago Rocha MPEE – 2019.1

Admitindo-se uma entrada degrau unitário:
5
5
/
3
5
/
2
5
)
5
(
2
)
(









s
s
s
B
s
A
s
s
s
s
C
 Com base neste desenvolvimento:
1. O pólo da função de entrada gera a
forma da resposta forçada.
2. O pólo da FT gera a forma da resposta
natural.
3. Um pólo no eixo real gera uma resposta
exponencial e-at.
4. Pólos e zeros determinam as amplitudes
de ambas as respostas.

 Sistemas de Primeira Ordem
a
s
a
s
G


)
(
Considere os sistema cuja FT é dada por:
Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtém-se que:
Se a entrada for um degrau unitário, R(s)=1/s, então
at
n
f e
t
c
t
c
t
c 



 1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
s
s
a
s
G
s
R
S
C



1
)
( 
t
cf
em que e at
n e
t
c 


)
(
 Parâmetro que descreve a resposta transitória (a):
seja: 37
.
0
1
/
1

 


e
e
a
t
at ou 63
.
0
1
1
)
( 1
/
1
/
1




 



e
e
t
c
a
t
at
a
t

 Sistemas de Primeira Ordem - Especificações
Três especificações de desempenho da resposta transitória:
1. Denomina-se 1/a de
constante de tempo da
resposta.
2. O tempo de subida (Tr) é o
tempo necessário para o
sistema vá de 0.1 até 0.9
do valor final.
3. Tempo de regime (Ts) é o
tempo necessário para que
o sistema alcance 2% do
valor final.

Seja a FT de primeira ordem obtidas experimentalmente:
Considere um sistema de primeira ordem
dado por:
a
s
K
s
G


)
(
a
s
a
K
s
a
K
a
s
s
K
s
C





/
/
)
(
)
(
A constante de tempo (63%) pode ser
obtida como:
45
.
0
72
.
0
63
.
0
)
( 


a
t
c
7
.
7
13
.
0
/
1
13
.
0 


 a
s
t

 Especificações da FT de primeira ordem obtidas experimentalmente:
A transformada inversa de Laplace da resposta ao degrau é
a
t
e
a
K
a
K
t
c /
)
/
(
/
)
( 


O que significa que em regime permanente o sistema converge para K/a, assim:
72
.
0
/ 
a
K como: 54
.
5
72
.
0
7
.
7
7
.
7 



 K
a
Desta forma, a função de transferência do sistema é dada por:
7
.
7
54
.
5
)
(


s
s
G
É importante observar que o gráfico analisado, foi gerado por:
7
5
)
(


s
s
G

• Considere o circuito RC abaixo:
Temos que:
𝑣 𝑡 − 𝑅𝑖 𝑡 − 𝑣𝑐 𝑡 = 0

A corrente do capacitor é dada por;
𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
𝑣 𝑡 − 𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
− 𝑣𝑐 𝑡 = 0
Realizando a transformada de Laplace, considerando CI=0.
𝑉 𝑠 − 𝑅𝐶𝑠𝑉
𝑐(𝑠) − 𝑉
𝑐(𝑠) = 0

𝑉 𝑠 = 𝑉
𝑐 𝑠 𝑅𝐶𝑠 + 1
𝑉
𝑐 𝑠
𝑉 𝑠
=
1
𝑅𝐶𝑠 + 1
=
ൗ
1
𝑅𝐶
𝑠 + ൗ
1
𝑅𝐶
=
𝑘
𝑠 + 𝑝
𝑝𝑜𝑙𝑜 = 𝑝 = Τ
1
𝑅𝐶
𝜏 = ൗ
1
𝑝𝑜𝑙𝑜 = ൗ
1
𝑝 = 𝑅𝐶
𝐺𝑎𝑛ℎ𝑜 = 𝑘

Considerando uma tensão v(t) do tipo degrau com amplitude
igual a 1.
𝑉
𝑐 𝑠 = 𝑉 𝑠
𝑘
𝑠 + 𝑝
𝑉
𝑐 𝑠 =
1
𝑠
𝑘
𝑠 + 𝑝
Realizando frações parciais;
𝑉
𝑐 𝑠 =
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 𝑝

1
𝑠
𝑘
𝑠 + 𝑝
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 𝑝
𝑠 + 𝑝 𝐴 + 𝑠𝐵 = 𝑘
𝑠 𝐴 + 𝐵 + 𝐴𝑝 = 𝑘
𝐴 + 𝐵 = 0
𝐴 = 𝑘/𝑝
𝐵 = −𝑘/𝑝

𝑉
𝑐 𝑠 =
𝑘/𝑝
𝑠
−
𝑘/𝑝
𝑠 + 𝑝
Aplicando a transformada inversa;
𝑣𝑐(𝑡) =
𝑘
𝑃
μ(t) −
𝑘
𝑃
𝑒−𝑝𝑡

Considere R = 1ohm e C = 1mF

Variando o valor de R.

