Apostila de matemática fundamental

APOSTILA DE
MATEMÁTICA
FUNDAMENTAL
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Autor: Professor Emerson F. A. Couto

Apostila: Matemática Básica – por Prof. Emerson F. A. Couto
i
Apostila de Matemática Básica
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Coleção Fundamental - volume 1/8
Autor:
Prof. Emerson F. A. Couto

i
Sumário
Unidade 1 – Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio ......................................... 04
1.1 Apresentação ....................................................................................................................... 04
1.2 Simbologia Matemática mais usual..................................................................................... 04
1.3 Conjuntos Numéricos .......................................................................................................... 05
1.4 Operações com Números Relativos..................................................................................... 07
1.4.1 Soma ou Adição....................................................................................................... 07
1.4.2 Subtração ou Diferença............................................................................................ 08
1.4.3 Multiplicação ........................................................................................................... 09
1.4.4 Divisão..................................................................................................................... 09
1.4.5 Potenciação.............................................................................................................. 10
1.4.6 Radiciação................................................................................................................ 11
1.4.7 Produto..................................................................................................................... 14
1.4.8 Expoente Nulo ......................................................................................................... 15
1.4.9 Expoente Negativo................................................................................................... 15
1.4.10 Expoente Fracionário............................................................................................... 16
1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos
números ................................................................................................................... 16
1.5 Produtos Notáveis................................................................................................................ 16
1.5.1 Quadrado de um binômio ........................................................................................ 16
1.5.2 Produto da Soma de dois termos pela diferença entre eles...................................... 17
1.5.3 Cubo de um binômio ............................................................................................... 17
1.6 Equações.............................................................................................................................. 19
1.6.1 Equação do 1.º grau com uma Incógnita ................................................................. 19
1.6.2 Equação do 2.º grau com uma Incógnita ................................................................. 20
1.7 Progressão Aritmética (P. A.).............................................................................................. 22
1.7.1 Definição.................................................................................................................. 22
1.7.2 Classificação............................................................................................................ 22
1.7.3 Termo Geral............................................................................................................. 23
1.7.4 Propriedades ............................................................................................................ 23
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. A.............................................................. 25
1.8 Progressão Geométrica (P. G.) ............................................................................................ 28
1.8.1 Definição.................................................................................................................. 28
1.8.2 Classificação............................................................................................................ 29
1.8.3 Termo Geral............................................................................................................. 29
1.8.4 Propriedades ............................................................................................................ 30
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P. G.............................................................. 32
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano...................................................................................... 35
1.10 Equação reduzida da Reta.................................................................................................... 37
1.11 Noção de Aplicação............................................................................................................. 42
1.12 Exercícios Propostos............................................................................................................ 43
1.13 Respostas dos Exercícios Propostos.................................................................................... 46
1.14 Números Complexos ........................................................................................................... 47
1.14.1 Introdução................................................................................................................ 47
1.14.2 Potências de j ........................................................................................................... 50
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo.............................................. 51
a) Representações .................................................................................................. 51
b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências ........................................................ 54

ii
c) Formas ............................................................................................................... 55
c.1) Cartesiana ou Retangular............................................................................ 55
c.2) Trigonométrica ........................................................................................... 55
c.3) Exponencial ou de Euler............................................................................. 55
c.4) Polar ou de Steinmetz................................................................................. 55
c.5) Algumas Formas Polares Especiais............................................................ 60
c.6) Complexo Conjugado................................................................................. 60
1.14.4 Operações com Números Complexos...................................................................... 62
a) Igualdade............................................................................................................ 62
b) Adição e Subtração............................................................................................ 62
c) Multiplicação ..................................................................................................... 67
d) Divisão............................................................................................................... 69
e) Potenciação........................................................................................................ 71
f) Radiciação.......................................................................................................... 74
1.14.5 Desigualdade do Triângulo...................................................................................... 82
1.14.6 Curvas e Regiões no Plano Complexo..................................................................... 84
a) Circunferência.................................................................................................... 84
b) Disco Fechado ................................................................................................... 86
c) Disco Aberto...................................................................................................... 87
d) Exterior da Circunferência................................................................................. 87
e) Coroa Fechada ................................................................................................... 88
f) Coroa Aberta...................................................................................................... 88
g) Circunferência Unitária ..................................................................................... 88
h) Reta que une dois pontos ................................................................................... 89
1.15 Exercícios Propostos sobre Números Complexos............................................................... 90
1.16 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Números Complexos ....................................... 97
Unidade 2 – Somatórios, Produtórios e uma Introdução às Medidas de Posição............... 115
2.1 Introdução aos Somatórios ................................................................................................ 115
2.2 Definição formal de somatório.......................................................................................... 116
2.3 Propriedades dos Somatórios ............................................................................................ 118
2.4 Somatório Duplo................................................................................................................ 125
2.5 Propriedade dos Somatórios Duplos.................................................................................. 127
2.6 Exercícios Propostos sobre Somatórios............................................................................. 128
2.7 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Somatórios ..................................................... 132
2.8 Introdução aos Produtórios................................................................................................ 134
2.9 Definição Formal de Produtório........................................................................................ 134
2.10 Propriedades dos Produtórios............................................................................................ 135
2.11 Exercícios Propostos sobre Produtórios ............................................................................ 137
2.12 Respostas dos Exercícios sobre Produtórios ..................................................................... 139
2.13 Introdução às Medidas de Posição..................................................................................... 140
2.14 Média Aritmética – Dados Não-agrupados ....................................................................... 140
2.15 Média Aritmética – Dados Agrupados .............................................................................. 141
2.16 Média Geral ....................................................................................................................... 143
2.17 Média Geométrica – Dados Não-agrupados...................................................................... 143
2.18 Média Geométrica – Dados Agrupados............................................................................. 144
2.19 Média Harmônica – Dados Não-agrupados....................................................................... 145
2.20 Média Harmônica – Dados Agrupados ............................................................................. 146
2.21 Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição............................................................... 149

iii
2.22 Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição............................................................. 151
2.23 Respostas dos Exercícios Propostos sobre Medidas de Posição ....................................... 152
2.24 Respostas dos Exercícios de Revisão sobre Medidas de Posição ..................................... 152
Unidade 3 – Matrizes, um primeiro enfoque.......................................................................... 153
3.1. Apresentação ..................................................................................................................... 153
3.2. Introdução Histórica .......................................................................................................... 153
3.3. Conceitos Fundamentais.................................................................................................... 154
3.4. Matrizes Especiais e Operações com Matrizes.................................................................. 160
3.4.1 Matriz Linha .......................................................................................................... 161
3.4.2 Matriz Coluna........................................................................................................ 161
3.4.3 Matriz Quadrada .................................................................................................... 161
3.4.4 Matriz Triangular................................................................................................... 164
3.4.5 Matriz Diagonal..................................................................................................... 164
3.4.6 Matriz Escalar........................................................................................................ 165
3.4.7 Matriz Identidade ou Matriz Unidade.................................................................... 165
3.4.8 Matriz Nula ou Matriz Zero................................................................................... 166
3.4.9 Igualdade de Matrizes............................................................................................ 166
3.4.10 Transposição de matrizes....................................................................................... 167
3.4.11 Matriz Oposta ........................................................................................................ 168
3.4.12 Matriz Conjugada .................................................................................................. 169
3.4.13 Matriz Simétrica .................................................................................................... 170
3.4.14 Matriz Anti-simétrica............................................................................................. 171
3.4.15 Matriz Hermitiana.................................................................................................. 173
3.4.16 Matriz Anti-hermitiana .......................................................................................... 173
3.4.17 Soma ou Adição de Matrizes................................................................................. 174
3.4.18 Subtração ou Diferença de Matrizes...................................................................... 178
3.4.19 Produto de um Número Complexo por uma Matriz .............................................. 179
3.4.20 Produto de Matrizes............................................................................................... 186
3.4.21 Matriz Periódica..................................................................................................... 204
3.4.22 Matriz Idempotente................................................................................................ 205
3.4.23 Matriz Nilpotente ou Nulipotente.......................................................................... 206
3.4.24 Polinômio de uma Matriz ...................................................................................... 206
3.4.25 Matrizes em Blocos ou Partição de Matrizes......................................................... 207
3.5 Exercícios Propostos.......................................................................................................... 211
3.6 Respostas dos Exercícios Propostos.................................................................................. 218

4
Unidade 1
Revisão de Tópicos Fundamentais do Ensino Médio
1.1 Apresentação
Esta apostila é a referente ao fundamento principal de Matemática Elementar para diversos
leitores, estudantes e públicos.
Devido à flagrante heterogeneidade dos alunos, e já tendo tido várias turmas anteriores de
experiência, optamos por apresentar, mesmo que de forma sucinta, alguns assuntos básicos que
entendemos como sendo absolutamente fundamentais para o restante do curso, e esperamos que os
estudantes que estejam fora do “bom combate” há algum tempo, ou há muito tempo, possam
colocar suas idéias de novo em ordem, e os conceitos fundamentais nos seus devidos lugares.
1.2 Simbologia Matemática mais usual
Esperamos que o estudante conheça a seguinte simbologia:
a) = (igual à)
b)  (diferente de)
c)  ou   (conjunto vazio)
d)  (pertence à)
e)  (não pertence à)
f)  (está contido)
g)  (não está contido)
h)  (contém)
i) 
 (não contém)
j)  (existe pelo menos um)
k) 
 (não existe)
l) | (existe e é único)
m) | (tal que / tais que)
n)  (ou)
o)  (e)
p) B
A (interseção dos conjuntos A e B)
q) B
A (união dos conjuntos A e B)

5
r)  (para todo e qualquer, qualquer que seja)
s)  (implica)
t)  (implica e a recíproca é equivalente)
u)  (donde se conclui)
1.3 Conjuntos Numéricos
É lógico que, para a Matemática, os conjuntos de maior importância são aqueles formados
por números, e certos conjuntos numéricos são especialmente importantes devido às propriedades
das operações entre seus elementos e, portanto, recebem nomes especiais, quais sejam:
a) N  

4,
3,
2,
1,
0,

é o conjunto dos números inteiros não-negativos.
b) Z  

 3,
2,
1,
0,
1,
2,
,
3
, 



é o conjunto dos números inteiros.
c) Q








q
p
x
x | sendo p  Z, q  Z e q 0.
É o conjunto dos números racionais.
São exemplos de números racionais:
5
3
 ,
2
9
 ,
3
8
 , etc.
São exemplos de números irracionais: 
14159
,
3

 (pi), 
71828
,
2

e (base dos logaritmos
neperianos), 
41421
,
1
2  , 
73205
,
1
3  , etc.
d) R é o conjunto dos números reais, formados por todos os números racionais e irracionais, e
costumamos associar tais números aos pontos de uma reta que, por definição, é infinita em
ambos os sentidos.




3
–3 –2 –1 0 1 2 3
2
2
2
1
1
3
Fig. 1.1 Representação gráfica de alguns elementos do conjunto R.

