Abc metro

ABC DA
METROLOGIA
INDUSTRIAL
2ª Edição
Mário Ferreira Alves (malves@dee.isep.ipp.pt)
Departamento de Engenharia Electrotécnica
Março de 2003

PREFÁCIO
Qual de nós nunca duvidou das vendedoras ambulantes de fruta. Será que o peso medido pelas suas balanças
corresponde ao verdadeiro peso do produto?
Porque é que há relógios que “contam” melhor o tempo que outros? Os de pior qualidade têm de ser
“acertados” mais vezes, não é verdade?
Porque é que um multímetro que mede as mesmas grandezas eléctricas que outro pode custar cem vezes mais?
Porque é que, se formos ao reino unido, temos dificuldade em nos reger pelas unidades lá utilizadas, tal como a
polegada (inch), o pé (foot) e a milha (mile) para medir comprimento e a libra (pound) para medir peso. Se as
unidades deles fossem iguais às unidades vigentes em Portugal tudo seria mais fácil, não é verdade?
São questões como estas que motivaram o aparecimento de um domínio científico, a
metrologia (palavra que significa o estudo da medição). A metrologia é uma matéria
fundamental para qualquer das áreas da engenharia, tendo em consideração necessidade das
instituições, nomeadamente as de índole industrial, terem de se reger por normas de qualidade
cada vez mais exigentes. O controle que se tem de fazer para garantir produtos finais de
qualidade exige equipamentos de medição adequados que se têm de manter em conformidade
com as especificações (nomeadamente de incerteza).
São fundamentais como complemento a este texto o livro entitulado “Metrologia Industrial:
uma função da gestão da qualidade” ([Cabral, 1994]), editado pelo Instituto Electrotécnico
Português e o Vocabulário Internacional de Metrologia ([IPQ, 1996]), editado pelo Instituto
Português da Qualidade. O primeiro é autoria do Eng. Paulo Cabral, responsável pelo
laboratório de metrologia do referido instituto e uma referência nesta área. O segundo é uma
referência fundamental para a utilização de uma terminologia correcta na área da metrologia.

ABC da Metrologia Industrial 5/56
ÍNDICE
1. O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES ............................................................................6
1.1. UNIDADES DE BASE............................................................................................................................................................ 6
1.2. UNIDADES SUPLEMENTARES............................................................................................................................................. 6
1.3. UNIDADES DERIVADAS ...................................................................................................................................................... 7
1.4. REGRAS DE ESCRITA E DE UTILIZAÇÃO DOS SÍMBOLOS DAS UNIDADES.................................................................. 7
2. PADRÕES DE MEDIÇÃO ..................................................................................................................11
2.1. PADRÕES INTERNACIONAIS ............................................................................................................................................11
2.2. PADRÕES PRIMÁRIOS........................................................................................................................................................12
2.3. PADRÕES SECUNDÁRIOS ..................................................................................................................................................12
2.4. PADRÕES DE TRABALHO..................................................................................................................................................12
3. GESTÃO DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO.......................................................................... 13
3.1. ANÁLISE DA NECESSIDADE E ESCOLHA DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO.........................................................13
3.2. RECEPÇÃO E ENTRADA EM SERVIÇO.............................................................................................................................14
3.3. CALIBRAÇÃO E VERIFICAÇÃO .........................................................................................................................................14
3.4. EXEMPLO DE CALIBRAÇÃO .............................................................................................................................................17
3.5. EXEMPLOS DE CALIBRADORES DIGITAIS .....................................................................................................................18
4. NORMAS ISO 9000 .............................................................................................................................22
4.1. HIERARQUIA DAS NORMAS ISO 9000 ...........................................................................................................................23
4.2. VANTAGENS DA CONFORMIDADE COM AS NORMAS ISO 9000................................................................................24
4.3. A METROLOGIA E AS NORMAS ISO 9000.....................................................................................................................24
5. VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA ............................................................26
6. MÉTODOS DE MEDIÇÃO................................................................................................................27
6.1. MÉTODOS DE MEDIÇÃO INDIRECTOS...........................................................................................................................27
6.2. MÉTODOS DE MEDIÇÃO DIRECTOS ..............................................................................................................................27
7. QUALIDADE NA MEDIÇÃO............................................................................................................29
7.1. INCERTEZA? EXACTIDÃO? ERRO?.................................................................................................................................29
7.2. FONTES DE INCERTEZA ...................................................................................................................................................30
7.3. CLASSIFICAÇÃO DOS ERROS DE MEDIÇÃO ...................................................................................................................31
7.4. CONSIDERAÇÕES SOBRE ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS ...........................................................................................34
7.5. DETERMINAÇÃO DE INCERTEZA EM MEDIÇÕES DIRECTAS .....................................................................................36
7.6. DETERMINAÇÃO DE INCERTEZA EM MEDIÇÕES INDIRECTAS..................................................................................37
7.7. QUALIDADE DA MEDIÇÃO NOS MULTÍMETROS ANALÓGICOS E DIGITAIS ............................................................44
7.8. NOÇÃO SOBRE ESTATÍSTICA APLICADA À MEDIÇÃO DE GRANDEZAS FÍSICAS.....................................................49
8. REFERÊNCIAS ..................................................................................................................................55

6/56 ABC da Metrologia Industrial
1. O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
Baseado em [Cabral, 1995].
Para quantificarmos o valor de uma grandeza (comprimento de uma sala, por exemplo),
necessitamos de considerar uma unidade para essa grandeza. Definindo uma unidade
(comprimento de um pé, por exemplo), podemos quantificar o valor (25 unidades, por
exemplo) da grandeza que pretendemos medir.
Obviamente que é fundamental que as unidades sejam aceites e utilizadas em todo o mundo,
daí a necessidade de normalizar as unidades. Já no século 18 foram estudadas propostas para
substituir todos os sistemas de unidades vigentes então por um único sistema ([Helfrick,
1991]). Só em 1960, na 11ª Edição da Conferência Geral dos Pesos e Medidas (CGPM) foi
finalmente adoptado o sistema internacional de unidades - SI, que é sucintamente abordado
neste capítulo.
1.1. Unidades de Base
O Sistema Internacional de Unidades - SI - define sete unidades de base para normalizar sete
grandezas ([Cabral, 1995]):
Grandeza Unidade
Nome Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente Eléctrica ampere A
Temperatura
Termodinâmica
kelvin K
Quantidade de Matéria mole mol
Intensidade Luminosa candela cd
Tabela 1: Unidades fundamentais do SI
1.2. Unidades Suplementares
O SI define ainda duas unidades suplementares ([Cabral, 1995]):
Grandeza Unidade
Nome Símbolo
Ângulo Plano metro rad
Ângulo Sólido esterradiano sr
Tabela 2: Unidades suplementares do SI

1.3. Unidades Derivadas
A partir das unidades descritas atrás é possível definir as unidades derivadas, com nome
especial ([Cabral, 1995]):
Grandeza Unidade derivada Em
unidades
Nome Símbolo SI de base
Força newton N m.kg.s-2
Temperatura* grau Celsius ºC K
Frequência hertz Hz s-1
Pressão pascal Pa m-1.kg.s-2
Trabalho, energia, calor joule J m2.kg.s-2
Potência watt W m2.kg.s-3
Potencial eléctrico, tensão, força electromotriz volt V m2.kg.s-3.A-1
Resistência eléctrica ohm Ω m2.kg.s-3.A-2
Carga eléctrica coulomb C s.A
Capacidade eléctrica farad F m-2.kg-1.s4.A2
Indutância henry H m2.kg.s-2.A-2
Fluxo de indução magnética weber Wb m2.kg.s-2.A-1
Indução magnética tesla T kg.s-2.A-1
Iluminação lux lx m-2.cd.sr
Fluxo luminoso lumen lm cd.sr
Condutância eléctrica siemens S m-2.kg-1.s3.A2
Actividade (de uma fonte radioactiva) becquerel Bq s-1
Dose absorvida (de radiação ionizante) gray Gy m2.s-2
Dose equivalente (de radiação ionizante) sievert Sv m2.s-2
Tabela 3: Unidades derivadas do SI
(*) A unidade “grau Celsius” é exactamente igual à unidade “kelvin”. No entanto, o valor numérico de uma grandeza expressa
em ºC difere do valor numérico da mesma grandeza quando expressa em K, pois o início da contagem da escala K é inferior em
273.15 ao início da escala ºC. Por exemplo, a temperatura de 20 ºC equivale a 293.15 K. Deste modo, um intervalo ou uma
diferença de temperaturas exprimem-se pelo mesmo número, quer em ºC, quer em K.
1.4. Regras de Escrita e de Utilização dos Símbolos das Unidades
Devem ser seguidas as seguintes regras quando da escrita ou utilização das unidades de
medida:
Representação do Nome das Unidades
Os nomes das unidades devem ser escritos com caracteres minúsculos, mesmo que derivem
de nomes de cientistas.
Exemplo: metro, segundo, ampere, watt, hertz
Excepção: grau Celsius
Os nomes das unidade admitem plural (segundo o Bureau Internacional de Pesos e Medidas -
BIPM), só passando ao plural a partir de dois, inclusive.
Exemplo: 0,47 metro; 1,99 joule; 2 miliamperes; 8x10-4
segundo; 5,2 metros por segundo.

Os símbolos das unidades são escritos em caracteres minúsculos. No entanto, se o nome da
unidade deriva de um nome próprio, a primeira letra do símbolo será maiúscula.
Exemplo: m (metro); s (segundo); W (watt); N (newton); Pa (pascal).
Os símbolos das unidades são invariáveis, mesmo no plural, e não são seguidos de um ponto,
excepto no caso da pontuação normal.
Exemplo: 12 m e não 12 m.; nem 12 ms; nem 12 mts.
Representação do Produto e da Divisão de Unidades
O produto de duas unidades c e d pode ser representado por uma das notações seguintes:
c.
d ; c.d ; c d ; c××d mas não cd
O quociente de duas unidades c e d pode ser representado por uma das notações seguintes:
c/d ; ; c.d-1
(ou por qualquer das notações que indicam o produto de c por d-1
).
Representação de Múltiplos e Submúltiplos das Unidades
O SI define os seguintes prefixos para múltiplos e submúltiplos das unidades:
Múltiplos Submúltiplos
Factor Prefixo Símbolo Factor Prefixo Símbolo
1024 yotta Y 10-1 deci d
1021 zetta Z 10-2 centi c
1018 exa E 10-3 mili m
1015 peta P 10-6 micro µ
1012 tera T 10-9 nano η
109 giga G 10-12 pico ρ
106 mega M 10-15 fento f
103 kilo k 10-18 ato a
102 hecto h 10-21 zepto z
10 deca da 10-24 yocto y
Tabela 4: Múltiplos e submúltiplos das unidades
O nome de um múltiplo (ou submúltiplo) de uma unidade obtém-se acrescentando o nome
da unidade ao nome do prefixo apropriado.
Exemplo: centímetro (10-2
m) ; quilowatt (103
W) ; microampere (10-6
A)
O símbolo de um múltiplo (ou submúltiplo) de um unidade forma-se acrescentando o
símbolo da unidade ao símbolo do prefixo apropriado.
Exemplo: cm ; kW ; µA.
Os símbolos dos prefixos SI, quando impressos, escrevem-se em caracteres seguidos. Não se
deve deixar espaço entre o símbolo do prefixo e o símbolo da unidade.
Exemplo: deve escrever-se km e não k m para indicar 103
m.
Não se deve, igualmente, deixar espaço entre o nome do prefixo e o nome da unidade,
quando se escreve o nome do múltiplo (ou do submúltiplo).
Exemplo: deve escrever-se microampere e não micro ampere.

