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Sum´ rio
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Introducao
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Introducao
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Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica.
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Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica
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1

Introducao
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Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
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Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica.
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Sum´ rio
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1

Introducao
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2

Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
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4

Classes de Complexidade Probabil´sticas
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Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica.
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Sum´ rio
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1

Introducao
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2

Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
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4

Classes de Complexidade Probabil´sticas
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5

Un Paradigma Combinat´ rio
o

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Sum´ rio
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1

Introducao
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2

Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
a
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4

Classes de Complexidade Probabil´sticas
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5

Un Paradigma Combinat´ rio
o

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Experimento Aleat´ rio
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Historia

Figura 1: Incas

Figura 2: Azande

Figura 3: Naskapi

[Shallit, 2009]

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Historia

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1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π
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Historia

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1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π
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√
a mod p. [H. C. Pocklington]

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1917 Calculo

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Historia

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1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π
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√
a mod p. [H. C. Pocklington]

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1917 Calculo

1976 Test de Primalidade.[Rabin]

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Algoritmos Randomizados

Algoritmo?

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Algoritmos Randomizados

Algoritmo?
Randomizado?

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Algoritmos Randomizados

Algoritmo?
Randomizado?

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Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica
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Geradores Pseudo-Aleat´ rio e Aleat´ rios
o
o

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Geradores Pseudo-Aleatorio: Blum Blum Shub, Fortuna, y el
Mersenne twister.
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Geradores Aleatorio: Quantum True Random Number Generator
http://qubit.lncc.br/trng/

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Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica
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Aplicacoes
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Porque Utilizar?

Simples
Determin´stico:
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1 Transforme F (x).
2 Compare os coeficientes
de F (x) e G(x)
3 Se houver diferenca,
¸
˜
retorne NAO
˜
4 Se nao, retorne SIM

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Porque Utilizar?

Simples
Determin´stico:
ı
1 Transforme F (x).
2 Compare os coeficientes
de F (x) e G(x)
3 Se houver diferenca,
¸
˜
retorne NAO
˜
4 Se nao, retorne SIM

ˆ
Randomico:
1 Sorteie um inteiro w,
aleatoriamente, de 1 a
100d
2 Avalie F (w) e G(w)
3 Se F (w) = G(w), retorne
˜
NAO
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4 Se nao, retorne SIM

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Porque Utilizarlos?

Eficientes:

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Porque Utilizarlos?

Eficientes: exemplo: Test de Primalidade:
AKS O(log6 n(log log n))
Rabin O(log2 n(log log n))

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Porque Utilizarlos?

Eficientes: exemplo: Test de Primalidade:
AKS O(log6 n(log log n))
Rabin O(log2 n(log log n))
Incerteza
Resultado do Algoritmo
Tempo do Algoritmo

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Sum´ rio
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Introducao
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2

Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
a
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4

Classes de Complexidade Probabil´sticas
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5

Un Paradigma Combinat´ rio
o

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Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica
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Algoritmos de Monte Carlo

Incerteza no resultado do Algoritmo.
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Problemas de decisao
Erro bilateral.
Erro unilateral.

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Erro unilateral
Erro unilateral baseado no SIM.
˜
Erro unilateral baseado no NAO.
Exemplo:

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Qual e a probabilidade do algoritmo errar a resposta quando os
ˆ
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polinomios nao sao identicos?
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Mas probabilidades

AS o algoritmo responde SIM
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AN o algoritmo responde NAO
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CS a resposta correta para a entrada e SIM
´ ˜
CN a resposta correta para a entrada e NAO

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Mas probabilidades

AS o algoritmo responde SIM
˜
AN o algoritmo responde NAO
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CS a resposta correta para a entrada e SIM
´ ˜
CN a resposta correta para a entrada e NAO
Probabilidades de Acerto? Pr [AS |CS ], Pr [AN |CN ]
Probabilidades de Erro? Pr [AN |CS ], Pr [AS |CN ]

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Reduzindo a Probabilidade de Errar

Seja A um algoritmo de Monte Carlo de erro-unilateral-baseado
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no nao.
Probabilidade de errar:

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Algoritmos de las Vegas
Incerteza no tempo do algoritmo

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Algoritmo de Monte Carlo usando las Vegas

1 repetir N vezes
Se o algoritmo AV de uma resposta SIM, retorna SIM.
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2 retornar NAO

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Algoritmo de Monte Carlo usando las Vegas

1 repetir N vezes
Se o algoritmo AV de uma resposta SIM, retorna SIM.
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2 retornar NAO
Algoritmo de Error Unilateral Baseado no SIM.

