1) A análise combinatória tem suas origens em problemas antigos como a formação de quadrados mágicos no século I d.C.
2) No século XVII, a análise combinatória emergiu como um novo capítulo da matemática com livros de Pascal, Leibniz e Kircher.
3) A análise combinatória estuda agrupamentos de objetos como arranjos, permutações e combinações.
O documento discute a história da análise combinatória, desde os primeiros problemas relacionados encontrados no Egito Antigo e na China, passando pelas contribuições de matemáticos como Pascal, Leibniz e outros até o século XIX. Também aborda a importância desse tema no ensino da matemática e propõe atividades que utilizem a história da matemática para ajudar alunos e professores a compreendê-lo melhor.
1) As matrizes têm origem na China antiga, sendo usadas para resolver problemas de equações lineares em textos do século II a.C.
2) Os quadrados mágicos também surgiram na China por volta de 2200 a.C. e são matrizes cuja soma das linhas, colunas e diagonais é constante.
3) No século XVII, o desenvolvimento comercial levou ao trabalho com tabelas numéricas, dando origem ao conceito moderno de matrizes.
VIVA O DIA INTERNACIONAL DA MATEMÁTICA, A RAINHA DAS CIÊNCIAS.pdfFaga1939
Ontem, 14 de marco, foi celebrado em todo o mundo o Dia Internacional da Matemática criada pela UNESCO (The United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization) em 2019 por sugestão da União Matemática Internacional (IMU). Atualmente, a Matemática é a ciência mais importante do mundo moderno porque ela está presente em todas as áreas científicas. A Revolução Científica, que começou no século XV, tornou o conhecimento mais estruturado e mais prático, absorvendo o empirismo como mecanismo para consolidar as constatações. Em meio a toda a efervescência favorável à Revolução Científica, a Matemática ganhou espaço e se desenvolveu com grande relevância para o desenvolvimento de um método científico mais rigoroso e crítico. A Matemática passou a descrever verdades científicas aplicadas a todos os ramos da ciência. O desenvolvimento da Matemática foi fundamental para o desenvolvimento da Física, Química e Engenharia, que culminou com todo o progresso industrial e tecnológico dos últimos séculos.
Este documento apresenta uma linha do tempo da matemática, desde 1800 a.C. até 1993, destacando os principais desenvolvimentos ao longo da história, como a criação do sistema numérico pelos sumérios, o trabalho de Euclides sobre geometria, a introdução do zero pelos indianos e sua adoção pelos árabes, o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Newton, a criação da geometria não euclidiana e a prova final do último teorema de Fermat por Wiles.
A ciência e a contribuição da matemática em seu desenvolvimentoFernando Alcoforado
A Matemática é a ciência do raciocínio lógico que tem seu desenvolvimento ligado à pesquisa, ao interesse por descobrir o novo e investigar situações de alta complexidade. A escalada da Matemática teve início na Antiguidade quando foi despertado o interesse pelos cálculos e números em função da necessidade do homem de relacionar os acontecimentos naturais ao seu cotidiano. Atualmente, a Matemática consiste na ciência mais importante do mundo moderno porque ela está presente em todas as áreas científicas.
O documento resume os capítulos 1 a 15 do livro "Teorema do Papagaio" de Denis Guedj. Cada capítulo apresenta novos conceitos matemáticos e histórias sobre grandes matemáticos como Tales de Mileto, Pitágoras, Al-Khwarizmi e Fibonacci. O livro acompanha as aventuras de um papagaio amnésico e um grupo de jovens que aprendem sobre a evolução da matemática ao longo dos séculos.
1) O documento traça uma síntese cronológica do desenvolvimento da matemática ocidental desde o osso de Ishango datado de 18000-20000 a.C. até os problemas do milênio propostos em 2000.
2) Destaca marcos como o surgimento da numeração suméria em 1800 a.C., a definição de números irracionais por Eudoxo em 520 a.C., a sistematização da geometria por Euclides em 300 a.C. e o desenvolvimento da álgebra, trigonometria e cálculo nos séculos poster
O documento discute a história da análise combinatória, desde os primeiros problemas relacionados encontrados no Egito Antigo e na China, passando pelas contribuições de matemáticos como Pascal, Leibniz e outros até o século XIX. Também aborda a importância desse tema no ensino da matemática e propõe atividades que utilizem a história da matemática para ajudar alunos e professores a compreendê-lo melhor.
1) As matrizes têm origem na China antiga, sendo usadas para resolver problemas de equações lineares em textos do século II a.C.
2) Os quadrados mágicos também surgiram na China por volta de 2200 a.C. e são matrizes cuja soma das linhas, colunas e diagonais é constante.
3) No século XVII, o desenvolvimento comercial levou ao trabalho com tabelas numéricas, dando origem ao conceito moderno de matrizes.
