O documento discute as leis fundamentais da eletricidade, incluindo: 1) A lei de Ohm, que estabelece a relação direta entre corrente e tensão em um resistor; 2) As leis de Kirchhoff sobre corrente e tensão, que governam o fluxo de corrente em circuitos elétricos; 3) Como resistores são conectados em série e paralelo e como calcular suas resistências equivalentes.

1. Leis Básicas
Lei de Ohm e Leis de Kirchhoff
Raffael Costa de Figueiredo Pinto

2. Fundamentals of
Electric Circuits
Chapter 2
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3. Figure 2.1
Os materiais geralmente possuem um comportamento de resistir ao
fluxo de carga elétrica. Essa propriedade física é conhecida como
resistência (R). A resistência para um material com área transversal
A e comprimento ℓ é dada por
Lei de Ohm
Onde é a resistividade do material
em ohms-metro. Bons condutores,
como o cobre possuem baixa
resistividade, enquanto isolantes como
a mica, têm alta resistividade.

4. Table 2.1

5. Lei de Ohm
O elemento usado para modelar o comportamento da resistência é o
resistor. Credita-se a Georg Simon Ohm (1787-1854), físico
alemão, a descoberta da relação entre corrente e tensão para um
resistor. Essa relação é conhecida por lei de Ohm.
A resistência R de um elemento representa sua capacidade de
resistir ao fluxo de corrente elétrica; ela é medida em ohms (Ω).
A lei de Ohm afirma que a tensão v em um resistor é diretamente
proporcional à corrente i através dele.
Ou seja,

7. Figure 2.2
Lei de Ohm
Para aplicar a lei de Ohm devemos atentar
para o sentido da corrente i e para a
polaridade da tensão v, obedecendo a regra do
sinal passivo.
Uma vez que o valor de R pode variar de zero
até o infinito, é importante considerarmos os
dois possíveis valores extremos de R.
Curto-circuito é um elemento de circuito
com resistência que tende a zero.
Circuito aberto é um elemento de circuito
com resistência que tende ao infinito.

8. Figure 2.3
Figure 2.5
Figure 2.4
Um resistor pode ser fixo ou variável. Os tipos mais comuns de
resistores fixos são os de fio e compostos (Fig. 2.3) e o tipo mais
comum de resistor variável é o potenciômetro. O potenciômetro pode
ser composto ou de contato deslizante.

9. Figure 2.6

10. Figure 2.7
Devemos destacar que nem
todos os resistores obedecem a
lei de Ohm, e o que obedece é
conhecido como resistor linear
(ou ôhmico). Seu gráfico é uma
linha reta que passa pela
origem. Enquanto que o
resistor que não obedece a lei
de Ohm é conhecido como
resistor não linear. Sua
resistência varia com a
corrente.

11. Uma medida útil em análise de circuitos é o inverso da resistência R,
conhecida como condutância, medida esta que representa o quanto
o elemento conduz corrente elétrica, e é representada por G:
Condutância G é a capacidade de um elemento conduzir corrente
elétrica; ela é medida em mho (℧) ou siemens (S).
A unidade de condutância é o mho (ohm escrito ao contrário), com
símbolo ℧, o ômega invertido. Embora o mho seja muito utilizado,
neste curso adotaremos o siemens (S), que a unidade SI para
condutância:
1 S = 1℧ = 1 A/V

12. Figure 2.8
Exemplo 2.2
No circuito elétrico mostrado na Figura 2.8, calcule a corrente i, a
condutância G e a potência p.

13. Figure 2.9
Problema prático 2.2
Para o circuito na Figura 2.9, calcule a tensão v, a condutância G e a
potência p.

14. Nós, ramos e laços
Uma vez que os elementos de circuito podem ser interconectados de
diversas maneiras, precisamos compreender alguns conceitos básicos de
topologia de rede. Uma rede é uma interconexão de elementos ou
dispositivos, enquanto um circuito é uma rede que fornece um ou mais
caminhos fechados. Na topologia de rede é estudado as propriedades
relacionadas à colocação dos elementos na rede e configuração geométrica
da mesma. Tais elementos incluem ramos, nós e laços.
Laço é qualquer caminho fechado (loop) em um circuito.
Ramo representa um elemento único como fonte de tensão ou resistor.
Nó é o ponto de conexão entre dois ou mais ramos.
Figure 2.10
Figure 2.11

15. Figure 2.10

16. Figure 2.11

17. Uma rede com b ramos, n nós e l laços independentes vão satisfazer o
teorema fundamental da topologia de rede:
Dois ou mais elementos estão em série se eles compartilharem um único
nó e, consequentemente, transportarem a mesma corrente.
Dois ou mais elementos estão em paralelo se eles estiverem conectados
aos mesmos dois nós e, consequentemente, tiverem a mesma tensão
entre eles.