• Os sistemas de segunda ordem possuem dois polos, que podem
ser reais e iguais, reais e distintos ou complexos.
𝐺 𝑠 =
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2ξ𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2
A dinâmica dos sistemas de segunda ordem é determinada pelos
parâmetros ξ e 𝜔𝑛. O ξ é o coeficiente de amortecimento e o 𝜔𝑛 é
a frequência natural não amortecida.
Os polos do sistema são dados por:
𝑠1,2 = −ξ𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 ξ2 − 1
 Sistemas de Segunda Ordem – Tipos de respostas

Os sistemas de segunda ordem são divididos em quatro tipos;
1 – Se 0 < ξ < 1 os polos são complexos conjugados e o sistema
é dito subamortecido;
2 – Se ξ > 1 os polos são reais e distintos e o sistema é
sobreamotercido;
3 – Se ξ = 1 os polos são reais e iguais e o sistema é dito
criticamente amortecido;
4 – Se ξ = 0 os polos são imaginários puros e o sistema é
oscilatório.

1 - Sistema Subamortecido 𝟎 < ξ < 1
- Estes sistemas possuem oscilação. A oscilação será
determinada pelo valor de ξ. Quanto menor o ξ, mais oscilatório é
o sistema.
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − ξ2
β = cos−1
ξ

2 - Sistema Sobreamotercido ξ > 1
- Estes sistemas não possuem oscilação.
−𝜔𝑛(ξ − ξ2 − 1)
−𝜔𝑛(ξ + ξ2 − 1)

3 - Sistema criticamente amortecido ξ = 1
- Este tipo sistema possui um amortecimento mínimo para que
não haja oscilação.

4 - Sistema oscilatório ξ = 0
- Este tipo de sistema só possui oscilação.

• Em muitos casos as características de desempenho desejadas
nos sistemas, especialmente nos sistemas de controle a
realimentação, são resumidos em termos de alguns indicadores
que são medidos nas respostas.
• Este indicadores são usados com especificações de projeto de
sistemas de controle.
• Um tecnólogo em energias renováveis necessita ter
conhecimento destes parâmetros para compreender a dinâmica
dos sistemas.

Os indicadores usados para a dinâmica de sistemas de segunda
ordem são:
1 – Tempo de atraso 𝑡𝑑 (delay time);
2 – Tempo de subida 𝑡𝑟 (rise time);
3 – Tempo de pico 𝑡𝑝 (peak time);
4 – Tempo de acomodação 𝑡𝑠 (settling time);
5 – Sobressinal máximo 𝑀𝑝 (overshoot ou maximum peak);

1 – Tempo de acomodação: 𝒕𝒔
- O 𝑡𝑠 é o tempo necessário para que a resposta ao degrau passe a
permanecer dentro de um taxa de tolerância ±𝜀 (±2% ou ±5%).
- Para uma tolerância de ±5%:
𝑡𝑠 =
3
ξ𝜔𝑛
- Para uma tolerância de ±2%:
𝑡𝑠 =
4
ξ𝜔𝑛

2 – Porcentagem de Overshoot: 𝑴𝒑(%)
- O 𝑀𝑝 % é o definido como o valor máximo de pico da
resposta menos o seu valor final em porcentagem do seu valor
final, ou seja:
𝑀𝑝 % =
𝑦 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑦 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑦 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
100%
𝑀𝑝 % = 𝑒
−
ξ𝜋
1−ξ2
100%

2 – Porcentagem de Overshoot: 𝑴𝒑(%)

Sobreamortecido
Subamortecido

• Componentes da resposta ao
degrau de sistemas de segunda
ordem.
1. Decaimento exponencial
gerado pela parte real do par de
pólos complexos.
2. Oscilação senoidal gerada pela
parte imaginária do par de pólos
complexos.