VIVA O DIA INTERNACIONAL DA MATEMÁTICA, A RAINHA DAS CIÊNCIAS.pdfFaga1939
Ontem, 14 de marco, foi celebrado em todo o mundo o Dia Internacional da Matemática criada pela UNESCO (The United Nations Educational, Scientific and Cultural Organization) em 2019 por sugestão da União Matemática Internacional (IMU). Atualmente, a Matemática é a ciência mais importante do mundo moderno porque ela está presente em todas as áreas científicas. A Revolução Científica, que começou no século XV, tornou o conhecimento mais estruturado e mais prático, absorvendo o empirismo como mecanismo para consolidar as constatações. Em meio a toda a efervescência favorável à Revolução Científica, a Matemática ganhou espaço e se desenvolveu com grande relevância para o desenvolvimento de um método científico mais rigoroso e crítico. A Matemática passou a descrever verdades científicas aplicadas a todos os ramos da ciência. O desenvolvimento da Matemática foi fundamental para o desenvolvimento da Física, Química e Engenharia, que culminou com todo o progresso industrial e tecnológico dos últimos séculos.
Este documento apresenta uma linha do tempo da matemática, desde 1800 a.C. até 1993, destacando os principais desenvolvimentos ao longo da história, como a criação do sistema numérico pelos sumérios, o trabalho de Euclides sobre geometria, a introdução do zero pelos indianos e sua adoção pelos árabes, o desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Newton, a criação da geometria não euclidiana e a prova final do último teorema de Fermat por Wiles.
A ciência e a contribuição da matemática em seu desenvolvimentoFernando Alcoforado
A Matemática é a ciência do raciocínio lógico que tem seu desenvolvimento ligado à pesquisa, ao interesse por descobrir o novo e investigar situações de alta complexidade. A escalada da Matemática teve início na Antiguidade quando foi despertado o interesse pelos cálculos e números em função da necessidade do homem de relacionar os acontecimentos naturais ao seu cotidiano. Atualmente, a Matemática consiste na ciência mais importante do mundo moderno porque ela está presente em todas as áreas científicas.
O documento resume os capítulos 1 a 15 do livro "Teorema do Papagaio" de Denis Guedj. Cada capítulo apresenta novos conceitos matemáticos e histórias sobre grandes matemáticos como Tales de Mileto, Pitágoras, Al-Khwarizmi e Fibonacci. O livro acompanha as aventuras de um papagaio amnésico e um grupo de jovens que aprendem sobre a evolução da matemática ao longo dos séculos.
1) O documento traça uma síntese cronológica do desenvolvimento da matemática ocidental desde o osso de Ishango datado de 18000-20000 a.C. até os problemas do milênio propostos em 2000.
2) Destaca marcos como o surgimento da numeração suméria em 1800 a.C., a definição de números irracionais por Eudoxo em 520 a.C., a sistematização da geometria por Euclides em 300 a.C. e o desenvolvimento da álgebra, trigonometria e cálculo nos séculos poster
O documento resume a história da geometria espacial desde os povos da Mesopotâmia até os dias atuais. Começa com os egípcios e babilônicos e seus estudos empíricos, passando pelos gregos como Pitágoras e Platão que deram fundamentos dedutivos. A geometria chegou ao ápice com Arquimedes e Euclides. Após um período de estagnação, renasceu no Renascimento e evoluiu com Descartes, Newton e não-Euclidiana. Fractais surgiram no século
O documento discute a história dos sistemas lineares, desde sua origem no século XVII até contribuições no século XIX de matemáticos como Gabriel Cramer, Carl Gustav Jacobi, Kronecker e Arthur Cayley. Também menciona que equações lineares já apareciam em civilizações antigas como os egípcios e no livro chinês Nove Capítulos sobre a Arte Matemática.
O documento discute a história da matemática e como ela se relaciona com o desenvolvimento de novas tecnologias. Ele fornece uma linha do tempo da matemática, desde os primeiros sistemas numéricos na Mesopotâmia até descobertas modernas, e argumenta que o conhecimento do passado da matemática pode ajudar a complementar o ensino e motivação dos alunos.
O documento resume a posição simbólica das três velas no rito de York da maçonaria, representando as três grandes luzes. Explica que as velas formam um triângulo retângulo, representando equações matemáticas e simbolismo. Também discute o 47o Problema de Euclides e seu significado para os maçons, representando a habilidade de "esquadrejar o esquadro" mesmo quando fora de esquadro.
