RepSet-Matroid

Parameterized Algorithms using Matroids
Lecture II: Representative Sets
Saket Saurabh

The Institute of Mathematical Sciences, India

ASPAK, IMSc, March 3–8, 2014

Problems we would be interested in...
Vertex Cover
Input: A graph G = (V, E) and a positive integer k.
Parameter: k
Question: Does there exist a subset V 1 Ď V of size at most k such that for
every edge (u, v) P E either u P V 1 or v P V 1 ?
Hamiltonian Path
Input: A graph G = (V, E)
Question: Does there exist a path P in G that spans all the vertices?
Path
Input: A graph G = (V, E) and a positive integer k.
Parameter: k
Question: Does there exist a path P in G of length at least k?

Representative Sets
Why, What and How.

Ham-Path

Dynamic Programming for Hamiltonian Path

Ham-Path

.

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

Ham-Path

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

Ham-Path

.
vj

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

Ham-Path

.
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

v1

..
.
vj

..
.
vn

V[Paths of length i ending at vj ]

n

Ham-Path

.
Example:
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

v1

..
.
vj

..
.
vn


n

Ham-Path

.
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

v1

..
.
vj

..
.
vn

SETS, NOT SEQUENCES.


n

Ham-Path

.
Example:
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

v1

..
.
vj

..
.
vn



n

Ham-Path

.
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

v1

..
.
vj

..
.
vn


Two paths that use the same set of vertices but
visit them in different orders are equivalent.

Ham-Path

.
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

v1

..
.
vj


..
.

= V[Paths of length (i − 1) ending at u, avoiding vj .]

vn

Ham-Path

.
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

v1

..
.
vj


..
.


vn

u P N(vj )

Ham-Path

.
Valid:
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

v1

..
.
vj


..
.


vn

u P N(vj )

Ham-Path

.
Invalid:
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

v1

..
.
vj


..
.


vn

u P N(vj )

Ham-Path

.
vj

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨ n − 1

n

v1

..
.

Potentially storing

(n)
i

sets.

vj


..
.


vn

u P N(vj )

K-Path

Let us now turn to k-Path.

To ﬁnd paths of length at least k,
we may simply use the DP table for Hamiltonian Path
restricted to the ﬁrst k columns.

K-Path

.

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

v1

..
.
vj

..
.
vn

Worst case running time: O⋆

((n))
k

k

K-Path

.

1

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

v1

..
.
vj

..
.
vn

Worst case running time: O⋆ (nk )

k

Do we really need to store all these sets?


In the ith column, we are storing paths of length i.


Let P be a path of length k.


There may be several paths of length i that “latch on” to
the last (k − i) vertices of P.


There may be several paths of length i that “latch on” to
the last (k − i) vertices of P.
We need to store just one of them.

Example.
Suppose we have a path P on seven edges.

.

Example.
Suppose we have a path P on seven edges.
Consider it broken up into the ﬁrst four and the last three edges.

.

.

A Fixed Future (vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk ).

The Possibilities for Partial Solutions Compatible with vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk .
.


Let’s try a different example.

.

The Possibilities for Partial Solutions Compatible with vi+1 − ¨ ¨ ¨ − vk .

.


For any possible ending of length (k − i), we want to be sure that we store
at least one among the possibly many “preﬁxes”.


This could also be

(

)

n
k−i

.


This could also be

(

)

n
k−i

.

The hope for “saving” comes from the fact that a single path of length i is
potentially capable of being a preﬁx to several distinct endings.

Partial solutions: paths of length j ending at vi
.

.
A “small” representative family.

If:

.

If:
vi

.

j vertices

If:
vi
(k − j) vertices

.

j vertices

If:
vi
(k − j) vertices

.

Then:

j vertices

If:
vi
(k − j) vertices

.

We would like to store at least one path of length j
that serves the same purpose.

Then:

Given: A (BIG) family F of p-sized subsets of [n].

S1 , S2 , . . . , St


S1 , S2 , . . . , St

p
Want: A (small) subfamily F of F such that:


S1 , S2 , . . . , St

p
For any X Ď [n] of size (k − p),
if there is a set S in F such that X X S = H,
p p
p
then there is a set S in F such that X X S = H.
The “second half” of a solution — can be any subset.


S1 , S2 , . . . , St

p
p p
p
This is a valid patch into X.


S1 , S2 , . . . , St

p
p p
p
This is a guaranteed replacement for S.

Given: A ď

(n)
p

family F of p-sized subsets of [n].

S1 , S2 , . . . , St

p
p p
p
The “second half” of a solution — can be any subset.

Given: A ď

(n)
p

family F of p-sized subsets of [n].

S1 , S2 , . . . , St
(k)
p
Known: D p subfamily F of F such that:

p p
p
Bolobás, 1965.

