38832206 distribuicao-de-frequencias

248 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
248
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
2
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

38832206 distribuicao-de-frequencias

  1. 1. Quarto Capítulo DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Introdução A distribuição de freqüências é um arranjo tabular dos diversos valores de uma variável em grupos, classes, intervalos ou níveis com as respectivas informações de cada grupo. Para a construção de uma distribuição de freqüência, devemos conceituar: · Dados Brutos; · Rol; · Amplitude Total; · Números de Classes (Sturges); · Intervalos de Classes; · Distribuição de Freqüências; · Elementos de uma Distribuição de Freqüências; · Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüências. Dados brutos São aqueles que não foram numericamente arranjados, isto é, são aqueles que ainda não foram colocados em uma ordem de grandeza. Dado bruto é um conjunto desorganizado de observações, de informações. É um conjunto não trabalhado. É um monte de informações sem uma seqüência lógica. Rol É o arranjo dos dados brutos em uma ordem de grandeza crescente ou decrescente. O rol é um conjunto de números trabalhados, organizados ou lapidados. Observe a aplicação conceitual abaixo: Aplicação Conceitual 001
  2. 2. Em uma amostra de 10 funcionários da Empresa Slow Grill, em abril, encontramos os salários, em reais: 600, 800, 1000, 1500, 1100, 1400, 1200, 900, 1100 e 700. Observe que este conjunto numérico está desorganizado em função de uma ordem crescente ou decrescente de grandeza. Colocando-o em uma ordem crescente de grandeza, teremos o seu rol: 600, 700, 800, 900, 1000, 1100, 1100, 1200, 1400 e 1500. Amplitude total É a diferença entre os valores extremos de um conjunto, definido em uma ordem de grandeza. A diferença entre o maior e o menor valor de um conjunto define a amplitude total ou o comprimento do conjunto numérico. AT = Vmáx - Vmin A amplitude total é o primeiro passo para definir a sensibilidade de um conjunto, pois aquele que apresentar a menor amplitude será um conjunto mais concentrado, mais homogêneo e menor risco. Aplicação Conceitual 002 Os salários de uma amostra de dez funcionários da Empresa Star Girl foram: 600, 700, 800, 900, 1000, 1.100, 1.100, 1.200, 1.400 e 1.500. Qual é o valor da amplitude total? A amplitude total será a diferença entre os valores extremos assumidos pela variável salários, onde: Valor máximo = 1500 Valor mínimo = 600 Logo: AT = Vmáx - Vmin AT = 1500 - 600 = 900. Aplicação Conceitual 003 Sejam os valores da variável X:
  3. 3. 6, 10, 12, 14, 17, 20 e 24. A amplitude total desta variável será: AT = Vmáx - Vmin AT = 24 - 6 = 18. Número de classes (Sturges) Para determinar o número de classes, com as quais vamos trabalhar, adotaremos o seguinte modelo: K = 1 + 3,3 Log n Onde o K representa o número de classes e o n é o tamanho da população. Usando Sturges por meio do logaritmo neperiano. Logo: K = 1 + 3,3 Ln n / Ln 10 ou K = 1 + 1,43 Ln n. O número de classes de uma distribuição não deve ser menor que 5 e nem maior que 12. Intervalo de classes O intervalo de classe, na medida do possível, deverá ser regular, isto é, igual em todas as classes o que facilitará os cálculos posteriores. O intervalo de cada classe é a razão da progressão aritmética, sendo definido por: h = AT / K Aplicação Conceitual 005
  4. 4. Em uma amostra de 100 funcionários da Empresa Tecovan, com sede em Belo horizonte, em fevereiro de 2.004, encontrou-se o menor salário de R$ 800,00 e o maior de R$ 2.400,00. Calcule a amplitude total, o número de classes e o intervalo de classes. A amplitude total dos salários desta população será de: AT = Vmáx - Vmin AT = 2.400 - 800 = 1.600 O Número de classes ou o número de níveis salariais desta Empresa será de: K = 1 + 3,3 Log n Então: K = 1 + 3,3 Log 100 K= 1 + 3,3 x 2 = 7,6 K = 8 Ou K = 1 + 3,3 Ln 100 / Ln 10 O =7,6 K = 8 Ou K = 1 + 1,43 Ln 80 = 7,6 K = 8 O intervalo de cada grupo ou nível salarial será de h = AT / K = 1.600 / 8 h = 200 Os oito níveis salariais desta Empresa serão construídos através de uma progressão aritmética cujo 1º termo será 800 e razão 200. Logo a progressão aritmética formada pelos intervalos 800, 1.000, 1.200, 1.400, 1.600, 1.800, 2.000, 2.200, 2.400 define os níveis salariais da empresa. Observe que o 1º nível salarial da Empresa será de 800 a 1.000; o 2º nível de 1.000 à 1.200; o 3º nível de 1.200 à 1.400; e assim sucessivamente, de tal forma que o último nível será de 2.200 à 2.400. Aplicação Conceitual 006 Em fevereiro deste ano, realizamos uma pesquisa sobre o tempo de serviço dos 100 funcionários da empresa Pacífico Sul e encontramos um funcionário com o menor tempo de serviço de 16 meses e outro com o maior tempo de serviço da empresa, tendo 64 meses de serviço prestados.
