Aritmética - Representação dos Números inteiros.pdf

Aritmética
Capítulo 4
Reapresentação dos Números Inteiros
MA 14 - ARITMÉTICA
Componentes:
Lays, Kalisson, Jota, Valdemir, Marcos Vivian, Lucas e José Carlos.
2024

Introdução
O sistema universalmente utilizado pelas pessoas comuns para
representar os números inteiros é o sistema decimal posicional.
Este sistema de numeração, que é uma variante do sistema
sexagesimal utilizado pelos babilônios 1700 anos antes de Cristo, foi
desenvolvido na China e na Índia. Existem documentos do século VI
comprovando a utilização desse sistema.
Posteriormente, foi se espalhando pelo Oriente Médio, por meio das
caravanas, tendo encontrado grande aceitação entre os povos árabes.
A introdução do sistema decimal na Europa foi tardia por causa dos
preconceitos da Idade Média. Por exemplo, num documento de 1299,
os banqueiros de Florença condenavam o seu uso.
MA 14 - ARITMÉTICA

Introdução
O sistema começou a ter maior difusão na Europa a
partir de 1202, quando da publicação do livro Liber
Abacci (que significa “Livro de Cálculo” ou “Livro do
Ábaco”), de Fibonacci.
Este é um livro histórico sobre aritmética escrito por
Leonardo Fibonacci, em Latim (foto à direita).
No seu trabalho introduziu na Europa a numeração
árabe, a notação posicional esclarecendo o
funcionamento desta numeração e o zero, aprendido por
Fibonacci com os árabes enquanto viveu com seu pai,
Bonnacio, no Norte da África.
A intenção do livro é descrever os métodos de calcular
sem necessidade do ábaco.
MA 14 - ARITMÉTICA

Introdução
Vários séculos se passaram para que, finalmente, esse sistema fosse
adotado sem restrições pelos europeus.
Há outros sistemas de numeração em uso, notadamente os sistemas
binário ou em bases potências de 2, que são correntemente usados em
computação.
Uma característica comum a esses sistemas de numeração é o fato
de serem todos sistemas posicionais com base constante.
Nesta apresentação vamos nos restringir à representação dos
números naturais, pois 0 tem seu próprio símbolo e todo número
inteiro negativo é representado por um número natural precedido pelo
sinal ー.
MA 14 - ARITMÉTICA

4.1 Sistemas de Numeração
No sistema decimal, todo número inteiro é representado por uma
sequência formada pelos algarismos
1 2 3 4 5 6 7 8 9
acrescidos do símbolo 0 (zero), que representa a ausência de
algarismo. Por serem dez os algarismos, o sistema é chamado
decimal.
O sistema é também chamado posicional, pois cada algarismo, além
do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído em função
da posição que ele ocupa no número.
MA 14 - ARITMÉTICA

Esse peso, sempre uma potência de dez, varia do seguinte modo:
O algarismo da extrema direita tem peso 1; o seguinte, sempre da
direita para a esquerda, tem peso dez; o seguinte tem peso cem; o
seguinte tem peso mil, etc.
Portanto, os números de um a nove são representados pelos
algarismos de 1 a 9, correspondentes. O número dez é representado
por 10, o número cem por 100, o número mil por 1000. Por exemplo,
o número 12019, na base 10, é a representação de
MA 14 - ARITMÉTICA

12019 =
Cada algarismo de um número possui uma ordem contada da direita
para a esquerda. Assim, no exemplo acima, o primeiro 1 que aparece
(da direita para a esquerda) é de segunda ordem, enquanto que o
último é de quinta ordem. O 9 é de primeira ordem, enquanto que o 2 é
de quarta ordem.
Cada terna de ordens, também contadas da direita para a esquerda,
forma uma classe. As classes são, às vezes, separadas umas das outras
por meio de um ponto. Por exemplo: 12.019.
MA 14 - ARITMÉTICA

Damos a seguir os nomes das primeiras classes e ordens:
MA 14 - ARITMÉTICA

Expansão na base b
Os sistemas de numeração posicionais baseiam-se no seguinte
resultado, que é uma aplicação da divisão euclidiana.
A representação dada a seguir é chamada de expansão relativa à base
b. Quando b=10, essa expansão é chamada de expansão decimal, e
quando b = 2, ela toma o nome de expansão binária.
Damos a seguir um algoritmo para determinar a expansão de um
número qualquer relativamente à base b.
MA 14 - ARITMÉTICA

