Apost estatistica

E.E. "Professor Astor Vianna"
APOSTILA DE ESTATÍSTICA

CURSO TÉCNICO EM INFORMÁTICA - PRONATEC ESTATÍSTICA PROF.ª AMANDA CRISTINA
1.1 Conceito, Origem e Desenvolvimento da Estatística.
Vamos estudar o conceito de estatística a partir de três vertentes. Chama-se de estatística:
1. O conjunto de elementos numéricos relativos a um fato.
2. O conjunto de técnicas para fazer predições com base em probabilidades.
3. O conjunto de técnicas para fazer inferências com base em amostras.
Estatística é a ciência que investiga os processos de obtenção, organização e análise de dados
sobre uma população e os métodos para tirar conclusões e fazer predições com base nesses dados.
1.2 Um Pouco de História
No século XI, Guilherme, o conquistador, ordenou que fosse feito um censo das propriedades No
princípio a estatística referia-se apenas a informações de interesse do estado (nação) para exercer
controle fiscal ou para segurança nacional. Por isso o nome estatística: ciência do estado.
1.3 Porque Utilizar Estatística
A estatística está presente no nosso dia a dia. A todo o momento fazemos estimativas e predições
com base em informações que dispomos. Esta ciência é útil para conhecer determinada situação.
É uma forma de representar e simplificar determinada realidade, a partir de dados nela coletados
com a finalidade de planejar e tomar decisões.
1.4 Estatística nas Empresas
No mundo atual, a empresa é uma das vigas-mestras da economia dos povos.
A direção de uma empresa exige de seu(s) administrador(es) a importante tarefa de tomar
decisões. O conhecimento e o uso da estatística facilitarão esse trabalho. Por meio de
experimentos, sondagens, coleta de dados ou opiniões; podemos conhecer a realidade geográfica
e social, os recursos naturais, humanos e financeiros; estabelecer metas e objetivos. Fatores muito
importantes e muito utilizados por EMPREENDEDORES e pelos GOVERNOS.
Exercícios:
1. Cite exemplos de utilização da estatística.
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___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2. Você utiliza ou já utilizou estatística em sua vida acadêmica ou profissional?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
2

2. Variáveis
Variável é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno e se
dividem em QUALITATIVAS E QUANTITATIVAS.
2.1 Variável Qualitativa – quando se refere à qualidade, estará sempre associada a um
atributo e podem ser nominais e ordinais.
• Variável qualitativa nominal – quando respostas podem ser encaixadas em categorias,
independentes uma das outras, sem nenhuma relação com as outras.
Ex: Time de futebol (flamengo, Vasco, fluminense, etc), Causa morte (câncer,
tuberculose, etc)
• Variável qualitativa ordinal – mantém uma relação de ordem uma com as outras.
Ex: Classe social (alta, média, baixa), Conceitos obtidos em uma disciplina (A, B, C, D).
2.2 Variável Quantitativa – Quando se refere à quantidade, seus valores são expressos por
números e podem ser discreta ou contínua.
• Variável quantitativa discreta – relacionada a contagens ou enumerações, não admite
decimais.
Ex: Quantidade de alunos, Número de cadeiras, etc.
• Variável quantitativa contínua – Relacionada a medições, onde a variável pode assumir
qualquer valor dentro de um intervalo.
Ex: Altura, idade, etc.
Exercícios
1. Classifique as variáveis:
α) Número de clientes.
β) Produção agrícola de arroz.
χ) Sexo.
δ) Raça de cães.
ε) Grupo sanguíneo.
φ) Velocidade de um veículo.
γ) Partido político.
3

