Numerical Methods for Solving Linear Ordinary Differential Equations

Métodos Numéricos para Análise de Equa¸cões Diferenciais
Ordinárias Lineares com Foco nos Problemas de Valor
Inicial.
Michel A. dos Santos ∗
Maio de 2010
Resumo
Inicialmente iremos abordar alguns aspectos gerais da análise e resolu¸cão numérica de
Equa¸cões Diferenciais Ordinárias Lineares. Exploraremos alguns conceitos como erros de
truncamento local e global, uma breve introdu¸cão a Série de Taylor e alguns exemplos de
métodos de resolu¸cão baseados em estratégias de passos simples e passos múltiplos. Ao longo
do texto será n´ıtida a percep¸cão de que a maioria dos problemas de resolu¸cão numérica de
equa¸cões dessa natureza são fortemente direcionados a modelagem de problemas oriundos da
observa¸cão de fenômenos. Esse direcionamento possui aspectos que vão desde a concep¸cão de
circuitos elétricos até a análise de sistemas presa-predador. Por fim, serão analisados algumas
caracter´ısticas relativas a empregabilidade dos métodos abordados.
Palavras-Chave: Equa¸cões Diferenciais Ordinárias, Método de Euler, Método de Runge-
Kutta, Solu¸cões Numéricas, Modelagem, Cálculo Numérico, Métodos Numéricos, Fórmula de
Heun.
1 Introdu¸cão
Modelagem é o tema que unifica o tratamento introdutório dado as equa¸cões diferenciais. Tal-
vez as aplica¸cões mais importantes do cálculo sejam pertencentes a natureza dessas equa¸cões.
Quando f´ısicos e cientistas sociais usam o cálculo, em geral o fazem para analisar uma equa¸cão
diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenômeno que eles estejam estudando.
Embora seja freqüentemente imposs´ıvel encontrar uma fórmula expl´ıcita para a solu¸cão de uma
equa¸cão diferencial, podemos observar que métodos como aproxima¸cões gráficas e numéricas con-
seguem fornecer bons resultados. Resultados estes, advindos de bons modelos matemáticos que
frequentemente possuem o formato de uma equa¸cão diferencial, isto é, uma equa¸cão que contém
uma fun¸cão desconhecida e algumas de suas derivadas. Isso não nos surpreende porque em um
problema real normalmente notamos que as mudan¸cas ocorrem e queremos predizer o compor-
tamento futuro com base na maneira como os valores presentem variam. Geralmente o processo
de solu¸cão dessas equa¸cões consiste em uma transforma¸cão das mesmas em equa¸cões algébricas
através da discretiza¸cão do dom´ınio e aproxima¸cão de suas derivadas por diferen¸cas finitas (Hull
et al., 1972). Atualmente a criatividade é o limite. As formas ou a empregabilidade de métodos
para análise e resolu¸cão numérica de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias permea vários campos,
sendo empregados até mesmo algoritmos genéticos (Cao et al., 2000) e paraleliza¸cão (Burrage,
1997; Burrage & Suhartanto, 1997, 2000) para aferi¸cão de uma malha de pontos condizentes com
uma determinada equa¸cão pertencente a essa classe. O presente trabalho tem como objetivo ape-
nas apresentar uma breve introdu¸cão no que diz respeito ao tratamento de solu¸cões numéricas de
∗Bacharelando em Ciência da Computa¸cão, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL), Bolsista do
Laboratório de Modelagem Geométrica e Visão Computacional do Centro de Pesquisa em Matemática Computacio-
nal(CPMAT), Brasil - Maceió/AL, Tel: 8805-0582 E-mail: michel.mas@gmail.com, michelalvessantos@hotmail.com
1

equa¸cões diferenciais (ordinárias) porém, antes mesmo de adentrar ao assunto, forneceremos uma
motiva¸cão para o estudo sério e cuidadoso do cálculo numérico.
1.1 O Cálculo Numérico
O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se
obter a solu¸cão de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam prin-
cipalmente a problemas que não apresentam uma solu¸cão exata (de origem anal´ıtica), portanto
precisam ser resolvidos numericamente. Um bom exemplo que ilustra essa necessidade pode ser
dado pela avalia¸cão de circuitos elétricos. Em um circuito elétrico composto de uma fonte de
tensão e um resistor, a solu¸cão exata (ou anal´ıtica) pode ser dada por:
V − R · i = 0 i =
V
R
(1)
Porém com a introdu¸cão de um simples diôdo no circuito, ter´ıamos um aumento na complexidade
de avalia¸cão dos estados pelos quais esse circuito passa, produzindo a seguinte situa¸cão (Ruggiero
& Lopes, 1996):
v(i) =
kT
q
· ln
i
Is
+ 1 v(i) = 0 ⇒ V − R · i −
kT
q
· ln
i
Is
+ 1 = 0 (2)
A complexidade de avalia¸cão de v(i) quando a mesma é nula extrapola os métodos convencionais
anal´ıticos. Logo a maneira mais indicada para avalia¸cão dos estados desse circuito seria uma na
qual houvesse o emprego de uma solu¸cão baseada em métodos numéricos.
O caso acima evidenciado, aos olhos de muitos ainda possui caracter´ısticas anal´ıticas, onde
uma solu¸cão exata ainda seria uma boa sa´ıda. Porém vale lembrar que introduzimos apenas, e
só, um diôdo. Os circuitos reais espalhados pela vida cotidiana possuem dezenas de milhares
desses componentes. Por isso a necessidade de produzir resultados numéricos. Pois mesmo que
um problema matemático possa ser resolvido analiticamente, ainda assim, ele pode se tornar
impraticável caso haja uma aumento considerável em seu tamanho. Um bom exemplo para ilustrar
essa situa¸cão seria a busca por solu¸cões de sistemas de equa¸cões lineares que modelam cálculo de
estruturas, componentes horizontais e verticais das for¸cas que atuam em um determinado corpo
que se encontra em equil´ıbrio estático (Ruggiero & Lopes, 1996), redes elétricas, etc.
Logo, a maior motiva¸cão para o emprego de métodos numéricos seria a existência de problemas
para os quais não existem métodos matemáticos exatos para a obten¸cão de uma solu¸cão (ou seja,
não podem ser resolvidos analiticamente). Tal motiva¸cão pode ser evidenciada quando avaliamos
certos tipos de integrais que não possuem uma primitiva em forma simples, como ex2
dx, ou ten-
tamos resolver determinadas equa¸cões diferenciais parciais não lineares (que podem ser resolvidas
analiticamente só em casos particulares.)
1.2 A Necessidade de Boas Aproxima¸cões
Os métodos numéricos buscam solu¸cões aproximadas para as formula¸cões matemáticas (Os-
borne & Watson, 1968). Nos problemas reais os dados são medidas e como tal, não são exatas. Uma
medida f´ısica não é um número e sim um intervalo advindo da própria imprecisão das medidas.
Da´ı, trabalha-se sempre com a figura do erro inerente à própria medi¸cão.
Os métodos aproximados buscam uma adequa¸cão do que seria o valor exato. Dessa forma
é inerente ao método se trabalhar com a figura da aproxima¸cão, erro ou desvio. Na Figura 1
podemos visualizar um fluxograma no qual ocorre a confrota¸cão entre etapas para obten¸cão de
modelos matemáticos precisos (no sentido de exatos) e a resolu¸cão de problemas através de métodos
numéricos.
Porém em certos casos devemos ter cuidado redobrado ao adotar um determinado modelo,
pois a influência dos erros nas solu¸cões podem ocasionar acontecimentos indesejados, muitos deles
com finais catastróficos tanto no ponto de vista monetário quanto do ponto de vista humano.
2

Figura 1: Etapas no desenvolvimento de métodos anal´ıticos e métodos de aproxima¸cão. Observe que nos métodos
de aproxima¸cão existe uma etapa de análise dos resultados feita com o intuito de comprovar a veracidade da
informa¸cão obtida e uma verifica¸cão final que comprova que o método adotado é o mais adequado ao modelo ou
situa¸cão.
Exemplos para esses tipos de situa¸cão seriam o afundamento da plataforma mar´ıtima Sleipner A,
em 23/08/1991, na Noruega, com um preju´ızo de mais de 700 milhões de dólares e a explosão do
foguete Ariane 5 em 04/06/1996 na Guiana Francesa, com um preju´ızo de 7,5 bilhões de dólares.
A maioria desses acontecimentos são causados por limita¸cões na representa¸cão numérica.
1.3 No¸cões Básicas Sobre Erros
No estudo de Métodos Numéricos para a resolu¸cão de situa¸cões/modelos que surgem das mais
diversas áreas ocasionalmente ocorrem problemas. A resolu¸cão de tais problemas envolve várias
fases. Não é raro acontecer que os resultados finais estejam distantes do que se esperaria obter,
ainda que todas as fases de resolu¸cão tenham sido realizadas corretamente. O resultados obtidos
dependem também:
• da precisão dos dados de entrada;
• da forma como estes dados são representados no computador;
• das opera¸cões numéricas efetuadas.
Os dados de entrada contêm uma imprecisão inerente, isto é, não há como evitar que ocorram,
uma vez que representam medidas obtidas usando equipamentos espec´ıficos, como, por exemplo, no
caso de medidas de corrente e tensão num circuito elétrico, ou então podem ser dados resultantes
de pesquisas ou levantamentos, como no caso de dados populacionais obtidos num recenseamento.
De modo corriqueiro a maioria das literaturas executam um estudo dos erros que surgem da
representa¸cão numérica em computadores e erros resultantes das opera¸cões numéricas efetuadas
que podem ocorrer na conversão de números de um determinado sistema de representa¸cão para
outro (exemplo: conversão de decimal para bináro), erros de arredondamento e truncamento e em
opera¸cões aritméticas de ponto flutuante (Ruggiero & Lopes, 1996).
2 Equa¸cões Diferenciais
Equa¸cões diferenciais aparecem com grande frequência em modelos que descrevem quantita-
tivamente fenômenos em diversas áreas, como por exemplo, mecânica dos fluidos, fluxo de calor,
3

vibra¸cões, economia, ecologia, biomedicina, rea¸cões qu´ımicas, nucleares, etc.
Representam com alta fidelidade sistemas f´ısicos, estat´ısticos e comportamentais dos mais
diferentes tipos e complexidades. Sendo assim, é de suma importância o conhecimento de técnicas
de manipula¸cão de tais equa¸cões para uma análise detalhada dos sistemas anteriormente citados,
visto que, sua aplica¸cão é expandida dentro das mais diversas áreas da ciência.
Estas equa¸cões podem ter formas tão variadas que se analisarmos as que possuem solu¸cão
ou métodos de resolu¸cão anal´ıtica já desenvolvidas, veremos que estamos muito longe de poder
modelar problemas f´ısicos reais, esperando assim que a Matemática nos forne¸ca uma expressão
exata para a solu¸cão de tais objetos. Por outro lado, os métodos numéricos já são bem mais
abrangentes e, quando levam a convergência, é poss´ıvel se obter gráficos e tabelas com valores de
solu¸cão para um maior número de problemas.
2.1 Equa¸cões Diferenciais Gerais
Em geral, uma equa¸cão diferencial é aquela que contém uma fun¸cão desconhecida e uma ou
mais de suas derivadas. A ordem de uma equa¸cão diferencial é a mesma da derivada mais alta que
ocorre na equa¸cão. Dessa maneira as equa¸cões (3) e (4) visualizadas logo abaixo são exemplos de
equa¸cão de primeira ordem enquanto a equa¸cão (5) é um exemplo de equa¸cão de segunda ordem
(Stewart, 2009).
dP
dt
= kP (3)
dP
dt
= kP · 1 −
P
K
(4)
m ·
d2
x
dt2
= −kx (5)
Em todas as três equa¸cões, a variável independente é chamada t e representa o tempo, mas, em
geral, a variável independente não precisa representar o tempo. Por exemplo, quando consideramos
a equa¸cão diferencial
y = xy (6)
entendemos que y seja a fun¸cão descohecida de x. Uma fun¸cão f é denominada solu¸cão de uma
equa¸cão diferencial se a equa¸cão é satisfeita quando y = f(x) e suas derivadas são substitu´ıdas na
equa¸cão. Assim, f é uma solu¸cão da Equa¸cão (6) se
f (x) = xf(x) (7)
para todos os valores de x em algum intervalo. Quando tentamos resolver uma equa¸cão dife-
rencial, esperamos encontrar todas as solu¸cões poss´ıveis da equa¸cão. Algumas dessas equa¸cões já
são de conhecimento da maioria dos estudantes de cálculo, pois representam equa¸cões diferenciais
particularmente simples; a saber, aquelas da forma
y = f(x) (8)
Por exemplo, sabemos que a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial
y = x3
(9)
é dada por
y =
x4
4
+ C (10)
4

