1) O documento propõe duas novas técnicas de equalização de canal de comunicação digital usando processamento largamente linear. 2) A primeira técnica combina a transformada multi-split com um equalizador supervisionado largamente linear para melhorar a taxa de convergência do algoritmo LMS. 3) A segunda técnica consiste em um filtro de erro de predição largamente linear não supervisionado que usa um algoritmo LMS de passo variável para equalizar canais.

1. Abstract— In this paper, we employ the widely linear
adaptive processing technique in digital communication channel
equalization. We present two new techniques for supervised and
unsupervised equalization. In the supervised technique the multi-
split transform is aggregated to the widely linear processing,
using a power normalized and time-varying step-size LMS
algorithm. The unsupervised technique consists of a widely linear
adaptive prediction-error filter using the time-varying step-size
LMS algorithm proposed by Kwong and Johnston. We show that
this technique can invert non-minimum phase channels. The
main advantages of the proposed equalizers are the low
computational complexity and better performance in terms of
convergence rate and accuracy, when compared to the
conventional equalization techniques. Simulation results show
that the widely linear equalizers have a good performance.
Keywords— widely linear processing, channel equalization,
LMS algorithm, multi-split transform.
I. INTRODUÇÃO
PROCESSAMENTO largamente linear (LL),
introduzido formalmente por Picibono e Chevalier [1],
vem se mostrando uma técnica eficiente de processamento de
sinal para os problemas de estimação e equalização de canal
de comunicação [2], [3]. Em [1], é mostrado que o
desempenho de um estimador de sinais complexos, segundo o
critério MMSE (minimum mean-squared error), pode ser
melhorado significativamente quando é utilizado tanto o sinal
quanto o seu conjugado complexo. Para que esse ganho
ocorra, entretanto, é necessário que o sinal observado seja
impróprio, isto é, a pseudo-correlação entre o sinal desejado e
o sinal observado deve ser não nula.
O canal de comunicação digital é, em geral, variante no
tempo e um meio hostil à transmissão de informação devido à
introdução de interferência entre os símbolos (IES) e ruído.
Uma forma de combater a IES é por meio de um equalizador
adaptativo [4].
Dependendo de como o sinal desejado é obtido, o
equalizador adaptativo pode ser classificado como
supervisionado (treinado) ou não supervisionado (cego ou
autodidata). Quando existe uma seqüência de dados conhecida
Este trabalho foi suportado pela CNPQ, processo número 484391/2006-2, e
pelo programa CAPES-COFECUB, processo número 544/7.
F. J. A. de Aquino é professor no Instituto Federal de Educação, Ciência e
Tecnologia do Ceará (IFCE), Brasil, fcoalves_aq@ifce.edu.br.
L. S. Resende e C. A. F. da Rocha são professores do curso de Engenharia
Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC), Brasil, {leonardo,
aurelio}@eel.ufsc.br.
disponível para a inicialização e ajuste periódico dos
parâmetros do equalizador, temos uma equalização treinada.
Quando tal seqüência de dados não está disponível, mas
apenas o modelo estatístico do sinal transmitido, temos uma
equalização autodidata.
O uso de processamento LL em equalização de canal requer
que o sistema de comunicação digital possa ser analisado sob
o ponto de vista de uma transmissão de dados reais sobre um
canal complexo. Desta maneira, o sinal recebido é impróprio.
Como exemplo, podemos citar os sistemas que usam
modulações OQAM, MSK e GMSK. De fato, tais sistemas
podem ser modelados como uma transmissão de sinais reais
por um canal complexo [2].
Em [2], é apresentado o uso do processamento LL para
equalização de canais seletivos em freqüência. Equalizadores
treinados, com resposta ao impulso finita (FIR) e infinita
(IIR), e realimentado por decisão (DFE_decision feedback
equalizer) são derivados e adaptados utilizando o algoritmo
LMS (least-mean-square) largamente linear. Resultados de
simulação demonstram um bom desempenho desses
equalizadores para canais com zeros próximos ao círculo de
raio unitário. Em [3], são introduzidos e analisados dois
algoritmos cegos LL visando a supressão de interferência de
acesso múltiplo (MAI_multiple access interference) em
sistemas DS-CDMA (direct-sequence code-division multiple
access): o algoritmo de energia de saída mínima
(MOE_minimum-output-energy) e o algoritmo LMS cego
(BLMS_blind LMS). Segundo os autores, os algoritmos LL
apresentam um melhor desempenho quando comparados aos
seus equivalentes lineares.
Neste artigo, são apresentadas duas novas estruturas de
equalização de canal de comunicação usando o processamento
largamente linear. A primeira estrutura incorpora a técnica
multi-split (MS) de filtragem adaptativa ao esquema de
equalização treinada LL, visando melhorar a taxa de
convergência do algoritmo LMS-LL. A segunda estrutura traz
a principal proposta deste artigo, a qual consiste em utilizar
um filtro de erro de predição largamente linear (FEPLL)
usando um algoritmo LMS de passo variável para equalização
cega.
Este artigo é organizado como segue. Os fundamentos do
processamento largamente linear e o modelo do canal de
comunicação digital são apresentados na Seção II. A Seção III
introduz a técnica multi-split e o algoritmo LMS multi-split
largamente linear. Na Seção IV é apresentado o FEPLL para
equalização cega usando um algoritmo do tipo LMS de passo
F. J. A. de Aquino, L. S. Resende, Member, IEEE, and C. A. F. da Rocha, Member, IEEE
Widely Linear Adaptive Equalization of Digital
Communication Channel
O
30 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 1, MARCH 2010