h) N° de hemácias por mm 2
η) Didática de um professor.
ι) Temperatura.
ϕ) Salário.
2. Dê exemplos de:
a) Variável qualitativa nominal
b) Variável quantitativa contínua
c) Variável quantitativa discreta
d) Variável qualitativa ordinal
3 - POPULAÇÃO E AMOSTRA
3.1 População Estatística – É o conjunto de indivíduos portadores de pelo menos uma
característica comum, onde sempre é possível considerar todos os elementos. O pesquisador é
quem define a população estatística principalmente pela atribuição de características a essa
população.
3.2 Amostra – É o subconjunto finito de uma população, isto é, uma pequena parte do todo. Mas
para que as inferências sejam corretas é necessário que tenhamos uma amostra significativa da
população e que as amostras sejam obtidas por processos adequados. Assim, pode-se dizer que
trabalhar com amostras é bem mais fácil, mais econômico e mais rápido. A amostra deve
representar fidedignamente a população, por isso, exigi-se certas técnicas para a obtenção de
amostras não tendenciosas e imparciais, como deve ser todo trabalho estatístico, estas técnicas
são obtidas através da amostragem.
4 - PRINCIPAIS TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM
4.1 Amostra Casualizada – É quando todos os elementos da população tem a mesma
probabilidade de participarem da amostra. Equivalente a um sorteio.
Por exemplo, uma clínica com 100 pacientes, onde se deseja uma amostra de 20 elementos.
Colocamos todos os nomes em uma urna e aleatoriamente retiramos os 20 nomes
4

4.2 Amostra Sistemática – É aquela que se adota um sistema intervalar (tempo ou espaço) para a
obtenção dos dados, ou seja, quando os elementos da população já se acham ordenados e o
pesquisador determina o sistema.
Por exemplo, Prontuários médicos, 1 a cada 5; Linhas de produção 1 a cada 100.
4.3 Amostra Estratificada – Ocorre quando dividimos a população em sub populações
(estratos), e dentro de cada estrato retiramos uma certa quantidade de elementos. Essa retirada
pode ser casualizada ou sistemática.
Por exemplo, supondo que dos 100 pacientes do primeiro exemplo utilizado, 60 sejam homens e
40 mulheres são, portanto dois estratos (masculino e feminino). Se queremos uma amostra de
20%, logo: Amostragem masculina = 12 elementos;
Amostragem feminina = 8 elementos.
4.4 Amostra por Conglomerado – É aquela onde dividimos a população em conglomerados
(seções) e sorteamos uma certa quantidade de conglomerados, trabalhando com todos os
elementos das seções sorteadas.
Por exemplo, estudo sobre a estatura dos alunos da UCB, dividiríamos a população em seções
(cursos) e realizaríamos um sorteio para saber com que cursos iriam trabalhar.
4.5 Amostra por Conveniência – É aquela que se obtém os dados por comodidade.
Por exemplo, para realizar uma pesquisa com alunos do curso de Educação Física. Realizaríamos
em nossa instituição.
Exercícios
1. A carteira de clientes de uma agência está organizada em um arquivo, por ordem alfabética.
Qual o tipo de amostra e a maneira mais simples de amostrar 1/ 3 dos clientes?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
2. Defina população estatística, exemplifique e atribua TRÊS características a essa população.
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______________________________________________________________________________
3. Relacione:
1. Amostra sistemática.
2. Amostra por conglomerado.
3. Amostra estratificada.
4. Amostra casualizada.
5. Amostra por conveniência.
( ) Quando divide a população em sub populações.
( ) Quando a população já se acha ordenada.
( ) Quando se obtém por comodidade.
( ) Quando se assemelha a um sorteio.
( ) Quando se seleciona apenas parte da população.
5