onde C é uma constante arbitrária. Mas, em geral, resolver uma equa¸cão diferencial não é
uma tarefa fácil. Não existe uma técnica sistemática que nos permita resolver todas as equa¸cões
diferenciais.
Se uma equa¸cão diferencial tem apenas uma variável independente, como é o caso das equa¸cões
(3) e (4), então ela é uma equa¸cão diferencial ordinária (EDO), que será o objeto do nosso estudo
neste trabalho. Outros exemplos de equa¸cões diferenciais ordinárias são:
dy
dx
= x + y; y = x2
+ y2
; y + (1 − y2
)y = 0 e u + e−u
− eu
= f(x) (11)
Geralmente uma equa¸cão diferencial ordinária de ordem n é uma equa¸cão da seguinte forma:
F(x, y(x), y (x), y (x), y (x), . . . , yn
(x)) = 0 (12)
onde estão envolvidas a fun¸cão incógnita y = y(x) e suas derivadas até ordem n, sendo x a
variável independente. A nota¸cão yj
representa a derivada de ordem j da fun¸cão incógnita y em
rela¸cão à variável independente x e pode também ser representada por dj
y
dxj (Arenales & Darezzo,
2008).
Se a equa¸cão diferencial envolve mais do que uma variável independente então ela é uma
equa¸cão diferencial parcial, como a equa¸cão
∂2
u
∂x2
+
∂2
u
∂y2
= 0 com u ≡ u(x, y) e
∂2
u
∂2β
(13)
indicando a derivada parcial segunda de u(x, y), em rela¸cão à variável (β).
Figura 2: Aplica¸cões de Equa¸cões Diferenciais Parciais. Em (A) Equa¸cões Diferenciais Parciais são aplicadas às
leis da conserva¸cão da massa, momento e energia que por sua vez são a base dos fenômenos de transporte. Em (B)
Difusão de macromoléculas e liberta¸cão controlada de medicamentos(Movimento do medicamento através da pele a
partir do local de aplica¸cão). Em (C) Migra¸cão de células em material protéstico vascular(Controle do movimento
de leucócitos em meio material devido a inflama¸cões).
Uma solu¸cão de uma equa¸cão diferencial ordinária é uma fun¸cão da variável independente que
satisfa¸ca a equa¸cão. Assim,
1. dy
dx = ˙y = y tem y(x) = a · ex
, a ∈ R como solu¸cão;
2. u = 0 é satisfeita para u(x) = p2(x) onde p2(x) é qualquer polinômio de grau 2.
Isto ilustra um fato bem geral: uma equa¸cão diferencial possui uma fam´ılia de solu¸cões e não
apenas uma (Ruggiero & Lopes, 1996). Além disso uma equa¸cão diferencial ordinária é dita linear
se a fun¸cão e suas derivadas aparecem linearmente na equa¸cão. Assim, xy = x − y é linear e
y + (1 − y2
)y + y = 0 e u + e−u
= f(x) são não lineares.
5

Figura 3: Uma fam´ılia de solu¸cões para ˙y = y e para ˙y = −y (Ruggiero & Lopes, 1996).
Figura 4: Em (A) uma fam´ılia de solu¸cões para dP/dt = kP. Em (B) solu¸cões da equa¸cão log´ıstica (Stewart,
2009).
Já que, como ilustramos anteriormente, uma equa¸cão diferencial não possui solu¸cão única,
vemos que para individualizar uma solu¸cão temos de impor condi¸cões suplementares. Em geral,
uma equa¸cão de ordem m requer m condi¸cões adicionais a fim de ter uma única solu¸cão. Em
princ´ıpio, estas condi¸cões podem ser de qualquer tipo, por exemplo:
y(0) = 1 (14)
y (4) = −5 (15)
y(2) + 5y (3) = 6 (16)
1
0
xy sin xdx = 0 (17)
lim
x→∞
y(x) = k (18)
Se, dada uma equa¸cão de ordem m, a fun¸cão, assim como suas derivadas até ordem m -1, são
especificadas em um mesmo ponto, então temos um problema de valor inicial (Ruggiero & Lopes,
1996) (normalmente abreviado para PVI), como são os casos:
1.
y (x) = y
y(0) = 1
2.
y + (x + 1)y + cos xy − (x2
− 1)y = x2
+ y2
sin x + y
y(0) = 1.1, y (0) = 2.2, y (0) = 3.3
Se, em problemas envolvendo equa¸cões diferenciais ordinárias de ordem m, m ≥ 2, as m con-
di¸cões fornecidas para a busca de solu¸cão única não são todas dadas num mesmo ponto, então
temos um problema de valor de contorno (Ruggiero & Lopes, 1996) (normalmente abreviado para
PVC).
6

Um exemplo de problema de contorno é o de uma barra de comprimento L sujeita a uma carga
uniforme q. Se, no ponto x0 = 0 está barra está presa e em xL = L ela está só apoiada, este
problema é descrito pelo seguinte problema de contorno:



y (x) + ky(x) = q
y(0) = y (0) = 0
y(L) = y (L) = 0
(19)
onde k é uma constante que depende do material da barra.
Ao contrário do que ocorre com os PVI, é comum que problemas de contorno não tenham
unicidade de solu¸cão. Por exemplo, para todo α ∈ R, y(x) = α · (1 + x) é a solu¸cão do PVC
(Ruggiero & Lopes, 1996):



y = 0
y(−1) = 0
y(1) − 2y (1) = 0
(20)
Figura 5: Passos para a resolu¸cão de uma EDO de maneira anal´ıtica. Uma das principais propriedades das
equa¸cões diferenciais ordinárias (EDO), lineares e com coeficientes constantes é que elas sempre possuem uma
solu¸cão anal´ıtica que pode ser encontrada de forma sistemática. No entanto, nem todas as equa¸cões diferenciais
possuem esta propriedade, existindo equa¸cões que não possuem solu¸cão na forma anal´ıtica, logo sua solu¸cão deve
ser encontrada de forma numérica.
2.2 Problemas de Valor Inicial
A razão mais forte para a introdu¸cão de métodos numéricos para a aproxima¸cão de solu¸cões
de problemas de valor inicial(PVI) é a dificuldade de se encontrar, analiticamente, as solu¸cões
da equa¸cão. Em muitos casos, a teoria nos garante a existência e unicidade de solu¸cão, mas não
sabemos qual é a expressão anal´ıtica desta solu¸cão. Uma condi¸cão que garante a existência e a
unicidade da solu¸cão do PVI é dado pelo seguinte teorema:
Teorema 1 (Existência e Unicidade - Teorema de Picard). Considere uma fun¸cão real f(x, y)
cont´ınua no intervalo a ≤ x ≤ b, com a e b finitos e −∞ < y < +∞. Se existe uma constante L tal
que para todo x ∈ [a, b] e para todo par (y, y1) tivermos: |f(x, y) − f(x, y1)| ≤ L|y − y1| (Condi¸cão
de Lipschitz) então existe uma única fun¸cão y = y(x) satisfazendo as seguintes condi¸cões:
1. y(x) é cont´ınua e diferenciável para todo x ∈ [a, b];
2. y = f(x, y(x)) para x ∈ [a, b];
3. y(x0) = y0, onde y0 é um valor conhecido.
Em outras palavras, a solu¸cão do PVI é uma fun¸cão y = y(x) cont´ınua e diferenciável que
satisfaz a equa¸cão diferencial y = f(x, y) e passa pelo ponto (x0, y0) (a prova desse teorema pode
ser encontrada em Sotomayor,J.D.. Vale a pena ressaltar que tal prova baseia-se no teorema do
ponto fixo de Banach) (Arenales & Darezzo, 2008; Zill, 2003; Sotomayor, 1979; Zarowski, 2004).
Os métodos que estudaremos neste pequeno trabalho introdutório se baseiam em:
dado o PVI:
y = f(x, y)
y(x0) = y0
(21)
7

constru´ımos x1, x2, . . . , xn que, embora não necessariamente, para nós serão igualmente espa-
¸cados, ou seja : xi+1 −xi = h, i = 0, 1, . . . , e calculamos as aproxima¸cões yi y(xi) nestes pontos,
usando informa¸cões anteriores.
Se, para calcular yj usamos apenas yj−1 teremos um método de passo simples ou passo um.
Porém, se usarmos mais valores, teremos um método de passo múltiplo.
Como estamos trabalhando essencialmente com PVI de primeira ordem, temos uma aproxi-
ma¸cão inicial y(x0) para a solu¸cão. Dessa forma, os métodos de passo um são classificados como
auto-iniciantes. Já para os métodos de passo múltiplo temos de lan¸car mão de alguma estra-
tégia (como usar métodos de passo simples) para obtermos as aproxima¸cões iniciais necessárias
(Ruggiero & Lopes, 1996).
Outras caracter´ısticas dos métodos de passo simples são:
• necessidade de cálculo do valor de f(x, y) e suas derivadas em muitos pontos;
• dificuldades em estimar o erro.
2.3 Discretiza¸cão
Resolver numericamente um PVI consiste em calcular aproxima¸cões para y = y(x) em pontos
discretos x0, x1, x2, . . . , xN de um intervalo [a, b]. Para discretizar o intervalo [a, b], tomamos N
subintervalos N ≥ 1 e fazemos xn = x0 + nh, n = 0, 1, 2, . . . , N com x0 = a e xN = b, sendo
h = (xN −x0)
N .
A este conjunto de pontos x0, x1, x2, . . . , xN denominamos rede ou malha de pontos discretos e
calculamos aproxima¸cões para y(x) nestes pontos, isto é, determinamos yn tal que yn
∼= y(xn), n =
0, 1, 2, . . . , N.
A partir de um ponto inicial dado y(x0) = y0 (valor inicial), calculamos passo a passo, nos
pontos x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, x3 = x0 + 3h, . . . , xn = x0 + nh, solu¸cões aproximadas yn para
a solu¸cão exata y(xn), n = 0, 1, 2, . . . , N, conforme ilustrado na Figura 6.
Figura 6: O problema da discretiza¸cão e a rela¸cão entre as solu¸cões exatas e numéricas (Arenales & Darezzo,
2008).
O erro local, cometido nas aproxima¸cões em cada ponto, é a diferen¸ca entre o valor exato da
equa¸cão diferencial e eo valor numérico aproximado em cada um dos pontos do intervalo [a, b], isto
é:
e(xn) = y(xn) − yn, n = 1, . . . , N (22)
8

2.4 Modelagem de Problemas que Envolvem Equa¸cões Diferenciais
Nesta se¸cão serão listados apenas alguns problemas que podem ser modelados através de Equa-
¸cões Diferenciais Ordinárias. A maioria dos problemas são de natureza f´ısica, porém vale ressaltar
que o escopo para uso das Equa¸cões Diferenciais Ordinárias é ilimitado. Como poderá ser obser-
vado com os modelos de Dinâmica Populacional e Modelo Predador-Presa. Alguns exemplos de
modelagem que podem ser citados são:
Desintegra¸cão Radioativa: Em muitos materiais radioativos, a sua massa decai ao longo do
tempo de acordo com a equa¸cão dM
dt = −kM, em que M é a massa do material num dado
instante.
Arrefecimento de um Corpo: A temperatura de um corpo T em contacto com um ambiente
a uma temperatura A, constante, é modelado pela equa¸cão de arrefecimento de Newton
dT
dt = −k(T − A), em que k é uma constante de transmissão de calor.
Circuito RC: Em um circuito constitu´ıdo por uma bateria com diferen¸ca de potencial V, uma
resistência R e um condensador de capacidade C. O circuito obedece às seguintes equa¸cões
diferenciais
V = RI +
Q
C
e I =
dQ
dt
(23)
Dinâmica Populacional: Um modelo simplificado de dinâmica poulacional (modelo de Verhulst-
Pearl) prevê que a varia¸cão da popula¸cão M se fa¸ca de acordo com a equa¸cão diferencial
dP
dt
= −kP 1 −
P
L
(24)
em que P é a popula¸cão num dado tempo, k uma constante (de crescimento inicial) e L um
valor limite.
Modelo Predador-Presa: Um sistema ecológico com duas espécies (predador-presa) pode ser
modelado pelas equa¸cões abaixo (Lotka-Volterra), neste caso referentes à varia¸cão do número
de raposas (F) e de coelhos (R) dR
dt = −aR − bRF e dF
dt = ebRF − cF onde os parâmetros
têm o seguinte significado
• a é a taxa de crescimento natural de coelhos, na ausência de predadores;
• b é a taxa de mortalidade por encontro de coelhos com raposas;
• c é a taxa de mortalidade natural de raposas na falta de coelhos;
• e é a eficiência de transforma¸cão de coelhos em raposas.
Movimento de um Pêndulo: O movimento de um pêndulo pode ser modelado através da equa-
¸cão diferencial
d2
α
dt2
= −
g
L
sin α − k
dα
dt
(25)
em que α é o ângulo de desvio da vertical em cada instante, m a masssa do pêndulo
(assumindo-se que a massa do fio é deprezável) g a acelera¸cão da gravidade (9.8ms−2
),
L o comprimento do pêndulo e k uma constante (nula no caso de um pêndulo sem friçcão).
Circuito RLC: Em um circuito constitu´ıdo por uma bateria com diferen¸ca de potencial V, uma
resistência R, um condensador de capacidade C e uma bobina de indutância L. O circuito
obedece às seguintes equa¸cões diferenciais
V = VR + VC + VL; VL = L
dI
dt
; VR = RI; VC =
Q
C
e I =
dQ
dt
(26)
9

