1. OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
INÍCIO DE CONVERSA
As atividades de contagem possibilitam à criança a percepção e a vivência da
ação de somar. Quando constrói conceitos numéricos ao realizar contagens, a
adição é parte dessa construção, porque, na seqüência numérica, um número é
resultado da adição de 1 ao que lhe antecede. Percebe, também, que o valor
numérico de um grupo aumenta ao ser adicionado.
Ao fazer uma contagem regressiva, observa que as quantidades diminuem de
1 em 1. Se, após 6 ela diz 5, esse número é o mesmo que 6 menos 1.
Esses pensamentos carregam o germe conceitual das operações de adição e
subtração. No entanto, as crianças têm muito que aprender e compreender sobre
estas duas operações.
O verbo “aprender” aqui empregado não significa saber usar números, sinais
ou mesmo o algoritmo para fazer a conta. O “aprender” envolve o “entender” que
se refere à compreensão conceitual básica dessas operações.
Nas situações do cotidiano, a criança desde muito pequena vai criando meios
de resolver problemas com os quais se defronta. A maioria envolve estruturas
aditivas ou subtrativas e ela consegue solucioná-las utilizando os recursos de
que dispõe. Se, no seu grupo há 3 colegas e chegam mais 2, ela pode descobrir
o valor numérico do grupo todo contando os colegas. Essa é uma situação bem
concreta em que os elementos contados são os mesmos inseridos na situação.
Outras vezes, a resolução de um problema se dá através do olhar concreto,
mas já abrange alguma abstração. Por exemplo: mediante a situação – há 5
balas na caixa e Júlia coloca lá mais 4 balas -, a criança pode usar fichas ou
outro material no lugar das balas e encontrar a solução. Nesse caso, ela imagina
que as fichas são as balas e isso não faz diferença. Daí, passa a utilizar variados
objetos em substituição a outros, o que já é um tipo de representação.
A atividade espontânea da criança ao resolver situações-problema e a sua
motivação e envolvimento nessa tarefa levam a constatar que esse é o melhor
caminho para trabalhar os conceitos de adição e subtração. Não há como
separar essas operações de contextos que lhes são próprios, pois a
compreensão conceitual está condicionada à compreensão dos contextos
(situações-problema) em que estão inseridas.
Portanto, uma das maiores preocupações dos professores das classes do
Ciclo Inicial de Alfabetização parece ser a de propiciar aos seus alunos situações
favoráveis à construção conceitual das quatro operações básicas. Essa
construção leva a inverter a postura do professor tradicional, pois, primeiro,
deve-se focalizar os significados das operações; depois, o ensino do algoritmo.
Mais uma vez, fica reforçada a afirmativa de que a compreensão deve preceder
à simbolização.
SIGNIFICADOS DAADIÇÃO E DA SUBTRAÇÃO

2. A construção dos conceitos operatórios de adição e subtração passa pela
compreensão dos contextos em que aparecem, pois a ação inserida nesses contextos é
que determina a operação envolvida.
Operação é, portanto, ação; em cada uma das operações essa ação tem vários
significados.
A adição envolve ações de reunir e de acrescentar. Num contexto em que se
reúnem grupos de objetos, animais, pessoas, etc., como por exemplo, num aquário em
que há peixinhos azuis e vermelhos, dizemos que o significado da adição, nessa
situação, é de reunir. Nesse caso, a ação é menos dinâmica. O mesmo acontece
quando nos referimos aos alunos de uma classe afirmando que são 16 meninos e 18
meninas, perfazendo um total de 34 crianças. O contexto já está formado, as partes
estão reunidas e o total é obtido considerando-se estas partes. A ação de reunir está
ligada à idéia de combinar dois grupos para obter um terceiro e é comumente
identificada como ação de “juntar”.
Quando a situação é dinâmica e requer somar um grupo a outro, dizemos que a
ação é de acrescentar. As situações que encerram esse significado estão ligadas à
idéia de transformação, ou seja, alteração de um estado inicial. Acrescenta-se quando
há um grupo e outro junta-se a ele, como por exemplo, “há 3 crianças jogando e
chegam mais 5 para entrar no jogo”; a ação é mais concreta do que no primeiro caso,
por isso as crianças menores entendem melhor o adicionar com significado de
acrescentar.
