Engenharia economica

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sendo transacionados, assim como na distribuição destes produtos entre a população. Esta ação
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Engenharia economica

  1. 1. Engenharia Econômica Bibliografia Hirschfeld H., Engenharia Econômica, Ed. Atlas Ehrlich P.J., Engenharia Econômica, Ed. Atlas PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 1
  2. 2. 1. Conceitos básicos 1.1 Introdução A escassez de recursos frente às necessidades ilimitadas das empresas faz com que cada vez mais se procure otimizar a utilização de tais recursos. Um desses recursos é o capital. Na estrutura sócio-econômica em que vivemos, o dinheiro tem não somente a função de facilitar o processo de transações entre os elementos da sociedade, mas também de servir de elemento importante no processo de produção dos bens e serviços sendo transacionados, assim como na distribuição destes produtos entre a população. Esta ação de participar do processo de produção se dá através do investimento. Assim, um investimento pode ser definido como sendo uma aplicação de dinheiro em projetos de implantação de novas atividades, expansão, modernização, etc., da qual se espera obter uma boa rentabilidade. Portanto, torna-se necessário analisar as alternativas para garantir um bom retorno do investimento. Se dispuséssemos de recursos ilimitados de capital, não haveria necessidade de aplicação das técnicas que serão apresentadas a seguir. Todas as propostas de aplicação de fundos seriam aceitáveis, desde que obedecessem a um simples critério : a renda total deve exceder o total dos gastos. Entretanto, no mundo real os recursos são limitados. A oferta de capital disponível não é suficiente para satisfazer toda a demanda imaginável, não sendo possível aproveitar todas as oportunidades de investimentos. Análises envolvendo a escolha entre processos produtivos alternativos, de substituição de equipamentos, de escolha entre a compra e o aluguel de um dado imóvel industrial ou de uma máquina, são alguns dos exemplos de questões tratadas pelos engenheiros e administradores cujas decisões serão tomadas com base, entre outras, nas técnicas de Engenharia Econômica. A análise prévia dos investimentos permite que se racionalize a utilização dos recursos de capital. Para a solução de um problema de análise de investimentos, dentro da complexidade do mundo atual, é necessário o conhecimento de técnicas especiais estudadas em uma disciplina conhecida por Engenharia Econômica. As técnicas da Engenharia Econômica baseiam-se na ciência exata chamada Matemática Financeira, que por sua vez descreve as relações do binômio Tempo e Dinheiro. 1.2 Premissas e princípios Todas as decisões são tomadas a partir de alternativas. Não havendo alternativas não há decisão a tomar. É necessário um denominador comum, (a rentabilidade comum, por exemplo) a fim de tornar as consequências mensuráveis. Não é possível misturar ordens. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 2
  3. 3. Apenas as diferenças entre alternativas são relevantes. As alternativas competem entre si. São mutuamente excludentes. Os critérios para decisões de investimento devem reconhecer o valor do dinheiro no tempo e os problemas relativos ao racionamento de capital. As avaliações de engenharia econômica servem para decisões voltadas para o futuro. 1.3 Custo de oportunidade A diferença de valores entre duas taxas de juros, provindas de alternativas econômicas diferentes de investimento, constitui, para a alternativa aceita e de menor valor, uma taxa de juros chamada de custo de oportunidade. Admitindo que os bancos pagam 20% ao ano juros, manter uma quantia qualquer de dinheiro sem investí-lo incorre-se num custo de oportunidade de 20% ao ano que este dinheiro deixa de render. Se existir uma outra oportunidade de investimento que renda 50% ao ano, o custo de oportunidade de manter o dinheiro sem investí-lo será de 50%, e de por o dinheiro no banco será de 30%. O custo de oportunidade é um conceito relativo e depende das possibilidades de investimentos existentes. Constitui o que se “paga” por não se preferir a oportunidade de maior rendimento. 