Apostila numeros 28.03.05

DDTTII
DDiirreettoorriiaa ddee TTeeccnnoollooggiiaa ddaa IInnffoorrmmaaççããoo
GGIIPP
GGeerrêênncciiaa ddee IInnffoorrmmááttiiccaa PPeeddaaggóóggiiccaa
11ªª FFAASSEE –– 22000055
Fundação para o Desenvolvimento da Educação – FDE
Rua Rodolfo Miranda, 636 – Bom Retiro – 01121-900 – São Paulo – SP
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Secretaria de Estado da Educação – SEE/SP
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da Educação - DTI – GIP
Projeto Números em Ação – 1ª Fase 2005
2

3
SUMÁRIO
Carta aos professores .......................................................................................... 06
Créditos ................................................................................................................ 07
Agradecimento ..................................................................................................... 08
Fundamentação teórica ........................................................................................ 09
Competências e habilidades ..................................................................... 09
Objetivos ................................................................................................... 09
Conteúdos ................................................................................................. 11
Recorte didático – trabalho com o cálculo ................................................. 13
O contrato didático .................................................................................... 14
Como é fazer matemática na SAI .............................................................. 15
Orientações gerais ................................................................................................ 17
Texto complementar I
A aprendizagem e o ensino da Matemática – abordagens atuais – 1ª parte ....... 19
MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOS ......................................................... 24
Tema ......................................................................................................... 24
Recursos utilizados ................................................................................... 24
Objetivos ................................................................................................... 24
Conteúdos ................................................................................................. 24
Aula 1 ........................................................................................................ 25
Aula 2 ........................................................................................................ 26
Aula 3 ........................................................................................................ 27
Aulas 4 e 5 ................................................................................................ 27
Texto complementar II
A avaliação diagnóstica ........................................................................................ 28
Aulas 6, 7, 8 e 9 ........................................................................................ 32
MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOS .................................... 33
Tema ......................................................................................................... 33
Objetivos ................................................................................................... 34
Conteúdos ................................................................................................. 35
Texto complementar III
Aula 10 ...................................................................................................... 40
Aula 11 ...................................................................................................... 40
Aula 12 ...................................................................................................... 41

4
Aula 13 ...................................................................................................... 41
Aulas 14 e 15 ............................................................................................ 42
MÓDULO III – DESAFIO DOS NÚMEROS .......................................................... 45
Tema ......................................................................................................... 45
Objetivos ................................................................................................... 46
Conteúdos ................................................................................................. 47
Texto complementar IV
Sobre a calculadora .............................................................................................. 48
Texto complementar V
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática
Operações com números naturais. Adição e subtração: significados.... 49
Texto complementar VI
Aula 16 ...................................................................................................... 59
Texto complementar VII
Por que e para que utilizar jogos no ensino da Matemática ................................. 60
Aulas 17 e 18 ............................................................................................ 61
Aulas 19 e 20 ............................................................................................ 61
Aula 21 ...................................................................................................... 62
Aulas 22 e 23 ............................................................................................ 62
Aula 24 ...................................................................................................... 63
Aula 25 ...................................................................................................... 64
Texto complementar VIII
Desarmando as contas ......................................................................................... 65
Aulas, 26, 27 e 28 ..................................................................................... 71
Aulas 29 e 30 ............................................................................................ 73
Aula 31 ...................................................................................................... 74
MÓDULO IV – NÚMEROS QUE MEDEM ............................................................ 75
Tema ......................................................................................................... 75
Objetivos ................................................................................................... 76
Conteúdo ................................................................................................... 76
Texto complementar IX
O homem vitruviano .............................................................................................. 78
Aula 32 ...................................................................................................... 79
Aula 33 ...................................................................................................... 80

5
Aula 34 ...................................................................................................... 80
Aulas 35, 36 e 37 ...................................................................................... 81
Referências bibliográficas .................................................................................... 83
Anexo 1
Peças do quebra-cabeças para a dinâmica dos quadrados ................ 85
Anexo 2
Questões da avaliação diagnóstica ...................................................................... 89

6
CARTA AOS ATPs E PROFESSORES PARTICIPANTES DO
PROJETO NÚMEROS EM AÇÃO
Em continuidade ao Projeto Números em Ação, oferecemos este documento que foi
aperfeiçoado com a colaboração dos ATPs que participaram da formação dos
professores no piloto aplicado de julho a dezembro de 2004. Ele pretende ser, como
na fase anterior, um norteador das próximas ações a serem desenvolvidas tanto pelos
ATPs, comprometidos com a formação e orientação dos professores, quanto pelos
próprios professores que serão os responsáveis pelo trabalho, nas Salas Ambiente de
Informática, com os alunos .
Queremos lembrar que esse documento não se caracteriza como uma receita a ser
seguida e sim como uma referência de trabalho a todos os envolvidos no projeto,
objetivando a continuidade do mesmo e o atendimento cada vez mais aperfeiçoado
aos alunos participantes.
É um documento de apoio ao trabalho dos ATPs e professores, que traz textos
complementares, sugestões de leituras e endereços de sites para pesquisas na
Internet, importantes na sua formação e atuação e que devem ser enriquecidas, de
acordo com os interesses e as necessidades de cada um.
Da mesma forma, são apresentadas sugestões de questionamentos que podem
encaminhar discussões com as turmas, durante ou ao final das atividades. Estas
também não devem ser seguidas de forma “engessada” e sim, como ponto de partida
para incrementar reflexões que podem ser enriquecidas com o surgimento de novos
questionamentos, outras discussões, de acordo com as necessidades e os interesses
do momento e de cada turma.
Outro aspecto a ser lembrado refere-se à divisão das aulas. Por questão da gestão do
tempo, sugerimos atividades que podem ocorrer em aulas de 50 minutos. Cada
professor deve validar esse tempo, adequando as atividades conforme o aprendizado
dos alunos e organizando-as em aulas que, de acordo com a resolução que orienta o
projeto, terão duração de 50 ou 100 minutos.
Agradecemos a todos o compromisso demonstrado na realização do piloto do Projeto
em 2004 e desejamos sucesso neste novo ano letivo.
FDE – Diretoria Técnica da Informação
GIP – Gerência de Informática Pedagógica

7
CRÉDITOS
NÚMEROS EM AÇÃO
ATPs que participaram da elaboração do Projeto
Aparecida de Lourdes Bonanno – NRTE / DE Guarulhos Sul
Braz Dorival Ognibeni – NRTE / DE Jales
Celso Roberto Stigliani – NRTE / DE Sorocaba
Fátima Aparecida da Silva Dias – NRTE / DE Tupã
Helder Clementino Lima da Silva – NRTE / DE Pindamonhangaba
Laura Maria Correa – NRTE / DE Pres. Prudente
Roberta Oliveira da Silva – NRTE / DE Taboão da Serra
Rosa Maria Pires Bueno – NRTE / DE Itararé
ATPs colaboradores
Cláudia Gatti – NRTE / DE São Carlos
James Ernesto Mazzanti – NRTE / DE Caieiras
Solange Antônia de Azevedo – NRTE / DE Diadema
Tatiana Pacheco de Souza – NRTE / DE Sul 3
Coordenação
Nely Aparecida P. Silva – GIP/DTI/FDE
Wolgram Marialva – GIP/DTI/FDE
Coordenação Geral pela FDE
Tirone Francisco Chahad Lanix – DE/FDE
Leila Rentroia Ianonne – DPE/FDE
Alexandre Ortelã – DTI/FDE
Silvia Galletta – GIP/DTI/FDE
Coordenação Geral pela SEE/SP
Sonia Maria Silva – Coordenadora da CENP
Consultoria
Luciana Maria Tenuta de Freitas – Info Educacional
Maria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa – Info Educacional

8
Agradecemos a todos os ATPs responsáveis pela formação de
professores do projeto Números em Ação, em 2004 e 2005,
que muito colaboraram na revisão e testagem do software e no
enriquecimento do manual do professor.

9
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA1
PROJETO NÚMEROS EM AÇÃO
O projeto Números em Ação propõe a utilização das Tecnologias de Informação
e Comunicação pelos professores e pelos alunos de 5a
e 6a
séries do Ensino
Fundamental como apoio ao desenvolvimento de ações voltadas às dificuldades
existentes no processo de ensino e aprendizagem da Matemática, sobretudo no
tocante à capacidade de calcular.
A Matemática é tomada como instrumento de leitura, interpretação e
compreensão do mundo, visto que é cultura humana, que tem uma dimensão
histórica; é um saber inacabado e mutável. É também uma linguagem e como tal
apresenta aspectos sintáticos e semânticos. Dessa forma, pretende-se trabalhar
com os alunos, visando a desenvolver a competência de agir matematicamente
na resolução de situações complexas, mobilizando e relacionando conteúdos,
habilidades e recursos diversos.
COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
• Cálculo, sendo capaz de estimar, fazer aproximações, determinar com
exatidão os resultados, usar diferentes estratégias, recursos e tecnologias.
• Resolução de problemas, sendo capaz de planejar, explicitar hipóteses,
determinar estratégias, tomar decisões e comunicar os resultados obtidos.
• Argumentação em torno de afirmativas e modelos matemáticos, sendo capaz
de justificar, contestar, conjecturar e demonstrar.
• Atitude crítica em relação às informações matemáticas, em especial àquelas
veiculadas pela mídia.
• Utilização da linguagem matemática, sendo capaz de ler, interpretar e
representar a realidade e comunicar idéias.
OBJETIVOS
O objetivo primeiro do projeto Números em Ação é ensinar Matemática. O uso
da tecnologia é uma opção para o estabelecimento de um contrato didático que
alavanque mudanças atitudinais, motivacionais e procedimentais em alunos e
professores em suas tarefas de aprender e ensinar. O conhecimento matemático
recebe tratamento prazeroso e interessante e pode ser acessado com rapidez.
Entretanto, além de serem meio, pois abastecem alunos e professores de novos
recursos e novas formas de trabalho, as tecnologias são também um fim, porque
proporcionam a inclusão digital de todos os que não têm acesso à tecnologia fora
do ambiente escolar. Aprende-se a navegar na Internet, a utilizar editores de
textos e softwares de autoria, enquanto se aprende Matemática.
Os conteúdos e as atividades didáticas a serem desenvolvidos no projeto
Números em Ação levarão em conta os seguintes objetivos de ensino e objetivos
1
Texto escrito por Luciana Maria Tenuta de Freitas e Maria Virgínia Ferrara de Carvalho Barbosa, consultoras da Info Educacional.

10
de aprendizagem, que têm como base aqueles expressos nos Parâmetros
Curriculares Nacionais – Matemática.
OBJETIVOS DE ENSINO
Criar um ambiente de trabalho que possibilite:
• o reconhecimento e a valorização da Matemática como uma linguagem que
permite a análise, compreensão, representação e transformação da realidade,
ao identificar possibilidades de aplicação do conhecimento matemático na
resolução de situações-problema do cotidiano, das atividades profissionais ou
de outras áreas de conhecimento;
• o trabalho cooperativo permanente, na busca de consenso, no respeito à
opinião do outro, na consideração do outro como fonte de conhecimento;
• o desenvolvimento pessoal, mediante o prazer de “fazer matemática”, numa
perspectiva do jogo e da disciplina intelectual, da atitude crítica, de
perseverança, autonomia e cooperação na busca de soluções;
• a utilização da tecnologia como recurso que favorece:
a simulação de situações complexas e difíceis de serem realizadas numa
situação real;
o tratamento diferenciado do erro;
• o desenvolvimento da capacidade de adequação dos recursos tecnológicos
disponíveis à natureza dos problemas a serem resolvidos.
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
• Compreender e utilizar as regras do SND para leitura, escrita e comparação
de números naturais.
• Compreender os significados das quatro operações fundamentais ao resolver
situações-problema.
• Reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas de
diferentes naturezas.
• Propor diferentes estratégias ao resolver uma mesma situação-problema.
• Desenvolver diferentes estratégias de cálculo mental, escrito, estimado e com
calculadora.
• Utilizar as propriedades das operações e o valor posicional como recurso de
cálculo mental.
• Antecipar e verificar resultados de cálculos feitos.
• Analisar estratégias de resolução desenvolvidas por terceiros.
• Utilizar a estimativa como recurso para avaliação da adequação de um
resultado.

11
• Representar as quatro operações fundamentais, por meio de algoritmos não-
convencionais e convencionais, decidindo sobre a utilização da representação
mais adequada à resolução da situação apresentada.
• Reconhecer a medida como resultado da comparação entre grandezas de
mesma natureza.
• Demonstrar confiança na própria capacidade de resolver problemas.
• Estabelecer procedimentos e estratégias de coleta de dados e informações.
• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informações
coletadas.
• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou à
natureza da situação.
CONTEÚDOS
As seqüências didáticas, desenhadas para o ambiente digital, trazem atividades
nas quais o aluno aprende a localizar, acessar e analisar dados e informações.
Enfatizam o desenvolvimento de procedimentos e sobretudo de atitudes
necessárias àqueles que vivem em uma comunidade de informação. O
conhecimento matemático é tomado como complexo e provisório e o aluno
precisa ser munido de instrumental que favoreça continuar a aprender, a
qualquer hora, dentro ou fora da escola e, para tal, não bastam aprendizagens
conceituais. É preciso aprender a decidir sobre o uso de um tipo específico de
cálculo (mental, escrito, estimado, com calculadora), a revisar suas produções e
as de seus colegas para detectar, analisar e corrigir erros (e assim aprender a
prevê-los). Aprender a trabalhar em equipe, intercambiando pontos de vista,
escutando os outros, esperando sua vez de falar, demonstrando segurança ao
argumentar e flexibilidade para modificar seus argumentos passa a ser tão
importante quanto saber o resultado de uma adição ou multiplicação.
CONTEÚDOS CONCEITUAIS
Números e operações
• Os sistemas de notação numérica ao longo da História da Humanidade:
características, usos e relações com o sistema notacional decimal.
• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do Sistema
de Numeração Decimal.
• Os números racionais e sua representação decimal (a partir de seus
diferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade).
• Significados das operações fundamentais.
Medidas
• Estimativas de tamanhos e comprimentos.
• Instrumentos não-convencionais de medição de comprimentos.

12
• Unidades não-padronizadas de comprimento.
• Unidade-padrão de medida de comprimento, o metro e seus submúltiplos: o
centímetro e o milímetro.
CONTEÚDOS PROCEDIMENTAIS
Números e operações
• Uso da calculadora e da escrita como instrumento de reflexão e/ou de
representação.
• Decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com
calculadora), exato ou aproximado, em função da situação-problema
apresentada.
• Interpretação de informações apresentadas em tabelas e gráficos simples.
• Revisão de produções para detectar, analisar e corrigir erros.
• Elaboração de registros.
Medidas
• Decisão sobre uso de procedimento e instrumento específico, em função da
precisão da medição.
• Elaboração de registros pessoais e/ou convencionais para comunicação de
medições feitas.
• Tratamento da informação
• Coleta, organização e descrição de dados e informações.
• Produção de texto escrito, a partir de interpretação de gráficos, tabelas e
quadros.
Uso da tecnologia
• Uso dos principais recursos do editor de texto, de software de apresentação,
de software de autoria, de simulações e animações disponíveis no ambiente
virtual.
CONTEÚDOS ATITUDINAIS
• Confiança em suas maneiras e estratégias para resolver problemas.
• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos que
envolvam a busca de resultados.
• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da troca de
pontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.
• Segurança ao argumentar e flexibilidade para modificar os argumentos.
• Interesse em conhecer diferentes formas de resolver problemas.

13
• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até as
mais complexas.
• Cuidado com os materiais em geral, e em especial com os de uso coletivo,
principalmente os tecnológicos, menos resistentes e de maior custo.
• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade de
parceria no uso dos recursos e materiais coletivos.
• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos como fontes de
informação importantes para a aprendizagem.
RECORTE DIDÁTICO – TRABALHO COM O CÁLCULO
O cálculo será o foco do trabalho didático a ser desenvolvido nas aulas do projeto
Números em Ação, por ser considerado uma competência vinculada a todos os
conceitos matemáticos da educação básica (Figura 12
), não sendo possível “fazer
matemática” na sala de aula sem ele. Assim, formas variadas de cálculo são
exploradas pelos alunos de maneira analítica e crítica.
Figura 1
Medidas
Probabilidade Álgebra
Funções Números racionais
CÁLCULO
Números naturais Estatística
Números inteiros Números reais
Geometria
Ensinar um aluno a armar uma conta no papel e resolvê-la, não garante o
desenvolvimento da competência de cálculo. Por isso, situações diversificadas
que exploram as várias formas de cálculo são apresentadas aos alunos. Cálculos
mentais, estimados e com calculadoras devem ser feitos para que as soluções
sejam encontradas ao se jogar ou resolver um desafio.
As técnicas operatórias convencionais das quatro operações são trabalhadas por
meio de aulas multimídia alteráveis de maneira analítica e não como um
mecanismo a ser repetido exaustivamente.
Por meio de um trabalho mais amplo com o cálculo, os alunos são levados a
desenvolver princípios, conceitos, habilidades, estratégias e processos que os
tornam mais abertos e flexíveis a interpretar o mundo que os rodeia.
2
Figura adaptada do livro de GIMÉNEZ e GIRONDO, 1993.

14
O CONTRATO DIDÁTICO
Com a implementação do projeto Números em Ação pretende-se que um
novo/velho contrato didático3
vigore nas Salas Ambiente de Informática (SAI),
com professores e alunos assumindo novos papéis e estabelecendo novas
relações ao saber matemático.
O QUE FAZ O ALUNO
No projeto Números em Ação, concebe-se que a aprendizagem ocorre a partir
dos interesses, necessidades e particularidades do aluno, compartilhando sua
bagagem cultural e social. Ela não ocorre de uma só vez e definitivamente. Saber
Matemática é ocupar-se de problemas em um sentido mais amplo que inclui
tanto saber fazer perguntas quanto encontrar soluções. Nesse sentido, o aluno
deve intervir na atividade matemática, formulando consignas, provando
proposições, construindo linguagens, conceitos e teorias, pondo-os a prova. Ao
intercambiar com outros, reconhece os conhecimentos que formam parte da
cultura matemática e toma aqueles que são úteis para continuar sua atividade.
Determina formas diversas de representação, discutindo-as com os demais.
Considera os seus erros e os de seus colegas fontes de informação e reformula
idéias a partir deles. Arrisca-se a resolver qualquer tipo de situação-problema
com espírito de investigação.
A mediação aluno/saber matemático não passa somente pelo software. O espaço
da SAI passa a ser aquele em que o “fazer matemática” é que move toda a ação
pedagógica. Os alunos exploram possibilidades, levantam hipóteses, testam
essas hipóteses, discutem com o outro, criam desafios, argumentam. A atitude
do professor é fundamental para garantir esse ambiente de pesquisa, de
aprendizagem e de atividade matemática.
O QUE FAZ O PROFESSOR
Para que o espaço da SAI se transforme num campo de pesquisa, no qual os
alunos possam ter legítimas experiências matemáticas, é necessário que o
professor se coloque como aquele que dialoga com alguém que levanta questões
para as quais ele nem sempre tem as respostas prontas.
O professor deixa de ser aquele que traz um conhecimento pronto e acabado e
se torna parte integrante dos grupos de investigação, em que as questões que
surgem muitas vezes são novidade para ele próprio. Os erros são parte do
processo de aprendizagem e devem ser explorados e utilizados para gerar novos
conhecimentos, novas questões, apontar novos rumos ou um aperfeiçoamento
das idéias que estiverem em discussão. Nessa perspectiva, há uma certa
imprevisibilidade em relação aos tempos e os conteúdos propostos podem ser
enriquecidos, dando origem a novas investigações. É preciso que o professor se
aproprie da idéia de que seu papel é fomentar as discussões, valorizando as
idéias que surgem, remetendo os alunos a um aprofundamento em busca de
soluções para os problemas apresentados.
3
Segundo Guy Brousseau (1986) os procedimentos e as atitudes que o aluno espera de um professor e o professor espera de um aluno
determinam o contrato didático. O contrato didático é, pois, um conjunto de regras que determinam o que cada um, aluno e professor, deverá
fazer, explícita e implicitamente, e que terá de prestar conta um perante o outro, de uma maneira ou outra.