6
e)  
y
x
z
z j


 |
C , sendo x  R, y  R e é 1


j , é o conjuntos dos números complexos
(voltaremos a tal assunto na seção 1.14).
Quando incluímos o símbolo * (asterisco), estamos indicando que o zero foi excluído do
conjunto. Assim, temos:
f) N*
   

 x
x |
5,
4,
3,
2,
1,  N e 
0

x
é o conjunto dos números naturais.
g) Z*
 
 x
x | Z e 
0

x
h) Q*
 
 x
x | Q e 
0

x
i) R*
 
 x
x | R e 
0

x
j) C*
 
 x
x | C e 
0

x
Quando incluímos o símbolo + (mais), estamos indicando que foram excluídos todos os
números negativos dos conjunto.
k) Z  
 x
x | Z e 
0

x N
é o conjunto dos números inteiros não negativos.
l) Q  
 x
x | Q e 
0

x
é o conjunto dos números racionais não negativos
m) R  
 x
x | R e 
0

x
é o conjunto dos números reais não negativos.
Quando acrescentamos o símbolo – (menos) estamos indicando que foram excluídos todos os
números positivos do conjunto. Assim, temos:
n) Z  
 x
x | Z e 
0

x
é o conjunto dos números inteiros não positivos.
o) Q  
 x
x | Q e 
0

x
é o conjuntos dos números racionais não positivos.
p) R  
 x
x | R e 
0

x
é o conjunto dos números reais não positivos.

7
Devemos notar que o zero é elemento dos conjuntos Z , Z , Q , Q , R , R . Se excluímos o
zero destes conjuntos, teremos:
q) Z
*
 
 x
x | Z e 
0

x
r) Z
*
 
 x
x | Z e 
0

x
s) Q
*
 
 x
x | Q e 
0

x
t) Q
*
 
 x
x | Q e 
0

x
u) R
*
 
 x
x | R e 
0

x
v) R
*
 
 x
x | R e 
0

x
O conjunto R
*
é chamado conjunto dos números reais estritamente positivos e R
*
é o
conjunto dos números reais estritamente negativos. Os outros têm nomes semelhantes.
Notemos a propriedade:
C
R
Q
Z
N 



*
isto é, todo número natural é inteiro, todo número inteiro é racional, todo número racional é real e
todo número real é também complexo.
1.4 Operações com Números Relativos
 Ilustração 1.1: Números relativos
3
 2
 1
 0 1 2 3

 

1.4.1 Soma ou Adição
Quando os números têm o mesmo sinal basta conservá-lo e adicionar os números;
quando os sinais são contrários subtraímos o menor do maior, e o sinal que prevalece é o
deste último. É bom lembrar também que o sinal mais (+) antes de um parêntese não vai
alterar o sinal do número que está entre parênteses, ocorrendo o oposto quando o sinal antes
do parêntese for o de (–). Se não houver nenhum sinal antes do parêntese estará implícito que
o sinal será o de mais (+).

8
 ILUSTRAÇÃO 1.2
a) 12
2
10
)
2
(
)
10
( 







b) 8
2
10
)
2
(
)
10
( 







c) 8
2
10
)
2
(
)
10
( 







d) 12
2
10
)
2
(
)
10
( 







Quando devemos somar mais de dois números relativos o resultado é obtido somando
o primeiro com o segundo, o resultado obtido com o terceiro, e assim por diante até a última
parcela.









 )
4
(
)
3
(
)
7
(
)
3
(
)
5
(








 )
4
(
)
3
(
)
7
(
)
2
(






 )
4
(
)
3
(
)
5
(




 )
4
(
)
2
( 2
Podemos também adicionar separadamente todas as parcelas positivas e todas as
negativas e, em seguida, somar os dois números de sinais contrários obtidos.
Efetuando a soma do exemplo anterior, temos:
— soma das parcelas positivas:
— 12
)
4
(
)
3
(
)
5
( 






— soma das parcelas negativas:

9
— 10
)
7
(
)
3
( 




— soma de ambos os resultados:
— 2
)
10
(
)
12
( 




1.4.2 Subtração ou Diferença
Cumpre observar que o sinal de menos (–) antes de um parêntese troca o sinal do
número que está entre parênteses e, no mais, procedemos como na operação anterior.
a) 8
2
10
)
2
(
)
10
( 







b) 12
2
10
)
2
(
)
10
( 







c) 12
2
10
)
2
(
)
10
( 







d) 8
2
10
)
2
(
)
10
( 







Para as operações de multiplicação e divisão que virão logo a seguir vale a
seguinte regra: “Números de mesmo sinal dão sempre resultado positivo, enquanto
que os de sinais contrários conduzem sempre à resultados negativos”.
1.4.3 Multiplicação

10
 Ilustração 1.6
a) 20
)
2
(
)
10
( 




b) 20
)
2
(
)
10
( 




c) 20
)
2
(
)
10
( 




d) 20
)
2
(
)
10
( 




1.4.4 Divisão
a) 5
)
2
(
)
10
( 




b) 5
)
2
(
)
10
( 




c) 5
)
2
(
)
10
( 




d) 5
)
2
(
)
10
( 




1.4.5 Potenciação
Quando, em uma multiplicação, os fatores são todos iguais, em módulo e em sinal, esta
operação recebe o nome de potenciação. Assim sendo, a potência de um número é o produto de
fatores iguais a este número, sendo representada por:
p
a
Conforme veremos a seguir, toda potência de expoente par é positiva,
qualquer que seja o sinal da base, porém, toda potência de expoente ímpar tem o
sinal de base.
 expoente (n.º de repetições dos fatores iguais)
 base (é o número ou fator em questão)

11
a)         16
2
)
2
(
2
2
2
4










b)         16
2
2
2
2
)
2
( 4










c)         8
2
2
2
2
3








d)       8
2
2
2
)
2
( 3









Para executar a potenciação de um número relativo em uma minicalculadora, a seqüência
de operações é simples:
(a) Determinar 4
2 :
1.º) Digitamos a base (2)
2.º) Pressionamos a tecla exponencial




 x
y
y
x
(CASIO modelo fx-82LB)
ou
(CASIO modelo fx-6300 G) 




,
que depende do modelo da minicalculadora.
3.º) Digitamos o expoente (4)
4.º) Pressionamos a tecla exponencial




 
EXE
(CASIO modelo fx – 82LB)
ou
(CASIO modelo fx – 6300G) 




,
que depende do modelo da minicalculadora.
5.º) Vai aparecer o número 16 no visor da calculadora.
(b) Determinar  4
2
 :
Primeiramente digitamos a base (–2). Em algumas calculadoras (CASIO fx 82 – LB,
por exemplo) digitamos o número 2 e depois apertamos a tecla 
 para trocar o
sinal para menos. Em outras (CASIO fx – 6300G) apertamos a tecla – e depois

12
digitamos o número 2. O restante da seqüência de operações é igual a do item a: tecla
exponencial, expoente...
A esta altura é interessante notar a diferença entre a potenciação seqüencial e
a potenciação escalonada, que serão analisadas logo a seguir.
a) Potenciação Seqüencial:
    64
4
)
2
( 3
3
2

 , que também pode ser efetuada diretamente mantendo-se a base
e multiplicando-se os expoentes:
64
2
2 6
3
2



b) Potenciação Escalonada:
3
2
2 que pode ser entendida como 2
2
3
, ou seja:
256
2
2 8
23


1.4.6 Radiciação
a) Raiz n-ésima de um número:
Dizemos que um número “b” é a raiz n-ésima exata de um número “a” quando
n
b
a 
e ela é representada por
b
a
n

Denomina-se radiciação a operação pela qual se obtém a raiz n-ésima de um número. Nas
operações exatas, a radiciação é a operação inversa da potenciação.

13
Temos então:





radical
do
índice
o
é
"
"
número
O
radicando
o
é
"
"
número
O
radical
o
é
sinal
O
n
a
Assim sendo
3
9  porque 9
32

2
8
3
 porque 8
23

No caso de n = 2 a raiz se diz quadrada e não é usual escrever este índice no radical.
No caso de n = 3 a raiz se diz cúbica, mas este índice aparece no radical.
b) Valor algébrico dos radicais:
Se o radicando é considerado em valor absoluto (módulo), a radiciação é uma operação
unívoca. No entanto, se este radicando é um número relativo a unicidade, em alguns casos,
não estará mais garantida e por isso vamos considerar três casos:
1.º) Índice par e radicando positivo.
Neste caso o radical admitirá duas raízes reais e simétricas no conjunto dos números
reais, bem como um par complexo conjugado (vide exercício proposto 39, item j da seção
1.15).
2.º) Índice ímpar.
Sendo o índice do radical um número ímpar, temos uma raiz no conjunto dos
números reais, tendo o mesmo sinal que o radicando, e (n – 1) raízes no conjunto dos números
complexos (vide exercício proposto 38, item f, da seção 1.15).
3.º) Índice para e radicando negativo.
Neste caso não existe nenhum valor do conjunto do números reais que elevado ao
índice para seja igual ao radicando. Este assunto será abordado na seção 1.14.

14
1.º caso
 
 
 
 































625
5
625
5
pois
5
625
64
8
64
8
pois
8
64
4
4
4
2
2.º caso
 
 















32
2
pois
2
32
32
2
pois
2
32
5
5
5
5
3.º caso


 


1.14
seção
na
abordado
será
assunto
tal
mencionado
já
conforme
e,
4 j
Observação: pelo que foi exposto, se alguém lhe perguntar qual é o valor de 9 , a resposta e
simplesmente 3. Agora se for pedido o valor algébrico do 9 teremos então  3.
A determinação de raízes através de minicalculadoras é simples:
a) Determinar 4
625:
a.1) Utilizando uma CASIO fx-82 LB:
1.º) Digitamos o radicando 625
2.º) Pressionamos as teclas F
nd
2 e x
y a fim de convocar a operação x y
3.º) Digitamos o expoente 4
4.º) Pressionamos a tecla 
5.º) O número 5 aparece no visor de calculadora, e devemos ter em mente que se
desejamos o valor algébrico da raiz a resposta completa é  5.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
1.º) Digitamos o índice 4
2.º) Pressionamos a tecla x
3.º) Digitamos o radicando 625

15
4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O número 5 aparece no visor
b) Determinar 5
32
 :
a.1) Utilizando um CASIO fx-82 LB
1.º) Digitamos o valor 32 e pressionamos a tecla 
 para trocar o seu sinal
2.º) Pressionamos as teclas F
nd
2 e x
y a fim de convocar a operação x y
4.º) Pressionamos a tecla 
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
a.2) Utilizando uma CASIO fx-6300 G
2.º) Pressionamos a tecla x
3.º) Pressionamos a tecla  e depois o valor 32
4.º) Pressionamos a tecla EXE
5.º) O valor – 2 aparece no visor.
Observação: Devemos notar que as rotinas para calculadoras do mesmo fabricante (CASIO), mas
de modelos diferentes, são totalmente diferentes. O que não esperar de modelos de outros
fabricantes?
Por isso insistimos que cada estudante deve adquirir logo sua própria calculadora, a fim de se
familiarizar com o uso da mesma.
1.4.7 Produto e Divisão de Potências de Mesma Base
a) Para multiplicar potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes.
b) Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos o expoente do
denominador do expoente do numerador.