Figura 7: Problemas que são cotidianamente modelados através de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias: Circuitos
RC, Movimento Pendular e Circuitos RLC.
3 Resolu¸cão de Equa¸cões Diferenciais Ordinárias
3.1 Métodos Numéricos Para a Resolu¸cão de Equa¸cões Diferenciais Or-
dinárias
O estudo e a implementa¸cão de métodos numéricos para a solu¸cão de equa¸cões diferenciais
ordinárias(EDO) é uma ferramenta de grande utilidade para a solu¸cão de muitos problemas, sejam
em Matemática ou áreas afins, cuja as técnicas conhecidas de resolu¸cão de equa¸cões diferenciais
mediante solu¸cões anal´ıticas, como a integra¸cão ou os desenvolvimentos em séries de potências não
se aplicam ou são de utiliza¸cão muito complicada ou praticamente inviável.
Desta forma,o emprego de métodos numéricos têm a finalidade de se conseguir aproxima¸cões
numéricas muito acuradas em rela¸cão à solu¸cão exata de uma equa¸cão diferencial do tipo y (x) =
f(x, y(x)), onde f(x, y) é uma fun¸cão estabelecida. Porém, para se definir uma única fun¸cão y(x)
temos de fornecer dados adicionais à equa¸cão diferencial para o qual é necessário uma condi¸cão que
denominamos de problema de valor inicial ou problema de valor de contorno, mais se restringiremos
somente ao primeiro caso em nosso estudo. Num problema de valor inicial (PVI), procuramos y(x),
solu¸cão de uma equa¸cão diferencial em estudo, que satisfa¸ca a seguinte condi¸cão:
y (x) = f(x, y); y(x0) = y0 (27)
com x0 e y0 sendo valores conhecidos.
No entanto o problema descrito acima é poss´ıvel de se implementar em uma linguagem de
programa¸cão para computadores e também em algumas calculadoras cient´ıficas portáteis.
Nas se¸cões subsequentes trataremos dos métodos numéricos de passo simples, onde estes re-
querem somente o conhecimento de yn para a determina¸cão de yn+1, como o Método de Euler,
Método de Euler Inverso, Método de Euler Aprimorado, assim como Runge-Kutta de ordem dois
e quatro.
Mais adiante trataremos dos métodos de passos múltiplos, onde estes utilizam dados de outros
pontos além do ponto prévio, digamos yn, yn−1, yn−2 para a determina¸cão de yn+1, como o Método
de Adams e fórmulas inversas de diferencia¸cão, assim como a discussão de erros e estabilidade destes
métodos, podendo compará-los em rela¸cão aos resultados obtidos nos métodos de passo simples.
Porém, antes mesmo da introdu¸cão desses métodos, faz-se necessário a demostra¸cão de algumas
das fórmulas matemáticas que regem os mesmos, com a inten¸cão de deixar mais claro e coeso o
próposito de nosso estudo.
As nota¸cões que serão usadas ao longo do trabalho são as seguintes. A solu¸cão exata do
problema de valor inicial dado pelas equa¸cões (27) será representada por φ ou y = φ(x), deste
modo, o valor da solu¸cão exata em xn é φ(xn). Para um dado procedimento numérico, os s´ımbolos
yn e yn = φ(xn, yn) representarão os valores aproximados da solu¸cão exata e de sua derivada no
ponto xn. Obviamente, φ(x0) = y0, mas em geral, φ(xn) = yn, para n ≥ 1. De modo análogo,
φ (x0) = y0, mas em geral, φ (xn) = f[xn, φ(xn)] não é igual a yn = f(xn, yn), para n ≥ 1. Além
disso, em toda a discussão, utilizaremos um espa¸camento ou tamanho de passo uniforme h no eixo
dos x. Assim, x1 = x0 + h, x2 = x1 + h = x0 + 2h e, em geral xn = x0 + nh.
10

4 Métodos de Passo Simples
4.1 O Método de Euler
O método de Euler é o método numérico mais elementar de um passo para a resolu¸cão de
equa¸cões diferenciais ordinárias. Deste modo,vamos discutir o desenvolvimento e o emprego dos
procedimentos numéricos deste método.
Primeiramente, vamos nos concentrar principalmente nos problemas de valor inicial de equa¸cões
diferenciais de primeira ordem, constitu´ıdos pela equa¸cão diferencial
y = f(x, y) eq.1 (28)
e pela condi¸cão inicial
y(x0) = y0 eq.2 (29)
e seguiremos o seguinte teorema
Teorema 2. Sejam as fun¸cões f e fy cont´ınuas num certo retângulo α < x < β; γ < y < δ que
contém o ponto (x0, y0). Então num certo intervalo x0 − h < x < x0 + h, contido em α < x < β
há uma única solu¸cão y = f(x) do problema de valor inicial:
y (x) = f(x, y); y(x0) = y0 (30)
A primeira tentativa de resolu¸cão numérica de uma equa¸cão diferencial foi feita por Eu-
ler,aproximadamente em 1768. Usou o que se chama hoje o método da reta tangente, ou
também método de Euler. Uma vez que, x0 e y0 são conhecidos, a inclina¸cão ou coeficiente
angular da reta tangente à solu¸cão em x = x0, especificamente f0(x0) = f(x0, y0), também é
conhecida. Deste modo, podemos construir a reta tangente à solu¸cão em x0, e então obter um
valor aproximado y1 de f(x1) por meio de um deslocamento ao longo da reta tangente desde de
x0 até x1.
Assim,
y1 = y0 + φ (x0)(x1 − x0) = y0 + f(x0, y0)(x1 − x0) eq.3 (31)
Uma vez que se tenha determinado y1, podemos calcular y1 = f(x1, y1) e usar este valor como
o coeficiente angular para uma nova aproxima¸cão, ao nos deslocarmos de x1 até x2.
Obtendo assim,
y2 = y1 + y1(x2 − x1) = y1 + f(x1, y1)(x2 − x1) eq.4 (32)
Em geral y1 = f(x1) e então, em geral, f(x1, y1) não é igual a f[x1, f(x1)], que é o coeficiente
angular da solu¸cão exata em x1. Continuando desta maneira, usamos o valor de y calculado em
cada passo para determinar o coeficiente angular da aproxima¸cão do passo seguinte. A fórmula
geral da aproxima¸cão de Euler é:
yn+1 = yn + f(xn, yn)(xn+1 − xn) eq.5 (33)
Se admitirmos que o incremento h entre os pontos x0, x1, x2, . . . seja uniforme, então xn+1 =
xn + h e a fórmula de Euler assumem o aspecto
yn+1 = yn + hf(xn, yn) = yn + hfn, n = 0, 1, 2, . . . eq.6 (34)
Antes de discutirmos o método de Euler com mais profundidade, ilustraremos o seu uso num
problema de valor inicial.
11

Consideremos o problema a seguir:
y = x − 2xy (eq.7), y(0) = 1 (eq.8) (35)
No decorrer deste trabalho, usaremos este pequeno exemplo para demostra¸cões e compara¸cões
dos diferentes métodos numéricos. A equa¸cão (7)[35] é uma equa¸cão diferencial ordinária linear de
primeira ordem, cuja solu¸cão satisfaz a condi¸cão inicial (8)[35]. Deste modo, obteremos a solu¸cão
geral e particular da equa¸cão diferencial proposta.
Sabemos que uma equa¸cão diferencial ordinária linear de primeira ordem, tem a forma:
y + p(x)y = q(x) (eq.9), (36)
onde p(x) e q(x) são fun¸cões cont´ınuas dadas, num certo intervalo α < x < β , segundo o
Teorema 2;
Assim da eq.(9)[36], obtemos o fator integrante:
µ(x) = e
R
p(x)dx
(eq.10), (37)
e a sua primitiva é:
y(x)e
R
p(x)dx
= q(x)e
R
p(x)dx
dx + C (eq.11) (38)
A constante arbitrária C é usada para satisfazer a condi¸cão inicial estabelecida no problema.
Desta maneira, podemos escrever a equa¸cão(7) na forma da equa¸cão(9) acima.
y + 2xy = x (eq.12) (39)
onde p(x) = 2x e q(x) = x são fun¸cões cont´ınuas no intervalo [0, 1] escolhido. O fator integrante
é:
µ(x) = e
R
2xdx
= ex2
(eq.13) (40)
e sua primitiva é:
y(x)ex2
= xex2
dx + C (eq.14) (41)
onde;
xex2
dx =
1
2
ex2
+ C (eq.15) (42)
utilizando-se a integra¸cão por mudan¸ca de variável. Através da condi¸cão inicial (8), encontramos
que c = 1
2 e assim;
y = φ(x) =
1
2
+
1
2
e−x2
(eq.16) (43)
é a solu¸cão particular do problema dado.
Uma vez que a solu¸cão exata é conhecida, não precisamos de métodos numéricos para resolver
o problema de valor inicial (7) e (8). Mas por outro lado, a disponibilidade de uma solu¸cão exata
facilitará o cálculo da exatidão dos diversos procedimentos numéricos que serão adotados neste
problema e nos demais seguintes.
Tomemos como exemplo, a utiliza¸cão da fórmula de Euler (6), com um incremento h = 0, 1;
e, em seguida para h = 0, 05, onde deseja-se calcular um valor aproximado da solu¸cão y = φ(x)
em x = 0, 2 para o problema de valor inicial (7) e (8). Identificamos inicialmente yn = f(x, y) =
x − 2xy, de modo que a fórmula de Euler (6) se escreve como :
yn+1 = yn + h(xn − 2xnyn)
Então, para h = 0, 1, utilizando a fórmula do método de Euler, calculamos inicialmente,
y0 = f(0, 1) = 0 − 2 · 0 · 1 = 0
12

então,
y1 = y0 + hf(0, 1) = 1 + (0, 1) · 0 = 1
Na etapa seguinte,
y2 = y1 + hf(x1, y1) = 1 + (0, 1)f(0, 1; 1) = 1 + (0, 1) · (0, 1 − 2 · 0, 1 · 1) = 1 + (0, 1) · (−0, 1) = 0, 99.
Isto é uma estimativa do valor de y(0, 2) com x = 0, 2. Entretanto, tomando h = 0, 05,
tornam-se necessárias quatro itera¸cões para chegarmos a x = 0, 2.
Se prosseguirmos com a aproxima¸cão do método de Euler, ao longo do intervalo desejado [0, 1],
obedecendo os valores de incremento determinados h = 0, 1 e h = 0, 05, encontraremos os demais
valores aproximados da solu¸cão exata. Seguindo a elabora¸cão de um algoritmo para o método
(podendo utilizar um programa em linguagem C, por exemplo) obteremos os demais valores de
xn ao longo do intervalo analisado. Desta forma, podemos construir uma tabela de dados que nos
permitirá estruturar, para uma melhor análise, às demais solu¸cões aproximadas.[Para uma melhor
introdu¸cão a algoritmos e linguagens de programa¸cão ler ”Aprendendo a Programar Programando
em C”] (Evaristo, 2001)
Figura 8: Ilustra¸cão do método de Euler. Observe como se comporta o gráfico em rela¸cão a solu¸cão numérica
(método de Euler) e anal´ıtica de uma equa¸cão diferencial ordinária de 1a ordem. O método pode ser aplicado com
o uso de lápis, papel e calculadora. No entanto, este processo é fastidioso pelo número de itera¸cões. Seu desenvol-
vimento utilizando um computador é muito mais simples. Repare que o valor do passo é escolhido considerando-se
o erro desejado. O erro no método de Euler é da ordem de O(h2).
ALGORITMO DO MÉTODO DE EULER
• No intervalo , selecione os pontos x0 < x1 < . . . < xn = x0 + nh com um incremento
h = (x0+nh)−x0
n entre eles.
• Calcule a aproxima¸cão x1 de φ(x1) usando a fórmula descrita pelo método x1 = x0 +
hf(x0, y0)
• Agora, calcule a aproxima¸cão x2 de φ(x2) usando novamente a fórmula descrita pelo método
x2 = x1 + hf(x1, y1)
• Continue o processo e obtenha as aproxima¸cões x3, x4, . . . , xn usando sucessivamente a fór-
mula xn+1 = xn + hf(xn, yn) ao longo do intervalo [x0, x0 + nh].
13