15
No ambiente proposto, o papel do professor é encorajar os alunos a explorar
possibilidades, fazer previsões, levantar e testar suas hipóteses. Cabe a ele
organizar as situações de cooperação entre os alunos; considerar o
conhecimento que eles explicitam; incentivar a análise de estratégias e respostas
adequadas ou não, corretas ou não; permitir que a avaliação fique também a
cargo da turma; fazer com que o que se discute se aproxime sempre do saber
socialmente constituído. Assumir essa atitude significa acreditar que o processo
de aprendizagem da Matemática se baseia realmente na ação do aluno em busca
da solução de problemas, em investigações e explorações de situações e desafios
que o provocam verdadeiramente.
COMO É FAZER MATEMÁTICA NA SAI
As seqüências didáticas4
foram planejadas baseadas na concepção de que um
conceito matemático não é elaborado de uma vez e para sempre pelos alunos; o
que ocorre são sucessivas aproximações, organizações e reorganizações de
conceitos, em um processo de ação, formulação e validação do conhecimento5
.
Em todas as atividades os problemas são propostos de tal forma que a melhor
solução se obtém, usando o conhecimento que se quer ensinar. Isso implica o
agir e o refletir permanentes por parte dos alunos.
Situações diversificadas que exploram as várias formas de cálculo são
apresentadas aos alunos, pois ensinar a armar uma conta no papel e resolvê-la,
seguindo passos pré-determinados, não garantirá a eles o desenvolvimento da
competência de cálculo. Cálculos mentais, estimados e com calculadoras são
propostos para que as soluções sejam encontradas ao se jogar ou resolver um
desafio.
O software permite a exploração de múltiplas situações nas quais os conceitos
dos campos aditivo (que envolve adição e subtração) e multiplicativo (que
envolve multiplicação e divisão) aparecem, significando-os6
. O aluno é desafiado,
permanentemente, a colocar em ação o pensamento, utilizando conhecimentos
já construídos (de senso comum ou escolarizados), ou seja, mobilizando o antigo
para resolver, em um primeiro momento, a situação.
Ao perceber que não sabe o suficiente para resolver uma situação-problema, o
aluno é incentivado a trocar idéias. O trabalho cooperativo é uma forma de lhe
restituir o seu papel de aprendiz, por permitir-lhe a organização de um plano de
trabalho com seus colegas e professores na tentativa de formular, trocar,
comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar suas experiências e idéias antigas
e novas e controlar a aprendizagem.
Por meio de uma atitude investigativa, pesquisadora, possibilidades de resolução
próprias ou convencionais podem ser exploradas. Isso significa que tão
importante quanto dar uma resposta é desenvolver estratégias para se fazer. A
4
De acordo com Antoni Zabala (1996), seqüência didática é um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a
realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos tanto pelos alunos quanto pelos professores.
5
Para conhecer um pouco mais sobre a Teoria das Situações Didáticas de Guy Brousseau, indica-se o texto Situações Didáticas de José Luiz
Magalhães de Freitas, que integra o livro Educação Matemática – Uma Introdução, Série Trilhas, São Paulo: EDUC, 2002.
6
Os significados das operações a serem trabalhados para o campo aditivo e o multiplicativo são aqueles explicitados nos PCN de
Matemática, Ensino Fundamental, 1ª a 4ª série, 1996.

16
situação apresentada será interpretada pelo aluno, que deve questionar,
formulando perguntas, buscando informações em diferentes fontes, elaborando
um plano para encontrar uma resposta, verificando sua correção ou não.
Os elementos de uma situação-problema precisam ser representados
simbolicamente. A escrita tem papel relevante tanto no que diz respeito à
documentação (evocação e comunicação) quanto à construção do conhecimento
(planejamento da ação). É tomada, também, como um instrumento para pensar,
uma vez que retém a informação para que seja analisada, discutida e validada,
posteriormente, pela turma. Assim sendo, é proposto um trabalho constante com
questões discursivas – aquelas em que o aluno deve discorrer sobre algo: sua
hipótese, uma argumentação, explicação de um erro ou acerto, uma conclusão.
Dar oportunidade para que o aluno analise algoritmos constitui fonte privilegiada
de informação sobre o que se sabe, a concepção atual, o ponto em que se
encontra no processo de entendimento de um saber. Ao analisar diferentes
representações, sobretudo aquelas que diferem das suas, o aluno assume o
papel de quem investiga, reflete sobre sua própria maneira de representar,
analisa uma mesma situação de diferentes pontos de vista e dá mais um passo
em direção ao entendimento das representações convencionais.
O trabalho proposto exige que o aluno descreva os raciocínios feitos, reflita sobre
suas estratégias de resolução, para que tome consciência dos passos que
realizou durante o processo de aprendizagem. Assim, ele tem maior chance de
perceber ou até mesmo de prever erros, gerar boas perguntas, discutir suas
dúvidas e, conseqüentemente, aprender mais.
O aluno vai além da verificação de resultados. Ele faz a validação do
conhecimento elaborado, ou seja, comprova o modelo matemático criado para
solucionar um dado problema, determinando, por exemplo, se esse modelo é útil
para resolver outros de igual natureza.
Nesse processo, as ações são conduzidas tanto pelo professor quanto pelo aluno,
por meio de um trabalho planejado por todos do grupo. As diferentes idéias,
pensamentos e procedimentos são considerados como algo positivamente
necessário. São também valorizadas a tomada de decisão pelo grupo, a análise
dos resultados (erros e acertos são igualmente importantes), a comunicação oral
e escrita desses resultados, o conhecimento como algo provisório e complexo,
algo em permanente transformação. Acredita-se, assim, estar contribuindo para
que alunos e professores enfrentem situações novas, de maneira mais
perseverante e eficaz, conservando vivos o desejo, o ânimo, o bom humor e a
vontade de aprender sempre e mais.

17
ORIENTAÇÕES GERAIS
1. ATIVIDADES QUE DEVEM SER DESENVOLVIDAS AO FINAL DE UMA
AULA, DE UM GRUPO DE AULAS OU DE UM MÓDULO
TERMÔMETRO
O termômetro representa uma atividade que será realizada ao
final das aulas 5, 15, 23, 31 e 37, de forma que os alunos avaliem um grupo de
aulas, sua própria participação e a atuação do professor, escolhendo para isso
representações gráficas – figuras de carinhas – que identificam sua opinião a
partir dos itens:
1. Ter aula na Sala Ambiente de Informática me fez gostar mais de estudar
Matemática.
2. Utilizar as atividades do software Números em Ação me fez aprender mais
Matemática.
3. Trocar idéias e discuti-las com meus colegas foi importante para fazer as
atividades.
4. Ter a ajuda do meu professor foi importante para o desenvolvimento das
atividades.
Após os alunos emitirem suas opiniões, os dados serão consolidados, gerando
um gráfico da situação. O professor fará uso deste gráfico, analisando-o
juntamente com os alunos. Ele poderá ser visualizado por todos, no micro do
professor.
FICHAS DE AVALIAÇÃO E ACOMPANHAMENTO DO ALUNO
Estarão disponíveis para o professor 5 fichas de avaliação, que serão utilizadas
ao longo do processo. Elas estão organizadas por grupos de aulas, para o
registro das observações quanto aos objetivos propostos, procedimentos e
atitudes do aluno e intervenções do professor.
APLICATIVOS
Os aplicativos Word (DOC) e PowerPoint (PPT) estão
disponíveis a cada aula e serão utilizados para que os alunos façam anotações e
registros, que podem ser gravados. Os registros das aulas 4 e 5, 10, 14 e 15, 16,
27 e 28, 29, 30, 33, 35, 36 e 37 devem ser gravados.
Obs.: é necessário e importante que cada aluno tenha um caderno para fazer
anotações.

18
2. CD DE RECURSOS
O CD será, juntamente com a apostila, material de apoio ao professor.
Nele estão disponíveis os seguintes recursos:
• Software Introdução ao Micro
• Vídeo História dos números: das pedrinhas ao computador
• Vídeo Inventando estratégias de cálculo
• Peças do quebra-cabeça para a Dinâmica dos Quadrados
• Tutoriais
• Jogos das Atividades Complementares
Obs.: Os jogos, softwares e vídeos devem ser instalados com antecedência.
3. ATIVIDADES COMPLEMENTARES
São atividades que o professor pode fazer uso em situações diversas.
Por exemplo, quando o tempo ao final de uma aula for insuficiente para dar início
a uma nova atividade ou quando grupos de alunos avançarem mais que outros.
As atividades complementares são compostas de jogos que por si só justificam
sua incorporação às aulas: o caráter lúdico, o desenvolvimento de estratégias
intelectuais e a formação de relações sociais.

19
TEXTO COMPLEMENTAR I
A APRENDIZAGEM E O ENSINO DA MATEMÁTICA – ABORDAGENS ATUAIS
1ª PARTE
Conferência proferida por Delia Lerner durante o 6º. Encontro Nacional de
Intercâmbio e Atualização Educacional, organizado por
"Novedades Educativas" - Argentina.
Tradução livre: Daisy Moraes
Quando pensava no título desta conferência, eu me perguntava: abordagens
atuais, de que ponto de vista? De que perspectiva da pesquisa didática? A partir
de nossas ilusões didáticas? A partir da perspectiva da realidade escolar do
ensino e da aprendizagem da Matemática?
Considerando a Didática da Matemática sem dúvida alguma como o modelo atual
dominante, o fator comum aos modelos que hoje são propostos é o de tomar
como eixo essencial a produção do conhecimento por parte dos alunos.
Do ponto de vista da realidade escolar a situação é outra: nela, coexistem todos
os modelos didáticos possíveis, claro que em proporções diferentes. E esse
modelo que na teoria didática é o predominante, certamente está muito longe de
sê-lo na prática da sala de aula.
Então, gostaria de me deter nos modelos didáticos que coexistem em sala de
aula. Para defini-los, deve-se considerar o essencial da situação didática, o
triângulo que configura o conjunto de relações entre três pólos: os alunos, o
objeto de conhecimento (o saber, o conteúdo), o professor e as ações que ele
realiza para gerar interações entre o sujeito e o objeto de conhecimento.
Roland Charnay propõe três modelos didáticos essenciais levando em conta como
cada um desses três pólos do triângulo didático é concebido. Um primeiro
modelo, que todos conhecemos (já que é certamente o modelo que já seguimos
como alunos), é o que ele chama modelo normativo centrado no conteúdo no
qual a função do professor é mostrar as noções , apresentá-las, dar exemplos
sobre o que se está ensinando, enquanto a função do aluno é, basicamente,
escutar as explicações do professor, estar atento e, em seguida, repetir os
procedimentos que o professor ensinou como válidos para resolver os problemas,
exercitar, aplicar aquilo que aprendeu. A concepção do saber vigente nesse
modelo é a de um que está pronto, construído, no qual o professor atua
simplesmente como um intermediário, que passa para as crianças esse saber já
elaborado e acabado (por outros).
Régine Douady (outra especialista em Didática da Matemática) caracteriza esse
mesmo modelo como uma seqüência de "exposição/exercícios". O professor
expõe, explica e depois os alunos exercitam, utilizando esse saber que foi
exposto.
O segundo modelo (que é necessário distinguir do terceiro, já que comumente
são confundidos, e um dos meus objetivos é que sejam claramente
diferenciados), caracterizado por Charnay, é o que ele chama incitativo. Esse

20
modelo está centrado no aluno e poderíamos relacioná-lo com o que caracterizou
a Escola Nova, a escola ativa. Para começar, o professor pergunta ao aluno sobre
seus interesses, suas motivações, suas necessidades; analisa o contexto do
aluno para poder detectar os aspectos que despertam seu interesse: o professor
escuta o aluno e o ajuda a utilizar fontes de informação. O aluno procura,
organiza a informação que vai encontrando, estuda, aprende. O saber está ligado
às necessidades do contexto, da vida cotidiana e a estrutura própria do saber
passa para segundo plano. As características e interesses do aluno, em função de
seu contexto, levam-no a tomar decisões sobre o quê e como se ensina. Então,
nesse modelo, as preocupações não estão centradas para que o aluno reconstrua
o saber social e cientificamente constituído. O ponto central é que a situação de
ensino-aprendizagem se torne interessante para o aluno, responda às suas
necessidades e interesses.
O terceiro modelo, que é o nosso, é caracterizado por Charnay como
apropriativo/aproximativo. É aproximativo no sentido de que se entende que, na
situação didática, vai ser possível que o aluno chegue a reconstruir o saber
socialmente constituído mediante aproximações sucessivas, não de uma só vez e
imediatamente, mas interagindo com o conteúdo de diferentes maneiras, e isso
lhe permitirá construir esquemas de conhecimento cada vez mais ajustados à
natureza do conteúdo.
Nesse modelo, propõe-se partir de concepções pré-existentes no aluno,
concepções específicas sobre esse conteúdo particular que está tentando
comunicar. Não se trata simplesmente de saber quais são os interesses e as
necessidades do aluno – como no segundo modelo – mas de saber e de fazer
intervir na situação didática aquilo que o aluno pensa a respeito desses
conteúdos que precisa comunicar, as conceitualizações, as hipóteses e a maneira
de abordar que os alunos, como sujeitos cognitivos, têm em sua relação com
cada um dos conteúdos. Em função disso, o professor proporá e organizará
séries de situações didáticas que apresentarão obstáculos, que questionarão as
concepções prévias dos alunos, de tal maneira que se torne possível que essas
concepções se aproximem progressivamente da natureza do saber científico ou
do saber socialmente constituído.
Também nesse modelo, a lógica, a natureza e a organização do saber em si têm
uma importância fundamental. Aqui, o aluno também pode testar, mas vai fazê-
lo no âmbito de situações didáticas especificamente elaboradas para que sejam
colocadas em jogo suas concepções e para que essas concepções se defrontem
com obstáculos que os obriguem a avançar. Vai debater com seus colegas,
defender seus pontos de vista com argumentos, questionar os pontos de vista de
outros, ou até mesmo os próprios, aqueles que ele havia defendido antes, com
argumentos que irá elaborando diante dos problemas que a situação didática lhe
apresenta. Esse terceiro modelo supõe a inversão do modelo exposição-
exercícios.
É preciso considerar qual é o lugar da situação-problemática no primeiro e no
terceiro modelo, um lugar absolutamente diferente e oposto.
No modelo normativo, que é o modelo do qual certamente fizemos parte como
alunos, os problemas – que geralmente são problemas com enunciado – servem
basicamente para aplicar o que o aluno aprendeu porque o professor ensinou,
entendendo "ensino" como a transmissão do conhecimento pronto. Por exemplo,

21
o professor explicou o que é multiplicação e como se faz para multiplicar e,
depois, propôs "problemas" de multiplicação, nos quais os alunos vão aplicar os
conhecimentos previamente ensinados.
No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o lugar do problema é o
lugar daquela situação que possibilita que os alunos construam um
conhecimento. Não é o lugar da aplicação de algo previamente ensinado, mas da
apresentação da questão que requer a elaboração de um conhecimento do qual
não dispunha previamente.
Essa mudança do lugar do problema e, geralmente, todas as características
desse terceiro modelo didático, obriga o docente a levar em conta oficialmente a
construção do saber por parte dos alunos, encarregando-se dos esquemas de
assimilação originais dos alunos e do estabelecimento de conflitos, de contra-
exemplos e de problemas que obriguem o aluno a construir conhecimentos que o
aproximem do saber.
No modelo normativo, e de certa maneira também no segundo modelo, no
incitativo, que podemos aproximar ao da Escola Nova, não se levam em conta a
organização do saber, nem as concepções específicas dos alunos sobre cada um
dos saberes a ser comunicado. O aluno fica sozinho com o problema de como
fazer para incorporar os conhecimentos que queremos que ele aprenda, a partir
dos esquemas de assimilação prévios que já possui.
No modelo aproximativo/apropriativo, ao contrário, o aluno não está sozinho. O
docente se encarrega "oficialmente" da assimilação do conhecimento e de
contribuir com ela. A primeira contribuição é pegar como ponto de partida as
concepções prévias dos alunos em vez de ignorá-la.
Retomando os três pólos do triângulo didático que utilizei até agora para definir
esses três modelos didáticos, gostaria de assinalar que, durante muito tempo,
desde os postulados didáticos, a ênfase tem sido dada em um desses pólos: o
aluno, sobretudo, em relação a seus interesses e necessidades e, mais
recentemente, em relação às suas conceitualizações.
O que está evidenciado, atualmente, são os conteúdos, os saberes. Isso me
parece bom, já que é imprescindível levar em conta a natureza e a organização
do saber que se está querendo comunicar.
Mas isso é bom sempre que não se reduz a problemática educativa à
problemática dos conteúdos, sempre que não nos esquece de que, como
demonstraram alguns estudos etnográficos, a forma também é conteúdo.
Verónica Edwards, uma pesquisadora chilena que trabalhou em pesquisa
etnográfica na escola, ao propor que a forma é conteúdo explicitou: Em sua
existência material, o conhecimento que se transmite no ensino possui uma
forma determinada, que vai sendo modelada na apresentação do conteúdo. O
conteúdo não é independente da forma sob a qual é apresentado. A forma possui
significados que são acrescentados ao conteúdo, produzindo uma síntese, um
novo conteúdo. A lógica da interação, a maneira como o docente interage com o
saber e gera situações para que o aluno interaja com o saber, reflete-se de
maneira decisiva em qual vai ser a conceitualização do conteúdo que a escola
realmente está comunicando.
Isso foi muito trabalhado na Didática da Matemática, particularmente por

22
Chevallard, mediante a noção de transposição didática na qual ele mostra como
os conteúdos vão se transformando. Ao se transformarem em objeto de ensino,
primeiro em nível curricular e depois no da sala de aula propriamente dita, vão
mudando de natureza. É importante, então, controlar a mudança, para que não
seja muito grande, para que continue se parecendo com o que se quer
comunicar, de modo que aquilo que os alunos estão aprendendo não se torne
totalmente diferente do saber socialmente produzido.
Ainda que seja crucial definir os conteúdos, não é menos crucial definir como
esses conteúdos vão ser trabalhados, para que, na escola, continuem sendo
aqueles que a sociedade espera que se comuniquem às futuras gerações.
Até bem pouco tempo atrás, dizia-se que o pólo que ocupava o primeiro plano
era o aluno. Hoje, é o conteúdo. E eu gostaria de me colocar, agora, no outro
pólo do triângulo, aquele que, de alguma maneira, todos nós aqui presentes
ocupamos: o lugar do professor.
É um lugar muito difícil, não só pelas condições de trabalho, mas pelas condições
didáticas que precisa cumprir quando quer trabalhar com o terceiro modelo.
O primeiro problema que o professor enfrenta no terceiro modelo, chamado
aproximativo/apropriativo, é o da devolução de problemas para o aluno. Aqui, o
problema é o ponto de partida para a construção de um novo conhecimento.
Antes, acreditávamos que era suficiente elaborar um bom problema, que fosse
significativo para os alunos, no qual pudessem aplicar conhecimentos prévios e,
ao mesmo tempo, que representasse um desafio para obrigá-los a construir um
novo conhecimento. Isso continua sendo assim, mas o que hoje está muito claro
é que tomar como ponto de partida a proposição de um problema está longe de
ser fácil em situação de sala de aula, porque em nossas salas de aula, de alguma
maneira, continua funcionando o contrato didático que funciona nas escolas em
geral, segundo o qual é o professor que deve transmitir o conhecimento e o
aluno deve escutar e aprender – modelo normativo; ou segundo o qual a
produção do conhecimento não é responsabilidade do aluno, mas algo que
surgirá graças à comunicação que o professor fará.
Então, o trabalho concreto em sala de aula vai mostrando que, na realidade, é
muito mais fácil revelar logo a verdade, dizer-lhes como é o conhecimento já
socialmente constituído do que tentar que os alunos o construam a partir da
resolução de problemas. Por isso, eu disse que o primeiro problema é como
devolver o problema para os alunos.
Como fazer para devolvê-lo e para manter a responsabilidade dos alunos na
resolução dos problemas? Isso foi estudado na Didática da Matemática. A própria
noção de "devolução" implica um reconhecimento da luta com a representação
social dos direitos e deveres dos professores e dos alunos em sala de aula.
Quando Brousseau propõe essa questão, diz que escolheu a palavra "devolução"
para se referir a uma das funções básicas do professor, tomando-a da
terminologia legal. Na França, a devolução era um ato que o rei exercia em
determinadas circunstâncias, pelo qual devolvia às Câmaras uma atribuição que
correspondia a ele por direito divino, mas que ele decidia não assumir e, sim,
delegar.
Que relação podemos estabelecer entre isso e o que acontece com o professor na
sala de aula? Para o professor, segundo o contrato didático vigente na maioria

23
das instituições escolares, corresponderia transmitir diretamente o
conhecimento, mas ele fará um ato de devolução e vai autorizar os alunos a usar
esse direito e construir o conhecimento. É imprescindível que o professor ceda
esse direito, porque os alunos não podem tomá-lo por si mesmos, pois isso não
faz parte do contrato didático vigente. Nessas condições é difícil que os alunos
mantenham a responsabilidade durante muito tempo. É comum que eles
perguntem: "Como se faz isso? Diga-me qual é a resposta".
Devemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual os alunos
aceitem que, durante um certo tempo, serão eles os responsáveis pela
construção, claro que com a ajuda e o apoio permanente do professor. E chegará
outro momento (isso também é função essencial do docente) no qual o professor
ratificará essa construção, completará, ajudará a estabelecer aquilo que os
alunos não tenham podido estabelecer por si mesmos.

