HISTÓRIA DOSHISTÓRIA DOS
NÚMEROSNÚMEROS
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número? Da experiência? Ou,número? Da experiência? Ou,
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NÚMEROSNÚMEROS
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significação primitiva e no seusignificação primitiva e no seu
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O CORVOO CORVO
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Um senhor feudal estava decidido a matar um corvoUm senhor feudal estava decidido a matar um corvo
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precisa distinguir um número ao qual nãoprecisa...
O NÚMERO SEMO NÚMERO SEM
CONTAGEMCONTAGEM
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circunstâncias, o homem aprendeucircunstâncias, o homem aprendeu
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Com o passar do tempo, asCom o passar do tempo, as
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Objetos complexos de argila de
Susa (3300 a.C.)
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esquerda e de cima para baixo):
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Um dos sistemas de numeração maisUm dos sistemas de numeração mais
antigos que se tem notícia é oantigos que se tem notíci...
No princípio, os sistemas deNo princípio, os sistemas de
numeração não facilitavam osnumeração não facilitavam os
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Algarismos RomanosAlgarismos Romanos
Letra I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1000
Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Q...
O DESENROLAR DOSO DESENROLAR DOS
NÚMEROSNÚMEROS
A idéia sobre os sinais vem dosA idéia sobre os sinais vem dos
comerciantes antigos. Oscomerciantes antigos. Os
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seu armazém duas sacas deseu armazém duas sacas de
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Mas se ele resolvesse despejarMas se ele resolvesse despejar
no outro saco os 2 Kg queno outro saco os 2 Kg que
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SURGEM AS OPERAÇÕESSURGEM AS OPERAÇÕES
MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
AdiçãoAdição
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Exercícios:Exercícios:
1) Arme e efetue as adições:1) Arme e efetue as adições:
a) 124 + 325 =a) 124 + 325 =
b) 276 + 934 ...
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SubtraçãoSubtração
2254 - 1258 = 9962254 - 1258 = 996
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Exercícios:Exercícios:
1) Arme e efetue as subtrações:1) Arme e efetue as subtrações:
a) 758 - 325 =a) 758 - 325 =
b) 681 ...
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2840 – 2615 = 225 pães2840 – 2615 = 225 pães
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4 – 1 = 34 ...
MultiplicaçãoMultiplicação
236 x 25 = 5900236 x 25 = 5900
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Exercícios:Exercícios:
1) Arme e efetue as multiplicações:1) Arme e efetue as multiplicações:
a) 210 x 13 =a) 210 x 13 =
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DivisãoDivisão
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Exercícios:Exercícios:
1) Descubra o número oculto:1) Descubra o número oculto:
a) __ : 5 = 30a) __ : 5 = 30
b) __ : 4 = 1...
Como a divisão é a operação inversa da multiplicação, temos:
30 x 5 = 150
150 5
300
132 x 4 = 528
528 4
1320
210
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COM OS NÚMEROS?COM OS NÚMEROS?
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História dos números

  1. 1. HISTÓRIA DOSHISTÓRIA DOS NÚMEROSNÚMEROS
  2. 2.  Você já usou muitas vezes osVocê já usou muitas vezes os números, mas será que já parounúmeros, mas será que já parou para pensar sobre:para pensar sobre:  O modo como surgiram osO modo como surgiram os números?números?  Como foram as primeiras formas deComo foram as primeiras formas de contagem?contagem?  Como os números foram criados, ou,Como os números foram criados, ou, será que eles sempre existiram?será que eles sempre existiram?
  3. 3. Como nasceu o conceito deComo nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou,número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiênciaao contrário, a experiência serviu simplesmente paraserviu simplesmente para tornar explícito o que játornar explícito o que já existia em estado latente naexistia em estado latente na mente do homem primitivo?mente do homem primitivo?
  4. 4. A LINGUAGEM DOSA LINGUAGEM DOS NÚMEROSNÚMEROS
  5. 5. Em todas as épocas da evoluçãoEm todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas,humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido doencontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permitenúmero. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em umareconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seuspequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, semfilhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, umseu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ouobjeto tenha sido retirado ou acrescentado.acrescentado.
  6. 6. A noção de número e suas extraordináriasA noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadasgeneralizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própriaà história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática:vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que ogrande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos ehomem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, referem-seatitudes cotidianas, referem-se conscientemente ou não a juízosconscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas.aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria eSem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanenteo comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo dacontato com o amplo mundo da matemática.matemática.
  7. 7. O sentido do número, em suaO sentido do número, em sua significação primitiva e no seusignificação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confundepapel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, quecom a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental maisexige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é umcomplicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano,atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animaisalgumas espécies de animais parecem possuir um sentidoparecem possuir um sentido rudimentar do número. Assimrudimentar do número. Assim opinam, pelo menos,opinam, pelo menos, observadores competentes dosobservadores competentes dos costumes dos animais. Muitoscostumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido dopássaros têm o sentido do número.número.