¨§ ¤
1 Entre com a funcao f(x, y) .
2 Entre com os v a l o r e s i n i c i a i s x0 e y0 .
3 Entre com o passo h .
4 Enquanto xn xfinal Execute :
5 Escreva n, xn, yn .
6 Avalie xn+1 = xn + h .
7 Avalie yn+1 = yn + h · f(xn, yn) .
8 Faca xn = xn+1 e yn = yn+1
9 Fim.
©¦ ¥
Código Fonte 1: Algoritmo Simplificado do Método de Euler, também conhecido como método da reta secante.
É um dos métodos mais antigos que se conhece para a solu¸cão de equa¸cões diferenciais ordinárias. Problemas
práticos não devem ser resolvidos com o método de Euler. Existem outros métodos que proporcionam resultados
com uma melhor precisão e estabilidade se comparados ao método de Euler para o mesmo passo.
Para ilustrar ainda mais a obten¸cão dos valores do exemplo padrão, exibiremos uma pequena
implementa¸cão do Método de Euler em C++ [Código Fonte 2]. Observe que neste exemplo de
codifica¸cão utilizamos h = 0.001 apenas a t´ıtutlo exploratório. Na tabela de valores utilizamos a
equa¸cão y = x − 2xy, y(0) = 1 que possibilitou gerar os demais valores aproximados xn ao longo
do intervalo em [0, 1] com valores de incrementos h = 0, 1 e h = 0, 05.
¨§ ¤
1 #i n c l u d e cmath
2 #i n c l u d e c s t d l i b
3 #i n c l u d e iostream
4
5 /∗ Solucao y(x) da equacao − Definicao da funcao ∗/
6 double y ( double x ) { return . . . }
7
8 /∗ A funcao f(x, y) ∗/
9 double f ( double x , double y ) { return . . . }
10
11 /∗ Funcao P r i n c i p a l do Programa ∗/
12 int main( int argc , char∗ argv [ ] )
13 {
14 double xn , xn1 , xmax ; /∗ v a r i a v e i s xn e xn+1 ∗/
15 double yn , yn1 ; /∗ v a r i a v e i s yn e yn+1 ∗/
16 double y0 , x0 ; /∗ v a l o r e s i n i c i a i s de y e x ∗/
17 double h ; /∗ passo ∗/
18 int n ;
19
20 x0 = 0 . 0 ; /∗ v a lo r i n c i a l para x ∗/
21 y0 = 1 . 0 ; /∗ v a lo r i n i c i a l para y ∗/
22 xmax = 2 . 0 ; /∗ v a lo r maximo para x ∗/
23 h = 0 . 0 0 1 ; /∗ o v a l or do passo ∗/
24 xn = t0 ;
25 yn = y0 ;
26 n = 0 ; /∗ numero de i t e r a c o e s ∗/
27 while ( xn xmax)
28 {
29 /∗ Escreva os v a l o r e s das v a r i a v e i s ∗/
30 std : : cout n t xn t yn t y ( xn ) std : : endl ;
31
32 /∗ Estime yn+1 pelo metodo de Euler ∗/
33 yn1 = yn + h∗ f ( xn , yn ) ;
34 xn1 = xn + h ;
35
36 /∗ Atribua os v a l o r e s para a proxima i t e r a c a o ∗/
37 n = n + 1 ;
38 yn = yn1 ;
39 xn = xn1 ;
40 }
41
42 /∗ Termino do programa ∗/
43 return EXIT SUCCESS ;
44 }
©¦ ¥
Código Fonte 2: Exemplo de um programa em C++ para a solu¸cão de uma EDO pelo método de Euler. Este
programa foi escrito apenas com intuito didático, o uso de outras técnicas inerentes a linguagem como Orienta¸cão
à Objetos, defini¸cão de classes para avalia¸cão de fun¸cões, Objetos-Fun¸cão e o próprio uso da STL podem dar um
semblante mais profissional ao pequeno trecho de código apresentado.
Nas tabelas [1] e [2], os valores encontrados para a solu¸cão exata, foram calculados a partir
14

xn yn Solu¸cão Exata Erro Absoluto Erro Relativo %
0,00 1,0000 1,0000 0,0000 0,00
0,10 1,0000 0,9950 0,0050 0,50
0,20 0,9900 0,9804 0,0096 0,97
0,30 0,9704 0,9570 0,0134 1,40
0,40 0,9422 0,9261 0,0161 1,73
0,50 0,9068 0,8894 0,0233 2,61
0,60 0,8661 0,8488 0,0174 2,04
0,70 0,8222 0,8063 0,0159 1,97
0,80 0,7771 0,7636 0,0135 1,76
0,90 0,7327 0,7224 0,0103 1,42
1,00 0,6908 0,6839 0,0069 1,00
Tabela 1: Resultado da aplica¸cão do método de Euler, com valor do incremento h = 0, 1, na resolu¸cão numérica
de y = x − 2xy, y(0) = 1
0,00 1,0000 1,0000 0,0000 0,00
0,05 1,0000 0,9988 0,0012 0,12
0,10 0,9975 0,9950 0,0025 0,25
0,15 0,9925 0,9889 0,0036 0,36
0,20 0,9851 0,9804 0,0047 0,47
0,25 0,9754 0,9697 0,0057 0,58
0,30 0,9635 0,9570 0,0065 0,67
0,35 0,9496 0,9424 0,0072 0,76
0,40 0,9339 0,9261 0,0078 0,84
0,45 0,9165 0,9083 0,0082 0,90
0,50 0,8978 0,8894 0,0084 0,94
0,55 0,8779 0,8695 0,0084 0,96
0,60 0,8571 0,8488 0,0083 0,97
0,65 0,8357 0,8277 0,0080 0,96
0,70 0,8138 0,8063 0,0075 0,93
0,75 0,7919 0,7848 0,0071 0,90
0,80 0,7700 0,7636 0,0064 0,83
0,85 0,7484 0,7428 0,0056 0,75
0,90 0,7273 0,7224 0,0049 0,67
0,95 0,7068 0,7028 0,0040 0,56
1,00 0,6871 0,6839 0,0032 0,46
Tabela 2: Resultado da aplica¸cão do método de Euler, com valor do incremento h = 0, 05, na resolu¸cão numérica
de y = x − 2xy, y(0) = 1.
15

da solu¸cão anal´ıtica y = φ(x) = 1
2 + 1
2 e−x2
. Por outro lado, define-se o erro absoluto como:
|exata − aprox|.
Por outro lado, o erro relativo e erro relativo percentual são definidos como:
|exata − aprox|
|exata|
e
|exata − aprox|
|exata|
· 100 =
erro absoluto
|exata|
· 100
Um programa de computador permite-nos examinar aproxima¸cões do gráfico da solu¸cão y(x)
de um problema de valor inicial, tra¸cando os gráficos de retas pelos pontos (xn, yn) gerados pelo
método de Euler.
Figura 9: Aqui comparamos no intervalo [0,1], o gráfico da solu¸cão exata do problema de valor inicial (B) com
o gráfico obtido pelo método de Euler (A) utilizando o valores para h = 0, 05. Se fizessemos um comparativo para
h = 0, 1 seria fácil observar que a aproxima¸cão melhora quando o passo diminui.
Um fato relevante, ao adotar um procedimento numérico, como o método de Euler, é ter
sempre em mente a questão de saber se os resultados são suficientemente muito próximos da
solu¸cão exata para terem utilidade. No exemplo precedente, a exatidão dos resultados numéricos
pode ser verificada graficamente, pela compara¸cão com a solu¸cão exata. Pois é natural, não se
dispor, em geral, da solu¸cão exata quando se adota um procedimento numérico.
Vamos agora apontar três maneiras de demonstrar a fórmula de Euler (6), que sugerem formas
de se encontrar fórmulas melhores, e que também ajudam na investiga¸cão dos erros cometidos com
ado¸cão da equa¸cão (6).
Em primeiro lugar, vamos escrever a equa¸cão diferencial (1) no ponto x = xn na forma
dφ
dt
(xn) = f[xn, φ(xn)] (eq.17) (44)
Em seguida, aproximamos a derivada da equa¸cão (17) pela rela¸cão [φ(xn+1)−φ(xn)]/xn+1−xn,
e como, h = xn+1 − xn, obtendo-se assim
φ(xn+1) − φ(xn)
h
∼= f[xn, φ(xn)] (eq.18) (45)
Finalmente, substitu´ımos φ(xn+1) e φ(xn) pelos valores aproximados yn+1 e yn respectiva-
mente, obtendo a fórmula de Euler (6)
yn+1 = yn + hfn
Em segundo lugar, como y = φ(x) é uma solu¸cão do problema de valor inicial (1), (2), e
φ (x) = f[x, φ(x)], desta forma integrando-se de xn a xn+1, obtemos
xn+1
xn
φ (x)dt =
xn+1
xn
f[x, φ(x)]dt
Aplicando o 1o
Teorema Fundamental do Cálculo no 1o
membro da igualdade, temos que :
16

φ(x)|xn+1
xn
=
xn+1
xn
f[x, φ(x)]dt
φ(xn+1) − φ(xn) =
xn+1
xn
f[x, φ(x)]dt
φ(xn+1) = φ(xn) +
xn+1
xn
f[x, φ(x)]dt (eq.19) (46)
Se aproximarmos a integral, pela substitui¸cão de f[x, φ(x)] por seu valor f[xn, φ(xn)] em x =
xn. Desta maneira, obteremos :
φ(xn+1) ∼= φ(xn) + f[xn, φ(xn)](xn+1 − xn)
φ(xn+1) = φ(xn) + hf[xn, φ(xn)] (eq.20) (47)
Finalmente para se ter uma aproxima¸cão yn+1 para φ(xn+1) fazemos uma segunda aproxima¸cão
pela substitui¸cão de φ(xn) por seu valor aproximado yn na equa¸cão (20). Isto nos leva à fórmula
de Euler (6)
yn+1 = yn + hf(xn, yn)
Pode-se obter uma fórmula mais exata, se a integral for aproximada com maior exatidão. Em
terceiro lugar, vamos admitir que a solu¸cão y = φ(x) tenha uma série de Taylor em torno do ponto
x = xn, então :
φ(xn + h) = φ(xn) + φ (xn)h + φ (xn)
h2
2!
+ . . .
ou
φ(xn + h) = φ(xn) + f[xn, φ(xn)]h + φ (xn)
h2
2!
+ . . . (eq.21) (48)
Se a série for truncada depois dos primeiros termos, e se φ(xn+1) e φ(xn) forem substitu´ıdas
pelos valores aproximados yn+1 e yn obteremos outra vez a fórmula de Euler (6) :
yn+1 = yn + hf(xn, yn)
Quando utilizamos mais termos da série, conseguimos fórmulas mais exatas e precisões muito
maiores.
4.1.1 Fórmula de Euler Inversa
Uma variante da fórmula de Euler pode ser obtida aproximando a derivada da equa¸cão (17)
pela expressão [φ(xn) − φ(xn−1)]/h em vez de usar a expressão do lado esquerdo da equa¸cão (18).
Desta forma, obtemos :
φ(xn) − φ(xn−1) ∼= hf(xn, yn)
ou
yn = yn−1 + hf(xn, yn)
Mudando o ind´ıce de n para n + 1, obtemos a fórmula de Euler inversa
yn+1 = yn + hf(xn+1, yn+1) (eq.22) (49)
17