2. a(n)
η(n)
(.
)*
Equalizador
Largamente
Linear
x(n)
y(n) = â(n)
Transmissor Canal
h
variável. Os resultados de simulação para os casos cego e
treinado são mostrados e discutidos na Seção V. Finalmente,
na Seção VI, são apresentadas as conclusões.
II. CONCEITOS BÁSICOS E MODELO DO SISTEMA
A. Processamento largamente linear – fundamentos
Seja x(n) uma seqüência complexa, discreta, aleatória, com
média nula. Usualmente, as estatísticas de segunda ordem de
x(n) são descritas pela função de autocorrelação (FAC),
definida por:
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2n n E x n x nμ = *
, , (1)
onde (.
)* denota a operação de conjugação complexa.
Entretanto, tem sido observado que a FAC não descreve
completamente as estatísticas de segunda ordem em alguns
casos [1], [5], [6]. Logo, é necessário introduzir uma outra
função chamada de pseudo-autocorrelação (FPAC), definida
por:
( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2n n E x n x nρ =, . (2)
O processo x(n) é conhecido como próprio quando ρ(n1,n2)
é igual a zero, e a FPAC pode ser omitida. Por outro lado, se o
processo x(n) apresenta uma FPAC não nula, este é dito ser
impróprio. Um processo impróprio é estacionário no sentido
amplo (wide-sense stationary – WSS) se, e somente se,
E{x(n)} = mx é uma constante e tanto a FAC quanto a FPAC
não dependentem dos instantes de tempo discretos n1 e n2, e
sim da diferença entre eles [7].
B. Modelagem do sistema
O canal de comunicação digital é modelado por um filtro
FIR de ordem L, com coeficientes complexos. O sinal na saída
do canal, x(n), em banda base, assumindo sincronização
perfeita de portadora, é descrito por:
( ) ( ) ( ) ( )
0
,
L
m
m
x n h n a n m nη
=
= − + (3)
onde a(n) denota o símbolo transmitido, pertencente a uma
constelação A real, de média nula e variância σa
2
, hm(n) o m-
ésimo coeficiente do canal, no instante n, e η(n) um ruído
aditivo, gaussiano, complexo, de média nula e variância ση
2
.
Os símbolos gerados pelo transmissor são assumidos ser
independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.), e o ruído
η(n) independente de a(n).
Para não carregar muito a notação, será omitida a
dependência temporal do canal. A Fig.1 ilustra o modelo
descrito e o emprego do processamento largamente linear em
equalização de canal de comunicação digital.
Considerando que o canal h seja estacionário no sentido
amplo, a partir de (2) e (3), a FPAC de x(n) pode ser calculada
por [2]:
( ) 2
,a m k m
m
k h hρ σ +=  (4)
Figura 1: Diagrama de blocos de um sistema de comunicação digital usando
equalização largamente linear.
Figura 2: Esquema de filtragem adaptativa de Wiener
podendo ser diferente de zero para |k| < L+1. Neste caso, o
processamento largamente linear se aplica e o equalizador é
formado por dois filtros transversais em paralelo: w = [fT
gT
]T
.
III. TÉCNICA MULTI-SPLIT
O algoritmo LMS é um importante membro da família de
algoritmos de gradiente estocástico. Duas características
importantes do algoritmo LMS são sua simplicidade e
robustez. Além disto, não requer o conhecimento de funções
de correlação, nem envolve inversão de matrizes.
Infelizmente, seu desempenho, em termos de capacidade de
rastreamento e taxa de convergência, depende do
espalhamento dos autovalores da matriz de correlação do sinal
de entrada e da escolha do passo de adaptação [8]. A Fig.2
mostra o esquema clássico de filtragem adaptativa de Wiener
utilizando o algorítmo LMS, onde x(n) é o sinal de entrada,
w(n) o vetor de coeficientes do filtro, y(n) o sinal de saída,
d(n) o sinal desejado e e(n) o sinal de erro.
Teoricamente, usando uma transformação de similaridade
como, por exemplo, a transformação de Karhunen-Loève
(KLT), é possível obter uma diagonalização da matriz de
autocorrelação e melhorar a taxa de convergência do
algoritmo LMS, através de uma adaptação normalizada na
potência. Porém, a transformação KLT, além de requerer o
conhecimento da matriz de autocorrelação, possui uma
elevada complexidade computacional [9].
Transformações alternativas que não requerem o
conhecimento a priori da matriz de autocorrelação, como a
DCT (discrete cosine transfom) e a DFT (discrete Fourier
transform), também podem ser empregadas, mas ainda com
complexidades computacionais proibitivas quando a ordem do
filtro é muito elevada.
e(n)x(n)
d(n)
y(n)
w(n)
[w0(n) w1(n)… wN-1(n)]
Algoritmo adaptativo
(LMS)
AQUINO et al.: WIDELY LINEAR ADAPTIVE EQUALIZATION 31