Given: A a matroid (M, I), and a family of p-sized subsets from I:

S1 , S2 , . . . , St


S1 , S2 , . . . , St
p
Want: A subfamily F of F such that:


S1 , S2 , . . . , St
p
Want: A subfamily F of F such that:

For any X Ď [n] of size at most q,
if there is a set S in F such that X X S = H and X Y S P I,
p p
p
p
then there is a set S in F such that X X S = H and X Y S P I.
Lovász, 1977


S1 , S2 , . . . , St

p
There is a subfamily F of F of size at most

(p+q)
p

such that:

p p
p
p
Lovász, 1977


S1 , S2 , . . . , St

p
There is an efﬁciently computable subfamily F of F of size at most

(p+q)
p

such that:

p p
p
p
Márx (2009) and Fomin, Lokshtanov, Saurabh (2013)

Summary.

We have at hand a p-uniform collection of independent sets, F and a number q.
Let X be any set of size at most q. For any set S P F, if:
a X is disjoint from S, and
b X and S together form an independent set,
p
p
then a q-representative family F contains a set S that is:
a disjoint from X, and
b forms an independent set together with X.

Such a subfamily is called a q-representative family for the given family.

Representative Sets
Back to Why.

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

[RECALL]


((n))
k

k

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

[RECALL]
(n)
(( ))
Worst case running time: O⋆ n
k
k

k

.

1
v1

..
.

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

[RECALL]
(n)
(( ))
k
k

vj

..
.
vn

Representative Set Computation

k

.

1
v1

..
.

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

[RECALL]
(n)
(( ))
k
k

vj

..
.
vn


(k )
i

k

.

1
v1

..
.

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

Not so fast!
(n)
(( ))
k
k

vj

..
.
vn


(k )
i

k

.

1
v1

..
.

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

Not so fast!
(n)
(( ))
k is too big!
k

vj

..
.
vn


(k )
i

k

We are going to compute representative families at every intermediate stage of
the computation.

We are going to compute representative families at every intermediate stage of
the computation.

For instance, in the ith column, we are storing i-uniform families.
Before moving on to column (i + 1), we compute (k − i)-representative families.
This keeps the sizes small as we go along.

.

1
v1

..
.
vn

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL

..
.
vj

2

Blah blah.

((n))
k

n


(k)
i

k

.

1
v1

..
.
vn

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL

..
.
vj

2

(k )
n
1

Blah blah.

((n))
k


(k)
i

k

.

1

2

v1

..
.
vn

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL

..
.
vj

3

(k) (k)
n
1
1 n

Blah blah.

((n))
k


(k)
i

k

.

1

2

v1

..
.
vn

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL

..
.
vj

3

(k) ((k)
)
k
n
1
12 n

Blah blah.

((n))
k


(k)
i

k

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL
Blah blah.
(k) ((k) (k)
)
k
n
1
12 n
2 n

((n))
k


(k)
i

k

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL
Blah blah.
(k) ((k) ((k)
)
)
k
k
n
1
12 n
23 n

((n))
k


(k)
i

k

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL
Blah blah.
( k )
(k) ((k) ((k)
)
)
k
k
n
¨ ¨ ¨ i−1 n
1
12 n
23 n

((n))
k


(k)
i

k

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

RECALL
Blah blah.
( (k)
)
(k) ((k) ((k)
)
)
k
k
k
n
¨ ¨ ¨ i−1 n
1
12 n
23 n
i

((n))
k


(k)
i

k

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

k

RECALL
(( ))
Blah blah.
k
( (k)
)
(k) ((k) ((k)
)
)
k
k
k
n
¨ ¨ ¨ i−1 n
¨¨¨
1
12 n
23 n
i


(k)
i

2k n

.

1
v1

..
.
vj

..
.
vn

2

3

¨¨¨

i

¨¨¨

k−1

k

RECALL
(( ))
Blah blah.
k
( (k)
)
(k) ((k) ((k)
)
)
k
k
k
n
¨ ¨ ¨ i−1 n
¨¨¨
1
12 n
23 n
i


(k)
i

kn
22k

Let Pj be the set of all paths of length i ending at vj .
i
It can be shown that the families thus computed at the ith column, jth row are
j
indeed (k − i)-representative families for Pi .
The correctness is implicit in the notion of a representative family.

Representative Sets
A Diﬀerent Why.

Vertex Cover
Can you delete k vertices to kill all edges?
.

Let (G = (V, E), k) be an instance of Vertex Cover.
Note that E can be thought of as a 2-uniform family over the ground set V .

Let (G = (V, E), k) be an instance of Vertex Cover.
Note that E can be thought of as a 2-uniform family over the ground set V .

Goal: Kernelization.
In this context, we are asking if there is a small subset X of the edges such that
G[X] is a YES-instance ↔ G is a YES-instance.

Note: If G is a YES-instance, then G[X] is a YES-instance for any subset X Ď E.

We get one direction for free!

It is the NO-instances that we have to worry about preserving.

It is the NO-instances that we have to worry about preserving.
What is a NO-instance?

.

If G is a NO-instance:
For any subset S of size at most k,
there is an edge that is disjoint from S.

.

If G is a NO-instance:
For any subset S of size at most k,
there is an edge that is disjoint from S.

Ring a bell?