( ) Quando dividimos a população em conglomerado
4. Alunos de uma universidade resolveram realizar uma pesquisa de intenção de votos para a
eleição de um novo reitor daquela instituição. O trabalho foi realizado no período de 10 a 15 de
junho de 2012 com toda a comunidade acadêmica. Foram ouvidos, de forma aleatória, 236
eleitores sendo o mesmo percentual para alunos e funcionários.
Responda:
a) A população estatística;
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
b) A técnica de amostragem utilizada.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
5. MÉTODO ESTATÍSTICO
O método estatístico compreende um ciclo que vai da concepção do problema até as conclusões.
Realiza-se pela aplicação do método cientifico, pelas fases a seguir:
Definição do __ Coleta de __ Análise de __ Conclusões
Problema Dados Dados
Vejamos cada fase.
5.1 Definição do Problema
Esta fase é a mais importante. Onde é claramente definido o problema e o objetivo a ser
alcançado. Hipóteses são levantadas. Essas definições irão conduzir as fases subseqüentes. Para
estatística, o produto importante da definição do problema é a delimitação da população. Outro
aspecto importante da definição de problema é o levantamento de hipóteses. Fazem-se perguntas
ou afirmações sobre a população, originadas em conhecimentos anteriores ou na percepção dos
pesquisadores. Definida a população e formuladas as hipóteses precisamos elaborar um
instrumento para coleta de dados.
5.2 Coleta de Dados
Há várias maneiras de coletar dados. O meio mais comum é o uso de questionários ou
formulários, compostos por perguntas.
Elaborar um questionário é uma das tarefas mais importantes em um trabalho de pesquisa, é por
meio deles que os dados serão obtidos e registrados. Ele precisa ser claro, objetivo e não dar
margem a dúvidas ou a má interpretação. O questionário pode ser preenchido pelo entrevistador
ou pelo entrevistado. A maior vantagem no uso do questionário é o anonimato do entrevistado o
que possibilita respostas muito mais verdadeiras.
As partes que compõem um questionário são:
1. Cabeçalho – Serve para identificar quem promove a pesquisa;
6

2. Textos de instruções e apresentação do entrevistador – Contém orientações e avisos
para o entrevistado.
3. Variáveis de identificação da unidade pesquisada ou da entrevista – Localizar a
unidade amostral ordenando os questionários.
4. Perguntas - Conjunto de questões.
5. Agradecimento – Agradecer a contribuição do entrevistado para o trabalho.
5.3 Análise de dados
Analisar dados consiste em aplicar técnicas estatísticas para interpretar os resultados obtidos.
Nesta fase procura-se responder às perguntas de pesquisa e confirmar ou refutar as hipóteses,
para isso utilizam representações dos dados em tabelas e/ou gráficos.
5.4 Conclusões
Feita a análise dos dados coletados, chega-se á última fase de um trabalho de pesquisa. As
conclusões são feitas na forma de afirmações sobre os dados, baseada nas análises. Nessa etapa as
hipóteses serão confirmadas ou refutadas. As conclusões baseiam-se nos resultados das análises e
de conhecimentos anteriores sobre o tema. Não podem decorrer de interpretações subjetivas.
6. TABELAS
Tem o objetivo de sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem assumir, para que
tenhamos uma visão global da avaliação dessa ou dessas variáveis. Fornecendo rápidas e seguras
informações.
Uma tabela compõe-se de:
• Título – Explica o que o trabalho contém, devendo responder as seguintes perguntas: O
que?, Onde? e Quando?
• Cabeçalho – especifica o conteúdo das colunas.
• Corpo – Formado por linhas e colunas de dados.
• Rodapé – Pode apresentar chamadas e notas, além da Fonte que não deve deixar de ser
exibida já que Identifica o responsável (is) pelo trabalho.
7

A tabela deve ser delimitada por traços horizontais, traços verticais somente para separar colunas,
nunca para delimitar a tabela.
Observe o modelo:
Título
Cabeçalho Cabeçalho
C o r p o
Rodapé
7. GRÁFICOS
Os resultados de uma pesquisa podem ser apresentados por meio de gráficos, porém estes devem ser:
simples, bonitos e fáceis de serem interpretados. Caso contrário, a apresentação a apresentação
por meio de gráfico não faz sentido. Os gráficos mais comuns são: EM COLUNAS, BARRAS,
LINHAS E ÁREA ou PIZZA.
7.1 Normas de Representação Gráfica
Não há normas rígidas para a representação gráfica de dados. São indispensáveis apenas título e fonte dos
dados, recomendando-se a adequação ao tipo de variável.
7.2 Construção de gráficos utilizando o programa Microsoft XP
1° Passo – Clicar em INICIAR; PROGRAMAS; EXCEL ou atalho EXCEL na área de trabalho.
2° Passo – Inserir dados.
3° Passo – Selecionar as células utilizadas.
4° Passo – Clicar ASSISTENTE DE GRÁFICO na barra de ferramentas.
5° Passo – Escolher o tipo de gráfico e AVANÇAR.
6° Passo – Verificar se as séries estão em colunas e AVANÇAR.
8

