Árvores de Dados: Conceitos, Elementos, Tipos e Usos

# Estrutura de Dados #
Aula 13 – Árvores
conceito, elementos, tipos e utilizações
Prof. Leinylson Fontinele Pereira

Naaulaanterior...
 Listas Duplamente Encadeadas
# Propriedades
# Operações fundamentais
12:17 Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

Introdução
12:17 3
Estrutura de Dados: Aula 13 – Árvores (conceito, elementos, tipos e utilizações)

O que vamosaprender?
 Árvores
# Conceito
# Componentes
# Tipos de árvores
# Onde são utilizadas?

Vamos começar?
12:17 5

12:17
O que é uma Árvore?

12:18
Algumas Árvores... 

O queé uma Árvore?
12:18
 São um tipo especial de grafo
 Qualquer par de vértices (nós) está
conectado a apenas uma aresta
 Grafo conexo (todos estão conectados)
 Acíclico (não possui ciclos)

Formasde Representação
12:18
Grafo
Diagrama de Venn

O queé uma Árvore?

Árvores
12:18
 As árvores são uma das estrutura de dados
mais importantes da área da computação
 Utilizada em muitas aplicações do mundo real
 Os relacionamentos lógicos entre os dados
representam alguma dependência de hierarquia
ou composição entre os nodos;

Árvores:ConceitosBásicos
12:18
As linhas que unem 2 nodos representam os relacionamentos lógicos e as
dependências de subordinação existentes entre eles

Árvores:ConceitosBásicos
12:18
Relacionamentos de subordinação, formando hierarquias, podem
apresentar diferentes significados

Hierarquiade Especialização

Hierarquiade Composição

Hierarquiade Dependência

RepresentaçãoGráficade umaÁrvore

Terminologia
 A terminologia não é padronizada;
 Existem nomes diferentes para os
mesmos conceitos em diferentes
publicações.

Terminologia
 Raiz (root)
 Todos os outros nós da árvore são subordinados a ele
 O acesso a todos os nós é sempre a partir dele
 Nós descendentes:
 Relação de dependência com o nó mais acima

Terminologia
 Caso o número de nós seja diferente
de zero, existe sempre uma raiz;
 Caso o número de nós seja zero, é
denominada vazia.

Terminologia

Terminologia
 Subárvore
 Conjunto de nós subordinados a um único nó, externo a esta subárvore

Terminologia
 Grau de Um Nó
 Número de subárvores que são subordinadas diretamente a esse nó.
 Grau de uma Árvore
 É o maior valor dentre os graus de todos os seus nós.

Terminologia
 Folha ou Terminal (externo)
 São os nós de grau zero
 Nó de derivação (interno)
 Nós de grau maior do que zero e que apresentam uma subárvore

Terminologia
 Nível de um Nó
 Número de ligações entre este nó e a raiz da árvore mais um
 Caminho
 Sequência de nós consecutivos distintos entre dois nós
 Comprimento do Caminho
 Número de níveis entre os dois nós menos um

Terminologia
 Altura ou Profundidade
 É o número de nós do maior caminho deste nó até um de
seus descendentes-folha
 A altura de uma árvore é igual ao maior nível de seus nós
 Todos os nós folha tem altura 1.

Terminologia
 Floresta
 Conjunto de zero ou mais árvores disjuntas
 Árvore ordenada
 Quando a ordem de suas subárvores é relevante para a
aplicação que está sendo representada através desta
estrutura de dados.