Recall.

We have at hand a p-uniform collection of independent sets, F and a number q.
Let X be any set of size at most q. For any set S P F, if:
a X is disjoint from S, and
b X and S together form an independent set,
p
then a q-representative family contains a set S that is:
a disjoint from X, and
b forms an independent set together with X.

Such a subfamily is called a q-representative family for the given family.

Claim: A k-representative family for E is in fact
an O(k2 ) kernel for vertex cover.

E(G) = {e1 ,.e2 , . . . , em }

Is there a Vertex Cover of size at most k?

E(G) = {e1 ,.e2 , . . . , em }

k-Representative Family


E(G) = {e1 ,.e2 , . . . , em }


{f1 , f2 , . . . , fr }


E(G) = {e1 ,.e2 , . . . , em }


{f1 , f2 , . . . , fr }
O(k2 )


E(G) = {e1 ,.e2 , . . . , em }

”

{f1 , f2 , . . . , fr }
O(k2 )


Let us show that if G[X] is a YES-instance, then so is G.

Let us show that if G[X] is a YES-instance, then so is G.

This time, by contradiction.

.

Try the solution for G[X] on G.

.

Suppose there is an uncovered edge.

.

Since X is a k-representative family, for ANY S Ď V , where |S| ď k:

.

if there is a set e in E such that e X S = H,

.

e
then there is a set p in X such that p X S = H.
e

.

e
e
Note that the green edges denote G[X].

.

e
e
Note that the green edges denote G[X].

Contradiction!

A k-representative family for E(G) is in fact
an O(k2 ) instance kernel for Vertex Cover!

Notation

Det(M) : M
Let M be a m ˆ n matrix, and let I Ď [m], J Ď [n].
M[I, J] : M restricted to rows indexed by I and columns indexed by J
M[⋆, J] : M restricted to all rows and columns indexed by J
M[I, ⋆] : M restricted to rows indexed by I and all columns

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Fix a row and expand along the columns.

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Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

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Fix a set of columns, J Ď [6].

.

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Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

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Iterate over all I Ď [6] such that |I| = |J|.

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

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Det(A[I, J]).

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Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

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Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

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Det(A) =

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IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

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(−1)(1+3+6)+(1+2+6)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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J

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(−1)(1+3+6)+(1+2+3)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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I+

J

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(−1)(1+3+6)+(1+2+4)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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I+

J

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a46
.
a56
.
a66
.

(−1)(1+3+6)+(1+2+5)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

a11
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(−1)(1+3+6)+(1+3+4)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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I+

J

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(−1)(1+3+6)+(1+3+5)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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J

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(−1)(1+3+6)+(1+3+6)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
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Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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.

(−1)(1+3+6)+(1+4+5)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

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Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

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Det(A) =

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IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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(−1)(1+3+6)+(1+5+6)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

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Det(A) =

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IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

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(−1)(1+3+6)+(2+3+4)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

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Det(A) =

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Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

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(−1)(1+3+6)+(2+3+5)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

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Det(A) =

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Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

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(−1)(1+3+6)+(2+3+6)

Det(A[I, J]).

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Det(A) =

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(−1)(1+3+6)+(2+4+5)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

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Det(A) =

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IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

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(−1)(1+3+6)+(2+4+6)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

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Det(A) =

ÿ
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Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

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Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

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Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

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(−1)(1+3+6)+(3+4+5)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

a11
.
a21
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a15
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a25
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a35
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a55
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a16
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a26
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a36
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a46
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a56
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a66
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a31
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a16
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a26
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a36
.
a46
.
a56
.
a66
.

(−1)(1+3+6)+(3+4+6)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.

a12
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a22
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a32
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a42
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a26
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a36
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a46
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a56
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a66
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a11
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a21
.
a31
.
a41
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a51
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a61
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a12
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a22
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a32
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a13
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a23
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a33
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a43
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a53
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a63
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a34
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a44
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a54
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a64
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a15
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a25
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a35
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a45
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a55
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a65
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a16
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a26
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a36
.
a46
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a56
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a66
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a11
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a21
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a31
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a41
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a51
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a22
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a32
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a63
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a54
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a15
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a25
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a35
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a45
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a55
.
a65
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a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.

(−1)(1+3+6)+(3+5+6)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.

a12
.
a22
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a32
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a42
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a52
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a62
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a13
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a23
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a33
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a24
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a35
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a55
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a16
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a26
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a36
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a46
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a56
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a66
.

a11
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a21
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a31
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a41
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a51
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a61
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a12
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a22
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a16
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a26
.
a36
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a46
.
a56
.
a66
.


a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.

a12
.
a22
.
a32
.
a42
.
a52
.
a62
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a13
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a23
.
a33
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a43
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a53
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a24
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a34
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a15
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a25
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a35
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a45
.
a55
.
a65
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.

(−1)(1+3+6)+(4+5+6)

Det(A[I, J]).

Det(A[I, J]).

.

.