3. A transformada multi-split consiste numa operação de
transformação linear de uma seqüência de dados finita,
representando-a nas suas componentes de simetria par e
ímpar. Do ponto de vista de filtragem FIR, isto consiste em
dividir consecutivamente a resposta impulsiva de um filtro em
partes simétrica e anti-simétrica. Como resultado final do
processo de divisão, para um filtro de ordem N-1, são obtidos
N filtros de ordem zero, conectados em paralelo [9], [10].
Para N=2P
, sendo P um número inteiro maior que zero, a
transformada MS não demanda operações de multiplicação.
Apenas operações de soma e subtração são requeridas. Neste
caso, numa de suas formas, a transformada MS corresponde à
matriz de Hadamard [9]. Na Fig.3 é mostrado o emprego da
transformada MS no esquema de filtragem adaptativa de
Wiener.
Como apontado em [9], existem N! matrizes transformada
MS na Fig.3, sendo que uma delas possui o esquema de
cálculo no formato em borboleta mostrado na Fig.4 (N=8), a
qual exibe as qualidades desejadas de alta modularidade e
paralelismo, indispensáveis em aplicações utilizando VLSI
(very large scale integrated-circuits).
O emprego da transformada multi-split melhora o fator de
diagonalização da matriz de autocorrelação, permitindo que
um algoritmo LMS de passo variável e normalizado na
potência seja empregado na adaptação de cada filtro de ordem
zero mostrado na Fig.3.
A adaptação de cada coeficiente ( )iw n′ , i = 0,1,..., N-1, é
descrita por [9]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1i i MS i iw n w n x n e n r nμ′ ′ ′= − + , (5)
onde μMS denota um passo fixo de adaptação,
e(n) = d(n) – y’(n) (6)
o sinal de erro, sendo y’(n) dado por:
( ) ( ) ( )
1
0
N
i i
i
y n x n w n
−
=
′ ′ ′=  . (7)
O escalar ( )ix n′ denota o i-ésimo elemento do vetor x(n)
transformado pela matriz de Hadamard, x’(n)=HNx(n), e
( )ir n a estimativa de seu valor médio quadrático. Esta
estimativa é calculada por:
( )
( )
( )
( )
2
1
1
n
n j
i
j i
i n
n j i
j
x j
p n
r n
q n
γ
γ
−
=
−
=
′
= =


, (8)
onde pi(n) e qi(n) são recursivamente obtidos por:
( ) ( ) ( )
2
1i i ip n x n p nγ′= + − (9)
e
( ) ( )1 1i iq n q nγ= + − , (10)
onde γ ( )10 ≤<< γ é um fator de esquecimento. Para um
ambiente estacionário γ pode ser unitário.
Figura 3: Filtragem adaptativa de Wiener usando a transformada multi-split.
Figura 4: Cálculo em borboleta da transformada multi-split
Para o caso de um equalizador largamente linear, a
transformada MS é aplicada nos dois filtros (f e g) utilizados
pelo equalizador. O procedimento MS aplicado a um
equalizador largamente linear pode ser resumido como segue:
1) Transformação Linear:
x’(n) = HNx(n)
2) Atualização:
y’(n) = f ’H
(n) x’(n) + g’H
(n) x’* (n)
e(n) = d(n) – y’(n)
ri(n) = pi(n) / qi(n) (Equações (8)-(10))
f ’i(n) = f ’i(n –1) + μMS e(n) x’*i(n) / ri(n)
g’ (n) = f ’*(n)
IV. EQUALIZAÇÃO CEGA COM FEPLL
Nesta seção, é apresentado um filtro de erro de predição
largamente linear (FEPLL) que, ao contrário de sua versão
estritamente linear, é capaz de equalizar canais de fase não
mínima ou que tenham nulos espectrais [11].
A. Filtro de erro de predição linear (FEPL)
O problema de predição linear direta (forward) consiste em
prever o valor futuro de uma seqüência Xn discreta no tempo,
aleatória e estacionária, a partir da combinação linear das
amostras passadas desta mesma seqüência [8]. Ou seja, dados
os valores x(n), x(n-1), …, x(n-M+1) indicando as M amostras
passadas da seqüência até e incluindo o instante n,
N
e(n)
x’0(n)
x’1(n)
x’N-1(n)
x(n)
w’0(n)
w’1(n)
w’N-1(n)
d(n)
Transformada
de
Hadamard
HN
32 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 1, MARCH 2010