ÁrvoreBinária (BinaryTree)
12:18
 Quando apresentar no máximo grau 2 em cada nó

ÁrvoreBinária (BinaryTree)
12:18
 O grau de cada nó pode ser 0, 1 ou 2

ÁrvoreEstritamenteBinária
12:18
 Cada nó possui 0 ou 2 subárvores

ÁrvoreBinária:Varreduraesquerda‐raiz‐direita
12:18
 Conhecida como inorder traversal, ou varredura
central, ou varredura infixa.
 Na varredura e‐r‐d visitamos
1. A subárvore esquerdada raiz, em ordem e‐r‐d
2. A raiz
3. Finalmente a subárvore direita da raiz, em ordem e‐r‐d

ÁrvoreBinária:Varreduraesquerda‐raiz‐direita

ÁrvoreBinária:Varreduraraiz‐esquerda‐direita
12:18
 Conhecida como preorder traversal, ou varredura em
pré‐ordem, ou varredura prefixa.
 Na varredura r‐e‐d visitamos
1. Visita a raiz
2. Percorre a subárvore esquerda em pré-ordem
3. Percorre a subárvore direita em pré-ordem

ÁrvoreBinária:Varreduraesquerda‐direita‐raiz
12:18
 Conhecida como postorder traversal, ou varredura em
pós‐ordem, ou varredura posfixa.
 Na varredura e‐d‐r visitamos
1. Percorre a subárvore esquerda em pós-ordem
2. Percorre a subárvore direitaem pós-ordem
3. Visita a raiz

ÁrvoreBinária:Tiposde Varreduras

ÁrvoreBinária:ContagemdosNós

ÁrvoresBináriasde Busca
12:18
Considere uma árvore binária
cujos nós têm um campo chave
de um tipo linearmente
ordenado, ou seja, de um tipo
(como números, caracteres, e
strings) que admite
comparações.

12:18
 Uma árvore binária é de busca (em relação ao campo chave)
se cada nó X tem a seguinte propriedade:
 A chave de X é maior ou igual à chave de qualquer nó na subárvore
esquerda de X e menor ou igual à chave de qualquer nó na subárvore
direita de X.
 Em outras palavras, se x é um nó qualquer então y->chave ≤
x->chave ≤ z->chave para todo nó y na subárvore esquerda
de x e todo nó z na subárvore direita de x.

ÁrvoresBináriasde Busca:versão recursiva

ÁrvoresBináriasde Busca:versãoiterativa

ÁrvoresBináriasde Busca:versãoiterativa
 No pior caso, a busca consome tempo proporcional à altura
da árvore. Se a árvore for balanceada, o consumo será
proporcional a log n , sendo n o número de nós.
 Esse tempo é da mesma ordem que a busca binária num vetor
ordenado.

ÁrvoresBináriasde Busca:Inserção
Considere o seguinte problema: Inserir um novo nó, com chave k, em
uma árvore de busca. É claro que a árvore resultante deve também ser
de busca. O novo nó tem a forma de uma folha avulsa e pode ser criado
assim:

ÁrvoresBináriasde Busca:Inserção

ÁrvoresBináriasde Busca:Remoção
Problema: Remover um nó de uma árvore de busca de tal
forma que a árvore continue sendo de busca.
Comecemos tratando do caso em que o nó a ser removido é a
raiz da árvore. Se a raiz não tem um dos filhos, basta que o
outro filho assuma o papel de raiz. Senão, faça com que o nó
anterior à raiz na ordem e-r-d assuma o papel de raiz.

 A exclusão de um nó é um processo mais complexo. Para excluir um nó de uma
árvore binária de busca, há de se considerar três casos distintos para a exclusão:

 Exclusão na folha
 A exclusão na folha é a mais simples, basta removê-lo da árvore.

 Exclusão de um nó com um filho
 Excluindo-o, o filho sobe para a posição do pai.

 Exclusão de um nó com dois filhos
 Neste caso, pode-se operar de duas maneiras diferentes. Pode-se substituir o
valor do nó a ser retirado pelo valor sucessor (o nó mais à esquerda da subárvore
direita)
 Ou pelo valor antecessor (o nó mais à direita da subárvore esquerda),
removendo-se aí o nó sucessor (ou antecessor).

Árvore 𝑛-ária
12:18
 Quando apresentar no máximo grau 𝑛 em cada nó

ÁrvoreIsomorfa
12:18
 Quando é possível que se tornem coincidentes
através de uma permutação na ordem das
subárvores de seus nós

ÁrvoresBalanceadas(Equilibrada)
12:18
 É aquela na qual existe uma
distribuição equilibrada entre
os nós da árvore
 Existe uma diferença mínima
entre todas as folhas e a raiz.

