Teoria das Probabilidades em 500 anos

13/01/2021
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Teoria das Probabilidades
Estatística
Estatística - Luís Moreira - luis.moreira@gaia.ipiaget.pt
O Início das Probabilidades
✤ A abordagem matemática do acaso, do azar e do risco só se iniciou há
pouco mais de 500 anos.
✤ A disciplina que assim foi constituída, a Teoria das Probabilidades,
nasceu das tentativas de quantificação dos riscos dos seguros e de
avaliar as possibilidades de se ganhar em jogos de azar.
✤ O termo acaso, ou mais propriamente o termo azar, não significa
aqui má sorte ou má fortuna; a palavra azar vem do árabe e
significa exatamente “acaso”.
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✤ Girolamo Cardano foi o primeiro a
introduzir técnicas combinatórias para
calcular a quantidade de possibilidades
favoráveis num evento aleatório.
✤ Resolveu vários problemas numéricos, mas
nunca chegou a produzir nenhum teorema. Girolamo Cardano
(1501-1576)
✤ Podemos considerar Blaise Pascal e Pierre
de Fermat como sendo os fundadores do
Cálculo das Probabilidades.
✤ O primeiro grande problema das Probabilidades foi
proposto a Pascal por Antoine Gombaud, um
jogador profissional conhecido por Cavaleiro de
Méré, na corte dos reis de França onde a nobreza se
divertia, entre outras atividades, a jogar.
Blaise Pascal
(1623-1662)
Pierre de Fermat
(1601-1665)
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Objetivo Geral
✤ “Modelizar fenómenos ou processos nos quais interfere o acaso.”
(Guimarães & Cabral, 1999)
✤ “Encontrar modelos de realização para fenómenos que surgem do
acaso e que, por isso, à partida, seriam imprevisíveis. O objetivo será,
através desses modelos, tornar estes fenómenos, sob certas condições,
preditíveis.” (Maroco & Bispo, 2003)
Experiência Aleatória
✤ Designa uma situação à qual estejam associados, de forma não
controlada, dois ou mais resultados possíveis.
Exemplo:
No lançamento de um dado, os resultados {1, 2, 3, 4, 5, 6} são
aleatórios.
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Espaço Amostral
✤ Conjunto de todos os resultados possíveis de uma experiência
aleatória.
Exemplo:
No lançamento de um dado, o espaço amostral corresponde ao
conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Espaços Amostrais
Discretos
Elementos numeráveis
Discretos
Elementos numeráveis
Contínuos
Elementos não numeráveis
Contínuos
Elementos não numeráveis
Finitos
Finitos
Infinitos
Infinitos
Lançamento, uma vez, de
um dado.
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Lançamento sucessivo de um
dado até sair o número 5.
S={1, 2, 3, ...}
Medição dos atrasos
possíveis de um comboio.
S=[0, +∞ [
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Acontecimento
✤ Subconjunto do espaço amostral.
Exemplo:
Considere-se o espaço amostral constituído pelas sequências de
C’s e K’s, obtidas em três lançamentos de uma moeda.
CCC
KKK
CCK
CKK
CKC
KKC
KCK
KCC
A1: saída de 2 e só 2 K’s
A2: saída de 3 C’s
A1
A1
A2
A2
S
S
Acontecimentos
✤ Acontecimento Simples: contém apenas um resultado do Espaço
Amostral;
✤ Acontecimento Composto: contém mais do que um resultado;
✤ Acontecimento Certo: contém todos os elementos de um Espaço
Amostral;
✤ Acontecimento Impossível: não contém qualquer elemento do Espaço
Amostral (conjunto vazio).
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Operações com Conjuntos
S
S


✤ Reunião de A com B
✤ Conjunto constituído por todos os elementos pertencentes a A ou a B.
S
S


✤ Interseção de A com B
✤ Conjunto constituído por todos os elementos pertencentes a A e a B.
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S
S
✤ Complementar de A (em S)
✤ Conjunto constituído por todos os elementos do espaço amostral que não
pertencem a A.