Desenvolvimentos na cosmologia são muitas vezes utilizados para argumentar que a ciência contemporânea eliminou a necessidade de se apelar para um criador para explicar a origem e o desenvolvimento do universo. Livros como os de Stephen Hawking e Leonard Mlodinow [The Grand Design (2010)] e Lawrence Krauss [A universe from nothing. Why there is something rather than nothing (2012)] ilustram bem o tema de que a origem do universo (na verdade, a antiga questão filosófica de “por que existe algo ao invés do nada”) agora se encaixa no alcance explicativo da cosmologia e da física quântica. Hawking e Mlodinow negam a inteligibilidade de um “começo” para o universo, uma vez que o próprio tempo (time) emergiu no universo. Abraçando uma versão da hipótese do multiverso, eles concluem: “A criação espontânea é a razão por que existe algo ao invés de nada; é a razão por que o universo existe e por que existimos. Portanto não é necessário invocar a Deus para colocar o Universo em marcha…”. Notoriamente, eles observam que “a filosofia está morta”, e quando entrevistado por Larry king na CNN, Hawking opinou que “a teologia é irrelevante.”
História da matemática e Introdução as Equações de Segundo GrauMaria Garcia
O documento descreve a história da matemática e da computação ao longo dos séculos. Detalha como os egípcios desenvolveram o papiro, o primeiro instrumento mecânico para cálculo na China, e contribuições de Pitágoras, hindus, Omar Khayyam e outros. Também discute a evolução das calculadoras e dos primeiros computadores desenvolvidos por Charles Babbage e Blaise Pascal.
O documento descreve a história dos números complexos, desde as suas origens na resolução de equações de segundo grau até ao seu desenvolvimento por matemáticos como Euler, Argand e Gauss. Explica como figuras como Scipione dal Ferro, Tartaglia, Cardano e Bombelli trabalharam no conceito de raízes complexas de equações cúbicas. Também destaca as contribuições de Descartes, Euler, Wessel, Argand e Gauss para estabelecer a notação e interpretação geométrica dos números complexos.
1) O documento discute a história e origem dos logaritmos, que foram inventados por John Napier em 1614 para simplificar cálculos matemáticos complexos.
2) Henry Briggs aperfeiçoou os logaritmos e construiu a primeira tabela de logaritmos decimais em 1617, tornando os cálculos ainda mais fáceis.
3) Blaise Pascal inventou uma das primeiras máquinas de calcular em 1642 para facilitar os cálculos do pai, mas a máquina só realizava somas e subtrações
O documento discute a história e o desenvolvimento da álgebra, desde os primeiros registros no Antigo Egito até os usos modernos de equações em diversas áreas. A álgebra evoluiu para permitir a representação de problemas matemáticos envolvendo números desconhecidos por meio de equações, que são essenciais para simplificar problemas complexos.
Equações do 1º grau I.ppt - equação do 1º grau é uma equação que possui incó...RobsonNascimento678331
"A equação do 1º grau é uma equação que possui incógnita com grau 1. Equações são sentenças matemáticas que possuem incógnitas, as quais são letras que representam valores desconhecidos, e igualdade. A sentença matemática da equação do 1º grau é ax + b = 0, em que a e b são números reais, e a é diferente de 0. O objetivo de escrever uma equação do 1º grau é encontrar qual é o valor da incógnita que satisfaz a equação. Esse valor é conhecido como solução ou raiz da equação.
Leia também: Equação exponencial — a equação que possui pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes
Tópicos deste artigo
1 - Resumo sobre equação do 1º grau
2 - O que é equação do 1º grau?
3 - Como calcular a equação do primeiro grau?
→ Equação do 1º grau com uma incógnita
? Equação do 1º grau com duas incógnitas
4 - Equação do 1º grau no Enem
5 - Exercícios resolvidos sobre equação do 1º grau
Resumo sobre equação do 1º grau
A equação do 1º grau é uma sentença matemática que possui incógnitas de grau 1.
A equação do 1º grau com uma incógnita possui uma única solução.
A sentença matemática que descreve a equação do 1º grau com uma incógnita é ax + b = 0.
Para resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, realizamos operações dos dois lados da igualdade, com o objetivo de isolar a incógnita e encontrar o seu valor.
A equação do 1º grau com duas incógnitas possui infinitas soluções.
A sentença matemática que descreve a equação do 1º grau com duas incógnitas é ax + by + c = 0
A equação do 1º grau é um termo recorrente no Enem, que geralmente vem com questões que exigem interpretação do texto e a montagem da equação antes de resolvê-la.
O que é equação do 1º grau?
Equação é uma sentença matemática que possui uma igualdade e uma ou mais incógnitas. As incógnitas são valores desconhecidos, e utilizamos letras, como x, y, z, para representá-las.
O que determina o grau de uma equação é o expoente da incógnita. Sendo assim, quando o expoente da incógnita possui grau 1, temos uma equação do 1º grau. Veja exemplos a seguir:
2x + 5 = 9 (equação do 1º grau com uma incógnita, x)
y – 3 = 0 (equação do 1º grau com uma incógnita, y)
5x + 3y – 3 = 0 (equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y)
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Como calcular a equação do primeiro grau?