Expansão na base b
Trata-se de aplicar, sucessivamente, a divisão euclidiana, como segue:
e assim por diante. Como , deveremos, em
um certo ponto, ter , portanto, de
, decorre que , o que implica
, e, portanto,
, , temos, então, que .
MA 14 - ARITMÉTICA

Teorema 4.1
Sejam dados os números inteiros a e b, com a > 0 e b >1. Existem
números inteiros n ≥ 0 e
, univocamente determinados, tais que
MA 14 - ARITMÉTICA

Teorema 4.1
Demonstração: Aplicamos sucessivamente a divisão euclidiana,
permitindo determinar a expansão de a na base b, como segue:
e assim por diante, com .
Sendo b > 1, certamente a > .
Se , temos que .
Se , temos que .
Como não podemos ter uma sequência decrescente de números
inteiros não negativos, então para algum n devemos ter .
MA 14 - ARITMÉTICA

Teorema 4.1
E, portanto, de ,
segue-se que .
Logo,
e
Das igualdades
…
e ,
temos que
MA 14 - ARITMÉTICA

Expansão na base b
O problema que queremos abordar em seguida é comparar dois
números escritos nas suas expansões na base b. Este é o conteúdo do
próximo resultado.
MA 14 - ARITMÉTICA

Exemplo 4.4
Vamos representar o número 723 na base 5.
Por divisões Euclidianas sucessivas, temos:
Portanto,
e, consequentemente, .
MA 14 - ARITMÉTICA

Exemplo 4.5
Vamos representar o número 4.967 na base 12.
Como a base “b” é maior do que 10, devemos acrescentar novos
símbolos para representar 10 e 11, que se tornam algarismos e que
denotaremos por ∝ e β, respectivamente.
Assim,
Portanto,
e, consequentemente, .
Daremos a seguir alguns critérios de divisibilidade para números
representados na base 10.
MA 14 - ARITMÉTICA

Critérios de divisibilidade
MA 14 - ARITMÉTICA

MA 14 - ARITMÉTICA
Corolário 4.9
Todo número natural escreve-se de modo único como soma de
potência distintas de 2.
Determinar a expansão binária de um número a é ainda mais fácil do
que determinar a sua expansão relativa a um número b ≠ 2.
De fato, escreve-se a lista de números começando por a, seguido pelo
quociente q0 da divisão de a por 2, seguido pelo quociente q1 da divisão
de q0 por 2, seguido pelo quociente q2 da divisão de q1 por 2 e etc.

MA 14 - ARITMÉTICA
53 2
(1) 26 2
(0) 13 2
(1) 6 2
(0) 3 2
(1) 1 2
(1) 0
q0
q1
q2
q3
q4
q5
r0
r1
r2
r3
r4
r5
Logo, 53 = 1.20 + 0.21 + 1.22 + 0.23 + 1.24 + 1.25

MA 14 - ARITMÉTICA
Exemplo 4.10
O método acima, para determinar expansões binárias, permite
desenvolver um algoritmo antigo para calcular o produto de dois
números, usando apenas multiplicações e divisões por 2, além de
adições. Esse método tem vantagem de apenas necessitar do
conhecimento da tabuada de 2.
De fato, para efetuar a multiplicação de a por b, escreve-se a como a
soma de potências de 2.
a = r0 + r12 + … + rn2n.
a.b = r0b+ r12b + … + rn2nb.

MA 14 - ARITMÉTICA
Vamos praticar multiplicando 523 por 37
1) Escrevem-se duas colunas;
2) Na coluna da esquerda, colocam-se os
números a, q0, q1, …, qn-1 (=1);
4) Como a paridade do elemento da esquerda
determina se ri = 0 ou ri = 1;
5) Somamos os elementos da direita que
correspondem a elementos ímpares da esquerda.
a
3) Na coluna da direita, colocam-se os números
b, 2b, 4b, …, 2nb;
b
523
37
18
9
2
4
1
1046
2092
4184
8368
16736
q0
q1
q2
q3
q4
4b
2b
8b
16b
32b
37x523 = 523 + 2092 + 16736 = 19351

MA 14 - ARITMÉTICA
Exemplo 4.11
O problema da moeda falsa.
Vamos generalizar a solução do problema da moeda falsa, que
discutimos no exemplo 2.13, para um número arbitrário de moedas.
Seja m o número de moedas, das quais uma é falsa. Escrevamos a
expansão binária de m:
m = 2n1 + 2n2 + 2n3 + …. + 2nr , n1 > n2 > n3 > … > nr
Vamos mostrar que n1 pesagens são suficientes para descobrir a
moeda falsa.