7° Passo – TÍTULO digitar o título do gráfico e se necessário informações para o eixo de
categorias e valores.
8° Passo – EIXOS a opção de apresentação de identificação das categorias e valores.
9° Passo – LINHAS DE GRADE opção de retirar ou inserir linhas para auxílio na leitura de
gráficos.
10° Passo – LEGENDA quando houver necessidade de informações quanto as colunas.
11° Passo – RÓTULO DE DADOS para que o valor referente a cada categoria apareça.
12° Passo – TABELA DE DADOS não utilizar.
13° Passo – POSICIONAR COMO PLANILHA OU COMO OBJETO planilha o gráfico a
exibição se da em tela inteira e como objeto se da como janela.
14° Passo – CONCLUIR.
* Para trocar a cor de todas as colunas, clicar uma vez sobre uma das colunas em seguida dois
cliques sobre qualquer coluna e abrirá um menu de cores. Selecionar a cor e clicar OK.
** Para trocar a cor de cada coluna individualmente, clicar uma vez sobre qualquer coluna em
seguida um clicar sobre a coluna que deseja alterar a cor e dois cliques para abrir o menu de
cores. Selecionar a cor desejada e clicar OK.
*** Para voltar em OPÇÕES DE GRÁFICO depois de concluído, clicar com o botão direito
sobre área do gráfico.
8. ARREDONDAMENTO DE DADOS
Arredondar um número significa reduzir a quantidade de algarismos após a vírgula, deste
número. O arredondamento de dados ocorre de duas formas, a saber:
a) Quando o algarismo a ser abandonado é 0,1, 2, 3 ou 4.
ex: 2,764 para centésimos 2,76
b) Quando o algarismo a ser abandonado é 5,6,7,8 ou 9.
Obs: Não devemos realizar arredondamentos sucessivos.
ex de arredondamentos sucessivos: 0,2685485 para centésimos 0,26859
0,2686
0,269
0,27
Nesses casos devemos conservar apenas o primeiro algarismo após a unidade que deseja
arredondar e desprezar as demais, em seguida aplicar uma das técnicas informadas
anteriormente.
9

NOSSAS ATIVIDADES DEVERÃO SER ARREDONDADAS PARA DÉCIMOS
Exercício
Aplique o arredondamento:
a) 15,2586
b) 4.056
c) 1,3333333...
d) 29,899
e) 8,964012
f) 9.95
9. DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Determinamos distribuição de freqüência o número que fica relacionado a um determinado valor
da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIA.
9.1 Métodos Para a Distribuição de Freqüência
Tabela primitiva – É a tabela cujos elementos não foram numericamente organizados.
Exemplo:
Estatura, em cm, de participantes do projeto
“Micro Escola da UCB” jul / 2011.
166 160 161 150 162 160 163
162 161 168 163 156 170
155 152 190 189 155 190
154 161 156 172 153 181
Rol – É a maneira mais simples de organizar os dados através de uma ordenação CRESCENTE
OU DECRESCENTE.
Exemplo:
150 155 160 161 163 172 190
152 155 160 162 166 181
153 156 161 162 168 189
154 156 161 163 170 190
Freqüência de uma classe – O número de valores da variável pertencente à classe. O que passará
a se chamar distribuição de freqüência com intervalos de classe.
Exemplo: Tabela 1
1

Estatura (cm) Freqüência
150  158 8
158  166 9
166  174 4
174  182 1
182 !--! 190 3
Total 25
Nota: Os intervalos devem ser escritos de acordo com a resolução do IBGE, em termos de:
DESTA QUANTIDADE ATÉ MENOS AQUELA ( inclusão  exclusão).
9.2 Frequencia Absoluta –F(abs)
É o número de vezes que cada variável estatística assume, o mesmo que freqüência.
9.3 Frequencia Relativa - F(%)
Calculada a partir da divisão de freqüência absoluta pelo N multiplicado por 100, pois o resultado
em percentual é mais fácil de ser interpretado.
F(%)= F (abs) . 100
N
Estatura (cm) F (abs) F (%)
150  158 8 32
158  166 9 36
166  174 4 16
174  182 1 4
182 !--! 190 3 12
Total 25 100
9.4 Freqüência Acumulada (Fac)
Freqüência Acumulada Crescente (ou Freqüência acumulada ”abaixo de”, ou Freqüência
acumulada ”até”) que representaremos por Fac é a soma das freqüências absolutas anteriores de
uma determinada classe.
1