Representamos determinada situação como uma equação quando temos o objetivo de encontrar os valores que a incógnita pode assumir que faz com que a equação continue verdadeira, ou seja, encontrar as soluções ou a solução da equação. Vejamos a seguir como encontrar a solução de uma equação do 1º grau com uma incógnita e as soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas.
→ Equação do 1º grau com uma incógnita
A equação do 1º grau com uma incógnita é a equação do tipo:
ax+b=0
�
�
+
�
=
0
Nessa sentença, a e b são números reais. Utilizamos como referência o símbolo de igualdade. Antes dele, temos o 1º membro da equação e depois do sinal de igual, temos o segundo membro da equação
1) O documento discute a história e o objetivo da álgebra, desde os egípcios antigos até os usos modernos em diversas áreas.
2) A álgebra envolve representar relações entre números conhecidos e desconhecidos por meio de equações, que podem ser resolvidas para encontrar valores desconhecidos.
3) Exemplos históricos como o Papiro de Rhind e o trabalho do matemático Diofanto ajudaram a estabelecer as bases da álgebra e das equações.
O documento descreve os principais conceitos do cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Sua história, desenvolvida inicialmente por matemáticos como Newton e Leibniz no século XVII;
2) Seus principais conceitos como limites, derivadas, integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo;
3) Suas aplicações em diversas áreas como física e engenharia.
O documento resume a biografia do matemático Joseph Louis Lagrange, incluindo seus principais trabalhos e realizações. Em destaque, sua obra Méchanique analytique de 1788, na qual ele transformou a mecânica em um ramo da análise matemática usando equações diferenciais, e seu Teorema do Valor Médio, que afirma a existência de um ponto onde a derivada de uma função é igual à sua variação média.
O documento apresenta um resumo dos capítulos do livro "O Teorema do Papagaio" de Denis Guedj em 3 frases ou menos. Também fornece informações sobre o autor Denis Guedj e uma classificação proposta para a organização da Biblioteca da Floresta com os principais campos da matemática.
O documento descreve a história do desenvolvimento do cálculo desde as civilizações antigas até Newton e Leibniz, que estabeleceram os fundamentos do cálculo diferencial e integral. Aborda contribuições de matemáticos como Fermat, Kepler, Cavalieri, Barrow e Arquimedes.
Este documento apresenta os capítulos do livro "O Teorema do Papagaio" de Denis Guedj. Contém informações sobre os alunos, professores, objetivo da atividade e breves resumos dos primeiros 13 capítulos, incluindo detalhes sobre matemáticos como Tales de Mileto e Pitágoras.
Isaac Newton desenvolveu o cálculo, a lei da gravitação universal e estudou a natureza da luz. Gottfried Leibniz também desenvolveu o cálculo independentemente e teve uma disputa com Newton sobre prioridade. Ambos foram importantes matemáticos e físicos do século XVII.
Este trabalho tem como principal objetivo apresentar, de forma simples, os diferentes algoritmos de multiplicação desenvolvidos por diferentes povos ao longo da história. Ressaltar a importância da história da Matemática como ferramenta no processo de ensino-aprendizagem desta ciência e como esta ferramenta pode nos auxiliar no ensino de multiplicação de números naturais.
1) Análise Combinatória estuda os grupos formados por elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
2) Os principais tipos de agrupamentos são arranjos, permutações e combinações.
3) O triângulo de Pascal mostra relações entre números que foram descobertas pelo matemático Blaise Pascal.
Historia da analise combinatoria (sв matematica)almirante2010
1) O documento discute a história da análise combinatória, desde os tempos de Arquimedes até matemáticos modernos.
2) A análise combinatória estuda coleções finitas de objetos sob critérios específicos, preocupando-se principalmente com contagem.
3) Exemplos demonstram como a análise combinatória é usada para calcular possibilidades em situações do cotidiano.
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O documento resume a história da geometria espacial desde os povos da Mesopotâmia até os dias atuais. Começa com os egípcios e babilônicos e seus estudos empíricos, passando pelos gregos como Pitágoras e Platão que deram fundamentos dedutivos. A geometria chegou ao ápice com Arquimedes e Euclides. Após um período de estagnação, renasceu no Renascimento e evoluiu com Descartes, Newton e não-Euclidiana. Fractais surgiram no século
O documento discute a história dos sistemas lineares, desde sua origem no século XVII até contribuições no século XIX de matemáticos como Gabriel Cramer, Carl Gustav Jacobi, Kronecker e Arthur Cayley. Também menciona que equações lineares já apareciam em civilizações antigas como os egípcios e no livro chinês Nove Capítulos sobre a Arte Matemática.