  5. 5. Calcule a amplitude total, o número de classes e o valor do intervalo de classes para uma distribuição de freqüências. Em primeiro lugar, calcularemos amplitude total: AT = 64 - 16 = 48 meses A seguir definir o número ideal de classes, segundo Sturges, sendo definido por: K = 1 + 3,3 Log n K = 1 + 3,3 Log 100 = 1 + 3,3 ( 2 ) = 7,6 K = 8 Vamos trabalhar com 8 classes / grupos / níveis e o valor do intervalo de cada classe será: h = AT / K h = 48 / 8 = 6 Definindo o número de níveis e o valor do intervalo, vamos construir uma distribuição de freqüências através de uma progressão aritmética cujo 1º termo é 16, a razão é 6 e o último termo será 64. As classes serão de 16 a 22, de 22 a 28, de 28 a 34, de 34 a 40, de 40 a 46, de 46 a 52, de 52 a 58, de 58 a 64 meses. O intervalo de 16 a 22 representa a primeira classe do conjunto e o intervalo de 58 a 64 representa a última classe. Após definidos o número de níveis e o valor do intervalo, vamos construir uma distribuição de freqüências através de uma progressão aritmética cujo 1º termo é 16, a razão é 6 e o último termo será 64. As classes serão de 16 a 22, de 22 a 28, de 28 a 34, de 34 a 40, de 40 a 46, de 46 a 52, de 52 a 58, de 58 a 64 meses. O intervalo de 16 a 22 representa a primeira classe do conjunto e o intervalo de 58 a 64 representa a última classe. O próximo passo será o de identificar quantos funcionários a empresa terá com um tempo de serviço dentro dos respectivos intervalos. Se os valores extremos de uma variável fossem 16 meses e o maior 67 meses, a amplitude seria de 51 meses e o número de classes continua sendo o mesmo 8 e o intervalo de seria de 51/8 = 6,375. Com este intervalo de 6,375, a nossa progressão ficaria muito complicada, motivo pelo qual arredondamos o valor do intervalo para 6 e as classes serão de 16 a 22, de 22 a 28, de 28 a 34, de 34 a 40, de 40 a 46, de 46 a 52, de 52 a 58, de 58 a 64 meses; de 64 a 70. Observe que criamos uma classe para registrar o valor 67. Nos casos de uma distribuição de freqüências, sempre é bom trabalhar com valores que nos levam a um entendimento mais simples, mais fácil e de melhor visualização. Para atingir a este objetivo, podemos redimensionar a razão da progressão aritmética, o menor ou o maior valor do conjunto. Distribuição de Freqüências
  6. 6. A distribuição de freqüências visa representar um grande conjunto de informações, sem perder as suas principais características. Após a coleta de dados, é necessário sumarizar, sintetizar, representar, expor o fenômeno com a finalidade de se obter as suas características quantitativas, visando à descrição numérica do fenômeno. A idéia fundamental para sumarizar um conjunto de observações constitui na criação de grupos, classes ou níveis, com intervalos, geralmente regulares, contendo todas as observações. Os níveis, grupos, classes deverão ser mutuamente exclusivas e todos os valores deverão ser enquadrados, nos respectivos intervalos. Podemos definir a distribuição de freqüências como um arranjo tabular de um conjunto em grupos, classes ou níveis com as suas respectivas freqüências que representam o número de observações pertencentes a cada classe. A distribuição de freqüência é uma série cujos dados numéricos relativos a um fenômeno estão reunidos em intervalos de valores iguais ou não. Geralmente as distribuições de freqüências são definidas por meio de uma progressão aritmética, embora possa ser utilizada a progressão geométrica para a sua construção. Na distribuição de freqüências, os dados estatísticos estão dispostos ordenadamente em linhas e colunas, permitindo-se assim sua leitura no sentido horizontal e vertical e o tempo, o local e a espécie do fenômeno não variam. Uma tabela de freqüência é uma tabela onde se procura fazer corresponder os valores observados da variável em estudo e as respectivas freqüências. Estas tabelas de freqüências podem representar tanto valores individuais quanto valores agrupados Aplicação Conceitual 007 Abaixo, temos uma distribuição de freqüências, relativa aos salários de uma amostra de 100 empregados da construção civil, em fevereiro de 2007, em reais, em Belo Horizonte, MG. Salários da Construção Civil Pesada Fevereiro/2007 – Belo Horizonte – Em Reais Nº classes Salários Números 1ª 400 a 450 4 2ª 450 a 500 10 3ª 500 a 550 18 4ª 550 a 600 25 5ª 600 a 650 20 6ª 650 a 700 13 7ª 700 a 750 7 8ª 750 a 800 3 Total 100 Fonte: DRH