Supondo que yn seja conhecido e que yn+1 deva ser calculado, observe que a equa¸cão (22)
não fornece uma fórmula expl´ıcita para calcular yn+1. Em vez disso, a equa¸cão define yn+1
implicitamente e deve ser resolvida para determinar o valor de yn+1.
Como exemplo, use a fórmula de Euler inversa (22) para determinar valores aproximados da
solu¸cão do problema de valor inicial (7) e (8). Use h = 0, 1 e determine y1 e y2. No primeiro passo,
temos:
y1 = y0 + hf(x1, y1) = 1 + (0, 1)(0, 1 − 2 · (0, 1) · y1)
Tirando o valor de y1, obtemos:
y1 = 1, 01/1, 02 = 0, 99019607
com uma precisão de oito algarismos significativos. Observe que como a equa¸cão diferencial
é linear, a equa¸cão impl´ıcita para calcular y1 também é linear e portanto fácil de resolver. Em
seguida, temos:
y2 = y1 + hf(x2, y2) = 0, 99019607 + (0, 1)(0, 2 − 2 · (0, 2) · y2),
o que leva a
y2 = 1, 01019607/1, 04 = 0, 971342375
Os valores de y1 e y2 determinados podem ser comparados com os valores correspondentes da
solu¸cão exata, φ(0, 2) = 0, 9804. Continuando o processo iniciado no exemplo anterior e tomando
os mesmos valores para o incremento h = 0, 1 e h = 0, 05, respectivamente, podemos gerar os
dados que aparecem na Tabela (3) e (4)
0,00 1,0000 1,0000 0,0000 0,00
0,10 0,9902 0,9950 0,0048 0,48
0,20 0,9713 0,9804 0,0091 0,93
0,30 0,9447 0,9570 0,0123 1,30
0,40 0,9117 0,9261 0,0143 1,57
0,50 0,8743 0,8894 0,0151 1,72
0,60 0,8342 0,8488 0,0146 1,75
0,70 0,7932 0,8063 0,0132 1,65
0,80 0,7527 0,7636 0,0109 1,45
0,90 0,7142 0,7224 0,0083 1,15
1,00 0,6785 0,6839 0,0055 0,80
Tabela 3: Resultado da aplica¸cão do método de Euler inversa, com valor do incremento h = 0, 1, na resolu¸cão
numérica de y = x − 2xy, y(0) = 1.
Comparando os resultados da Tabela (1) e da Tabela (2), vemos que para este problema, a
fórmula de Euler inversa é um pouco menos precisa que a fórmula de Euler expl´ıcita. Já que
ela também é um pouco mais dif´ıcil de usar, podemos ficar a nos perguntar por que nos demos o
trabalho de mencioná-la. A resposta é que trata do exemplo mais simples de uma classe de métodos
conhecidos como fórmulas inversas de diferencia¸cão que podem ser muito úteis para resolver certas
classes de equa¸cões diferenciais (Boyce DiPrima, 2005; Zill, 2003).
4.1.2 Fórmula de Euler Aprimorada
Uma fórmula aproximada melhor pode ser obtida se o integrando na equa¸cão (19) for apro-
ximado com maior exatidão. Uma forma de conseguir esta melhoria é a de substituir o inte-
grando pela média dos seus valores nas duas extremidades do intervalo de integra¸cão, ou seja,
por {f[xn, φ(xn)] + f[xn+1, φ(xn+1)]}/2. Além disso, se substituirmos φ(xn) e φ(xn+1) pelos
respectivos valores aproximados yn e yn+1, obteremos, da equa¸cão (22),
yn+1 = yn +
f(xn, yn) + f(xn+1, yn+1)
2
h (eq.23) (50)
18

0,00 1,0000 1,0000 0,0000 0,00
0,05 0,9975 0,9988 0,0024 0,12
0,10 0,9926 0,9950 0,0025 0,24
0,15 0,9853 0,9889 0,0036 0,36
0,20 0,9758 0,9804 0,0046 0,47
0,25 0,9642 0,9697 0,0055 0,57
0,30 0,9507 0,9570 0,0063 0,66
0,35 0,9354 0,9424 0,0069 0,74
0,40 0,9187 0,9261 0,0074 0,80
0,45 0,9007 0,9083 0,0077 0,85
0,50 0,8816 0,8894 0,0078 0,88
0,55 0,8617 0,8695 0,0078 0,90
0,60 0,8412 0,8488 0,0076 0,90
0,65 0,8204 0,8277 0,0073 0,89
0,70 0,7994 0,8063 0,0069 0,86
0,75 0,7785 0,7848 0,0064 0,81
0,80 0,7579 0,7636 0,0057 0,75
0,85 0,7377 0,7428 0,0051 0,68
0,90 0,7180 0,7224 0,0044 0,60
0,95 0,6992 0,7028 0,0036 0,51
1,00 0,6810 0,6839 0,0029 0,42
Tabela 4: Resultado da aplica¸cão do método de Euler inversa, com valor do incremento h = 0, 05, na resolu¸cão
numérica de y = x − 2xy, y(0) = 1
Uma vez que a incógnita yn+1 aparece como um dos argumentos de f no segundo membro da
equa¸cão (23) é muitas vezes bastante dif´ıcil resolver esta equa¸cão em yn+1. Esta dificuldade pode
ser superada pela substitui¸cão, no segundo membro da equa¸cão (23), de yn+1 pelo valor obtido
mediante a fórmula de Euler (6).
Assim,
yn+1 = yn +
f(xn, yn) + f[xn + h, yn + hf(xn, yn)]
2
h
yn+1 = yn +
fn + f[xn + h, yn + hfn]
2
h (eq.24) (51)
onde xn+1 foi substitu´ıdo por xn + h.
A equa¸cão (24) dá uma fórmula para o cálculo de yn+1, o valor aproximado de φ(xn+1), em
termos dos dados em xn. É conhecido como fórmula de Euler aprimorada ou fórmula de Heun.
O aprimoramento da equa¸cão (22) em rela¸cão à fórmula de Euler(6) está em que o erro de
truncamento local, com a equa¸cão (24) é proporcional a O(h3
), enquanto com método de Euler
é proporcional a O(h2
). Nota-se que esta melhoria da exatidão é conseguida às custas de maior
quantidade de trabalho computacional, pois se tem que estimar f(x, y) duas vezes a fim de passar
de xn para xn+1.
Se f(x, y) depender exclusivamente de x e não de y, a resolu¸cão da equa¸cão diferencial y =
f(x, y) se reduz à integra¸cão de f(x). Neste caso, a fórmula de Euler aprimorada (24) fica
yn+1 − yn =
h
2
[f(xn) + f(xn + h)] (eq.25) (52)
que é a regra do trapézio para a integra¸cão numérica.
4.2 O Método dos Três Termos da Série de Taylor
Vimos em uma se¸cão anterior que a fórmula de Euler, yn+1 = yn + hf(xn, yn), para resolver o
problema de valor inicial y = f(x, y), y(x0) = y0 pode ser deduzida retendo-se os dois primeiros
termos na série de Taylor para a solu¸cão y = φ(x) em torno do ponto y = xn. Pode-se obter
uma fórmula mais precisa usando-se os três primeiros termos. Considerando-se que φ tem, pelo
menos, três derivadas cont´ınuas no intervalo de interesse (ou seja, é pelo menos de classe C3
e
19

0,00 1,0000 1,0000 0,0000 0,00
0,10 0,9950 0,9950 0,0000 0,00
0,20 0,9803 0,9804 0,0001 0,10
0,30 0,9569 0,9570 0,0001 0,01
0,40 0,9260 0,9261 0,0001 0,01
0,50 0,8894 0,8894 0,0000 0,00
0,60 0,8545 0,8488 0,0057 0,67
0,70 0,8114 0,8063 0,0051 0,63
0,80 0,7682 0,7636 0,0046 0,60
0,90 0,7264 0,7224 0,0040 0,55
1,00 0,6875 0,6839 0,0036 0,52
Tabela 5: Resultado da aplica¸cão do método de Euler aprimorado, com valor do incremento h = 0, 1, na
resolu¸cão numérica de y = x − 2xy, y(0) = 1.
f tem derivadas parciais de segunda ordem cont´ınuas) e usando a série de Taylor com um resto,
obtemos
φ(xn + h) = φ(xn) + φ (xn)h + φ (xn)
h2
2!
+ φ (xn)
h3
3!
(eq.26) (53)
onde xn é algum ponto no intervalo xn xn xn + h.
Da equa¸cão (17),
φ (xn) = f[xn, φ(xn)]
Além disso, φ (xn) pode ser calculado da equa¸cão anterior :
φ (x) = fx[x, φ(x)] + fy[x, φ(x)]φ (x) (eq.27) (54)
Deste modo,
φ (xn) = fx[xn, φ(xn)] + fy[xn, φ(xn)]φ (xn) (eq.28) (55)
Obtém-se a fórmula dos três termos da série de Taylor substituindo φ(xn) por seu valor apro-
ximado yn nas fórmulas para φ (xn) e φ (xn) e então desprezando o termo φ (xn)/3! na equa¸cão
(26). Assim, obtemos:
yn+1 = yn + hyn +
h2
2
yn (eq.29) (56)
onde
yn = f(xn, yn) (eq.30) (57)
e
yn = fx(xn, yn) + fy(xn, yn)yn (eq.31) (58)
Assim,
yn+1 = yn + hf(xn, yn) +
h2
2
[fx(xn, yn) + fy(xn, yn)f(xn, yn)] (eq.32) (59)
É trivial mostrar, considerando-se que φ(xn) = yn, que o erro de fórmula local en+1 associado
à fórmula |exata − aprox| é:
en+1 = φ(xn+1) − yn+1 =
1
6
φ (xn)h3
(eq.33) (60)
onde xn xn xn + h.
Assim, o erro de fórmula local para a fórmula dos três termos da série de Taylor é proporcional a
O(h3
) exatamente como na fórmula de Euler aprimorada discutida na se¸cão anterior. Novamente,
pode-se também mostrar que, para um intervalo finito, o erro de fórmula acumulado não é maior
que uma constante vezes O(h2
).
20

A fórmula dos três termos da série de Taylor requer o cálculo de fx(x, y) e fy(x, y) e então a
avalia¸cão destas fun¸cões, bem como de f(x, y) em (xn, yn). Em alguns problemas, pode ser dif´ıcil,
ou bastante demorado, o cálculo de fx e fy. Se este for o caso, será provavelmente melhor usar
uma fórmula com precisão comparável, tal como a fórmula de Euler aprimorada, que não requer
as derivadas parciais fx e fy. Em princ´ıpio, fórmulas de quatro termos, ou mesmo mais, da série
de Taylor podem ser desenvolvidas. Entretanto, tais fórmulas envolvem derivadas parciais de f
ainda menores e são, em geral, impróprias para uso.
0,00 1,0000 1,0000 0,0000 0,00
0,10 0,9900 0,9950 0,0050 0,50
0,20 0,9793 0,9804 0,0011 0,11
0,30 0,9507 0,9570 0,0062 0,64
0,40 0,9150 0,9261 0,0111 1,19
0,50 0,8739 0,8894 0,0155 1,74
0,60 0,8297 0,8488 0,0191 2,25
0,70 0,7842 0,8063 0,0221 2,74
0,80 0,7393 0,7636 0,0243 3,18
0,90 0,6967 0,7224 0,0257 3,55
1,00 0,6226 0,6839 0,0613 8,96
Tabela 6: Resultado da aplica¸cão dos três termos da série de Taylor, com valor do incremento h = 0, 1, na
resolu¸cão numérica de y = x − 2xy, y(0) = 1
4.3 O Método de Runge-Kutta
Os métodos de Runge-Kutta são os mais usados dentre aqueles apropriados para os problemas
de valor inicial. Os seus atrativos são simplicidade, alta precisão e versatilidade nas aplica¸cões a
serem utilizadas (Hull et al., 1972; Stabrowski, 1997; Gear, 1971). Tomemos a equa¸cão diferencial
de primeira ordem, com o seguinte problema de valor inicial y = f(x, y), y(x0) = y0.
Considerando a malha definida pelo passo h, podemos usar a fórmula de diferen¸cas finitas
avan¸cada para discretizar a derivada de y(x) no ponto xk. Assim, obtemos uma versão discretizada
de (18)
yk+1 − yk
h
= f(xk, yk) (eq.34) (61)
Esta equa¸cão permite que calculemos yk+1 a partir de yk, e define o Método de Euler (1707-1783),
estabelecido em 1768. Sua aplica¸cão é muito simples:
y0 = y(x0)
yk+1 = yk + hf(xk, yk), para k = 0, 1, 2, . . .
O método numérico de Euler foi usado por Cauchy (1789-1857) em um procedimento matemá-
tico para demonstrar a existência de solu¸cão para o problema do valor inicial. O argumento de
Cauchy foi generelizado por Lipschitz (1832-1903), exigindo menos da fun¸cão f(x, y).
Como vimos anteriormente, a fórmula avan¸cada introduz erro da ordem de h em cada passo.
E nas se¸cões anteriores, como introduzimos a fórmula de Euler, a fórmula de Euler aprimorada e a
fórmula de Taylor com três termos, verifica-se que os erros de truncamento locais nesses métodos
são proporcionais a h2
, h3
e h3
, respectivamente. Todos eles pertencem à chamada classe de
métodos de Runge-Kutta.
A idéia de Euler tem versões de maior precisão nos trabalhos de Runge em 1895, para o caso
de uma equa¸cão, e Kutta em 1901, para o caso de sistemas de equa¸cões diferenciais de primeira
ordem.
21