Det(A) =

ÿ
IĎ[n],|I|=|J|

Det(A[I, J]) ¨ Det(A[I, J]) ¨ (−1)

ř

ř

I+

J

Recall: A Linear (or Representable) Matroid

M = (E, I), where E = {e1 , . . . , en } and I Ď 2E

Columns indexed by elements of E

...are linearly independent.




AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
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a61
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a71
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a22
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a32
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a34
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a54
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a15
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a25
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a35
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a45
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a55
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a65
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a75
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a16
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a26
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a36
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a46
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a56
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a66
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a76
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a17
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a27
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a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.

















AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
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a61
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a71
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a12
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a22
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a32
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a13
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a23
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a33
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a34
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a26
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a36
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a76
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a17
.
a27
.
a37
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a47
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a57
.
a67
.
a77
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















AM






=






a11
.
a21
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a31
.
x41
ae1
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a51
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a71
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a17
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a27
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a37
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a47
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a57
.
a67
.
a77
.

















AM






=






a11
.
a21
.
a31
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x41
ae1
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a51
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a71
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.
a52
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a72
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a23
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a33
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a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
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.

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a55
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a75
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a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.

















AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
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a61
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a71
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a12
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x42
ae2
.
a52
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a62
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a72
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a13
.
a23
.
a33
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a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
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a24
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a34
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xei
a44
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a74
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a25
.
a35
.
a45
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a55
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a65
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a75
.

a16
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a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.

















AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
.
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a71
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a22
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x42
ae2
.
a52
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a62
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a72
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a13
.
a23
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a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
xei
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.

















AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
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a22
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x42
ae2
.
a52
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a62
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a72
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a13
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a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
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a34
.
xei
a44
.
a54
.
a64
.
a74
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a15
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a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
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xan−1
.
e46
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.

















AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
x42
ae2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
xei
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
xan−1
.
e46
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
x 47
aen
.
a57
.
a67
.
a77
.















Columns corresponding to S P I


AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
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a61
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a71
.

a12
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a22
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a32
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x42
ae2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
xei
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
xan−1
.
e46
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
x 47
aen
.
a57
.
a67
.
a77
.















Columns that are linearly independent...


AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
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a22
.
a32
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x42
ae2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
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a24
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a34
.
xei
a44
.
a54
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a64
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a74
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a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
xan−1
.
e46
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
x 47
aen
.
a57
.
a67
.
a77
.















Columns that are linearly independent...


AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
x42
ae2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
xei
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
xan−1
.
e46
a56
.
a66
.
a76
.

...correspond to sets in I.

a17
.
a27
.
a37
.
x 47
aen
.
a57
.
a67
.
a77
.

















AM






=






a11
.
a21
.
a31
.
x41
ae1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
x42
ae2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
xei
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
xan−1
.
e46
a56
.
a66
.
a76
.


a17
.
a27
.
a37
.
x 47
aen
.
a57
.
a67
.
a77
.














rk(M)

Given: A collection of p-sized independent sets1 :
S = {S1 , . . . , St }.

1

The rank of the underlying matroid is (p + q).

Given: A collection of p-sized independent sets1 :
S = {S1 , . . . , St }.

Want: A q-representative subfamily p of size ď
S

1

The rank of the underlying matroid is (p + q).

(p+q)
p

.

.
ZPS
Given

PI
YĎE

PI
p S
ZPp

.
| Z| = p
Given

PI
YĎE

PI
p S
ZPp

Given

.
| Z| = p
PI
|Y | = q
PI
p S
ZPp

Given

.
| Z| = p
PI
|Y | = q
PI
p
| Z| = p



AM =



































a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.
a71
.
a81
.
a91
.
a101
.
a111
.
a121
.
a131
.
a141
.
a151
.
a161
.
a171
.

a12
.
a22
.
a32
.
a42
.
a52
.
a62
.
a72
.
a82
.
a92
.
a102
.
a112
.
a122
.
a132
.
a142
.
a152
.
a162
.
a172
.

a13
.
a23
.
a33
.
a43
.
a53
.
a63
.
a73
.
a83
.
a93
.
a103
.
a113
.
a123
.
a133
.
a143
.
a153
.
a163
.
a173
.

a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.
a84
.
a94
.
a104
.
a114
.
a124
.
a134
.
a144
.
a154
.
a164
.
a174
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.
a85
.
a95
.
a105
.
a115
.
a125
.
a135
.
a145
.
a155
.
a165
.
a175
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.
a86
.
a96
.
a106
.
a116
.
a126
.
a136
.
a146
.
a156
.
a166
.
a176
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.
a87
.
a97
.
a107
.
a117
.
a127
.
a137
.
a147
.
a157
.
a167
.
a177
.

a18
.
a28
.
a38
.
a48
.
a58
.
a68
.
a78
.
a88
.
a98
.
a108
.
a118
.
a128
.
a138
.
a148
.
a158
.
a168
.
a178
.

a19
.
a29
.
a39
.
a49
.
a59
.
a69
.
a79
.
a89
.
a99
.
a109
.
a119
.
a129
.
a139
.
a149
.
a159
.
a169
.
a179
.

a110
.
a210
.
a310
.
a410
.
a510
.
a610
.
a710
.
a810
.
.a910
.
a1010
.
a1110
.
a1210
.
a1310
.
a1410
.
a1510
.
a1610
.
a1710
.