1.4 Juros : conceito e modalidades Diferentes fatores de produção e respectivas formas de remuneração Trabalho  Salário Terra  Aluguel Capacidade administrativa  Lucro Tecnologia  Royalties Capital  Juros Os juros são portanto o custo do capital, mais especificamente os juros correspondem ao pagamento pela oportunidade de dispor de um capital durante um determinado tempo. Exemplos de algumas transações que envolvem juros : - compras à crédito - cheques especiais - compra de casa própria Todas as transações que envolvem dinheiro devem ser analisadas considerando-se juros envolvidos explicitamente ou implicitamente. Uma compra à vista também é analisada considerando-se juros. O juro, que representa o rendimento em troca do uso do dinheiro por certo tempo, é o elemento básico para a ligação entre valores em um ponto de tempo e outro. A taxa de juros representa o percentual do capital inicial a ser pago na forma de juros no final do período do qual a taxa se refere. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 3
  4. 4. 1.5 A variável tempo Quando situações econômicas são investigadas, as quantidades de dinheiro envolvidas são sempre relacionadas com um fator indispensável e incontrolável, o tempo. Todas as quantias de dinheiro serão referidas à uma data e somente poderão ser transferidas para uma outra data considerando os juros envolvidos nesta transferência. Assim, será impossível somar ou subtrair quantias de dinheiro que não se referirem à mesma data. 2. Taxa de Juros O capital inicialmente investido, denominado principal, pode crescer devido aos juros segundo duas modalidades: juros simples ou juros compostos. 2.1. Juros simples Quando são cobrados juros simples apenas o principal rende juros. Os juros são diretamente proporcionais ao capital (emprestado ou aplicado). J = i P n onde : P = principal ou capital na data de hoje; (Va ou Vo) i = taxa de juros n = número de períodos de juros Os juros obtidos aumentam linearmente. O montante F (Vf ) que uma pessoa que obtenha um empréstimo deverá devolver, ao fim de n períodos será : F = P + J = P + iPn  F = P ( 1 + in) 2.2. Juros compostos Após cada período de capitalização, os juros são incorporados ao principal e passam a render juros também. Após cada mês (período de capitalização) os juros são somados à divida anterior, e passam a render juros no mês seguinte. Tudo se passa como se cada mês o empréstimo fosse renovado ( no valor do principal mais os juros relativos ao mês anterior. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 4
  5. 5. Após o 1° período : F1 = P ( 1 + i ) Após o 2° período : F2 = F1 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )2 Após o 3° período : F3 = F2 ( 1 + i ) = P ( 1 + i )3 Após o n-ésimo período Fn = P ( 1 + i )n 2.3. Comparação entre juros simples e juros compostos Exemplo : Supondo R$100 emprestados a uma taxa de 5% ao mês. O quadro a seguir mostra a evolução de R$100 a juros de 5% ao mês durante um ano. No caso de juros simples 5% ao mês correspondem a 60% ao ano (a.a.), ou seja taxas proporcionais. Em juros compostos temos 5% ao mês correspondendo a 79,5856% ao ano. Mês Montante juros simples Montante juros compostos 0 100 100 1 100+0,05x100 = 105 100+0,05x100 = 105 2 105+0,05x100 = 110 105+0,05x105 = 110,25 3 110+0,05x100 = 115 110,25+0,05x110,25 = 115,76 . . 12 = 160 = 179,5856 3. Fluxo de caixa e simbologia A visualização de um problema envolvendo receitas e despesas que ocorrem em instantes diferentes do tempo é bastante facilitada por uma representação gráfica simples chamada diagrama de fluxo de caixa. 2000 2000 0 1 2 3 4 5 3000 A representação do fluxo de caixa de um projeto consiste em uma escala horizontal onde são marcados os períodos de tempo e na qual são representadas com setas para cima os recebimentos e com setas para baixo os desembolsos de capital. A unidade de tempo deve coincidir com o período de capitalização de juros considerado. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 5