24
MÓDULO I – QUEM SOU, QUEM SOMOS
TEMA
Todo processo de interação flui mais facilmente se as pessoas envolvidas
reconhecem o seu papel, o de seus interlocutores, o espaço, o tempo e
compreendem a situação na qual se encontram. Este módulo busca proporcionar
condições para que esses movimentos aconteçam.
RECURSOS UTILIZADOS
Equipamentos
Computador
Softwares e aplicativos:
Números em Ação
Introdução ao micro
Avaliação eletrônica
PowerPoint
Word
OBJETIVOS DE ENSINO
• Favorecer um ambiente agradável para apresentação dos alunos e do
professor, que proporcione uma atuação com base no respeito e na
valorização de cada membro da turma.
• Promover atividades nas quais os alunos interajam de forma cooperativa,
trabalhando coletivamente na busca e na apresentação de informações.
• Apresentar aos alunos a proposta educativa do projeto Números em Ação,
para que possam conhecê-la e envolver-se gradativa e ativamente nesse
processo de construção de conhecimento matemático.
• Favorecer a utilização da tecnologia como recurso que possibilita o trabalho
colaborativo e diferenciado das formas usuais de ensino-aprendizagem.
• Elaborar e organizar procedimentos de comunicação de dados e informações.
• Usar os recursos tecnológicos disponíveis, adequando-os à necessidade ou à
natureza da situação.
CONTEÚDOS
Atitudinais
• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos.
pontos de vista/idéias como fonte de aprendizagem.

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• Disposição em seguir as orientações dadas, desde as mais simples até as
mais complexas.
• Disponibilidade para trabalho colaborativo, percebendo a necessidade de
parceria no uso dos recursos e materiais coletivos.
ATIVIDADES/ESTRATÉGIAS DICAS
AULA 1
1º passo
Recepção dos alunos com uma música.
A sala estará preparada com os micros ligados, a
interface do projeto Números em Ação aberta e as
cadeiras dispostas em círculo.
2º passo
O professor se apresenta e fala um pouco de si.
3º passo
Os alunos se apresentam, usando a seguinte
estratégia:
• a turma é dividida em duplas;
• cada elemento da dupla tem dois minutos para
falar de si para o colega;
• o professor marca os dois minutos e bate uma
palma;
• o outro aluno fala de si, durante dois minutos;
• cada aluno se apresenta para a turma, como se
fosse o colega:
- Eu sou... (nome do colega)
- Gosto muito de...
- Tenho muita vontade de...
- As companhias que me deixam feliz são...
- Uma coisa muito engraçada que me
aconteceu foi...
- Outras coisas que queiram falar de si
nesses dois minutos
Professor, escolha a
música de acordo com
as preferências dos
alunos e a faixa etária
deles.
3º passo
Professor, sendo
necessário, os alunos
podem fazer anotações
para não esquecerem o
que foi contado pelo
colega. Porém, o mais
importante é garantir
um clima de
descontração durante a
dinâmica de
apresentação.

26
nesses dois minutos.
4º passo
Os alunos são convidados a conhecer rapidamente a
interface. Abrem, então, as aulas 1 e 2.
4º passo
Professor, aproveite o
momento para envolver
seus alunos e aguçar a
curiosidade,
despertando a vontade
de voltar na próxima
aula.
AULA 2
1º passo
Desenvolver com os alunos a dinâmica “Jogo dos
Quadrados”7
.
A turma será dividida em quatro grupos. Cada grupo
recebe um envelope contendo as peças de um quebra-
cabeça que formará um quadrado.
Os quatro quadrados juntos formam uma só figura.
Entretanto, ao preparar os envelopes, que serão
distribuídos para cada grupo, é preciso colocar em cada
um deles uma peça trocada.
Os alunos recebem as seguintes instruções:
1. Não abram os envelopes até que seja dado
um sinal.
2. Agora abram os envelopes e montem um
quadrado.
2º passo
Ao final da socialização da dinâmica, aproveitar o clima
instalado para fazer uma apresentação mais detalhada
do Projeto e do funcionamento da SAI no
desenvolvimento das atividades propostas no Números
em Ação. Dar ênfase à necessidade de colaboração
entre os alunos e o professor, para que essa proposta
de trabalho tenha êxito.
Professor, a Dinâmica
dos Quadrados deve ser
realizada com toda a
turma. Caso muitos
alunos faltem, antecipe
a aula 3 ou utilize as
atividades
complementares.
Reorganize o
planejamento para fazer
a dinâmica em outro
momento.
Professor, no Anexo 1
você encontra as peças
que compõe o quebra-
cabeça do quadrado.
Professor, os alunos
terão dificuldades de
montar um quadrado em
cada grupo porque
existem peças que estão
trocadas entre os quatro
grupos. O objetivo é que
eles percebam que só
realizarão a tarefa se
trocarem peças com os
demais grupos. Observe
se os grupos se ajudam
mutuamente, para o
sucesso da empreitada.
A tarefa só estará
cumprida quando
perceberem que é
possível montar um
único quadrado a partir
da produção dos quatro
7
Fonte: Adaptado de ANTUNES, Celso, Manual de técnicas de dinâmica de grupo de sensibilização de ludopedagogia, Petrópolis, Vozes,
6ª ed., 1993, p. 97.

27
grupos. Se necessário,
faça intervenções até
que os alunos
reconheçam a
orientação inicial: abrir
os envelopes e montar
um quadrado.
AULA 3
Nesta aula, os alunos têm um primeiro contato com o
micro, seu funcionamento, uso e cuidados.
1º passo
Os alunos iniciam a exploração do software
Introdução ao Micro.
Professor, o tempo
previsto para esta
atividade é de apenas
uma aula. É provável
que não seja possível
esgotar todas as
atividades nesse tempo.
Dessa forma, o software
ficará disponível como
atividade complementar,
para aqueles alunos que
tiverem interesse em
explorá-lo mais.
AULA 4 e 5
1º passo
Os alunos se organizam em grupos de 3, para discutir
sobre o projeto Números em Ação a respeito de:
1.expectativas comuns;
2.como gostariam de trabalhar no Projeto;
3.papéis de alunos e professores.
Para desenvolver essa atividade, inicialmente, os alunos
discutem e fazem um planejamento de apresentação no
caderno. Depois de pensada e organizada a proposta
será feita no PowerPoint.
2º passo
Os alunos mostram suas produções (apresentações).
Ao terminar essas aulas, os alunos devem fazer a
atividade do Termômetro para avaliar o grupo de
atividades desenvolvidas nas aulas de 1 a 5.
Professor, não havendo
recurso disponível como
o PCTV, utilize o rodízio
como estratégia para a
apresentação.

28
TEXTO COMPLEMENTAR II
A avaliação diagnóstica
Propósito
O propósito da avaliação diagnóstica é determinar as competências já
construídas pelos alunos das 5ªs e 6ªs séries, ao longo de sua escolarização,
sobre Sistema de Numeração Decimal e Cálculos. Propõe-se que esta avaliação
seja feita por meio do uso individual do software Avaliação Eletrônica cujas
características e funcionamento estão descritos a seguir.
Características das questões que comporão a avaliação diagnóstica
As questões que comporão a avaliação foram construídas com base na
adaptação dos descritores do SAEB e do SARESP. Foram concebidos e
formulados como uma associação entre os conteúdos curriculares e as
operações mentais desenvolvidas pelos alunos. São eles:
D1 – Reconhecer e utilizar características do SND, tais como: agrupamentos e
trocas na base 10 e princípio do valor posicional.
D2 – Resolver situações-problema que envolvam os significados das diferentes
operações, com números naturais e racionais, apresentados inclusive por textos
que incluam esquemas, listas, tabelas ou gráficos.
D3 – Utilizar procedimentos de cálculo mental exato ou aproximado, estimado ou
não, por meio de estratégias pessoais.
Os descritores selecionados são aqueles que dizem respeito a alguns conteúdos
conceituais e procedimentais que serão trabalhados no Projeto Números em
Ação, a saber:
• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND;
• os números naturais e seu uso social;
• os números racionais e sua representação decimal (a partir de seus
diferentes usos sociais: medidas de valor, comprimento, massa, capacidade);
• significado das operações fundamentais;
• leitura e interpretação de informações apresentadas em gráficos e tabelas;
• decisão sobre o uso de um tipo específico de cálculo (mental, escrito, com
calculadora), exato ou aproximado, em função da situação problema
apresentada
As avaliações A e B contêm, cada uma, 15 questões “espelhadas” ou
“equivalentes”. Isso significa que, para cada questão da avaliação A, existe uma
equivalente na avaliação B, que trabalha o mesmo conteúdo, por meio de uma
situação-problema que é praticamente a mesma e que pode ser resolvida
usando-se raciocínio semelhante ao da questão-espelho.

29
Essa estratégia permite que a avaliação seja aplicada em dois momentos
distintos, sendo um para cada metade da turma, com duração de 100 minutos,
garantindo assim seu caráter individual.
No ANEXO 2, estão descritas as 30 questões elaboradas para a avaliação
diagnóstica acompanhadas dos descritores correspondentes e das mensagens de
acerto e de erro. A resposta correta de cada questão está destacada em negrito
e em itálico.
Descrição do Software
Número de participantes: 1
Propósito
Determinar as competências já construídas pelos alunos das 5ª e 6ª séries sobre
Sistema de Numeração Decimal e Cálculos.
Componentes do software
O programa é composto por quatro módulos, a saber:
Cadastro de questões: aplicativo no qual as questões que comporão as
avaliações são cadastradas e editadas.
Avaliações e Relatórios: programa que permite criar avaliações,
definindo suas propriedades – quantidade e seleção de questões. É
também nesse módulo que são gerados os relatórios de desempenho
do aluno.
Importante!
O campo Tempo, existente nesse módulo, determina a duração da
avaliação. Se não for necessário delimitar o tempo para a realização da
avaliação, basta deixar esse campo em branco ou digitar 00:00.
Cadastro de alunos: este aplicativo possibilita cadastrar a escola e os
alunos que farão as avaliações.
Programa Avaliação Eletrônica: é o software propriamente dito, no
qual os alunos realizarão as avaliações. Antes de ser executado, é
necessário que todos os cadastros (avaliação, aluno, questões) tenham
sido feitos.
Quando o software é instalado na opção Servidor, cria-se, no Menu Iniciar –
Programas, a pasta Avaliação Eletrônica, com atalhos para os 4 módulos. Na
opção Estação, é criado apenas o atalho para a Avaliação Eletrônica.
Os módulos de cadastro são protegidos por senha (a mesma para todos), a fim
de que somente o professor e/ou o administrador do sistema tenha acesso a
eles. A senha inicial é escola e precisa ser digitada com todas as letras
minúsculas. Para alterá-la, basta acessar o módulo Avaliações e Relatórios e
selecionar o menu Senha do Administrador. Será, então, aberta uma tela para
confirmação da senha atual e cadastro da nova senha.

30
Para o uso no projeto Números em Ação, não será necessário fazer cadastro de
escola e alunos, pois esses dados serão obtidos do Cadastro Único. Além disso,
as avaliações A e B, propostas nas aulas 6, 7, 8 e 9, bem como suas questões, já
estão cadastradas. Dessa forma, não será preciso utilizar nenhum dos módulos
de cadastro antes de usar o software Avaliação Eletrônica.
Início da avaliação
Nas aulas 5 e 6, propõe-se que metade dos alunos realize a Avaliação A e, nas
aulas 7 e 8, que a outra metade realize a Avaliação B. Sendo assim, de acordo
com a aula em questão, o professor deverá orientar os alunos a resolverem a
avaliação A ou a B.
Ao iniciar o programa, os dados do aluno (escola, nome e RA) serão exibidos na
tela. Bastará que o aluno selecione uma das duas avaliações disponíveis (A ou
B), seguindo a orientação do professor.
O professor/administrador do sistema deverá, então, conferir os dados do aluno
(prova selecionada, escola, nome e RA). Se estiverem corretos, digitará sua
senha (a mesma utilizada nos módulos de cadastro da avaliação eletrônica), para
que o aluno possa iniciar a avaliação.
Questões
Apesar de todas as avaliações de mesmo tipo (A ou B) serem compostas pelas
mesmas questões, a ordem em que elas são propostas para o aluno é definida
de forma aleatória. Assim, as questões da avaliação A de um aluno não estarão
organizadas necessariamente na mesma ordem da avaliação A de outro.
Resolução da avaliação
Durante a resolução da avaliação, o aluno poderá navegar livremente pelas
questões, respondendo-as na ordem que desejar. Poderá, inclusive, repensar
suas respostas e alterá-las, caso seja necessário.
O programa só armazenará as respostas do aluno quando ele finalizar a
avaliação.
Gráfico de desempenho
Ao final da avaliação, exibe-se uma tela de desempenho, contendo o nome do
aluno, a quantidade de questões respondidas (correta/incorretamente) e não
respondidas e um gráfico da porcentagem de acertos e erros, em formato pizza.
Esse é o único retorno que o programa fornece para o aluno.
Término da avaliação
A avaliação eletrônica poderá ser finalizada de duas maneiras:
• Quando o botão Terminar for selecionado: nesse caso, o gabarito do aluno é
gravado na base de dados do programa e considerado nos relatórios gerados.
O aluno só poderá resolver novamente a mesma avaliação se for autorizado
pelo professor/administrador do sistema. Nesse caso, os dados da nova
avaliação substituirão os da antiga na geração dos relatórios, apesar de
ambos ficarem armazenados na base de dados do programa.

31
Quando o aluno clica no botão Terminar, o programa solicita que o professor
digite sua senha, validando o término da avaliação. Ou seja, uma avaliação só
pode ser encerrada com a aprovação do professor.
• Quando o botão Desistir for selecionado: nesse caso, as questões que o
aluno já tiver resolvido não serão armazenadas no banco de dados e seu
desempenho não constará nos relatórios fornecidos pelo programa. O aluno
poderá resolver novamente uma avaliação da qual desistiu, mas, para isso,
precisará da autorização do professor/administrador do sistema.
Relatórios de desempenho
Os relatórios gerados pelo programa Avaliação Eletrônica só podem ser
acessados pelo professor/administrador do sistema, no módulo Avaliações e
Relatórios (protegido por senha).
Atualmente, os dados das avaliações realizadas pelos alunos geram relatórios
organizados da seguinte maneira:
• Por prova:
Por alunos: selecionando-se a avaliação, é possível saber quais alunos a
realizaram, em que data, quanto tempo demoraram para finalizá-la
quantos acertos e erros tiveram e visualizar um gráfico comparativo dos
acertos e erros dos alunos que concluíram a avaliação selecionada.
• Por aluno: avaliação completa e reduzida para impressão
Avaliação completa: selecionando-se a avaliação e o aluno, este relatório
apresenta todas as informações da avaliação realizada: data, horário,
tempo gasto, descrição detalhada de todas as questões – enunciado e
alternativas, alternativa correta, resposta do aluno, situação da resposta
(certa, errada, questão não respondida), mensagem de erro/acerto,
descritor. Ao final do relatório, é gerado um gráfico de acertos e erros do
aluno na avaliação.
Reduzida para impressão: este relatório apresenta, de forma resumida, as
mesmas informações da avaliação completa. A diferença é que as
questões são identificadas apenas por seus números (o enunciado e as
alternativas de respostas não são detalhados no relatório).
• Geral da escola:
Por alunos: considerando-se todas as avaliações propostas e todos os
alunos que as fizeram, é possível saber quantas avaliações cada aluno
realizou, o número e a porcentagem de questões certas e erradas e
visualizar um gráfico comparativo dos acertos e erros dos alunos (em
todas as avaliações).
Posteriormente, será enviado às escolas um aplicativo que possibilitará a criação
de outros dois tipos de relatório, mais sofisticados, a saber:
1. Por aluno
• Número e Percentual total de acertos (em 15 questões acertou)
• Número e percentual de acertos e de erros, por descritor

32
• Indicação de mensagem de acerto e de erro por questão.
2. Por turma
• Percentual de acertos:
N = percentual de acertos
0 ≤ N ≤ 20
20 < N ≤ 40
40 < N ≤ 60
60 < N ≤ 80
80 < N ≤ 100
• Número e percentual de alunos com acertos em cada descritor
AULAS 6, 7, 8 e 9
Aplicação da avaliação nos alunos do grupo do dia:
Avaliação A: aulas 6 e 7
Avaliação B: aulas 8 e 9
Ao final de cada grupo de aulas, copiar, de cada
máquina, o arquivo vestsim.mdb, que se encontra em
“C:Arquivos de programasInfo EducacionalAvaliação
Eletrônica”.
Se as máquinas do laboratório estiverem conectadas
em rede, basta copiar o arquivo de mesmo nome, que
se encontra no servidor, no mesmo local. Esses
arquivos serão necessários posteriormente, quando for
enviado à escola o aplicativo que possibilitará gerar os
dois relatórios de consolidação dos dados.
Professor, a turma
precisa ser dividida em
dois grupos. Garanta um
dia de aula geminada
para que cada grupo
faça a avaliação do dia
correspondente.

33
MÓDULO II – OS NÚMEROS ATRAVÉS DOS TEMPOS
TEMA
Contar e escrever quantidades faz parte da rotina das pessoas. Será que sempre
foi assim? As atividades propostas neste módulo permitirão refletir sobre os
processos de desenvolvimento dos sistemas de numeração ao longo da história
da humanidade.
Mas por que trabalhar com os sistemas de numeração antigos? As
representações matemáticas, das mais simples às mais elaboradas, são
resultado de um processo histórico complexo. Analisá-las, compará-las e
relacioná-las ajudarão os alunos a explicitar e entender as regras de formação e
as características do sistema decimal de notação numérica que utilizamos hoje,
e a compreender por que é ele o sistema mais eficiente já criado pelo homem
para representar grandes quantidades e fazer operações por escrito.
Outra razão diz respeito ao vínculo existente entre a aprendizagem das
operações e a aprendizagem do sistema de numeração decimal (SND). O valor
posicional é um recurso muito utilizado para fazer cálculos mentais. Por
exemplo: para calcular 37 + 48 é possível fazer 30 + 40 e depois 7 + 8. Por
outro lado, para se avançar no entendimento das regras de formação do sistema
de numeração, é preciso fazer operações como, por exemplo, entender que 25 é
um número que pode ser representado pela operação 15 + 10. Assim, ao se
trabalhar o SND, o aluno avançará no entendimento das operações, da mesma
maneira que avançará no entendimento do SND ao trabalhar com as operações.
RECURSOS UTILIZADOS
Equipamentos
Computador
Software e Aplicativos
Números em Ação
Word
Paint Brush
PowerPoint
Outros materiais
Livros
Para pesquisa do professor sobre sistemas de numeração e numeração
indo-arábica
Os números: A história de uma grande invenção. Georges Ifrah. São Paulo:
Globo, 1985
Sistemas de numeração ao longo da história, Edwaldo Bianchini e Herval Paccola.
São Paulo: Moderna, 1997
A numeração indo-arábica. Luís Márcio Imenes. São Paulo: Scipione, 1993.
Atividades e jogos com números Marion Smoothey. Série Investigação
Matemática. São Paulo: Scipione, 1998.

34
Números - problemas, jogos e enigmas. David L. Stienecker. São Paulo:
Moderna, 1998.
No ambiente virtual
Vídeo
História dos números: das pedrinhas ao computador
Aula Multimídia Alterável
Sistema de numeração romano
Sistema de numeração egípcio
Sistema de numeração maia
Sites na Internet
Para uso do professor sobre sistemas de numeração
http://educar.sc.usp.br/matematica/l2t8.htm
http://www.inf.ufsc.br/ine5365/sistnum.html
http://users.hotlink.com.br/marielli/matematica/histomatica/histoari.html
http://pagpessoais.iol.pt/fornelos/matematica/BentoF/HFMbentofernandes.htm
http://www.mathema.com.br
Sobre jogos, para as atividades complementares
http://www.monica.com.br/diversao/games/senha/welcome.htm
http://sagres.mct.pucrs.br/museuvirtual/Jogos/jogos.html
http://www.jogos.antigos.nom.br/apres.asp
http://www.cercifaf.org.pt/mosaico.edu/ca/index_ca.htm
OBJETIVOS DE ENSINO
• Propiciar um ambiente rico em atividades significativas, desafios e
recursos tecnológicos que estimulem e favoreçam a aprendizagem do
sistema de numeração decimal.
• Criar oportunidades do conhecimento de outras culturas, por meio do
estudo dos sistemas de numeração criados pelo homem ao longo de sua
história.
• Orientar o aluno a buscar soluções de problemas de forma crítica, criativa
e cooperativa.
• Incentivar o uso da tecnologia, propiciando a familiaridade com aplicativos
e softwares educacionais.
• Estabelecer relações de semelhanças e diferenças entre as regras que
organizam os diferentes sistemas de numeração criados pelo homem e o
sistema de numeração decimal.
• Reconhecer a posicionalidade como característica fundamental do sistema
de numeração decimal ao transformar notações numéricas convencionais.