4. ( )1n n Mx n k X − ++ ,
ˆ corresponde ao valor predito no instante de
tempo n+k, para k≥1. Um preditor linear direto de um passo e
ordem M-1 pode ser descrito segundo a expressão:
( ) ( ) ( )*
1
ˆ
M
k
k
x n b n x n k
=
= − , (11)
onde ( ) ( ) ( )* * *
1 2, , , Mb n b n b n são os coeficientes do
preditor no instante n. A diferença entre a amostra de entrada
x(n) e seu valor predito, ( )1,n n Mx n X − −
ˆ , é dada por:
( ) ( ) ( )1,n n Me n x n x n X − −= − ˆ , (12)
e é conhecida como resíduo ou erro de predição direta
(forward prediction error). O preditor ótimo, no sentido MSE
(mean square error), é aquele que minimiza o valor médio
quadrático de e(n), isto é, os coeficientes [ ]*
kb n , k=1, ..., M,
do preditor são determinados tal que a função custo
Je=E{|e(n)|2
} seja minimizada. O filtro de erro de predição
direta é aquele que possui como saída e(n).
B. Filtro de erro de predição largamente linear
O FEPLL utiliza além de x(n) seu conjugado complexo
x*(n), como mostra a Fig.5. De acordo com esta figura, o erro
de predição largamente linear pode ser expresso por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 ,
M M
LL k k
k k
H H
e n x n f n x n k g n x n k
x n n n n n
= =
= − − − −
= − − − −
 
*
f x g x
* * *
(13)
onde x(n-1) = [x(n-1) x(n-2) ... x(n-M)]T
, x(n) = hT
a(n) + η(n),
com h = [h0 h1 ... hL]T
, f(n) = [f1(n) ... fM(n)]T
,
g(n) = [g1(n) ... gM(n)]T
e a(n) = [a(n) ... a(n-L)]T
.
Omitindo a dependência temporal dos filtros f e g, pode-se
reescrever (13) como
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ),1
1
−+−
+−+−=
nn
nnnne
H
HT
LL
*
e
*
eee
ηaHg
ηHafah
(14)
onde he = [h0 ... hL 0 ... 0]T
tem dimensão (M+L+1)×1, ae(n) =
[a(n) ... a(n-L) 0 ... 0]T
, com mesma dimensão de he,
[ ]( 1) [ 1] [ 2] ... [ ]
T
n n n n Mη η η− = − − −η e a matriz do canal
de dimensão M×(M+L+1) é definida por:
0 1
0 1
0 1
0 00
00
0
0 00
L
L
L
h h h
h h h
h h h
 
 
 =
 
 
  
H
 
  
     
 
, (15)
sendo que a coluna de zeros em H corresponde ao atraso de
uma amostra.
Aplicando o critério MMSE (minimum MSE) e as regras de
derivação complexa [2], [8], os filtros f e g ótimos podem ser
calculados pela resolução do seguinte sistema de equações:
Figura 5: Filtro de erro de predição largamente linear (FEPLL).
ξ
ξ∗ ∗ ∗
    +
=     
+       
e
e
HhfHH I HH
gH H H H I H h
*H T
H T *
, (16)
onde 2 2
n aξ σ σ= / e I é uma matriz identidade de dimensão
M×M . Os vetores ótimos são dados por:
( ) ( )
( )( )
1
1
1
,
H T T H
T T
ξ ξ
ξ
−
−
−
 = + − +
  
− +
*
e e
f HH I HH H H I H H
Hh HH H H I H h
*
opt
* * * *
(17)
( )( ) ( )
( )( )( )
1
1
1
.
T H H T
H H
ξ ξ
ξ
−
−
−
 = − + +
  
− +
*
*
e e
g HH HH I H H H H I
H h HH I H H Hh
*
opt
* * *
(18)
Nota-se que f gopt opt≠ *
, que é diferente do que ocorre no caso
de equalização treinada quando f gopt opt= *
[2], [10], [11].
Alternativamente, para o caso de um canal sem ruído, isto é,
ξ = 0, pode-se reescrever o sistema de equações em (16)
como:
010 0
10 0
0 0
0 0 0 0
0 0
00 0
00 0
*
*
*
* *
*
LL L
L L
M
ML L
hfh h
gh h
hh h
h h h h
f
gh h
    
    
    
    
=    
    
    
    
         

    
  

      
  
. (19)
A partir de (19) e usando os resultados gerais apresentados
em [1], [2], [12], [13], podemos fazer as seguintes
observações para que exista uma solução ótima:
• o canal precisa ser complexo (ao menos um
coeficiente precisa ser complexo);
• os canais h e h* não podem possuir zeros em comum
(identidade de Bezout);
• os filtros ótimos fopt e gopt precisam ter somente L
coeficientes.
Tal solução ótima para o FEPLL corresponde a um
equalizador do tipo zero-forcing (ZF), com eLL(n) = h0a(n).
AQUINO et al.: WIDELY LINEAR ADAPTIVE EQUALIZATION 33