4.3.1 O Método Runge-Kutta de Segunda Ordem.
Consideremos inicialmente os métodos Runge-Kutta de segunda ordem definidos pela expres-
são:
yk+1 − yk
h
= β0f(xk, yk) + β1f(xk + γh, yk + δh),
onde os parâmetros β0, β1, γ e δ serão convenientemente calculados de modo a aumentar a
precisão do resultado.
Explicitando yk+1 nesta rela¸cão, temos :
yk+1 = yk + hβ0f(xk, yk) + hβ1f(xk + γh, yk + δh) (eq.35) (62)
O último termo do lado direito desta equa¸cão pode ser desenvolvido através da série de Taylor
para fun¸cões de duas variáveis, isto é :
f(xk + γh, yk + δh) = f(xk, yk) + hγfx(xk, yk) + hδfy(xk, yk) +
1
2
[h
2
γ
2
fxx(xk, yk) + 2h
2
γδfxy(xk, yk) + h
2
δ
2
fyy(xk, yk)] + O(h
3
)
Levando esta expansão para a equa¸cão (35) e agrupando os termos de iguais potências de h
teremos:
yk+1 = yk + [(β0 + β1)f(xk, yk)] +
h2
2
[2β1γfx(xk, yk) + 2β1δfy(xk, yk)] +
h3
6
[3β1γ2
fxx(xk, yk) + 6β1γδfxy(xk, yk) + 3β1δ2
fyy(xk, yk)] + O(h4
)
Nos métodos de Runge-Kutta adota-se, como critério de escolha dos quatro parâmetros β0, β1,
γ e δ, a ordem de aproxima¸cão dos valores de yk+1 obtidos.
Detalharemos a seguir apenas o caso simples, que é chamado Runge-Kutta de segunda ordem.
Tomando os desenvolvimentos feitos, vamos escolher β0, β1, γ e δ de modo que os multiplicadores
de h e h2
sejam iguais nas duas expressões. Desta maneira, os parâmetros devem satisfazer às três
rela¸cões;
β0 + β1 = 1
2β1γ = 1
2β1δ = f(xk, yk)
Como são quatro os parâmetros e três as condi¸cões que eles devem satisfazer, existem várias
escolhas de β0, β1, γ e δ de modo que o cálculo de yk+1 coincida com o da série de Taylor, até o
termo de segunda ordem.
Assim, poder´ıamos tomar :
β0 = β1 =
1
2
, γ = 1 e δ = f(xk, yk)
Isto caracteriza o chamado Método de Euler modificado ou
β0 = β1 = 1, γ =
1
2
e δ =
1
2
f(xk, yk)
Enquanto, que para este valores caracteriza o chamado Método de Euler aperfei¸coado.
Desta forma, estes são os parâmetros que definem Métodos de Runge-Kutta de segunda
ordem.
Para estabelecer outras fórmulas mais gerais de Runge-Kutta, que coincidam com a série de
Taylor até os termos de ordem h3
, h4
, etc, generalizamos de modo que:
yk+1 = yk + h[β0f(xk, yk) + β1f(xk + γ1h, yk + δ1h)] + β2f(xk + γ2h, yk + δ2h) + β2f(xk + γ3h, yk + δ3h) + . . .]
e procedemos de maneira análoga para estabelecer rela¸cões entre os parâmetros.
22

Figura 10: Ilustra¸cão do Método de Runge-Kutta de 2a Ordem ou Método do Ponto Médio. No método de Euler
de passo h , a estimativa de yn+1 é realizada com os valores de xn e da derivada de yn. No método de Runge-Kutta
de 2a ordem, o valor da estimativa de yn+1 é encontrado com o valor de yn e com uma estimativa da derivada em
um ponto mais próximo de xn+1, em xn + h/2.
23

4.3.2 O Método Runge-Kutta de Quarta Ordem.
Nesta se¸cão, discutimos um método também formulado originalmente por Runge e Kutta.
Este método é hoje oficialmente conhecido como método clássico Runge-Kutta de quarta ordem
e quatro estágios, mas muitos autores o chamam simplesmente de método de Runge-Kutta, pode
ser o mais usado, onde possui uma combina¸cão de simplicidade, alta precisão e economia. Neste
método, o erro de truncamento local é proporcional a h5
, isto devido a sua fórmula clássica ser
equivalente a uma fórmula de Taylor de cinco termos:
yn+1 = yn + hyn +
h2
2!
yn +
h3
3!
yn +
h4
4!
yiv
n (eq.36) (63)
Assim, ele é duas ordens de grandeza mais preciso que o método de Euler aperfei¸coado e
o método de Taylor de três termos, e três ordens de grandeza mais preciso que o método de
Euler. É relativamente fácil de usar e suficientemente preciso para resolver muitos problemas de
forma eficiente. Melhor ainda, é o método de Runge-Kutta adaptativo, no qual se faz variar o
incremento de acordo com as necessidades. Desta forma, a fórmula de Runge-Kutta envolve uma
média ponderada dos valores de f(x, y) tomados em diferentes pontos do intervalo xn ≤ x ≤ xn+1.
Tal forma é dado por:
yn+1 = yn +
h
6
(kn1 + 2kn2 + 2kn3 + kn4) (eq.37) (64)
onde;
kn1 = f(xn, yn)
kn2 = f(xn +
1
2
h, yn +
1
2
hkn1)
kn3 = f(xn +
1
2
h, yn +
1
2
hkn2)
kn4 = f(xn + h, yn + hkn3)
Podemos interpretar a soma (kn1 + 2kn2 + 2kn3 + kn4)/6 como um coeficiente angular médio.
Note que kn1 é o coeficiente angular na extremidade esquerda do intervalo, kn2 é o coeficiente
angular no ponto médio estimado pela fórmula de Euler para ir de xn até xn + h/2, kn3 é uma
segunda aproxima¸cão do coeficiente angular no ponto médio e, finalmente, kn4 é o coeficiente
angular em xn + h estimado pela fórmula de Euler e pelo coeficiente angular kn3 indo de xn até
xn + h.
Apesar de não ser muito dif´ıcil demonstrar, em princ´ıpio, que as equa¸cões anteriormente esta-
belecidas [eq.36 e eq.37] diferem por termos no desenvolvimento de Taylor da solu¸cão φ por termos
que são proporcionais a h5
, a álgebra envolvida é bastante extensa. Deste modo, aceitaremos o
fato de que o erro de truncamento local ao usarmos a equa¸cão (37) é proporcional a h5
e que, para
um intervalo finito, o erro de truncamento acumulado é, no máximo, igual a uma constante vezes
h4
. Obviamente a fórmula de Runge-Kutta nas equa¸cões (36)[63] e (37)[64] é mais complexa do
que qualquer uma das fórmulas discutidas anteriormente. Por outro lado, devemos lembrar que
ela é uma fórmula muito precisa, isto é, reduzindo o tamanho do passo à metade, reduzimos o erro
de truncamento local por um fator de 1/32; além disso, não é necessário calcularmos nenhuma
derivada parcial de f. Além do mais, os cálculos aqui descritos são rotineiros num computador
de alta velocidade e podem ser feitos em segundos para qualquer fun¸cão f, exceto para aquelas
extremamente complicadas e longas. Note também que, se f não depende de y, então
kn1 = f(xn), kn2 = kn3 = f(xn, h/2), kn4 = f(xn + h)
24

e a eq.(37)[64] é idêntica àquela obtida usando-se a regra de Simpson para avaliar a integral de
y = f(x);
yn+1
yn
dy =
xn+h
xn
f(x)dx
ou
yn+1 − yn =
h
6
[f(xn) + 4f(xn + h/2) + f(xn + h)]
O fato de a regra de Simpson possuir um erro proporcional a h5
está de acordo com o comentário
anterior sobre o erro na fórmula de Runge-Kutta.
A fórmula de Runge-Kutta, nas eqs.(36)[63] e (37)[64], são todas de um passo, de modo que são
amplamente usadas com maior sucesso em uma implementa¸cão numérica. Um fato interessante
de se realizar, seria a implementa¸cão de um programa de computador que utiliza-se o método
numérico descrito nesta se¸cão. A estrutura do programa seria a mesma de um programa usado
para implementar o método de Euler. A diferen¸ca fundamental estaria na linha referente ao
sexto passo do algoritmo de Euler. Essa linha, ou as intru¸cões contidas na mesma, deveriam ser
substitu´ıdas pelas estruturas do algoritmo de Runge-Kutta.
ALGORITMO DO MÉTODO DE RUNGE-KUTTA DE QUARTA ORDEM (RK4)
¨§ ¤
1 Entre com a funcao f(x, y) .
2 Entre com os v a l o r e s i n i c i a i s x0 e y0 .
3 Entre com o v a lo r para o incremento h e o numero de passos n .
4 Escreva x0 e y0 .
5 Desde do passo 1 Ate o passo n Faca .
6 Avalie k1 = f(x, y)
7 Avalie k2 = f(x + 0.5 ∗ h, y + 0.5 ∗ h ∗ k1)
8 Avalie k3 = f(x + 0.5 ∗ h, y + 0.5 ∗ h ∗ k2)
9 Avalie k4 = f(x + h, y + h ∗ k3)
10 Avalie y = y + (h/6) ∗ (k1 + 2 ∗ k2 + 2 ∗ k3 + k4)
11 Avalie x = x + h
12 Escreva x e y .
13 Fim.
©¦ ¥
Código Fonte 3: O método de Runge-Kutta pode ser entendido como um aperfei¸coamento do método de Euler,
com uma melhor estimativa da derivada da fun¸cão. No método de Euler a estimativa do valor de yn+1 é realizado
com o valor de yn e com a derivada no ponto xn . No método de Runge-Kutta, busca-se uma melhor estimativa
da derivada com a avalia¸cão da fun¸cão em mais pontos no intervalo [xn, xn+1]. Um método de Runge-Kutta de
ordem n possui um erro da ordem de O(hn+1). O método de Runge-Kutta de 4a ordem é o mais usado na solu¸cão
numérica de problemas com equa¸cões diferenciais ordinárias.
A seguir será apresentado um pequeno exemplo usando o método de Runge-Kutta na solu¸cão
de uma equa¸cão diferencial [Código Fonte 4]. O passo neste exemplo será reduzido para 0,01s. A
solu¸cão da equa¸cão diferencial é encontrada pelo uso iterativo das equa¸cões descritas pela equa¸cão
(37)[64] relacionada aos termos kn1, kn2, kn3 e kn4.
¨§ ¤
1 #i n c l u d e cmath
2 #i n c l u d e c s t d l i b
3 #i n c l u d e iostream
4
5 /∗ Solucao y(x) da equacao − Definicao da funcao ∗/
6 double y ( double x ) { return . . . }
7
8 /∗ A funcao f(x, y) ∗/
9 double f ( double x , double y ) { return . . . }
10
11 /∗ Funcao P r i n c i p a l do Programa ∗/
12 int main( int argc , char∗ argv [ ] )
13 {
14 double xn , xn1 , xmax ; /∗ v a r i a v e i s xn e xn+1 ∗/
15 double yn , yn1 ; /∗ v a r i a v e i s yn e yn+1 ∗/
16 double y0 , t0 ; /∗ v a l o r e s i n i c i a i s de y e x ∗/
17 double h ; /∗ passo ∗/
18 double k1 , k2 , k3 , k4 ; /∗ v a r i a v e i s a u x i l i a r e s ∗/
19 int n ; /∗ numero de i t e r a c o e s ∗/
20
21 x0 = 0 . 0 ; /∗ v a lo r i n c i a l para x ∗/
25