35
CONTEÚDOS
Conceituais
• Os sistemas de notação numérica ao longo da história da humanidade:
características, usos e relações com o sistema notacional decimal.
• Classes, ordens, valor posicional como elementos organizadores do SND.
• Notações numéricas convencionais.
Procedimentais
• Uso da escrita como instrumento de reflexão e/ou de representação.
• Elaboração de registros relativos às produções e às gravação dos mesmos
com uso do Word e do PowerPoint.
Atitudinais
• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e da
troca de pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem.
• Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos (vídeos e
animações) como fontes de informação importantes para a aprendizagem.
• Disposição em seguir as orientações dadas, objetivando o uso adequado
do software.
TEXTO COMPLEMENTAR III
2ª PARTE
Devemos trabalhar muito para chegar a instaurar um clima no qual as crianças
aceitem que, durante um certo tempo, serão elas as responsáveis pela
construção de conhecimento, claro que com a ajuda e com o apoio permanente
do professor. E chegará outro momento (isso também é função essencial do
docente) no qual o professor ratificará essa construção, completará, ajudará a
estabelecer aquilo que as crianças não tenham podido estabelecer por si
mesmas.
Gostaria de exemplificar com uma situação na qual esse clima já está bastante
solidificado e que, de alguma maneira, demonstra algumas intervenções do
docente para continuar devolvendo o problema no decorrer da situação didática e
não somente na proposta inicial da situação.
No trabalho que Patricia Sadovsky e eu estamos realizando, com a colaboração
de Susana Wolman, procuramos fazer com que as crianças cheguem a

36
compreender o sistema de numeração – em particular o valor posicional do
sistema – no âmbito de uma proposta que não toma como ponto de partida a
revelação da verdade, isto é, que não toma como ponto de partida o docente
ensinar dezenas e centenas e que façam agrupamentos explicitando que o valor
relativo dos números tem a ver com o lugar que ocupam, porque isso representa
diferentes agrupamentos, mas que toma como ponto de partida as concepções
das crianças e gera situações didáticas que tornam possível a interação com o
sistema, a produção e a interpretação de números, o vínculo entre o sistema de
numeração e as operações matemáticas.
Em uma atividade de segunda série, propusemos uma situação na qual
ditávamos um número e pedíamos às crianças que fizessem transformações na
calculadora. Por exemplo, para que 6.275 se transformasse em 6.075; para que
7.403 se transformasse em 7.003. Essa atividade foi bem interessante, porque
as crianças trabalharam bastante por tentativa e erro. Por exemplo, diante de
9.354 para que fosse produzido 9.054, primeiro sobraram três, depois sobraram
30 e depois, 300. A vantagem dessa situação é que ela é auto-verificadora, pois
como eles sabem que têm de obter um resultado na calculadora, sabem também
se a operação que fizeram está correta ou não, na medida em que lhes permite
ou não obter o resultado. O fato de gerar situações nas quais as próprias
crianças possam ver se o que estão fazendo está certo ou não, é crucial para
conseguir devolver o problema. Se toda atividade das crianças depende sempre
de que seja o professor que avalie o que está certo ou errado, perde-se
completamente a possibilidade de que sejam as crianças as responsáveis pelo
problema.
Em alguns casos, como neste, consegue-se que a própria situação permita que
as crianças verifiquem a correção ou não daquilo que estão fazendo. Em outros
casos é o professor que deve expor sua opinião depois, e ser aquele que tem de
continuar devolvendo o problema sem avaliar, para ir buscando outras maneiras
de validação, como, por exemplo, social por consenso entre as crianças.
Na situação que contava a vocês, eles discutiram algumas coisas: por que
haviam sobrado primeiro três e, depois, trinta? Como poderiam saber, antes, o
que deveria sobrar, sem fazer tantas tentativas? Algumas crianças encontraram
respostas que passaram pela denominação oral dos números. Patrício disse:
"Porque é 268; se quero que me apareça um zero no lugar do dois, tem de
sobrar duzentos, porque não estou dizendo 9.200? Não estou dizendo nem 20
nem 2. Então, o que deve ser tirado é duzentos."
As explicações eram basicamente essas.
Em seguida, realizamos outra situação com calculadora e propusemos a mesma
coisa, mas com números como 4.444, isto é, com números que fizessem com
que os alunos percebessem a diferença entre o que deveria sobrar conforme o
zero estivesse colocado no quatro de quarenta, no quatro de quatrocentos ou no
de quatro mil.
Estávamos procurando que eles conseguissem conceituar como faziam para
antecipar o que deveria sobrar. Essa antecipação estava vinculada ao valor
posicional do número que deveria sobrar, e procurava-se fazer com que as
crianças tivessem consciência disso.
Em seguida, propusemos outra situação em que pedíamos a eles que somassem

37
números redondos, encontrando a maneira mais rápida de fazê-lo.
Alguns exemplos das somas:
4.000+20+600+2
90+500+7.000
100+2+5.000
Uma vez que, individualmente, todas as crianças haviam resolvido as somas e
refletido sobre a maneira mais rápida de encontrar o resultado, começamos a
discutir. Todas as crianças estavam de acordo: para fazê-lo rapidamente, ele
deveria ser ordenado. Deveriam pôr primeiro os números maiores de cada soma,
ordenando do maior para o menor.
Observamos como procuramos devolver-lhes o problema, para que pudessem
continuar pensando sobre essa questão, em lugar de fechar rapidamente a
discussão.
Estabelecido o acordo, Santiago diz: "Eu não somei, eu tirei os zeros”. Como fez
isso?, pergunta a professora. Então ele vai até a lousa e escreve
1.000+500+80+6, risca os três zeros do mil, os dois do quinhentos e o zero do
oitenta e coloca 1.586, mostrando que o que fez foi pegar o primeiro número de
cada caso.
A professora diz:
É a mesma coisa se eu fizer isso: 500+1.000+80+6?
Então, tiro os zeros e fica assim: 5.186. A professora vai outra vez à lousa e diz:
Se eu escrevo 8+6+3+4, também sobra 8.634?"
Santiago: "Não, tem de haver zeros, se não, não serve."
Digo: "Então esta deve servir". Escrevo na lousa: 10+50+80+60=1.586.
As crianças gritam: "Não!"
"Mas tem zeros", digo.
Santiago diz que tem de haver mais zeros.
As crianças ficam muito desconcertadas, olhando e pensando. Então nós lhes
dizemos: "Santiago disse que não somou, mas tirou os zeros".
(As outras, sim, somaram, porque a maioria delas diante dessa situação havia
pensado o seguinte):
1.000+500 é: 1.000+ 100= 1.100
1.100+100=1.200 1.200+ 100= 1.300
1.300+100=1.400 1. 400+ 100= 1.500
e, depois
1.500+80 é:
1.500+10=1.510
1.510+10=1.520 '"

38
até chegar a:
1.570+ 10= 1.580
A maioria havia realmente somado todas as vezes, fazendo isso de 100 em 100
ou de 10 em 10, salvo quando somaram as unidades, logicamente).
Isso somente aconteceu nesse caso ou poderia acontecer em outros? As crianças
dizem que sim, que acontece em outros casos e dão os mesmos exemplos que
eles haviam resolvido antes.
A professora diz que devem, então, procurar descobrir quando os dois métodos –
somar e tirar os zeros – dão o mesmo resultado e quando não dão. Esse
problema fica para a próxima aula. Mas as crianças não querem sair para o
recreio e continuam olhando seus cálculos até que uma criança grita: "Não é a
mesma coisa quando tem um zero e o resultado”.
Então, ela coloca na lousa 5.000+80+4 e diz: "Se eu somo, isso dá 5.084, mas
se uso o método de Santiago, isto é, tirar zeros, dá 584".
Outras crianças mostram outros casos em que acontece a mesma coisa: existem
zeros no resultado, então, não funciona a equivalência dos dois métodos; não se
pode tirar os zeros para obter o resultado. Digo a eles: "Ótimo, acho que essa
regra funciona. Mas não entendo muito bem para que me serve saber que posso
usar o método de tirar os zeros quando existe zero no resultado e não quando
não existe zero, porque se quero usar esse método que é mais rápido, o
interessante é usá-lo quando ainda não sei o resultado. Se tenho de somar da
mesma maneira, primeiro para saber se tem ou não zero, para que isso me
serve? Esse problema fica proposto para a próxima aula". Mas as crianças não
querem esperar.
Santiago continua olhando as contas e depois de alguns minutos diz: "Já sei.
Para que funcione tem de haver nos dados um de três zeros, outro de dois zeros,
outro de um zero e outro de nenhum zero, se não, não funciona".
A professora diz que ele está no caminho certo. Bruno diz: "Ah! Mas se for assim,
esse método não serve para nada. Quantas vezes você vai ter um que tenha três
zeros, dois zeros, um zero e nenhum zero”?
A professora acrescenta: "Bruno diz que somente funciona para esse caso, então
não vale a pena, porque nem sempre encontraremos contas iguais a esta.
Contudo, se descobrirmos porque funciona nesse caso e não nos outros, então
vamos encontrar uma maneira que funcione em muitos casos. Pensem um
pouco. E agora, sim: isso fica para a próxima aula”.
Na aula seguinte, as crianças trazem algumas conclusões.
Estão discutindo sobre o 1.000+500+80+3 e Francisco diz: "Isso somente
funciona se antes de fazer isso a gente põe em ordem".
Pablo diz: "Se você começa pelo três, que é o menor, fica mais difícil de fazer,
mas você pode fazer assim mesmo".
Pablo coloca um exemplo 8.000+80 e diz: "Aqui tenho de colocar um oito aqui e
aqui" e mostra o lugar dos 1.000 e dos 10: "somente assim tenho o resultado

39
8.080. Se tiro os zeros, dá 8+8=16. Não pode ser assim".
Aqui começa a aparecer a idéia a que devem prestar atenção: são 1.000 ou
100. Santiago diz: "Estes números não. Tenho de ter 1.000, posso ter cem, ou
oitenta e o três". (Continua insistindo na sua posição)
Então pergunto por que está escolhendo esses números e ele diz:
"Escolho qualquer tipo de números."
"Ah, sim? Quais requisitos eles devem cumprir, Santiago?”.
"Sempre têm de ter um zero a menos e no final um número que não tenha
zero”.
"Espera um pouco" - diz a professora e escreve na lousa: 1.000+100+80+0,
"porque seu colega estava dizendo que poderia ter um zero no final".
"Ah, sim, pode ter um zero no final", diz Santiago.
"Claro, isso dá 1.180 e está certo", diz Patrício.
"Alguém entendeu"? , pergunta Santiago.
"Estou percebendo algo (diz a professora), mas não vou dizer”.- "Os zeros vão
diminuindo", diz Patrício.
“Não - diz uma criança - preste atenção que 80 e o 0 têm somente um zero."
"Estes têm três zeros; o 100 tem um zero a menos."
Diz Sol: "Por que será que Delia colocou um zero em vez de colocar um três?"
A discussão prossegue. Continuam planejando outras atividades até que se
consiga que as crianças elaborem uma conclusão: o que podemos fazer quando
temos números redondos é considerar diretamente, para elaborar o resultado,
qual é o número que irá ao lugar dos dez, dos cem ou dos mil, conforme o valor
representado na soma original.
Sem dúvida alguma, teria sido mais fácil revelar a verdade logo no início. Esse
processo durou quatro aulas, mas possibilitou às crianças chegarem à conclusão
que fez com que avançássemos muito na compreensão do valor posicional e seu
vínculo com as operações de soma e resto.

40
AULA 10
Nesta aula, os alunos usarão o vídeo História dos
números: das pedrinhas ao computador
8
que
está no CD de recursos. O trabalho com o vídeo tem
por objetivo iniciar os alunos no estudo dos antigos
sistemas de numeração, estudo necessário à
construção do empreendimento final que é a
elaboração de um novo sistema de numeração.
1º passo
Os alunos assistem ao vídeo História dos números:
das pedrinhas ao computador.
2º passo
De acordo com a estratégia utilizada, os alunos
apresentam e discutem as informações obtidas.
Professor, é importante
reforçar para os alunos que o
objetivo de cada aula que
trata de sistemas de
numeração, é que entendam
as regras de formação de cada
um desses sistemas. A partir
delas, poderão construir um
novo sistema de numeração,
que tenha novos símbolos e
novas regras de associação.
Professor, leve seus alunos a
explorar as informações
relativas a sistemas de
numeração contidas no vídeo.
Para isso, você pode criar
estratégias que considere
interessantes ou utilizar uma
das duas sugestões seguintes:
• Orientar os alunos que
façam anotações, no
caderno, sobre as
informações que acharam
mais relevantes e as
organizem no DOC para
salvá-las.
• Pedir aos alunos que se
dividam em grupos. Cada
grupo se encarrega de fazer
anotações, no caderno,
específicas dos diferentes
sistemas apresentados:
base 2, base 10, base 60,
numeração romana. Em
seguida, organizam as
informações no DOC para
salvá-las.
AULA 11
As aulas 11, 12 e 13 têm por objetivo relacionar as
regras e as características de três sistemas de
numeração antigos, determinando os princípios de
sua formação como referência para a elaboração de
um novo sistema de numeração (ativ. da aula 14)
Geral
Professor, incentive os alunos
a realizar as atividades
propostas, para que concluam
que nos sistemas de
numeração não basta
conhecer apenas os símbolos.
É necessário saber também as
regras de associação.
8
TV-Escola: Série Invenções e descobertas; Direção: Marie Annick Lê Guern; Duração:5’15”

41
1º passo
Os alunos resolvem as atividades propostas na aula
multimídia Sistema de Numeração Romano e
conhecem um pouco mais sobre as suas
características.
Professor, os alunos podem
navegar livremente pela aula
multimídia, para consultar os
valores dos símbolos e as
regras de associação, ao
resolver a atividade. A solução
do problema pode ser
apresentada aos alunos
clicando na tecla PgUp (Page
Up).
AULA 12
1º passo
multimídia Sistema de Numeração Egípcio e
conhecem um pouco mais sobre as características
desse sistema.
2º passo
Os alunos fazem um ditado de números que devem
ser escritos no sistema de numeração egípcio,
alternando a função de desafiador.
1º passo
Professor, oriente os alunos
para que encontrem
semelhanças e diferenças
entre o sistema de numeração
egípcio e o nosso, a fim de que
possam determinar os valores
de cada um dos símbolos
usados do sistema egípcio.
2º passo
Professor, lembre aos alunos
que eles podem consultar a
tabela dos símbolos egípcios
durante toda a atividade do
ditado. É importante chamar a
atenção de que quem propõe o
desafio deve saber resolvê-lo.
AULA 13
1º passo
multimídia Sistema de Numeração Maia e
conhecem um pouco mais sobre as características
desse sistema.
Geral
orientar os alunos para que
explicitem as semelhanças e
as diferenças entre os
sistemas de notação numérica,
principalmente em relação ao
sistema decimal, o que é
essencial para que
determinem os princípios do
sistema que criarão.
1º passo
a analisar a escrita dos
números que são
apresentados. A discussão
com o colega é fundamental

42
2º passo
Promover uma discussão sobre as informações que
obtiveram ao fazer a aula multimídia.
para que possam entender as
formas de representação no
sistema maia.
Professor, a base só é
vigesimal até o número 360. A
partir daí, os maias contavam
por ciclos de 360. O interesse
da contagem estava voltado
para o calendário que dividia o
ano em 18 meses de 20 dias,
num total de 360 dias. Para
maiores informações, leia as
informações das p. 654 a 667
do livro História universal dos
algarismos ,de Georges Ifrah,
tomo 1, Editora Nova
Fronteira.
2º passo
Professor, esse é um sistema
de numeração que envolve
regras bem diferentes das que
foram trabalhadas até aqui.
Sua ajuda será de grande
importância para que os
alunos se interessem em
conhecê-las e entendê-las.
Professor, a solução do
problema pode ser
apresentada aos alunos,
clicando em qualquer lugar da
tela e depois na tecla
Ins.(Insert).
AULAS 14 e 15
Geral
Professor, você pode encontrar
informações complementares
sobre sistemas de numeração
e numeração indo-arábica nos
sites:
http://www.inf.ufsc.br/ine5365/si
stnum.html
http://users.hotlink.com.br/mariel
li/matematica/histomatica/histoari
.html
http://pagpessoais.iol.pt/fornelos/
matematica/BentoF/HFMbentofern
andes.htm

43
1º passo
A partir das informações coletadas no vídeo e nas
aulas multimídia sobre os sistemas de numeração,
elaborar, com os alunos, um quadro comparativo que
explicite as semelhanças e diferenças desses
sistemas. Uma sugestão de quadro é:
Sistema
que
usamos
Sistema
Romano
Sistema
Egípcio
Sistema
Maia
Quantos e quais
símbolos
possuem
Base: de quanto
em quanto
conta-se
Princípios:
regras de
associação dos
símbolos
http://www.matematicasociety
.hpg.ig.com.br/sistema_de_nu
meracao.htm
http://educar.sc.usp.br/mate
matica/l2t8.htm
http://pessoal.sercomtel.com.
br/matematica/fundam/numer
os/numeros.htm
http://www.unifebe.edu.br/ter
esabotelho/digital/Sistnumera.
html
Livros:
"Os números: a história de
uma grande invenção",
Georges Ifrah. São Paulo:
Globo, 1985.
“Sistemas de numeração ao
longo da história”, Edwaldo
Bianchini e Herval Paccola.
São Paulo: Moderna, 1997.
“A numeração indo-arábica”
Luis Márcio Imenes. São
Paulo: Scipione, 1993.
“Atividades e jogos com
números” Marion Smoothey.
Série Investigação
Matemática. São Paulo:
Scipione, 1998.
“Números, problemas, jogos e
enigmas”, David L.
Stienecker. São Paulo:
Moderna, 1998.
1º passo
Professor, suas interferências
no momento da discussão são
importantes para que os alunos
criem um sistema de
numeração realmente novo.
Lembre-se de que a mera
substituição de símbolos não
constitui um novo sistema. É
necessário que os alunos
elaborem novas regras de
associação dos símbolos.
Os alunos podem fazer a
tabela utilizando o caderno,
em cartazes ou usando o DOC
(Word) ou PPT (PowerPoint).

44
A discussão pode ser encaminhada a partir da
questão:
- Para criar um novo sistema é suficiente criar
símbolos?
2º passo
Os alunos iniciam o trabalho de criação de um novo
sistema de numeração, utilizando Paint Brush ou
PowerPoint.
3º passo
Cada dupla apresenta seu trabalho, para análise e
validação dos sistemas de numeração criados.
3º passo
Professor, faça com que os
alunos analisem a eficiência
dos sistemas de numeração
criados.

45
MÓDULO III – DESAFIO DOS NÚMEROS
TEMA
O cálculo é parte integrante da história do pensamento humano e não é possível
fazer matemática sem ele. É necessário, então, repensar a forma de trabalhá-lo
na sala de aula. Acreditamos que não é suficiente pensar que calcular é fazer
contas com lápis e papel, já que existem formas mais significativas de se
desenvolver esse trabalho com os alunos. O cálculo mental e o uso de
calculadoras têm papel importante no desenvolvimento da competência de
cálculo dos alunos.
Fazer um cálculo mental significa efetuá-lo sem o apoio das contas
convencionais. Seu suporte está nas propriedades das operações e do
entendimento do valor posicional dos algarismos que formam os números.
Exemplificando: se tenho de adicionar 12 com 14 com 16 e com 19, posso
começar adicionando o 14 com o 16, encontrando o 30 para depois juntar o 19 e
depois o 12. Aqui, as propriedades comutativa e associativa são usadas como
recurso de cálculo. Já no caso de multiplicar 5 por 17, posso fazê-lo
multiplicando o 10 por 5 e depois o 7 por 5, ou seja, o valor posicional foi
importante para encontrar mentalmente o resultado.
Um aspecto importante para o desenvolvimento das aulas de cálculo mental é a
explicação, por parte dos alunos, de como pensaram. As estratégias devem ser
confrontadas e analisadas, para que as mais eficazes sejam determinadas. É
importante ressaltar que o cálculo mental exige experiência e por isso deve ser,
permanentemente, proposto em sala de aula.
O uso da calculadora na escola está deixando de ser um mito. As atividades
propostas desafiam os alunos a raciocinar de maneiras diversas, a investigar
matematicamente a situação-problema e a elaborar estratégias inusitadas e
diversificadas. A calculadora é utilizada como instrumento didático de reflexão e
de controle da aprendizagem. Uma de suas principais qualidades é a rapidez e a
facilidade com que se podem obter uma grande variedade de estratégias. Desta
maneira, os alunos terão em mãos um potente instrumento para fazer
conjecturas, verificar sua correção e fazer as modificações necessárias.
Calcular por escrito, armando as contas convencionalmente, é o ponto de
chegada do trabalho com cálculo e não o ponto de partida. Sabe-se que quando
o aluno se sente liberado de operar convencionalmente, sua atenção volta-se
para o raciocínio. As técnicas operatórias são importantes, apesar de serem a
repetição automática de ações que levam a um resultado esperado. Não devem
ser consideradas como o único recurso que se dispõe para que os alunos
aprendam a operar. Saber armar a conta no papel e resolvê-la não significa,
necessariamente, que se sabe subtrair, por exemplo.
É importante que os alunos representem seus cálculos de maneira livre e
discutam essas representações, para que possam se apropriar, com
compreensão e gradativamente, da técnica operatória convencional.