  8. 8. O CORVOO CORVO ASSASSINADOASSASSINADO
  9. 9. Um senhor feudal estava decidido a matar um corvoUm senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo.que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro,Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, omas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante nocorvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torrealto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a umquando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficoutruque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não selá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que odeixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foisegundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três erepetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente,quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíramcinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quintoquatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então oaprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.pássaro perdeu a conta e a vida.
  10. 10. Na prática, quando o homem civilizadoNa prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual nãoprecisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ouestá habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do númeronão - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o- artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essaagrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parteúltima, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mentaltão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepçãoque os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaramnumérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluemdecepcionantes. Essas provas concluem que o sentidoque o sentido visualvisual direto do númerodireto do número possuído pelo homem civilizado raraspossuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e quevezes ultrapassa o número quatro, e que o sentidoo sentido tátiltátil é ainda mais limitado.é ainda mais limitado.
  11. 11. O NÚMERO SEMO NÚMERO SEM CONTAGEMCONTAGEM
  12. 12. Através de uma série deAtravés de uma série de circunstâncias, o homem aprendeucircunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitadaa completar sua percepção limitada de número com um artifício quede número com um artifício que estava destinado a exercerestava destinado a exercer influência extraordinária em suainfluência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é avida futura. Esse artifício é a operação deoperação de contarcontar, e é a ele que, e é a ele que devemos o progresso dadevemos o progresso da humanidade.humanidade.
  13. 13. A técnica de contagem, em muitosA técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduzpovos primitivos, se reduz precisamente a tais associações deprecisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número deidéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldadossuas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas numpor meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio depedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos umapedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento naprova desse procedimento na origem da palavra "origem da palavra "cálculocálculo", da", da palavra latinapalavra latina calculuscalculus, que significa, que significa pedra.pedra.
  14. 14. Com o passar do tempo, asCom o passar do tempo, as quantidades foram representadasquantidades foram representadas por expressões, gestos, palavraspor expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povoe símbolos, sendo que cada povo tinha a sua maneira detinha a sua maneira de representação.representação.
  15. 15. Objetos complexos de argila de Susa (3300 a.C.) Representam (da direita para a esquerda e de cima para baixo): 1 ovelha; 1 unidade de óleo; 1 unidade de metal; 1 peça de vestuário; 1 peça de vestuário; 1 medida de mel. Tábua de argila descrevendo a quantidade de grão, de Susa, 3100 a.C. (Mesopotâmia)
  16. 16. Um dos sistemas de numeração maisUm dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia é oantigos que se tem notícia é o egípcioegípcio. É um sistema de. É um sistema de numeração de base dez e eranumeração de base dez e era composto pelos seguintes símboloscomposto pelos seguintes símbolos numéricosnuméricos
  17. 17. No princípio, os sistemas deNo princípio, os sistemas de numeração não facilitavam osnumeração não facilitavam os cálculos, logo, um dos instrumentoscálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os cálculos foiutilizados para facilitar os cálculos foi o ábaco muito usado por diversaso ábaco muito usado por diversas civilizações orientais e ocidentais.civilizações orientais e ocidentais.
  18. 18. Algarismos RomanosAlgarismos Romanos Letra I V X L C D M Valor 1 5 10 50 100 500 1000 Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos Mil
  19. 19. O DESENROLAR DOSO DESENROLAR DOS NÚMEROSNÚMEROS
  20. 20. A idéia sobre os sinais vem dosA idéia sobre os sinais vem dos comerciantes antigos. Oscomerciantes antigos. Os matemáticos encontraram amatemáticos encontraram a melhor notação para expressarmelhor notação para expressar esse novo tipo de número. Vejaesse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:como faziam tais comerciantes:
  21. 21. Suponha que um deles tivesse emSuponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas deseu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se essefeijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia oKg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traçonúmero 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de(semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não semenos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.Kg de feijão. (10)(10) – 8– 8
  22. 22. Mas se ele resolvesse despejarMas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg queno outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzadoscom dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de(semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrarmais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg dede que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidadefeijão a mais que a quantidade inicial.inicial. (10)(10) + 2+ 2
  23. 23. Com essa nova notação,osCom essa nova notação,os matemáticos poderiam, nãomatemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades,somente indicar as quantidades, mas também representar omas também representar o ganho ou a perda dessasganho ou a perda dessas quantidades, através dequantidades, através de números, com sinal positivo ounúmeros, com sinal positivo ou negativo.negativo. ++ ouou --
  24. 24. SURGEM AS OPERAÇÕESSURGEM AS OPERAÇÕES MATEMÁTICASMATEMÁTICAS
  25. 25. AdiçãoAdição 2254 + 1258 = 35122254 + 1258 = 3512 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 11 11 22 22 55 44 11 22 55 88 33 55 11 22
  26. 26. Exercícios:Exercícios: 1) Arme e efetue as adições:1) Arme e efetue as adições: a) 124 + 325 =a) 124 + 325 = b) 276 + 934 =b) 276 + 934 = 2) Numa biblioteca existem 238 livros infantis. Ela2) Numa biblioteca existem 238 livros infantis. Ela recebeu uma doação de mais 155 livros. Comrecebeu uma doação de mais 155 livros. Com quantos livros infantis ela ficou?quantos livros infantis ela ficou?