  6. 6. 4. Relações de equivalência Conforme visto anteriormente, pode-se definir juros como o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado ou como a remuneração do capital empregado em investimentos ou em atividade produtivas. A noção de equivalência está intimamente relacionada à taxa de juros. Considere o plano de empréstimo tomado de um banco que cobra 3% de juros ao mês. Nessas condições, um empréstimo de R$100 pode ser pago em dois meses por um dos seguintes planos: Plano Valor pago período 0 Valor pago período 1 (R$) Valor pago período 2 (R$) I 0,00 3,00 103,00 II 0,00 0,00 106,09 III 0,00 52,261 52,261 IV 5,74 0,00 100,00 Todos os planos baseiam-se em juros compostos de 3% ao mês. Apesar de envolverem pagamentos de magnitude diferente em instantes de tempo diferentes, os planos possuem dois pontos em comum: juros de 3% ao mês, débito igual a zero no fim do segundo período. Conclui-se que os planos são equivalentes a R$100,00 na data inicial (t = 0), a juros de 3% ao mês, porque pagam exatamente o empréstimo feito. O exemplo acima mostra que quando se lida com quantias monetárias, alem do valor numérico, interessa também o instante em que tais quantias serão pagas ou recebidas. 4.1. Relação entre valor presente P(Vp, Vo ou Va) e valor futuro F (Vf) A transformação de um valor presente em um montante e vice e versa permite resolver problemas do tipo : - qual valor que deverá ser investido hoje a uma determinada taxa de juros para se obter uma quantia F após um certo tempo ? - investindo hoje uma quantia P a uma taxa de juros, qual a quantia F obtida após n períodos ? Admitindo que uma quantia P tenha sido emprestada. Após o primeiro período de capitalização, a dívida será : principal + juros = P + i P = P( 1 + i ) ao final do segundo período teremos : dívida anterior + juros = P( 1 + i ) + i P( 1 + i ) = P( 1 + i )2 ao final do terceiro período teremos : dívida anterior + juros = P( 1 + i )2 + iP( 1 + i )2 = P( 1 + i )3 generalizando temos : PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 6
  7. 7. F = P( 1 + i )n Se for desejado achar P a partir de F : P = F !n (1+i) 4.2. Série uniforme A série uniforme é definida como sendo uma série de valores constantes (desembolsos ou recebimentos) que se inicia no período 1 e termina no período n. - Relação entre valor atual e série uniforme Achar o valor presente de uma série uniforme e vice-versa. Isto permitirá resolver problemas de determinação de prestações mensais P = U + U + U + ... + U , (1+i) (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n P = U n (1+i) !1 i n (1+i) ou P = U ( P/U ; i ; n) U = P i n (1+i) [(i) n 1+!1] - Relação entre valor futuro e série uniforme Obtenção de um montante a partir de uma série uniforme de pagamentos, e vice-versa. Um exemplo é o caso de depósitos programados para uma retirada futura. F = U(1+ i)n-1 + U(1+ i)n-2 + U(1+ i)n- 3 + ... + U(1+i) + U F = U [ 1 + (1+i) + ... + (1+i)n-2 + (1+i)n-1] F = U n (1+i) !1 i U = F i [(i) n 1+!1] PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 7
  8. 8. 4.3. Série gradiente uniforme A série gradiente uniforme G é definida como sendo uma série de pagamentos (ou recebimentos) G, 2G, ....( n - 1)G, que se inicia no período 2 e termina no período n. Relaçôes de equivalência envolvendo séries gradiente uniforme U = G [(i) n 1+!1 ! ni] [(1+i) !1] i n P = G [(i) n 1+!1 ! ni] [ (i) n 2 i 1+] F = G [(i) n 1+!1 ! ni] 2 i 5. Considerações sobre taxas de juros 5.1. Taxa nominal e taxa efetiva A taxa de juros contratada em uma operação financeira chama-se taxa nominal. Essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva que é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente. Isto acontece em razão de existirem obrigações, taxas, impostos ou comissões que comprometem os rendimentos ou oneram os pagamentos de juros. Critérios diferentes para o cálculo de juros também fazem a taxa nominal diferir da efetiva, como por exemplo juros cobrados antecipadamente ou calculados sobre um total que na realidade é pago em parcelas. Esses e outros artifícios às vêzes são usados conscientemente para mascarar a taxa efetiva e fazer os juros parecerem maiores ou menores conforme a conveniência. Seja uma taxa de juros de 1% ao mês. Ao se determinar a correspondente taxa anual, pode-se chegar a resultados distintos conforme se considere juros simples ou compostos. Tomando-se juros simples, seria 12% a taxa anual equivalente à taxa mensal de 1%. Esta taxa anual é chamada de taxa nominal de juros. Tomando-se agora juros compostos, a taxa anual seria 12,7%, chamada de taxa efetiva de juros. No primeiro caso, foi feita uma soma simples da taxa mensal, não incidindo portanto juros sobre juros, enquanto que, no segundo caso, a taxa mensal foi capitalizada, isto é, a cada mês a taxa mensal incide sobre a do mês anterior. Matematicamente, chamando de i a taxa efetiva anual e r a taxa nominal anual, a partir de uma taxa i’ por período de capitalização e m períodos de capitalização durante o ano : r = i’ x m ou i’ = r/m PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 8