MA 14 - ARITMÉTICA
Suponha n1 =1, ou seja, temos no máximo 3 moedas. Pondo uma moeda em
cada prato da balança, descobre-se imediatamente a moeda falsa e, o resultado
é trivialmente verificado. Suponha o resultado verdadeiro para todo n’< n1.
Demonstrando por indução completa sobre n1.
Sejam agora 2n1 + 2n2 + 2n3 + …. + 2nr moedas, das quais uma é falsa;
Separamos as moedas em dois lotes com :
lote 1: 2n1
lote 2: 2n2 + 2n3 + …. + 2nr
Analisando primeiro o lote 1, já sabemos que podemos descobrir a moeda
falsa com, no máximo, n1 pesagens. Basta colocar metade das moedas em cada
prato, se a balança equilibrar a moeda falsa não se encontra e descartamos todo
o lote.

MA 14 - ARITMÉTICA
Sobram, então, 2n2 + 2n3 …. + 2nr (lote 2) moedas a serem analisadas.
Pela hipótese de indução, bastam n2 pesagens para descobrir a moeda falsa,
que, juntamente com a pesagem já realizada, perfazem um total de n2 + 1
pesagens que certamente é menor ou igual do que n1.

Exemplo 4.8
O nove misterioso.
1º - Escolha um número com pelo menos três algarismos (para que a
mágica aconteça, evite escolher apenas um algarismo, ex: 777)
2º - Agora permute esse número, reescrevendo outro valor com os
mesmos algarismos. EX: 145 -> 415
3º - Agora subtraia o menor do maior número que você escreveu

4º - Agora retenha um dos algarismos e divulgue os outros valores.
obs: o algarismo que você reteve tem que ser diferente de zero.
Agora vamos
adivinhar qual
algarismo você
escondeu

Desvendando o mistério
Seja a = rn ... r1r0 o número secreto e seja a’ o número obtido pela permutação
dos algarismos de a. Pela demonstração da proposição 4.7 sabemos que existem
q, q’ tais que:
a = (rn + ... + r1 + r0) + 9q e a’ = (rn + ... + r1 + r0) + 9q’
A diferença entre o maior e menor desses números é divisível por 9. Portanto
para adivinhar o algarismo que falta, basta descobrir, dentre os números de 1 a 9
quanto devemos somar à soma dos algarismos divulgado para que o resultado
seja divisível por 9.

Ex:145 -> 415, sua subtração fica 270, divulgamos o 7 e 0, somando
os algarismos divulgados teremos 7 + 0 = 7, e o número múltiplo de 9
mais perto do 7 é o próprio 9, e falta duas unidades para chegar nesse
valor, logo o valor escondido é o 2

Jogo de Nim
O Nim é um antigo jogo de palitos, supostamente chinês, jogado por
duas pessoas. Foi o primeiro jogo a ser estudado matematicamente.
Existem várias versões desse jogo, cada uma com uma estratégia
própria. Nesta versão em específico o objetivo do jogo é ser o jogador
a retirar o último palito da caixa.
Durante sua vez o jogador poderá realizar a retirada de quantos palitos
desejar, porém apenas de uma única caixa.
MA 14 - ARITMÉTICA

Jogo de Nim
Tal jogo serviu de objeto de um artigo científico na prestigiosa revista
Annals of Mathematics, de autoria de C.L. Bouton, mostrando que há
uma estratégia que, se adotada por um dos jogadores, fará com que ele
sempre saia vencedor.
MA 14 - ARITMÉTICA

Jogo de Nim
Te desafio a um duelo!!!
MA 14 - ARITMÉTICA
A estratégia:

Jogo de Nim
A estratégia:
Para que você sempre tenha êxito no jogo, o segredo está em
transformar os valores em números binários, onde você deverá efetuar a
soma ou subtração dos valores, caso a soma dê resultado 2 em todas as
ordens ou a subtração zere, você estará com jogadas favoráveis para
ganhar, caso contrário, seu objetivo é transformar os números para que
dê esses resultados e você consiga ganhar o jogo.
MA 14 - ARITMÉTICA

Jogo de Nim
Relembrando os números binários:
1 = 0001 6 = 0110
2 = 0010 7 = 0111
3 = 0011 8 = 1000
4 = 0100 9 = 1001
5 = 0101 …
Números biná
MA 14 - ARITMÉTICA

Aritmética - Representação dos Números inteiros.pdf

Aritmética - Representação dos Números inteiros.pdf

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a Aritmética - Representação dos Números inteiros.pdf

Último

Aritmética - Representação dos Números inteiros.pdf