22 y0 = 1 . 0 ; /∗ v a lo r i n i c i a l para y ∗/
23 xmax = 2 . 0 ; /∗ v a lo r maximo para x ∗/
24 h = 0 . 0 1 ; /∗ o v a l or do passo ∗/
25 xn = t0 ;
26 yn = y0 ;
27 n = 0 ; /∗ numero de i t e r a c o e s ∗/
28 while ( xn xmax)
29 {
30 /∗ Escreva os v a l o r e s das v a r i a v e i s ∗/
31 std : : cout n t xn t yn t y ( xn ) std : : endl ;
32
33 /∗ a p l i c a o metodo de Runge−Kutta ∗/
34 k1 = h∗ f ( xn , yn ) ;
35 k2 = h∗ f ( xn+h/2 , yn+k1 / 2 . 0 ) ;
36 k3 = h∗ f ( xn+h/2 , yn+k2 / 2 . 0 ) ;
37 k4 = h∗ f ( xn+h , yn+k3 ) ;
38 xn1 = xn + h ;
39 yn1 = yn + ( k1+2∗k2+2∗k3+k4 ) / 6 . 0 ;
40
41 /∗ atribua os v a l o r e s para a proxima i t e r a c a o ∗/
42 n = n + 1 ;
43 xn = xn1 ;
44 yn = yn1 ;
45 }
46
47 /∗ Termino do programa ∗/
48 return EXIT SUCCESS ;
49 }
©¦ ¥
Código Fonte 4: Exemplo de um programa em C++ para a solu¸cão de uma equa¸cão diferencial pelo método de
Runge-Kutta. Comparando-se os resultados da solu¸cão numérica usando o método de Euler com os resultados da
solu¸cão usando o método de Runge-Kutta, observa-se que neste segundo método a precisão é maior, mesmo com o
uso de um passo 10 vezes maior (Press et al., 1988).
4.3.3 O Método de Runge-Kutta-Fehlberg.
Este método implementa procedimentos para verificar se o valor do passo de integra¸cão h é
adequado. Em cada itera¸cão são obtidas duas aproxima¸cões para a solu¸cão y(x). Se as duas
respostas satisfazem uma precisão pré-estabelecida, a aproxima¸cão é aceita. Se não, o tamanho
do passo de integra¸cão é reduzido e uma nova itera¸cão é realizada. Se as duas respostas possuem
mais d´ıgitos significativos que o requerido, o tamanho do passo de integra¸cão é aumentado e uma
nova itera¸cão é realizada. Cada itera¸cão requer o cálculo dos fatores :
f1 = h · f (xi, yi)
f2 = h · f xi +
1
4
h, yi +
1
4
f1
f3 = h · f xi +
3
8
h, yi +
3
32
f1 +
9
32
f2
f4 = h · f xi +
12
13
h, yi +
1932
2197
f1 −
7200
2197
f2 +
7296
2197
f3
f5 = h · f xi + h, yi +
439
216
f1 − 8f2 +
3680
513
f3 −
845
4104
f4
f6 = h · f xi +
1
2
h, yi −
8
27
f1 + 2f2 −
3544
2565
f3 +
1859
4104
f4 −
11
40
f5
Uma aproxima¸cão para y(x) é obtida pela equa¸cão:
yi+1 = yi +
256
216
f1 +
1408
2565
f3 +
2197
4104
f4 −
1
5
f5
Uma outra aproxima¸cão, melhor que a primeira, é obtida através da utiliza¸cão da equa¸cão:
26

yi+1 = yi +
16
135
f1 +
6656
12825
f3 +
28561
56430
f4 −
9
5
f5 +
2
55
f6
O passo de integra¸cão ótimo, qh, é determinado multiplicando-se o valor de h pelo fator:
q =
δh
2|f(xi+1, yi+1) − yi+1|
1
4
sendo δ a precisão desejada. O valor do passo de integra¸cão obedece a rela¸cão hmin ≤ h ≤ hmax.
Nesta rela¸cão hmin e hmax são os limites m´ınimo e máximo permitidos para a varia¸cão do passo
de integra¸cão.
4.4 Erros nos Procedimentos Numéricos
A ado¸cão de um procedimento numérico, como o da fórmula de Euler yn+1 = yn + hf(xn, yn),
xn = x0 + nh para resolver um problema de valor inicial y = f(x, y), y(x0) = y0 levanta diversas
questões que devem ser respondidas antes que a solu¸cão numérica aproximada seja aceita como sa-
tisfatória. Uma das questões é a de convergência. Isto é, à medida que o incremento h tende para
zero, os valores da solu¸cão numérica y1, y2, . . . , yn, . . . se aproximam dos valores correspondentes
aos da solu¸cão exata? Com a hipótese da resposta ser afirmativa, ainda permanece a importante
questão prática da velocidade com que a aproxima¸cão numérica se se estabelece perante a solu¸cão
exata. Enfim, qual o tamanho necessário do incremento para que se garanta um n´ıvel de extidão
dado? Queremos usar um incremento que seja suficientemente pequeno para assegurar a exatidão
desejada, mas não o queremos muito pequeno. Um incremento desnecessariamente pequeno torna
o processo dos cálculos lento, tornando-os mais caros e, em alguns casos, pode até provocar a
perda de exatidão.
Há duas fontes fundamentais de erro na resolu¸cão numérica de um problema de valor inicial.
Vamos admitir, inicialmente que o nosso computador possa efetuar todos os cálculos com exatidão
absoluta; isto é, que podemos garantir um número infinito de casas decimais. A diferen¸ca En
entre a solu¸cão exata y = φ(x) e a solu¸cão aproximada do problema de valor inicial y = f(x, y),
y(x0) = y0 é dado por
En = φ(xn) − yn (eq.38) (65)
denominado de erro de fórmula ou erro de fórmula acumulado ou erro de trunca-
mento acumulado.
Esse erro provém de duas causas:
1. em cada passo, usamos uma fórmula aproximada para determinar yn+1
2. os dados de entrada, em cada passo, não concordam, em geral, com a solu¸cão exata, pois
também, em geral, φ(xn) não é igual a yn. Se admitirmos que os dados de entrada são
corretos, o único erro, quando se avan¸ca um passo no processo, se deve ao uso de uma
fórmula aproximada. Este erro é o erro de truncamento local ou erro de fórmula local ou
erro de arrendondamento local en.
Depois, em virtude das limita¸cões de todos os computadores, é imposs´ıvel, na prática, calcular
exatamente yn+1 apartir da fórmula dada. Temos, então um erro de arrendodamento provocado
pela ausência de exatidão computacional. Analisemos juntos, esta situa¸cão, se um computador
puder operar com apenas oito algarismos, e se y0 for 1, 017325842, os dois últimos algarismos
devem ser arrendodados, o que introduz, imediatamente, um erro no cálculo de y1. Ou então,
se y = f(x, y) envolver fun¸cões, tais como, a logar´ıtmica ou a exponencial, temos um erro de
arrendodamento ao se efetuarem estas opera¸cões. Como no erro de fórmula, é poss´ıvel falar de
erro de truncamento local e de erro de truncamento acumulado. O erro de truncamento Rn se
define como:
Rn = yn − Yn (eq.39) (66)
27

onde yn é o valor aproximado pelo procedimento numérico dado e Yn é o valor realmente
calculado pelo procedimento numérico dado - por exemplo, pela fórmula de Euler o valor absoluto
do erro total no cálculo de φ(xn) é dado por:
|φ(xn) − Yn| = |φ(xn) − yn + yn − Yn| (eq.40) (67)
Utilizando-se a desigualdade triangular, |a + b| ≤ |a| + |b|, e aplicando na equa¸cão(40)[67],
temos:
|φ(xn) − Yn| ≤ |φ(xn) − yn| + |yn − Yn| ≤ |En| + |Rn| (eq.41) (68)
O erro total está assim limitado pela soma dos valores absolutos dos erros de truncamento
e dos erros de arrendondamento. Nos procedimentos numéricos discutidos é poss´ıvel conseguir
estimativas úteis dos erros de fórmula. Porém, vamos nos limitar a discutir principalmente os
erros de fórmula locais, que são um tanto mais simples, enquanto os erros de arrendondamento
têm, evidentemente, uma natureza mais aleatória. Pois a sua eficácia, depende de um bom sistema
computacional de alta velocidade, da sequência de execu¸cão de seus cálculos, assim como do método
de arrendondamento utilizado.
4.4.1 Erro de truncamento local no método de Euler
Vamos admitir que a solu¸cão y = φ(x), do problema de valor inicial anteriormente fornecido
tenha derivada segunda cont´ınua no intervalo considerado. Para garantir esta hipótese, pode-
mos admitir que f, fx, fy sejam cont´ınuas no intervalo mencionado. De fato, se f tiver estas
propriedades, e se φ for solu¸cão do problema de valor inicial, então:
φ (x) = f[x, φ(x)]
e pela regra da cadeia, temos:
φ (x) = fx[x, φ(x)] + fy[x, φ(x)]φ (x)
φ (x) = fx[x, φ(x)] + fy[x, φ(x)]f[x, φ(x)] (eq.42) (69)
Uma vez que o segundo membro desta equa¸cão é cont´ınuo, φ também é cont´ınua. Então,
desenvolvendo φ em torno de xn, por uma série de Taylor com resto, obtemos:
φ(xn + h) = φ(xn) + φ (xn)h +
1
2
φ (xn)h2
(eq.43) (70)
onde xn é qualquer ponto no intervalo xn xn xn + h.
Subtraindo a equa¸cão (43)[70] da equa¸cão (6)[34], e observando que φ(xn + h) = φ(xn+1) e
φ (xn) = f[xn, φ(xn)], temos que:
φ(xn+1) − yn+1 = [φ(xn) − yn] + h[f(xn, φ(xn)) − f(xn, yn)] +
1
2
φ (xn)h2
(eq.44) (71)
Para calcular o erro de fórmula local, consideramos que os dados no enésimo passo estão
corretos, isto é, yn = φ(xn). Então, obtemos imediatamente da equa¸cão (44)[71] que o erro de
fórmula local en+1 é:
en+1 = φ(xn+1) − yn+1 =
1
2
φ (xn)h2
(eq.45) (72)
Deste modo, o erro de truncamento local para o método de Euler é proporcional ao quadrado
do incremento h e o fator de proporcionalidade depende da segunda derivada da solu¸cão φ. A
28

expressão da equa¸cão (45)[72] depende de n e em geral é diferente para cada passo. Um limite
uniforme para o erro, válido para um intervalo [a, b], é dado por:
|en| ≤
Mh2
2
(eq.46) (73)
onde M é o máximo de |φ (x)| no intervalo [a, b]. Como a equa¸cão (45)[72] se baseia no pior caso
poss´ıvel de |φ (x)|, pode ser que o erro local seja consideravelmente superestimado em algumas
regiôes do intervalo [a, b]. A equa¸cão (45)[72] pode ser usada, entre outras coisas, para escolher um
incremento que resulte em um erro de truncamento local que não exceda um determinado limite
de tolerância. Por exemplo: se o erro de truncamento local não for maior do que ε, a equa¸cão
(46)[73] revela que:
Mh2
2
≤=⇒ h ≤ 2ε/M (eq.47) (74)
A dificuldade primária para com o uso das equa¸cões (45)[72], (46)[73] e (47)[74] na estimativa
do erro de fórmula local está na obten¸cão de uma estimativa precisa de M ou |φ (x)|. Seja como
for, essas equa¸cões mostram que o erro de truncamento local é proporcional a h2
(note que M é
independente de h); deste modo, reduzindo h por um fator de 1
2 , reduzimos o limite do erro por
um fator de 1
4 , e uma redu¸cão por um fator de 1
10 em h reduz o limite do erro por um fator de
1
100 , (reduzimos h à metade, o erro é reduzido à quarta parte e assim por diante).
Mais importante, que o erro de truncamento local é o erro de truncamento global En. No
entanto, uma estimativa do erro de truncamento local fornece uma melhor compreensão do pro-
cedimento numérico e um modo de comparar a precisão dos diferentes procedimentos numéricos.
A análise para estimar En é mais dif´ıcil que no caso de en. Entretanto, conhecendo o erro de
truncamento local podemos fazer uma estimativa intuitiva do erro de truncamento global para um
valor fixo x x0 da seguinte forma. Suponha que damos n passos para ir de x0 a x = x0 + nh.
Em cada passo, o erro é no máximo de Mh2
2 ; assim, o erro total nos n passos é no máximo de Mh2
2 .
Observando que, n = (x − x0)/h, descobrimos que o erro de truncamento global para o método
de Euler, ao passarmos de x0 para x, é dado no máximo por:
n
Mh2
2
= (x − x0)
Mh
2
(eq.48) (75)
Apesar deste argumento não ser totalmente correto por não levar em conta o efeito que um erro
cometido num passo causará nos próximos passos, Entretanto, é poss´ıvel mostrar que, em qualquer
intervalo finito, o erro de truncamento global ao usarmos o método de Euler, nunca é maior do
que o produto de h por uma constante. Assim, ao irmos de x0 a um ponto fixado x, o erro de
truncamento global pode ser reduzido tomando-se um tamanho de passo h, menor. Infelizmente,
isto não é o fim da estória. Se tomarmos h muito pequeno, isto é, se usarmos muitos passos
para irmos de x0 a x, o erro de truncamento acumulado poder-se-á tornar mais importante que
o erro de truncamento global. Na prática, devemos considerar ambas as fontes de erro e devemos
fazer uma escolha ”ótima” de h de modo que nenhum dos erros seja muito grande. Como o erro
de truncamento global é mais fácil de calcular, deste modo ele será usado como nossa medida
principal da precisão de cada um dos métodos numéricos e para comparar diferentes métodos.
Mais vale ressaltar, que o método de Euler é considerado um método de primeira ordem, pois
o erro de truncamento global é proporcional á primeira potência do tamanho do incremento.
4.4.2 Aplica¸cão do Erro de Truncamento Acumulado no Método de Euler
Vamos discutir o erro de truncamento acumulado associado ao método de Euler na resolu¸cão
do problema de valor inicial y = f(x, y), y(x0) = y0. Admitindo que as fun¸cões f e fy sejam
cont´ınuas numa região R do plano xy que inclui o ponto (x0, y0), pode-se mostrar que existe uma
constante L tal que |f(x, y) − f(x, y)| L|y − y| onde (x, y) e (x, y) são dois pontos quaisquer em
R com a mesma coordenada x. Além disso, vamos admitir que fx seja cont´ınua, de modo que a
29