Um prefixo não pode ser empregue sem uma unidade.
Exemplo: deve escrever-se µµm e não µµ.
Não se empregam prefixos compostos, isto é, prefixos formados pela associação de dois ou
mais prefixos.
Exemplos: deve escrever-se ρρF (picofarad) e não µµµµF ; deve escrever-se GW (gigawatt) e não kMW.
Nota 1: Entre as unidades de base do SI, a unidade de massa é a única cujo nome (quilograma) contém, por
razões históricas, um prefixo. Tal facto é uma excepção; os nomes e símbolos dos múltiplos (e submúltiplos)
decimais da unidade SI de massa são formados pela junção dos prefixos à palavra “grama” e dos símbolos
convenientes ao “g”.
Nota 2: A palavra “grama” é, neste contexto, um substantivo masculino; nestas condições, é incorrecto dizer,
por exemplo, “duzentas gramas” (como tantas vezes se ouve!), devendo antes dizer-se “duzentos gramas”.
O conjunto formado pela junção do símbolo de um prefixo ao símbolo de uma unidade
constitui um novo símbolo inseparável, que pode ser elevado a uma potência (positiva ou
negativa) sem necessidade de parêntesis e que pode, também, ser combinado com outros
símbolos de unidades, para formar símbolos de unidades compostas.
Exemplo: cm2
significa sempre (10-2
m)2
= 10-4
m2
e nunca 10-2
m2
; µµs-1
significa sempre (10-6
s)-1
=
106
s-1
e nunca 10-6
s-1
Outras Unidades que Podem ser Utilizadas com o SI
As unidades seguintes não pertencem ao SI, embora desempenhem um importante papel na
vida diária, estando largamente divulgadas.
Grandeza Unidade Valor
Nome Símbolo corresp. no SI
Tempo minuto min 1 min = 60 s
hora h 1 h = 60 min = 3600 s
dia d 1 d = 24 h = 86400 s
Ângulo plano grau º 1 º = (π/180) rad
minuto de ângulo ‘ 1 ‘ = (1/60)º = (π/10800) rad
segundo de ângulo ‘’ 1 ‘’ = (1/60)’ = (π/648000) rad
Volume litro l, L 1 l = 1 dm2 = 10-3 m3
Massa tonelada t 1 t = 103 kg
Pressão bar bar 1 bar = 105 Pa
Tabela 5: Outras unidades que se podem utilizar com o SI
Por tais motivos, é permitida a sua utilização conjuntamente com as unidades do SI, não
devendo no entanto combinar-se com estas senão em casos extremos (por exemplo km/h).

Relação de Algumas Unidades SI com Unidades de Outros Sistemas
Unidade não SI Relação com unidade SI
Nome Símbolo corresp. no SI
polegada in 25,4 mm (exacto)
jarda yd 0,9144 (exacto)
pé ft 0,3048 m
libra lb 0,45359237 kg (exacto)
onça oz 28,3495 g
libra-força lbf 4,44822 N
quilograma-força kgf 9,80665 N (exacto)
atmosfera normal atm 1,01325 x 105 pascal (exacto)
libra-força por
polegada
quadrada
lbf.in-2 6894,76 Pa
milimetro de água mmH2O 9,80665 Pa (exacto)
milimetro de
mercúrio
mmHg 133,332 Pa
grau Fahrenheit ºF (9xºC/5)+32
cavalo vapor cv 735.499 W
horse power hp 745,700 W
Tabela 6: Relação de unidades SI com unidades de outros sistemas

2. PADRÕES DE MEDIÇÃO
A palavra inglesa standard pode ser traduzida para Português como norma ou padrão. No
âmbito da metrologia, é comum utilizar-se o termo measurement standard para denominar
padrão de medição, que é explicado a seguir.
No Vocabulário Internacional de Metrologia ([IPQ, 1996]), padrão de medição é definido
como “medida materializada, instrumento de medição, material de referência ou sistema de medição destinado
a definir, realizar, conservar ou reproduzir uma unidade, ou um ou mais valores de uma grandeza, para
servirem de referência”.
Como exemplos de padrões de medição podemos considerar:
• Padrão de massa de 1 kg
• Resistência padrão de 100 Ω
• Amperímetro padrão
Os padrões estão organizados numa hierarquia de qualidade: Padrões Internacionais, Padrões
Primários, Padrões Secundários e Padrões de Trabalho. Esta hierarquia de padrões está
representada na Figura 1.
Padrões de Trabalho
P. Secundários
P. Primários
P. Int.
> Qualidade
> Exactidão
TIPOÂMBITO
Lab. Internacional
Lab. Nacional
Empresas Calibração
A Própria Empresa
Figura 1: Hierarquia de Padrões de Medição
2.1. Padrões Internacionais
Um padrão internacional é um padrão reconhecido por um acordo internacional para servir
de base (internacional) à fixação dos valores de outros padrões da grandeza a que respeita
([IPQ, 1996]). Os padrões internacionais são periodicamente avaliados e testados através de
medições absolutas em termos das unidades fundamentais. Estes padrões são mantidos no
Bureau International de Poids et Mesures - BIPM e não estão disponíveis ao utilizador
normal para comparação ou calibração. Esta organização, sitiada em Paris, tem a
responsabilidade de ([Cabral, 1994]):
• Estabelecer os padrões das grandezas fundamentais e as escalas das principais
grandezas físicas e conservar os padrões internacionais.
• Efectuar a comparação de padrões nacionais e internacionais.
• Assegurar a coordenação das técnicas de medição correspondentes.
• Efectuar e coordenar as determinações relativas às constantes físicas que intervêm
nas actividades acima referidas (condições de temperatura, humidade, etc.).

2.2. Padrões Primários
Um padrão primário é designado ou é largamente reconhecido como possuindo as mais
elevadas qualidades metrológicas, e cujo o valor é aceite sem referência a outros padrões da
mesma grandeza. Por exemplo, o Departamento Nacional de Padrões Norte-Americano
(National Bureau of Standards - NBS), em Washington, é responsável pela manutenção dos
padrões secundários nos Estados Unidos da América.
No caso português, a manutenção dos padrões primários, bem como a acreditação dos
Laboratórios de Calibração ([IPQ, 1997a]) são responsabilidade do Instituto Português da
Qualidade - IPQ ([IPQ, 1997b]), por intermédio respectivamente do seu Laboratório
Central de Metrologia e do seu Serviço de Acreditação. Estes padrões não são
disponibilizados para usos externos aos laboratórios nacionais, pelo que a sua principal função
é calibrar os padrões secundários. Estes laboratórios emitem certificados de calibração para
os padrões secundários, normalmente mantidos pelos laboratórios de calibração acreditados.
2.3. Padrões Secundários
Os padrões secundários são os padrões de referência utilizados em laboratórios industriais e
são normalmente mantidos por uma empresa em particular. Estes padrões são enviados
periodicamente aos laboratórios nacionais para calibração e comparação com os padrões
primários. Nos Laboratórios de Calibração acreditados pelo IPQ ([IPQ, 1997a]), tal como o
Laboratório de Metrologia do Instituto Electrotécnico Português - IEP ([IEP, 1998]), existem
padrões secundários.
2.4. Padrões de Trabalho
Num laboratório de medição, é fundamental a existência de um (ou vários) padrão de
trabalho. Estes, em geral, são utilizados em testes e calibrações de outros instrumentos de
laboratórios ou instrumentos de aplicações industriais ([Helfrick, 1991]).
Um fabricante de resistências de grande exactidão, por exemplo, pode utilizar uma resistência
padrão no departamento de controlo de qualidade, para verificar o equipamento de teste das
resistências. Neste caso, o fabricante estará a verificar se a sua planta industrial processa de
acordo com os limites de exactidão preestabelecidos.
Uma caixa de décadas de alta exactidão (incerteza menor do que 0,1%), um potenciómetro,
um calibrador digital ou uma Ponte de Wheatstone de alta exactidão (incerteza menor do que
0,1%) são exemplos de padrões de trabalho.
Pode ser encontrada em [Helfrick, 1991] uma descrição dos padrões existentes para as
diversas grandezas eléctricas, nomeadamente: padrões de corrente, tensão, resistência,
capacitância e indutância.

3. GESTÃO DOS INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO
Baseado em [Cabral, 1994].
A gestão dos instrumentos de medição abrange o conjunto das acções a desenvolver para
constituir e manter o parque de instrumentos de medição necessário à satisfação das
necessidades da empresa/indústria. Esta gestão deve ter em conta:
Primeiro:
• A análise da necessidade e a escolha dos instrumentos de medição.
Depois:
• A recepção, a colocação em serviço e o acompanhamento dos instrumentos.
• A calibração ou verificação dos instrumentos e as decisões que daí decorrem.
3.1. Análise da Necessidade e Escolha dos Instrumentos de Medição
Diversos factores devem ser considerados antes de escolher os instrumentos de medição a
adquirir:
• Necessidades técnicas.
• Condições comerciais.
• Experiência e avaliação anteriores desses instrumentos
Necessidades Técnicas
As necessidades técnicas da empresa vão condicionar as características técnicas dos
instrumentos de medição a adquirir.
Devemos ter em conta, por exemplo, que a qualidade da medição dos instrumentos de
medição depende da exigência requerida pela empresa em termos de exactidão das
medições.
Quando da aquisição de vários instrumentos, devemos preservar a homogeneidade do
parque de instrumentos. Repare-se que, por exemplo, se todos os instrumentos de medição
adquiridos para uma dada função forem das mesmas marca e modelo, reduzem-se os custos,
tanto de formação dos utilizadores como de manutenção desse equipamento.
Hoje em dia, a modularidade da instrumentação é um factor fundamental que deve ser
considerado. A modularidade reflecte-se na possibilidade de evolução dos instrumentos de
medição, a fim de limitar os riscos de estes se tornarem obsoletos, permitindo à empresa fazer
evoluções quando se achar necessário. Tomem-se como exemplo determinados instrumentos
de medição digitais que permitem acrescentar funcionalidades a partir da aquisição de
módulos de software (alguns osciloscópios digitais, por exemplo).
Para os instrumentos novos ou que fujam do quadro habitual da empresa, pode ser
importante prever, com o fornecedor, as condições e o conteúdo da assistência técnica
a prestar-lhes, pelo menos no início da sua utilização (caso da formação ao pessoal sobre um
dado equipamento).
É necessário prever o envio (pelo fornecedor dos instrumentos de medição) da
documentação necessária à utilização, ao ajuste e à colocação em serviço dos instrumentos.
Qualquer instrumento de medição deverá vir acompanhado do respectivo manual técnico,
fundamental para uma utilização adequada.

Para instrumentos de medição específicos e/ou complexos, é recomendável estabelecer um
caderno de encargos técnico que defina as características requeridas, as condições de
utilização, de ambiente e de manutenção, as exigências particulares relativas à calibração ou à
verificação e as condições de recepção.
Condições Comerciais
As condições económicas devem ser objecto de um caderno de encargos comercial, a ser
estabelecido conjuntamente pelo departamento de compras e pelo departamento (ou
responsável) metrológico da empresa, especificando factores como a opção entre a compra e
o aluguer do instrumento de medição, preços, prazos de entrega, garantias, contrato de
manutenção, e exigências de disponibilidade (tempo de indisponibilidade admissível, tempo
de reparação, etc.).
Avaliações Anteriores do Instrumento de Medição
A escolha de um instrumento de medição pode também ter em conta avaliações resultantes
da experiência adquirida na própria empresa ou noutras empresas, ou feitas por centros
tecnológicos especializados no domínio em causa.
3.2. Recepção e Entrada em Serviço
Após a chegada de um instrumento de medição à empresa (antes da entrada em serviço), o
departamento (ou responsável) metrológico deve assegurar-se se este está em conformidade
com as características técnicas especificadas pelo fabricante, nomeadamente as características
de exactidão. Para isso é necessário proceder à sua calibração ou verificação, permitindo
determinar ou confirmar a classe do instrumento. Após esta operação, deve efectuar-se uma
marcação relativa a esta “primeira” calibração ou verificação, iniciando-se assim a contagem
da periodicidade de calibração.
Após efectuada a recepção e a inventariação do equipamento, e verificadas as suas
características metrológicas, procede-se à sua instalação e à sua entrada em serviço, devendo
respeitar-se nomeadamente os requisitos de instalação e utilização definidos pelo fabricante
(posição do instrumento, tensão e frequência de alimentação, temperatura, humidade, etc.).
É ainda fundamental garantir a qualificação dos operadores destes instrumentos, devendo
tomar-se em conta, por exemplo, a língua em que estão escritos os seus manuais técnicos
destes equipamentos.
3.3. Calibração e Verificação
De tanto em tanto tempo, é necessário verificar se os instrumentos de medição mantêm as
suas características de qualidade. Existe então a necessidade de efectuar a calibração e/ou
verificação dos instrumentos, operações indispensáveis que validam (ou não) as indicações
fornecidas pelos instrumentos de medição.
As operações de calibração e de verificação são ambas baseadas na comparação do
instrumento de medição com um instrumento padrão de modo a determinar a sua exactidão e
verificar se essa exactidão continua de acordo com a especificação do fabricante.
A incerteza de calibração deve ser suficientemente pequena relativamente aos limites de
erro admissíveis do instrumento a calibrar. São habitualmente fixadas, entre estes dois valores,
relações compreendidas entre 1:10 e 1:4. Por exemplo, um instrumento com uma incerteza de
2% da leitura pode ser calibrado com um instrumento padrão de 0,2% de incerteza (relação
de 1:10).