Por exemplo, na tabela acima, a Freqüência acumulada crescente é: 8+9=17; 17+4=21; 21+1=22;
22+3=25
Estatura, em cm, de participantes do projeto“Micro Escola da UCB” jul / 2011.
Estatura (cm) F (abs) F (%) Fac
150  158 8 32 8
158  166 9 36 17
166  174 4 16 21
174  182 1 4 22
182 !--! 190 3 12 25
Total 25 100 ---
10. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
10.1 Classes
São intervalos de variação da variável. Representadas por i.
Sendo i = 1, 2, 3, ... , k
10.2 Como determinar o número de classes para agrupamento de dados.
Sendo: k – Número de classes;
n – Número de dados da variável.
Fórmula para quantidade de classes:
nk =
Recomenda-se que o número de classes esteja entre 5 e 15.
Exemplo:
Utilizando dados do exemplo anterior:
n = 25
25=k ⇒ 5 logo k = 5 classes
Se k for maior que 15, use k=15. Caso seja menor que 5 usar k=5.
10.3 Como determinar a amplitude dos limites de classes.
Sendo: Max: Menor dado da série
Min: Maior dado da série
Fórmula para limite de classe:
lim classe = (max – min)
k
Exemplo:
1

Aplicando a fórmula utilizando dados da tabela 1:
lim classe = 191 – 150 = 41 / 5 = 8,2
5
Os limites das classes deverão apresentar amplitude de 8 cm
Limite de classe – São os limites de cada classe. Sendo o menor número limite inferior da classe
e o maior número limite superior da classe.
10.4 Amplitude
10.4.1 Do intervalo de classe – É a medida do intervalo de cada classe, obtida pela diferença
entre os limites, SUPERIOR e INFERIOR da classe representada por h. Assim: h = L – l
10.4.2 Total da distribuição – è a diferença entre o limite superior máximo e o limite inferior
mínimo, ou seja, o maior e o menor valor da variável. Representada por AT, pode ser
calculada por AT = L(Max) – l(min)
10.4.3 Amplitude amostral (AA) – é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da
amostral AA= x(Max.) – x(min.)
EXERCÍCIOS
1. A tabela abaixo apresenta o número de atendimentos na clínica “bela” no mês de maio /
2011:
14 21 11 13 14 13
12 14 13 20 11 12
06 10 09 18 15 19
16 12 11 14 14 13
15 12 14 08 11 14
Construa uma DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA com intervalo de classe CINCO
2. A tabela abaixo apresenta a IDADE de alunos da turma 502 da Escola Municipal Pará
Cidade do Rio de Janeiro 2010:
14 12 11 13 14 13
12 09 13 20 11 12
17 13 10 18 15 19
16 12 11 14 14 08
15 12 14 08 11 14
Construa uma distribuição de freqüência, calcule os limites de classe, amplitude do intervalo,
amplitude total da distribuição, amplitude amostral e uma distribuição de freqüência.
3. Conhecidas as notas em uma avaliação de ESTATÍSTICA: 85, 75, 25, 45, 10, 55, 50, 55,
80, 55, 40, 60, 50, 45, 45, 35, 90, 70, 85, 80, 70, 45, 30,100, 30.
Obtenha uma DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA.
1

4. Crie uma situação problema e construa:
a. Uma tabela primitiva;
b. Um ROL;
c. Uma distribuição de freqüência.
11. Medidas de Tendência Central Para uma Amostra
Os dados quantitativos, apresentados em tabelas e gráficos, constituem a informação básica do
problema em estudo. Mas é conveniente apresentar, além dos dados, medidas que mostrem a
informação de maneira resumida. As medidas de tendência central dão valor ao ponto em torno
do qual os dados se distribuem. São as medidas de tendência central, MÉDIA ARITMÉTICA,
MEDIANA E A MODA.
11.1 Média ( x )
A média é uma medida de tendência central que caracteriza, em parte, uma distribuição de
dados.
11.1.1 Média Aritmética Simples - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável
pelo número deles.
Representada por x
Exemplo:
A = {2, 3, 4, 5, 6}
x = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 / 5 = 4
5
Fórmula da Média Simples: x =
n
xi
n
i
∑=1
11.1.2 Média Aritmética Ponderada – É o quociente da soma dos produtos desses números
pela soma das respectivas freqüências ou pesos.
Exemplo:
xi 0 1 2 3 4 5
fi 2 3 5 4 0 1
x = (2 x 0) + (3 x 1) + (5 x 2) + (4 x 3) + (0 x 4) + (1 x 5) =
2 + 3 + 5 + 4 + 0 + 1
x = 0 + 3 + 10 + 12 + 0 + 5 = 30 = 2
15 15
Logo: x = 2
1