16
a) 2
3
2
1
4
2
3
2
1
4
2
3
a
a
a
a
a
a 








b) 3
5
8
5
8
b
b
b
b

 
c) 3
5
2
5
2



 x
x
x
x
d) 7
)
4
(
3
4
3
I
I
I
I

 


1.4.8. Expoente Nulo
Toda potência de expoente nulo é igual à unidade.
Ilustração 1.12
1
0

a
Observação:
São exceções 0
0 e 0
 , que não têm qualquer significado numérico, sendo símbolos de
indeterminação, e são abordados em Análise Matemática na parte de Limites.
1.4.9 Expoente Negativo
Toda potência de expoente negativo equivale a uma fração cujo numerador é a unidade e o
denominador é a potência com o expoente positivo ou seja: n
n
a
a
1


. (1)

17
a)
16
1
2
1
2 4
4



b)
9
1
3
1
3 2
2



Observações:
1ª) Em conseqüência do exposto anteriormente temos:
n
n
a
a 

1
(2)
2ª) Agora podemos obter o mesmo resultado do item (d) da ilustração 11 por outro caminho:
7
4
3
4
3
I
I
I
I
I




1.4.10 Expoente Fracionário
Toda potência de expoente fracionário equivale a uma raiz cujo índice é o denominador da
fração e cujo radicando é a base elevada a um expoente igual ao numerador, ou seja:
q p
q
p
a
a  (3)

18
Determinar os valores algébricos das seguintes operações:
a) 4
64
8
8 3
3 2
3
2



b) 4
16
162
1



c)
2
1
4
1
4
1
4
2
1
2
1





1.4.11 Emprego de Potências de Dez para simplificar a representação de certos Números
No Brasil: Nos E.U.A.:
a) 3
10
2
000
2 
 * — 3
10
2
000
,
2 

b) 6
10
4
000
000
4 
 * — 6
10
4
000
,
000
,
4 

c) 4
10
3
0003
,
0 

 — 4
10
3
0003
.
0 


d) 3
10
25
025
,
0 

 — 3
10
25
025
.
0 


(*) Antigamente representava-se 2 e 4 milhões, respectivamente por 2.000 e 4.000.000. Já há alguns anos aboliram-se
os pontos separatrizes de classes, mantendo-se agora um espaço entre as mesmas.
1.5 Produtos Notáveis
1.5.1 Quadrado de um binômio
a) 2
)
( b
a  :
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
( b
ab
a
b
ab
ab
a
b
a
b
a
b
a 










ou

19
2
2
2
2
2 b
ab
a
b
ab
ab
a
b
a
b
a







2
2
2
2
)
( b
ab
a
b
a 


 (4)
b) 2
)
( b
a  :
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
( b
ab
a
b
ab
ab
a
b
a
b
a
b
a 










ou
2
2
2
2
2 b
ab
a
b
ab
ab
a
b
a
b
a







2
2
2
2
)
( b
ab
a
b
a 


 (5)
1.5.2 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles
)
(
)
( b
a
b
a 
 :
2
2
2
2
)
(
)
( b
a
b
ab
ab
a
b
a
b
a 







ou
2
2
2
2
b
a
b
ab
ab
a
b
a
b
a






2
2
)
(
)
( b
a
b
a
b
a 


 (6)
1.5.3 Cubo de um binômio

20
a) 







 )
2
)(
(
)
)(
(
)
( 2
2
2
3
b
ab
a
b
a
b
a
b
a
b
a






 3
2
2
2
2
3
2
2 b
ab
b
a
ab
b
a
a
3
2
2
3
3
3 b
ab
b
a
a 



ou
3
2
2
3
3
2
2
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
b
ab
b
a
a
b
ab
b
a
ab
b
a
a
b
a
b
ab
a










3
2
2
3
3
3
3
)
( b
ab
b
a
a
b
a 



 (7)
b) 







 )
2
)(
(
)
)(
(
)
( 2
2
2
3
b
ab
a
b
a
b
a
b
a
b
a






 3
2
2
2
2
3
2
2 b
ab
b
a
ab
b
a
a
3
2
2
3
3
3 b
ab
b
a
a 



ou
3
2
2
3
3
2
2
2
2
3
2
2
3
3
2
2
2
b
ab
b
a
a
b
ab
b
a
ab
b
a
a
b
a
b
ab
a











  3
2
2
3
3
3
3 b
ab
b
a
a
b
a 



 (8)

21
a)        




2
2
2
5
5
2
5 x
x
a
a
x
a
2
2
25
10 x
ax
a 


b)           




2
2
2
2
2
2
3
3
5
2
5
3
5 y
y
x
x
y
x
2
2
4
9
30
25 y
y
x
x 


c)        y
x
y
x
y
x
y
x 





2
2
d)              





3
2
2
3
3
3
3
2
3
3
2
3
2
3
2 y
y
x
y
x
x
y
x
3
2
2
3
27
54
36
8 y
xy
y
x
x 



e)           





3
2
2
3
3
2
2
3
2
3
2 y
y
x
y
x
x
y
x
3
2
2
3
8
12
6 y
xy
y
x
x 



1.6 Equações
1.6.1 Equação do 1º Grau com uma Incógnita
Toda equação do 1º grau com uma incógnita pode ser reduzida a forma
0

 b
az (9)
em que 0

a .
Sua solução é:





 b
az
b
az 0
a
b
z 
 (10)
EXEMPLO 1.1
Resolver as seguintes equações do 1º grau:
a) 3
7
1
3 

 z
z
b)
12
15
2
5

x

22
c)
4
6
2
3


y
d) 0

 q
pz (sendo p  0)
Solução:
a) 


 3
7
1
3 z
z
1
4
4
4
4
3
1
7
3














z
z
z
z
z
b) 

12
15
2
5
x
 
2
30
60
60
30
12
5
15
2








x
x
x
x
c) 

 4
6
2
3
y
 
4
6
24
24
6
12
12
6
4
3
2
6












y
y
y
y
y
d) 

 0
q
pz
p
q
z
q
pz





1.6.2 Equação do 2º Grau com uma Incógnita
A forma geral da equação do 2º grau com uma incógnita é:
0
2


 c
bz
az (11)

23
onde 0

a .
Vamos então transformar a equação em outra equivalente, de modo que o primeiro
membro seja um quadrado perfeito do tipo indicado na equação (4).
a) Transpondo a constante para o segundo membro, vem:
c
bz
az 


2
b) Multiplicando por a
4 , teremos:
ac
abz
z
a 4
4
4 2
2



c) Somando 2
b aos dois membros, resulta:
ac
b
b
abz
z
a 4
4
4 2
2
2
2




d) Verificando que o 1º membro é um quadrado perfeito, teremos:
  ac
b
b
az 4
2 2
2



e) Extraindo as raízes quadradas de ambos os membros, obtemos:










4
2
4
2
2
2
ac
b
b
az
ac
b
b
az
a
b
a
ac
b
b
z
2
2
4
2







 (12)
que é a conhecida fórmula da Bhaskara, onde
ac
b 4
2


 .....(13)
é o discriminante da equação, e três casos podem ocorrer:
1º) 0

  teremos duas raízes reais e desiguais.
2º) 0

  teremos duas raízes reais e iguais.
3º) 0

  não teremos raízes no conjunto dos números reais, e este caso será abordado na
seção 1.14.
Exemplo 1.2
Resolver as seguintes equações do 2º grau:
a) 0
3
5
2 2


 z
z
b) 0
1
4
4 2


 z
z

24
c) 0
13
4
2


 z
z
Solução:
a)













3
5
2
0
3
5
2 2
c
b
a
z
z
  49
3
2
4
5
4 2
2








 ac
b
4
7
5
2
2
49
5
2











a
b
z
2
1
4
2
4
7
5
1 




z
3
4
12
4
7
5
2 






z
b)













1
4
4
0
1
4
4 2
c
b
a
z
z
  0
1
4
4
4
4
2
2








 ac
b
 
8
0
4
4
2
0
4
2











a
b
z
dupla
raiz
2
1
8
0
4
2
1
8
0
4
2
1













z
z
c)












13
4
1
0
13
4
2
c
b
a
z
z
  0
36
52
16
13
1
4
4
4
2
2











 ac
b
e esta equação não admite raízes no campo real. Sua solução será apresentada na subseção
1.14.1 ( 3
2
1 j



z e 3
2
2 j



z são as suas raízes).
1.7 Progressão Aritmética (P.A.)
1.7.1 Definição

25
É uma sucessão de termos
( ,
,
,
,
,
,
,
,
, 1
termos
1
4
3
2
1 



 



 

 
 n
n
n
n a
a
a
a
a
a
a )
finita ou infinita, sendo que, a partir do 2º termo inclusive, a diferença entre um termo
qualquer e o seu antecedente é igual a uma quantidade constante r, denominada razão da
progressão, ou seja:
r
a
a
a
a
a
a
a
a n
n
n
n 







 
 1
1
2
3
1
2 
As seguintes seqüências são exemplos de P.A.:
a) ( 2
)
22
17,
12,
7,
2, 1 
 a
 e 5

r
b) ( x
a
t
x
t
x
t
x
x 



 1
)
6
,
4
,
2
,  e t
r 2

c) ( 5
)
5
,
5
,
5
,
5
,
5 1 
 a
 e 0

r
d) 7
9
,
2
17
,
8
,
2
15
,
7 1 







a
 e
2
1

r
e) ( 8
)
4
1,
,
2
,
5
,
8 1 


 a
 e 3


r
1.7.2 Classificação
As progressões aritméticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razão r:

 0
r P.A. crescente

 0
r P.A. constante ou estacionária

 0
r P.A. decrescente
1.7.3 Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.A. da seguinte forma:
 
 
 r
n
a
r
a
a
r
a
a
r
a
r
r
a
r
a
a
r
a
a
r
a
r
r
a
r
a
a
r
a
a
r
a
a
r
a
a
n
n
n
n 1
3
2
2
1
1
1
1
1
3
4
3
4
1
1
2
3
2
3
1
2
1
2



































 

26
Observe que cada termo é obtido adicionando-se ao primeiro um número de razões r igual
à posição do termo menos uma unidade, ou seja:
 
 
 
 r
n
a
a
r
a
r
a
a
r
a
r
a
a
r
a
r
a
a
n 1
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
1
4
1
1
3
1
1
2




















O termo de ordem n da P.A. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
 r
n
a
an 1
1 

 (14)
que pode também ser obtida da seguinte maneira:
 r
n
a
a
r
a
a
r
a
a
r
a
a
r
a
a
n
n
n
1
1
1
3
4
2
3
1
2












Somando membro a membro estas n – 1 igualdades obtemos a
expressão do termo de ordem n.
e
 r
n
a
an 1
1 

 (14)
que é a mesma equação anteriormente encontrada.
1.7.4 Propriedades
I) Numa P.A. cada termo, a partir do segundo, é a média aritmética entre o termo precedente e
o termo seguinte.
Com efeito, se

 ,
, 1
1 
 n
n
n a
a
a
são termos consecutivos de uma P.A., então podemos escrever:
n
n
n
n a
a
a
a 

 
 1
1
ou seja,
1
1
2 
 
 n
n
n a
a
a
e

27
2
1
1 
 
 n
n
n
a
a
a (15)
II) Em qualquer P.A. limitada, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é constante e
igual à soma dos próprios extremos.
Seja pois a P.A. limitada, com n termos, razão r, e A e B os termos eqüidistantes dos
extremos, conforme ilustrado a seguir:
(

 

 




 

 


termos
1
termos
2
1 ,
,
,
,
,
,
,
,
p
n
n
p
a
a
B
A
a
a  )

Apostila: Matemática Básica vol. II – por Prof. Emerson F. A. Couto
25
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Autor:

26
Pela fórmula do termo geral,
 r
p
a
A 1
1 

 (16)
Considerando agora a progressão

 

 


termos
1 ,
,
,
p
n
n a
a
B 
temos pela fórmula de termo geral,
 r
p
B
an 1


 (17)
Subtraindo (17) de (16) resulta:
B
a
a
A n 

 1
o que nos conduz a
n
a
a
B
A 

 1 (18) C.Q.D
I) Em uma P.A. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média aritmética
dos extremos.
Neste caso temos:
(





 





 


 

 



 

 


termos
1
2
com
P.A.
termos
1
termos
2
1 ,
,
,
,
,
,
,
,



p
n
p
n
n
p
a
a
B
M
A
a
a )
Pelas propriedades I e II temos:
2
B
A
M


e
n
a
a
B
A 

 1
Logo,
2
1 n
a
a
M

 (19) C.Q.D.