Nota: O VIM ([IPQ, 1996]) define calibração como o “conjunto de operações que estabelecem, em condições
especificadas, a relação entre valores de grandezas indicados por um instrumento de medição ou sistema de
medição, ou valores representados por uma medida materializada ou um material de referência e os
correspondentes valores realizados por padrões”.
O resultado de uma calibração é considerado como sendo o conjunto dos valores
resultantes da comparação dos resultados fornecidos pelo instrumento de medição com os
valores materializados pelo padrão ([Cabral, 1994]). O resultado da calibração pode ser
registado num documento, por vezes chamado de certificado de calibração ou relatório de
calibração, cuja exploração permite diminuir a incerteza das medições obtidas com o
instrumento.
A Figura 2 representa um relatório de calibração hipotético:
Figura 2: Exemplo de relatório de calibração ([Cabral, 1994])
O resultado de uma verificação permite afirmar se o instrumento de medição satisfaz ou
não às prescrições (especificações) regulamentares previamente fixadas (limites de erro
admissíveis) que autorizam a sua entrada ou continuação em serviço. Uma verificação poderá
Função, escala, valor lido, valor padrão ±
incerteza, desvio encontrado

ser feita comparando os resultados de uma calibração com os limites de erro admissíveis ou
directamente com um padrão que materializa as indicações limites admissíveis do
instrumento. Este último método não requer a obtenção de resultados numéricos.
A Figura 3 ilustra a estrutura e interligação das operações de calibração e verificação:
Padrão
Instrumento de medição
a calibrar/verificar
Prescrição
Confrontação
com prescrição
Resultado
da medição
Documento de
calibração
Comparação
Reforma
Desclassificação
Reparação
Ajuste (*)
Não conforme
Colocação
em serviço
Conforme
(*) Por vezes, o ajuste é parte integrante da operação de calibração
VERIFICAÇÃO
CALIBRAÇÃO
Figura 3: Operações de calibração e verificação ([Cabral, 1994])
O resultado de uma verificação pode traduzir-se por (Figura 3):
• Uma constatação da conformidade com as especificações, significando que o
instrumento pode ser colocado em serviço.
• Uma constatação de não conformidade, conduzindo a uma decisão de ajuste,
reparação, reforma ou desclassificação do instrumento.
É importante notar que a calibração implica apenas resultados numéricos, ao passo que a
verificação implica um julgamento conducente a uma decisão.
Para fixar a periodicidade das calibrações, devem ter-se em conta factores diversos, tais como
a frequência e o tipo de utilização dos instrumentos, o seu desgaste e as restrições económicas

(da empresa). No caso das verificações, a sua periodicidade é imposta pela regulamentação de
controlo metrológico.
Podem ser encontradas no anexo 5 de [Cabral, 1994] alguns exemplos de períodos de
calibração, dos quais se apresentam os seguintes, dependendo se se tratam de padrões de
referência (categoria A) ou padrões de trabalho e instrumentos de medição em geral
(categoria B):
Instrumento de Medição Período de Calibração (em meses)
Categoria A Categoria B
Amperímetros Analógicos 12 12
Amperímetros Digitais 3…12 6
Ohmímetros Analógicos 12 12
Ohmímetros Digitais 3…12 6
Pontes de Wheatstone 12 12
Potenciómetros 12 12
Transformadores de Medição 36 36
Voltímetros Analógicos 12 12
Voltímetros Digitais 3…12 6
Wattímetros Analógicos 12 12
Wattímetros Digitais 3…12 6
3.4. Exemplo de Calibração
Pode dar-se como exemplo a calibração de um amperímetro CC e de um voltímetro CC
usando um instrumento de medição de tensão de elevada exactidão. Este instrumento poderá
ser um potenciómetro ou um calibrador digital (Figura 4):
E V
Instrumento
a ser calibrado
Potenciómetro
Figura 4: Calibração de um voltímetro com um potenciómetro
A medição do voltímetro a calibrar (V) é comparada com o valor medido com o instrumento
padrão (potenciómetro, neste caso).

O amperímetro CC é calibrado quase da mesma forma, apenas recorrendo a uma resistência
padrão adicional:
E Potenciómetro
Instrumento
a ser calibrado
A
Resistência
padrão
Figura 5: Calibração de um amperímetro com um potenciómetro
O amperímetro a calibrar (A) é comparado com a corrente calculada através da Lei de Ohm,
considerando a tensão medida pelo instrumento padrão e o valor da resistência padrão (I =
U/R).
Para vários valores da grandeza medida (tensão ou corrente, neste caso), traça-se um curva de
calibração. Esta representa graficamente os factores de correcção para diversos pontos da
escala.
Por exemplo, para o caso de um voltímetro analógico, regula-se a fonte de tensão de modo a
que o ponteiro do instrumento coincida com cada uma das divisões principais da escala. Para
cada um destes valores, ajusta-se o potenciómetro de modo a que este nos dê o valor de
tensão “exacto”. O factor de correcção de cada ponto da escala é então obtido pela
subtracção entre o valor (convencionalmente verdadeiro) indicado pelo potenciómetro e o
valor indicado pelo voltímetro a calibrar.
Pode então desenhar-se uma curva de calibração do seguinte tipo:
Correcção positiva
(volts)
Correcção negativa
(volts)
Leitura da escala
(volts)
Figura 6: Curva de calibração típica
Os pontos são interligados por linhas rectas (interpolação linear), dado que nada é conhecido
sobre os factores de correcção entre esses pontos. Note-se que os factores de correcção
calculados representam a quantidade que deve ser adicionada ao valor indicado pelo
instrumento, de modo a obter o valor “exacto”.
3.5. Exemplos de Calibradores Digitais
Actualmente, existem calibradores digitais que, além de permitirem calibrar diversos tipos de
instrumentos de medição (amperímetros, wattímetros, osciloscópios, etc.), têm ainda a
funcionalidade de servir eles próprios de fontes de alimentação para as grandezas que estão

em causa (fonte de tensão, fonte de corrente, geradores de sinais, fonte de temperatura, etc.).
É disso exemplo o calibrador digital 5500A da Fluke ([Fluke, 1997b]):
Figura 7: Calibrador, wattímetro e PC com software de calibração ([Fluke, 1997a])
Este funciona como um calibrador multifunção, pois permite fazer a calibração de
voltímetros, amperímetros, osciloscópios (até 300 Mhz), termómetros electrónicos,
wattímetros, pontas de corrente, registadores XY, entre outros.
Por exemplo, no caso da calibração de um wattímetro (até 1020 V, 11 A → 11,2 kW),
executa-se o seguinte esquema de ligação:
Figura 8: Calibração de um wattímetro ([Fluke, 1997a])
Obviamente que este calibrador fornece a tensão e a corrente (carga fictícia) necessários à
calibração do wattímetro.
calibrador 5500A
wattímetro digital
PC com software de
calibração

Existe ainda um pacote de software para este calibrador que, correndo num PC, permite
automatizar a calibração, comunicando via RS-232 (comunicação série para PC) com o
calibrador:
Figura 9: Software de calibração ([Fluke, 1997a])
As vantagens deste software são as inerentes à automação da calibração, podendo
nomeadamente citar-se a possibilidade de armazenar programas de calibração para posterior
utilização e a possibilidade de produção automática de relatórios de calibração.
O ISEP dispõe de um calibrador digital - Model 2422 Portable Calibrator, da Yokogawa
([Yokogawa, 1992]), representado na Figura 10.
Figura 10: Calibrador 2422 da Yokogawa ([Yokogawa, 1992])
Este calibrador portátil gera tensão contínua, corrente contínua e força electromotriz térmica
(isto é gera f.e.m. emulando termopares dos tipos K, E, J, T e R). Além disso, tem a
funcionalidade de medição isolada do circuito que gera as grandezas atrás descritas. Pode
visualizar-se na Figura 10 que o mostrador apresenta tanto o valor gerado como o valor
medido.

A Figura 11 representa a funcionalidade de cada um dos elementos do painel frontal deste
instrumento:
Figura 11: Calibrador 2422 da Yokogawa ([Yokogawa, 1992])
A incerteza da fonte de tensão deste calibrador anda na ordem de ±(0.05% da leitura + 0.02%
do alcance), valor que é cerca de 20 vezes melhor do que os multímetros digitais de uso
comum (está a considerar-se uma incerteza total de cerca de 2%). A incerteza do instrumento
de medição de tensão (voltímetro) é de ±(0.1% da leitura + 2 dígitos).
Como exemplos de aplicação podem considerar-se a calibração de equipamento de controlo
de processos, de instrumentos de medição electrónicos, de registadores e de termómetros
(baseados em termopares).

4. NORMAS ISO 9000
Baseado em [Fluke, 1997c].
Este capítulo não pretende descrever as normas ISO 9000. Pretende antes dar uma ideia da
necessidade que as empresas terão de aumentar cada vez mais a sua qualidade e a qualidade
dos seus produtos, salientando o caso dos instrumentos de medição e a manutenção da sua
qualidade.
A Organização Internacional de Normas (ISO - International Standards Organization) ([ISO,
1997]) concebeu um modelo (reconhecido internacionalmente) para o desenvolvimento de
sistemas de qualidade - o modelo ISO 9000. Um sistema de qualidade define a estrutura
organizacional, as responsabilidades, os procedimentos, os processos e os recursos para
implementar gestão da qualidade. Esse modelo, o ISO 9000, é um conjunto genérico de
normas, aplicável a um vasto leque de empresas e indústrias.
As normas ISO 9000 foram desenvolvidas como parte do processo da União Europeia para
eliminar as barreiras comerciais e para harmonizar as normas técnicas conhecidas como
EC’92. As normas ISO 9000 foram originalmente publicadas em 1987 pela ISO estando
disponíveis, hoje em dia, em versões em diversas línguas, exactamente de acordo com os
documentos originais. Alguns exemplos são:
ISO 900X:1994
UE EN 2900X-1994
Alemanha DIN ISO 900X
Holanda NEN-ISO 900X
EUA ANSI/ASQC Q900X-1994
Portugal NP EN 2900X
onde o X representa o dígito apropriado, de 0 a 4.

4.1. Hierarquia das Normas ISO 9000
O modelo ISO 9000 consiste num conjunto de normas, cada um com um propósito
específico. A relação entre estes documentos está expressa na Figura 12:
Figura 12: Estrutura das normas ISO 9000 ([Fluke, 1997c])
As normas ISO 9000 e ISO 9004 são documentos descritivos.
As normas ISO 9000 - Normas de Gestão e Garantia de Qualidade: Linhas de Orientação
para a Selecção e Utilização (Guidelines for Selection and Use of Quality Management and Quality
Assurance Standards), fornecem informação sobre a aplicação das normas ISO 9000.
As normas ISO 9004 - Gestão da Qualidade e Elementos do Sistema de Qualidade: Linhas de
Orientação(Guidelines to Quality Management and Quality System Elements), contêm informação
geral sobre conceitos e terminologia na área da qualidade.
As normas ISO 9001, 9002 e 9003 são os modelos para os sistemas de qualidade e são as
normas às quais as empresas se registam ou certificam.
A norma ISO 9003 - Sistemas de Qualidade: Modelo de Garantia da Qualidade na Inspecção
e Ensaios Finais (Model for Quality Assurance in Final Inspection and Test) é, dos três, o documento
menos abrangente. A norma ISO 9002 - Sistemas de Qualidade: Modelo de Garantia de
Qualidade na Produção e na Instalação (Model for Quality Assurance in Production and Installation),
inclui todos os elementos da ISO 9003 e adiciona a cobertura da produção e instalação. A
norma ISO 9001 - Sistemas de Qualidade: Modelo de Garantia de Qualidade no
Projecto/Desenvolvimento, Produção, Instalação e Serviço Após Venda (Model for Quality
Assurance in Design, Development, Production, Installation and Servicing), é o modelo mais abrangente,
cobrindo todos os aspectos de uma operação, desde o projecto até ao serviço após venda.