Fórmula da média aritmética ponderada:
∑
∑
=
=
= n
i
i
n
i
ii
p
p
px
m
1
1
11.1.3 Desvio em Relação à Média – É a diferença entre cada elemento de um conjunto de
valores e a média aritmética desse conjunto.
Desvio = xxi
−
Lembrando que a soma dos desvios será sempre igual a zero.
Exemplo:
C = {2, 3, 4, 5, 6}
x = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 20 / 5 = 4
5
Desvios em relação à média:
D1 = 2 – 4 = -2
D2 = 3 – 4 = -1
D3 = 4 – 4 = 0
D4 = 5 – 4 = 1
D5 = 6 – 4 = 2
Soma dos desvios: (-2) + (-1) + (0) + ( 1) + (2) = 0
0)(
1
=−∑=
n
i
xxi
A média é utilizada quando:
a) Desejamos uma medida de posição que possui maior estabilidade;
b) Houver necessidade de um tratamento algébrico.
11.2 Mediana
Representada por Md, a mediana é definida como sendo a realização que ocupa a posição central
de uma série de observações quando estas estão ordenadas segundo as suas grandezas. Para
determinar a mediana temos dois casos:
11.2.1 Quando a variável apresentar uma quantidade ÍMPAR de parcelas devemos identificar o
valor que ocupa posição central dessa distribuição.
Fórmula: Md =
2
1+n
Exemplo:
{2, 3, 4, 5, 6}
1

n = 5 Md = 3
2
15
=
+
° *
Md = 4
*A aplicação da fórmula indicará a posição da parcela mediana e não o valor.
11.2.2 Quando a variável apresentar uma quantidade PAR de parcelas, não teremos UM valor
para representar a mediana e sim DOIS valores. Devemos então, identificar os valores que
ocupam a posição central dessa distribuição e calcular a média aritmética desses valores.
Fórmula: Md = 1
22
+
n
e
n
Exemplo:
{2, 3, 4, 5, 6, 7}
n = 6 Md = 1
2
6
2
6
+e
Md = 3° e 4° **
Md = 4 e 5 ⇒ 4 + 5 = 4,5
2
** A aplicação da fórmula indicará a posição da parcela mediana e não o valor.
Empregamos a mediana quando:
a) Desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais;
b) Há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média.
11.3 Moda
Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
Representada por Mo Denominamos moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma
série de valores. Representada por Mo
Ela pode ser:
• Modal, quando apresenta apenas uma moda (freqüência);
Exemplo:
{2, 1, 7, 6, 9, 2, 3, 2} Mo = modal em 2
• Amodal, quando não tem moda (freqüência);
Exemplo:
{5, 3, 9, 8, 2, 10, 1} Mo = amodal
• Bimodal, quando tem duas modas (freqüências);
Exemplo:
{8, 6, 2, 5, 15, 7, 2, 1, 5} Mo = bimodal em 2 e 5
1