27
1.7.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Com relação a P.A.:
( ,
,
,
,
,
,
,
, 1
termos
1
2
3
2
1 




 




 

 

 n
n
n
n
n a
a
a
a
a
a
a )
podemos escrever:
n
n
n
n a
a
a
a
a
a
S 





 
 1
2
3
2
1  (20)
ou, invertendo-se a ordem das parcelas,
1
2
3
2
1 a
a
a
a
a
a
S n
n
n
n 





 
  (21)
Somando (20) e (21) membro a membro obtemos:
           
1
2
1
3
2
2
3
1
2
1
2 a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
S n
n
n
n
n
n
n 











 


  , onde
temos n parênteses.
No entanto, pela propriedade II todos os parênteses são iguais a n
a
a 
1 .
Logo,
 n
a
a
S n
n 
 1
2
e
 
2
1 n
a
a
S n
n

 (22)
Observações:
1) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos N
Sn  , sendo N um número arbitrariamente
grande.
Poremos:



lim n
S


n
ou



n
S quando 


n
2) No caso de uma progressão decrescente, ilimitada, teremos as seguintes condições:

28



lim n
S


n
ou



n
S quando 


n
Exemplo 1.3
Calcule o 17: termo da P.A. ( 
,
3
1
,
8
,
3 )
Solução:
Temos que:
3
1 
a e 5

r
Logo,
  83
5
16
3
16
1
17 1
1
17 







 r
a
r
a
a
Exemplo 1.4
Calcule a soma dos doze primeiros números ímpares.
Solução:
Temos então:
( 
,
5
,
3
,
1 )
Donde,
1
1 
a e 2

r , logo
  23
2
11
1
11
1
12 1
1
12 







 r
a
r
a
a
    144
2
12
23
1
2
12
12
1
12 






a
a
S

29
Exemplo 1.5
No depósito de uma firma de informática, costuma-se empilhar as caixas de um
determinado equipamento em filas horizontais superpostas, conforme ilustrado na figura. Quantas
dessas filas seriam necessárias para empilhar 171 dessas caixas?
Fig. 1.2
Solução:
Temos uma P.A. representada por
( 
,
3
,
2
,
1 )
onde, 1
1 
a e 1

r
Desejamos saber o n para o qual temos 171

n
S .
Sabemos que:
   
   
 
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1 n
r
n
a
n
r
n
a
a
n
a
a
S n
n










Substituindo valores,
 
 
 
 
0
342
,
342
,
1
342
,
1
2
342
,
2
1
1
1
2
171
2
2















n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
que é uma equação do 2º grau para a qual 1

a , 1

b e 342


c .
Assim sendo,

30
 
19
18
2
37
1
2
1369
1
1
2
342
1
4
1
1
2
4
"
'
2
2























n
n
a
ac
b
b
n
Como não existe número de fileiras negativo, só a 1ª raiz tem significado físico.
1.8 Progressão Geométrica (P.G.)
1.8.1 Definição
É uma sucessão de termos
( ,
,
,
,
,
,
,
,
, 1
termos
1
4
3
2
1 




 




 

 
 n
n
n
n a
a
a
a
a
a
a )
finita ou infinita, sendo que , a partir do 2º termo inclusive, a razão entre um termo qualquer e o seu
antecedente é igual a uma quantidade constante q, denominada razão da progressão, ou seja:
q
a
a
a
a
a
a
a
a
n
n
n
n




 

1
1
2
3
1
2

As seqüências a seguir são exemplos de P.G.:
a) (1 , 4 , 16 , 64 , )  1
1 
a e 4

q
b) (x , 2
xt , 4
xt , 6
xt , )  x
a 
1 e 2
t
q 
c) (8 , 2 ,
2
1
,
8
1
, )  8
1 
a e
4
1

q
d) (7 , 7 , 7 , 7 , )  7
1 
a e 1

q
e) ( 4
 , 8 , 16
 , 32 , )  4
1 
a e 2


q
1.8.2 Classificação










1
0
e
0
ou
1
e
0
1
1
q
a
q
a
 P.G. crescente










1
0
e
0
ou
1
e
0
1
1
q
a
q
a
 P.G. decrescente

31
1
a
 e 0

q  P.G. alternante
1
a
 e 0

q  P.G. constante ou estacionária
1.8.3 Termo geral
A partir da definição, podemos escrever os termos da P.G. da seguinte forma:
q
a
a

1
2
 q
a
a 1
2 
q
a
a

2
3
   2
1
1
2
3 q
a
q
q
a
q
a
a 


q
a
a

3
4
   3
1
2
1
3
4 q
a
q
q
a
q
a
a 


                            
q
a
a
n
n

1
 1
1
1

 

 n
n
n q
a
q
a
a 
Observe que cada termo é obtido multiplicando-se o primeiro por uma potência cuja base é
a razão. Note que o expoente da razão é igual à posição do termo menos uma unidade, ou seja:
1
2
1
1
2


 q
a
q
a
a
1
3
1
2
1
3


 q
a
q
a
a
1
4
1
3
1
4


 q
a
q
a
a
              
1
1


 n
n q
a
a 
O termo de ordem n da P.G. é dado, portanto, pela fórmula a seguir:
1
1

 n
n q
a
a (23)
que pode também ser obtida da seguinte maneira:

32
















q
a
a
q
a
a
q
a
a
q
a
a
n
n
1
3
4
2
3
1
2
Multiplicando membro a membro estas 1

n igualdades
obtemos a expressão do termo de ordem n
1
1
3
4
2
3
1
2 





 n
n
n
q
a
a
a
a
a
a
a
a

Fazendo os cancelamentos, obtemos:
1
1

 n
n
q
a
a
o que nos leva a
1
1

 n
n q
a
a (23)
conforme há havia sido deduzido anteriormente.
1.8.4 Propriedades
I) Numa P.G. cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo precedente
e o termo seguinte.
Realmente, se
1

n
a
 , n
a , 
1

n
a
são termos consecutivos de uma P.G., então podemos escrever:
n
n
n
n
a
a
a
a 1
1



ou seja,
1
1
2

 
 n
n
n a
a
a
e
1
1 
 

 n
n
n a
a
a . (24) C.Q.D. Onde os sinais (+) ou (–) são usados de acordo com as
características da P.G.
II) Numa P.G. limitada, o produto de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual ao
produto dos extremos.

33
Seja então a P.G. limitada, com n termos, razão q, e A e B os termos eqüidistantes dos
extremos, conforme mostrado logo a seguir:
(

 

 




 

 


termos
1
termos
2
1 ,
,
,
,
,
,
,
,
p
n
n
p
a
a
B
A
a
a  )
Pela fórmula do termo geral,
1
1

 p
q
a
A . (25)
Considerando agora a progressão

 

 


termos
1 ,
,
,
p
n
n a
a
B 
temos pela fórmula do termo geral,
1

 p
n Bq
a . (26)
Dividindo as igualdades (25) e (26) membros a membro resulta:
B
a
a
A
n
1

o que nos leva a:
n
a
a
AB 
 1 . (27) C.Q.D.
III) Em uma P.G. limitada cujo número de termos é ímpar, o termo médio é a média geométrica
dos extremos.
Neste caso temos:
(





 





 


 

 



 

 


termos
1
2
com
P.G.
termos
1
termos
2
1 ,
,
,
,
,
,
,
,



p
n
p
n
n
p
a
a
B
M
A
a
a )
Pelas propriedades I e II temos:
AB
M 
e
n
a
a
AB 
 1
logo,
n
a
a
M 

 1 . (28) C.Q.D.
1.8.5 Soma dos n primeiros termos de uma P.G.
Com relação a P.G.

34
( ,
,
,
,
,
,
,
,
, 1
termos
1
2
3
2
1 




 




 

 

 n
n
n
n
n a
a
a
a
a
a
a )
podemos escrever:
n
n
n
n a
a
a
a
a
a
S 





 
 1
2
3
2
1  . (29)
Multiplicando ambos os membros por q resulta:
q
a
q
a
q
a
q
a
q
a
q
a
qS n
n
n
n 





 
 1
2
3
2
1 
o que é equivalente a
1
1
4
3
2 
 





 n
n
n
n a
a
a
a
a
a
qS  (30)
Subtraindo (30) de (29) temos:
1
1 


 n
n
n a
a
qS
S
ou já que n
n q
a
a 1
1 
 ,
n
n q
a
a
q
S 1
1
)
1
( 


e
   
1
,
1
1
1



 q
q
q
a
S
n
n (31)
Observações:
1.ª) Se a progressão for crescente, ilimitada, temos N
Sn  , sendo N um número arbitrariamente
grande. Poremos,



lim n
S


n
ou



n
S quando 


n
2.ª) Na hipótese da progressão decrescente 1

q ,
 
q
q
a
q
a
q
q
a
S
n
n
n







1
1
1
1 1
1
1

35
se admitirmos que 

n (cresça cada vez mais), a primeira parcela,
q
a

1
1
, não sofre qualquer
modificação, enquanto que a segunda pode ser tomada tão próxima de zero quanto quisermos.
Poremos:
lim



n q
a
Sn


1
1
(32)
Exemplo 1.6
Determine o 10º termo da P.G. (1 , 2 , 4 , )
Solução:
1
1 
a e 2

q
Logo,
   512
2
1
9
9
1
1
10
1
10 


 
q
a
q
a
a
Exemplo 1.7
Determine a soma dos vinte primeiros termos da P.G. ( 2
2
, 1
2
, 0
2 , )
Solução:
Temos:
4
1
2
1
2 2
2
1 

 
a e  
2
2
2
2
2 2
1
2
1
2
1



 






q
Logo,
   







2
1
2
1
4
1
1
1
20
20
1
20
q
q
a
S
75
,
143
262


36
Exemplo 1.8
Um barco patrulha está distante 65 milhas de um navio carregado de contrabando de armas
pesadas. Sabendo-se que ambas as embarcações estão seguindo o mesmo rumo (movimentos na
mesma direção e mesmo sentido) e que a velocidade do barco patrulha é o dobro da velocidade do
navio, pede-se calcular a distância que o barco deve percorrer para alcançar o navio.
Solução:
mi
65
v
2
v
0
x
Fig. 1.3
Quando o barco patrulha tiver percorrido as 65 milhas iniciais, o navio terá percorrido
2
65
milhas, uma vez que sua velocidade é a metade da do barco. Assim o barco terá que percorrer
também
2
65
milhas. Quando o barco tiver percorrido estas últimas
2
65
milhas, o navio terá
percorrido
4
65
milhas, e assim por diante, de modo que a distância total a ser percorrida pelo barco
é:




 mi
4
65
mi
2
65
mi
65
b
x .
Temos pois uma P.G. decrescente ilimitada, para qual a 65
1 
a mi e
2
1

q . Logo,
130
2
1
1
mi
65
1
1





q
a
xb mi.
Claro, o estudante deve estar se perguntando: o problema não poderia ter sido pelos
métodos da Cinemática aprendidos na Física do 2º grau?
Sim, é claro! Senão vejamos:

37
As equações horárias dos movimentos são:
Barco  vt
xb
Navio  t
v
xn
2
65 

No encontro n
b x
x 
e
t
v
vt
2
65 
 ,
65
2


vt
vt ,
65
2

vt
e o tempo de encontro é:
v
t
130
 .
Voltando à equação do barco, temos então:
130
130




v
v
vt
xb mi
e concluímos, mais uma vez, que o barco deve percorrer 130 mi para alcançar o navio.
Aí cabe uma outra pergunta: Por quê não termos utilizados diretamente o segundo método?
A resposta é simples: esta foi apenas uma ilustração de soma de parcelas, que são termos
de uma P.G., as quais vão se tornando cada vez menores.
1.9 Coordenadas Cartesianas no Plano

38
Este nome é em homenagem ao grande matemático francês René Descartes (Renatus
Cartesius em Latim).
Aqui em nosso curso vamos utilizar apenas as coordenadas cartesianas planas (duas
dimensões) e ortogonais, e isto nos leva a um sistema de eixos x e y, perpendiculares, que têm a
mesma origem comum, conforme ilustrado a seguir:
x
y
y
y
x
x
quadrante
2º quadrante
1º
quadrante
3º quadrante
4º
 
y
x
P ,
)
(
)
(
)
(
0
)
(
 

Plano
Fig. 1.4
A localização de um ponto P qualquer de uma plano  
 genérico, fica então perfeitamente
determinada através de suas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada), e a representação genérica é
 
y
x
P , . No caso presente o ponto genérico foi representado no 1º quadrante, onde 0

x e 0

y
mas, de um modo geral temos:



















quadrante
º
4
0
e
0
quadrante
º
3
0
e
0
quadrante
º
2
0
e
0
quadrante
º
1
0
e
0
y
x
y
x
y
x
y
x
Temos também que se
i) 0

x  ponto situado no eixo y
ii) 0

y  ponto situado no eixo x
iii) 0

 y
x  ponto situado origem

39
Exemplo 9
Marcar em um diagrama cartesiano as localizações dos pontos a seguir:
 
3
,
4
1
P ;  
5
,
2
2 
P ;  
4
,
3
3 

P ;  
6
,
2
4 
P ;  
0
,
5
5
P ;  
4
,
0
6
P
Solução:
x
y
0
1
2
3
4
5
 
5
,
2
2 
P
 
4
,
3
3 

P
 
4
,
0
6
P
 
6
,
2
4 
P
 
3
,
4
1
P
 
0
,
5
5
P
1

2

3

5

6

4

1

2

3

1 2 3 4 5
Fig. 1.5
1.10 Equação Reduzida da Reta
Em Geometria Analítica demonstra-se que toda equação do primeiro grau em x e y
representa, no plano, uma reta, ou seja:
p
mx
y 
 (33)
onde tgα
m  é coeficiente angular da reta, isto é, a tangente do ângulo que a mesma forma com a
direção horizontal (paralela ao eixo x), e p é o coeficiente linear, sendo igual à ordenada do ponto
onde a reta corta o eixo y. Por esta convenção teremos sempre 0   < 180º.

40
Analisemos então algumas situações mostradas na figura 1.6. São evidentes as seguintes
propriedades:
1ª) Se  é agudo, então m é positivo, pois a tangente de um ângulo é sempre positiva no 1º
quadrante.
2ª) Se  é obtuso, então m é negativo, pois a tangente de uma ângulo do 2º quadrante é negativa.
3ª) Se  é nulo, então m é nulo, pois a tg de 0 é nula e, neste caso, a equação da reta se reduz a
constante

y , uma vez que ela é paralela ao eixo x.
4ª) Se  é reto, então m não é definido, pois 


º
90
tg , e neste caso a equação da reta tem a forma
constante

x , uma vez que ela é paralela ao eixo y.
º
90




x
y
0
 é um
ângulo agudo
 
º
90
0 

x
y
0
 é um
ângulo
obtuso
 
º
180
º
90 

x
y
0 x
y
0
 é um
ângulo
reto
 
º
90


0


Fig. 1.6
É também oportuno, baseados no que se viu até então, listarmos algumas situações na
figura 1.7, lembrando que, se p = 0, a reta passa pela origem, e sua equação é da forma y = mx.

41
x
y
0
 
0
e
0
2 
 p
m
R



p
 
0
e
0
3 
 p
m
R
 
0
e
0
1 
 p
m
R



 
0
e
0
4 
 p
m
R
 
0
e
0
5 
 p
m
R
 
0
e
0
6 
 p
m
R
Fig. 1.7
Exemplo 1.10
Representar graficamente as seguintes retas:
a) 1
R : 1
2 
 x
y
b) 2
R : 1
2



x
y
c) 3
R : x
y 2

d) 4
R : 4

y
e) 5
R : 5

x
Solução:
As representações das retas 4
R e 5
R são imediatas. Entretanto, para as retas 1
R , 2
R e 3
R
vamos construir as tabelas a seguir onde os valores assumidos para x, ao serem substituídos nas
equações conduzem aos valores de y correspondentes. Bastaria um par de pontos para determinar
cada reta, uma vez que, por dois pontos do plano passa tão somente uma reta ou, em outras

42
palavras: dois pontos determinam uma reta. No entanto, a fim de que o estudante possa verificar, na
prática, que uma equação do 1.º grau em x e y representa uma reta, optamos por eleger três pontos
para cada uma delas, e concluir que, em cada caso, os três pontos estão alinhados ao longo de uma
mesma direção, ou seja, pertencem a uma mesma reta.
1
R 2
R 3
R
X y x y x y
0 1 0 1 0 0
1 3 1 2
1 1 2
2 5 2 0 2 4
x
y
0
1
2
3
4
5
1
R
2
1
1 2 3 4 5
2
R
3
R
5
R
4
R
Fig. 1.8
Exemplo 1.11
Uma firma de projeto A cobra R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de trabalho e uma
firma B cobra R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia.

43
a) Representar em um mesmo diagrama cartesiano os custos dos serviços de ambas as empresas.
b) Estabelecer um critério para a escolha da melhor firma pelo usuário, sob o ponto de vista
financeiro, admitindo que, hipoteticamente, ambas tenham a mesma competência.
Solução:
a) Do enunciado vem que:
Custo de A:    
1000,00
R$
600,00/dia
R$ 
 d
CA
Custo de B:    
400,00
R$
800,00/dia
R$ 
 d
CB
em que A
C e B
C representam, respectivamente, os custos dos serviços das empresas e d os dias
trabalhados.
Temos então as seguintes correspondências:
d
x 
C
y 
Tratam-se, portanto, das equações de duas retas e a reta A começa em um ponto de ordenada
mais baixa (pA = 400) e a reta B em um ponto de ordenada mais alta (pB = 1000). No entanto, o
coeficiente angular de B (mB = 800) é maior do que o coeficiente angular de A (mA = 600). Isto
significa que tgB > tgA , ou seja B > A , e as retas vão se interceptar. Determinemos pois as
coordenadas do ponto de intersecção:
       




 400,00
R$
800,00/dia
R$
R$1000,00
600,00/dia
R$ d
d
C
C B
A
    


 d
d 600,00/dia
R$
800,00/dia
R$
400,00
R$
1000,00
R$
  
 d
200,00/dia
R$
600,00
R$
2800,00
R$
dias
3 


 B
A C
C
d
Lembrando também que para 0

d temos
1000,00
R$

A
C
e
400,00
R$

B
C
podemos traçar as retas de custos. Assim sendo:

44
0 1 2 3
 
dias
d
2800,00
R$
 
custos
, B
A C
C
1000,00
R$
400,00
R$
A
B
Fig. 1.9
b) Uma rápida análise dos gráficos nos conduzem às seguintes conclusões:
1.ª) d < 3 dias  B é mais econômica.
2.ª) d = 3 dias  o custo é o mesmo.
3.ª) d > 3 dias  A é mais econômica.
1.11 Noção de Aplicação
Dados dois conjuntos A e B, denominamos aplicação de A em B a toda correspondência
em que a cada elemento x  A temos associado um único y  B.

45
Por exemplo: dados os conjuntos A = {5, 6, 7, 8} e B = {g, h, i, j, l} vamos apresentar a
seguir algumas aplicações de A em B:
8
7
6
5
8
7
6
5 8
7
6
5
h
g i l j
h
g i l j
h
g i l
(b)
(a) (c)
Fig. 1.10
A flecha indica a correspondência entre os elementos de A e B. Na parte (a), a aplicação é
o conjunto de pares ordenados.
{(5, g), (6, h), (7, i), (8, j)}
na parte (b)
{(5, g), (6, i), (7, j), (8, l)}
e na parte (c)
{(5, g), (6, g), (7, i), (8, l)}.
Devemos ressaltar que cada elemento de A é unido pela flecha a um só elemento de B.
Assim sendo, do mesmo elemento x  A não podem partir duas ou mais flechas.
Deste modo a correspondência

46
8
7
6
5
j
h
g i l
Fig. 1.11
não é uma aplicação.
O conjunto A é denominado domínio da aplicação e o elemento y, correspondente de x, é
denominado imagem de x. No exemplo (a) da figura 1.9 temos.
Elemento de A Imagem
5  g
6  h
7  i
8  j
O conjunto das imagens de uma aplicação f de A em B denomina-se imagem da aplicação
e será representado por f(A). Devemos notar que f(A) é uma sucessão, ou seja, um conjunto
ordenado. Para o exemplo (a) da figura 1.9 temos:
   
j
i
h
g
A ,
,
,

f e não  





incorreta
ordem
,
,
, i
j
g
h
1.12 Exercícios Propostos
1) Calcular as seguintes expressões:
a)    
12
5 


b)    
7
,
0
7
,
3 


c)    
28
,
0
72
,
1 


d)            
3
5
2
4
7
2 











47
e)            
7
5
1
2
6
9 










a)    
2
4 


b)    
4
10 


c)    
3
9 


d)    
5
7 


e)    
2
6 


a)    
5
4 


b)    
5
4 


c)    
1
2 


d)          
5
2
3
1
4 








e)          
5
4
1
3
2 








a)    
3
12 


b)    
3
15 


c)    
4
36 


d)    
6
42 


e)    
9
81 


5) Calcular as seguintes potências:
a)  5
2

b)  3
3

c)  3
2

d)  3
7

e)  4
10

6) Calcular os valores algébricos das seguintes raízes:

48
a) 4
625
b) 3
8
c) 4
81
d) 3
27

e) 5
32
7) Efetuar os seguintes produtos notáveis:
a)  2
3
4
3
5
2 m
b
y
m 
b)
2
5
2
4
3
3
2






 x
a
c)   
2
5
2
5 a
a 

8) Resolver as seguintes equações do 1.º grau:
a) 5
2

x
b)       2
2
1
3
2
4
3
5 




 z
z
z
c) y
y



5
5
2
6
9) Resolver as seguintes equações do 2.º grau:
a) 0
15
8
2


 z
z
b) 0
1
5
6 1
2


 

z
z
c)
  6
7
1


z
z
d) 0
4
4
2


 z
z
e) 0
3
1
2


 z
z
10) Calcular 13
a na progressão aritmética
: 1 , 5 , 9 , 
11) Calcular 1
a em uma progressão aritmética, sabendo-se que 4

r e 31
8 
a .
12) Somar os 15 primeiros termos da progressão aritmética : 3 ,
2
7
, 4 , 

49
13) Quantas vezes bate um relógio em 24 horas, admitindo-se que apenas bata as horas?
14) Calcular o 5.º e 8.º termos da progressão geométrica :: 2 , 4, 
15) Em uma progressão geométrica, sabemos que 128
4 
a e 4

q . Achar 1
a .
16) Sendo x e y positivos, calcular os limites das expressões a seguir quando o número de radicais
cresce indefinidamente.
a) 
x
x
x
x
b) 
y
x
y
x
c) 
x
x
x
x 


1.13 Respostas dos Exercícios Propostos
1) a) 7
 ; b) 0
,
3
 ; c) 44
,
1
 ; d) 1
 e) 2

2) a) 2
 ; b) 6
 ; c) 12
 ; d) 2
 e) 8

3) a) 20
 ; b) 20
 ; c) 2
 ; d) 120
 e) 120

4) a) 4
 ; b) 5
 ; c) 9
 ; d) 7
 ; e) 9

5) a) 32
 ; b) 27
 ; c) 8
 ; d) 343
 ; e) 000
.
10

6) a) 5
 ; b) 2
 ; c) 3
 ; d) 3
 ; e) 2

7) a) 2
6
4
4
3
8
6
25
20
4 m
b
y
m
b
y
m 

b) 10
5
2
4
16
9
9
4
x
x
a
a 

c) 2
2
25 a

8) a) 10

x ; b) 4

z ; c) 5

y
9) a) 3
1 
z ; 5
2 
z
b) 3
1 
x ; 2
2 
x
c) 7
1 
y ; 6
2 

y
d) z = 2
e) Não admite raízes no conjunto dos números reais. Voltaremos a esse assunto após
estudar a seção 1.14 (suas raízes são:
6
3
2
1
1 j



z ;
6
3
2
1
2 j



z ).

50
10) 49
13 
a
11) 3
1 
a
12)
2
195
15 
S
13) 156
14) 32
5 
a ; 256
8 
a
15) 2
1 
a
16) a) x; b) 3 2
3
1
3
2
y
x
y
x  c)
2
4
1
1 x



47
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Autor:

48
1.14 Números Complexos
1.14.1 Introdução
(a) Do mesmo modo que a generalização da noção de raiz de índice qualquer para um número po-
sitivo exigiu a introdução do conceito de número irracional (p.ex.: 
414
,
1
2  , 
732
,
1
3  ), tam-
bém a impossibilidade da determinação de raízes de índice par de um número negativo levou à no-
ção de número imaginário.
(b) Os números positivos e negativos recebem, em conjunto, o nome de números reais.
Em contrapartida, denomina-se número imaginário ou número complexo à toda ex-
pressão de forma x + jy 1, na qual x e y são números reais e 1


j é a unidade imaginária.
(c) Conforme já vimos na subseção 1.6.2, as raízes de uma equação do 2º grau,
az
2
+ bz + c = 0
são dadas pela conhecida fórmula
a
ac
b
b
z
2
4
2



 . (12)
Obtemos, então duas raízes reais e desiguais quando o discriminante é positivo e uma ra-
iz real dupla se ele for nulo.
Quando o discriminante é negativo, a fórmula (12) não conduz a nenhuma raiz real e o
trinômio az
2
+ bz + c = 0 é sempre diferente de zero qualquer que seja o valor real que se atribua à z.
Por exemplo, se tentarmos resolver a equação
z
2
+ 4z + 1 3 = 0
que já havia sido abordada no Exemplo 2, item c, somos conduzidos a:
2
36
4
1
2
13
1
4
4
4 2











z
que não representa nenhum número real. Por outro lado, se operarmos normalmente como se 1

fosse um número, teremos:
1
Os matemáticos usam i no lugar do j e os eletricistas preferem a letra j minúscula normal, já que estes últimos usam a
letra i para representar a corrente. No entanto, na Unidade 3, Matrizes, é quase que universal a notação ij
a para repre-
sentar o elemento genérico. Assim sendo optamos por j minúscula em negrita e itálica para representar a unidade imagi-
nária.

49
 
1
3
2
2
1
6
4
2
1
36
4












z
ou seja
1
3
2
1 



z
e
1
3
2
1 



z
Vamos substituir tais “números” na equação original a fim de verificar se eles são real-
mente raízes. Ao procedermos desta forma devemos encarar o símbolo 1
 como se ele fosse
mesmo um número em especial, lembrando inclusive que o seu quadrado é:
  1
1
2


 .
Temos então:
     
0
13
1
12
8
9
1
12
4
13
1
3
2
4
1
3
2
13
4
2
1
2
1




















 z
z
e
     
0
13
1
12
8
9
1
12
4
13
1
3
2
4
1
3
2
13
4
2
2
2
2




















 z
z
A partir de tais considerações conclui-se ser possível resolver a equação do 2º grau
mesmo quando temos 0
4
2

 ac
b , se operarmos com o símbolo 1


j como se fosse um nú-
mero. Conforme já mencionado ele deve ter a propriedade de que 1
2


j , e deve operar ao lado
dos números reais com as mesmas leis que regem formalmente tais números. Temos então os núme-
ros complexos da forma y
x j
 onde, conforme já mencionado, x e y são reais e 1


j , tais co-
mo:
6
4 j
 , 2
3
1
j
 ,
9
4
3 j
 ,
7
3
2 j


onde o novo elemento 1


j é denominado unidade imaginária.
Utilizando tal notação, as raízes da equação que acabamos de resolver assumem as for-
mas seguintes:
3
2
1 j



z
e

50
3
2
2 j



z
e no final da subseção 1.14.3 veremos por que tais raízes constituem um par complexo conjugado.
Temos então de forma geral:
y
x
z j

 (34)
onde as grandezas reais x e y são denominadas as partes real e imaginária de z, respectivamente.
Podemos, inclusive, usar as notações )
Re(z e )
Im(z para representar tais partes, ou seja:
)
Re(z
x  (35)
e
)
Im(z
y  (36)
Em particular quando 0

x temos a expressão y
j que será denominada número imagi-
nário puro ou simplesmente imaginário, reservando-se o nome número complexo para o caso
geral.
Quando y = 0 o número complexo reduz-se à sua parte real x.
(d) Uma vez que os números complexos não pertencem ao corpo dos números reais, alguns “desa-
visados de plantão” podem pensar que tais soluções são meramente fictícias e não representam ne-
nhum fenômeno físico real. Para estes é bom mencionar que a corrente alternada que chega às in-
dústrias, hospitais e residências, é representada por funções senoidais ou cossenoidais, que têm a
mesma representação gráfica a menos de uma defasagem de 90º. Acontece que o equacionamento
de circuitos elétricos sob excitação harmônica (senoidal) é bem mais simples no domínio da fre-
qüência, no qual a solução para a corrente é dada por um “fasor” I
 , que é um número complexo.
A fim de relacionarmos o domínio da freqüência com o domínio do tempo é utilizada a relação
   
t
e
I
t
i 
 j

Re
i
m
I
m
I

0 t



 
 
corrente alternada
Fig. 1.12
que é bem conhecida do pessoal da área da Eletricidade. Ora, a corrente alternada senoidal do tipo
   



 t
I
t
i m cos tem existência física real (qualquer dúvida é só tocar com um dedo no terminal
da fase de uma tomada energizada!). Assim sendo, as soluções complexas ou imaginárias (sendo
este último termo um tanto impróprio pois pode levar à conclusões erradas) estão bem longe de se-

51
rem fictícias sendo, é bem verdade, artifícios engenhosos, nascidos no problema primordial de lidar
com raízes de índices pares de números negativos.
Exemplo 1.12
Determine x  R para que o número complexo   7
7
5 2
j

 x
x seja imaginário puro.
Solução:
Para ele ser um número imaginário puro devemos ter parte real nula, ou seja:
 















5
7
0
0
7
5
0
7
5 2
x
ou
x
x
x
x
x
1.14.2 Potências de j
As potências sucessivas de j reproduzem-se periodicamente de quatro em quatro, ou
seja:
1
0


j
j
j 
1
  1
1
2
2




j
j
j
j
j 

 .
2
3
   1
1
1
. 2
2
4





 j
j
j
   j
j
j
j
j 



 1
. 3
2
5
   1
. 2
3
3
6






 j
j
j
j
j
j
   j
j
j
j
j 




 1
. 4
3
7
   1
1
1
. 4
4
8





 j
j
j
   j
j
j
j
j 


 1
. 5
4
9
.........................................................
Podemos escrever em geral:

52
  1
4
4


p
p
j
j
  j
j
j
j 

 p
p 4
1
4
  1
2
4
2
4




j
j
j
p
p
  j
j
j
j 


 3
4
3
4 p
p
Regra geral: para determinar o valor de uma potência de j qualquer, basta dividir o expoente
da potência por 4 e elevar j à potência determinada pelo resto da divisão.
Exemplo 1.13
Efetuar as seguintes potências:
a) 7
j ; b) 513
j ; c) 1998
j ; d) 500
j
Solução:
a) 7 4
 j
j
j 

 3
7
3 1
b) '
'
'
3
1
5 4
 j
j 
513
11 128
33
1
c) '
'
'
'
8
9
9
1 4
 1
2
1998


 j
j
39 499
38
2
d) '
'
'
0
0
5 4
 1
j
j 0
500


10 125
20
0
1.14.3 Representações e Formas de um Número Complexo:
a) Representações:
Um número complexo pode ser geometricamente representado por um ponto no pla-
no complexo ou plano de Argand-Gauss, conforme mostrado a seguir:

53
y
x
z j


)
(
imaginário
Eixo
y
)
(
real
Eixo
x
x
y
0
Complexo
Plano
Fig. 1.13
Uma representação geométrica equivalente, conforme na próxima figura, é feita por
um segmento orientado, da origem ao ponto y
x
z j

 .
y
x
z j


)
(
imaginário
Eixo
y
)
(
real
Eixo
x
x
y
0
Fig. 1.14
Assim a adição ou subtração de duas grandezas complexas pode ser realizada grafi-
camente, conforme ilustração nas partes (a) e (b) da figura 1.15, por meio das regras comumente
usadas para a adição e subtração de vetores, já que tanto as grandezas complexas quanto os vetores
podem ser representados por intermédio de segmentos orientados.
Na figura 1.16 o símbolo | z | significa o comprimento do segmento orientado que re-
presenta z, ou seja, é a distância da origem até o ponto representado pelo complexo z, e é denomi-
nado módulo, norma ou valor absoluto de z.