4.2. Vantagens da Conformidade com as Normas ISO 9000
Quase todos os países do mundo adoptaram já uma ou mais normas ISO 9000 (em 1994, 73
países - Figura 13). Milhares de empresas no mundo inteiro obtiveram já o seu registo.
O registo consiste apenas numa auditoria e numa aprovação do sistema de qualidade da
empresa, de acordo com as normas ISO 9000, efectuadas por um auditor independente.
Figura 13: Países que adoptaram as normas ISO 9000 [Fluke, 1997c])
O facto de uma empresa estar em conformidade com as normas ISO 9000 trás diversas
vantagens:
• As normas ISO 9000 podem ajudar a empresa a atingir e manter o nível de
qualidade desejado.
• Empresas sem a certificação ISO 9000 terão mais dificuldades de vender,
particularmente nos países da União Europeia, nas categorias de equipamento
cobertas pelas directivas da UE. Os produtos que já dispuserem de um selo de
qualidade não necessitam de ser novamente testados quando entram no mercado
de um dos estados membros (da UE).
• As normas ISO 9000 poderão simplificar o negócio através da redução da
frequência e/ou intensidade das auditorias executadas por clientes ou agências
reguladoras.
• As empresas que implementaram as normas ISO 9000 revelam uma mudança
cultural positiva, levando os seus empregados a assumirem cada vez mais o
compromisso da qualidade.
4.3. A Metrologia e as Normas ISO 9000
A certificação segundo o modelo ISO 9001 envolve a avaliação da empresa em diversas áreas,
das quais as seguintes estão relacionadas com os instrumentos de medição e a manutenção da
sua qualidade:
4.10 Inspecção e Teste
4.11 Equipamento de Inspecção, Medição e Teste
Esta última sugere:
• Seleccionar equipamento apropriado às medições a efectuar.
• Calibrar esse equipamento em intervalos regulares, segundo padrões reconhecidos.
• Utilizar procedimentos documentados.

• Assegurar que o equipamento dispõe da exactidão exigida.
• O equipamento deve indicar o estado de calibração, devendo ser mantidos os
certificados de calibração.
• Quando o equipamento tiver sido calibrado, a validade dos resultados deve ser
julgada.
• As condições ambientais, o armazenamento e manuseamento e a segurança devem
ser adequados, de modo a manter a validade das calibrações.
É portanto notória a preocupação da comunidade internacional em fazer vingar os padrões
de qualidade a nível dos instrumentos de medição. Para isso, as empresas devem cuidar do seu
equipamento de medição, procedendo à sua calibração a intervalos regulares (definidos em
[Cabral, 1994]).

5. VOCABULÁRIO INTERNACIONAL DE METROLOGIA
Consultar ([IPQ, 1996]).
O Vocabulário Internacional de Metrologia ([IPQ, 1996]) é uma ferramenta imprescindível
que estabelece os termos utilizados na metrologia, bem como o seu significado. Este
vocabulário está estruturado em seis capítulos:
1. Grandezas e Unidades
2. Medições
3. Resultados de Medição
4. Instrumentos de Medição
5. Características dos Instrumentos de Medição
6. Padrões
Além disso, disponibiliza um vocabulário trilingue (Português, Francês e Inglês), onde todos
os termos metrológicos aparecem nas três línguas.

6. MÉTODOS DE MEDIÇÃO
Para conhecermos o valor de uma dada grandeza, é obviamente necessário proceder a um
determinado conjunto de operações. À sequência lógica destas operações dá-se o nome de
método de medição.
Quando se fala de grandeza, no domínio da metrologia, referimo-nos a grandezas
mensuráveis, isto é, aquelas grandezas (físicas) que podemos quantificar, tais como por
exemplo o comprimento, a velocidade, o peso e a intensidade da corrente eléctrica. Existem
outras grandezas, denominadas de psicológicas ([Paredes, 1991]), tais como a inteligência, a
vontade e a criatividade, que, apesar de poderem ser qualificadas qualitativamente, não são
mensuráveis (quantitativamente). Concluindo, uma das características das grandezas
(mensuráveis) é, como o próprio nome indica, o facto de poderem ser medidas.
Os métodos de medição podem classificar-se de diversas formas, mas as classificações mais
relevantes para a área de electrotecnia são métodos directos e indirectos e os métodos de
medição por comparação (substituição e zero).
6.1. Métodos de Medição Indirectos
Um método de medição indirecto, é aquele em que o valor da grandeza a medir é obtido a
através da medição de outras grandezas funcionalmente associadas com a grandeza a
medir. Podem citar-se como exemplos a medição indirecta de potência através da medição de
tensão e corrente (P = U.I) ou a medição indirecta de velocidade através da medição de
distância e de tempo (v = d.∆t).
6.2. Métodos de Medição Directos
Quando o valor da grandeza é obtido directamente, isto é, o valor da grandeza a medir é
obtido de forma imediata como resultado da medição, o método de medição diz-se directo.
Analogamente, refere-se a utilização de um Wattímetro para a medição directa de potência e
de um velocímetro para a medição directa de velocidade.
Podem ainda considerar-se os métodos de medição por comparação como variantes do
métodos de medição directos. Num método de medição por comparação, a grandeza a medir
é comparada com outra grandeza (ou mais) da mesma natureza que tenha um valor
conhecido.
Os métodos de medição por comparação podem ainda dividir-se em métodos de medição
por substituição e por zero, descritos a seguir.
Métodos de Medição por Substituição
A grandeza a medir é substituída por uma grandeza da mesma natureza, de valor conhecido,
escolhida de forma a que os efeitos no dispositivo indicador sejam os mesmos.
Exemplos de métodos de medição por comparação:
• Medição de resistências usando o método de comparação de correntes
• Medição de resistências usando o método de comparação de tensões.

Métodos de Medição por Zero
Nos métodos de medição por zero, o valor da grandeza a medir é determinado por equilíbrio,
ajustando uma ou várias grandezas, de valores conhecidos, associadas à grandeza a medir por
uma relação de equilíbrio conhecida.
Exemplos de métodos de medição por zero:
• Medição de tensões usando o potenciómetro (variando o valor de um ou dois
reóstatos, até se atingir o equilíbrio, situação em que se determina a tensão).
• Medição de resistências usando a Ponte de Wheatstone (variam-se uma ou mais
resistências variáveis até se atingir o equilíbrio, situação em que se determina a
resistência ).
• Balanças de dois pratos (adicionam-se ou retiram-se pesos, até se atingir a situação
de equilíbrio, situação em que se determina o peso do produto).

7. QUALIDADE NA MEDIÇÃO
Tal como foi referido no prefácio, quando procedemos à medição de uma grandeza, surge
inevitavelmente a preocupação de saber qual a relação entre o valor obtido e o valor real dessa
grandeza. Torna-se então fundamental, no âmbito desta área, definir conceitos tais como
incerteza, exactidão, erro e algarismos significativos, entre outros. Dado que existem inúmeros
factores que levam à ocorrência de erros de medição, torna-se necessário proceder à sua
identificação e classificação, de modo a os poder reduzir e, se possível, eliminar. São estes
temas que são focados neste capítulo.
7.1. Incerteza? Exactidão? Erro?
Os conceitos de exactidão, erro e incerteza estão muito ligados entre si. Todavia, apesar dos
seus significados estarem perfeitamente definidos, surge frequentemente confusão entre eles.
Antes de tentar esclarecer melhor o que significam estes termos, bem como perceber quando
e como utilizar cada um deles, é necessário ter a noção de valor verdadeiro de uma grandeza e
de valor convencionalmente verdadeiro de uma grandeza.
Valor (Convencionalmente) Verdadeiro de uma Grandeza
O valor verdadeiro de uma grandeza seria o valor obtido numa medição perfeita. Obviamente
que os valores verdadeiros são indetermináveis por natureza, pelo se recorre a valores
convencionalmente verdadeiros. O valor convencionalmente verdadeiro, também chamado
frequentemente de “valor atribuído” ou “melhor estimativa” substitui, num dado contexto
(para determinados objectivos), o valor verdadeiro.
Erro de Medição
O erro de medição indica a diferença entre o valor real (verdadeiro) da grandeza em causa e o
valor resultante de uma medição.
Nota: Uma vez que o valor verdadeiro não pode ser determinado, na prática é usado um valor
convencionalmente verdadeiro.
Vamos supor que medimos o valor de uma resistência utilizando uma Ponte de Wheatstone de
grande exactidão (6 AS), resultando em:
100,000 Ω
Podemos considerar este o valor convencionalmente verdadeiro da resistência, para os
fins em vista, dada a grande exactidão da ponte.
Se medirmos a resistência com um ohmímetro, este, por diversos factores ligados à sua
qualidade, irá provocar o aparecimento de um erro de medição. Vamos supor que o valor
medido foi:
101,3 Ω (por exemplo com um ohmímetro digital de 4 dígitos)
O erro cometido é portanto:
101,3 - 100,000 = 1,3 Ω
Claro que na maior parte das vezes, não conhecemos (ou não podemos conhecer) o valor
convencionalmente verdadeiro das grandezas), pelo que teremos que nos guiar pelas
características de incerteza especificadas nos instrumentos de medição. Temos obviamente de
saber interpretar as especificações que vêm nos manuais dos fabricantes de instrumentos de

medição (ver em 7.7. Qualidade da Medição nos Multímetros Analógicos e Digitais, por
exemplo).
Incerteza (de Medição)
Este parâmetro procura caracterizar o “grau de confiança” que se tem nas medições
efectuadas, sendo uma indicação dos limites máximos (superior e inferior) dos erros que
se supõe possam ter sido cometidos ao medir uma dada grandeza. Não sendo possível prever
qual o sinal de tais erros, a incerteza é sempre indicada como “±”.
Por exemplo, suponha que para a medição de resistência efectuada com o ohmímetro (101,3
Ω) se determinava a incerteza, através do manual do instrumento, resultando em 2 Ω. O
resultado da medição viria por isso da seguinte forma:
101,3 Ω ± 2 Ω
O que o fabricante especifica (no manual) são os limites superior e inferior dentro dos quais
deverá estar o verdadeiro valor da grandeza medida. Isto quer dizer que o fabricante “garante”
que o verdadeiro valor da resistência está entre (se o instrumento estiver em boas condições):
101,3 + 2 = 103,3 Ω e
101,3 - 2 = 99,3 Ω
Dado que o intervalo de incerteza engloba o valor convencionalmente verdadeiro (100,000
Ω), o ohmímetro efectuou uma medição válida.
Exactidão (de Medição)
A exactidão de uma medição representa a aproximação entre o resultado da medição e o
valor verdadeiro da grandeza a medir. Este é um conceito qualitativo, pelo que apenas se
pode dizer que uma medição foi mais exacta que outra, que um instrumento têm um grande
exactidão, etc.
No exemplo anterior, a Ponte de Wheatstone tem uma muito maior exactidão do que o
ohmímetro. No caso do Laboratório de Medidas Eléctricas, a Ponte de Wheatstone ([Yokogawa,
1985]) tem uma exactidão muito superior aos multímetros digitais (a funcionar como
ohmímetros).
7.2. Fontes de Incerteza
Uma vez que nenhuma medição é feita com exactidão total (isenta de erro de medição), é
importante um estudo dos erros, quer para se tentar encontrar meios para os reduzir, quer
para poder avaliar até que ponto se pode confiar no resultado da medição.
Existem diversas fontes de incerteza numa medição, nomeadamente ([Cabral, 1995]):
• Instrumento de Medição (um ou mais, utilizados na medição)
• Padrão (que serviu para a calibração do instrumento ou como parte integrante do
instrumento, tal como numa Ponte de Wheatstone ou num potenciómetro)
• Operador (que executa a medição)
• Método de Medição (utilizado para determinar o valor da grandeza)
• Condições Ambientais (temperatura, humidade, interferências electromagnéticas,
etc.)