  9. 9. Portanto a taxa nominal é obtida pela simples multiplicação da taxa por período pelo número de períodos. Cada capitalização se dá a uma taxa i’ = r/m e há m capitalizações ao ano. Supondo um capital inicial de $ 1,00 teremos Período Capital no início do período Juros durante o período Capital no final do período 1 1 1xr/m 1 + r/m 2 1 + r/m (1 + r/m) x r/m (1 + r/m)2 3 (1 + r/m)2 (1 + r/m)2 x r/m (1 + r/m)3 m (1 + r/m)m-1 (1 + r/m)m-1 x r/m (1 + r/m)m Portanto a taxa efetiva anual i é obtida por: 1 + i = (1 + r/m)m i = (1 + r/m)m - 1 Se um título rende 36% ao ano é dito que o mesmo rende 3% ao mês, o que é incorreto. Para que a taxa de juros seja considerada efetiva é necessário que o período referido na taxa coincida com o período de capitalização, caso contrário a taxa será dita nominal. Até aqui foram consideradas apenas taxas efetivas. Exemplos de taxas nominais :  40% ao ano com capitalização mensal  5% ao mês com capitalização anual 5.2. Conversão de uma taxa Nominal em Efetiva Seja uma taxa nominal r capitalizada m vezes por período. Será determinada a taxa equivalente i por período. Seja ainda P uma quantia emprestada a taxa r. O montante F formado após um período é : F = P( 1 + r/m )m = P ( 1 + i )1 , donde, ( 1 + i )1 = ( 1 + r/m )m ou seja, o montante poderá ser calculado por qualquer uma das taxas, nominal ou efetiva; Simplificando tem-se : i = ( 1 + r/m )m - 1 6. Taxa mínima de atratividade (taxa de expectativa; taxa de equivalência) • Ao fazer um investimento, comparamos os prováveis dividendos por ele proporcionados com os de outros investimentos disponíveis. • A taxa de juros que o dinheiro investido irá proporcionar deverá ser superior a uma taxa prefixada, com a qual fazemos a comparação. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 9
  10. 10. Tal taxa de juros comparativa e prefixada é chamada : TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE Exemplo Um investimento de $50.000 proporciona por 10 anos, valores uniformes de $15.000; podemos examinar tal oferta sob a seguinte questão : Qual seria a mínima taxa de juros comparativa para considerarmos interessante o investimento proposto ? Imaginemos que tal taxa seja de 20% a.a. Esta taxa passaria a ser a Taxa Mínima de Atratividade O investimento analisado daria os seguintes valores uniformes : U = 50.000 (U/P; 20%; 10) U = 50.000 x 0,239 U = 11.950 Como os dividendos oferecidos são de $15.000, maiores que $12.000 concluímos ser interessante o investimento proposto por oferecer dividendos maiores que os da taxa mínima de atratividade. 7. Taxa interna de retorno - TIR A TIR de um fluxo de caixa é a taxa para a qual o valor presente é nulo. Exemplo : É feito um investimento de $1.000 que renderá $200 por ano durante 6 anos. Qual a TIR deste investimento ? P = -1.000 + 200(P/U; i%; n) (P/U; i%; n) = 5 Verificando nas tabelas, os valores mais próximos a 5 para (P/A; i%; 6) correspondem às taxas de 5,4 e 5,5% Frequentemente, a taxa TIR só pode ser encontrada por tentativas. Como regra geral : 1) arbitra-se uma taxa e calcula-se o valor presente do fluxo de caixa; 2) sendo o valor presente positivo, aumenta-se o valor da taxa e recalcula-se; sendo negativo, diminui-se o valor da taxa 3) repete-se o passo anterior até que se chegue a um valor próximo de zero. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 10