• Multimodal, quando apresenta três ou mais modas.
Exemplo:
{8, 6, 2, 5, 15, 7, 2, 1, 5, 3, 8} Mo = Multimodal em 2, 5 e 8
EXERCÍCIOS
1. Sabendo que a freqüência de pacientes em uma determinada semana na clínica “up” foi de 15,
17, 25, 12, 19, 11, 12. Calcule:
a) Média;
b) Mediana;
c) Moda
d) Desvio em relação à média.
2. Determinar a moda, média e mediana nos seguintes casos:
α) 3, 5, 15, 4, 9, 10, 6.
β) 1, 7, 7, 9, 8, 3, 7, 9, 5, 6, 4.
χ) 28, 11, 65, 48, 100, 51, 78, 24.
3. As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7; 7,2.
Sabendo-se que as TRÊS primeiras apresentam peso 2 e as TRÊS últimas peso 3. Determine:
a) Nota média;
b) Nota mediana;
c) Nota modal;
d) Desvio em relação à média.
12. Medida de Dispersão Para uma Amostra
As medidas de dispersão indicam a variação dos dados, demonstrando se os elementos estão
próximos entre si ou não. Algumas medidas de dispersão dão uma idéia do quanto à média é
adequada para representar um conjunto. Quando um conjunto de dados varia pouco em relação à
Média, ela representa bem o conjunto. Ao contrário, se os elementos de um conjunto são muito
dispersos a Média não é uma boa representante.
Exemplo:
A = {50, 55, 65, 65, 70, 75} Média = 63,3 (Indicado para medida de tendência central)
B = {9, 9, 40, 80, 81, 88, 100} Média = 58,1 (Indicado para medida de dispersão)
A Média 63,3 representa os valores do conjunto A.
A Média 58,1 representa os valores do conjunto B. É razoável pensar que esta Média inclui dados
como o 9 ou o 100? Não, pois esses números estão distantes da Média.
Com isso fica demonstrado que é preciso medir essa dispersão, para dar mais informações sobe o
conjunto. Só a Media não basta. Ela deve ser apresentada em conjunto com alguma MEDIDA DE
DISPERSÃO, que vai indicar o quanto ela é representativa do conjunto de dados.
1

Conhecendo as medidas de dispersão em relação à Média aritmética:
Amplitude
Variância
Desvio padrão
Coeficiente de variação
Entendendo melhor as medidas de dispersão:
Nota de quatro alunos em cinco provas
NOME NOTAS MÉDIA
Antônio
João
José
Pedro
5
6
10
10
5
4
5
10
5
5
5
5
5
4
5
0
5
6
0
0
5
5
5
5
Todos obtiveram MÉDIA igual a cinco, mas a dispersão das notas em torno da média não é a
mesma para todos os alunos.
a) As notas de Antônio não variam (dispersão nula)
b) As notas de João variam menos que as de José (dispersão de João menor que a dispersão
de José)
c) As notas de Pedro variam mais do que as notas de todos (maior dispersão)
12.1 AMPLITUDE
Amplitude é a diferença entre o maior e o menor dado observado. Dados da tabela acima:
Exemplo: (a) Amplitude das notas de Antônio
a) = 5 – 5 = 0
b) Amplitude das notas de João
a = 6 – 4 = 2
c) Amplitude das notas de José
a = 10 – 0 = 10
d) Amplitude das notas de Pedro
a = 10 - 0 = 10
1

A Amplitude não mede bem a dispersão, porque seu cálculo usa valores extremos. Mesmo assim
é muito usado por ser fácil de calcular e interpretar.
12.2 VARIÂNCIA
Calculados os desvios em relação à Média, variância é a diferença entre cada dado e a Média.
Para evitar que a soma dos desvios seja nula, podemos usar o quadrado dos desvios. Lembrando
que há desvios positivos e negativos, pois a média fica no centro do conjunto. Se elevarmos os
desvios ao quadrado, eliminaremos todos os sinais negativos. E assim definimos a variância (
s
2
) como a média do quadrado do desvios.
Exemplo:
Dados: 0, 4, 6, 8, 7
Média: 5
Desvios: -5, -1, 1, 3, 2
Cálculo da soma de quadrados dos desvios
Dados
(X)
Desvios
(X - X )
Quadrado dos desvios
(X - X ) 2
0
4
6
8
7
-5
-1
1
3
2
25
1
1
9
4
X =5 ∑ −x( x )=0 40)( 2
=−∑ xx
A soma do quadrado dos desvios não é usada como medida de dispersão.
Fórmula para cálculo da variância:
1
)( 2
2
2
−
−
=
∑ ∑
n
n
x
x
s
1