.

a111
.
a211
.
a311
.
a411
.
a511
.
a611
.
a711
.
a811
.
a911
.
a1011
.
a1111
.
a1211
.
a1311
.
a1411
.
a1511
.
a1611
.
a1711
.

a112
.
a212
.
a312
.
a412
.
a512
.
a612
.
a712
.
a812
.
a912
.
a1012
.
a1112
.
a1212
.
a1312
.
a1412
.
a1512
.
a1612
.
a1712
.

a113
.
a213
.
a313
.
a413
.
a513
.
a613
.
a713
.
a813
.
a913
.
a1013
.
a1113
.
a1213
.
a1313
.
a1413
.
a1513
.
a1613
.
a1713
.

a114
.
a214
.
a314
.
a414
.
a514
.
a614
.
a714
.
a814
.
a914
.
a1014
.
a1114
.
a1214
.
a1314
.
a1414
.
a1514
.
a1614
.
a1714
.

a115
.
a215
.
a315
.
a415
.
a515
.
a615
.
a715
.
a815
.
a915
.
a1015
.
a1115
.
a1215
.
a1315
.
a1415
.
a1515
.
a1615
.
a1715
.

a116
.
a216
.
a316
.
a416
.
a516
.
a616
.
a716
.
a816
.
a916
.
a1016
.
a1116
.
a1216
.
a1316
.
a1416
.
a1516
.
a1616
.
a1716
.

a117
.
a217
.
a317
.
a417
.
a517
.
a617
.
a717
.
a817
.
a917
.
a1017
.
a1117
.
a1217
.
a1317
.
a1417
.
a1517
.
a1617
.
a1717
.




































(p + q)

p

Columns corresponding to Z


AM =



































a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.
a71
.
a81
.
a91
.
a101
.
a111
.
a121
.
a131
.
a141
.
a151
.
a161
.
a171
.

a12
.
a22
.
a32
.
a42
.
a52
.
a62
.
a72
.
a82
.
a92
.
a102
.
a112
.
a122
.
a132
.
a142
.
a152
.
a162
.
a172
.

a13
.
a23
.
a33
.
a43
.
a53
.
a63
.
a73
.
a83
.
a93
.
a103
.
a113
.
a123
.
a133
.
a143
.
a153
.
a163
.
a173
.

a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.
a84
.
a94
.
a104
.
a114
.
a124
.
a134
.
a144
.
a154
.
a164
.
a174
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.
a85
.
a95
.
a105
.
a115
.
a125
.
a135
.
a145
.
a155
.
a165
.
a175
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.
a86
.
a96
.
a106
.
a116
.
a126
.
a136
.
a146
.
a156
.
a166
.
a176
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.
a87
.
a97
.
a107
.
a117
.
a127
.
a137
.
a147
.
a157
.
a167
.
a177
.

a18
.
a28
.
a38
.
a48
.
a58
.
a68
.
a78
.
a88
.
a98
.
a108
.
a118
.
a128
.
a138
.
a148
.
a158
.
a168
.
a178
.

a19
.
a29
.
a39
.
a49
.
a59
.
a69
.
a79
.
a89
.
a99
.
a109
.
a119
.
a129
.
a139
.
a149
.
a159
.
a169
.
a179
.

a110
.
a210
.
a310
.
a410
.
a510
.
a610
.
a710
.
a810
.
.a910
.
a1010
.
a1110
.
a1210
.
a1310
.
a1410
.
a1510
.
a1610
.
a1710
.

.

a111
.
a211
.
a311
.
a411
.
a511
.
a611
.
a711
.
a811
.
a911
.
a1011
.
a1111
.
a1211
.
a1311
.
a1411
.
a1511
.
a1611
.
a1711
.

a112
.
a212
.
a312
.
a412
.
a512
.
a612
.
a712
.
a812
.
a912
.
a1012
.
a1112
.
a1212
.
a1312
.
a1412
.
a1512
.
a1612
.
a1712
.

a113
.
a213
.
a313
.
a413
.
a513
.
a613
.
a713
.
a813
.
a913
.
a1013
.
a1113
.
a1213
.
a1313
.
a1413
.
a1513
.
a1613
.
a1713
.

a114
.
a214
.
a314
.
a414
.
a514
.
a614
.
a714
.
a814
.
a914
.
a1014
.
a1114
.
a1214
.
a1314
.
a1414
.
a1514
.
a1614
.
a1714
.

a115
.
a215
.
a315
.
a415
.
a515
.
a615
.
a715
.
a815
.
a915
.
a1015
.
a1115
.
a1215
.
a1315
.
a1415
.
a1515
.
a1615
.
a1715
.

a116
.
a216
.
a316
.
a416
.
a516
.
a616
.
a716
.
a816
.
a916
.
a1016
.
a1116
.
a1216
.
a1316
.
a1416
.
a1516
.
a1616
.
a1716
.

a117
.
a217
.
a317
.
a417
.
a517
.
a617
.
a717
.
a817
.
a917
.
a1017
.
a1117
.
a1217
.
a1317
.
a1417
.
a1517
.
a1617
.
a1717
.




