7.3. Classificação dos Erros de Medição
As fontes de incerteza atrás descritas levam à ocorrência de erros, que são normalmente
classificados em três categorias:
• Erros Grosseiros: em grande parte devido a falhas humanas, como leitura
incorrecta dos instrumentos ou utilização incorrecta dos instrumentos.
• Erros Sistemáticos: são normalmente devidos a problemas com os instrumentos
ou condições ambientais.
• Erros Aleatórios: de origem muitas vezes difícil de explicar, traduzem-se, na
prática, pela obtenção de resultados diferentes em diferentes medições do mesmo
valor.
Erros Grosseiros
Os erros grosseiros devem-se a falhas humanas no processo de medição, tanto a nível da
leitura como a nível de registo dos resultados.
Nos instrumentos de medição analógicos (com ponteiro), podemos cometer erros grosseiros
devido a leitura deficiente do valor indicado. Por exemplo, se um operador de um multímetro
analógico lê, erradamente, 231 V, quando a indicação é efectivamente de 233 V, ele está a
cometer um erro grosseiro.
Se o utilizador de um osciloscópio não entrar em linha de conta com a atenuação da ponta de
prova (atenuadora), para os cálculos de amplitudes de tensão, está a cometer um erro
grosseiro (esquece-se de multiplicar a leitura por 10, por exemplo).
Este tipo de erros resulta pois do facto de uma medição envolver muitas vezes a percepção,
normalmente visual de um operador, que poderá ser feita de um modo erróneo, devido a
vários factores, tais como cansaço, desatenção e pressa ([Campilho, 1987]).
Erros Sistemáticos
Os erros sistemáticos dividem-se essencialmente em erros devido à própria qualidade (falta
de) dos instrumentos de medição, erros devido a condições ambientais e erros devido à
observação deficiente do instrumento:
• Erros devidos aos instrumentos
• Erros devidos ao método de medição
• Erros devidos às condições ambientais
• Erros devidos à observação
Os chamados erros instrumentais devem-se à qualidade construtiva do instrumento de
medição, nomeadamente:
• Qualidade dos componentes eléctricos e electrónicos: resistências, díodos,
conversor analógico/digital, etc. Deve ter-se em conta o envelhecimento dos
materiais…
• Qualidade dos componentes mecânicos, tal como o atrito no movimento de um
ponteiro ou tensão incorrecta de uma mola.
• Calibração e verificação (ver ‘3.3. Calibração e Verificação’).
• O efeito de carga.

O efeito de carga dos instrumentos de medição também se pode considerar um erro
instrumental. Por exemplo, na utilização de um voltímetro para a medição da tensão aos
terminais de um determinado elemento eléctrico, se a resistência interna do voltímetro não
for consideravelmente superior à resistência equivalente vista do dipolo, as condições do
circuito vão alterar-se, resultando numa tensão medida não correspondente à que se pretendia
medir.
Nota: Em alguns casos (quando se conhecerem a resistência equivalente e a resistência interna do voltímetro)
poderá ser possível corrigir o resultado bruto da medição, eliminando o erro do método.
Outro exemplo do efeito de carga é a medição de temperatura com um termómetro de
mercúrio ([Campilho, 1987]). Comete-se sempre um erro devido ao facto de que a quantidade
de calor necessária para a dilatação do mercúrio fará baixar a temperatura do meio onde se
efectua a medição (evidentemente que este erro é, normalmente, desprezável).
Obviamente que não existem instrumentos perfeitos, logo irão sempre existir erros
instrumentais. Podemos, no entanto, reduzi-los através de manutenção (calibração e
verificação) e de utilização (adequados.
Podem definir-se inúmeros atributos para caracterizar os instrumentos de medição (rapidez
de resposta, volume, estética, largura de banda, resolução do conversor A/D, número de
canais, quantidade de grandezas que pode medir, etc.), mas só as seguintes características
influem na qualidade das medições efectuadas ([IPQ, 1996]):
• Exactidão
Aptidão de um instrumento de medição para dar indicações próximas do
verdadeiro valor da grandeza medida.
Nota: Antigamente utilizava-se o termo precisão para definir o que hoje se entende por
exactidão. Precisão representa o grau de concordância entre as várias indicações do valor de
uma mesma grandeza. Enquanto que exactidão implica sempre precisão, precisão não
implica necessariamente exactidão.
• Resolução
É a menor diferença entre indicações que se podem distinguir
significativamente (para um instrumento digital, corresponde a uma unidade
do dígito menos significativo). A noção de resolução, em termos práticos, está
directamente ligada ao número de algarismos significativos com que é possível
efectuar a leitura.
• Fidelidade
Aptidão de um instrumento de medição para dar indicações isentas de erro
sistemático. Um instrumento é fiel desde que as suas indicações só dependam
da grandeza a medir, e não de outro tipo de grandezas (temperatura,
interferências electromagnéticas, etc.).
• Repetibilidade
Aptidão de um instrumento de medição para dar, em condições de utilização
definidas, indicações muito próximas, quando se aplica repetidamente o
mesmo valor da grandeza.
• Rapidez de Resposta
Tempo que decorre após uma variação repentina do sinal de entrada, até que o
sinal de saída (indicação) atinja , dentro de limites especificados, o seu valor
final em regime estável e nele se mantenha.

• Neutralidade
Aptidão de um instrumento de medição para não alterar o valor da grandeza a
medir (não provocar efeito de carga).
Um método de medição também poderá introduzir um erro sistemático na medição, os
chamados erros do método. Veja-se por exemplo o método voltamperimétrico de medição
de uma resistência.
E
Rx
A
V
LDCD
Ra
Rv
Figura 14: Medição de uma resistência pelo método voltamperimétrico (curta e longa derivação) ([Alves, 1998])
Se considerarmos que a resistência é a divisão da tensão medida pela corrente medida, tanto
na montagem de curta derivação como na montagem de longa derivação existem erros
inerentes ao método. Por exemplo, na montagem de longa derivação, embora o amperímetro
meça a corrente na resistência, o voltímetro não mede exactamente a tensão aos terminais da
resistência ([Alves, 1998]).
Nota: No caso em que se conhecem as resistências internas do amperímetro (longa derivação) e do voltímetro
(curta derivação) é possível corrigir o resultado bruto da medição, eliminando o erro do método.
Para evitar ao máximo o aparecimento de erros inerentes ao método de medição, devemos
procurar utilizar métodos directos, quando for possível e adequado.
Diversos factores relacionados com o meio ambiente onde se processa a medição podem
levar aos chamados erros ambientais. Podem citar-se nomeadamente:
• Temperatura (temperaturas extremas ou variações rápidas)
• Pressão
• Humidade
• Campos Electromagnéticos
Para reduzir os seus efeitos, devem:
• Preferencialmente:
Manter-se, tanto quanto possível, as condições ambientais ideais (temperatura,
humidade, etc.) para o equipamento utilizado.
• Se não for possível:
Usar-se equipamento cujo funcionamento seja adequado às condições
ambientais existentes (mais caro).
• Em último caso:

Efectuar-se correcções nas medições, quando existir informação que as
possibilite (no manual do instrumento).
A utilização cada vez mais vulgarizada dos instrumentos digitais levou a uma diminuição
acentuada dos chamados erros de observação. De facto, duas pessoas que leiam a indicação
de um instrumento analógico podem obter resultados diferentes. O modo como se faz a
leitura poderá originar erros de paralaxe (sistemáticos).
No caso de medições que envolvam o tempo (análise da carga de um condensador, por
exemplo), pode haver uma antecipação ou um atraso nas leituras efectuadas dependendo de
quem leva a cabo essa tarefa (obviamente que isto pode acontecer tanto nos instrumentos
analógicos como nos digitais).
Erros Aleatórios
Mesmo depois de entrar em linha de conta com os erros grosseiros e os erros sistemáticos,
existem ainda desvios entre os valores medido e verdadeiro - os chamados erros aleatórios. A
sua origem é muitas vezes difícil de explicar, sendo o acumular de um grande número de
pequenos efeitos. Traduzem-se, na prática, pela obtenção de diferentes valores quando se
efectuam várias medições de uma grandeza que não varia.
Os erros aleatórios podem encarar-se genericamente como o resíduo do erro de medição
depois de se evitarem os erros grosseiros e de se corrigirem convenientemente os erros
sistemáticos (conhecidos).
O único meio de reduzir o efeito deste tipo de erros é aumentando o número de leituras e
posterior análise estatística, de modo a obter-se a melhor aproximação possível do
verdadeiro valor da grandeza sob medição.
Nota: O facto dos erros aleatórios serem também chamados de residuais reside no facto de que, ao corrigir-se
um determinado resultado entrando em linha de conta com os erros sistemáticos conhecidos, se cometerem
inevitavelmente erros devido à própria correcção não ser, em si, isenta de erros. Gera-se então um resíduo ou
erro de 2ª ordem.
7.4. Considerações Sobre Algarismos Significativos
Embora muitas vezes não nos apercebamos, é frequente depararmo-nos com situações do
género: ao medir a tensão e a corrente aos terminais de uma resistência, o amperímetro digital
indica 12,5 mA e o voltímetro digital indica 4,5 V. Ao dividir a tensão pela corrente, para
obter a resistência, quantos algarismos vamos reter no resultado? A situação agrava-se quando
utilizamos máquinas de calcular, que é o caso mais frequente, hoje em dia.
É então fundamental, principalmente em engenharia, quando se efectuam medições e cálculos
associados a essas medições, ter um conhecimento básico sobre algarismos significativos
(AS). Os AS são os algarismos, incluindo os zeros (à direita), que foram obtidos por uma
medição ou cálculo e que devem ser retidos no resultado.

Exemplos:
Resultado de uma medição
ou de um cálculo
Número de
Algarismos Significativos
10,1 3
5,2500 5
0,0015 = 1,5 × 10-3 2
0,001500 = 1,500 × 10-3 4
Tabela 7: Número de algarismos significativos em medições
Os números resultantes de contagens, ao contrário dos que se obtêm nas medições, são
naturalmente exactos, pelo que têm um número infinito de AS.
Como se pode compreender, a posição do ponto decimal não afecta o número de AS (se um
zero se utiliza meramente para localizar o ponto decimal, ele não é um AS).
Quando efectuamos cálculos, devemos rejeitar os algarismos não significativos. Isso evita que
tiremos falsas conclusões, dado que algarismos “a mais” implicam uma exactidão maior do
que os algarismos realmente têm.
No caso de consulta da bibliografia [Helfrick, 1991] e [Jones, 1991], devem ter-se em conta
algumas “asneiras”. Contactar com o autor desta sebenta para qualquer esclarecimento.
São a seguir enunciadas três regras que devem ser respeitadas quando se efectuam operações
básicas (adição/subtracção e multiplicação/divisão):
1ª Regra - Algarismos a Conservar (Adição e Subtracção)
Nas adições e subtracções, não se deve levar o resultado para além da 1ª coluna (posição) que
contém um algarismo duvidoso. Como regra geral, todos os algarismos para a direita da
última coluna (posição) em que todos os algarismos são significativos, devem ser excluídos.
Exemplo 1:
Rtotal = R1 + R2
1 8 . 6
+ 3 . 2 3 4
2 1 . 8 3 4
Rtotal = 21.8 Ω
Exemplo 2:
47,816 - 25 = 22,816 (se 25 for um número exacto)
É importante notar que nas adições e subtracções, o que conta são as casas decimais (não o
número de AS).
R2R1
R1 = 18.6 Ω
R2 = 3.234 Ω
Rtotal = ?
Coluna
duvidosa
aproximado