46
RECURSOS UTILIZADOS
Equipamentos
Computador
Software e Aplicativos
Números em Ação
Word
PowerPoint
No ambiente virtual
Games
Senha numérica
Jogo da Velha dos números
Alinhando números
Vira-latas
Aulas Multimídia Alteráveis
Caixa eletrônico
Supermercado virtual
Contas de adição
Contas de subtração
Animações
Calculadora com valor posicional
Caracol
Água do rio
Tecla estragada para adição
Tecla estragada para subtração
Sites na Internet
Para uso do professor
www.mathema.com.br
www.somatematica.com.br
OBJETIVOS DE ENSINO
Propor situações didáticas que:
- utilizam a calculadora como ferramenta de reflexão que permite o
desenvolvimento de estratégias de cálculo mental, com exploração das
propriedades do sistema de numeração decimal e das operações de soma
e subtração;
- possibilitam o confronto e a discussão permanentes dos dados indicados e
das diferentes estratégias elaboradas pelos alunos.
Auxiliar o aluno a expressar, cada vez mais claramente, seu pensamento e,
progressivamente, fazer uso da linguagem e dos registros convencionais da
Matemática.
Estimular o trabalho colaborativo para desenvolver a autonomia do aluno.
Incentivar o uso da tecnologia, propiciando a familiaridade com jogos
educacionais e animações para a solução de problemas matemáticos.

47
• Compreender e utilizar as regras do SND para leitura, escrita e comparação
de números naturais.
• Compreender os significados da adição e da subtração de números naturais.
• Propor diferentes estratégias ao resolver uma mesma situação-problema.
• Desenvolver diferentes estratégias de cálculo mental, escrito, estimado e
com calculadora.
• Utilizar as propriedades das operações e o valor posicional como recurso de
cálculo mental.
• Antecipar e verificar resultados de cálculos feitos.
• Analisar estratégias de resolução desenvolvidas por terceiros.
• Utilizar a estimativa como recurso para avaliação da adequação de um
resultado.
• Compreender os algoritmos convencionais da adição e da subtração, por
meio de análise de registros feitos por terceiros.
• Analisar algoritmos não-convencionais e convencionais de subtração.
• Utilizar as animações e os jogos como recursos de aprendizagem.
CONTEÚDOS
Conceituais
• Princípios de escrita de números naturais em um sistema
• Significados da adição e da subtração.
Procedimentais
• Uso da calculadora e da escrita como instrumento de reflexão e/ou de
representação.
• Uso das propriedades das operações como recurso de cálculo.
apresentada.
• Uso de editor de textos para registro das produções.
• Discussão em grupo.
Atitudinais
• Confiança em suas maneiras e estratégias para resolver problemas.
• Perseverança, esforço e disciplina no desenvolvimento de trabalhos que
envolvam a busca de resultados.
• Respeito à palavra do colega, valorização do trabalho em equipe e de troca
de pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem.
• Interesse em conhecer diferentes formas de resolver problemas.
Reconhecimento e valorização dos recursos tecnológicos (vídeos e
animações) como fontes de informação importantes para a aprendizagem.

48
TEXTO COMPLEMENTAR IV
SOBRE A CALCULADORA
Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz
Coordenadoras do Mathema
http://www.mathema.com.br
Desenvolver o sentido de número e capacidades como o cálculo mental e a
estimativa são objetivos que ficam extremamente valorizados nas aulas de
Matemática com a introdução da calculadora. Isso porque consideramos que
desenvolver um sentido sobre números é muito mais que fazer contas, é
construir uma rede de idéias, esquemas e operações conceituais que levem o
aluno a utilizar esses conceitos em uma ampla variedade de situações.
Uma nova forma de encarar o cálculo possibilita novas abordagens numéricas,
por meio de atividades que permitam ao aluno tirar todo o partido do uso da
calculadora, podendo investigar propriedades, verificar possibilidades de
manipulação, tomar decisões em contextos variados, tendo como efeito
importante e decisivo o desenvolvimento de uma atitude de pesquisa e
investigação nas aulas de Matemática.
Para que os alunos não fiquem dependentes da calculadora, nem a sub utilizem,
é necessário que aprendam a usá-la de forma correta, utilizando as
possibilidades abertas pelas memórias, teclas das operações e funções diretas,
porcentagens e raiz quadrada, só para falar das calculadoras simples; do ponto
de vista pedagógico, incentivando o seu uso problematizado, refletido e crítico de
forma a permitir a cada momento, analisar a razoabilidade dos resultados que a
calculadora fornece, fomentar o registro, sempre que necessário, dos passos
intermediários do desenvolvimento das estratégias, para que possam analisar
possíveis alterações a serem feitas em seus procedimentos de resolução de um
problema.
Defendemos a idéia de que, quando usada de modo planejado, a calculadora não
inibe o pensar matemático; pelo contrário, tem efeito motivador na resolução de
problemas, estimula processos de estimativa e cálculo mental, dá chance aos
professores de proporem problemas com dados mais reais e auxilia na
elaboração de conceitos e na percepção de regularidades. A utilização da
calculadora humaniza e atualiza nossas aulas e permite aos alunos ganharem
mais confiança para trabalhar com problemas e buscar novas experiências de
aprendizagem.

49
TEXTO COMPLEMENTAR V
PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS – MATEMÁTICA
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO: SIGNIFICADOS
O desenvolvimento da investigação na área da Didática da Matemática traz
novas referências para o tratamento das operações. Entre elas, encontram-se as
que apontam os problemas aditivos e subtrativos como aspecto inicial a ser
trabalhado na escola, concomitantemente ao trabalho de construção do
significado dos números naturais.
A justificativa para o trabalho conjunto dos problemas aditivos e subtrativos
baseia-se no fato de que eles compõem uma mesma família, ou seja, há
estreitas conexões entre situações aditivas e subtrativas. A título de exemplo,
analisa-se a seguinte situação:
“João possuía 8 figurinhas e ganhou mais algumas num jogo. Agora ele tem 13
figurinhas”9.
Ao observar as estratégias de solução empregadas pelos alunos, pode-se notar
que a descoberta de quantas figurinhas João ganhou, às vezes, é encontrada
pela aplicação de um procedimento aditivo, e, outras vezes, subtrativo. Isso
evidencia que os problemas não se classificam em função unicamente das
operações a eles relacionadas a priori, e sim em função dos procedimentos
utilizados por quem os soluciona.
Outro aspecto importante é o de que a dificuldade de um problema não está
diretamente relacionada à operação requisitada para a sua solução. É comum
considerar-se que problemas aditivos são mais simples para o aluno do que
aqueles que envolvem subtração. Mas a análise de determinadas situações pode
mostrar o contrário:
— Carlos deu 5 figurinhas a José e ainda ficou com 8 figurinhas. Quantas
figurinhas Carlos tinha inicialmente?
— Pedro tinha 9 figurinhas. Ele deu 5 figurinhas a Paulo. Com quantas figurinhas
ele ficou?
O primeiro problema, que é resolvido por uma adição, em geral se apresenta
como mais difícil do que o segundo, que freqüentemente é resolvido por uma
subtração. Pelo aspecto do cálculo, adição e subtração também estão
intimamente relacionadas. Para calcular mentalmente 40 - 26, alguns alunos
recorrem ao procedimento subtrativo de decompor o número 26 e subtrair
primeiro 20 e depois 6; outros pensam em um número que devem juntar a 26
para se obter 40, recorrendo neste caso a um procedimento aditivo.
9
As situações que aparecem como exemplos neste texto têm apenas a função de evidenciar os aspectos fundamentais e as diferenças
existentes entre os significados das operações. No trabalho escolar, elas devem estar incorporadas a outras, mais ricas, contextualizadas, que
possibilitem interpretação, análise, descoberta e verificação de estratégias.

50
A construção dos diferentes significados leva tempo e ocorre pela descoberta de
diferentes procedimentos de solução. Assim, o estudo da adição e da subtração
deve ser proposto ao longo dos dois ciclos, juntamente com o estudo dos
números e com o desenvolvimento dos procedimentos de cálculo, em função das
dificuldades lógicas, específicas a cada tipo de problema, e dos procedimentos de
solução de que os alunos dispõem.
Dentre as situações que envolvem adição e subtração a serem exploradas nesses
dois ciclos, podem-se destacar, para efeito de análise e sem qualquer
hierarquização, quatro grupos:
Num primeiro grupo, estão as situações associadas à idéia de combinar
dois estados para obter um terceiro, mais comumente identificada como
ação de “juntar”.
Exemplo:
— Em uma classe há 15 meninos e 13 meninas. Quantas crianças há nessa
classe?
A partir dessa situação é possível formular outras duas, mudando-se a pergunta.
As novas situações são comumente identificadas como ações de “separar/tirar”.
Exemplos:
— Em uma classe há alguns meninos e 13 meninas, no total são 28 alunos.
Quantos meninos há nessa classe?
— Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos. Quantas são as meninas?
Num segundo grupo, estão as situações ligadas à idéia de
transformação, ou seja, alteração de um estado inicial, que pode ser
positiva ou negativa.
Exemplos:
— Paulo tinha 20 figurinhas. Ele ganhou 15 figurinhas num jogo. Quantas
figurinhas ele tem agora? (transformação positiva).
— Pedro tinha 37 figurinhas. Ele perdeu 12 num jogo. Quantas figurinhas ele tem
agora? (transformação negativa).
Cada uma dessas situações pode gerar outras:
— Paulo tinha algumas figurinhas, ganhou 12 no jogo e ficou com 20. Quantas
figurinhas ele possuía?
— Paulo tinha 20 figurinhas, ganhou algumas e ficou com 27. Quantas figurinhas
ele ganhou?
— No início de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas. No decorrer do jogo ele
perdeu 20 e terminou o jogo com 7 figurinhas. Quantas figurinhas ele possuía no
início do jogo?
— No início de um jogo, Pedro tinha 20 figurinhas. Ele terminou o jogo com 8
figurinhas. O que aconteceu no decorrer do jogo?

51
Num terceiro grupo, estão as situações ligadas à idéia de comparação.
Exemplo:
— No final de um jogo, Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tinha 20
e Carlos tinha 10 a mais que Paulo. Quantas eram as figurinhas de Carlos?
Se se alterar a formulação do problema e a proposição da pergunta,
incorporando ora dados positivos, ora dados negativos, podem-se gerar várias
outras situações:
— Paulo e Carlos conferiram suas figurinhas. Paulo tem 12 e Carlos, 7. Quantas
figurinhas Carlos deve ganhar para ter o mesmo número que Paulo?
— Paulo tem 20 figurinhas. Carlos tem 7 figurinhas a menos que Paulo. Quantas
figurinhas tem Carlos?
Num quarto grupo, estão as situações que supõem a compreensão de
mais de uma transformação (positiva ou negativa).
Exemplo:
— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No
decorrer do jogo ele ganhou 10 pontos e, em seguida, ganhou 25 pontos. O que
aconteceu com seus pontos no final do jogo?
Também neste caso as variações positivas e negativas podem levar a novas
situações:
— No início de uma partida, Ricardo tinha um certo número de pontos. No
decorrer do jogo ele perdeu 20 pontos e ganhou 7 pontos. O que aconteceu com
seus pontos no final do jogo?
— Ricardo iniciou uma partida com 15 pontos de desvantagem. Ele terminou o
jogo com 30 pontos de vantagem. O que aconteceu durante o jogo?
Embora todas essas situações façam parte do campo aditivo, elas colocam em
evidência níveis diferentes de complexidade. Note-se que no início da
aprendizagem escolar os alunos ainda não dispõem de conhecimentos e de
competências para resolver todas elas, necessitando de uma ampla experiência
com situações-problema que os leve a desenvolver raciocínios mais complexos
por meio de tentativas, explorações e reflexões. Desse modo, o trabalho com as
operações deve ser planejado coletivamente pelos professores, não apenas para
ser desenvolvido nos dois primeiros ciclos, mas também na quinta e sexta séries.

52
TEXTO COMPLEMENTAR VI
3ª PARTE
Existem muitos outros problemas com os quais o professor se depara durante as
situações de sala de aula. Como, por exemplo, numa pesquisa que realizamos na
Venezuela já faz alguns anos. Em primeiro lugar, atrever-se a abordar situações
difíceis, que as crianças não sabem resolver de antemão; suportar a incerteza
que gera a situação em que as crianças estão tentando resolver algo que não
sabem e ser capaz de conter a insegurança das mesmas crianças, que não
podem chegar a uma boa resposta logo no início.
Outro problema apresentado a todo o momento para o professor é o que fazer
quando somente uma criança, ou apenas algumas dentre os trinta ou trinta e
cinco, já tem a solução, e os outros não sabem como abordar o problema ou
estão começando a fazê-lo, mas ainda estão bem longe de encontrar a solução.
Como o professor faz para trabalhar com a diversidade e para dar andamento à
situação, ajudando as crianças, mas sem substituí-los no trabalho de construir o
conhecimento? Como fazer para gerar, todo tempo, ação intelectual nas
crianças?
O professor também enfrenta o problema de determinar se pode sugerir-lhes
procedimentos de resolução ou se sempre deve se limitar a trabalhar com aquilo
que as crianças propõem: em que condições é conveniente propor algum
procedimento e em quais seria melhor não propô-lo.
Sintetizarei uma situação surgida no âmbito de um projeto no qual nós
estávamos trabalhando com diferentes crianças de segunda série, construindo
"problemários" – livrinhos de problemas – para fazer um intercâmbio entre os
diferentes grupos. Cada um ia mandá-lo a outro colega, para que fossem
devolvidos com os problemas resolvidos. Os problemas eram selecionados, às
vezes por nós, outras vezes pelas próprias crianças – tiravam de revista de
passatempo ou de livros – e outras vezes, eram enunciados que elas haviam
construído.
Uma vez, uma das crianças propôs o seguinte enunciado: "Sérgio já tinha em
seu álbum 104 figurinhas e comprou mais 120 bolívares (moeda venezuelana).
Quantas figurinhas ele tem no total”?
Em primeiro lugar, faltam dados nesse enunciado. Isso ficou bem interessante.
Esclareço que nós trabalhamos muito com enunciados nos quais faltavam dados.
Não estamos de acordo com a "cláusula regional" do contrato didático usual na
escola, no qual os enunciados de problemas devem ter todos os dados
necessários e somente esses. Acreditamos que isso possibilita que as próprias
crianças selecionem os dados pertinentes ou que procurem os dados necessários

53
para resolver o problema. Na vida real, os problemas não vêm pré-preparados,
somente com os dados necessários. Por isso, não nos espantamos de que o
enunciado elaborado por essa criança não estivesse completo do ponto de vista
dos dados. Ao contrário, achamos interessante como ponto de partida.
Outro problema que esse enunciado apresenta é que envolve uma multiplicação
e as crianças nunca haviam trabalhado com multiplicação. Poucos meses antes
do início da segunda série, estávamos trabalhando muito com soma e resto: a
multiplicação não havia sido trabalhada, embora estivesse em nossos planos
fazê-lo em breve. Por isso, decidimos utilizar esse enunciado para apresentar as
noções de multiplicação.
A primeira situação se referia à ausência dos dados necessários. Em seguida, as
crianças disseram que não dava para saber quantas figurinhas haviam sido
compradas. Uma delas perguntou como se resolvia isso.
• "Se sei quanto ele gastou, posso saber quantas figurinhas ele comprou?",
perguntou a professora.
• Não, elas responderam.
• "Eu acho que tem um jeito”.
Em vez de dizer que faltava um determinado dado, a professora interveio,
garantindo que era possível encontrar a solução e que, portanto, valia a pena
pensar e trabalhar o problema. Essa é outra maneira de devolvê-lo.
• "Se eu soubesse quanto custa a figurinha...”
• "Eu sei quanto custa: cinco bolívares”.
• "O pacotinho vem com quatro e custa cinco bolívares", disse uma menina.
• "Então podemos saber quantas podemos comprar com 120 bolívares?,
pergunta a professora.
• "Claro que sim", as crianças respondem.
A segunda seqüência dessa atividade, que aconteceu no mesmo dia, foi procurar
estratégias que permitissem responder à pergunta feita pelas crianças, que não
estava na formulação original: quantos envelopes de figurinhas podemos
comprar com 120 bolívares. O que podemos fazer para saber?
A criança que havia trazido o enunciado disse "Devemos somar as figurinhas que
vêm no pacotinho, então, seriam 24 pacotinhos".
• "E como você sabe que são 24?", diz a professora.
• "Porque eu os somei.”
• "Como você os somou”?
• "Com 100 bolívares podemos comprar 20 pacotinhos”.
• "Como você sabe?”?
• "Porque outro dia eu comprei com 50 bolívares e me deram 10 pacotinhos,
então, com mais 50, eles têm de me dar 20 pacotinhos. Com os 20 bolívares
que me restam, têm de me dar quatro”.

54
• "Quatro?", disse a professora. "Qual a opinião de vocês?"
Analisemos como a professora age diante de uma situação na qual o aluno que
trouxe é o único do grupo que possui a solução completa e as outras crianças
não conseguem responder às suas perguntas. O que faz a professora diante
dessa situação?
É claro que não diz: "Sim, muito bem. Viram crianças? Explique-lhes melhor
como você fez isso". Mas deve dizer: "Vamos ver o que pensam os outros”.
• "Quanto custava cada pacotinho”?
• "Cinco”.
• "Como vamos fazer para saber quantos pacotinhos podemos comprar com
cinco ou vinte bolívares”?
Ninguém se manifesta. Então, a professora sugere:
• Podemos ir anotando algo no papel para saber quantos pacotinhos podemos
comprar com vinte bolívares?
Então, alguém diz: "Ah, claro, podemos anotar." E começa a fazer uma
tabelinha. "Com cinco bolívares, um pacotinho."
Kemi acrescenta: "Com dez bolívares, dois pacotinhos”.
Miguel Angel: "Com quinze bolívares, três pacotinhos”.
5 BS – l pacotinho
10 BS – 2 pacotinhos
15 BS – 3 pacotinhos
E assim, sucessivamente, até que chegaram a cinqüenta bolívares. Gostaria de
assinalar que, em lugar de ratificar logo de início a solução correta proposta pela
única criança que a conhecia, a professora devolveu o problema para o grupo.
Como não sabiam o que fazer, em vez de dar a resposta, fez uma sugestão,
propôs uma possível ajuda, um recurso material: escrever o que se sabe e ver se
a partir disso que se sabe, pode-se inferir ou calcular o que não se sabe.
A professora poderia, diante dessa situação, ter agido de outra maneira. Poderia
ter dado outro trabalho que já sabiam e ter continuado trabalhando com os
outros até que refizessem a questão. Poderia ter pedido à criança que trouxe o
problema que o representasse por escrito, que o fizesse por sua própria conta,
sem intervir no grupo. Também poderia ter pedido que tentasse participar da
discussão sem invalidar aquilo que seus colegas estavam dizendo - que é o que
ele efetivamente faz. A única coisa que nunca tínhamos feito era aceitar de início
a solução correta dada por uma ou por algumas crianças, porque isso teria,
necessariamente, provocado o desinteresse dos demais, e somente aprenderia o
único que não necessitava aprender, porque já tinha aprendido antes.
Outra questão muito interessante que aconteceu nessa situação é que, ao longo
dela, apareceram problemas que a criança que trazia o enunciado não tinha
resolvido e outros que os demais podiam ajudar a resolver.