54
)
(
imaginário
Eixo
y
)
(
real
Eixo
x
0
2
1 z
z 
2
z
1
z
)
(
imaginário
Eixo
y
)
(
real
Eixo
x
0
2
z
1
z
2
1 z
z 
2
z

Fig. 1.15
O ângulo do segmento orientado, medido positivamente no sentido anti-horário e ne-
gativamente no sentido horário, a partir do semi-eixo real positivo, é notado por  ou arg z, sendo
chamado de ângulo polar, argumento ou fase de z.
y
x
z j


)
(
imaginário
Eixo
y
)
(
real
Eixo
x
x
y
0
z

Fig. 1.16
Da última figura depreende-se que:
z
z
x 

 cos (37)
z
z
y 

 sen (38)
2
2
y
x
z 
 (39)







x
y
arc tg
θ (40)
Observações:
(1ª) Nos livros de origem americana encontra-se, muitas vezes, a notação 1
tg
ao invés de

55
arc tg para a função inversa da tangente. Isto também ocorre nas calculadoras eletrônicas.
(2ª) Para um dado 0

z , o ângulo (argumento)  é determinado a menos de múltiplos in-
teiros de 360º ( rad
2 ), ou seja,
º
360
0 k



 ; 0

k , 1
 , 2
 . . .
ou
rad
2
0 



 k ; 0

k , 1
 , 2
 . . .
O valor de  que existe no intervalo  
rad
rad
º
180
º
180 








 é
chamado de valor principal do argumento de z, e notado por 0
 nas equações acima. Na
prática, salvo observação em contrário, estaremos sempre trabalhando com o argumento
principal.
Face às orientações de ângulos já mencionadas e levando-se em conta os inter-
valos entre os limites º
180
 e 180º, teremos:
- ângulos no 1º e 2º quadrantes  
º
180
0 

 serão sempre positivos e orientados no
sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo.
- ângulos no 3º e 4º quadrantes  
0
180 


 serão sempre negativos e orientados no
sentido horário a partir do semi-eixo real positivo.
(3ª) Levando em conta tais convenções e limites, concluímos que quando z for um número
real negativo o seu argumento principal será  
º
180
rad
 ao invés de  
180
rad 

 , uma
vez que o valor º
180
 não está incluído no intervalo º
180
º
180 


 .

56
b) As Fórmulas de Euler e suas decorrências:
Antes de passarmos às diversas formas de um número complexo vamos instituir as
fórmulas de Euler, que são de importância capital para o prosseguimento de nosso estudo.
Admitindo que uma função  
x
F pode ser representada por uma série de potências
de x, essa série deve ser da forma de McLaurin,
         
 
  
 












 

0
!
1
0
!
3
0
!
2
0
0 1
1
3
2
n
n
F
n
x
F
x
F
x
F
x
F
x
F
em que a função e todas as suas derivadas existem para 0

x .
Desenvolvendo 
sen , 
cos e 
j
e em potências de  pela série de McLaruin temos:











!
7
!
5
!
3
sen
7
5
3










!
6
!
4
!
2
1
cos
6
4
2


















!
7
!
6
!
5
!
4
!
3
!
2
1
7
6
5
4
3
2
j
j
j
j
j
e
Reagrupando os termos de 
j
e , temos:






































sen
cos
!
7
!
5
!
3
!
6
!
4
!
2
1
7
5
3
6
4
2
j
j
j


e .
Assim sendo temos:





sen
cos j
j
e (41)
e






sen
cos j
j
e (42)
conhecidas como fórmula de Euler, bem como suas decorrências:
2
cos






j
j
e
e
(43)
2
sen
j
j
j 





e
e
(44)

57
que são de grande utilidade no trato com os números complexos de um modo geral.
c) Formas
c.1) Cartesiana ou Retangular
É a que já foi apresentada no início da presente seção, na equação (34), ou seja:
y
x
z j

 . (34)
c.2) Trigonométrica
Substituindo (37) e (38) em (34) temos:





 sen
cos z
z
y
x
z j
j
o que implica em
 



 sen
cos j
z
z (45)
que é forma trigonométrica.
c.3) Exponencial ou de Euler
Pela equações (41) e (45) temos que:

 j
e
z
z (46)
que é a forma exponencial ou de Euler.
c.4) Polar ou de Steinmetz
A equação (46) pode também ser colocada na forma polar ou de Steinmetz:

 z
z (47)
Na realidade o símbolo  é, simplesmente, uma notação abreviada para 
j
e ,
muito utilizada pelas pessoas da área de Eletricidade em geral.

58
É importante notar que uma interpretação correta do fator 
j
e necessita que o
ângulo  seja expresso em radianos. Na prática, o ângulo é muitas vezes apresentado em graus
(lembrar que 1 grau = 1º
180

 radiano
180

 rad), mas toda vez que houver chance de confusão
no emprego das equações (41) a (47), o ângulo  deverá ser convertido de graus para radianos. A
notação 
j
e com  expresso em graus é, normalmente, considerada uma prática inadequada,
mas escrever  com  em graus é bastante usual.
Observações:
1ª) Ao passarmos um complexo da forma retangular (cartesiana) para a forma polar, devemos utili-
zar as equações (39) e (40). Acontece que quando esta última equação é utilizada, a determinação
do quadrante onde se situa o complexo y
x
z j

 pode ser feita pela inspeção dos sinais de x e y, a
não ser que a calculadora em uso já tenha as rotinas REC  POL e POL  REC, que já fazem as
transformações diretamente.
2ª) Cumpre ressaltar que no caso da transformação acima citada, as calculadoras científicas mais
sofisticadas fornecem diretamente z e 0
 (argumento principal), seguindo para este último as re-
gras de orientação de ângulos já descritas na 2ª observação da subseção 1.14.3.a:
- ângulos no 1º e 2º quadrantes ( º
180
0 

 ou rad
0 


 ) sempre positivos, e orientados no
sentido anti-horário a partir do semi-eixo real positivo.
- Ângulos no 3º e 4º quadrantes ( 0
º
180 


 ou 0
rad 



 ) sempre negativos, e orienta-
dos no sentido horário a partir do semi-eixo real positivo.
Exemplo 1.14
Exprimir cada um dos seguintes números complexos na forma polar:
a) 4
20

j
e ; b) 3
2
10

 j
e ; c) 6
5
2

j
e
Solução:
a) 20
20 4


j
e 4

20
 
45
b) 10
10 3
2


 j
e 3
2

10
 
120
c) 2
2 6
5


j
e 6
5
2
 
150

59
Exemplo 1.15
Passar os seguintes números complexos da forma polar para a forma retangular:
a) 0
,
53 
160
b) 050
,
0 
 20
c) 156
,
0 
170
Observação: se a sua calculadora tem as rotinas RET  POL e POL  RET você pode e deve
fazer as transformações diretamente, e depois voltar à forma original a fim de checar seus resulta-
dos.
Solução:
Pelas equações (34), (37) e (38) temos que:
a) 0
,
53 
160 1
,
18
8
,
49
º
160
sen
0
,
53
º
160
cos
0
,
53 j
j 




b) 050
,
0 
 20     017
,
0
047
,
0
º
20
sen
050
,
0
º
20
cos
050
,
0 j
j 





c) 156
,
0 
170     027
,
0
154
,
0
º
170
sen
156
,
0
º
170
cos
156
,
0 j
j 




Exemplo 1.16
Converter os seguintes números complexos da forma retangular para a polar:
a) 4
3 j

b) 4
3 j


c) 4
3 j


Solução:
Se a sua calculadora não possuir as rotinas REC  POL e POL  REC, você deve
tomar cuidado com os sinais das partes real e imaginária dos complexos, a fim de identificar com
acerto o quadrante onde estão situados os números. A figura seguinte é de grande utilidade.

60
x
y
0
4

3

2

1

4
3
2
1
4
3
3 j



z
4
3
1 j


z
4
3
2 j



z
3
2
1
1

2

3

5
5
5
3

2

1



Fig. 1.17
a) Pelas equações (39) e (40) temos que:
3
4
tg
arc
5
4
3
1
2
2
1





z
A tangente é positiva no 1º e 3º quadrantes. Uma vez que 0

x e 0

y , 1
 pertence ao 1º qua-
drante (vide figura 1.17).
º
1
,
53
1 

Temos então:

1
z 
1
,
53
b)   5
4
3 2
2
2 



z
3
4
tg
arc
2




61
A tangente é negativa no 2º e 4º quadrantes. Sendo 0

x e 0

y , 2
 pertence ao 2º quadrante.
Da figura 1.16 temos, em módulo,
3
4
tg 

donde
º
1
,
53


e
º
9
,
126
º
1
,
53
º
180
2 


 .
Então,
5
2 
z 
9
,
126
c)     5
4
3
2
2
3 




z
3
4
tg
arc
3




Temos 0

x e 0

y , logo 3
 é do 3º quadrante. Da mesma figura tiramos:
3
4
tg 

logo º
1
,
53


e
º
1
,
233
º
180
3 




o que implica em
5
3 
z 
1
,
233 , que não é uma forma usual, visto que o argumento principal deve estar entre os
valores º
180
º
180 


 , o que nos leva então a escrever 5
3 
z 
 9
,
126 (que é a resposta da
calculadora CASIO fx-82LB).
Vamos a seguir apresentar as rotinas de operações para as transformações RET  POL e POL
 RET para duas minicalculadoras usuais no mercado
1.º) CASIO fx-82LB
a) RET  POL:
(convocamos a transformação para polares  r )

62
x a y b F
2nd a |z| b 
b) POL  RET:
|z| a  b F
2nd b x b y
2.º) CASIO fx-6300 G
a) RET  POL:
SHIFT  x SHIFT ( y ) EXE |z| ALFA ) EXE 
b) POL  RET:
SHIFT  |z| SHIFT (  ) EXE x ALFA ) EXE y
(*) Em Português  Retangular (RET)
Em Inglês  Rectangular (REC)
c.5) Algumas Formas Polares Especiais
As equações (41), (46) e (47) conduzem a uma nova interpretação para o número
imaginário puro j, anteriormente definido como sendo 1


j ou 1


2
j . Se
2


 rad nas refe-
ridas equações, j
j


2
e , de modo que j é um número complexo com módulo unitário e fase igual a
90º, ou seja:
1
2


π
e j
j 
90 (48)
por outro lado,
1
1 2
2






 j
j
j
j
j
e 
90 (49)
entradas saída
entradas
(convocamos a transformação para retangular  xy)
saída
convocamos a
transformação POL (
convocamos
a ,
entradas saída
convocamos J
convocamos a
transformação REC* (
convocamos
a ,
entradas
convocamos J
saída

63
Finalmente,
1
1 
0 (50)
e
1
1
 
180 (51)
x
y
0
1

j

j
1

1
1
º
90

º
90
º
180
Fig. 1.18
c-6) Complexo Conjugado:
O complexo conjugado de y
x
z j

 é definido, na forma retangular, por 2
:
y
x
z j


*
(52)
e tem a mesma parte real que o complexo z, porém, a parte imaginária é simétrica.
2
Alguns autores preferem usar z ao invés de
*
z para representar o complexo conjugado porém, na área da Eletricida-
de a notação
*
z é uma unanimidade.