2ª Regra - Algarismos a Conservar (Multiplicação, Divisão e Radiciação)
Nas multiplicações, divisões e radiciação, devem reter-se apenas tantos AS quantos os da
quantidade menos exacta (com menor número de AS).
Exemplo 1:
U = R × I = 18.2 × 7.238 = 131.7316
U = 132 V
Exemplo 2:
8,416 × 50 = 420,8 (se 50 for um número exacto)
Exemplo 3:
1,648 / 0,023 = 72
Exemplo 4:
√(38,7) = 6,22
Pode deduzir-se que, nas multiplicações e divisões, apenas se deve tomar em consideração o
número de AS.
3ª Regra - Arredondamento dos Resultados
Ao excluir os A não S:
Se o primeiro A não S (mais à esquerda) é < 5:
então não alterar o último AS (mais à direita)
senão incrementar esse AS de 1
Normalmente, numa medição com um instrumento digital, os dígitos que conseguimos
visualizar no mostrador consideram-se significativos. É de esperar que exactidão associada às
grandeza e alcance utilizados seja suficientemente grande para que isso seja verdade, isto é, a
incerteza associada a essa medição não deve provocar que nenhum dígito (algarismo) deixe de
ser significativo. Ou seja, apenas pode haver incerteza no algarismo menos significativo.
Quando nada é especificado acerca do resultado de uma dada medição, considera-se que a
incerteza é de mais ou menos meia unidade do algarismo menos significativo. Por exemplo,
supondo que se determinou com rigor uma altura como sendo 1,75 metro, isso significa que o
seu valor verdadeiro está compreendido entre 1,745 m e 1,755 m.
7.5. Determinação de Incerteza em Medições Directas
Consideremos uma grandeza x que é medida directamente. Podem definir-se:
xv - verdadeiro valor da grandeza x
R
I
U
R = 18.2 Ω
I = 7.238 A
U = ?
3 AS
4 AS
Devem reter-se
apenas 3 AS
aproximado

xv
*
- valor convencionalmente verdadeiro (para um dado objectivo, substitui xv )
xm - valor medido
Define-se erro absoluto (δx ) como:
δx m vx x= − *
podendo então definir-se-se erro relativo (ε x ) como:
ε
δ δ
x
x
v
m v
v
x
mx
x x
x x
= =
−
≈*
*
*
Em termos de recta numérica, fica:
x
xm - δx limite xv xv
*
xm xm + δx limite
Exemplo:
O valor convencionalmente verdadeiro de uma tensão é 50 V. Contudo, uma medição resulta
em 49 V. Calcular os erros absoluto e relativo inerentes à medida.
δu m vU U V= − = − =*
49 50 1
ε
∂
u
u
vU
= = =*
.
1
50
0 02 = 2%
7.6. Determinação de Incerteza em Medições Indirectas
A grandeza x é medida indirectamente à custa de outras grandezas (y1, y2, …,yn), ou seja:
x = f(y1, y2, …, yn)
Sejam δ δ δy y y1 2 n
, ,..., os erros cometidos na determinação dos valores y1, y2, …,yn. A esses
erros vai corresponder um erro no valor de x, que vamos designar por δx.
Nota: Considera-se que os erros cometidos na medição de cada uma das grandezas não são correlacionados,
isto é, não dependem uns dos outros.
Pode então escrever-se,
δ δ δ δx n nf y y y f y y y= + + + −( , ,..., ) ( , ,..., )1 2 1 2y y y1 2 n
Fazendo o desenvolvimento da função f em Polinómio de Taylor, no ponto yi + ∂yi
, teremos,
f y y y f y y y
y y y
y y y
n n
n
y y y
n
n
( , ,..., ) ( , ,..., ) ...
!
... ...
1 2 1 2
1 2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 2
+ + + = + + + +





 +
+ + + +





+
δ δ δ δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
y y y y y y1 2 n 1 2 n
f f f
f f f
Passando f(y1, y2, …, yn) para o lado esquerdo da igualdade, teremos,
Se δx pequeno
O valor convencionalmente
verdadeiro deve cair dentro do
intervalo limite de incerteza

f y y y f y y y
y y y
y y y
n n x
n
y y y
n
n
( , ,..., ) ( , ,..., ) ...
!
... ...
1 2 1 2
1 2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 1 2
+ + + − = = + + +





 +
+ + + +





+
δ δ δ δ δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
δ
∂
∂
y y y y y y1 2 n 1 2 n
f f f
f f f
e, desprezando os termos (erros ) de ordem superior à primeira (2ª - os erros dos erros, 3ª -os
erros dos erros dos erros, etc.) fica:
δ δ
∂
∂x
ii
n
y
≈
=
∑ yi
f
1
Considerando que δ δy yi i
= MAX são os majorantes dos erros em yi e tendo em conta que os
elementos do somatório podem ter sinal positivo ou negativo, podemos então dizer que:
δ δ
∂
∂
x
ii
n
y
≤
=
∑ yi
f
1
Por definição de erro absoluto

O erro relativo em x deriva-se da expressão anterior, pois
ε
δ δ ∂
∂
δ ∂
∂
δ
x
x x
i ii
n
i i
i
i
n
x f y y f y y
y
f
= = ≤ =
= =
∑ ∑( )
f fy yi i
1 1
Então,
ε
∂
∂
εx
i
i
y
i
n
y
y
f i
≤
=
∑
f
1
Nota: A aplicação do Polinómio de Taylor à aproximação de funções pode exemplificar-se em termos gráficos :
f
p0
p1
Figura 15: Aproximação de uma função por Polinómio de Taylor
Se pretendermos aproximar uma dada função f por um polinómio, quanto maior o grau do polinómio, mais
este se aproxima da função.
No caso de aparecerem funções complexas do tipo logarítmico, pode utilizar-se a Regra da
Diferencial Logarítmica:
1. Aplicar logaritmos à expressão de x: log (f(yi))
2. Calcular a diferencial logarítmica de x:
∂x
x
3. Considerar a expressão obtida em módulo
4. Substituir as diferenciais logarítmicas por ε
Exemplos:
a) x y y= 1 2.
1. log( ) log( . ) log logx y y y y= = +1 2 1 2
2.
∂ ∂ ∂x
x
y
y
y
y
= +1
1
2
2
3.
∂ ∂ ∂ ∂ ∂x
x
y
y
y
y
y
y
y
y
= + ≤ +1
1
2
2
1
1
2
2
4. ε ε εx y y≤ +1 2
b) x y y= +1 2 (não é uma função “interessante”)
1. log( ) log( )x y y= +1 2
2.
∂ ∂ ∂ ∂ ∂x
x
y
y y
y
y y
y
y y
y
y
y
y y
y
y
=
+
+
+
=
+
+
+
1
1 2
2
1 2
1
1 2
1
1
2
1 2
2
2
3.
∂ ∂ ∂x
x
y
y y
y
y
y
y y
y
y
≤
+
+
+
1
1 2
1
1
2
1 2
2
2
ε yi

4. ε ε εx y y
y
y y
y
y y
≤
+
+
+
1
1 2
2
1 2
1 2
c) x u v w zn m
= . . / (é uma função “interessante”)
1. log( ) log( ) .log( ) log( ) log( )x u n v
m
w z= + + −
1
2.
∂ ∂ ∂ ∂ ∂x
x
u
u
n
v
v m
w
w
z
z
= + + −
1
3.
∂ ∂ ∂ ∂ ∂x
x
u
u
n
v
v m
w
w
z
z
≤ + + + −
1
4. ε ε ε ε εx u v w zn
m
≤ + + +.
1
Cálculo de Incerteza na Multiplicação, Divisão, Soma e Subtracção
Calcular o erro absoluto e relativo para:
a) x y y= 1 2.
b) x
y
y
= 1
2
c) x y y= +1 2
d) x y y= −1 2
δ δ
∂
∂
x
ii
n
y
≤
=
∑ yi
f
1
ε
∂
∂
εx
i
i
y
i
n
y
y
f i
≤
=
∑
f
1
a) δ δ δx y yy y≤ +2 11 2
, ε ε ε ε εx y y y yy
y
y y
y
y
y y
≤ + = +2
1
1 2
1
2
1 2
1 2 1 2
b) δ δ δx y y
y
y
y
≤ +
−1
2
1
2
21 2
, ε ε ε ε εx y y y y
y
y
y y
y
y
y
y y
≤ +
−
= +
1
2
1
1 2
1
2
2
2
1 2
1 2 1 2
/ /
c) δ δ δx y y≤ +1 2
, ε ε εx y y
y
y y
y
y y
≤
+
+
+
1
1 2
2
1 2
1 2
d) δ δ δx y y≤ +1 2
, ε ε εx y y
y
y y
y
y y
≤
−
+
−
−
1
1 2
2
1 2
1 2
Exemplo:
N1 = 826 ± 5 (± 0.605 %) N2 = 628 ± 3 (± 0.477 %)
Para a soma,
Soma = N1+ N2 = 1454 ± 8 (± 0.5502 %)








=+=
+
+
+
≤
1454
8
628
3
1454
628
826
5
1454
826
21
21
2
21
1
yyx
yy
y
yy
y
εεε
As técnicas de medição dependentes de subtracções devem ser
evitadas
δ ε

Na subtracção,
Subtracção = N1- N2 = 198 ± 8 (± 4.04 %)








=+=
−
+
−
≤
198
8
198
3
198
5
21
21
2
21
1
yyx
yy
y
yy
y
εεε
Repare que os erros absolutos são iguais, mas os erros relativos não.
Cálculo de Incerteza na Associação de Resistências em Paralelo
Determinar o erro relativo (máximo) no cálculo do paralelo de duas resistências, sabendo que
os erros relativos (máximos) na medida de 1R e 2R são 1Rε e 2Rε , respectivamente. Comparar
os resultados obtidos pela aplicação:
a) Expressão geral dos erros para:
21
21.
RR
RR
R
+
=
b) Expressão geral dos erros para: R
R R
=
+
1
1 1
1 2
c) Algoritmos de soma e produto para:
21
21.
RR
RR
R
+
=
d) Algoritmos de soma e produto para: R
R R
=
+
1
1 1
1 2
Resolução:
a)
∂
∂
f
R
R R R R R
R R1
2 1 2 1 2
1 2
2=
+ −
+
.( ) .
( )
R
f
R
R R
R R
1 1
1 2
1 2
=
+
.
∂
∂
f
R
R
f
R R R R R
R R
R
R R
R R
R
R R1
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1
1 2
1 2
2
1 2
=
+ −
+
+
=
+
.( ) .
( )
.
.
ε ε εR R R
R
R R
R
R R
≤
+
+
+
2
1 2
1
1 2
1 2
. .
b)
( )
∂
∂
∂
∂f
R
R R
R
R R
R
R R
R
R R1
1 2
1
1 2
2
1
2
1 2
2
2
2
2 1
2
1 1
1 1
1
1 1
= −
+
+
= −
−
+
=
+
( )
( ) ( )
R
f
R
R R
R
R R
R R
1 1
1 2
1
1 2
1 2
1
1 1
=
+
=
+
.

( ) ( )
∂
∂
f
R
R
f
R
R R
R
R R
R R
R
R R
R R
R
R
R R1
1 2
2
2 1
2
1
1 2
1 2
2
2
2 1
2
1 2
2
2
1 2
. .
.
.=
+
+
=
+
+
=
+
c) ( ) ( )ε ε ε ε ε ε ε ε εR R R R R R R R R R R
R
R R
R
R R
R R
R R
R R
R R
≤ + = + +
+
+
+
=
+
+
+
+
++1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
.
d) ε ε ε ε ε ε εR
R R
R R R R
R
R R
R
R R
R
R R
R
R R
≤ + =
+
+
+
=
+
+
++






1 1 1
1
1 2
2
1 2
2
1 2
1
1 2
1 2
1 2 1 2
1
1 1
1
1 1
. .
Pode retirar-se daqui que se deve evitar fazer operações desnecessárias.
Cálculo de Incerteza numa Caixa de Décadas
Para uma caixa de décadas:
• década A: 10 resistências de 100 Ω, 0.05% (40 mA)
• década B: 10 resistências de 10 Ω, 0.05% (120 mA)
• década C: 10 resistências de 1 Ω, 0.2% (750 mA)
• década D: 10 resistências de 0.1 Ω, 0.5% (2.5 A)
Calcular os erros absoluto e relativo (máximos) para a resistência total (R), quando:
a) R = 111.1 Ω
b) R = 1111 Ω
c) R = 100 Ω, utilizando a década A
d) R = 100 Ω, utilizando a década B
e) R = 10 Ω, utilizando a década B
f) R = 10 Ω, utilizando a década C
Resolução:
É necessário determinar o erro absoluto unitário de cada década:
δ
δ
δ
δ
A
B
C
D
1
1
1
1
100 005% 00500
10 005% 00050
1 02% 0002
01 05% 00005
= × =
= × =
= × =
= × =
. .
. .
. .
. . .
Ω
Ω
Ω
Ω
O erro relativo em c) é maior do que
o erro relativo em d), pois em c) são
efectuadas mais duas operações com
“quantidades incertas”
=0
Resultado idêntico ao anterior, como
seria de experar

a) R = 111.1 Ω
R
R
R A B C D
R
R
= × + × + × + ×
= × + × + × + × =
= + + + =
=
= = = × =−
1 100 1 10 1 1 1 01
1 1 1 1
00500 00050 0002 00005
00575
00575
1111
518 10 00518%
1 1 1 1
4
.
. . . .
.
.
.
. .
Ω
Ω
δ δ δ δ δ
ε
δ
b) R = 1111 Ω
R
R
R A B C D
R
R
= × + × + × + ×
= × + × + × + × =
= + + + =
=
= = = × =−
10 100 10 10 10 1 10 01
10 10 10 10
0500 0 050 002 0005
0575
0575
1111
518 10 00518%
1 1 1 1
4
.
. . . .
.
.
. .
Ω
Ω
δ δ δ δ δ
ε
δ
c) R = 100 Ω, utilizando a década A
R
R
R A
R
R
= ×
= × =
=
= = =
1 100
1
00500
00500
100
0 0500%
1
Ω
Ω
δ δ
ε
δ
.
.
.
d) R = 100 Ω, utilizando a década B
R
R
R B
R
R
= ×
= × =
= × =
=
= = =
10 10
10
10 0 0050
0050
0 050
100
0 050%
1
Ω
Ω
δ δ
ε
δ
.
.
.
.
e) R = 10 Ω, utilizando a década B
R
R
R B
R
R
= ×
= × =
= = =
1 10
1 0 0050
0 0050
10
0 050%
1
Ω
Ωδ δ
ε
δ
.
.
.
f) R = 10 Ω, utilizando a década C
R
R
R C
R
R
= ×
= × =
= = =
10 1
10 002
0 02
10
02%
1
Ω
Ωδ δ
ε
δ
.
.
.
Pode então concluir-se que para um mesmo valor de resistência, deve usar-se a década com
menor erro relativo.
Erros relativos iguais (as décadas têm a
mesma exactidão)
Os erros absoluto e relativo quadruplicam (pois os
erros relativos das décadas são diferentes
Erros relativos iguais (as décadas têm a
mesma exactidão)