  27. 27. 124 + 325 = 449124 + 325 = 449 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 11 22 44 33 22 55 44 44 99
  28. 28. 276 + 934 = 1210276 + 934 = 1210 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 11 11 22 77 66 99 33 44 11 22 11 00
  29. 29. 238 + 155 = 393 livros238 + 155 = 393 livros MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 11 22 33 88 11 55 55 33 99 33
  30. 30. SubtraçãoSubtração 2254 - 1258 = 9962254 - 1258 = 996 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 2 – 1 = 12 – 1 = 1 2 – 1 = 12 – 1 = 1 1 + 10 = 111 + 10 = 11 5 – 1 = 45 – 1 = 4 4 + 10 = 144 + 10 = 14 4 + 10 = 144 + 10 = 14 22 22 55 44 11 22 55 88 00 99 99 66
  31. 31. Exercícios:Exercícios: 1) Arme e efetue as subtrações:1) Arme e efetue as subtrações: a) 758 - 325 =a) 758 - 325 = b) 681 - 459 =b) 681 - 459 = 2) Durante as férias, uma padaria vendeu 2840 pães2) Durante as férias, uma padaria vendeu 2840 pães numa semana. Normalmente, ela venderia 2615.numa semana. Normalmente, ela venderia 2615. Quantos pães a mais ela vendeu?Quantos pães a mais ela vendeu?
  32. 32. 758 – 325 = 433758 – 325 = 433 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 77 55 88 33 22 55 44 33 33
  33. 33. 681 – 459 = 222681 – 459 = 222 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 8 – 1 = 78 – 1 = 7 1 + 10 = 111 + 10 = 11 66 88 11 44 55 99 22 22 22
  34. 34. 2840 – 2615 = 225 pães2840 – 2615 = 225 pães MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 4 – 1 = 34 – 1 = 3 10 + 0 = 1010 + 0 = 10 22 88 44 00 22 66 11 55 00 22 22 55
  35. 35. MultiplicaçãoMultiplicação 236 x 25 = 5900236 x 25 = 5900 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 11 11 33 22 33 66 22 55 11 11 88 00
  36. 36. Exercícios:Exercícios: 1) Arme e efetue as multiplicações:1) Arme e efetue as multiplicações: a) 210 x 13 =a) 210 x 13 = b) 634 x 2 =b) 634 x 2 = 2) Ricardo vende cervejas no campo de futebol. Cada2) Ricardo vende cervejas no campo de futebol. Cada vez que vai ao campo, vende 122 latinhas.vez que vai ao campo, vende 122 latinhas. Geralmente ele vai 4 vezes ao campo. QuantasGeralmente ele vai 4 vezes ao campo. Quantas latinhas de cerveja ele consegue vender?latinhas de cerveja ele consegue vender?
  37. 37. 210 x 13 = 630210 x 13 = 630 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 22 11 00 11 33 22 77 33 00
  38. 38. 634 x 2 = 7608634 x 2 = 7608 MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 11 66 33 44 22 11 22 66 88
  39. 39. 122 x 4 = 488 latinhas122 x 4 = 488 latinhas MilharesMilhares CentenasCentenas DezenasDezenas UnidadesUnidades 11 22 22 44 44 88 88
  40. 40. DivisãoDivisão 756 : 21 = 36756 : 21 = 36 756 21 363 12 6 6 126 0
  41. 41. Exercícios:Exercícios: 1) Descubra o número oculto:1) Descubra o número oculto: a) __ : 5 = 30a) __ : 5 = 30 b) __ : 4 = 132b) __ : 4 = 132 2) Raul tinha 210 folhetos para entregar para os2) Raul tinha 210 folhetos para entregar para os moradores de 3 ruas. Quantos folhetos ele tinhamoradores de 3 ruas. Quantos folhetos ele tinha que entregar pra cada rua?que entregar pra cada rua?
  42. 42. Como a divisão é a operação inversa da multiplicação, temos: 30 x 5 = 150 150 5 300 132 x 4 = 528 528 4 1320 210 3 70 folhetos 0
  43. 43. ONDE CHEGAMOSONDE CHEGAMOS COM OS NÚMEROS?COM OS NÚMEROS?

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