5. C. Algoritmo adaptativo LMS-LL com passo fixo
Segundo a técnica LMS, os filtros f e g são adaptados pelas
seguintes equações:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
1
LL
LL
e n
n n
n
n e n n
μ
μ
∂
+ = −
∂
= +
f f
f
f x
*
*
(20)
e
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
1
,
LL
LL
e n
n n
n
n e n n
μ
μ
∂
+ = −
∂
= + *
g g
g
g x
*
*
(21)
onde μ é o passo de adaptação. Os filtros são inicializados
fazendo f(0)=g(0)=0.
A Fig.6 mostra o diagrama de blocos do equalizador
adaptativo proposto usando o FEPLL. Para compensar o efeito
multiplicativo provocado pelo coeficiente complexo do canal,
h0, é utilizado um CAG complexo ( )
( ) ( ) j n
n n eγ λ Φ
= , cujo o
ajuste de fase e magnitude é realizado segundo as equações:
( ) ( )( )( 1) ( ) Im *
DDn n e n y nμΦΦ + = Φ + , (22)
( ) ( ) ( ){ } ( )
2 2
1 GG n G n E a n y nμ  + = + − 
 
, (23)
e
( ) ( )n G nλ = , (24)
onde Im denota a parte imaginária, μΦ e Gμ são os passos de
adaptação da fase e da magnitude, respectivamente. Note que
o algoritmo de adaptação da fase foi obtido utilizando a
potência instantânea do erro de decisão direta como função
objetivo. O valor inicial do ajuste de fase é zero ( )( )0 0Φ = e
do ajuste de magnitude pode ser unitário ( )( )0 1G = .
O decisor ()⋅Ψ na Fig.6 é um dispositivo não-linear, sem
memória, que mapeia a saída do equalizador no símbolo mais
próximo da constelação transmitida.
D. Algoritmo com passo variável
Visando obter uma maior taxa de convergência e um menor
desajuste final, é adotada a técnica proposta por Kwong e
Johnston (variable step-size LMS algorithm - VSS-LMS, [14])
para tornar os passos de adaptação μ , Gμ e μΦ variáveis.
No algoritmo VSS, o passo de adaptação é ajustado de acordo
com o quadrado do erro instantâneo:
( ) ( ) ( )
2
1 1X X X Xμ n αμ n nβ ε= − + − , (25)
com 10 <<< α , 0Xβ > e
( )
( )
( )
( )
max max
min min
,
,
,
X
X X
X
μ se μ n μ
μ n μ se μ n μ
μ n outros valores
>

= <


(26)
onde min max0 μ μ< < e ()⋅Xε é um erro que depende de qual
passo está sendo adaptado, como será explicado a seguir.
Figura 6: Diagrama de blocos do FEPLL adaptativo proposto.
Usualmente, usamos como valor inicial ( )0μ = maxμ . Em [4],
é sugerido que ( )2
max 0,1 . xNμ σ= , sendo N o número de
coeficientes do filtro f (ou g) e 2
xσ a potência média do sinal
na saída do canal.
Como pode ser observado a partir de (28), o passo de
adaptação é sempre positivo e é controlado pelos parâmetros
α e Xβ . Tipicamente, 0,98 é um valor adequado para α ,
enquanto que o valor de Xβ é usualmente pequeno (da ordem
de 10-5
nas simulações deste artigo). Naturalmente, a adoção
do passo variável acarreta em uma maior complexidade
computacional para o algoritmo.
Para cada passo ( μ , Gμ ou μΦ ), o erro ( )X nε é calculado
de forma diversa:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ){ }
( ) ( ){ }
Re
Im ,
G G
n y n y n
n y n y n
n y n
μμ ε
μ ε
μ εΦ Φ
→ = Ψ −
→ = Ψ −
→ =
(27)
onde Ψ(y(n)) é o símbolo decidido e Re denota a parte real.
E. Modo decisão direta
Normalmente, após a convergência, o equalizador passa a
operar no modo de decisão direta (DD), que consiste em
utilizar como sinal de referência o próprio símbolo decidido,
ˆ( )a n , presuposto correto. O erro de decisão direta é definido
como eDD(n) = Ψ(y(n)) – y(n), onde Ψ(y(n))=â(n). Caso uma
variação de canal provoque decisões incorretas, devido a uma
operação inadequada do equalizador, este volta a operar no
modo não supervisionado proposto.
Para colocar ou retirar o equalizador do modo DD, a
seguinte estratégia é utilizada:
( )
2
DDSe e n equalizador é colocado no modo DD
Caso contrário equalizador é retirado do modo DD
δ < →

→
,
onde δ é um valor de limiar. As equações para a adaptação no
modo DD dos filtros f e g são dadas por:
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
1
DD
DD
e n
n n
n
n n e n n
μ
μγ
∂
+ = −
∂
= −
f f
f
f ( ) x
*
*
(28)
34 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 1, MARCH 2010