Aplicando a fórmula:
x
x
2
0
4
6
8
7
0
16
36
64
49
Substituindo:
n = 5
10
4
40
4
125165
4
5
625
165
4
5
25
165
2
2
==
−
=
−
=
−
=s
Para entender melhor a variância:
α) Para as notas de Antônio que não variam, 0
2
=s
β) Para as notas de João, que variam menos que as notas de José, 1
2
=s , menor que a
variância das notas de José, que é .5,12
2
=s
χ) Para as notas de Pedro, que variam mais do que as outras, a variância é 25
2
=s , maior
que todas as outras variâncias.
Aluno Notas Média Variância
Antônio
João
José
Pedro
5
6
10
10
5
4
5
10
5
5
5
5
5
4
5
0
5
6
0
0
5
5
5
5
0
1
12,5
25
12.3 DESVIO PADRÃO
2

Como medida de dispersão, a variância tem a desvantagem de apresentar unidade de medida
igual ao quadrado da unidade de medida dos dados. Por exemplo, se os dados estão em metros a
variância fica em metros ao quadrado.
Mas existe uma medida de dispersão que apresenta as propriedades da variância e tem a mesma
unidade de medida dos dados. É o desvio padrão definido como RAIZ QUADRADA DA
VARIÂNCIA, com sinal positivo. O desvio padrão é representado por s.
Fórmula do desvio padrão:
ss
2
= , ou seja,
1
)(
2
2
−
−
=
∑ ∑
n
ns
xx
Para as notas do aluno José, cuja variância já foi calculada, tem-se o DESVIO PADRÃO:
5,12=S = 3,54
12.4 Coeficiente de Variação
O Coeficiente de Variação é a razão entre o desvio padrão e a Média. O resultado é multiplicado
por 100, para que o coeficiente de variação seja dado em porcentagem.
CV = 100.
X
S
Para se entender como se interpreta o coeficiente de variação, imagine dois grupos de pessoas.
No primeiro grupo, as pessoas têm idades:
3, 1 e 5
E no segundo grupo as pessoas têm idades:
55, 57 e 53
No primeiro grupo a média é 3 anos, e no segundo grupo média 55 anos. Com a mesma
dispersão, A variância de ambos é 4
2
=s . Vejamos os coeficientes de variação:
No primeiro grupo, o Coeficiente de Variação é:
CV = 6,66100.
3
2
= 7%
No segundo grupo, o Coeficiente de Variação é:
CV = 64,3100.
55
2
= %
2

Um coeficiente de variação igual a 66,67% indica que a dispersão dos dados em relação à média
é muito grande. Já um coeficiente de variação 3,64% indica que a dispersão dos dados em relação
à média é pequena. Em outras palavras, diferenças de 2 anos são relativamente mais importantes
no primeiro grupo, que tem média 3 (coeficiente de variação é 66,67%0 do que no segundo
grupo, que tem média 55 (o coeficiente de variação é 3,64%). Então coeficiente de variação mede
DISPERSÃO EM RELAÇÃO À MÉDIA.
EXERCÍCIOS
1. Calcule a amplitude total dos conjuntos de dados:
a) 1, 3, 5, 9.
b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20.
c) –10, -6, 2, 3, 7, 9, 10.
2. Sabendo que um conjunto de dados apresenta para média aritmética e para desvio padrão,
respectivamente, 18,3 e 1,47, calcular o COEFICIENTE DE VARIAÇÃO.
3. Um grupo de 100 estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um coeficiente de
variação de 3,3%. Calcular o desvio padrão.
4. Dada a distribuição relativa de 100 notas de avaliação realizada por um fisioterapeuta, segundo
critérios próprios, para o desempenho de atletas.
Notas (xi) 0 1 2 3 4 5
Freqüência (yi) 4 14 34 29 16 6
Calcule o desvio padrão.
2

REFERÊNCIAS
VIEIRA, Sonia. Introdução à bioestatística, 3ed, Rio de Janeiro, 2004.
MARIA, Inez M. Estatística Básica. Brasília, MSD, 2005.
RODRIGUES, Pedro C. Bioestatística. Niterói: EDUFF, 1983.
CRESPO, Antonio A. Estatística Fácil. São Paulo, ed Saraiva, 2001
2

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