𝐀
Probabilidade
✤ Definição Clássica de Probabilidade
✤ Se uma experiência aleatória tiver N resultados mutuamente
exclusivos e igualmente prováveis, e se um acontecimento A
contiver NA desses resultados (NA ≤ N), então a probabilidade do
acontecimento A é dada por:
A probabilidade de um acontecimento A é a razão entre o número de resultados
(ou casos) favoráveis (à ocorrência de A) e o número de resultados possíveis.
Observação:
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Probabilidade
✤ Limitações da Definição Clássica de Probabilidade:
✤ A definição clássica de probabilidade tem uma limitação que
deriva do pressuposto de que o número de resultados possíveis
associados a cada experiência aleatória é finito;
✤ Com base nesta definição, não é possível, por exemplo, calcular a
probabilidade de que um ponto selecionado ao acaso a partir de
uma região (por exemplo, de um círculo) se localize numa
determinada sub-região incluída nesse círculo.
Probabilidade
✤ Definição Geométrica de Probabilidade
✤ Designe-se por med uma medida de dimensão (comprimento, área,
volume) de uma região qualquer incluída num espaço amostral
contínuo (S) de uma experiência aleatória. De acordo com a
definição geométrica, a probabilidade de que um ponto selecionado
ao acaso a partir de S se localize na região A nele incluída é dada
pela razão:
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Probabilidade
✤ Exemplo de aplicação da Definição Geométrica
✤ A probabilidade de que um ponto ao acaso a partir de um
quadrado (Q) se localize no círculo (C) nele inscrito (admitindo que
o raio é r) é dado por:
C
Q
r
Probabilidade
✤ Limitações...
✤ As definições clássica e geométrica não podem ser utilizadas no
cálculo da probabilidade de acontecimentos associados à realização
da maioria das experiências com interesse prático, às quais a
simetria e a equiprobabilidade dos resultados não se aplica.
✤ Podemos ultrapassar estas limitações com a interpretação
frequencista de probabilidade.
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Probabilidade
✤ Definição Frequencista de Probabilidade
✤ A probabilidade do acontecimento define-se como o limite, quando
N tende para infinito, da frequência relativa de ocorrência do
acontecimento A.
✤ Em notação simbólica podemos escrever:
Probabilidade
✤ Definição Axiomática de Probabilidade
✤ Consiste em definir a probabilidade matemática com base num
conjunto de regras - ou axiomas - que esta deve satisfazer.
A definição axiomática de probabilidade permite romper o raciocínio circular
patente na definição clássica, na qual se inclui o definido na própria definição,
nomeadamente pela referência a um conjunto de resultados “igualmente
prováveis”. Isto é, utiliza-se a expressão “provável” na definição de
probabilidade.
Observação:
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Axiomas
✤ Axioma 1
✤ Para qualquer acontecimento A, a probabilidade desse
acontecimento satisfaz a seguinte relação: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
✤ Axioma 2
✤ A probabilidade associada ao acontecimento certo (S) é P(S) = 1.
✤ Axioma 3
✤ Se dois acontecimentos A e B, forem mutuamente exclusivos, então
P(AB) = P(A) + P(B).
Algumas Propriedades
✤ Para qualquer acontecimento A, P(A) + P(𝐀) = 1
✤ A probabilidade associada ao acontecimento impossível é dada por
P() = 0.
✤ Para quaisquer dois acontecimentos A e B, verifica-se a seguinte
relação: P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB).
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Estatística - Luís Moreira - lmoreira@gaia.ipiaget.org
Bibliografia
✤ Daly, L., & Bourke, G. (2000). Interpretação e Aplicações da Estatística em
Medicina. Lisboa: Instituto Piaget
✤ Guimarães, R., & Cabral, J. (1999). Estatística. Lisboa: McGraw-Hill
✤ Maroco, J., & Bispo, R. (2003). Estatística aplicada às ciências sociais e
humanas. Lisboa: CLIMEPSI
✤ Petrie, A., & Sabin, C. (2000). Compêndio de Estatística Médica. Lisboa:
Instituto Piaget
✤ Pinto, G. (2002). Cálculo da Probabilidade. Lisboa: Instituto Piaget
✤ Reis, E. (1991). Estatística Descritiva. Lisboa: Silabo
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