7.7. Qualidade da Medição nos Multímetros Analógicos e Digitais
Quando utilizamos um instrumento de medição para conhecer o valor de uma dada grandeza
existente num sistema, pretendemos conhecê-la com o maior grau de exactidão possível, isto
é, pretendemos que a medição se aproxime o mais possível do verdadeiro valor da grandeza
que queremos medir.
Nos multímetros, tais como os multímetros digitais utilizados no Laboratório de Medidas
Eléctricas do ISEP (DM25L da Beckman Industrial), são duas as características que fazem que o
valor medido de uma grandeza não seja igual ao seu verdadeiro valor:
• A resistência interna do instrumento (que provoca efeito de carga nos circuitos)
• A exactidão do instrumento (que provoca incerteza na medição)
Resistência Interna (como Voltímetro e Amperímetro)
A maior ou menor resistência interna de um instrumento de medição provoca a alteração
involuntária do circuito onde este instrumento se vai inserir. Chama-se a este fenómeno o
efeito de carga do instrumento.
Para uma medição de tensão, o instrumento (a funcionar como voltímetro), ao estar ligado
em paralelo com o componente, deverá ter, idealmente, uma resistência interna infinita,
para que a corrente continue a fluir pelo componente, como se o voltímetro não existisse.
Quando pretendemos medir corrente, o facto de o amperímetro se ligar em série com o
circuito implica que este deva ter, idealmente, uma resistência interna nula, de modo a que
nele não ocorra nenhuma queda de potencial.
Obviamente que nenhum multímetro tem características ideais, dispondo de uma resistência
interna não infinita (mas muito grande) como voltímetro e de uma resistência interna não
nula (mas muito pequena) como amperímetro
A determinação da resistência interna de um voltímetro ou de um amperímetro pode ser feita
de duas maneiras:
• Recorrendo ao manual do instrumento
• Efectuando a medição com um ohmímetro
O segundo método é sem dúvida o mais indicado, já que não implica depender das
especificações do fabricante que, normalmente, são apenas valores limite. Além disso, a
variação de condições tais como a temperatura, a humidade, o envelhecimento de
componentes, etc., faz com que as especificações do manual possam não ser as mais
adequadas, favorecendo a utilização do segundo método (ohmímetro). É obviamente
necessário dispor de um ohmímetro.
Se tivermos de recorrer ao manual (por inexistência de um ohmímetro) a resistência interna
poderá ser determinada da seguinte forma:
• Voltímetro
Digital: a resistência é dada directamente. Exemplo típico: 10 MΩ.
Analógico: a resistência calcula-se através da relação R S UV FE= × , em que S é
a sensibilidade do voltímetro (característica que vem especificada no manual e
normalmente no próprio mostrador) e UFE é o alcance utilizado. Exemplo:
20000 Ω/V em DC, 5000 Ω/V em AC, corresponde a uma resistência interna
de 200 KΩ no alcance de 10 V DC.

• Amperímetro (digital e analógico)
A resistência não é dada directamente. O que é fornecido é, para cada alcance,
a queda de tensão máxima (normalmente especificada no manual como
Voltage Drop ou Voltage Burden) aos terminais do amperímetro. Como a queda
de tensão máxima ocorre quando a corrente é maior, divide-se esta queda de
tensão pelo valor máximo da escala, resultando na resistência interna do
amperímetro (nessa alcance). Exemplo: queda de tensão máxima de 600 mV
no alcance de 200 mA, corresponde a uma resistência interna de 3 Ω
(600/200).
Refira-se ainda que a resistência interna de um instrumento varia consoante o alcance, pois a
própria constituição (circuito) do instrumento se modifica, para satisfazer cada uma dos
alcances.
Exactidão
Obviamente que um multímetro, tal como qualquer outro dispositivo de medição (um relógio,
por exemplo), quanto maior exactidão tiver maior será o seu preço. Se instrumentos de
utilização corrente (margem de erro de 1-3%), poderão custar menos de uma dezena de
contos, quando pretendemos exactidão na ordem de 0.1% teremos de despender várias
centenas de contos. Refira-se também que o preço de um multímetro é muito mais
dependente da sua exactidão do que da quantidade de grandezas que ele consegue medir
(tensão, corrente, resistência, capacidade, frequência, etc.).
O cálculo dos erros de medição nos instrumentos analógicos difere significativamente, devido
à diferente construção dos dois tipos de instrumento.
Multímetro Digital
Para compreender como se determina a incerteza de medição (majorante do erro de medição)
inerentes à qualidade de medição de um multímetro digital, recorramos ao seguinte caso
concreto.
Suponhamos que um determinado multímetro digital (DM25L - Beckman Industrial), no
alcance de 20 V DC (medição de tensões contínuas), apresenta uma exactidão (accuracy) de ±
(0.8% RDG + 1 dgt) e tem um LCD de 3½dígitos. Pretende determinar-se o erro relativo
(máximo) quando se efectuam as leituras de 1.00, 2.00. 5.00, 10.00 e 19.99 V.
Nota: Embora nos manuais dos multímetros apareça o termo exactidão (acccuracy), o termos correcto seria
incerteza (uncertainty), dado que exactidão é uma medida qualitativa da qualidade do instrumento (a incerteza
é uma medida quantitativa).
O mostrador (LCD - Liquid Cristal Display) do multímetro, se tem 3½dígitos, significa que é
constituído por 3 dígitos de 7 segmentos e 1 dígito de 2 segmentos, sendo este último (o mais
significativo) considerado como ½dígito:
I.8.8.8

O mostrador deste instrumento pode apresentar um valor máximo de 1999. A posição do
ponto decimal depende do alcance escolhido, isto é, para o alcance de 20 V DC, temos:
I.8.8.8
Na instrumentação digital os erros de medição podem calcular-se à custa da característica de
exactidão que vem especificada nos respectivos manuais. Esta exactidão é normalmente
apresentada em duas partes:
• Percentagem da leitura (ReaDinG) - erro relativo à medição
• Erro de resolução em número de unidades do dígito menos significativo (dgt) -
erro absoluto independente do valor da medição
Enquanto que o primeiro se aplica directamente a cada medição efectuada, o segundo
necessita de ser convertido para um erro absoluto. Isso é feito tendo em conta a posição do
ponto decimal e as unidades da grandeza sob medição.
Para o caso em questão, dado um erro de resolução de ±1 dígito menos significativo (mais à
direita) e utilizando o alcance de 20 V DC, teremos um erro absoluto de 0.01 V (em toda o
alcance):
I.8.8.8
Podem então apresentar-se os erros limite (incertezas) das diversas medições na forma de
uma tabela:
Leitura (V) RDG + dgt (%) Erro Total (%)
1.00 08%
001
100
100%.
.
.
+ ×
1.8%
2.00 08%
001
2 00
100%.
.
.
+ ×
1.3%
5.00 08%
001
500
100%.
.
.
+ ×
1.0%
10.00 08%
0 01
1000
100%.
.
.
+ ×
0.90%
19.99 08%
001
19 99
100%.
.
.
+ ×
0.85%
Tabela 8: Incerteza para diversos valores medidos
Conclui-se portanto que para minimizar o erro (relativo), devem escolher-se os alcances
em que as os valores medidos mais se aproximam do alcance (se o instrumento não
dispuser de escolha automática de alcances).
Erro relativo <Valor >
±1 ⇔ 0.01 V
Dígito menos significativo

Multímetro Analógico
No caso dos amperímetros e voltímetros analógicos, uma das componentes da incerteza na
medição é o erro instrumental e calcula-se a partir do índice de classe (ic) também
conhecido como classe de exactidão:
100
max
×=
V
ic
δ
em que δδ é o máximo erro absoluto cometido pelo instrumento em cada valor medido,
constante em toda a escala e Vmax é o valor máximo da escala utilizada (alcance).
Os fabricantes de instrumentos de medição analógicos definem um limite superior do erro
absoluto (ou incerteza absoluta), que se admite ser constante ao longo de toda a a escala.
Assim, os instrumentos de medição analógicos são classificados pelo número que representa o
limite superior do erro absoluto instrumental, expresso em percentagem do valor máximo.
Note-se que o cálculo do erro instrumental como ohmímetro não é feito a partir do índice
de classe, diferindo de instrumento para instrumento, não sendo objecto de análise nesta
disciplina.
É a seguir apresentado um exemplo de aplicação.
Num voltímetro analógico com um índice de classe de 0.5 (i.c.=0.5), efectuaram-se as
seguintes leituras, utilizando-se o alcance de 10V (UFE = 10V):
a) U = 7.5V
b) U = 5.0V
c) U = 2.5V
Calcule o erro relativo associado a cada uma das medições.
Resolução:
O erro absoluto é constante em toda a gama de medição, isto é,
δ
δ
=
×
∧ = ∧ = ⇒
⇒ =
×
=
U i c
i cFE . .
. . .
.
.
100
05 10
10 05
100
0050
U V
V
FE
a) Um = 7.5 V
ε
δ
R
mU
= = =
0050
7 5
067%
.
.
.
b) Um = 5.0 V
ε
δ
R
mU
= = =
0 050
50
10%
.
.
.
c) Um = 2.5 V
ε
δ
R
mU
= = =
0050
25
2 0%
.
.
.
Conclui-se portanto que nos instrumentos de medição analógicos, devem seleccionar-se os
alcances que conduzam ao máximo desvio do ponteiro.
O erro relativo cresce para valores menores da
grandeza medida

Nos instrumentos analógicos, podem ainda considerar-se duas fontes de erro adicionais:
• Erro de paralaxe.
• Erro de leitura.
Ao realizar uma leitura num instrumento de medição analógico, o observador deve colocar-se
bem em frente do mostrador do instrumento, de forma a evitar os erros de paralaxe:
Figura 16: Erro de paralaxe ([Morais, 1987])
Erro de paralaxe é o erro que se comete ao observar a posição do ponteiro de forma oblíqua,
dado que o ponteiro se encontra, necessariamente, a uma certa distância da superfície da
escala. Em alguns instrumentos, nomeadamente os de maior exactidão (classes 0.1, 0.2 e 0.5),
há um espelho ao longo da graduação da escala (Figura 17). Neste caso, a leitura só deve ser
efectuada quando o ponteiro encobre a sua imagem dada pelo espelho.
Figura 17: Instrumento analógico com espelho ([Morais, 1987])
Em alguns instrumentos, a extremidade do ponteiro que está sobre a escala tem a forma de
lâmina (em posição vertical). Para evitar o erro de paralaxe, a leitura só deve ser efectuada
quando não se vir qualquer face lateral dessa lâmina.
Numa dada medição, só por coincidência é que o ponteiro do instrumento coincide
exactamente com uma divisão da escala. Torna-se então importante avaliar o erro de leitura
cometido. Este erro depende essencialmente de:
• Observador (treino, acuidade visual, etc.).