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Sum´ rio
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1

Introducao
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2

Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
a
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4

Classes de Complexidade Probabil´sticas
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5

Un Paradigma Combinat´ rio
o

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PTM

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Uma maquina de Turing probabil´stica M e um tipo de maquina de
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Turing nao determinista onde cada passo no determinista e decidido
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de forma aleatoria. [Sipser, pag. 336]

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PTM: Computation Tree

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Consequˆ ncias
e

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A NDTM e uma PTM sim probabilidades nas transicoes.
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A DTM pode ser vista como PTM com nao mais de uma so
alternativa para cada transicao.
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Para uma mesma entrada pode ter tempo de execucao diferente
¸˜
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ou pode nao parar.
Pode aceitar a entrada em uma determinada execucao, mas
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rejeitar outra entrada.

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Sum´ rio
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1

Introducao
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2

Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
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4

Classes de Complexidade Probabil´sticas
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5

Un Paradigma Combinat´ rio
o

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Classes de Complexidade Probabil´sticas
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BQP: Relacao entre MTQ e MT. 1
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1 [Deutsch

(1985)]
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Classes de Complexidade Probabil´sticas
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1. P=ZPP?, RP=co-RP ?, RP=NP?, co-NP?,BPP ⊆ NP?, NP⊆
BPP?, RP∪co-RP=BPP?
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[Talbot, pag. 83]

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Sum´ rio
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1

Introducao
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2

Fam´lias de Algoritmos Randomizados
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3

M´ quina de Turing Probabil´stica
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4

Classes de Complexidade Probabil´sticas
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5

Un Paradigma Combinat´ rio
o

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O modelo de bolas e latas

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O modelo de bolas e latas

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Paradoxo do Anivers´ rio
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Fim

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Algoritmos Randomizados e suas Aplicações