 Sistemas de Segunda Ordem – Formatação geral
• Formulação geral
2
2
2
2
)
(
n
n
n
s
s
s
G






onde:
• n é freqüência de oscilação do sistema sem amortecimento.
• ζ é o coeficiente de amortecimento do sistema, definido como:
n


 
ou seja, considere:
b
as
s
b
s
G


 2
)
(
Sem amortecimento, a Eq. acima se reduz a:
b
s
b
s
G

 2
)
(
Define-se  como,
em que:
•  é a freqüência exponencial de decaimento (rad/s).
em que: 2
n
n b
b 
 



 Sistemas Subamortecido – Caracterização analítica
Considere a resposta ao degrau de um sistema genérico, dado por:
2
2
3
2
1
2
2
2
2
)
2
(
)
(
n
n
n
n
n
s
s
K
s
K
s
K
s
s
s
s
C













Como ζ <1, em frações parciais, C(s) pode ser dado por:
)
1
(
)
(
1
1
)
(
1
)
( 2
2
2
2
2

















n
n
n
n
s
s
s
s
C
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace, obtém-se que:













 
t
t
e
t
c n
n
t
n 2
2
2
1
sin
1
1
cos
1
)
( 






ou seja:  









 
t
e
t
c n
t
n 2
2
1
cos
1
1
1
)
(
com )
1
/
( 2
1


 
 
tg

 Sistemas Subamortecido – Especificações
• Respostas do sistema de 2ª ordem em função da coeficiente de amortecimento.
• Especificações:
1. Instante de pico, Tp;
2. Ultrapassagem percentual,
%UP;
3. Tempo de assentamento
(regime permanente), Ts;
4. Tempo de subida, Ts.
 Cálculo de Tp

 )
(
)]
(
[ s
sC
t
c
L 
)
1
(
)
(
2 2
2
2
2
2
2
2














n
n
n
n
n
n
s
s
s
Considere:

)
1
(
)
(
1
1
2
2
2
2
2













n
n
n
n
s
Ou seja:
 Cálculo de Tp
Portanto:
 
t
e
t
c n
t
n n 2
2
1
sin
1
)
( 


 


 

Igualando a zero,
2
1 





n
p
n
T
t

 Cálculo de %UP
O percentual de sobre-sinal pode ser dado por:
100
%
max



final
final
c
c
c
UP
O termo cmax é obtido calculando-se c(Tp), assim
)
1
/
(
2
)
1
/
(
max
2
2
1
sin
1
cos
1
)
( 






 

















 e
e
T
c
c p
como cfinal = 1, então:
100
% )
1
/
( 2

 
 

e
UP
O inverso da expressão acima permite o cálculo de ζ como:
)
100
/
(%
ln
)
100
/
ln(%
2
2
UP
UP






Admitindo-se que Ts ocorre
quando o sistema atinge 2% do
valor de regime:
Assim pode-se determinar Ts por:
 Cálculo de Ts:
02
,
0
1
1
2




 t
n
e
n
s
T

 )
1
02
,
0
ln( 2



Ultrapassagem percentual em
função da relação de
amortecimento (overshoot).
Pode-se também determinar Ts como:
n
s
T

4


Não é possível determinar uma relação analítica de Tr em função do
coeficiente de amortecimento
 Cálculo de Tr:
O tempo de subida pode ser
então obtido como segue:
1. Com base no valor de ,
localiza-se na tabela ou no
gráfico, o valor normalizado de
Tr.
2. O valor real de Tr é obtido
dividindo-se Tr(norm) pelo valor
de n.

 Sistemas Subamortecido – Análise Gráfica
A partir do diagrama de pólos é também possível identificar a planta:
Em que:
1. d é a freqüência amortecida
de oscilação.
2. d é a freqüência exponencial
amortecida.
3. Por Pitagoras,
d
n
s
T


4
4



 cos

4. Tp pode ser dado por,
d
n
p
T








2
1
5. Ts é definido como:

Linhas de valores constantes para o tempo de pico, de assentamento de
ultrapassagem percentual
Em que:
1
2 s
s T
T 
1
2 p
p T
T 
2
1 UP
UP 

Respostas ao degrau em função da movimentação dos pólos
1. Parte real constante:

2. Parte imaginária constante:

3. Com relação de amortecimento constante:

 Sistemas Subamortecido – Pólos Adicionais
Resposta do sistema com a adição de um pólo ao sistema subamortecido.