O documento discute a história da matemática e como ela se relaciona com o desenvolvimento de novas tecnologias. Ele fornece uma linha do tempo da matemática, desde os primeiros sistemas numéricos na Mesopotâmia até descobertas modernas, e argumenta que o conhecimento do passado da matemática pode ajudar a complementar o ensino e motivação dos alunos.
O documento resume a posição simbólica das três velas no rito de York da maçonaria, representando as três grandes luzes. Explica que as velas formam um triângulo retângulo, representando equações matemáticas e simbolismo. Também discute o 47o Problema de Euclides e seu significado para os maçons, representando a habilidade de "esquadrejar o esquadro" mesmo quando fora de esquadro.
Desenvolvimentos na cosmologia são muitas vezes utilizados para argumentar que a ciência contemporânea eliminou a necessidade de se apelar para um criador para explicar a origem e o desenvolvimento do universo. Livros como os de Stephen Hawking e Leonard Mlodinow [The Grand Design (2010)] e Lawrence Krauss [A universe from nothing. Why there is something rather than nothing (2012)] ilustram bem o tema de que a origem do universo (na verdade, a antiga questão filosófica de “por que existe algo ao invés do nada”) agora se encaixa no alcance explicativo da cosmologia e da física quântica. Hawking e Mlodinow negam a inteligibilidade de um “começo” para o universo, uma vez que o próprio tempo (time) emergiu no universo. Abraçando uma versão da hipótese do multiverso, eles concluem: “A criação espontânea é a razão por que existe algo ao invés de nada; é a razão por que o universo existe e por que existimos. Portanto não é necessário invocar a Deus para colocar o Universo em marcha…”. Notoriamente, eles observam que “a filosofia está morta”, e quando entrevistado por Larry king na CNN, Hawking opinou que “a teologia é irrelevante.”
História da matemática e Introdução as Equações de Segundo GrauMaria Garcia
O documento descreve a história da matemática e da computação ao longo dos séculos. Detalha como os egípcios desenvolveram o papiro, o primeiro instrumento mecânico para cálculo na China, e contribuições de Pitágoras, hindus, Omar Khayyam e outros. Também discute a evolução das calculadoras e dos primeiros computadores desenvolvidos por Charles Babbage e Blaise Pascal.
O documento descreve a história dos números complexos, desde as suas origens na resolução de equações de segundo grau até ao seu desenvolvimento por matemáticos como Euler, Argand e Gauss. Explica como figuras como Scipione dal Ferro, Tartaglia, Cardano e Bombelli trabalharam no conceito de raízes complexas de equações cúbicas. Também destaca as contribuições de Descartes, Euler, Wessel, Argand e Gauss para estabelecer a notação e interpretação geométrica dos números complexos.
1) O documento discute a história e origem dos logaritmos, que foram inventados por John Napier em 1614 para simplificar cálculos matemáticos complexos.
2) Henry Briggs aperfeiçoou os logaritmos e construiu a primeira tabela de logaritmos decimais em 1617, tornando os cálculos ainda mais fáceis.
3) Blaise Pascal inventou uma das primeiras máquinas de calcular em 1642 para facilitar os cálculos do pai, mas a máquina só realizava somas e subtrações
O documento discute a história e o desenvolvimento da álgebra, desde os primeiros registros no Antigo Egito até os usos modernos de equações em diversas áreas. A álgebra evoluiu para permitir a representação de problemas matemáticos envolvendo números desconhecidos por meio de equações, que são essenciais para simplificar problemas complexos.
Equações do 1º grau I.ppt - equação do 1º grau é uma equação que possui incó...RobsonNascimento678331
"A equação do 1º grau é uma equação que possui incógnita com grau 1. Equações são sentenças matemáticas que possuem incógnitas, as quais são letras que representam valores desconhecidos, e igualdade. A sentença matemática da equação do 1º grau é ax + b = 0, em que a e b são números reais, e a é diferente de 0. O objetivo de escrever uma equação do 1º grau é encontrar qual é o valor da incógnita que satisfaz a equação. Esse valor é conhecido como solução ou raiz da equação.
Leia também: Equação exponencial — a equação que possui pelo menos uma incógnita em um de seus expoentes
Tópicos deste artigo
1 - Resumo sobre equação do 1º grau
2 - O que é equação do 1º grau?
3 - Como calcular a equação do primeiro grau?
→ Equação do 1º grau com uma incógnita
? Equação do 1º grau com duas incógnitas
4 - Equação do 1º grau no Enem
5 - Exercícios resolvidos sobre equação do 1º grau
Resumo sobre equação do 1º grau
A equação do 1º grau é uma sentença matemática que possui incógnitas de grau 1.
A equação do 1º grau com uma incógnita possui uma única solução.