• Qualidade da graduação (comprimento e espessura das marcas da escala, espessura
do ponteiro, etc.).
• Condições ambientes (iluminação, etc.).
Deve então considerar-se um erro absoluto de leitura igual a metade do valor da menor
divisão, que representa o máximo erro de leitura que se pode cometer.
Por exemplo, o caso da Figura 18, deve considerar-se um erro de leitura de metade do valor
da menor divisão, ou seja, ½(pois cada divisão pequena vale uma unidade).
Figura 18: Leitura de uma valor num instrumento analógico ([Morais, 1987])
O resultado da medição é então:
126,5 ± 0,5
Isto é o mesmo que dizer que o observador só pode garantir que a leitura está entre 126 e
127.
7.8. Noção Sobre Estatística Aplicada à Medição de Grandezas Físicas
Quando medimos o valor de uma grandeza física, essa medição é afectada por uma infinidade
de factores. Por exemplo, se medirmos a resistência (eléctrica) de um bocado de fio condutor,
chegamos à conclusão que o valor medido é influenciado por diversos factores, uns
significativos e outros insignificantes. Dentro dos factores a ser considerados, incluem-se o
tipo e a pureza do material, a sua temperatura, o comprimento e secção do condutor, a
distribuição da corrente através do condutor e tensão mecânica a que este está sujeito ([Jones,
1991]).
Se se efectuam diversas medições de uma dada grandeza, os valores obtidos poderão divergir,
dado que o operador não sabe ou não consegue manter constantes todos esses factores.
Estudaram-se anteriormente algumas causas de erros nas medições e o modo como essas
causas originam uma inevitável incerteza na determinação do valor real (verdadeiro) da
grandeza a medir. Contudo, simplificaram-se a discussão e o cálculo dos erros, admitindo que
eles se poderiam considerar limitados, usando-se para cálculo os majorantes respectivos
(incertezas).

Na realidade, a incerteza na medição pode ser estudada sob o ponto de vista estatístico. Por
exemplo, suponhamos que se efectuavam 8 medições da “mesma” tensão, resultando em:
230 V 229 V 230 V 231 V 230 V 203 V 230 V 230 V
Tabela 9: Resultado de diversas medições de tensão
Mesmo para um leigo, não é difícil concluir que o valor “mais provável” da grandeza medida é
230 V. Também se pode concluir que o valor 203 V resulta (muito provavelmente) de um
erro grosseiro cometido na respectiva medição.
A análise estatística apenas serve para reduzir os erros aleatórios. Devemos portanto proceder
à eliminação (ou pelo menos redução) dos erros sistemáticos e dos erros grosseiros, para
podermos reduzir os erros aleatórios através da análise estatística de uma série de medições.
Relativamente aos erros sistemáticos, devemos ter em conta que o tratamento estatístico dos
resultados não os elimina (não elimina o erro de fidelidade), dado que eles se manifestam em
todas as medições.
Os erros grosseiros são, pelos menos quando se efectua uma série de medições, detectados
facilmente, desprezando-se os respectivos valores na análise estatística. É vulgar desprezar à
partida um valor, quando ele se afasta de modo evidente dos restantes (caso do valor 203 V,
no exemplo atrás). Nestes casos, há muito maior probabilidade de se tratar de um erro
grosseiro do que de um erro acidental. Contudo, mesmo depois de desprezar esses valores (se
existirem), e mesmo prevendo e corrigindo os erros sistemáticos, surgem sempre variações
nos valores medidos, mais ou menos acentuadas. Põe-se então o problema de determinar o
valor mais provável da grandeza que se está a medir.
A aplicação mais simples da estatística é a determinação do valor médio de um conjunto de
valores e considerar esse valor médio como uma melhor aproximação do valor da grandeza
do que o obtido por uma leitura apenas. Quanto maior o número de leituras da mesma
grandeza, melhor a aproximação ao verdadeiro valor dessa grandeza. Teoricamente, um
número infinito de leituras permitiria chegar ao verdadeiro valor da grandeza, embora isso seja
impossível.
Média Aritmética
A média aritmética é dada pela expressão seguinte:
x
x x x x
n n
xn
i
i
n
=
+ + + +
= ⋅
=
∑1 2 3
1
1...
em que:
x → média aritmética
x x xn1 2, ,..., → leituras obtidas
n → número de leituras

Exemplo:
Para o conjunto de leituras seguinte:
Leitura de Tensão (V)
117,02
117,11
117,08
117,03
Tabela 10: Resultado de diversas medições de tensão
a média será:
x =
+ + +
= =
117,02 117,11 117,08 117,03
V
4
468 24
4
117 06
,
,
Desvio da Média
O desvio da média é o afastamento de uma dada leitura relativamente à média do conjunto de
leituras. Se o desvio da leitura xi for designado por di, em que i vai de 1 até ao número de
leituras (n), então os desvio da média podem ser expressos como:
d x x
d x x
d x xn n
1 1
2 2
= −
= −
= −
...
Deve notar-se que o desvio da média pode tomar valores positivos e negativos e que a soma
algébrica de todos os desvios é zero.
Para as leituras de tensão anteriores, temos:
d
d
d
d
1
2
3
4
117 02 117 06 0 04
117 11 117 06 0 05
117 08 117 06 0 02
117 03 117 06 0 03
= − = −
= − = +
= − = +
= − = −
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
V
V
V
V
Desvio Médio
O desvio médio é uma indicação da precisão dos instrumentos utilizados para fazer as
medições. Instrumentos muito precisos conduzirão a um baixo desvio médio entre leituras.
Por definição, o desvio médio é a soma dos valores absolutos dos desvios a
dividir pelo número de leituras. O valor absoluto do desvio é o valor numérico deste sem
afectação de sinal.
O desvio médio pode então ser expresso por:
D
d d d
n n
dn
i
i
n
=
+ + +
= ⋅
=
∑1 2
1
1...

Por exemplo, o desvio médio das leituras de tensão é:
D =
+ + +
= =
0 ,05 0 0
V
, , . ,
,
04 0 02 03
4
0 14
4
0 035
Obviamente que quanto menor o desvio médio, mais precisas foram as medições.
Desvio Padrão
Na análise estatística de erros aleatórios, a raiz quadrada da média dos quadrados (root mean
square, na terminologia inglesa) dos desvios, ou desvio padrão, constitui uma ajuda valiosa. Por
definição, o desvio padrão σ de um número n de leituras é dado pela seguinte expressão:
σ =
+ + +
−
=
−
=
∑d d d
n
d
n
n
i
i
n
1
2
2
2 2
2
1
1 1
...
Ao quadrado do desvio padrão dá-se o nome de variância (V), vindo assim:
V = σ 2
Exemplo:
Leituras Valor (V) di |di| di
2
1 117,02 -0,04 0,04 0,0016
2 117,11 0,05 0,05 0,0025
3 117,08 0,02 0,02 0,00040
4 117,03 -0,03 0,03 0,00090
Soma 468,24 0,00 0,14 0,0054
Tabela 11: Grandezas estatísticas
Então, o desvio padrão será:
σ ==
−
= ≈=
∑d
n
i
i
n
2
1
1
0 0054
3
0 42
,
, V
Hoje em dia, qualquer folha de cálculo e quase todas as máquinas de calcular com um mínimo
de qualidade (mesmo sem serem programáveis) permitem determinar as grandezas estatísticas
referidas (média, variância, desvio padrão).
Probabilidade dos Erros
Vimos que a medição do valor de uma grandeza, mesmo com um instrumento perfeito (ideal,
sem erros sistemáticos) não resulta no seu verdadeiro valor. Existem pequenos efeitos
perturbadores, denominados de erros aleatórios, que podem desviar o valor medido, tanto
positivamente (por excesso) ou negativamente (por defeito), com igual probabilidade.

Se forem efectuadas muitas leituras, verifica-se que estas tendem a distribuir-se segundo uma
distribuição Gaussiana ou Normal. Exemplifica-se nas figuras seguintes a representação sob a
forma de histograma (gráfico de colunas) deste tipo de distribuição:
Figura 19: Distribuição Normal com valores crescentes de variância
Obviamente, quando maiores os desvios relativamente à média, maior será a variância, pelo
que o histograma tende a “alargar-se” com a variância (tal como se pode ver nas figuras atrás).
Disto se conclui que quanto mais estreito e apertado for o histograma, maior a probabilidade
da média coincidir com o valor verdadeiro da grandeza medida.
Por exemplo, para o conjunto de leituras seguinte:
Leitura de Tensão (V) Número de Leituras
99,7 1
99,8 4
99,9 12
100,0 19
100,1 10
100,2 3
100,3 1
Tabela 12: Resultado de 50 medições de tensão
Em termos de histograma, fica:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
99,7 99,8 99,9 100,0 100,1 100,2 100,3
Tensão (V)
Nºleituras
Figura 20: Histograma das leituras efectuadas

/56
Se fossem efectuadas mais leituras, a forma do histograma assemelhar-se-ia cada vez mais a
uma . Pode então considerar-se que:
• Os erros (aleatórios) pequenos são mais prováveis que os grandes.
• Os erros grandes são muito improváveis.
• A probabilidade de um erro ter sinal positivo ou negativo é igual.
Mormente, no caso da distribuição das leituras ser , a variância permite determinar,
com facilidade, a probabilidade do verdadeiro valor da grandeza se encontrar num certo
σ e + ,
relativamente à média.
considerado:
Intervalo
[ ]x k x k− ⋅ + ⋅σ σ,
Probabilidade de
Ocorrência (%)
k = 0,6745 50,00
k = 1,0000 68,28
k = 1,6450 90,00
k = 1,9600 95,00
k = 2,0000 95,46
k = 2,5760 99,00
k = 3,0000 99,72
Tabela 13: Probabilidade em função do intervalo considerado
Se, por exemplo, um grande número de resistências for medido e a sua média for de 100,00 Ω
(considera-se por isso o seu valor nominal), com um desvio padrão de 0,20 Ω, sabe-se que,
em média, 68% de todas as resistências têm valores que estão dentro de
100,00 ± 0,20 Ω. Existe portanto uma probabilidade de que 2 em cada 3 resistências
aleatoriamente retiradas do lote, esteja dentro daqueles limites.
Se forem necessárias maiores garantias, pode considerar-se um maior intervalo, por exemplo
de 2.σ, dentro do qual se devem encontrar cerca de 95% das resistências.

8. REFERÊNCIAS
[Alves, 1998] Mário Alves, Instrumentação e Medidas I, Sebenta de Laboratório, Instituto
Superior de Engenharia do Porto, 1998. *&
[Cabral, 1995] Paulo Cabral, Metrologia Industrial, 3ª Edição do Curso de Pós-Graduação
em Engenharia da Qualidade, Instituto Electrotécnico Português - IEP
/ Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto - FEUP, Maio de
1995. *
[Cabral, 1994] Paulo Cabral, Metrologia Industrial: uma função de gestão da qualidade, Instituto
Electrotécnico Português - IEP, 1994. *
[Campilho, 1987] Aurélio Campilho, Instrumentação e Medidas I, Sebenta Teórica, Faculdade
de Engenharia da Universidade do Porto, 1987. *
[Fluke, 1997a] Fluke, Calibrating Power Meters with the Fluke 5500A Multi-Product Calibrator,
http://www.fluke.com/applications/cal-app6.htm, 1997.
[Fluke, 1997b] Fluke, Fluke 5500A Multi-Product Calibrator,
http://www.fluke.com/calibrators/5500a.htm, 1997.
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http://www.fluke.com/applications/cal-app2.htm, 1997.
[Helfrick, 1991] Helfrick, Cooper, Instrumentação Electrónica Moderna e Técnicas de Medição,
Prentice-Hall do Brasil, 1994. *&
[IEP, 1998] Instituto Electrotécnico Português, http://www.iep.pt, Janeiro de 1998.
[IPQ, 1996] Instituto Português da Qualidade, Vocabulário Internacional de Metrologia -
Termos Fundamentais e Gerais, 2ª Edição, ISBN 972-763-000-6, Junho de
1996. *
[IPQ, 1997a] Instituto Português da Qualidade, Lista de Laboratórios de Calibração
Acreditados, http://www.ipq.pt/Qualificacao/LabCalAcr.html,
Dezembro de 1997.
[IPQ, 1997b] Instituto Português da Qualidade, http://www.ipq.pt, Janeiro de 1998.
[ISO, 1997] International Organization for Standardization, http://www.iso.ch,
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[Jones, 1991] Jones, Chin, Electronic Instruments and Measurements, 2nd Edition, Prentice-
Hall International Editions, 1991. *&
[Morais, 1987] Simões Morais, Laboratório de Electricidade, Porto Editora., Portugal, 1987.
&
[Paredes, 1991] Luís Paredes, Medidas Eléctricas I, Sebenta Teórica, Instituto Superior de
Engenharia do Porto, 1991. *&

[Yokogawa, 1985] Yokogawa Electric Corporation, Type 2768 Precision Wheatstone Breadge -
Instruction Manual, 1985. &
[Yokogawa, 1992] Yokogawa Electric Corporation, Model 2422 Portable Calibrator - Instruction
Manual, 3nd Edition, 1992. &
* - do autor & - disponível no ISEP

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