  11. 11. 8. Inflação Não abordaremos nenhuma análise sobre a inflação nem qualquer teoria objetivando seu combate. Trataremos apenas de assuntos resultantes de sua existência. De uma forma geral, nos estudos apresentados, foram considerados condições estáveis da moeda. Geralmente, os estudos são feitos em condições estáveis da moeda, por não ser possível prever com exatidão, condições futuras das contribuições de um Fluxo de Caixa, sob influência da inflação. Os acertos reais dos valores, relativos a duas épocas, referidos em condições estáveis da moeda, são realizados com o auxílio de índices de referência. Tais índices expressam situações em várias épocas relacionadas a uma espécie enunciada, por meio dos quais pode-se atualizar os valores das épocas de espécie referida. Conforme a espécie referida, poderíamos ter : índices de preços ao consumidor, índices de preços por atacado, índice geral de preços, etc.. 8.1. Inflação e Juros Quando um compromisso está sujeito à inflação (correção monetária, que visa tornar o valor do compromisso, corrigido monetariamente, de acordo com determinado índice. Um investimento de $1.000 por um ano num empreendimento que paga 6% ao ano e mais a correção monetária devido a inflação. Se ao fim de um ano a inflação for de f = 35%, $1.000 ao fim de um ano vale menos (em poder aquisitivo), vale : $1.000/(1+0,35) o empreendimento paga ao fim de um ano $1.000(1+0,06)(1+0,35), inclui a correção monetária o poder aquisitivo é : 1.000 (1+0,06)(1+0,35) = 1.000(1+0,06) (1+0,35) É possível raciocinar com o dinheiro a valor constante (em termos de poder aquisitivo) Pressuposto : todos os preços, custos, contratos, etc., sejam reajustados no fim de cada período de exatamente o valor da correção monetária que compensa a inflação. Caso contrário : proceder às análises com juros totais (inclusive a inflação) j e valores monetários. Ao comprar um imóvel com parcelas de dinheiro com correção monetária significa que as mudanças nas parcelas consideradas entre os períodos t e t-1 são tais que Pt = Pt-1 ( 1 + f ) , onde f é o valor de correção monetária PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 11
  12. 12. considerando um processo que paga juros i mais correção monetária f sobre um capital K, o montante correspondente (juros + correção monetária) ao fim de um período é : K( 1 + j ) = K ( 1 + i ) ( 1 + f ) = K ( 1+ i + f + i f ) Ao considerar o fator j = ( i + f ) estaremos cometendo um erro, principalmente se i e f forem valores elevados. 9. Amortização : Cálculo do Saldo Devedor Análise de sistemas de pagamento  pagamento uniforme (sistema PRICE)  amortização constante (sistema SAC) 9.1. Pagamento Uniforme – Sistema Price Pagamento uniforme ou método dos equivalentes uniformes anuais Ao pagar uma parcela de uma dívida, é interessante saber : - quanto corresponde aos juros sobre o saldo devedor - quanto corresponde à reposição do principal (capital inicial) Quando pagamos uma unuidade Am, a mesma se compõe de : - uma parcela correspondente aos juros Km sobre o saldo devedor - outra Km de reposição do capital Am = Km + Km para o período seguinte tem-se : Am+1 = Km+1 + Km+1 mas os pagamentos são uniformes Am = Am+1 Desta forma : Km - Km+1 = Km+1 - Km a diferença Km - Km+1 é igual ao juro da parcela do capital principal, reposta entre os tempos m e m+1 PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 12
  13. 13. ou seja, Km - Km+1 = i Km (onde i é a taxa de juros) Assim, Km+1 = Km + i Km = Km ( 1 + i ) As cotas de reposição do capital inicial aumentam em progressão geométrica, com razão ( 1 + i ) 9.2. Sistema de Amortização Constante A parcela de reposição do capital é constante Os juros são pagos no fim do período sobre o total do saldo devedor correspondente ao período As parcelas globais a pagar são decrescentes (não uniformes) 10. Análise de alternativas 10.1. Critérios econômicos para seleção de alternativas A Engenharia Econômica fornece critérios para tomada de decisão entre alternativas de investimentos. Os critérios levam em consideração fatores econômicos e o objetivo é a escolha da alternativa de maior rentabilidade, embora a meta do investidor possa não ser apenas esta. É importante destacar que a questão econômica não é o único fator a ser considerado na decisão final. Nem sempre as propostas de investimento mais rentáveis podem ser realizadas, normalmente devido as limitações dos recursos. A análise da disponibilidade destes, dos encargos financeiros assumidos, etc., deve ser feita paralelamente, o que é denominado análise Financeira dos Investimentos. Além disso, existem outros fatores que podem influir na avaliação final e que não podem ser reduzidos a valores monetários. São os chamados fatores imponderáveis. Sua avaliação tem caráter subjetivo e depende daqueles que têm a responsabilidade da decisão. Os métodos de comparação de alternativas de investimentobaseiam-se no princípio de equivalência. Isto pressupõe uma taxa de juros que será aplicada na avaliação de cada uma das alternativas. Resumidamente, serão apresentados três métodos de avaliação: método do valor atual, método do equivalente uniforme e da taxa de retorno. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 13