solu¸cão φ tem uma derivada segunda cont´ınua. Com base nas constru¸cões exibidas até o presente
momento teremos:
• Utilizando a equa¸cão (41)[68], mostrar que
|En+1| ≤ |En|+h|f[xn, φ(xn)]−f(xn, yn)|+ frac12h2
|φ (xn)| ≤ α|En|+βh2
(eq.49) (76)
onde a = 1 + hL e β = max|φ (x)|/2 em x0 ≤ x ≤ xn.
• Admitindo, sem provas, que se E0 = 0, e que se |En| obedecer a equa¸cão (41)[68], então
|En| ≤
βh2
(αn
− 1)
α − 1
, para α = 1 [***]
Mostrar que;
|En| ≤
(1 − hL)n
− 1
L
βh (eq.50) (77)
A equa¸cão (50)[77] dá um limite para |En| em termos de h, L, n e β. Observar que para um
h fixo, este limite de erro cresce quando n cresce; isto é, o limite de erro aumenta quando
aumenta a distância ao ponto de partida x0.
• Mostrar que (1 + hL)n
≤ enhL
e então que :
|En| ≤
enhL
− 1
L
βh =
e(xn−x0)L
− 1
L
βh
Para um ponto fixo xn = x0 + nh, (isto é, nh é constante e h = (xn − x0)/n este limite de
erro tem a forma do produto de uma constante por h e se aproxima de zero quando h → 0.)
Observar também que quando nhL = (xn −x0)L for pequeno, o segundo membro da equa¸cão
anterior é aproximadamente nh2
β = (xn −x0)βh, que foi obtido nas equa¸cões anteriores por
um racioc´ınio intuitivo.
Solu¸cão:
• Da defini¸cão de erro de truncamento acumulado, podemos escrever En+1 = φ(xn+1) − yn+1,
deste modo
|En+1| = |φ(xn+1) − yn+1| = |φ(xn + h) − yn+1| (eq.51) (78)
Pela eq.(43)[70], temos:
φ(xn + h) = φ(xn) + φ (xn)h +
1
2
φ (xn)h2
e pela eq.(6)[34] temos yn+1 = yn + hf(xn, yn). Assim, substituindo as equa¸cões (6)[34] e
(43)[70] em (51)[78] teremos:
|En+1| = |φ(xn) + φ (xn)h +
1
2
φ (xn)h2
− [yn + hf(xn, yn)]|
Substituindo φ (xn) por f[xn, φ(xn)] na equa¸cão anterior;
|En+1| = |φ(xn) + f[xn, φ(xn)]h +
1
2
φ (xn)h2
− [yn + hf(xn, yn)]|
|En+1| = |φ(xn) − yn + h[f[xn, φ(xn)] − f(xn, yn)] +
1
2
φ (xn)h2
|
Aplicando a desigualdade triangular, têm-se
|En+1| ≤ |φ(xn) − yn| + |h[f[xn, φ(xn)] − f(xn, yn)]| + |
1
2
φ (xn)h2
|
|En+1| ≤ |φ(xn) − yn| + |h[f[xn, φ(xn)] − f(xn, yn)]| + |
1
2
h2
||φ (xn)|
|En+1| ≤ |En| + h|[f[xn, φ(xn)] − f(xn, yn)]| +
1
2
h2
|φ (xn)|
30

Com isso teremos :
1
2
h2
|φ (xn)| (eq.52) (79)
Mas; como φ é cont´ınua e β = max|φ (xn)/2| em x0 xn xn, então da equa¸cão (52)[79]
podemos afirmar que : |[f[xn, φ(xn)] − f(xn, yn)]| L|φ(xn) − yn|, onde queremos que a
nossa hipótese seja uma fun¸cão lipschitziana quando existe uma constante L 0 (chamada
constante de Lipschitz da fun¸cão f) tal que |f(x, y) − f(x, y)| L|y − y| seja quais forem
(x, y) e (x, y) dois pontos quaisquer em R. Temos φ(xn) ∼= [f[xn, φ(xn)], assim como,
yn
∼= f(xn, yn) podemos obter:
1
2
h2
|φ (xn)|
|En+1| ≤ |En| + hL|φ(xn) − yn| +
1
2
h2
|φ (xn)|
|En+1| ≤ |En| + hL|En| +
1
2
h2
|φ (xn)|
|En+1| ≤ (1 + hL)|En| +
1
2
h2
|φ (xn)|
|En+1| ≤ α|En| +
1
2
h2
|φ (xn)|
Logo;
1
2
h2
|φ (xn)| ≤ α|En| + βh2
• Temos que, a = 1 + hL ⇒ hL = a − 1. Assim, da equa¸cão [***], onde substituindo o valor
de hL obtemos:
|En| ≤
βh2
(αn
− 1)
hL
|En| ≤
βh(αn
− 1)
L
|En| ≤
(1 + hL)n
− 1)
L
βh
Utilizando, o fato de que é válido a desigualdade (1 + x) ≤ ex
, ∀x ∈ R e a expansão de
ex
= 1 + (x − 0)e0
+ (x − 0)2
ex
/2!, segundo a série de Taylor,com x0 x xn; A partir da´ı,
podemos também afirmar que (1 + x)n
(ex
)n
e tomando x = hL; temos:
(1 + hL)n
≤ (ehL
)n
Assim
ehL
= 1 + (hL − 0)e0
+ (hL − 0)2
ex
/2! ≥ 1 + hL ⇒ 1 + hL ≤ ehL
Então :
(1 + hL)n
≤ (ehL
)n
, ∀ hL 0
Assim, mostraremos por indu¸cão matemática que :
|En| ≤
βh2
(αn
− 1)
α − 1
Sabemos que, E0 = 0 e |En+1| ≤ α|En| + βh2
. Tomando n = 0; verifiquemos a equa¸cão
anterior:
|E1| ≤ α|E0| + βh2
|E1| ≤ βh2
= βh2
(α − 1)/(α − 1)
31

Tomando n = 1; verifiquemos a equa¸cão acima:
|E2| ≤ α|E1| + βh2
≤ αβh2
+ βh2
= βh2
(α + 1) = βh2
(α + 1)(α − 1)/(α − 1)
= βh2
(α2
− 1)/(α − 1)
Supondo-se, que vale para n = k − 1, temos:
|Ek| ≤ α|Ek−1| + βh2
≤ βh2
(αk
− 1)/(α − 1)
Por hipótese, tomemos para n = k;
|Ek+1| ≤ α|Ek| + βh2
≤ αβh2
(αk
− 1)/(α − 1) + βh2
= βh2
[(αk+1
− α)/(α − 1)] + 1
= βh2
(αk+1
− α + α − 1)/(α − 1)
= βh2
(αk+1
− 1)/(α − 1)
Logo, o fato de |Ek+1| ≤ βh2
(αk+1
−1)/(α−1) é verdadeiro, assim |En| ≤ βh2
(αn
−1)/(α−1)
também é verdadeiro.
• Mostrar que (1 + hL)n
= enhL
, e então que |En| ≤ [enhL
− 1/L]βh = [e(xn−x0)L
− 1/L]βh
sabemos do item anterior que;
|En| ≤
(1 + hL)n
− 1
L
βh
Utilizando, o fato de (1 + hL)n
= enhL
, temos que:
|En| ≤
(1 + hL)n
− 1
L
βh ≤ [e(nh)L
− 1/L]βh
Porém, xn = x0 +nh ⇒ nh = xn −x0. Assim, substituindo o valor de nh na equa¸cão acima,
obtemos:
|En| ≤
(1 + hL)n
− 1
L
βh ≤ [e(xn−x0)L
− 1/L]βh
Quando; h → 0, temos que |En| → 0.
5 Métodos de Passos Múltiplos
Até o atual momento, vinhamos discutindo procedimentos numéricos para resolver o problema
de valor inicial y = f(x, y), y(x0) = y0 nos quais os dados no ponto x = xn eram usados para
calcular um valor aproximado da solu¸cão φ(xn+1) no ponto seguinte da rede x = xn+1. Em outros
termos, o valor calculado de φ em qualquer ponto da rede de pontos dependia somente dos dados no
ponto precedente, que denominamos de métodos de passo simples ou métodos de partida.
A partir de agora, uma vez que se tenham conseguidos valores aproximados da solu¸cão y = φ(x)
em alguns pontos além de x0, é natural perguntar se não pode usar parte da informa¸cão conseguida
nestes outros pontos em lugar de se limitar ao valor obtido no último ponto para calcular o valor de
f no ponto seguinte. Mais especificamente, se y1 em x1, y2 em x2, . . . , yn em xn forem conhecidos.
Então, surge o seguinte questionamento. Como se pode usar esta informa¸cão a fim de determinar
yn+1 em xn+1? Desta forma, surge métodos que usam informa¸cão em mais de um ponto, além do
último de uma rede, denominados métodos de passos múltiplos.
Em futuros trabalhos iremos descrever dois métodos de passos múltiplos: o Método de
Adams e o Método Inverso de Diferencia¸cão. Dentro de cada método, é poss´ıvel conse-
guir diferentes graus de precisão, dependendo do número de pontos precedentes que são utilizados.
32

6 Considera¸cões Finais
Introduzimos o estudo e a implementa¸cão dos métodos numéricos para a solu¸cão de equa¸cões
diferenciais ordinárias (EDO), de forma a ser observada a eficácia destas ferramentas para a apro-
xima¸cão de solu¸cões inerentes ou muito semelhantes a uma solu¸cão anal´ıtica de um problema de
valor inicial. Porém, é da´ı que devemos estar atentos às várias fontes de erros que podem deses-
tabilizar a precisão de cada método apresentado(como o erro de arrendondamento, truncamento
local e global).
Vimos que o erro de truncamento local e global no método de Euler é de O(h2
) e O(h), enquanto
nos demais métodos observamos varia¸cões conforme a ordem de h, e ainda conforme o truncamento
na série de Taylor.
Além disso tivemos a possibilidade de verificar que os métodos de Runge-Kutta de quarta ordem
são os que mais se aproximam da solu¸cão exata de um problema de valor inicial. Em futuros estudos
poderemos abordar outros métodos como o de Newmark, o de Crank-Nicholson, o Método de
Dormand-Prince, o Método Preditor-Corretor, o Método Adams-Bashforth-Moulton, o
Método Gear(para equa¸cões stiff) e Métodos de Passo Adaptativo além do uso desses para
Sistemas de Equa¸cões de Primeira Ordem.
Referências
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34

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