A sentença matemática que descreve a equação do 1º grau com uma incógnita é ax + b = 0.
Para resolver uma equação do 1º grau com uma incógnita, realizamos operações dos dois lados da igualdade, com o objetivo de isolar a incógnita e encontrar o seu valor.
A equação do 1º grau com duas incógnitas possui infinitas soluções.
A sentença matemática que descreve a equação do 1º grau com duas incógnitas é ax + by + c = 0
A equação do 1º grau é um termo recorrente no Enem, que geralmente vem com questões que exigem interpretação do texto e a montagem da equação antes de resolvê-la.
O que é equação do 1º grau?
Equação é uma sentença matemática que possui uma igualdade e uma ou mais incógnitas. As incógnitas são valores desconhecidos, e utilizamos letras, como x, y, z, para representá-las.
O que determina o grau de uma equação é o expoente da incógnita. Sendo assim, quando o expoente da incógnita possui grau 1, temos uma equação do 1º grau. Veja exemplos a seguir:
2x + 5 = 9 (equação do 1º grau com uma incógnita, x)
y – 3 = 0 (equação do 1º grau com uma incógnita, y)
5x + 3y – 3 = 0 (equação do 1º grau com duas incógnitas, x e y)
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Como calcular a equação do primeiro grau?
Representamos determinada situação como uma equação quando temos o objetivo de encontrar os valores que a incógnita pode assumir que faz com que a equação continue verdadeira, ou seja, encontrar as soluções ou a solução da equação. Vejamos a seguir como encontrar a solução de uma equação do 1º grau com uma incógnita e as soluções de uma equação do 1º grau com duas incógnitas.
→ Equação do 1º grau com uma incógnita
A equação do 1º grau com uma incógnita é a equação do tipo:
ax+b=0
�
�
+
�
=
0
Nessa sentença, a e b são números reais. Utilizamos como referência o símbolo de igualdade. Antes dele, temos o 1º membro da equação e depois do sinal de igual, temos o segundo membro da equação
1) O documento discute a história e o objetivo da álgebra, desde os egípcios antigos até os usos modernos em diversas áreas.
2) A álgebra envolve representar relações entre números conhecidos e desconhecidos por meio de equações, que podem ser resolvidas para encontrar valores desconhecidos.
3) Exemplos históricos como o Papiro de Rhind e o trabalho do matemático Diofanto ajudaram a estabelecer as bases da álgebra e das equações.
O documento descreve os principais conceitos do cálculo diferencial e integral, incluindo:
1) Sua história, desenvolvida inicialmente por matemáticos como Newton e Leibniz no século XVII;
2) Seus principais conceitos como limites, derivadas, integrais e o Teorema Fundamental do Cálculo;
3) Suas aplicações em diversas áreas como física e engenharia.
O documento resume a biografia do matemático Joseph Louis Lagrange, incluindo seus principais trabalhos e realizações. Em destaque, sua obra Méchanique analytique de 1788, na qual ele transformou a mecânica em um ramo da análise matemática usando equações diferenciais, e seu Teorema do Valor Médio, que afirma a existência de um ponto onde a derivada de uma função é igual à sua variação média.
O documento apresenta um resumo dos capítulos do livro "O Teorema do Papagaio" de Denis Guedj em 3 frases ou menos. Também fornece informações sobre o autor Denis Guedj e uma classificação proposta para a organização da Biblioteca da Floresta com os principais campos da matemática.
O documento descreve a história do desenvolvimento do cálculo desde as civilizações antigas até Newton e Leibniz, que estabeleceram os fundamentos do cálculo diferencial e integral. Aborda contribuições de matemáticos como Fermat, Kepler, Cavalieri, Barrow e Arquimedes.
Este documento apresenta os capítulos do livro "O Teorema do Papagaio" de Denis Guedj. Contém informações sobre os alunos, professores, objetivo da atividade e breves resumos dos primeiros 13 capítulos, incluindo detalhes sobre matemáticos como Tales de Mileto e Pitágoras.
Isaac Newton desenvolveu o cálculo, a lei da gravitação universal e estudou a natureza da luz. Gottfried Leibniz também desenvolveu o cálculo independentemente e teve uma disputa com Newton sobre prioridade. Ambos foram importantes matemáticos e físicos do século XVII.
Este trabalho tem como principal objetivo apresentar, de forma simples, os diferentes algoritmos de multiplicação desenvolvidos por diferentes povos ao longo da história. Ressaltar a importância da história da Matemática como ferramenta no processo de ensino-aprendizagem desta ciência e como esta ferramenta pode nos auxiliar no ensino de multiplicação de números naturais.
1) Análise Combinatória estuda os grupos formados por elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.
2) Os principais tipos de agrupamentos são arranjos, permutações e combinações.