55
Enquanto contavam quantas figurinhas havia, o menino que propôs o problema
errou ao contar, porque estava contando de uma maneira pouco econômica e,
conseqüentemente, todos os outros obtiveram resultado diferente do dele. Como
até aquele momento era ele quem sabia tudo de antemão, insistiu em dizer que
o que as outras crianças diziam estava errado. A professora perguntou se era
possível que todos tivessem se enganado e ele reconheceu: "Talvez eu tenha me
enganado". A professora sugeriu que revisassem em conjunto e, enquanto as
crianças contavam de quatro em quatro, ela disse: "Acho que assim será muito
difícil não se enganar. Por que não encontramos uma maneira mais rápida para
contar e que seja menos arriscada?" Várias crianças propuseram que, em vez de
contar de quatro em quatro, juntassem "os quatros" de dois em dois e, então,
contassem de oito em oito; e depois, juntassem "os oitos" de dois em dois e
contassem de dezesseis em dezesseis etc. E iam anotando quantas figurinhas e
quantos envelopes havia em cada caso, o que fez com que eles chegassem ao
resultado mais rapidamente e com menos erros. Como docentes, o que fazer
quando as crianças não encontram um procedimento melhor? Podemos sugerir
ou não?
A professora encontra, aqui, uma solução que não é nenhuma das duas: não
sugere um novo procedimento, e tampouco fica inativa; pergunta se eles não
podem encontrar um procedimento menos trabalhoso. Dessa maneira, informa
que existe um procedimento melhor que não estavam utilizando e os incita a
procurá-lo. Em outros casos, a professora pode propor, diretamente, algum
procedimento, desde que não o faça com o peso de sua autoridade, mas
dizendo, por exemplo: "Em outro grupo... ou "uma professora me contou que
um menino propôs que fosse feito assim... O que vocês acham"?
Desse modo, consegue-se que as crianças discutam sobre os procedimentos,
enquanto que, se um procedimento deixa transparecer a autoridade do docente,
é muito difícil que as crianças possam discuti-lo. Elas aceitarão, mesmo quando
não possam refazê-lo.
Podemos perceber mediante esses registros que a intervenção do docente é
essencial para conseguir que todas as crianças adquiram confiança em suas
próprias possibilidades como produtoras de conhecimento. Isso é fundamental no
modelo didático que tentamos colocar em prática.
Ao não julgar precipitadamente a correção ou incorreção das respostas das
crianças, ao conduzir a situação de tal maneira que todos se vejam levados a
defender e a analisar criticamente suas proposições, ao ratificar o que está
correto somente quando os diferentes pontos de vista foram suficientemente
discutidos pelo grupo, estamos contribuindo para derrubar o mito escolar que
estabelece uma barreira entre bons e maus alunos, mas, além disso, estamos
contribuindo para tornar possível um tipo de interação com o objeto de
conhecimento que permite que as crianças questionem a posição de outros e
sobretudo suas próprias proposições; que tenham um enfoque crítico em relação
aos procedimentos que estão sendo propostos por todos os membros do grupo e
que necessitem buscar argumentos para justificar seus procedimentos, em vez
de pensarem que algo está correto somente se a professora assim o disser.
Desse modo, torna-se possível cumprir com o sentido fundamental que, com
toda certeza, tem o ensino da matemática na educação obrigatória.
Como assinala Brousseau: "Ensinar matemática no âmbito do ensino obrigatório

56
não é só ensinar os rudimentos de uma técnica, nem sequer os fundamentos de
uma cultura científica. A matemática, nesse nível, é o primeiro e o mais
importante domínio no qual a criança pode aprender os rudimentos da gestão
individual e social da verdade. Aprendem, ou deveriam aprender, enquanto lhes
ensinamos matemática, não só os fundamentos de sua própria atividade
cognitiva, mas também as regras sociais do debate e das decisões pertinentes:
como convencer respeitando o interlocutor, como se deixar convencer por
outros, contra o próprio desejo ou o próprio interesse, como renunciar à
autoridade e à sedução."
Ou seja, como trabalhar com o conhecimento de uma maneira crítica, da
maneira que é necessário trabalhar em uma sociedade democrática.
Algumas perguntas feitas a Delia Lerner pelos professores que assistiam
à conferência
Retomando nosso currículo: nos exemplos citados, o tempo que as crianças
tiveram para resolver essas situações é compatível com o tempo imposto pelo
nosso trabalho cotidiano?
O segundo exemplo ao qual fiz referência levou duas reuniões de duas horas.
Mas, ali, o problema não está funcionando como um problema particular, mas
como a situação didática mediante a qual se começa a trabalhar um campo
conceitual, que é o da multiplicação.
Não proponho trabalhar um número infinito ou problemas utilizando duas aulas
para cada um deles. O que deve ser feito é dar o tempo necessário para a
construção do conhecimento. Situações que são disparadoras da construção de
determinado conhecimento necessariamente levam tempo e o tempo que não for
utilizado no momento adequado, possivelmente será utilizado depois, para
corrigir os erros ou sanar dificuldades que poderiam ser evitadas se
houvéssemos dedicado um tempo maior para se construir o conhecimento.
O problema do tempo na escola é muito importante. Existem estudos muito
sérios em Didática da Matemática sobre a pressão que ele exerce na escola. É
uma das variáveis institucionais que determinam muitos dos acontecimentos.
O problema é pensar como administrar o tempo. É perfeitamente possível, na
escola, administrar o tempo de maneira diferente da habitual, com o projeto
curricular que temos ou que teremos. Mas o que se deve fazer é uma
hierarquização do que é imprescindível que as crianças construam e o que o
professor pode complementar, porque sabe que, com o que reconstruiu, existe
esquema de assimilação suficiente para entender outras coisas.
Não gostaria de transmitir a idéia errada de que trabalhar segundo esse modelo
(o aproximativo/apropriativo) leva muito mais tempo que trabalhar segundo o
modelo normativo tradicional. Não é isso. O tempo é distribuído de outra
maneira. O tempo usado no modelo tradicional para repetir e repetir exercícios
sobre algo que não se entende, neste modelo é usado para compreender e não
precisar repetir tantas vezes. O tempo usado no modelo tradicional para
recuperar muitas crianças que têm dificuldades de aprendizagem, neste modelo
é usado para propor problemas mais interessantes e instigantes. Existem menos

57
dificuldades. Não quero dizer que estão erradicadas pelo fato de que nos
encarregamos dos esquemas de assimilação das crianças e procuramos avançar
partindo de onde elas se encontram, em vez de obrigá-las a pular, bruscamente,
para o lugar onde nós estamos. As dificuldades que aparecem são bem menores
em número de crianças e muito mais leves.
Como fazer para manter o que foi aprendido, exercitando-o adequadamente, de
modo que os exercícios não sejam repetitivos, tediosos e chatos para a criança?
Tanto nas primeiras séries como nas últimas, assim como em qualquer nível do
ensino, é necessário passar por situações de "familiarização" com o novo
conhecimento. Essa denominação é de Régine Douady, que em vez de dizer
"exercitação", fala de "familiarização" com esse novo conhecimento. A
familiarização se faz frente a situações que não se repetem sempre da mesma
maneira: os contextos aos quais se referem variam, assim como as variáveis
numéricas que incidem, que são propostas como dados e o conteúdo ao qual o
problema se refere. Não é um problema, porque não vai gerar um novo
conhecimento, mas vai gerar o uso predominante de algo que já foi construído,
indo ao encontro de certas variações na proposição da situação.
Douady diz que essa familiarização tem como objetivo que o novo se transforme
em velho e o uso mais importante desse conhecimento velho é o uso que se fará
dele para resolver novos problemas, nos quais terá de construir novos
conhecimentos, mas sempre envolvendo a utilização dos conhecimentos
anteriores. Para que alguma coisa seja uma situação problemática para uma
criança ou para um grupo, tem de cumprir dois requisitos fundamentais: o
primeiro é ser relevante no campo de conhecimentos da criança. Isto é, ele tem
de ter esquemas prévios que já construiu, a partir dos quais abordará e
compreenderá o novo problema. Por isso, um problema sempre coloca em ação
os conhecimentos anteriores e essa não é uma maneira chata nem repetitiva de
retomar os conhecimentos anteriores.
Outro requisito para uma situação problemática é que o conhecimento velho não
seja suficiente e que deva construir um novo; que o conhecimento velho leve a
dar uma primeira solução para o problema, mas que essa solução não seja a
mais satisfatória, econômica, melhor ou correta e, então, deve construir outro
conhecimento.
O que acontece quando, numa classe com muitas crianças, é sempre um grupo
que está disposto a resolver os problemas? Como o professor pode ajudar
aqueles que têm menos possibilidades de responder, para que eles se
aproximem mais do conhecimento válido?
É um problema importante, contra o qual lutamos didaticamente. Deve-se evitar
que sejam sempre as mesmas crianças que conduzem a classe e que os demais
não possam reconstruir o conhecimento.
Vou responder a partir de minha experiência. No início, isso me aconteceu muito,
porque dava muito espaço para a atividade em pequenos grupos e para a
atividade coletiva. A primeira maneira – e acredito que a mais efetiva para evitar
isso – é fazer, quando necessário e conforme o problema proposto, com que

58
cada criança pense, primeiro sozinha, de tal maneira que, quando o pequeno
grupo se forme ou se discuta no grupo maior, cada uma delas já tenha elaborado
algumas respostas.
Outro aspecto é que os grupos, na medida do possível, sejam bem pequenos,
preferencialmente duplas, porque quando se trabalha de dois em dois, cada um
está mais comprometido com a tarefa, sente-se muito mais obrigado a intervir e
é muito mais difícil que tudo seja delegado ao líder.
É importante que as duplas não sejam estáveis, mas que todas as crianças
sejam desafiadas a se defrontar com o tipo de interação particular que irá
estabelecer com outra, que está em um momento diferente do seu, trabalhando
com todas as diferentes variações e não com uma só maneira.
Também se deve ir criando um compromisso progressivo do grupo enquanto tal,
no sentido de que estamos todos juntos na classe para aprender e que não basta
somente três aprenderem – todos precisam aprender – então, todos nos
comprometemos com a aprendizagem do grupo.
Aqui, é importante dar um espaço para a avaliação em grupo e que existam
critérios claramente explicitados, para todos os membros do grupo, em função
dos quais ele, periodicamente avaliará se está funcionando como devia, do ponto
de vista da cooperação na construção do conhecimento.

59
AULA 16
O objetivo desta aula é fazer com que os alunos
utilizem a calculadora como instrumento de
análise e interpretação de escritas numéricas,
visando à agilização do cálculo.
1º passo
Orientar os alunos na “brincadeira” sobre valor
posicional, solicitando que assistam à animação
Calculadora para valor posicional e façam as
atividades propostas. Por meio delas, eles
transformam números, usando uma calculadora.
2º passo
Os alunos apresentam os desafios elaborados e as
estratégias utilizadas para resolvê-los.
Os registros dos desafios propostos nessa aula devem
ser feitos utilizando os recursos DOC e PPT disponíveis
na tela final da animação.
Geral
Professor, no site
www.mathema.com.br
(clicar em Ensino Fundamental
1ª a 4ª, Tecnologia,
Pesquisando com calculadora)
você encontra outras
sugestões de atividades que
exploram a escrita de números
por meio de operações.
Professor, a navegação da
animação Calculadora para
valor posicional está
programada para ser feita da
seguinte maneira:
• sempre que o aluno clicar
no botão Voltar, a
animação retrocede para o
início do desafio em curso;
• quando quiser voltar para
um desafio anterior, o aluno
deve clicar no botão
Reiniciar e depois no
botão Avançar para ir ao
ponto que deseja.
estimular os alunos a
realizarem esta atividade, no
primeiro momento, de forma
individual.
Encontramos, nos grupos de
alunos, alguns que quase
nunca se expressam ou outros
que monopolizam o trabalho.
Se o aluno tem um tempo
para pensar, chegará para a
discussão coletiva com alguma
idéia esboçada. Isso ajuda a
reforçar um ambiente de troca
entre os alunos, no sentido de
que estão juntos para que
todos aprendam e não
somente alguns.
Proponha, então, a todos da
turma uma discussão sobre
cada uma das situações
apresentadas.

60
TEXTO COMPLEMENTAR VII
POR QUE E PARA QUE UTILIZAR JOGOS NO ENSINO DE MATEMÁTICA 10
Júlia Borin
Na introdução, ao longo do relato de nossa experiência com alunos, citamos
alguns dos objetivos da utilização de jogos no ensino. Mas, nesta parte do livro,
queremos enfatizar os objetivos mais específicos ao ensino de Matemática, por
isso, em alguns momentos, seremos propositadamente repetitivos.
Como já dissemos, queremos salientar que a atividade de jogar, se bem
orientada, tem papel importante no desenvolvimento de habilidades de raciocínio
como organização, atenção e concentração, tão necessárias para o aprendizado,
em especial da Matemática, e para a resolução de problemas em geral.
Os jogos auxiliam também na descentralização, que consiste em desenvolver a
capacidade de ver algo a partir de um ponto de vista que difere do seu, e na
coordenação dessas opiniões para chegar a uma conclusão.
Também, no jogo, identificamos o desenvolvimento da linguagem, criatividade e
raciocínio dedutivo, exigidos na escolha de uma jogada e na argumentação
necessária durante a troca de informações.
De fato, quando analisamos o comportamento e a atividade mental de um
jogador disposto a ganhar, verificamos que a postura é a mesma de um cientista
em busca de solução para um problema. Os dois, inicialmente, partem para uma
experimentação ou tentativa para conhecer o que defrontam, sem muita ordem
ou direção. Após essa fase, como numa investigação científica, coletam os dados
que podem influenciar ou alterar as várias situações e formulam hipóteses que
precisarão ser testadas. Estabelecida uma hipótese, partem para a
experimentação ou jogada e observam o que acontece. Se for necessário,
reformulam as hipóteses feitas e realizam nova verificação. A cada tentativa
usam as conclusões obtidas e os erros cometidos para orientar as novas
hipóteses até certificarem-se da resposta precisa para o problema original, o
que, no caso do jogo, significa ter uma boa estratégia para vencer.
Todas as habilidades envolvidas nesse processo, que exigem tentar, observar,
analisar, conjecturar, verificar, compõem o que chamamos de raciocínio lógico,
que é uma das metas prioritárias do ensino de Matemática e característica
primordial do fazer ciência.
Em relação ao ensino de Matemática, dentre as diversas habilidades que
compõem o raciocínio lógico, os jogos, especialmente os chamados estratégicos
como veremos adiante, têm como meta o raciocínio dedutivo. O raciocínio
dedutivo aparece com maior clareza na escolha dos lances que se baseia tanto
nas jogadas certas quanto nas erradas e que obriga o jogador a elaborar e a
reelaborar suas hipóteses a todo momento.
10
Texto retirado de Jogos e resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas de Matemática. Série CAEM,
vol. 6. São Paulo: CAEM/USP, 1995.

61
AULAS 17 e 18
O objetivo destas aulas é trabalhar com o conceito
de número como sendo um código.
1º passo
Os alunos assistem ao tutorial do game Senha
numérica, interpretam as regras e iniciam o jogo.
2º passo
Depois de algumas jogadas, propor aos alunos as
seguintes questões:
1. Que estratégias vocês utilizaram para ganhar
o jogo?
2. Qual dessas estratégias é a mais eficiente
para decifrar a senha?
3º passo
Em pequenos grupos, os alunos testam as
estratégias explicitadas para analisar e validar a
eficácia das mesmas.
2º passo
Professor, para que os alunos
apontem as estratégias mais
eficientes é preciso que eles as
experimentem. Por isso, as
discussões devem ser feitas
em pequenos grupos.
AULAS 19 e 20
O objetivo destas aulas é trabalhar com a
composição e a decomposição de números,
necessárias à compreensão do valor posicional.
1º passo
Os alunos exploram a animação Caixa Eletrônico
e fazem as atividades propostas.
2º passo
Estabelecer uma mesma quantia que deverá ser
decomposta pelas duplas, usando o Caixa
Eletrônico, propondo as seguintes situações:
1º passo
Professor, deixe que os alunos
explorem todas as
possibilidades. Aquelas que
cumprem o que é solicitado
devem ser consideradas.
Professor, lembre-se de que é
possível retirar até 800 reais e
que as cédulas a serem
utilizadas, em cada retirada, já
estão determinadas.

62
•valores estabelecidos pelo professor, para toda a
turma;
•valores estabelecidos pelo professor, para toda a
turma, usando a menor quantidade possível de
cédulas.
Ao final de cada situação proposta, os alunos
discutem as várias possibilidades encontradas, com
toda a turma.
AULA 21
1º passo
Os alunos assistem ao tutorial do Jogo da Velha
com números, interpretam as instruções e regras,
e iniciam o jogo.
Professor, esse é também um
jogo de estratégia. Incentive
os alunos a explicitarem os
procedimentos criados para
ganhar o jogo.
AULAS 22 e 23
Nestas aulas, os alunos fazem cálculos estimados.
Para desenvolver essa habilidade, é preciso que
explicitem e discutam as estratégias utilizadas para
ganhar o jogo.
1º passo
Os alunos trabalham com o Alinhando números,
conforme indicado no tutorial.
2º passo
Depois de algumas rodadas, pedir aos alunos que
comentem as estratégias utilizadas ao jogar. Assim,
eles podem desenvolver novos procedimentos para
estimar.
atividades desenvolvidas da aula 16 a aula 23.
2º passo
Professor, uma forma de
encontrar o resultado é
adicionar os algarismos das
unidades. Por exemplo, se a
operação for 234 + 378, o
aluno deve procurar no
tabuleiro os números que
terminam em 2, pois este é o
último algarismo do resultado
de 4 + 8.

63
AULA 24
Nesta aula, os alunos resolvem problemas não-
convencionais, cujas soluções, na maioria das vezes,
não dependem somente de operações. Atividades
dessa natureza propiciam o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas e de argumentar.
Para isso, é preciso que façam conjecturas,
oponham-se, contestem e demonstrem as hipóteses
levantadas.
1º passo
Os alunos resolvem os problemas propostos nas
animações Caracol e Água do rio.
2º passo
Promover a discussão das soluções encontradas
para os problemas.
Professor, no site
www.somatematica.com.br
você encontra a simulação de
muitos problemas que
envolvem a mesma situação
da animação Água do rio. Para
isso, é preciso que seja feito o
cadastro, que é gratuito, e
clicar em material de apoio
softwares matemáticos
jogo das garrafas.
utilizarem diferentes formas
de resolução das situações-
problema propostas. Lembre-
se que dramatizar ou fazer
desenhos além de serem
formas de representar as
soluções encontradas são,
também, recursos de
resolução de um problema.
Professor, é importante que os
alunos troquem idéias e
esgotem as possibilidades de
resolução das situações
apresentadas. Caberá à turma,
a partir de sua ação
mediadora, validar ou não as
soluções apresentadas.
2º passo
Professor, para cada
problema, após a discussão
dos resultados, lembre-se de
mostrar aos alunos que,
acionando a tecla de atalho a
animação continua,
apresentando a respectiva
solução.
Para a animação do Caracol,
digite a tecla ! (Shift 1) para
a da Água do rio digite a tecla
# (Shift 3).

64
AULA 25
Nesta aula, os alunos têm a oportunidade de fazer
cálculos mentais envolvendo adições ou subtrações.
1º passo
Os alunos assistem ao tutorial do game Vira-latas,
interpretam as instruções e as regras, e iniciam o
jogo.
2º passo
Ao final de algumas partidas, solicitar que
descrevam a estratégia utilizada para encontrar os
resultados sorteados. Analisar com eles e eleger
aquelas mais eficazes para cada tipo de operação.
2º passo
Professor, lembre-se de que
aquele aluno que é mais
rápido para fazer os cálculos
não é necessariamente aquele
que sabe mais matemática. É
importante que os próprios
alunos entendam isso e não
usem a tecla de atalho antes
de pensarem na resposta.

65
Permitir que as crianças tenham acesso a diferentes formas de
calcular, seguindo várias propostas é mais coerente com o que
acontece no dia-a-dia.
TEXTO COMPLEMENTAR VIII
DESARMANDO AS CONTAS
Mirian Louise Sequerra
Cadernos da TV Escola. PCN na Escola
Matemática 1 – p. 55 – MEC, 1998
As contas de adição e de subtração representam uma das grandes dificuldades
das crianças de 1ª e 2ª séries. Muita gente acredita que, para aprender essas
contas, basta decorar uma série de etapas. Por exemplo, para resolver esta
conta:
Em geral, as crianças aprendem a ir recitando mentalmente o que fazer: “oito
mais quatro igual a doze, fica dois, vai um. Um mais dois mais quatro igual a
sete. O resultado é 72”.
Essa criança sabe fazer a conta; mas, se lhe perguntarmos o que significa o ‘vai
1’, ela pode responder: Não sei, só sei que é assim que precisa fazer. Ou então:
É porque é... aprendi desse jeito...
As contas são ensinadas como ‘técnicas’, ou seja, “séries de ações que, se
repetidas, conduzem ao resultado esperado”. Na maioria das vezes, essas ações
são aplicadas sem que se saiba seu significado, sem que se saiba o porquê de
cada etapa; sem saber o que faz a conta “dar o resultado correto”.
Além disso, com freqüência o ensino da conta armada se confunde com a própria
operação a que se relaciona. Ouvimos dizer que “aquele aluno já sabe somar”,
porque ele sabe fazer uma conta de adição. A operação de adição é um conteúdo
bem mais amplo e complexo, que envolve várias ações e várias idéias, não
apenas uma técnica de cálculo.
Outro ponto a ser considerado é que, para as crianças, é importante o contato
com diferentes maneiras de calcular e, principalmente, é importante que possam
utilizar estratégias criadas por elas mesmas. Entre outras coisas, as várias
formas de calcular constituem um ótimo recurso para controlar os resultados
obtidos.