(p + q)

p



AM =



































a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.
a71
.
a81
.
a91
.
a101
.
a111
.
a121
.
a131
.
a141
.
a151
.
a161
.
a171
.

a12
.
a22
.
a32
.
a42
.
a52
.
a62
.
a72
.
a82
.
a92
.
a102
.
a112
.
a122
.
a132
.
a142
.
a152
.
a162
.
a172
.

a13
.
a23
.
a33
.
a43
.
a53
.
a63
.
a73
.
a83
.
a93
.
a103
.
a113
.
a123
.
a133
.
a143
.
a153
.
a163
.
a173
.

q


Columns corresponding to Y

a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.
a84
.
a94
.
a104
.
a114
.
a124
.
a134
.
a144
.
a154
.
a164
.
a174
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.
a85
.
a95
.
a105
.
a115
.
a125
.
a135
.
a145
.
a155
.
a165
.
a175
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.
a86
.
a96
.
a106
.
a116
.
a126
.
a136
.
a146
.
a156
.
a166
.
a176
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.
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q



a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.
a84
.
a94
.
a104
.
a114
.
a124
.
a134
.
a144
.
a154
.
a164
.
a174
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.
a85
.
a95
.
a105
.
a115
.
a125
.
a135
.
a145
.
a155
.
a165
.
a175
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.
a86
.
a96
.
a106
.
a116
.
a126
.
a136
.
a146
.
a156
.
a166
.
a176
.

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y])

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.
a87
.
a97
.
a107
.
a117
.
a127
.
a137
.
a147
.
a157
.
a167
.
a177
.

a18
.
a28
.
a38
.
a48
.
a58
.
a68
.
a78
.
a88
.
a98
.
a108
.
a118
.
a128
.
a138
.
a148
.
a158
.
a168
.
a178
.

a19
.
a29
.
a39
.
a49
.
a59
.
a69
.
a79
.
a89
.
a99
.
a109
.
a119
.
a129
.
a139
.
a149
.
a159
.
a169
.
a179
.

a110
.
a210
.
a310
.
a410
.
a510
.
a610
.
a710
.
a810
.
.a910
.
a1010
.
a1110
.
a1210
.
a1310
.
a1410
.
a1510
.
a1610
.
a1710
.

.

a111
.
a211
.
a311
.
a411
.
a511
.
a611
.
a711
.
a811
.
a911
.
a1011
.
a1111
.
a1211
.
a1311
.
a1411
.
a1511
.
a1611
.
a1711
.

a112
.
a212
.
a312
.
a412
.
a512
.
a612
.
a712
.
a812
.
a912
.
a1012
.
a1112
.
a1212
.
a1312
.
a1412
.
a1512
.
a1612
.
a1712
.

a113
.
a213
.
a313
.
a413
.
a513
.
a613
.
a713
.
a813
.
a913
.
a1013
.
a1113
.
a1213
.
a1313
.
a1413
.
a1513
.
a1613
.
a1713
.

a114
.
a214
.
a314
.
a414
.
a514
.
a614
.
a714
.
a814
.
a914
.
a1014
.
a1114
.
a1214
.
a1314
.
a1414
.
a1514
.
a1614
.
a1714
.

a115
.
a215
.
a315
.
a415
.
a515
.
a615
.
a715
.
a815
.
a915
.
a1015
.
a1115
.
a1215
.
a1315
.
a1415
.
a1515
.
a1615
.
a1715
.

a116
.
a216
.
a316
.
a416
.
a516
.
a616
.
a716
.
a816
.
a916
.
a1016
.
a1116
.
a1216
.
a1316
.
a1416
.
a1516
.
a1616
.
a1716
.

a117
.
a217
.
a317
.
a417
.
a517
.
a617
.
a717
.
a817
.
a917
.
a1017
.
a1117
.
a1217
.
a1317
.
a1417
.
a1517
.
a1617
.
a1717
.




































(p + q)

Columns corresponding to Z Y Y : LINEARLY INDEPENDENT
p



AM =



































a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.
a71
.
a81
.
a91
.
a101
.
a111
.
a121
.
a131
.
a141
.
a151
.
a161
.
a171
.

a12
.
a22
.
a32
.
a42
.
a52
.
a62
.
a72
.
a82
.
a92
.
a102
.
a112
.
a122
.
a132
.
a142
.
a152
.
a162
.
a172
.

a13
.
a23
.
a33
.
a43
.
a53
.
a63
.
a73
.
a83
.
a93
.
a103
.
a113
.
a123
.
a133
.
a143
.
a153
.
a163
.
a173
.

q



a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.
a84
.
a94
.
a104
.
a114
.
a124
.
a134
.
a144
.
a154
.
a164
.
a174
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.
a85
.
a95
.
a105
.
a115
.
a125
.
a135
.
a145
.
a155
.
a165
.
a175
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.
a86
.
a96
.
a106
.
a116
.
a126
.
a136
.
a146
.
a156
.
a166
.
a176
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.
a87
.
a97
.
a107
.
a117
.
a127
.
a137
.
a147
.
a157
.
a167
.
a177
.