  14. 14. 10.2. Método do Valor Atual ou Valor Presente No método do Valor Atual calcula-se o valor do fluxo de caixa, com o uso de uma taxa de juros, normalmente a taxa minima de atratividade. Sendo o valor atual positivo, a proposta de investimento é atrativa. No caso de duas ou mais propostas, escolhe-se a de maior valor atual. Sejam as alternativas I e II 500 600 500 550 400 550 450 550 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1000 1200 alternativa I alternativa II A alternativa I da figura acima é sempre melhor que a alternativa II; a cada período seus valores são sempre superiores. Vejamos agora as alternativas III e IV 200 500 300 1000 200 300 600 1000 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 1000 1000 alternativa III alternativa IV No segundo caso (alternativas III e IV), a análise entre as alternativas já não é tão simples. A simples somatória das parcelas é inviável.  $ 500 no período 2 vale mais ou menos que uma parcela de $ 600 no período 3 ? O método do Valor Atual consiste em « transportar » todos os valores para o ponto t = 0. Dadas diversas alternativas, é possível calcular os valores atuais equivalentes, às séries correspondentes e compará-los para decidir qual a melhor. É importante observar que ao se investir uma quantia exatamente a taxa de atratividade, o valor presente do projeto sera nulo. Um valor atual positivo indica que está investindo a uma taxa PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 14
  15. 15. superior à taxa de atratividade. Ou seja, as quantias futuras, descontadas à taxa mínima de atratividade, superam o investimento inicial necessário. O inverso ocorre para valores presentes negativos o que significa que se está investindo mais do que se irá obter. 10.3. Alternativas com durações desiguais A engenharia econômica compara sempre alternativas que devem apresentar durações iguais, o que nem sempre ocorre na realidade. Para transpor essa dificuldade podemos empregar um artifício para que seja possível a comparação das alternativas com durações diferentes. Trata-se da adoção de uma duração final comum a todas as alternativas. Adota-se o Mínimo múltiplo comum das duas (ou mais) durações e emprega-se o Método do Valor Atual normalmente, comparando-se as diferentes alternativas para chegar à melhor escolha em termos econômicos. 10.4. Método do Equivalente Uniforme Periodico ou Anual A comparação entre as alternativas de investimento pelo método do Equivalente Uniforme Periódico ou Anual é feita reduzindo-se o fluxo de caixa de cada alternativa a uma série uniforme, com o uso de uma taxa de juros específica (taxa mínima de atratividade). Os valores obtidos são confrontados, permitindo a tomada de decisão. Seja um investimento no qual obtemos uma série de valores diferentes. Podemos transformar estes valores diferentes em valores uniformes iguais.  Facilidade de análise transformar todos os valores de cada alternativa em uma série equivalente uniforme de mesma duração e comparar os elementos das séries em princípio, para cada alternativa uma duração igual ao mínimo múltiplo comum (repetição dos ciclos) Observa-se : o equivalente uniforme de cada alternativa com duração igual ao m.m.c. conincidirá com o equivalente uniforme de cada alternativa com duração igual a apenas um ciclo Neste caso não há necessidade de determinar o mínimo múltiplo comum das duas alternativas. Resolve-se diretamente, calculando-se o equivalente uniforme, mesmo com durações desiguais O princípio da Engenharia Econômica de comparar sempre alternativas com durações desiguais continua sendo respeitado. Continua em vigor a consideração da repetitividade dos ciclos. PRO 2303 - Notas de aula prof. FAUSTO 15

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