ÁrvoresCheiaou CompletamenteBalanceada
12:18
 É aquela em que todas as folhas estão a uma
distância igual da raiz.

ÁrvoreBináriaQuaseCompleta
12:18
 A diferença de altura entre as subárvores de
qualquer nó é no máximo 1.

ÁrvoresAVL
12:18
 Árvore balanceada pela altura
 As alturas das duas subárvores a partir de cada
nó diferem no máximo em uma unidade
 As operações de busca, inserção e remoção de
elementos possuem complexidade O(log n)

ÁrvoresAVL

ÁrvoresAVL:Rotação
12:18
 Uma rotação simples ocorre quando um nó está
desbalanceado e seu filho estiver no mesmo
sentido da inclinação, formando uma linha reta.
 Uma rotação-dupla ocorre quando um nó estiver
desbalanceado e seu filho estiver inclinado no
sentido inverso ao pai, formando um “joelho”.

ÁrvoresAVL:Rotação
12:18
 Para garantirmos as propriedades da árvore
AVL rotações devem ser feitas conforme necessário
após operações de remoção ou inserção.
 Seja P o nó pai, FE o filho da esquerda
de P e FD o filho da direita de P podemos definir 4
tipos diferentes de rotação:

ÁrvoresAVL:Rotaçãoà Direita

ÁrvoresAVL:Rotaçãoà Esquerda

ÁrvoresAVL: RotaçãoDuplaà Direita

ÁrvoresAVL: RotaçãoDuplaà Esquerda

ÁrvoreRubroNegra
12:18
 Nas árvores rubro-negras, os nós folhas não são
relevantes e não contém dados.
 Estas folhas não precisam ser mantidas em
memória de computador, basta apenas um
ponteiro para nulo para identificá-las.

ÁrvoreRubroNegra

ÁrvoreRubroNegra
12:18
 Um nó é vermelho ou preto.
 A raiz é preta.
 Todas as folhas(nil) são pretas.
 Ambos os filhos de todos os nós vermelhos são pretos.
 Todo caminho de um dado nó para qualquer de seus nós
folhas descendentes contem o mesmo número de nós pretos.

OperaçõesBásicas
12:18
 Criação de uma árvore
 Alocação das variáveis necessárias para a definição da árvore
 As demais operações são habilitadas depois disso
 Inserção de um novo nó
 Como raiz
 Como folha
 Como uma posição intermediária

OperaçõesBásicas
12:18
 Exclusão de um Nó
 Quando não se realiza sobre uma folha, precisa reorganizar a árvore
 Acesso a um Nó
 Destruição de uma árvore

OperaçõesBásicas
12:18
 Pai
 Dado um determinado nó, retorna o endereço do nó
imediatamente superior
 Tamanho
 Retorna o número total de nós de uma árvore
 Altura
 Retorna a altura da árvore

ÁrvoresUsando ContiguidadeFísica
12:18
Não é intuitiva como era no caso das Listas Lineares

ÁrvoresUsando ContiguidadeFísica
A(3) B(1) C(0) D(4) E(0) F(0) G(0) H(0) I(0)
A(3) B(1) E(0) C(0) D(4) F(0) G(0) H(0) I(0)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

VantagensUsandoContiguidadeFísica
12:18
 Eficiente em termos de espaço,
principalmente quando o grau não varia
muito
 Implementação é mais simples se existir
limitação do número de descendentes.

DesvantagensUsandoContiguidade Física
12:18
 Implementação não constitui uma boa
representação física de árvores
 Dificuldade de seguir a hierarquia implícita
nestas estruturas ao manipular a árvore
 Inserção e Remoção demorada

ÁrvoreTernáriaUsandoContiguidadeFísica
A B C D ʎ E ʎ ʎ ʎ ʎ F G ...
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ÁrvoresImplementadasporEncadeamento
12:18
 O acesso se dá sempre pela raiz
 Os demais nós são alcançados somente pelos endereços dos elos
 A hierarquia de subordinação, implícita nas árvores, fica
perfeitamente representada.
 Todos os nós da árvore deve apresentar a mesma estrutura.