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

a18
.
a28
.
a38
.
a48
.
a58
.
a68
.
a78
.
a88
.
a98
.
a108
.
a118
.
a128
.
a138
.
a148
.
a158
.
a168
.
a178
.

a19
.
a29
.
a39
.
a49
.
a59
.
a69
.
a79
.
a89
.
a99
.
a109
.
a119
.
a129
.
a139
.
a149
.
a159
.
a169
.
a179
.

a110
.
a210
.
a310
.
a410
.
a510
.
a610
.
a710
.
a810
.
.a910
.
a1010
.
a1110
.
a1210
.
a1310
.
a1410
.
a1510
.
a1610
.
a1710
.

.

a111
.
a211
.
a311
.
a411
.
a511
.
a611
.
a711
.
a811
.
a911
.
a1011
.
a1111
.
a1211
.
a1311
.
a1411
.
a1511
.
a1611
.
a1711
.

ÿ
IĎ[p+q],|I|=p

a112
.
a212
.
a312
.
a412
.
a512
.
a612
.
a712
.
a812
.
a912
.
a1012
.
a1112
.
a1212
.
a1312
.
a1412
.
a1512
.
a1612
.
a1712
.

a113
.
a213
.
a313
.
a413
.
a513
.
a613
.
a713
.
a813
.
a913
.
a1013
.
a1113
.
a1213
.
a1313
.
a1413
.
a1513
.
a1613
.
a1713
.

a114
.
a214
.
a314
.
a414
.
a514
.
a614
.
a714
.
a814
.
a914
.
a1014
.
a1114
.
a1214
.
a1314
.
a1414
.
a1514
.
a1614
.
a1714
.

a115
.
a215
.
a315
.
a415
.
a515
.
a615
.
a715
.
a815
.
a915
.
a1015
.
a1115
.
a1215
.
a1315
.
a1415
.
a1515
.
a1615
.
a1715
.

a116
.
a216
.
a316
.
a416
.
a516
.
a616
.
a716
.
a816
.
a916
.
a1016
.
a1116
.
a1216
.
a1316
.
a1416
.
a1516
.
a1616
.
a1716
.

a117
.
a217
.
a317
.
a417
.
a517
.
a617
.
a717
.
a817
.
a917
.
a1017
.
a1117
.
a1217
.
a1317
.
a1417
.
a1517
.
a1617
.
a1717
.




































(p + q)

Det(A[I, Z]) ¨ Det(A[I, Y]) ¨ m

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ
IĎ[p+q],|I|=p


0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(
vZ :=

)

Det(A[I0 , Z]) , . .. . , Det(A[Ij , Z]) , . .. . , Det(A[Ir , Z])
.
.
.

..

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(
vZ :=

)

.
.
.

..
All subsets of size p of (p + q).

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(
vZ :=

)

.
.
.

..
S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(
vZ :=

)

.
.
.

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
:= Det(A[I0 , S1 ]) , . .. . , Det(A[Ij , S1 ]) , . .. . , Det(A[Ir , S1 ])
.
.
.

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(
vZ :=

)

.
.
.

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.

..
.

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.

(
vSi :=

..
.
Det(A[I0 , Si ]) , . .. . , Det(A[Ij , Si ]) , . .. . , Det(A[Ir , Si ])
.
.
.

)

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.

(
vSi :=

..
.
.
.
.
..
.

)

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.

(
vSi :=

)

.
.
.
(

vSt :=

..
.

..
.
Det(A[I0 , St ]) , . .. . , Det(A[Ij , St ]) , . .. . , Det(A[Ir , St ])
.
.
.

)

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.

(
vSi :=

)

.
.
.
(

vSt :=

..
.

..
.
.
.
.

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

)

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.

(
vSi :=

)

.
.
.
(

vSt :=

..
.

..
.
.
.
.

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

)

(p+q)
p dimensional
vectors.

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.
(

)
..
..
Det(A[I0 , T1 ]) , . .. . , Det(A[Ij , T1 ]) , . .. . , Det(A[Ir , T1 ])
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
Det(A[I0 , Tr ]) , . .. . , Det(A[Ij , Tr ]) , . .. . , Det(A[Ir , Tr ])
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
A basis of size ď p+q for
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..
v Z = λ 1 v T1 + ¨ ¨ ¨ + λ r v Tr

vS 1

S = {S1 , . . . . . . . . . , Si , . . . . . . . . . , St }
(
)
.
.
.
(

)
..
..
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..
v Z = λ 1 v T1 + ¨ ¨ ¨ + λ r v Tr
vZ [I] = λ1 vT1 [I] + ¨ ¨ ¨ + λr vTr [I]
(
)
vS1 := Det(A[I0 , S1 ]) , . .. . , Det(A[Ij , S1 ]) , . .. . , Det(A[Ir , S1 ])
.
.
.
(