 Sistemas Subamortecido – Zeros
A inclusão de um zero na planta de
controle altera basicamente a
amplitude da ultrapassagem
(overshoot)

1 - Sistema Subamortecido 𝟎 < ξ < 1 EXEMPLO Vin = 1V
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
ൗ
1
𝐿𝐶
𝑠2 + ൗ
𝑅
𝐿 𝑠 + ൗ
1
𝐿𝐶
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
2
𝜔𝑛
2 = ൗ
1
𝐿𝐶 𝜔𝑛 = ൗ
1
𝐿𝐶 = 1000 𝑟𝑎𝑑/𝑠
2ξ𝜔𝑛 = Τ
𝑅
𝐿 ξ = ൗ
𝑅
𝐿2𝜔𝑛
= 0,5
𝜔𝑑 = 1000 1 − ξ2 = 870 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝛽 = arccos(ξ) =1,05 rad = 600

1 - Sistema Subamortecido 𝟎 < ξ < 1 - EXEMPLO

2 - Sistema Sobreamotercido ξ > 1 – EXEMPLO Vin = 1V
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
ൗ
1
𝐿𝐶
𝑠2 + ൗ
𝑅
𝐿 𝑠 + ൗ
1
𝐿𝐶
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
2
𝜔𝑛
2 = Τ
1
𝐿𝐶 𝜔𝑛 = Τ
1
𝐿𝐶 = 447,21 𝑟𝑎𝑑/𝑠
2ξ𝜔𝑛 = Τ
𝑅
𝐿 ξ = ൗ
𝑅
𝐿2𝜔𝑛
= 1,12
−𝜔𝑛(ξ + ξ2 − 1) = -726,1
−𝜔𝑛(ξ − ξ2 − 1) = -275,18

2 - Sistema Sobreamotercido ξ > 1 - EXEMPLO

3 Sistema criticamente amortecido ξ = 1 EXEMPLO Vin = 1V
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
ൗ
1
𝐿𝐶
𝑠2 + ൗ
𝑅
𝐿 𝑠 + ൗ
1
𝐿𝐶
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
2
𝜔𝑛
2 = ൗ
1
1
2ξ𝜔𝑛 = Τ
𝑅
𝐿 ξ = ൗ
𝑅
𝐿2𝜔𝑛
= 1

3 - Sistema criticamente amortecido ξ = 1 - EXEMPLO

4 - Sistema oscilatório ξ = 0 – EXEMPLO Vin = 1V
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
ൗ
1
𝐿𝐶
𝑠2 + ൗ
𝑅
𝐿 𝑠 + ൗ
1
𝐿𝐶
𝑉
𝑐(𝑠)
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
=
𝜔𝑛
2
2
𝜔𝑛
2 = ൗ
1
1
2ξ𝜔𝑛 = Τ
𝑅
𝐿 ξ = ൗ
𝑅
𝐿2𝜔𝑛
= 0

4 - Sistema oscilatório ξ = 0 - EXEMPLO

 Solução das Equações de Estado
 Utilizando a Transformada de Laplace
Considere a equação de estado e de saída,
Bu
Ax
x 


Du
Cx
y 

Aplicando a transformada de Laplace na primeira, resulta em:
)
(
)
0
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
(
)
( s
s
s
s
s
s
s BU
x
X
A
I
BU
AX
x
X 






Resolvendo para X(s), obtém-se que:
)]
(
)
0
(
[
)
det(
)
adj(
)
(
)
(
)
0
(
)
(
)
( 1
1
s
s
s
s
s
s
s BU
x
A
I
A
I
BU
A
I
x
A
I
X 






 

Por Laplace, a saída é dada por:
)
(
)
(
)
( s
s
s DU
CX
Y 

Considerando, condições iniciais nulas
)
det(
)
det(
)
adj(
)
det(
)
adj(
)
(
)
(
A
I
A
I
D
A
I
C
D
B
A
I
A
I
C
U
Y















s
s
s
s
s
s
s

 Solução das Equações de Estado
 Autovalores e pólos da Função de Transferência
Por definição, os autovalores da matriz A é dado por
Assim, os autovalores da expressão anterior correspondem aos pólos da
função de transferência Y(s)/U(s)
0
)
det( 
 A
I
s

• Quais são os objetivos da utilização de um
controlador? Como dimensionar?
Controlador PID

• O controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) é
constituído por meio da junção das três ações de
controle:
• Ação Proporcional;
• Ação Integral;
• Ação Derivativa.
Controlador PID

• Diagrama de blocos de um sistema de controle com
um controlador PID:
Controlador PID

• Para analisar a influência das ações de controle será
utilizada a função de transferência de uma planta
genérica de segunda ordem:
2
1
( )
2 4
G s
s s

 
0.5
2
n




Sistema subamortecido
Controlador PID

• Ação Proporcional:
Ação em que o sinal de controle (sinal de saída do
controlador) é proporcional ao sinal de erro (sinal
de entrada do controlado).
Controlador PID