  7. 7. Os salários do pessoal da construção civil, envolvendo pedreiros, pintores, serventes, bombeiros e carpinteiros, numa amostra de 100 empregados, em fevereiro deste ano, foram reunidos em 8 grupos salariais, com salários variando de R$ 400,00 à R$ 799,99. O primeiro nível salarial ou a primeira classe ou intervalo de salários é formado por 4 empregados que têm salários variando de R$ 400,00 à R$ 449,99. Observe que 25 funcionários têm salários de R$ 550,00 à R$ 599,99 e 18 funcionários têm salários de R$ 500,00 a R$ 549,99. Elementos de uma Distribuição de Freqüência Elementos de uma Classe As classes ou níveis de uma distribuição de freqüência são os intervalos de variação de uma variável e os valores extremos de uma classe são denominados de limites de classe. Estes valores são denominados de limites inferior (Li) e superior (l) da classe. Amplitude total da classe é a diferença entre os valores extremos da classe e a da distribuição de freqüências é a diferença entre os valores extremos de uma distribuição de freqüência, isto é, a diferença entre o maior limite superior e o menor limite inferior. O ponto médio é o principal representante de uma classe. Para obtê-lo, somam-se os limites da classe, dividindo o resultado por dois, ou seja: xi = (Limite sup + Limite inf) / 2 Analisando a Aplicação Conceitual do item anterior, o ponto médio da 1ª classe, isto é, o salário médio dos integrantes do 1º nível salarial será igual a: xi = (Limite sup + Limite inf) / 2 (400 + 450) / 2 = 425 Distribuição de Freqüência Relativa A freqüência relativa de uma classe é a freqüência simples dessa classe dividida pelo soma de todas as freqüências simples, assim: fr% = fi / n Pela Aplicação Conceitual anterior, a freqüência relativa da 4ª classe da tabela anterior é (25 / 100) = 0,25. Pode-se dizer que 25% dos funcionários têm salários que variam de R$ 550,00 à R$ 599,99. A soma das freqüências relativas é igual a 1 ou 100%. Distribuição de Freqüência Acumulada A freqüência acumulada de uma classe é a soma das freqüências anteriores ou posteriores, inclusive a freqüência da respectiva classe. As freqüências acumuladas poderão ser crescentes ou decrescentes. A distribuição de freqüência acumulada crescente, (fac) é obtida repetindo a freqüência simples da 1ª classe a partir daí somar sucessivamente as demais freqüências, obtendo as freqüências acumuladas de cada classe. Exprime-se a freqüência acumulada “crescente”, através do limite superior de uma classe. A distribuição de freqüência acumulada decrescente, (fad) é obtida repetindo a freqüência simples da última classe e a partir daí, somar, sucessivamente, as demais freqüências, obtendo as freqüências acumuladas de cada classe. Representação Gráfica de uma Distribuição de Freqüências Uma distribuição de freqüência poderá ser representada por um histograma, um polígono de freqüência ou pelas ogivas de Galton. Estes gráficos são gráficos de análise, portanto só devem ser feitos quando a variável for contínua. Se estivermos trabalhando com uma distribuição de
  8. 8. freqüências, a variável desta distribuição poderá ser considerada contínua não importando se na prática for discreta. Histograma de Freqüência x Polígono de Freqüência Histograma de Freqüência é um conjunto de colunas sucessivas, justapostas com intervalos nulos entre elas, cujas bases são registradas no eixo das abscissas, por meio dos limites inferiores de cada classe; a altura e a largura de cada coluna são proporcionais à freqüência e amplitude de cada classe. O histograma é um gráfico de colunas, mas nem todos os gráficos de colunas definem um histograma, porque no histograma, registramos no eixo dos x o limite inferior de cada classe e no gráfico de colunas, registramos as categorias da variável. Polígono de Freqüência é um gráfico de linha, mas nem todos os gráficos de linha são polígonos de freqüências. Neste gráfico associamos cada ponto médio à sua respectiva freqüência. O ponto médio é registrado no eixo das abscissas e a respectiva freqüência simples/relativa no das ordenadas. Os segmentos de reta que ligam tais pontos definem o polígono de freqüências abaixo. Salários dos Funcionários da Empresa Daves Keller Março/2007 – BH – Em Reais Ogivas de Galton Para a construção das ogivas de Galton, registramos no eixo X os limites inferiores da distribuição e, no eixo dos Y, as respectivas freqüências acumuladas simples ou relativas. A primeira linha parte do ponto (0,0) e define o gráfico da freqüência acumulada crescente e a segunda linha parte do ponto (0,50) e define o gráfico da freqüência acumulada decrescente. A este conjunto de linhas, denomina-se ogivas de Galton. Salários dos Funcionários da Empresa Daves Keller Belo Horizonte, Março/2006 – Em Reais

×