66
Oferecer aos alunos a possibilidade de experimentar diferentes formas
de cálculo favorece a escolha das estratégias mais adequadas, na vida
prática. O algoritmo tradicional (ou conta armada) também é
importante e precisa ser ensinado. Mas não como a única forma de
O ALGORITMO DA ADIÇÃO
Ao aprender o algoritmo da adição, uma criança de 1ª série fez esta conta:
Como ainda não havia compreendido o transporte para a coluna das dezenas,
somou as unidades e colocou o 12 abaixo da linha; depois, somou as dezenas e
encontrou o resultado apresentado.
No entanto, essa criança já realizava há algum tempo suas contas por meio da
decomposição dos números; e sabia que o resultado deveria estar próximo de 60
(pois somou: 20 + 40 = 60, sendo o 20 do 28 e o 40 do 44). Antes mesmo que o
professor apontasse, percebeu que seu resultado não estava correto. O fato de
ter acesso a diferentes estratégias de cálculo, ajudou-a a controlar seu resultado.
Quando vamos ao supermercado e temos de somar o total de uma compra como
29 + 32, podemos:
a) Arredondar os números envolvidos e obter uma soma aproximada. Neste
caso, faríamos: 30 (‘arredondando’ 29) mais 30 (‘arredondando’ 32). Portanto,
60, que seria um valor aproximado do resultado dessa conta.
b) Utilizar a decomposição decimal dos números. Neste caso, 29 se converteria
em 20 + 9 e 32 ficaria 30 + 2. Em seguida, é preciso somar as dezenas: 20 (do
29) + 30 (do 32) = 50. Depois, somar as unidades: 9 (do 29) + 2 (do 32) = 11.
Por fim, basta juntar os totais parciais encontrados: 50 + 11 = 61.
c) Recorrer a outras decomposições. Poderíamos fazer o seguinte:
29 = 25 + 4 32 = 25 + 7
29 + 32 = 25 + 25 + 4 + 7
29 + 32 = 50 + 4 + 7
A escolha da estratégia mais adequada depende da situação. No caso do
supermercado, se eu quiser apenas ter uma idéia aproximada de quanto já
gastei, talvez a primeira estratégia seja melhor.
Se queremos que nossos alunos tenham contato com o algoritmo, mas que não o
aprendam como uma série de passos sem significado, e também queremos que
experimentem outras estratégias, é importante dar-lhes tempo para pesquisar,
trocar experiências com seus colegas e ‘inventar’ formas de calcular, antes de
aprender o algoritmo.

67
A busca de estratégias pessoais de realização do cálculo envolve diversos
conhecimentos a respeito dos números e da maneira de operar com eles. Todo
esse aprendizado será fundamental para a compreensão dos passos envolvidos
na realização da conta armada.
ESTRATÉGIAS PESSOAIS
O que acontece quando se propõe às crianças que resolvam contas, antes de
terem aprendido a conta armada? Vejamos na conta já citada:
A criança que resolveu essa conta está na 1a série. Tal como toda sua classe, ela
recebe estímulos para buscar formas novas de resolver seus problemas, mostrar
suas soluções aos colegas e discutir as diferentes estratégias.
A professora costuma acolher com atenção as diversas tentativas e valorizar as
contribuições dos alunos. Nesse contexto, as crianças se sentem à vontade para
associar diferentes conhecimentos e buscar suas próprias soluções.
Lucas resolveu assim a mesma conta:
Comparando este modo de calcular com aquilo que acontece na conta armada,
vemos que há muitas semelhanças. Essa comparação pode sugerir possibilidades
de desenvolver o trabalho com a conta armada de forma mais eficiente.

68
Estratégia de Lucas Na conta armada
Inicialmente, decompôs os números
envolvidos e agrupou separadamente as
dezenas e as unidades:
20 + 8 = 28
40 + 4 = 44
20 + 40 = 60
8 + 4 = 12
Estes passos correspondem àquilo que
fazemos ao alinhar os algarismos em
colunas, de acordo com a ordem que
representam: unidades embaixo de
unidades, dezenas sob dezenas:
28
44+
Quando juntou seus resultados parciais,
ele encontrou:
60 + 12 = 60 + 10 + 2
Ou seja, fez uma nova decomposição do
12, obtendo mais uma dezena para
juntar ao resultado da adição das
dezenas que já havia feito.
A nova dezena obtida a partir da soma
das unidades é exatamente o ‘vai um’
que aparece nessa mesma adição:
1
28
44 +
72
Ensinar aos alunos diferentes técnicas de cálculo (como a conta armada), com
base no que eles mesmos criaram pensando em correspondências, é uma ótima
maneira de valorizar suas contribuições. Além disso, garante que o aprendizado
não seja memorizado mecanicamente, sendo compreendido de fato pelas
crianças.
O ALGORITMO DA SUBTRAÇÃO
No ensino da conta de adição, a principal dificuldade é o transporte (o ‘vai um’).
E a conta de subtração também coloca seus desafios, se quisermos que as
crianças não se limitem a repetir as etapas, sem compreendê-las.
No caso da subtração, o maior desafio é explicar o significado do ‘empresta 1’.
Vamos partir de um exemplo, e vejamos como os alunos resolvem, antes de
aprender a conta armada.
João tinha 72 reais. Gastou 38 reais comprando algumas roupas. Quanto sobrou?
Juliana resolveu o problema assim:

69
É simples compreender o que ela fez, não é? Ela decompôs o 72 em 7 grupos de
10, pois sabe que o 7 do número 72 vale 7 vezes o número 10. Depois, riscou os
três grupos de 10 correspondentes ao 38. Para subtrair o 8, transformou uma
das dezenas restantes em dez unidades, deixando sobrar 2 (10 - 8). Feito isso,
bastou contar quanto sobrou.
Como seria a conta armada para resolver esse mesmo problema?
Quando cortamos o 7, para que ele ‘empreste 1’ ao 2, estamos cobrindo os
seguintes passos:
a) Separamos uma das dezenas do 70, transformando-o em 6 dezenas + 10
unidades.
b) Juntamos as 10 unidades com o 2, totalizando 12.
É muito importante não esquecer que, nesta conta armada, o 7 não é apenas um
7: na verdade, ele continua ‘valendo 70’, ou 7 dezenas. Quando ‘empresta 1’,
está emprestando uma dezena, que se juntará com as duas unidades,
transformando o 2 em 12 (10 + 2).
É mais ou menos isso que Juliana fez, ao ‘transformar’ um 10, daqueles em que
decompôs o 72, em dez palitos. Ela não juntou essas dez unidades com as outras
duas porque, para seu cálculo, isso não seria necessário. Mas, no algoritmo, é a
conta de ‘escorregar’
Uma outra maneira de realizar a conta de subtração é aquela em que se
empresta 1, mas esse 1 ‘escorrega’ e é acrescentado ao subtraendo:
É bem mais difícil explicar o que aconteceu neste caso. Por que esse
procedimento dá certo? Antes de responder, vamos observar estas subtrações:
12 - 5 = 7
22 - 15 = 7
14 - 7 = 7

70
Como você vê, as três subtrações têm o mesmo resultado. Isso se deve a uma
propriedade da subtração.
Quando somamos um mesmo valor ao minuendo e ao subtraendo, não
alteramos o resultado da subtração. Esta é uma propriedade da
subtração.
Veja o que foi feito:
Na conta armada que estávamos resolvendo com Juliana fizemos assim:
Assim, somando 10 aos dois termos, o resultado da subtração se mantém o
mesmo.
Para os alunos das primeiras séries é sem dúvida bem mais fácil compreender o
primeiro modo de fazer uma subtração, ‘emprestando 1’. Fica mais simples
relacionarem as várias etapas desse método aos conhecimentos que já
construíram. Eles sabem que, no 72, o 7 vale 70 ou 7 grupinhos de 10; que um
desses grupinhos de 10 corresponde a 10 unidades, e assim por diante.
A segunda conta envolve o conhecimento de uma propriedade da subtração – “se
somarmos ou subtrairmos um mesmo valor aos dois termos de uma subtração,
não alteraremos o resultado”. Não é fácil compreender isso nas séries iniciais.
PARA FINALIZAR
Procuramos enfatizar a importância de não tratar de forma mecânica o
aprendizado do algoritmo. Os diferentes passos de seu processo de resolução
têm significados precisos. A compreensão desses passos contribui para evitar
que as crianças cometam erros criados pela incompreensão do processo e, por
outro lado, permite que elas estabeleçam relações com as propriedades do
sistema de numeração.
Propor atividades nas quais as crianças têm a possibilidade de explorar formas
pessoais de cálculo, antes de apresentar a elas o algoritmo convencional,

71
permite que elas tenham contato com procedimentos variados. Isso será útil
para entenderem o algoritmo como apenas uma, entre várias possibilidades de
calcular.
Vimos também que as estratégias de cálculo elaboradas pelas crianças podem
ser um ótimo recurso para que compreendam melhor o mecanismo da conta
armada.
Para concluir: permitir que os alunos criem suas próprias estratégias contribui
para valorizar sua produção e para estimular uma atitude aberta ao buscar novas
soluções, nas mais diferentes situações-problema apresentadas.
AULAS 26, 27 e 28
Nestas aulas, os alunos são incentivados a entender
procedimentos convencionais para fazer operações,
que é um aspecto importante para que utilizem
técnicas matemáticas como ferramentas do
pensamento.
A técnica operatória convencional será trabalhada de
maneira analítica e não como um mecanismo a ser
repetido exaustivamente. É importante, então, fazer
com que os alunos entendam as formas de
estruturação dos algoritmos convencionais da adição
e da subtração.
Entretanto, ao resolver situações-problema, cabe ao
aluno optar por qual algoritmo utilizar, se o
convencional ou outro não-convencional com o qual
se sinta mais à vontade para fazer cálculos. Como
bem nos lembra Terezinha Nunes, em seu livro
Crianças fazendo matemática, dominar um
procedimento geral freqüentemente não nos diz
quando um procedimento é uma boa escolha para
resolver um problema .(NUNES, BRYANT, 1997,
p.30). Em outras palavras, o mais importante é que
os alunos sejam capazes de tomar decisões sobre
que caminho trilhar, que procedimento usar para
encontrar a solução das situações-problema.
Professor, a navegação nas
aulas multimídia Conta de
adição e Conta de subtração
está programada para ser feita
da seguinte maneira:
• sempre que o aluno clicar
no botão Voltar, a
animação retrocede para o
início do desafio em curso;
• quando quiser voltar para
um desafio anterior, o aluno
deve clicar no botão
Reiniciar e depois no
botão Avançar para ir ao
ponto que deseja.

72
1º passo
Os alunos assistem ao vídeo Inventando
estratégias de cálculo, observando aspectos que
respondam às seguintes questões:
1. Todas as estratégias utilizadas pelos
diferentes alunos estão corretas?
2. Qual delas vocês consideram mais rápida e
econômica para resolver a operação?
3. Os procedimentos utilizados podem ser úteis
para fazer qualquer adição?
4. Se tivesse que fazer uma adição, qual dos
procedimentos apresentados escolheria? Por
quê?
2º passo
Os alunos fazem as atividades de análise de
algoritmos sobre adição e subtração propostas nas
aulas multimídia Contas de adição e Contas de
subtração.
3º passo
A cada proposta, os alunos analisam, coletivamente,
as hipóteses levantadas sobre os registros corretos e
incorretos.
1º passo
Professor, veja a versão
integral do vídeo antes de
trabalhar com os alunos. A
referência é: Inventado
estratégias de cálculo –
Direção: Eduardo Nunes e
Alberto Salvá; Série PCN na
Escola/Matemática; Duração
14’11”; TV Escola/MEC, Brasil,
1999.
2º passo
Professor, descobrir erros
cometidos por terceiros ao
efetuar uma operação é
também uma rica
oportunidade de aprendizagem
para seus alunos. O erro
cometido na adição
apresentada na aula envolve o
entendimento do valor
posicional dos algarismos, o
que os impede de fazer os
agrupamentos ou
reagrupamentos
corretamente. Veja outro
exemplo:
456
+ 608
10514
3º passo
Professor, a propriedade da
compensação foi utilizada no
registro apresentado pela
personagem Júlia, na
animação Contas de
subtração. É preciso que os
alunos entendam que, quando
acrescentamos uma
quantidade ao número do qual
será subtraído outro, é preciso
acrescentar essa mesma
quantidade ao número que se
subtrai, para que o resultado
não se altere. Uma outra
forma de representar essa

73
propriedade poderia ser:
865 + 20 = 885
- 184 + 20 = - 204
681 681
Lembre-se que a propriedade
entra aqui como recurso de
cálculo mental, não sendo
preciso nomear ou conceituá-
la para os alunos.
AULAS 29 e 30
Nestas aulas, a proposta de trabalho com
calculadora propicia a utilização do valor posicional e
das propriedades da adição e da subtração como
recursos de cálculo.
1º passo
Os alunos trabalham com a animação Tecla
estragada para adição e resolvem todas as
atividades propostas.
2º passo
Os alunos descrevem os procedimentos utilizados
para fazer as operações sem uso de algumas
teclas. Analisar com eles e eleger aquelas mais
eficazes para cada tipo de operação.
3º passo
Criar outros desafios para que os alunos façam os
cálculos e estabeleçam relações mais complexas,
usando a calculadora disponível na interface. Um
deles pode ser:
Resolver a operação 24 + 76, considerando que a
tecla 7 da calculadora não funciona e que a
operação que resolve o problema apresente apenas
duas quantidades.
Use os mesmos passos ao propor a aula com a
animação Tecla estragada para subtração.
2º passo
Professor, estimule os alunos a
conhecer as estratégias
utilizadas pelos colegas e a
experimentá-las. Isso é
importante para que tenham a
oportunidade de usar diversas
propriedades e avançar para
resoluções que envolvam
relações mais complexas.
Por exemplo, um
procedimento muito utilizado
pelos alunos para encontrar o
resultado de 15 + 26, sem
usar a tecla 5 é
14 + 1 + 26 = 41.
Outras formas mais complexas
seriam:
10 + 31 ou
20 + 21.

74
Os registros dos desafios propostos nessas aulas
devem ser feitos utilizando os recursos DOC e PPT
disponíveis na tela final da animação.
Professor, no site
www.mathema.com.br
(clicar em Ensino Fundamental
1ª a 4ª, Tecnologia,
Explorando a calculadora)
você encontra outras
sugestões de atividades que
exploram as propriedades das
operações como recurso de
cálculo.
AULA 31
Nesta aula, os alunos trabalham com estimativa de
quantias, envolvendo números racionais. O fato de
a atividade envolver valores em reais, em situações
de compra, propicia a ampliação da habilidade de
calcular de maneira aproximada, rápida, usando
procedimentos simples.
1º passo
Os alunos resolvem as atividades propostas na
animação Supermercado virtual, seguindo as
indicações de compra.
2º passo
Propor uma discussão sobre o consumismo e o que
considerar ao comprar um produto (prazo de
validade, diferentes preços para um mesmo
produto x qualidade dos produtos, promoções,
etc.)
atividades desenvolvidas da aula 24 a aula 31.
Geral
trocarem idéias sobre as
operações feitas com os
centavos para conseguir
valores exatos.

75
MÓDULO IV – NÚMEROS QUE MEDEM
TEMA
No dia-a-dia existem várias situações nas quais é necessário usar diversos tipos
de medidas. As atividades propostas farão com que os alunos entrem em contato
com diferentes situações de medição no ambiente no qual estão inseridos,
utilizem instrumentos convencionais de medida de comprimento e que criem
outros não-convencionais.
Ao fazerem cálculos com números aproximados e unidades não-convencionais os
alunos exercitarão a interpretação matemática, a comparação das medições
feitas e o controle dos resultados que obtêm, verificando sua adequação à
situação. A construção de representações ajudará os alunos a raciocinarem
proporcionalmente, ou seja, a estabelecerem relação entre as unidades de
medidas utilizadas. Por exemplo, saber que os comprimentos de 10 ou 30
centímetros podem ser visualizados em uma régua.
Medir é comparar grandezas de mesma natureza, é contar com uma unidade
específica e, ao medir um mesmo objeto, se as unidades utilizadas são
diferentes, os números encontrados serão também distintos.
Nas atividades propostas, é importante que os alunos sejam orientados a
escolher uma unidade de medida adequada que permita comparar o que se quer
medir com essa unidade escolhida. Para tanto é necessário que seja da mesma
espécie daquilo que se quer medir, guardando adequação de seus atributos, ou
seja, não convém escolher um lápis como unidade de medida para determinar o
comprimento da sala.
O trabalho com as medidas permitirá, também, que os alunos ampliem seu
conhecimento a respeito dos campos numéricos, pois certamente sentirão a
necessidade de representar suas medições com números que muitas vezes não
serão inteiros.
RECURSOS UTILIZADOS
Equipamento
Computador
Softwares e Aplicativos
Números em Ação
Word
PowerPoint
Materiais de consumo (para cada dupla)
caneta
lápis
borracha
régua

76
No ambiente virtual
Animação
Terras do Rei
Aula multimídia alterável
Quanto mede?
Sites na Internet
Para uso do professor
www.novaescola.abril.com.br
OBJETIVOS DE ENSINO
Propor situações didáticas que permitam aos alunos
• escolher a unidade de medida e os instrumentos mais adequados para medir
comprimentos e tamanhos, fazer estimativas e produzir registros de medições
feitas;
• desenvolver o pensamento proporcional, ao desenhar a planta baixa da sala,
estabelecendo uma escala que determina a proporção exata entre o tamanho
do desenho e o tamanho da sala.
• Reconhecer a medida de comprimento como um número resultante da
comparação de duas grandezas de mesma natureza.
• Utilizar as unidades não-padronizadas de comprimento para estimar medições
e verificar sua adequação.
• Efetuar a comparação entre o que se quer medir e a unidade escolhida.
• Identificar e utilizar as unidades-padrão de comprimento.
• Estabelecer regras ao/para medir.
• Estabelecer relações entre variáveis para indicar as proporções entre os
comprimentos medidos e sua representação na planta baixa.
CONTEÚDOS
Conceituais
• Estimativas de tamanhos e comprimentos.
• Instrumentos não-convencionais de medição de comprimentos.
• Unidades não-padronizadas de comprimento.
• Unidade-padrão de medida de comprimento, o metro e seus submúltiplos: o
centímetro e o milímetro.

77
Procedimentais
apresentada.
• Decisão sobre uso de procedimento e instrumento específico, em função da
precisão da medição.
• Uso do Word e do PowerPoint como ferramenta de registros para
comunicação de medições feitas.
Atitudinais
pontos de vista/idéias como fontes de aprendizagem.
• Interesse em conhecer diferentes estratégias de medição.
• Valorização do uso das medidas e estimativas para resolver problemas
cotidianos.

78
TEXTO COMPLEMENTAR IX
O homem vitruviano
Lorenzo Andreotti
Conheça a origem do famoso desenho.
Você, certamente, já se deparou com o desenho acima. Trata-se de “O Homem
Segundo as Proporções de Vitrúvio”, do pintor Leonardo Da Vinci. O famoso
desenho data do início do século XVI e pode ser visto – além dos livros de arte, é
claro – em postais, souvenires e até em sites na Internet.
Para confirmar sua atualidade, ele foi escolhido pelos italianos para cunhar o
euro, moeda européia. Mas você sabe o que ele significa?
Para elaborar o homem nu com quatro braços e quatro pernas, inserido em duas
figuras geométricas (quadrado e círculo), Da Vinci inspirou-se no arquiteto latino
Vitrúvio. Vitrúvio estabeleceu as medidas ideais do corpo humano: a cabeça
devia corresponder a um oitavo de sua altura total. Do topo da cabeça até o
peito, um sexto. Do cotovelo à ponta do dedo, um quarto. Do joelho até a sola
do pé, mais um quarto. Da Vinci inseriu o seu homem perfeito em duas figuras, o
quadrado (que representa a terra) e o círculo (o universo). No centro do círculo
localiza-se o umbigo do homem, e no centro do quadrado, sua genitália.
Vitrúvio, autor do único tratado de arquitetura que sobreviveu aos dias de hoje,
acreditava que a beleza derivava da simetria e da relação das partes com o todo.
A perfeição sugerida pelo arquiteto foi a grande inspiração para o pintor, um
apaixonado estudioso da anatomia humana. Mais do que ilustrar um estudo, o
desenho de Da Vinci confirmava a busca da perfeição, inserido no conceito de
que o homem é o modelo do mundo. Daí a atualidade do desenho, proporções
justas, simétricas, harmoniosas. Atributos que, hoje, o homem moderno ainda
deseja cunhar para si.
Fonte: Revista Vencer. Outubro de 1999

79
AULA 32
Os trabalhos deste módulo objetivam principalmente
o desenvolvimento do pensamento proporcional.
1º passo
Orientar os alunos a fazer medições, utilizando o
“palmo” como unidade de medida. Eles medem os
segmentos do corpo: braço, antebraço, rosto, perna,
etc.
2º passo
Os alunos fazem medições de objetos e extensões
do ambiente, utilizando o palmo. Os valores
encontrados devem ser registrados no Word.
3º passo
Propor uma discussão entre todos da turma sobre os
valores encontrados, por meio das seguintes
questões:
1. As medidas encontradas para um mesmo
objeto foram iguais?
2. Por que esses valores nem sempre foram os
mesmos?
3. Em que situações as partes do corpo podem
ser usadas para fazer medições?
Professor, leia o texto O
homem vitruviano para
conhecer mais sobre as
proporções do corpo humano.
Professor, leia a entrevista de
Terezinha Nunes, É hora de
ensinar proporção, publicada
no site
www.novaescola.abril.com.br,
clicar em edições anteriores,
por edição -2003, abril 2003,
Fala Mestre!, para conhecer
mais as questões relacionadas
ao desenvolvimento do
pensamento proporcional.
2º passo
Professor, ao comparar as
medidas encontradas para as
diversas partes do corpo como
braço, antebraço, rosto,
usando como unidade o
palmo, serão encontradas
muitas relações interessantes:
o braço mede 1 palmo, assim
como o antebraço e da testa
ao queixo.