)
..
..
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

x
ÿ


IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..
v Z = λ 1 v T1 + ¨ ¨ ¨ + λ r v Tr
vZ [I] = λ1 vT1 [I] + ¨ ¨ ¨ + λr vTr [I]

Det(A[I, Z]) = λ1 Det(A[I, T1 ]) + ¨ ¨ ¨ + λr Det(A[I, Tr ])
(
)
.
.
.
(

)
..
..
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

0 ‰ Det(AM [‹, ZYY]) =

x
ÿ

r
ÿ

λi Det(A[I, Ti ])¨Det(A[I, Y])¨m

IĎ[p+q],|I|=p i=1
(

)

.
.
.

vZ :=

..
v Z = λ 1 v T1 + ¨ ¨ ¨ + λ r v Tr
vZ [I] = λ1 vT1 [I] + ¨ ¨ ¨ + λr vTr [I]

(
)
.
.
.
(

)
..
..
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

0 ‰ Det(AM [‹, ZYY]) =

r
ÿ

x
ÿ

Det(A[I, Ti ])¨Det(A[I, Y])¨m

i=1 IĎ[p+q],|I|=p
(

)

.
.
.

vZ :=

..
v Z = λ 1 v T1 + ¨ ¨ ¨ + λ r v Tr
vZ [I] = λ1 vT1 [I] + ¨ ¨ ¨ + λr vTr [I]

(
)
.
.
.
(

)
..
..
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

r
ÿ

Det(AM [‹,Ti YY])

i=1
(

)

.
.
.

vZ :=

..
v Z = λ 1 v T1 + ¨ ¨ ¨ + λ r v Tr
vZ [I] = λ1 vT1 [I] + ¨ ¨ ¨ + λr vTr [I]

(
)
.
.
.
(

)
..
..
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

r
ÿ

Det(AM [‹,Ti YY])

i=1

Note that at for at least one Ti , we have that:
Det(AM [‹,Ti YY]) ‰ 0

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

r
ÿ

Det(AM [‹,Ti YY])

i=1


For such a Ti , we know that:
1
.
2
.

Y X Ti = H (easily checked: all terms that survive have this property),
Y Y Ti P I (since non-zero determinant → linearly independent columns).

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

r
ÿ

Det(AM [‹,Ti YY])

i=1


For such a Ti , we know that:
1
.
2
.

Y X Ti = H (easily checked: all terms that survive have this property),
Y Y Ti P I (since non-zero determinant → linearly independent columns).

Thus, the sets corresponding to the basis vectors, T1 , . . . , Tr , do form a
q-representative family.

0 ‰ Det(AM [‹, Z Y Y]) =

r
ÿ

Det(AM [‹,Ti YY])

i=1
(

)

.
.
.

vZ :=

..
v Z = λ 1 v T1 + ¨ ¨ ¨ + λ r v Tr
vZ [I] = λ1 vT1 [I] + ¨ ¨ ¨ + λr vTr [I]

(
)
.
.
.
(

)
..
..
.
.
(
)
:=
.
.
...
.
(
)
..
:=
.
.
..
(
)
:=
.
.
.
(
)
A basis of size p+q for
p

vT1 :=
vS i
v Tr
v St

χ(S) := {vS1 , . . . . . . . . . , vSi , . . . . . . . . . , vSt }

Computing T1 , . . . , Tr .
We form a matrix with the vectors {vS1 , . . . , vSi , . . . , vSt } as the columns:














a11
.
a21
.
a31
.
a41
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
a42
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a43
.
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.



























a11
.
a21
.
a31
.
v 41
aS1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
a42
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a43
.
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.



























a11
.
a21
.
a31
.
v 41
aS1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
v 42
aS2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a43
.
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.



























a11
.
a21
.
a31
.
v 41
aS1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
v 42
aS2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
a44
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.



























a11
.
a21
.
a31
.
v 41
aS1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
v 42
aS2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
v44
aSi
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a45
.
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.



























a11
.
a21
.
a31
.
v 41
aS1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
v 42
aS2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
v44
aSi
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
a46
.
a56
.
a66
.
a76
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.



























a11
.
a21
.
a31
.
v 41
aS1
.
a51
.
a61
.
a71
.

a12
.
a22
.
a32
.
v 42
aS2
.
a52
.
a62
.
a72
.

a13
.
a23
.
a33
.
a¨. ¨
¨ 43
a53
.
a63
.
a73
.

a14
.
a24
.
a34
.
v44
aSi
.
a54
.
a64
.
a74
.

a15
.
a25
.
a35
.
a¨. ¨
¨ 45
a55
.
a65
.
a75
.

a16
.
a26
.
a36
.
va46
.
St−1
a56
.
a66
.
a76
.

a17
.
a27
.
a37
.
a47
.
a57
.
a67
.
a77
.














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