  • 1. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmos Randomizados ´ Juan Grados Vasquez ˆ GA-025-Ciencia da Computacao: Fundamentos ¸˜ ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı 17 de dezembro de 2013 ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 2. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 3. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 4. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 5. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı 4 Classes de Complexidade Probabil´sticas ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 6. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı 4 Classes de Complexidade Probabil´sticas ı 5 Un Paradigma Combinat´ rio o ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 7. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı 4 Classes de Complexidade Probabil´sticas ı 5 Un Paradigma Combinat´ rio o ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 8. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Experimento Aleat´ rio o ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 9. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Historia Figura 1: Incas Figura 2: Azande Figura 3: Naskapi [Shallit, 2009] ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 10. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Historia ´ 1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π ¸˜ ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 11. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Historia ´ 1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π ¸˜ √ a mod p. [H. C. Pocklington] ´ 1917 Calculo ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 12. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Historia ´ 1777 Metodo Agulha de Buffon para a estimacao do π ¸˜ √ a mod p. [H. C. Pocklington] ´ 1917 Calculo 1976 Test de Primalidade.[Rabin] ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 13. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmos Randomizados Algoritmo? ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 14. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmos Randomizados Algoritmo? Randomizado? ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 15. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmos Randomizados Algoritmo? Randomizado? ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 16. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Geradores Pseudo-Aleat´ rio e Aleat´ rios o o ´ Geradores Pseudo-Aleatorio: Blum Blum Shub, Fortuna, y el Mersenne twister. ´ Geradores Aleatorio: Quantum True Random Number Generator http://qubit.lncc.br/trng/ ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 17. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Aplicacoes ¸˜ ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 18. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Porque Utilizar? Simples Determin´stico: ı 1 Transforme F (x). 2 Compare os coeficientes de F (x) e G(x) 3 Se houver diferenca, ¸ ˜ retorne NAO ˜ 4 Se nao, retorne SIM ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 19. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Porque Utilizar? Simples Determin´stico: ı 1 Transforme F (x). 2 Compare os coeficientes de F (x) e G(x) 3 Se houver diferenca, ¸ ˜ retorne NAO ˜ 4 Se nao, retorne SIM ˆ Randomico: 1 Sorteie um inteiro w, aleatoriamente, de 1 a 100d 2 Avalie F (w) e G(w) 3 Se F (w) = G(w), retorne ˜ NAO ˜ 4 Se nao, retorne SIM ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 20. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Porque Utilizarlos? Eficientes: ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 21. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Porque Utilizarlos? Eficientes: exemplo: Test de Primalidade: AKS O(log6 n(log log n)) Rabin O(log2 n(log log n)) ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 22. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Porque Utilizarlos? Eficientes: exemplo: Test de Primalidade: AKS O(log6 n(log log n)) Rabin O(log2 n(log log n)) Incerteza Resultado do Algoritmo Tempo do Algoritmo ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 23. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı 4 Classes de Complexidade Probabil´sticas ı 5 Un Paradigma Combinat´ rio o ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 24. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmos de Monte Carlo Incerteza no resultado do Algoritmo. ˜ Problemas de decisao Erro bilateral. Erro unilateral. ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 25. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Erro unilateral Erro unilateral baseado no SIM. ˜ Erro unilateral baseado no NAO. Exemplo: ´ Qual e a probabilidade do algoritmo errar a resposta quando os ˆ ˜ ˜ ˆ polinomios nao sao identicos? ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 26. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Mas probabilidades AS o algoritmo responde SIM ˜ AN o algoritmo responde NAO ´ CS a resposta correta para a entrada e SIM ´ ˜ CN a resposta correta para a entrada e NAO ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 27. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Mas probabilidades AS o algoritmo responde SIM ˜ AN o algoritmo responde NAO ´ CS a resposta correta para a entrada e SIM ´ ˜ CN a resposta correta para a entrada e NAO Probabilidades de Acerto? Pr [AS |CS ], Pr [AN |CN ] Probabilidades de Erro? Pr [AN |CS ], Pr [AS |CN ] ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 28. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Reduzindo a Probabilidade de Errar Seja A um algoritmo de Monte Carlo de erro-unilateral-baseado ˜ no nao. Probabilidade de errar: ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 29. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmos de las Vegas Incerteza no tempo do algoritmo ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 30. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmo de Monte Carlo usando las Vegas 1 repetir N vezes Se o algoritmo AV de uma resposta SIM, retorna SIM. ˜ 2 retornar NAO ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 31. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Algoritmo de Monte Carlo usando las Vegas 1 repetir N vezes Se o algoritmo AV de uma resposta SIM, retorna SIM. ˜ 2 retornar NAO Algoritmo de Error Unilateral Baseado no SIM. ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 32. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı 4 Classes de Complexidade Probabil´sticas ı 5 Un Paradigma Combinat´ rio o ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 33. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı PTM ´ ´ ´ Uma maquina de Turing probabil´stica M e um tipo de maquina de ı ˜ ´ Turing nao determinista onde cada passo no determinista e decidido ´ ´ de forma aleatoria. [Sipser, pag. 336] ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 34. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı PTM: Computation Tree ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 35. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Consequˆ ncias e ´ A NDTM e uma PTM sim probabilidades nas transicoes. ¸˜ ˜ ´ A DTM pode ser vista como PTM com nao mais de uma so alternativa para cada transicao. ¸˜ Para uma mesma entrada pode ter tempo de execucao diferente ¸˜ ˜ ou pode nao parar. Pode aceitar a entrada em uma determinada execucao, mas ¸˜ rejeitar outra entrada. ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 36. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı 4 Classes de Complexidade Probabil´sticas ı 5 Un Paradigma Combinat´ rio o ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 37. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Classes de Complexidade Probabil´sticas ı BQP: Relacao entre MTQ e MT. 1 ¸˜ 1 [Deutsch (1985)] ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 38. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Classes de Complexidade Probabil´sticas ı 1. P=ZPP?, RP=co-RP ?, RP=NP?, co-NP?,BPP ⊆ NP?, NP⊆ BPP?, RP∪co-RP=BPP? ´ [Talbot, pag. 83] ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 39. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Sum´ rio a 1 Introducao ¸˜ 2 Fam´lias de Algoritmos Randomizados ı 3 M´ quina de Turing Probabil´stica a ı 4 Classes de Complexidade Probabil´sticas ı 5 Un Paradigma Combinat´ rio o ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 40. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı O modelo de bolas e latas ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 41. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı O modelo de bolas e latas ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 42. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Paradoxo do Anivers´ rio a ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 43. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı Fim Fim ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı
  • 44. ´ Introducao Fam´lias de Algoritmos Randomizados Maquina de Turing Probabil´stica Classes de Complexidade Probabil´sticas Un Paradigma Com ¸˜ ı ı ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica. ¸˜ ı ´ Laboratorio Nacional de Computacao Cient´fica ¸˜ ı