80
AULA 33
1º passo
Os alunos assistem à animação Terras do rei e
fazem as medições propostas.
2º passo
Os resultados encontrados são registrados no Word.
Professor, solicite aos alunos
que tragam uma trena ou fita
métrica para fazer as
atividades desta aula
Professor, o importante é que
os alunos percebam que fazer
medições é estabelecer
relação entre uma medida
tomada como padrão e aquilo
que se quer medir, seja essa
medida convencional ou não.
Professor, para conhecer um
pouco mais sobre o trabalho
com medidas, leia o livro
paradidático Medindo
comprimentos, de Nilson José
Machado, Editora Scipione, da
série Vivendo a Matemática.
AULA 34
1º passo
multimídia Quanto mede?.
Na próxima aula serão utilizadas plantas-baixas.
Portanto, sugerimos providenciar ou, se possível,
solicitar aos alunos que tragam algumas.
Professor, é importante que os
alunos tenham a oportunidade
de comparar os valores
encontrados quando tomados
por alunos diferentes e quando
tomados utilizando-se um
instrumento de medida
convencional – metro ou fita
métrica, para medir um
mesmo objeto. Nesse tipo de
trabalho, surgem muitas
situações que podem ser
exploradas por você,
professor, para que os alunos
comecem a se envolver na
busca de soluções para
questões que poderão surgir
na realização do
empreendimento que será
proposto a seguir.

81
AULAS 35, 36 e 37
Nestas aulas, os alunos elaboram uma planta-baixa
da sala de aula. Surgirá a necessidade, então, de
cálculo com as quatro operações, envolvendo,
inclusive, números racionais. A noção de proporção
será o foco da atividade. Caso os alunos queiram
utilizar calculadora, isso não comprometerá a
qualidade do trabalho, uma vez que calcular é algo
muito mais amplo do que simplesmente armar a
conta, pedir emprestado ou fazer o “vai um”. É
possível calcular mentalmente, usando lápis e papel
ou a calculadora. O importante é aprender a decidir
qual o cálculo mais adequado a cada situação, assim
como a melhor estratégia e o melhor instrumento
para fazê-lo. O papel do professor é de fundamental
importância para o envolvimento dos alunos e,
conseqüentemente, para o êxito da atividade de
resolução de problema.
Resolver problema não significa cumprir uma tarefa,
mas ultrapassar um obstáculo. Um problema só é
problema quando mobiliza o interesse do aluno e
promove a investigação, a experimentação, o
confronto de hipóteses, a previsão de resultados e
conseqüências, o opor-se e o consenso.
1º passo
Os alunos analisam os modelos de plantas-baixas
trazidos e identificam as características importantes
que devem considerar ao construir a planta-baixa da
sala.
2º passo
Os alunos trabalham na elaboração da planta-baixa
da sala, fazendo as medições.
Professor, os arquivos dessas
aulas devem ser gravados em
disquete, para serem
recuperados mais facilmente
nas primeiras aulas da Fase 2.
Assim sendo, para que não
seja usado o mesmo arquivo
de todas as aulas anteriores,
os ícones DOC e PPT, que
aparecem na tela, não estarão
habilitados.
2º passo
a procurar diferentes
instrumentos (cabo de
vassoura, carteira, mesa,
apagador, caderno, etc.) para
medir.
Caso seja necessário, os
alunos podem fazer marcas
nos instrumentos usados nas
medições, indicando a sua
metade ou quarta parte ou
é

82
3º passo
Os grupos usam o PowerPoint, Paint Brush ou Word
para desenhar a planta-baixa.
4º passo
Os alunos apresentam os trabalhos para análise e
avaliação da turma. Verificam se foram
contempladas na sua elaboração as características
identificadas nas aulas anteriores.
terça parte. Essa é uma
estratégia a ser utilizada em
situações nas quais as
medidas são inexatas.
3º passo
Professor, acompanhe as
atividades, observando o nível
de detalhamento das plantas.
É importante que os alunos
sejam encorajados a fazer o
melhor que puderem,
cuidando para que o nível de
exigência não ultrapasse suas
possibilidades nem fique
abaixo delas. Nesse tipo de
empreendimento, podemos
nos surpreender com aquilo
que nossos alunos são capazes
de fazer. Estimule-os a fazer
um plano de ação para
assumirem os riscos propostos
no desenvolvimento do
trabalho. Eles precisarão criar
estratégias para calcular
proporções, uma vez que
todas as medidas serão
representadas ou no
PowerPoint ou no Word ou no
Paint.
4º passo
Professor, aproveite a
oportunidade para fazer uma
exposição das plantas-baixas,
que podem estar impressas ou
não. Uma sugestão é convidar
alunos e professores a
visitarem a SAI onde os
trabalhos estarão disponíveis
nas telas dos micros.

83
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALFONSO, Bernardo Gómez. Numeración y cálculo. Madrid: Editorial Sintesis,
1993.
ÁLVAREZ, Ángel. Uso de la calculadora en el aula. Madrid: Centro de
Publicaciones del Ministério de Educación y Ciencias y Narcea S. A. Ediciones,
1995.
BRASIL. MEC. SED. Cadernos da TV Escola. PCN na Escola - Matemática, vol 1 e
2. Brasília, 1998.
BRASIL. MEC. SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Fundamental –
1ª a 4ª série. Matemática. Brasília, 1996.
BRASIL. MEC. SEF. Parâmetros Curriculares Nacionais – Ensino Fundamental –
5ª a 8ª série. Matemática. Brasília, 1998.
BROUSSEAU, GUY. Fondements et méthodes de la didactiques des
mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques. Vol 7, n.2, pp
33-115, 1986. (Traduzido ao espanhol por Julia Centeno Pérez, Begoña Melendo
Pardos e Jesús Murillo Ramón)
CHEVALLARD, Ives, BOSCH, Marianna, GASCÓN, Josep. Estudar Matemática. O
elo perdido entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: ArtMed, 2001.
CHEVALLARD, Yves. La transposición didáctica. Buenos Aires: Aique, 1990.
D`AMBRÓSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas:
Editora Papirus, 1996.
D`AMBRÓSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre educação (e)
matemática. São Paulo: Summus Editorial, 1998.
GIMÉNEZ, J. e GIRONDO, L. Cálculo en la escuela: reflexiones y propuestas.
Barcelona: Editorial Graó, 1993.
KAMII, Constance. Desvendando a Aritmética. São Paulo: Papirus, 1995.
LERNER, Delia. “O ensino e o aprendizado escolar – argumentos contra uma falsa
oposição”. In: Castorina, José Antonio et al. Piaget/Vygotsky – Novas
contribuições para o debate. São Paulo: Ática, 1996.
MACEDO, Lino. Os jogos e sua importância na escola. Cadernos de Pesquisa: São
Paulo, 1995.
NUNES, Terezinha & BRYANT, P. Crianças fazendo Matemática. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1997.
PARRA, Cecilia & SÁEZ, Irma (Org.). Didática da Matemática: reflexões
psicopedagógicas. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.
PROINFO: Informática e formação de professores. Vols. 1 e 2. Secretaria de
Educação a Distância. Brasília: Ministério da Educação e do Desporto, SEED,
2000.
TOLEDO, Maria Elena Roman de Oliveira. Numeramento, metacognição e
aprendizagem matemática de jovens e adultos. Texto disponível na Internet no
endereço: www.educacaoonline.pro.br.

84
UNO. El futuro del cálculo. Revista de Didáctica de las Matemáticas, n. 22,
Barcelona: Editorial Graó, 4º trimestre del 1999.
VERGNAUD, G. e DURAND, C. "Estructuras aditivas y complejidad psicogenética".
In: COLL, C. (comp.). Psicología genética y aprendizaje escolar. Madrid: Século
XXI, 1983.
ZABALA, Antoni. A prática pedagógica. Porto Alegre: Artes Médicas, 1996.

85
ANEXO 1
PEÇAS DO QUEBRA-CABEÇAS PARA A DINÂMICA DOS QUADRADOS
Peça 1
Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 1 (um)

86
Peça 2
Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 2 (dois)

87
Peça 3
Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 3 (três)

88
Peça 4
Recorte as peças e numere o verso de cada uma com o número 4
(quatro)

89
ANEXO 2
QUESTÕES DA AVALIAÇÃO DIAGNÓSTICA
LEGENDA:
• Em preto, o novo descritor associado à questão
• Em cinza, as novas mensagens de erro e de acerto que deverão
aparecer no relatório de acordo com o desempenho do aluno na
questão.
• Em negrito itálico, a resposta correta de cada questão.
Questão 1
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional como
recurso de cálculo.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional
como recurso de cálculo.
Avaliação A
Em uma calculadora, foi digitado o número 2586. Que operação deve ser feita
para que no lugar do algarismo 8 apareça o algarismo 1, sem modificar os outros
algarismos?
(a) Subtrair 7
(b) Adicionar 7
(c) Subtrair 70
(d) Adicionar 70
Avaliação B
Em uma calculadora, foi digitado o número 3764. Que operação deve ser feita
para que no lugar do algarismo 6 apareça o algarismo 2, sem modificar os outros
algarismos?
(a) Subtrair 4
(b) Subtrair 40
(c) Adicionar 4
(d) Adicionar 40

90
Questão 2
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de resolver uma situação-
problema do campo multiplicativo, que envolve a idéia de
proporcionalidade.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de resolver uma situação-
proporcionalidade.
Avaliação A
Se em 3 pacotes temos um total de 15 figurinhas, quantas figurinhas teremos
em 12 pacotes?
(a) 4
(b) 5
(c) 36
(d) 60
Avaliação B
Se em 3 pacotes temos um total de 9 figurinhas, quantas figurinhas teremos em
8 pacotes?
(a) 27
(b) 24
(c) 3
(d) Não é possível calcular

91
Questão 3
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de efetuar operações no campo
aditivo, envolvendo quantias relacionadas à idéia de comparação,
analisando informações apresentadas em forma de esquema.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de efetuar operações no campo
aditivo, envolvendo quantias relacionadas à idéia de comparação,
analisando informações apresentadas em forma de esquema.
Avaliação A
Dona Rosália comprou 3 das 4 mercadorias mostradas abaixo e gastou
exatamente R$80,50.
Tênis Camisa Sapato Jaqueta
$35,70 R$15,50 R$22,60 R$29,30
Dona Rosália não comprou
(a) o tênis.
(b) a camisa.
(c) o sapato.
(d) a jaqueta.
Avaliação B
Dona Jane comprou 3 dos 4 brinquedos mostrados abaixo e gastou exatamente
R$73,40.
Bola Carrinho Patins Skate
R$11,20 R$14,50 R$25,40 R$36,80
Dona Jane não comprou
(a) a bola.
(b) o carrinho.
(c) os patins.
(d) o skate.

92
Questão 4
problema do campo aditivo que compreende mais de uma
transformação: alterações positivas e negativas.
problema do campo aditivo que compreende mais de uma
transformação: alterações positivas e negativas.
Avaliação A
Em um jogo, vence aquele que, ao final da 3ª rodada, fizer 100 ou mais pontos.
Analise as anotações do jogo, mostradas na tabela abaixo.
Participante 1a
rodada 2a
rodada 3a
rodada
Guida Ganhou 53 Perdeu 27 Ganhou 67
Rosa Ganhou 49 Ganhou 41 Perdeu 45
Beto Ganhou 35 Ganhou 45 Ganhou 17
Marcos Perdeu 17 Ganhou 63 Ganhou 67
Quem ganhou o jogo?
(a) Guida
(b) Rosa
(c) Beto
(d) Marcos
Avaliação B
Em um jogo, vence aquele que, ao final da 3ª rodada, fizer 100 ou mais pontos.
Analise as anotações do jogo, mostradas na tabela abaixo.
Participante 1a
rodada 2a
rodada 3a
rodada
Ana Ganhou 25 Ganhou 45 Ganhou 17
Jorge Ganhou 64 Ganhou 36 Perdeu 15
João Ganhou 52 Perdeu 17 Ganhou 68
Laura Perdeu 24 Ganhou 31 Ganhou 79
Quem ganhou o jogo?
(a) Ana
(b) Jorge
(c) João
(d) Laura

93
Questão 5
problema do campo aditivo, que envolve mais de uma transformação
(positiva e negativa).
Avaliação A
Júlio faz coleção de gibis. Dos 130 gibis que tem, 80 são nacionais. Dentre os
estrangeiros, 15 são gibis japoneses. Quantos são os gibis estrangeiros da
coleção de Júlio que não são japoneses?
Para encontrar a resposta, é preciso resolver a expressão:
(a) 130 +15 -80
(b) 130 – 80 - 15
(c) 130 – 15 + 80
(d) 130 + 15 + 80
Avaliação B
Tomás faz coleção de selos. Dos 125 selos que tem, 75 são nacionais. Dentre os
estrangeiros, 20 são canadenses. Quantos são os selos estrangeiros da coleção
de Tomás que não são canadenses?
Para encontrar a resposta, é preciso resolver a expressão:
(a) 125 +75 + 20
(b) 125 - 20 + 75
(c) 125 – 75 - 20
(d) 125 + 20 – 75

94
Questão 6
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de comparar grandezas de mesma
natureza, que utilizam unidades de medida não-convencionais, fazendo
uso de estimativa.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de comparar grandezas de
mesma natureza, que utilizam unidades de medida não-convencionais,
fazendo uso de estimativa.
Avaliação A
Renato e Alexandre mediram o comprimento do quarto onde dormem. Renato
disse que o comprimento do quarto equivale a 15 passos e Alexandre disse que
equivale a 20 passos.
Quanto ao tamanho dos passos de Renato e Alexandre, podemos afirmar que
(a) o de Alexandre é maior que o de Renato.
(b) o de Renato é maior que o de Alexandre.
(c) eles têm o passo do mesmo tamanho.
(d) não é possível comparar o tamanho dos passos.
Avaliação B
Daniel e Artur mediram o comprimento da sala de aula. Artur disse que o
comprimento da sala equivale a 25 passos e Daniel disse que equivale a 30
passos.
Quanto ao tamanho dos passos de Daniel e Artur, podemos afirmar que
(a) não é possível comparar o tamanho dos passos.
(b) o de Daniel é maior que o de Artur.
(c) o de Artur é maior que o de Daniel.
(d) eles têm o passo do mesmo tamanho.

95
Questão 7
Avaliação A
Um vendedor está fazendo o balanço das vendas de hoje.
6 bombons 7 barras de chocolate
24 balas .?.caixas de chicletes
Foram vendidas 46 mercadorias.
Quantas caixas de chicletes foram vendidas?
(a) 6
(b) 7
(c) 8
(d) 9
Avaliação B
Numa lanchonete, foram vendidos 57 salgados.
13 coxinhas 19 empadas 17 pastéis
.?. pães de queijo
Quantos pães de queijo foram vendidos?
(a) 8
(b) 7
(c) 6
(d) 5

96
Questão 8
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional como
recurso de cálculo, para resolver situações de compra e venda com
cédulas e moedas.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de utilizar o valor posicional
como recurso de cálculo, para resolver situações de compra e venda com
cédulas e moedas.
Avaliação A
Sílvia comprou um aparelho de som e pagou em dinheiro. Ela usou 2 notas de
100 reais, 3 notas de 10 reais, 4 notas de 1 real e não recebeu troco. O preço
que Sílvia pagou pelo som, em reais, foi
(a) 234
(b) 432
(c) 243
(d) 342
Avaliação B
Renata comprou um telefone celular e pagou em dinheiro. Ela usou 3 notas de
100 reais, 2 notas de 10 reais, 4 notas de 1 real e não recebeu troco. O preço
que Renata pagou pelo celular, em reais, foi
(a) 234
(b) 432
(c) 243
(d) 324

97
Questão 9
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de facilitar o troco em uma
situação de compra e venda.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de facilitar o troco em uma
situação de compra e venda.
Avaliação A
Josiane fez uma compra na padaria, no valor de R$6,30. Ela pagou com uma
nota de 10 reais, uma nota de 1 real e 3 moedas de 10 centavos. Quanto Josiane
recebeu de troco?
(a) 5 reais
(b) 4 reais
(c) 5 reais e 70 centavos
(d) 4 reais e 70 centavos
Avaliação B
Anderson fez uma compra na quitanda, no valor de R$13,20. Ele pagou com uma
nota de 10 reais, uma nota de 5 reais e uma moeda de 20 centavos. Quanto
Anderson recebeu de troco?
(a) 2 reais e 20 centavos
(b) 3 reais e 20 centavos
(c) 2 reais
(d) 3 reais

98
Questão 10
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de utilizar estratégias de cálculo
estimado, usando unidades de medida não-convencionais.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de utilizar estratégias de
cálculo estimado, usando unidades de medida não-convencionais.
Avaliação A
Ana vai fazer uma receita que leva 800 gramas de açúcar. Ana não tem balança
para pesar os ingredientes, mas ela sabe que em uma xícara cabem,
aproximadamente, 250 gramas de açúcar. Para conseguir a quantidade mais
próxima de açúcar indicada na receita e usando a xícara como medida, Ana deve
colocar:
(a) 3 xícaras.
(b) 2 xícaras.
(c) 4 xícaras.
(d) 1 xícara.
Avaliação B
Marta vai fazer um bolo que leva 750 gramas de farinha. Marta não tem balança
para pesar os ingredientes, mas ela sabe que em um copo cabem,
aproximadamente, 200 gramas de farinha. Para conseguir a quantidade mais
próxima de farinha indicada na receita e usando o copo como medida, Marta
deve colocar:
(a) 3 copos.
(b) 2 copos.
(c) 4 copos.
(d) 1 copo.

99
Questão 11
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados
que envolvem multiplicações e divisões de números naturais.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados
que envolvem multiplicações e divisões de números naturais.
Avaliação A
A carga máxima permitida em uma balsa é de 640kg. Qual é o maior número de
pessoas com 70kg, em média, que podem ser transportadas juntas nessa balsa?
(a) 7
(b) 8
(c) 9
(d) 10
Avaliação B
No barco de Seu Alfredo, a carga máxima permitida é de 580kg. Qual é o maior
número de pessoas com 70kg, em média, que podem entrar juntas nesse barco?
(a) 7
(b) 8
(c) 9
(d) 10

100
Questão 12
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de, nos cálculos necessários para
resolver uma situação-problema de divisão, estabelecer relações entre o
resto e o divisor.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de, nos cálculos necessários
para resolver uma situação-problema de divisão, estabelecer relações
entre o resto e o divisor.
Avaliação A
Uma turma de 15 amigos está na fila da roda gigante em um parque de
diversões. Na roda gigante, podem ir 4 pessoas em cada cadeira. Eles devem
ocupar o menor número possível de cadeiras. Quantos amigos ocuparão a última
cadeira destinada a esse grupo?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
Avaliação B
Uma turma de 19 amigos vai fazer um passeio de trem. Em cada banco podem ir
5 pessoas. Eles devem ocupar o menor número possível de bancos. Quantos
amigos ocuparão o último banco destinado a esse grupo?
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4

101
Questão 13
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados,
envolvendo adições de números naturais.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de fazer cálculos aproximados,
envolvendo adições de números naturais.
Avaliação A
O resultado da operação 1 098 + 987 está entre:
(a) 1 000 e 1 500
(b) 1 500 e 2 000
(c) 2 000 e 2 200
(d) 2 200 e 2 500
Avaliação B
O resultado da operação 992 + 2 089 é mais próximo de:
(a) 2 900
(b) 3 000
(c) 3 100
(d) 3 200

102
Questão 14
Acerto: O aluno demonstrou ser capaz de fazer cálculos exatos,
envolvendo multiplicações e adições de números naturais.
Erro: O aluno não demonstrou ser capaz de fazer cálculos exatos,
envolvendo multiplicações e adições de números naturais.
Avaliação A
Na biblioteca da escola, as estantes são de dois tamanhos. Há 3 estantes com 4
prateleiras para 50 livros em cada prateleira e há 2 estantes de 3 prateleiras
para 60 livros em cada prateleira.
O número máximo de livros que podem ser colocados nas prateleiras dessa
biblioteca é:
(a) 122
(b) 1220
(c) 960
(d) 9600
Avaliação B
Em um restaurante, há 5 mesas de 4 lugares, 10 mesas de 2 lugares e 2 mesas
de 6 lugares.
O número máximo de pessoas que podem se sentar para almoçar, ao mesmo
tempo nesse restaurante é:
(a) 12
(b) 17
(c) 29
(d) 52

103
Questão 15
proporcionalidade.
proporcionalidade.
Avaliação A
No supermercado, a seção de produtos de limpeza está fazendo uma promoção.
Comprando duas caixas de sabão em pó, leve grátis um vidro de detergente.
São 20 vidros de detergente. Quantas caixas de sabão em pó serão vendidas
nessa promoção?
(a) 40
(b) 30
(c) 20
(d) 10
Avaliação B
Na seção de perfumaria de um supermercado, estão fazendo embalagens para
uma promoção.
Comprando três caixas de creme dental, leve grátis uma escova de dentes.
São 10 caixas de escovas de dentes. Quantas caixas de creme dental serão
utilizadas para fazer as embalagens?
(a) 60
(b) 40
(c) 30
(d) 20

Apostila numeros 28.03.05

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