arquimedes matematica

1. PROFMAT
UNILAB
21/10
A matemática grega após Euclides: ARQUIMEDES
TÓPICOS DE
HISTÓRIA DE
MATEMÁTIC
A
Jefferson Torres Machado
Prof.: Marcelo Dário dos Santos Amaral
A espiral de Arquimedes e a trissecção do ângulo

2. Estudaremos, agora, a espiral de Arquimedes, curva
importante, e que permite resolver um dos problemas
clássicos da geometria grega, a trissecção do ângulo.
Introdução

3. Transcrevemos a definição de espiral proposta por
Arquimedes (Ver [81], p. 154):
Definição: Espiral
“Se uma linha reta traçada em um plano se
move uniformemente em torno de uma
extremidade fixa e retorna à sua posição
de partida, e se ao mesmo tempo em que a
reta se move (uniformemente), um ponto
partindo da origem se move
(uniformemente) sobre a reta, este ponto

4. Por esta definição, baseada na noção de
proporcionalidade, temos que a espiral é uma curva
gerada por um ponto que se move sobre um segmento
de reta com velocidade constante ao mesmo tempo em
que este segmento de reta se move, também com
velocidade constante, circularmente com uma
extremidade fixa e a outra sobre uma circunferência.
Definição: Espiral

5. Propriedade fundamental da espiral
Então, Arquimedes mostra que se dois segmentos de reta, OO2 e OO1,
são traçados da origem O até dois pontos sobre a espiral e se estes
segmentos, prolongados, cortam o círculo respectivamente em R2 e R1,
temos que estes segmentos estarão entre si na mesma razão que os
arcos de circunferência correspondentes.

6. Ou seja,
OO2 ∶ OO1 ∶∶ arco RR2 ∶ arco RR1.
Com efeito, quando a reta OR gira, os pontos Ri se
movem com velocidade uniforme sobre a circunferência
enquanto os pontos Oi se movem com velocidade
uniforme sobre o segmento de reta OR. Sendo assim,
quando R chega a R1, o ponto O chega a O1 e quando
R chega a R2 o ponto O chega a O2.
◻
Propriedade fundamental da espiral

7. Construção da espiral
Vamos aqui construir a espiral de Arquimedes
utilizando apenas régua e compasso. O processo de
construção consiste em dividir uma circunferência
em n partes iguais, dividir o raio em n partes iguais
e descrever circunferências concêntricas com raios
iguais à distância da origem O às divisões do raio.
Em seguida, marcar os pontos Pn nas intersecções
dos raios rn com as circunferências cn. A curva que
passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes.

8. 1) Descreva uma circunferência e divida-a em n partes iguais.
Vamos utilizar n = 16:
Construção da espiral

9. 2) Agora vamos dividir o raio em n = 16 partes iguais. Já vimos aqui como
dividir um segmento de reta em n partes:
Construção da espiral

10. 3) E tracemos as circunferências concêntricas passando pelos pontos da
divisão do raio:
Propriedade fundamental da espiral

11. 4) Marcamos os pontos P nas intersecções das circunferências cn com os
raios rn e unimos esses pontos com segmentos de retas:
Propriedade fundamental da espiral

12. 5) A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes:
Propriedade fundamental da espiral

13. Como já mencionamos, o problema de dividir um ângulo
em três partes iguais era um dos problemas importantes
da geometria grega. Sabemos dividir um ângulo em
duas partes iguais com régua e compasso, mas muitas
foram as tentativas frustradas de encontrar um
procedimento análogo para o caso da trissecção do
ângulo.
Trissecção do ângulo

14. Trissecção do ângulo
Seja o ângulo POQ que desejamos dividir em três. Marque os pontos Q1
e Q2 de modo que dividam OQ em três partes iguais. Traçamos, então,
dois arcos de circunferência com centro em O e com raios OQ1 e OQ2
que cortarão o trecho de espiral que vai de O a Q em dois pontos O1 e
O2. Então, as retas OO1 e OO2 trissectam o ângulo POQ.

15. Trissecção do ângulo
Este procedimento permite dividir um ângulo em um
número, n, de partes: é suficiente dividir o segmento
OQ em n partes.
Observe que a solução para o problema da trissecção
é mecânica, pois é gerada por dois movimentos
combinados, e leva em consideração a velocidade.
Assim, ela não seria aceita como uma solução
genuinamente geométrica pelos padrões euclidianos.

16. Bibliografia
Pitombeira de Carvalho, J. e Roque, T. Tópicos de História da Matemática Coleção
PROFMAT, Sociedade Brasileira de Matemática, 2012.
Construção geométrica da espiral
https://www.obaricentrodamente.com/2012/01/construcao-geometrica-da-espiral-de.html
Acesso em 15 outubro 2022. 20h08min.
Vídeo. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=p1lalPxPzAQ
Acesso em 15 outubro 2022. 21h13min.
Vídeo. Disponível em:
https://www.youtube.com/watch?v=GtTw-C6SYI0
Acesso em 16 outubro 2022. 20h36min.