Este capítulo discute aspectos matemáticos das equações de conservação. Apresenta as equações de conservação da massa, quantidade de movimento e energia em forma vetorial e escalar. Explica que as equações podem ser classificadas como elípticas, parabólicas ou hiperbólicas dependendo da propagação da informação, e que esta classificação é importante para a solução computacional.

1. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Capítulo 2
Aspectos matemáticos das
equações de conservação

2. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Aspectos matemáticos das equações de
conservação
●
O conjunto de equações a ser resolvido deve
– representar adequadamente o problema físico
– poder ser resolvido com tempos de processamento não proibitivos

3. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Nível em que os balanços de
conservação são efetuados
Informações necessárias
Tipo de equação
Convervação para cada molécula Massa molecular, leis de troca de Q.M.,
camos de forças: elétricos, magnéticos, etc.
Equação para cada
molécula
Balanços onde
Propriedades refletindo o comportamento
molecular
Conjunto de equações
diferenciais parciais
Balanços onde
Fornecer r, m, k, etc, e as tensões de
Reynolds, relações de transferência de calor
e massa turbulenta
Conjunto de equações
diferenciais parciais
Balanços onde volume de
controle coincide com o domínio
de solução em alguma(s)
direção(ões)
Fornecer as condições de contorno nas
direções onde o volume de controle coincide
com o domínio de solução
Equações diferenciais
parciais, ordinárias ou
algébricas
Níveis de formulação para os modelos
t = tempo
tm
= tempo entre colisões moleculares
tt
= escala de tempo de turbulência
L = comprimento
Lm
= Livre caminho médio entre as moléculas
tt
= escala de comprimento de turbulência
∀≪Lm
3
{tm≪t≪tt
Lm≪L≪Lt
{t≫tt
L≫Lt

4. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Equações de conservação
●
Serão apresentadas somente as equações utilizadas
neste curso
●
Não será apresentada a dedução das mesmas
●
Hipóteses
– escoamento incompressível
– propriedades físicas constantes;

5. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Equações de conservação
●
Conservação da massa
– forma vetorial
– forma escalar
∇⋅(r ⃗
V )=0
∂(ru)
∂ x
+
∂(rv)
∂ y
+
∂(rw)
∂ z
=0

6. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Equações de conservação
●
Conservação da quantidade de movimento
– forma vetorial
– forma escalar
∂(r ⃗
V )
∂t
+(∇⋅r ⃗
V ) ⃗
V =−∇ p+∇ (m ∇⋅⃗
V )+S
V
∂(rv)
∂t
+
∂(ru v)
∂ x
+
∂(rv v)
∂ y
+
∂(rw v)
∂ z
=−
∂ p
∂ y
+ ∂
∂ x (m
∂v
∂ x )+ ∂
∂ y (m
∂v
∂ y )+ ∂
∂ z (m
∂v
∂ z )+S
v
∂(ru)
∂t
+
∂(ruu)
∂ x
+
∂(rv u)
∂ y
+
∂(rw u)
∂ z
=−
∂ p
∂ x
+ ∂
∂ x (m
∂u
∂ x )+ ∂
∂ y (m
∂u
∂ y )+ ∂
∂ z (m
∂ u
∂ z )+S
u
∂(r w)
∂t
+
∂(ruw)
∂ x
+
∂(r v w)
∂ y
+
∂(rw w)
∂ z
=−
∂ p
∂ z
+ ∂
∂ x (m
∂ w
∂ x )+ ∂
∂ y (m
∂w
∂ y )+ ∂
∂ z (m
∂w
∂ z )+S
w

7. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Equações de conservação
●
Conservação da energia
– forma vetorial
– forma escalar
DT
Dt
=∇⋅(k
c
∇ T )+ST
∂(rT )
∂t
+
∂(ruT )
∂ x
+
∂(rv T )
∂ y
+
∂(r wT )
∂ z
= ∂
∂ x (k
c
∂T
∂ x )+ ∂
∂ y (k
c
∂T
∂ y )+ ∂
∂ z (k
c
∂ z
∂ z )+S
T

8. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
∂(ru)
∂ x
+
∂(rv)
∂ y
+
∂(rw)
∂ z
=0
∂(rv)
∂t
+
∂(ru v)
∂ x
+
∂(rv v)
∂ y
+
∂(rw v)
∂ z
= ∂
∂ x (m
∂v
∂ x )+ ∂
∂ y (m
∂v
∂ y )+ ∂
∂ z (m
∂v
∂ z )+−
∂ p
∂ y
+S
v
∂(ru)
∂t
+
∂(ruu)
∂ x
+
∂(rv u)
∂ y
+
∂(rw u)
∂ z
= ∂
∂ x (m
∂u
∂ x )+ ∂
∂ y (m
∂u
∂ y )+ ∂
∂ z (m
∂ u
∂ z )+−
∂ p
∂ x
+S
u
∂(r w)
∂t
+
∂(ruw)
∂ x
+
∂(r v w)
∂ y
+
∂(rw w)
∂ z
= ∂
∂ x (m
∂ w
∂ x )+ ∂
∂ y (m
∂w
∂ y )+ ∂
∂ z (m
∂w
∂ z )+−
∂ p
∂w
+S
w
∂(rT )
∂t
+
∂(ruT )
∂ x
+
∂(rv T )
∂ y
+
∂(r wT )
∂ z
= ∂
∂ x (k
c
∂T
∂ x )+ ∂
∂ y (k
c
∂T
∂ y )+ ∂
∂ z (k
c
∂T
∂ z )+S
T
∂(rϕ)
∂t
+
∂(ru ϕ)
∂ x
+
∂(r v ϕ)
∂ y
+
∂(r w ϕ)
∂ z
= ∂
∂ x (Γ
∂ϕ
∂ x ) ∂
∂ y (Γ
∂ϕ
∂ y )+ ∂
∂ z (Γ
∂ ϕ
∂ z )+S
ϕ
Forma geral
Equações de conservação

9. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Equações de conservação
●
Note que as equações de conservação podem ser
escritas na forma
∂(rϕ)
∂t
⏟
termo transiente
+
∂(ru ϕ)
∂ x
+
∂(rv ϕ)
∂ y
+
∂(rw ϕ)
∂ z
⏟
termo advectivo
=Γ
∂
2
ϕ
∂ x
2
+Γ
∂
2
ϕ
∂ y
2
+Γ
∂
2
ϕ
∂ z
2
⏟
termo difusivo
+ S
ϕ
⏟
termo fonte
Equação ϕ Γ Sϕ
Massa 1 0 0
Quantidade de movimento em x u m - ∂p/∂x + su
Quantidade de movimento em y v m - ∂p/∂y + sv
Quantidade de movimento em z w m - ∂p/∂z + sw
Energia T k/c sT

10. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação

11. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos

12. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
Problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos
●
O interesse aqui está nos aspectos físicos desta
classificação.
– Busca-se obter vantagens na solução quanto ao tempo de
processamento e o armazenamento de variáveis.
– Normalmente estão sendo resolvidos sistemas de equações
diferencias, assim que é necessário observar a característica de
cada equação.
●
Um mesmo problema pode ser parabólico no tempo e
elíptico no espaço.

13. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
●
Problemas elípticos
– A informação se transmite em todas as direções
– Exemplo: difusão de calor
– Note que os termos difusivos são de segunda ordem
●
2 condições de contorno em cada direção
Problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos
∂2
T
∂ x2
+
∂2
T
∂ y2
=0
x
Fonte de calor
calor
calor

14. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
●
Problemas parabólicos
– Permite um procedimento de marcha na solução do problema
– São necessárias duas condições de contorno em x e uma condição inicial
– Exemplo:
●
condução transiente
– Vantagem computacional:
●
armazenamento das variáveis apenas em duas estações: a de cálculo e a
montante
●
a solução é um conjunto de soluções unidimensionais independentes que
avançam no tempo
Problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos
∂T
∂t
=α
∂2
T
∂ x2

15. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
●
Problemas hiperbólicos
– Permite um procedimento de marcha na solução do problema
– São necessárias duas condições de contorno em x e duas condições
iniciais
– Exemplo:
●
problemas de vibração
– Vantagem computacional:
●
armazenamento das variáveis apenas em duas estações: a de cálculo
e a montante
●
a solução é um conjunto de soluções unidimensionais independentes
Problemas elípticos, parabólicos e hiperbólicos
∂2
ϕ
∂t2
=c
∂2
ϕ
∂ x2

16. Capítulo 2 - Aspectos matemáticos das equações de conservação
FIM