18. Leis de Kirchhoff
A lei de Ohm por si só não é o bastante para analisar os circuitos,
entretanto, com as duas leis de Kirchhoff , elas formam um conjunto
poderoso na análise de uma série de circuitos elétricos.
Apresentadas por Gustav Robert Kirchhoff em 1847, essas leis são
conhecidas como lei de Kirchhoff para a corrente (LKC, ou lei dos nós) e
lei de Kirchhoff para a tensão (LKT, ou lei das malhas) a primeira se
baseia na conservação de carga e a segunda se baseia no princípio da
conservação da energia.
A lei de Kirchhoff para a corrente (LKC) diz que a soma algébrica das
correntes que entram em um nó é zero.
Matematicamente, a LCK implica em
onde N é o número de ramos conectados ao nó e in é a enésima corrente
que entra (ou sai) do nó. As correntes que entram são consideradas
positivas, enquanto as correntes que saem do nó, são negativas.

19. Aplicando a LKC no circuito da Figura 2.16
A soma das correntes que entram em um nó é igual a soma das correntes
que saem desse nó.
Rearranjando os termos temos
Figure 2.16
Para provar a LKC vamos supor um conjunto de correntes ik(t), k = 1, 2, ...,
fluindo para o nó. A soma algébrica das correntes no nó será.
Integrando ambos os membros da equação, obtemos
onde
Entretanto

20. Note que a LKC também se aplica a
um limite fechado, pois um nó pode ser
uma superfície fechada reduzida a um
ponto.
Em duas dimensões um limite fechado
é o mesmo que um caminho fechado.
Uma aplicação simples da LKC é a
associação de fontes de corrente em
paralelo. A corrente resultante é a
soma algébricas das correntes
fornecidas pelas fontes individuais.
Figure 2.17
Figure 2.18

21. A segunda lei de Kirchhoff se baseia no princípio da conservação da
energia:
A lei de Kirchhoff para a tensão (LKT) diz que a soma algébrica de todas
as tensões em torno de um caminho fechado (ou laço) é zero.
Matematicamente, a LKT implica em
onde M é o número de tensões no laço (ou número de ramos no laço) e vm
é a m-ésima tensão. No circuito da Figura 2.19, o sinal em cada tensão é a
polaridade do terminal encontrado primeiro à medida que o laço é
percorrido, partindo de qualquer ramo e percorrendo no sentido horário ou
antihorário
Figure 2.19
Rearranjando os termos temos

22. Figure 2.21
Exemplo 2.5
Para o circuito da Figura 2.21a, determine as tensões v1 e v2.

23. Figure 2.22
Problema prático 2.5
Determine v1 e v2 no circuito da Figura 2.22.

24. Figure 2.23
Exemplo 2.6
Determine v0 e i no circuito mostrado na Figura 2.23a.

25. Resistores em Série e Divisão de Tensão
A associação de resistores em série e em paralelo ocorre tão
frequentemente que merece atenção especial.
No circuito abaixo, ambos os resistores estão em série, já que a mesma
corrente i flui em ambos.
Lei de Ohm
ou

26. O circuito de dois resistores pode ser substituído por outro de um único
resistor com efeito equivalente. Assim,
Logo,
Para N resistores em série, temos
A resistência equivalente de qualquer número de resistores ligados em
série é a soma das resistências individuais.

27. Para determinar a tensão em cada resistor, temos
Divisores de tensão
Para N resistores em série, A tensão do enésimo resistor Rn é dada por

28. Resistores em Paralelo e Divisão de Corrente
Consideremos o circuito abaixo em que dois resistores estão conectados
em paralelo, e portanto, possuem a mesma queda de tensão entre eles.
Assim,
ou
Aplicando a LKC, temos

29. Para resistores em paralelo é mais conveniente usar as condutâncias invés
das resistências
Para N resistores em paralelo, temos
A resistência equivalente de dois resistores em paralelo é igual ao
produto de suas resistências dividido pela sua soma.
A condutância equivalente de resistores conectados em paralelo é a
soma de suas condutâncias individuais.

30. As correntes individuais são
Divisores de
corrente
Onde
E consequentemente, para N resistores em Série, podemos escrever

31. • Caso extremo R2 = 0 (curto-circuito)
1. A resistência equivalente Req = 0.
2. Toda a corrente flui pelo curto-
circuito
• Caso extremo R2 =  (circuito aberto)
1. A resistência equivalente Req = R1.
2. A corrente i flui pelo caminho de
menor resistência R1

32. Conversão Y-delta (estrela-triângulo)
Muitas vezes surgem situações na análise de circuitos em que os resistores
não estão nem em paralelo nem em série. É o caso dos circuitos Y e delta.
Circuitos Y ou T
Circuitos  ou 

33. Conversão delta-Y (triângulo-estrela)

38. Conversão delta-Y (triângulo-estrela)

39. Conversão Y-delta (estrela-triângulo)