64
y
x
z j


imaginário
Eixo
)
(
real
Eixo
x
x
y
0
y

y
x
z j


*



Fig. 1.19
Pela definição de módulo,
  z
y
x
y
x
z 




 2
2
2
2
*
e da definição de fase fica claro que o ângulo de fase é simétrico.
Assim sendo, temos também que:


 j
e
z
z*
(53)
z
z 
*

 (54)
  z
z 
*
*
(55)
a) 4
3
4
3 *
1
1 j
j 



 z
z
b) 3
3
10
10 *
2
2




  j
j
e
z
e
z
c) 5
3 
z 
30 5
*
3 
 z 
30
d) 2
4 
z  2
*
4 
z

65
Fica agora fácil entender que as raízes 3
2
1 j



z e 3
2
2 j



z da equação resolvida
na subseção 1.14.1 constituem um par complexo conjugado.
1.14.4 Operações com Números Complexos
a) Igualdade:
Dois números complexos 1
1
1
1
1
1
z
e
z
y
x
z 


 
j
j 1
 e 2
2
2
2
2
2
z
e
z
y
x
z 


 
j
j 2
 são
iguais se, e somente se 2
1 x
x  e 2
1 y
y  ou, equivalentemente, 2
1 z
z  e 2
1 

 .
b) Adição e Subtração:
A adição e a subtração são facilmente efetuadas se os números estiverem na forma retangular, em-
bora as calculadoras mais sofisticadas (HP48GX por exemplo) sejam capazes de efetuarem tais ope-
rações quer os números estejam na forma polar ou na retangular, e ainda darem a opção de obter o
resultado final em uma forma ou outra. Na forma retangular,
   
   
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
z














j
j
j
j
j
e
   
   
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
y
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
z














j
j
j
j
j
ou seja,
   
2
1
2
1
2
1 y
y
x
x
z
z 



 j (56)
e
   
2
1
2
1
2
1 y
y
x
x
z
z 



 j (57)
A figura 1.20, logo a seguir, ilustra as operações realizadas graficamente. Na parte (b)
da mesma é fácil verificar que 1
2
2
1 z
z
z
z 

 é a distância entre os pontos do plano complexo
definidos, respectivamente, pelos complexos 1
z e 2
z .
A partir das equações (56) e (57) decorre então que:

66
    x
y
x
y
x
z
z 2
*





 j
j
e
    y
y
x
y
x
z
z 2
*
j
j
j 





ilustradas na figura 1.21,
x
y
0
2
1 y
y 
1
y
2
y
2
1 x
x 
2
x
1
x
1
z
2
z
2
1 z
z 
x
y
0
1
y
2
y
2
1 x
x 
1
z
2
z
2
1 z
z 
2
1 z
z 
2
1 z
z 
2
z

(a) (b)
Fig. 1.20
ou seja,
 
z
x
z
z Re
2
2
*


 (58a) 
2
*
z
z
x

 (58b)
e
 
z
y
z
z Im
2
2
*
j
j 

 (59a) 
2
*
j
z
z
x

 (59b)
Temos também que:
         
2
2
1
1
2
1
2
1
*
2
1 y
x
y
x
y
y
x
x
z
z j
j
j 








ou seja:
  *
2
*
1
*
2
1 z
z
z
z 

 (60)

67
o que significa que o conjugado da soma é a soma dos conjugados.
Similarmente, é fácil também mostrar que
  *
2
*
1
*
2
1 z
z
z
z 

 (61)
x
y
0
y
y

x x
2
y
x
z j


y
x
z j


*
x
y
0
y
y

x
x

y
x
z j


y
x
z j


*
y
2
*
z

(a) (b)
Fig. 1.21
Exemplo 1.17
Somar os complexos a seguir tanto de forma analítica quanto gráfica, e comparar os resultados.
a) 3
2
1 j


z e 4
3
2 j


z
b) 2
3 
z 
30 e 5
4 
z 
70
Solução:
a)     j
j 





 5
4
3
3
2
2
1 z
z = 5,1 
 3
,
11

68
x
y
0
1

2

2
1
2
z
1
z
2
1 z
z 
3

3
4

4 5
2
1 3
1
,
5
º
3
,
11

Valores obtidos
do gráfico
Fig. 1.22

64
Assunto:
MATEMÁTICA BÁSICA
Autor:

65
Passando inicialmente os números para a forma retangular,
   
698
,
5
442
,
3
698
,
4
000
,
1
710
,
1
732
,
1
698
,
4
710
,
1
º
70
sen
5
º
70
cos
5
000
,
1
732
,
1
º
30
sen
2
º
30
cos
2
4
3
4
3
j
j
j
j
j
j
















z
z
z
z
Temos também que:
   
º
9
,
58
442
,
3
698
,
5
tg
arc
θ
657
,
6
698
,
5
442
,
3
2
2
4
3











 z
z
x
y
0
3
z
4
z
4
3 z
z 
5
2
º
30
º
70



gráfico
do
obtidos
Valores
6,7
59º
Fig. 1.23
Exemplo 1.18
Resolva a equação 2
1
θ


j
e para 




 e verifique a solução geometricamente3
Solução:
Temos que:
2
1
θ


j
e (*)
onde 



 sen
cos
θ
1 j
j
e
z e 1
2 
z
3
A verificação geométrica da solução talvez seja melhor apreciada após o estudo da subseção 1.14.6.

66
donde,
 
 
 































2
sen
1
cos
2
cos
2
sen
1
cos
2
sen
1
cos
2
sen
1
cos
2
1
sen
cos
2
2
2
2
2
2
j
j
=1


















rad
0
0
cos
0
cos
2
2
cos
2
2
Substituindo na equação (*), verificamos que somente o valor rad


 é
compatível.
A verificação gráfica é imediata, visto que 2
1 z
z  é a distância entre os pontos
definidos pelos complexos 1
z e 2
z .
Sendo θ
1
j
e
z  , temos que 1
1 
z , e o lugar geométrico representado por 1
z ,
quando  varia ao longo do intervalo 




 , é uma circunferência de raio unitário centrada
na origem.
Sendo 1
2 
z , a situação é a representada na figura a seguir:
x
y
0 1
2 
z

 j
e
z1
2
1 z
z 

1
Fig. 1.24
É fácil verificar que teremos 2
2
1 
 z
z quando  assumir o valor rad
 .

67
b) Multiplicação
A multiplicação de grandezas na forma retangular é dada por:
      
1
2
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
1
2
1 .
. y
x
y
x
y
y
x
x
y
x
y
x
z
z 





 j
j
j
j
Lembramos que 1
2


j segue-se que:
   
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1. y
x
y
x
y
y
x
x
z
z 


 j (62)
Já na forma exponencial,
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 .
. 





 j
j
j
e
z
z
e
z
e
z
z
z
o que nos permite então escrever:
2
1 


 
2
1
2
1
2
1
2
1
. z
z
e
z
z
z
z 
 


j
(63)
Conclusões:
1.ª) Da equação (63) temos que:
2
1
2
1 .
. z
z
z
z  (64)
e
2
1
. 2
1




 z
z (65)
2.ª) Para 


 j
j e
z
y
x
z e 



 j
j e
z
y
x
z*
vale então estabelecer a seguinte equação:



 j
j
e
z
e
z
z
z .
. *
ou seja,
2
*
. z
z
z  (66)
3.ª) Também não é difícil mostrar que
  *
2
*
1
*
2
1 z
z
z
z  (67)

68
Exemplo 1.19
Multiplicar os seguintes números complexos:
a) 3
2
1 j


z e 3
1
2 j



z
b) 3
5
3

 j
e
z e 6
2
4


 j
e
z
c) 2
5 
z 
30 e 5
6 
z 
45
Solução:
a)    9
7
3
1
3
2
. 2
1 j
j
j 





z
z
b)    6
6
3
10
2
5
. 4
3




  j
j
j
e
e
e
z
z
c) 2
. 6
5 
z
z 
30  5 
45  10
 
15
Exemplo 1.20
Passar o número complexo 6
5
2

 j
e para as formas polar e cartesiana.
Solução:
Este é uma excelente exemplo, pois, lembrando a forma exponencial de um complexo, 
 j
e
z
z ,
parece que estamos diante de um absurdo, qual seja um numero com módulo negativo. Acontece
que aí não existe módulo negativo, mas sim uma “multiplicação implícita”, conforme veremos a
seguir:
2
2 6
5




j
e 6
5
2

 º
150   
2
1

 º
150
1
 º
180 2 º
150  2
 º
330 2
 º
30



















 º
180
º
180
ter
devemos
pois
usual
é
não
que é a forma polar.
A forma cartesiana é facilmente obtida à partir da forma polar, ou seja:
2

z º
30
    



 º
30
sen
2
º
30
cos
2 j

69
000
,
1
732
,
1 j


Observação: As calculadoras eletrônicas estão em um estágio de desenvolvimento tão elevado
que, aquelas que tem as rotinas RET  POL e POL  RET, assimilariam a transformação
2
 º
150 diretamente para a forma cartesiana, pois, quando se entra com 2


z , o software da
calculadora entende que isto não é simplesmente módulo, e que existe uma multiplicação
implícita. Está duvidando? Pois então pegue uma e execute a operação!
d) Divisão
A divisão de duas grandezas complexas,
2
1
3
z
z
z  , é definida como 3
2
1 .z
z
z  se 0
2 
z .
Em coordenadas retangulares temos:
























2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
z
z
j
j
j
j
j
j
onde o processo de racionalização foi efetuado utilizando-se o complexo conjugado do denomi-
nador.
Finalmente,





















 2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
x
z
z
j (68)
e na forma exponencial,
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 





 j
j
j
e
z
z
e
z
e
z
z
z
o que nos conduz a
2
1 


 
2
1
2
1
2
1 2
1
z
z
e
z
z
z
z

 


j
(69)
Conclusões:
1ª) Da equação (69) concluímos que:
2
1
2
1
z
z
z
z
 (70)
e

70
2
1
2
1





z
z . (71)
2ª) Não é difícil mostrar que
*
2
*
1
*
2
1
z
z
z
z









, sendo 0
2 
z (72)
3ª) Fica então evidente que a multiplicação e a divisão de grandezas complexas são mais
facilmente efetuadas na forma polar, a menos que, conforme já dito anteriormente, se tenha uma
calculadora eletrônica mais sofisticada.
4ª) É importante notar que multiplicar uma grandeza complexa por 1
2



j
j e 
90 não altera o
seu módulo, mas soma 90º ao seu ângulo de fase. Raciocinando em termos da representação por
meio de segmento orientado no plano complexo, a multiplicação por j gira o segmento orientado
de 90º no sentido anti-horário. De modo análogo, a multiplicação por 1
2




 j
j e 
90
também não altera o módulo da grandeza mas, neste caso, há uma subtração de 90º na fase, ou
seja, o segmento orientado é agora girado de 90º no sentido horário.
5ª) Similarmente, se multiplicarmos um número complexo por 1


j
e  , não alteramos o seu
módulo; apenas acrescentamos  ao seu ângulo de fase ou, em outras palavras: giramos o
segmento orientado que representa o complexo de um ângulo  no sentido anti-horário. Se a
multiplicação for por 1


 j
e 
 o giro será no sentido horário.
6ª) Das propriedades e definições vistas até então resultam as leis comutativa, associativa e
distributiva usuais:
1
2
2
1 z
z
z
z  (73)
1
2
2
1 z
z
z
z 

 (74)
    3
2
1
3
2
1 .
.
.
. z
z
z
z
z
z  (75)
    3
2
1
3
2
1 z
z
z
z
z
z 



 (76)
  3
1
2
1
3
2
1 .
.
. z
z
z
z
z
z
z 

 (77)
  3
2
3
1
3
2
1 .
.
. z
z
z
z
z
z
z 

 (78)
Exemplo 1.21
Dividir os seguintes números complexos:

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