6. e
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
1
DD
DD
e n
n n
n
n n e n n
μ
μγ
∂
+ = −
∂
= −
*
*
( ) *
g g
g
g x .
(29)
V. RESULTADOS DE SIMULAÇÃO
A seguir, são apresentados alguns resultados de simulação
que mostram o bom desempenho do equalizador largamente
linear, usando a técnica multi-split, e do filtro de erro de
predição largamente linear.
Em todas as simulações, o sinal transmitido pertence a uma
constelação 4-PAM, sendo o ruído AWGN e a relação sinal-
ruído (SNR – signal-to-noise ratio), definida por
22 2
1010 a k
k
SNR log h ησ σ
  
=   
  
 , (30)
de 30 dB. Note que o uso da constelação 4-PAM é justificada
pelo fato de utilizarmos canais complexos nas simulações.
Desta maneira, o sinal na saída do canal é impróprio e,
portanto, modela adequadamente os sistemas que fazem uso
das técnicas de modulação OQAM, MSK e GMSK [2].
O emprego de uma razão sinal-ruído elevada visa realçar a
eficiência das técnicas aqui propostas na redução da IES. Vale
também dizer que o equalizador largamente linear é mais
robusto ao fenômeno de amplificação de ruído do que os seus
correspondentes lineares [2].
A. Equalização multi-split largamente linear
i) Simulação 1 – É considerado um canal cuja função de
transferência é h1(z) = 0,601 + (0,6309-0,2403j)z-1
+
(0,355+0,024j)z-2
+ (-0,0348-0,047j)z-3
+(0,156-0,1706j)z-4
.
Este canal é de fase mista e apresenta um zero próximo ao
círculo de raio unitário. Na Fig.7 são mostrados os zeros do
canal, sua resposta em freqüência e as constelações na saída
do canal e na saída do equalizador. Note que o equalizador
inverte adequadamente o canal.
O equalizador, formado pelos filtros f e g, possui um total de
16 coeficientes complexos (oito em cada filtro). Em função
dos parâmetros do canal e do equalizador, foi inserido um
atraso de propagação de 3 amostras [9].
A Fig.8 apresenta as curvas de aprendizado para os
algoritmos LMS-LL, LMS-LL-N (normalizado) e LMS-LL-
MS. Observe que os três algoritmos têm praticamente o
mesmo erro quadrático médio final, mas o algoritmo LMS-
LL-MS converge com um número menor de iterações.
Os passos de adaptação usados foram: µLL = 0,0045; µN =
0,22 e µLL-MS = 1/32. Para a obtenção das curvas foram
mediados 50 realizações independentes.
ii) Simulação 2 – É considerado um canal caracterizado
pelo polinômio h2(z) = (0,3921+0,3921j) + (0,0392+0,745j)z-1
+ (0,051+0,2548j)z-2
+ (0,132+0,136j)z-3
+(0,1068+0,1129j)z-
4
+(0,0423+0,0819j)z-5
. Este canal também apresenta fase
mista e um zero próximo ao círculo de raio unitário. A Fig.9
mostra os zeros da função de transferência do canal e sua
resposta em freqüência.
(a) (b)
(c) (d)
Figura 7: (a) zeros do canal h1, (b) resposta em freqüência, (c) saída do canal,
(d) constelação equalizada (igual para os três equalizadores).
Iterações
Figura 8: Curvas de aprendizado para o canal h1.
(a) (b)
Figura 9: (a) zeros do canal h2, (b) resposta em freqüência.
Iterações
Figura 10: Curvas de aprendizado para o canal h2.
ErroquadráticomédioErroquadráticomédio
AQUINO et al.: WIDELY LINEAR ADAPTIVE EQUALIZATION 35