3) O triângulo de Pascal mostra relações entre números que foram descobertas pelo matemático Blaise Pascal.
Historia da analise combinatoria (sв matematica)almirante2010
1) O documento discute a história da análise combinatória, desde os tempos de Arquimedes até matemáticos modernos.
2) A análise combinatória estuda coleções finitas de objetos sob critérios específicos, preocupando-se principalmente com contagem.
3) Exemplos demonstram como a análise combinatória é usada para calcular possibilidades em situações do cotidiano.
Semelhante a Aspectos históricos da analise combinatória (20)
1. Anais do VIII ENEM - Minicurso
GT 5 – História da Matemática e Cultura
2
Aspectos Históricos
Durante muito tempo a Análise Combinatória ou Cálculo Combinatório foi
considerado completamente desligado do cálculo aritmético, segundo Rey Pastor (1939)
“o conceito moderno do número é, porém uma das provas do papel preponderante que
a noção de ordem desempenha nas diversas teorias matemáticas”.
Segundo Wieleitner o problema mais antigo que se relaciona com a teoria dos
números e com a Análise Combinatória, é o da formação dos quadrados mágicos.
Chamamos de quadrados mágicos (de ordem n) um arranjo de números 1,2,3...n2
em um
quadrado n n de forma que cada linha, coluna e diagonal deste quadrado possua a
mesma soma. Como vemos abaixo:
×
O primeiro quadrado mágico conhecido é o Lo Shu, que segundo Needham
(1959) data do século I d.C., mas que pode ser tão antigo a ponto de ter sido escrito por
volta de 2000 a.C. (Berge, 1971):
4 9 2
3 5 7
8 1 6
=
Este diagrama está associado às nove salas do palácio mítico de Ming Thang,
onde vários ritos eram realizados, sendo que a substituição destes símbolos por números
inteiros determina o famoso quadrado mágico denominado Saturn. Este quadrado
causava uma grande fascinação para a maioria das pessoas, pois nesta época, mesmo a
2. Anais do VIII ENEM - Minicurso
GT 5 – História da Matemática e Cultura
3
mais simples aritmética era algo espantoso. Acredita-se que a idéia dos quadrados
mágicos foi transmitida pelos chineses para os árabes, que fizeram grandes
contribuições e construíram quadrados maiores que o antigo Lo Shu.
Há ainda, uma poesia infantil que parece ter sobrevivido em várias culturas e que
serve para introduzir o campo de problemas combinatórios (Biggs, 1979):
Quando eu estava indo para St. Ives,
Eu encontrei um homem com sete mulheres,
Cada mulher tem sete sacos,
Cada saco tem sete gatos,
Cada gato tem sete caixas,
Caixas, gatos, sacos e mulheres,
Quantos estavam indo para St. Ives?1
Esta poesia data, pelo menos de 1730 e é usualmente interpretada como uma
brincadeira, entretanto, poderia se imaginar que por trás dela existiriam propósitos bem
mais sérios, pois existe um problema similar no Líber Abaci, “Sete mulheres velhas
estão indo para Roma; cada uma delas têm sete mulas; cada mula carrega sete sacos;
cada saco contém sete pães; cada pão tem sete facas; e cada faca tem sete bainhas.
Qual é o número total de coisas?”2
,escrito por Leonardo de Pisa que dificilmente
negaria uma conexão entre este problema e a poesia infantil. As duas citações mostram
aspectos artificiais do problema envolvendo a adição e a repetição do número sete,
reforçando a memorização do mesmo.
Segundo Wilson (1990), as regras básicas de contar e suas aplicações têm sido
enfatizadas, desde as civilizações mais antigas por exemplos absurdos onde era
destacada a elusiva propriedade da memorização, como o Problema 79 do Papiro
Egípcio de Rhind (cerca de 1650 a.C.) que segue: Há sete casas, cada uma com sete
gatos, cada gato mata sete ratos, cada rato teria comido sete safras de trigo, cada qual
teria produzido sete hekat3
de grãos; quantos itens têm ao todo? Ou também o
problema da construção de quadrados mágicos.
Alguns quadrados mágicos maiores que o Lo Shu foram encontrados por um
grupo de estudantes árabes conhecido como os Ikhwan-al-Safa, que apresentaram os
quadrados de ordem 4, 5 e 6 e afirmaram existir os de ordem 7, 8 e 9.
A teoria combinatória apareceu como um capítulo novo da Matemática em fins
do século XVII e dentro de poucos anos três notáveis livros surgiram: Traité du triangle
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Tradução feita pelas autoras.
2
Tradução feita pelas autoras.
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Hekat é uma unidade de medida de grãos utilizada no Egito Antigo que equivale a 4,8 litros.