ÁrvoresImplementadasporEncadeamento
A
B / / C / / / D /
E / / / F / / / G / / /

Vantagensda Implementaçãopor Encadeamento
12:18
 É bastante Intuitiva
 Inserção e Remoção são simples, constituindo
basicamente na atualização de endereços nos
campos de elo de alguns nós.

Desvantagensda ImplementaçãoporEncadeamento
12:18
 Árvores cujos nós têm grau variado apresentam
geralmente muitos campos de elo ociosos
 O Acesso aos nós pode ser dificultado devido à
necessidade de acessar qualquer nós sempre
através da raiz.

Concluindo ...
12:18 87

Exercício1
12:18
 Considere a árvore com representação aninhada
( A ( B ) ( C ( F ( H ) ( I ) )) ( D) ( E ( G ) ) )

Exercício2
12:18
 Quantas subárvores esta árvore contém?
 Quais os nós-folha?
 Qual o grau de cada nó?
 Qual o grau da árvore?
 Liste os ancestrais dos nós B, G e I.
 Liste os nós de quem C é ancestral próprio.
 Liste os nós de quem D é descendente próprio.
 Dê o nível e a altura do nó F e A.
 Qual a altura da árvore?

Nestaaulaaprendemos...
 Árvores
# Conceito
# Componentes
# Tipos de árvores
# Onde são utilizadas?

Material:https://sites.google.com/site/leinylsonnassau
12:18
Material baseado nas aulas de:
 Árvores,Cristiano PiresMartins
 Árvoresbinárias,Paulo Feofiloff

Napróximaaulaveremos...
 Técnicas de Pesquisa e Ordenação
# Conceitos
# Algoritmos

AlgumaDúvida?
12:18
Até a próxima aula...
leinylson@gmail.com

Prática 
12:18 94
As aulas práticas foram baseadas no material de
LinguagemC Descomplicada , Dr. André R.Backes.
Disponívelem: https://programacaodescomplicada.wordpress.com/

12:18 95
Árvore Binária

ÁrvoreBinária:Implementação
 Em uma ÁrvoreBináriapodemos realizar as seguintes operações
 Criação da árvore
 Inserção de um elemento
 Remoção de um elemento
 Acesso a um elemento
 Destruição da árvore
 Essas operações dependem do tipo de alocação de memória usada
 Estática (heap)
 Dinâmica (lista encadeada)

ÁrvoreBinária:AlocaçãoEstática
 Uso de um array
 Usa duas funções para retornar a posição dos filhos à esquerda e à
direita de um pai

ÁrvoreBinária:AlocaçãoDinâmica
 Cada nó da árvore é tratado como um ponteiro alocado dinamicamente
a medida que os dados são inseridos

ÁrvoreBinária:AlocaçãoDinâmica
 Para guardar o primeiro nó da árvore utilizamos um ponteiro para
ponteiro.Assim, fica fácil mudar quem é a raízda árvore (se necessário)

ÁrvoreBinária
12:18
 ArvoreBinaria.h
 Os protótipos das funções
 O tipo de dado armazenado na árvore
 O ponteiro árvore
 ArvoreBinaria.c
 O tipo de dados árvore
 Implementar as suas funções

12:18 101
Definindo a Árvore
Binária

Definindoa ÁrvoreBinária

12:18 103
Criando a Árvore
Binária

Criandoa ÁrvoreBinária

12:18 105
Destruindo a Árvore
Binária

Destruindoa ÁrvoreBinária

12:18 108
Árvore Vazia?

Árvore Vazia?

12:18 110
Altura da Árvore

Altura da Árvore

12:18 113
Número de nós

Número de nós

12:18 116
Árvores Balanceadas

ÁrvoresBalanceadas

Árvores de Dados: Conceitos, Elementos, Tipos e Usos

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