7. A Fig.10 apresenta as curvas de aprendizado para os
algoritmos LMS-LL, LMS-LL-N e LMS-LL-MS. Neste caso,
o atraso de propagação utilizado foi de 2 amostras.
Novamente, para um mesmo erro quadrático médio final ,pode
ser observado que o algoritmo LMS-LL-MS converge com
um número menor de iterações. Os passos de adaptação
usados foram: µLL = 0,0050; µN = 0,25 e µLL-MS = 1/32.
Em todas as simulações realizadas, o desempenho do
equalizador largamente linear, usando o algoritmo LMS em
conjunto com a técnica multi-split, foi superior ao dos
algoritmos LMS-LL e LMS-LL normalizado (LMS-LL-N).
B. Equalização cega com FEPLL
Para a equalização cega usando o FEPLL são considerados
os canais usados nas simulações anteriores. O FEPLL tem dez
coeficientes complexos, isto é, cinco no filtro f e cinco no
filtro g. Os demais parâmetros usados na simulação estão
indicados na Tabela I.
i) Simulação 1 – É considerado que o canal sofre uma
mudança brusca no instante n = 5000, passando de h1(z) para
h2(z). Podemos observar pela Fig.11 que o FEPLL com o
algoritmo de passo variável conseguiu se recuperar
rapidamente após a mudança do canal. Isto é, foram
necessários cerca de 1.500 símbolos para que o equalizador
conseguisse compensar o canal. Levando-se em conta o
reduzido número de coeficientes do FEPLL (baixa
complexidade computacional), esse é um bom resultado
quando comparado as outras técnicas de equalização cega
encontradas na literatura [16], [17], [18].
A IES residual, definida como [16]
( )2 2
2
k k
k
k
he he
IES
he
−
=
 max
max
, (31)
onde hek é a reposta ao impulso da combinação canal-FEPLL
e |hek|max denota o valor máximo desta resposta, é apresentada
na Fig.12 (média de 250 realizações). Note que o valor de
convergência da IES residual para o canal h2(z) é maior do
que o do canal h1(z). Isto deve-se ao fato de que o canal h2(z)
é mais distorcivo, como pode ser observado comparando as
Figs. 7b e 8b.
ii) Simulação 2 – É realizada uma comparação entre a
proposta FEPLL de passo variável com um equalizador linear
usando o algoritmo CMA modificado apresentado em [17], o
qual é mais apropriado para constelações que não são de
módulo constante. Da mesma forma que no FEPLL, nesse
algoritmo CMA modificado também foi utilizada a técnica de
chaveamento para modo DD normalizado.
Apenas o canal h1(z) é utilizado nesta simulação. Os
parâmetros para o FEPLL são os mesmos já indicados na
Tabela I. Já o equalizador CMA é formado por treze
coeficientes complexos e os seguintes passos de adaptação
são usados: μCMA = 1,20.10-4
e μDD-N = 0,20 (para o modo de
decisão direta). O valor de limiar usado para chavear do modo
cego para o modo de decisão direta foi δ=0,35. Todos esses
parâmetros foram estabelecidos após várias rodadas de
simulação, de tal forma que os dois equalizadores,
especialmente o equalizador CMA, apresentassem um
desempenho satisfatório, isto é, sempre conseguisse convergir.
A Fig.13 mostra a comparação entre o MSE dos dois
equalizadores. Estas curvas foram obtidas pela mediação de
500 realizações independentes.
TABELA I
PARÂMETROS DO ALGORITMO LMS DE PASSO VARIÁVEL DO FEPLL
FEPLLcomalgoritmoLMSde
passovariável
:μ
4
3
2 80 10
2 80 10
min
max
μ
μ
−
−
= ×
= ×
,
,
5
3 5 10μβ −
= ×,
:Gμ
3
3
1 0 10
3 0 10
min
max
μ
μ
−
−
= ×
= ×
,
,
5
1 5 10Gβ −
= ×,
:μΦ
4
3
8 0 10
3 0 10
min
max
μ
μ
−
−
= ×
= ×
,
,
5
8 10β −
Φ = ×
δ = 0,35 (limiar para o modo de decisão direta)
Figura 11: (a) Diagrama de olho para o caso de variação brusca do canal, (b)
evolução da fase, (c) evolução da correção do ganho em função do número de
símbolos recebidos.
Iterações
Figura 12: IES residual para os canais h1 e h2, mudança brusca de h1 para h2
na amostra de número 5000.
IES(dB)
36 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 8, NO. 1, MARCH 2010