Controlador PID – Ação Proporcional
61
• A função dessa ação de controle é dada por:
• Logo a função de transferência do controlador P:
( )
( )
( )
P P
U s
G s K
E s
 
( ) ( )
P
u t K e t


62
• Diagrama de blocos do sistema com o controlador P:

63
• Análise da saída da planta para alguns valores de KP:
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
KP = 1
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
KP = 1
KP = 10
0 1 2 3 4 5 6
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
KP = 1
KP = 10
KP = 100

64
• Análise do sinal de controle para alguns valores de KP:
0 1 2 3 4 5 6
-100
-50
0
50
100
Tempo (s)
Sinal
de
controle
u(t)
KP = 1
0 1 2 3 4 5 6
-100
-50
0
50
100
Tempo (s)
Sinal
de
controle
u(t)
KP = 10
KP = 1
0 1 2 3 4 5 6
-100
-50
0
50
100
Tempo (s)
Sinal
de
controle
u(t)
4 5 6
0
5
10
KP = 100
KP = 10
KP = 1
✗

65
• Nas situações em que o sinal de controle encontra-se
fora da região de atuação do atuador, diz-se que o
sinal de controle está saturado.
• Como consequência, o sinal emitido pelo controlador
ﬁca, temporariamente, com um valor diferente do
sinal que realmente atua na planta.

66
• Esse fenômeno é conhecido como saturação do
atuador.
• Para representar o sistema de forma adequada:

67
• Características:
• O aumento do ganho do controlador diminui o erro de
regime;
• Em geral, o aumento do ganho torna o sistema mais
oscilatório;
• Melhora o regime e piora o transitório do sistema, sendo
bastante limitado.
• Pode estabilizar sistemas instáveis em malha aberta.

Controlador PID – Ação Integral
68
• Ação Integral:
• Utilização do controlador PI.
Ação em que o sinal de controle é proporcional a
integral do sinal de erro.

69
• A função desse controlador é dada por:
• Logo a função de transferência do controlador PI:
0
1
( ) ( ) ( )
t
P
I
u t K e t e t dt
T
 
 
 
 

( ) 1
( ) 1
( )
PI P
I
U s
G s K
E s T s
 
  
 
 

70
• Diagrama de blocos do sistema com o controlador PI:

71
• Análise da saída do sistema para alguns valores de TI:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
TI = 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
TI = 5
TI = 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
TI = 6
TI = 5
TI = 4

72
• Análise do sinal de controle para alguns valores de TI:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Sinal
de
controle
u(t)
TI = 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Sinal
de
controle
u(t)
TI = 5
TI = 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
Tempo (s)
Sinal
de
controle
u(t)
TI = 6
TI = 5
TI = 4

73
• Tende a anular o erro em regime permanente;
• É utilizado quando o transitório é aceitável e o regime é
insatisfatório;
• Torna o sistema mais lento;
• Pode provocar instabilidade no sistema.

Controlador PID – Ação Derivativa
74
• Ação Derivativa:
• Utilização do controlador PD.
Ação em que o sinal de controle é proporcional a
derivada do sinal de erro.

75
• A função dessa ação de controle é dada por:
• Logo a função de transferência do controlador PD:
( )
( ) ( )
P D
de t
u t K e t T
dt
 
 
 
 
 
( )
( ) 1
( )
PD P D
U s
G s K T s
E s
  

76
• Diagrama de blocos do sistema com o controlador PD:

77
• Análise da saída do sistema para alguns valores de TD:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
TD = 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
TD = 1
TD = 2.5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
TD = 5
TD = 1
TD = 2.5

78
• Melhora a porcentagem de sobressinal e tempo de
acomodação;
• É utilizado quando o transitório é insatisfatório e o regime
é aceitável;
• Amplifica o ruído do sistema.

Tempo de subida Sobressinal
Tempo de
acomodação
Erro de regime
KP Pouco varia
TI Elimina*
TD Pouco varia Pouco varia
Controlador PID
79
• Para a planta escolhida como exemplo observa-se
que:
• Obs.(*): Depende da entrada.
2
1
( )
2 4
G s
s s

 

Controlador PID
80
• Função de transferência dos controladores PID:
1
( ) 1
PID P D
I
sp
G s K T
T s s p
 
  
 

 

Controlador PID
81
• Análise da saída do sistema para o controlador PID:
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)
0 1 2 3 4 5 6
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Tempo (s)
Amplitude
da
saída
y(t)

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