Os significados da subtração têm suporte nas ações de tirar, comparar e
complementar.
A ação de tirar é bem dinâmica e compreende o ato de, a partir de um grupo, tirar
outro contido nesse e de verificar o que sobra. O resultado é o resto. As situações
envolvendo ação de tirar são mais freqüentes na vida da criança e, por isso, ela tem
mais facilidade de solucioná-las.
Outra ação é a de comparar dois grupos e determinar o que possui mais ou o que
possui menos objetos e descobrir a diferença numérica entre eles. O resultado, nesse
caso, é a diferença. As crianças demonstram muita dificuldade em quantificar a
comparação.Um dos fatores que interfere nessa habilidade é o fato de que elas
identificam as idéias de adição e subtração com mudanças nas quantidades. Como nas
situações comparativas não percebem alterações nas quantidades, elas não
conseguem raciocinar sobre as relações envolvidas no problema. De fato, comparar é
uma ação mais passiva do que tirar e a criança realmente não percebe o que fazer
quando, questões desse tipo lhe são colocadas: “Jane tem 4 lápis e Ana tem 7. Qual é
a diferença entre as quantidades de lápis das meninas?” A diferença é eliminada
tornando os dois grupos de lápis iguais numericamente. Isso pode ser feito somando 3
ao grupo menor ou tirando 3 do grupo maior. Portanto, a diferença é 3. Essa
equalização é muito complexa para crianças mais novas. Para que o pensamento delas
trabalhe no sentido de compreender essas situações, é prudente modificar a redação
do problema trocando a pergunta por: “Quantos lápis faltam para Jane ter o mesmo
tanto que Ana?”, ou “Quantos lápis Ana deve tirar dos seus para que fique com a
mesma quantidade de lápis de Jane?”
Quanto ao significado de complementar, a idéia envolvida é a de completar um
grupo para que fique equivalente a um outro determinado. O resultado da subtração
com esse significado é o complemento. As situações de complementação envolvem
mais pensamento aditivo do que subtrativo. Para solucionar questões, como: -‘quanto

3. falta a um grupo de 6 bolas para completar 9 bolas?”, a contagem a partir de 6 é a
estratégia mais fácil; 3 é o resultado porque 6 mais 3 são 9.
Para resolver uma situação-problema a criança deve, a partir da compreensão do
contexto em que está inserido, utilizar-se de esquemas de ação que possibilitem obter a
solução.
DIALOGANDO COM OS PCNs
Consultando os Parâmetros Curriculares verificamos que o objetivo relacionado ao
Que foi exposto, é: “Resolver situações-problema e construir, a partir delas, os significados das operações
fundamentais, buscando reconhecer que uma mesma operação está relacionada a problemas
diferentes e um mesmo problema pode ser resolvido pelo uso de diferentes operações.” Ao
construir os significados das operações, a criança vai percebendo que a adição e a subtração
podem ser usadas para resolver várias situações diferentes e que há vários caminhos para
resolver um problema.
Acompanhando o desenvolvimento dos seus alunos, o professor vai observar que a construção
dos significados leva tempo e ocorre pela descoberta de diferentes procedimentos de solução
das situações-problema.
...ESQUEMAS DE AÇÃO NAS ESTRUTURAS ADITIVAS/SUBTRATIVAS
Ao deparar-se com uma situação-problema, a primeira tentativa da criança deve ser
a de compreendê-la. De posse do significado das ações envolvidas, ela tenta
esquematizá-las organizando um “esquema de ação”. O termo “esquema” é empregado
aqui com o mesmo significado que possui habitualmente, ou seja, uma representação
da ação que considera apenas os elementos essenciais, desprezando os detalhes,
conforme afirmam NUNES & BRYANT (1997).
As representações das ações de juntar e tirar dão origem aos primeiros esquemas
pelos quais a criança começa a compreender a adição e a subtração. Esses esquemas
possibilitam encontrar, de um modo prático, soluções para as situações que envolvem
estas operações. Contando nos dedos a criança resolve questões, como: “ Imagine
que sua colega tenha 5 moedas e ganhe mais 2; com quantas ficou?” Ela usa os dedos
no lugar das moedas, mas isso não importa, desde que chegue á solução que é obtida
por meio do esquema de juntar. O considerado foi a ação e não os objetos nela
envolvidos.