8. iterações
Figura 13: Comparação entre o FEPLL e um equalizador linear cego (CMA).
VI. CONCLUSÕES
Neste artigo, foram propostos dois equalizadores
adaptativos, treinado e cego, usando o processamento
largamente linear. No equalizador treinado, é usada a técnica
multi-split e um algorítmo LMS de passo variável e
normalizado na potência. Já o equalizador cego usa a estrutura
de um filtro de erro de predição largamente linear, tendo os
seus parâmetros ajustados por um algoritmo LMS também de
passo variável.
Os resultados de simulação evidenciam que o algoritmo
LMS-LL multi-split pode conseguir uma melhor taxa de
convergência que a sua versão normalizada, para um desajuste
final similar, sem aumentar a complexidade computacional.
Já o equalizador autoditata proposto apresenta uma
complexidade computacional baixa e uma boa taxa de
convergência quando comparado com outras técnicas cegas de
equalização existentes na literatura.
Sob algumas condições, esses novos equalizadores são
capazes de equalizar canais de fase não-mínima, com ou sem
nulos espectrais, desde que o sinal recebido seja impróprio.
REFERÊNCIAS
[1] B. Picinbono e P. Chevalier, “Widely linear estimation with complex
data,” IEEE Trans. Signal Processing, vol. 43, pp. 2030–2033, Aug.
1995.
[2] W. H. Gerstacker, R. Schober e A. Lampe, “Receivers with widely linear
processing for frequency-selective channels,” IEEE Commun. Lett., vol.
7, no. 9, pp. 1512–1523, Sep. 2003.
[3] R. Schober, W. H. Gerstacker, L. H.-J. Lampe, “Data-Aided and Blind
Stochastic Gradient Algorithms for Widely Linear MMSE MAI
Suppression for DS-CDMA”, IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 52,
pp. 746-755, no. 3, Mar 2004.
[4] J. G. Proakis, “Digital Communications”, McGraw-Hill, 3a. Edição,
1995.
[5] F.J.A. de Aquino; C.A.F. da Rocha; L.S. Resende. "Widely Linear
Prediction for Blind Equalization". IEEE International Conference on
Communications - ICC, Glasgow, pp. 2985-2990, 2007.
[6] Neeser, F. D. e Massey, J. L. “Proper complex random processes with
applications to information theory,” IEEE Trans. Inform. Theory, vol. 39,
pp. 1293–1302, Julho 1993.
[7] B. Picinbono e P. Bondon, “Second-order statistics of complex signals”,
IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 45, pp. 411-420, Feb.
1997.
[8] S. Haykin, “Adaptive Filter Theory”, 4th
. ed., Prentice Hall, NJ, 2002.
[9] L.S. Resende, J.M.T. Romano, and M.G. Bellanger, “Split Wiener
filtering with application in adaptive systems”. IEEE Transactions on
Signal Processing; vol. 52; no. 3; pp. 636-644; Março 2004.
[10] R.D. Souza, L.S. Resende, M.G. Bellanger, “Efficient Implementation of
Multi-Split LMS Filtering with Complex Parameters”, Proceedings of
the 4th International Symposium on Image and Signal Processing and
Analysis, pp. 419-423, 2005.
[11] F.J.A. de Aquino, C.A.F. da Rocha e L.S. Resende, “Accelerating the
Convergence of the Widely Linear LMS Algorithm for Channel
Equalization”, VI International Telecommunications Symposium
(ITS2006), Fortaleza-CE, Brazil, vol. 1, 57-61, Sep., 2006.
[12] C.B. Papadias e D.T.M. Slock, "Fractionally spaced equalization of
linear polyphase channels and related blind techniques based on
multichannel linear prediction", IEEE Transactions on Signal
Processing, Vol. 47, pp. 641-654, Mar. 1999.
[13] G.B. Giannakis, e S.D. Halford, “Blind fractionally spaced equalization
of noisy FIR channels: direct and adaptive solutions”, IEEE Trans. on
Signal Processing, vol. 45, pp.:2277 - 2292, Sept. 1997.
[14] R.H Kwong e E.W. Johnston, “A Variable Step-Size LMS Algorithm”,
IEEE Trans. on Signal Processing, vol. 40, no. 7, pp. 1633-1642, July
1992.
[15] O. Shalvi e E. Weinstein, “New criteria for blind deconvolution of
nonminimum phase systems (channels)”, IEEE Trans Inf: Theory, Mar.
1990, 36, pp. 312-321.
[16] M. Shahmohammadi e M.H. Kahaei, “A New Dual-Mode Approach to
Blind Equalization of QAM Signals”, Proc. International Sympsium on
Computers and Communication – ISCC, Antalya, Turkey, pp. 1341-
1346, Junho, 2003.
[17] D.N.Godard,“Self-Recovering equalization and carrier trackingin two-
dimensional data communication systems, IEEE Trans. Commun., vol.
C-28, no. 11, pp. 1867–1875, Nov.1980.
Francisco José Alves de Aquino nasceu em Fortaleza
– CE, em 1970. Graduado pela Universidade Federal do
Ceará – UFC (1992), mestre (1998) e doutor (2008) em
Eng. Elétrica pela Universidade Federal de Santa
Catarina – UFSC. É professor no Instituto Federal de
Educação Ciência e Tecnologia do Ceará (IFCE) desde
1994. Suas principais áreas de interesse são:
processamento digital de sinais, processamento
largamente linear, equalização e TV Digital.
Leonardo Silva Resende (M’96) nasceu em Juiz de
Fora – MG, em 1963. Engenheiro eletricista pela
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
(PUC-MG), Belo Horizonte, em 1988. Mestre (1991) e
doutor (1996) em Engenharia Elétrica pela
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP). De
outubro de 1992 a setembro de 1993, trabalhou no
Laboratoire d’Electronique et Communication,
Conservatoire National des Arts et Métiers (CNAM),
Paris, France, como pesquisador visitante. Desde 1996
é professor no Departamente de Engenharia Elétrica da Universidade Federal
de Santa Catarina (UFSC), sendo atualmente professor Associado II. Suas
principais áreas de interesse são processamento digital de sinais e filtragem
adaptativa.
Carlos Aurélio Faria da Rocha nasceu em Santarém –
PA, em 1956. Graduado pela Universidade Federal do
Pará – UFPA (1980), mestre pela Universidade Federal
de Santa Catarina – UFSC (1985), doutor pela
Universidade Estadual de Campinas – Unicamp (1996),
todos em Engenharia Elétrica. Desde de 1983 é professor
do Departamente de Engenharia Elétrica da UFSC, sendo
atualmente professor Associado II. Foi pesquisador
visitante no Laboratório des Signaux et Systèmes et GDR
Traitement du Signal et Images (SUPELEC, França) de 02/1993 a 01/1994 e
no Conservatoire National des Arts et Métiers (CNAM, França) de 01/2008 a
01/2009. Suas principais áreas de interesse são: processamento digital de
sinais, sistemas MIMO-OFDM, processamento largamente linear, equalização
e TV Digital.
Erroquadráticomédio
AQUINO et al.: WIDELY LINEAR ADAPTIVE EQUALIZATION 37