3. Anais do VIII ENEM - Minicurso
GT 5 – História da Matemática e Cultura
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arithmétique (escrito em 1654 e publicado em 1665) de Pascal, Dissertatio de arte
combinatória (1666) de Leibniz e Ars magna sciendi sive combinatoria (1669) de
Athanasius Kircher e também em trabalhos de Wallis (1673), Frénicle de Bessy (1693),
J. Bernoulli (1713) e De Moivre (1718).
O matemático francês Frénicle (1693) apresentou todos os 880 quadrados de
ordem 4, e nesta mesma época seu compatriota, De La Loubère (1691) descreveu um
método de construção de quadrados de ordem ímpar conhecido como “método de
fronteira”4
que aprendeu com o povo de Sião.
Leibniz descreveu em 1666 a combinatória como sendo “o estudo da colocação,
ordenação e escolha de objetos” enquanto Nicholson em 1818 definiu-a como “o ramo
da matemática que nos ensina a averiguar e expor todas as possíveis formas através
das quais um dado número de objetos podem ser associados e misturados entre si”.
Segundo Berge (1971) a definição de combinatória depende de conceitos de
“configurações”, pois instintivamente os matemáticos acreditam que certos problemas
são de natureza combinatória e que os métodos para resolvê-los devem ser estudados.
Há, em geral, quatro aspectos da combinatória moderna: listar, contar, estimar e
existir – muitos dos quais podem ser ilustrados pelo problema de dispor n distinguíveis
objetos em uma fileira.
Para Biggs (1979) há dois princípios de contagem que são a base da maioria da
aritmética e que podem também ser considerados como a pedra fundamental da
combinatória: o princípio da adição e o princípio da multiplicação, sendo que o 1º diz
que se queremos contar um conjunto de objetos, podemos dividir isso em duas partes,
contar as partes separadamente, e somar os resultados. Isso é fato da experiência do dia
a dia. Já no 2º princípio temos que se uma decisão pode ser tomada de x maneiras e a
partir dessa, outra decisão pode ser tomada de y maneiras, então o número de maneiras
possíveis será a multiplicação entre x e y, ou seja, x.y.
Na análise combinatória estuda-se formação, contagem e propriedades dos
agrupamentos que podem constituir-se, segundo determinados critérios, com os objetos
de uma coleção. Esses agrupamentos distinguem-se, fundamentalmente, em três
espécies: arranjos, permutações e combinações, e podem ser formados de objetos
distintos ou repetidos.
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O método de fronteira será apresentado na forma de atividade durante o mini – curso.
4. Anais do VIII ENEM - Minicurso
GT 5 – História da Matemática e Cultura
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Ainda no princípio do século XIX não havia significado preciso para o emprego
dos termos arranjo e permutação. Leibniz designava as permutações por variações, que
é a palavra hoje utilizada por alguns autores para indicar arranjos.
Quando num problema figura uma coleção de elementos, é possível que a
solução desse problema vá depender da maneira por que se escolhe alguns desses
elementos e também da ordem em que os mesmos se dispõem.
Se considerarmos uma coleção ou um conjunto de elementos quaisquer e,
tomarmos um, dois, três,... desses elementos, temos um agrupamento. Um agrupamento
é simples quando o mesmo elemento não figura nele mais de uma vez; caso contrário, o
agrupamento é denominado com repetição.
Ao agrupamento em que o número de objetos de cada grupo é menor que o total,
e um elemento figura uma só vez em cada grupo, e dois agrupamentos diferem pela
natureza ou pela ordem dos elementos que neles figuram, chamamos arranjo simples e
quando o agrupamento formado difere apenas pela natureza de pelo menos um
elemento temos uma combinação simples. Já ao agrupamento formado por todos os
elementos do conjunto, diferindo dois agrupamentos apenas pela ordem dos elementos,
chamamos permutação.
Durante o desenvolvimento da análise combinatória muitos matemáticos
adotaram diferentes simbologias para denominar as mesmas operações. O símbolo π
foi instituído por Gauss (1777-1855) para representar o produto dos n primeiros
números naturais (fatorial de n), A. M. Legendre (Paris, 1811) usava o símbolo
; a notação n! é devida a Cristian Kramp (Colônia, 1808) e
( )n
( 1+Γ n ) n usada por outros
autores. A Arbogast (Strasburgo, 1800) deve-se a denominação fatorial.
A Análise Combinatória serve hoje de base a várias teorias da Análise
Matemática: probabilidades, determinantes, teoria dos números, teoria dos grupos,
topologia, etc. Tal assunto é foco de muita atenção, pois na literatura não existe uma
definição satisfatória desta ciência e de suas ramificações.
Importância da Análise Combinatória no Ensino da Matemática
A Análise Combinatória é um conteúdo matemático que apresenta grande
dificuldade em relação à formulação e, principalmente, interpretação dos seus