Este esquema básico utilizado pela criança pode ser expresso por: “o todo é igual à
soma das partes”. Certamente ela compreende isso, mas é incapaz de verbalizá-lo.
Essa possibilidade é denominada por pesquisadores dessa área de conhecimento
implícito. A compreensão das crianças pequenas se evidencia por suas ações e não
pela descrição dos procedimentos utilizados e da sua justificativa.
È importante que o professor identifique os esquemas de ação que seus alunos
estão usando e construindo a partir de suas experiências cotidianas, pois eles
constituem um referencial para o desenvolvimento da base conceitual das operações.
A resolução de problemas envolvendo adição ou subtração requer um mesmo
raciocínio, pois, embora estas operações sejam diferentes, elas se relacionam a uma
mesma estrutura de raciocínio.
Observe: parte1 + parte 2 = todo, logo, se do todo tira-se uma parte sobra outra
parte.
Então: todo – parte 1 = parte 2 , e, todo – parte2 = parte 1.
Analisando esses aspectos constata-se a importância de relacionar

4. adição/subtração nas atividades de aprendizagem, pois esses relacionamentos
enriquecem as possibilidades de compreensão e favorecem a construção de
alternativas de resolução das situações-problema.
A título de exemplo, analisemos algumas situações-problema :
“Observe as flores no jarro: são 6 brancas e 3 vermelhas. Quantas flores há nesse
jarro?”
Este contexto envolve uma estrutura aditiva com o significado de juntar ou combinar
dois grupos para obter um terceiro e insere uma situação estática. O grupo total já está
organizado, basta descobrir o quantitativo. O esquema de ação é: parte + parte = todo.
“Numa cesta havia 4 maçãs. Mara colocou 5 laranjas na mesma cesta. Quantas
frutas há na cesta, agora?
Também envolve uma estrutura aditiva, mas com o significado de acrescentar o que
torna a situação dinâmica. O esquema de ação é igual ao anterior. A situação descrita
no problema está ligada à idéia de transformação, ou seja, alteração do estado inicial
que nesse caso é positiva. A solução consiste em encontrar o total, isto é, o estado
final.
Os problemas desses dois tipos são denominados diretos porque resguardam a
ordem da sentença em que as partes somadas têm por resultado o todo.
Há dois casos entre estes problemas simples que podem ser considerados inversos
por envolverem uma estrutura aditiva e serem resolvidos pela operação inversa, como
por exemplo:
“João começou colecionar figurinhas em um álbum. Hoje ele comprou um pacote
com 8 e viu que agora já tem 15 figurinhas. Quantas figurinhas João tinha antes?”
A situação descrita insere uma estrutura aditiva baseada na idéia de acrescentar.
Nesta estrutura são conhecidos o grupo total e uma das partes. Para encontrar o valor
da outra parte, é comum nessa fase o aluno contar a partir de 8 até chegar a 15.
Portanto, ele adiciona em vez de subtrair. Outros, porém, pensam complementando:
“quanto falta a 8 para completar 15?”
O esquema de ação referente a este problema é: ? + parte = todo,
ou, invertendo, todo – parte = ?. O elemento desconhecido corresponde ao estado
inicial e são conhecidos as quantidades correspondentes à transformação e ao
estado final.
“Antônio tinha 8 bolinhas de gude. Ganhou outras em um jogo com seus colegas e
agora tem 17 bolinhas. Quantas bolinhas de gude Antônio ganhou no jogo?”
Nesse caso, a quantidade desconhecida refere-se ao elemento transformador pois
são conhecidos os valores inicial (8) e final (17). Também é um problema inverso que
insere uma estrutura aditiva resolvida pela subtração.
A dificuldade que o aluno demonstra ao tentar resolver esses problemas inversos é
devida ao fato de que deve coordenar adição/subtração de modo a perceber a ação
aditiva e usar a subtrativa para obter a solução. Esta mobilidade implica no uso de
pensamento reversível que não é peculiar a crianças nessa fase.
Acessado:http://crv.educacao.mg.gov.br/sistema