Some solved exercises of Graph Theory. The reference book used was: "Grafos - Introdução e Prática".

1. Lista de Exercícios - Teoria dos Grafos
Exercícios do Capítulo 2 - Questões 10, 11, 16, 19
Michel Alves dos Santos ∗
Março de 2011
Conteúdo
Lista de Figuras 1
1 Questão 10 2
1.1 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Questão 11 2
2.1 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Questão 16 4
4 Questão 19 4
4.1 a) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.2 b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4.3 c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Lista de Figuras
1 Grafo apresentado para décima questão. A primeira figura indica apenas as ligações
entre os vértices, a segunda apresenta o grafo complementar. . . . . . . . . . . . . 2
2 Grafo bipartido original, grafo bipartido completo obtido a partir do bipartido ori-
ginal e grafo bipartido complementar obtido a partir do grafo bipartido original. . 2
3 Grafos não isomorfos - questão a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4 Grafos não isomorfos - questão b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 Através do Teorema de Enumeração de Polya, podemos provar que um grafo com 5
vértices e 7 arestas possui 4 grafos não isomorfos. Os números ao lado dos vértices
denotam o grau de cada vértice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
∗Bacharelando em Ciência da Computação, Universidade Federal do Estado de Alagoas(UFAL). E-mails: mi-
chel.mas@gmail.com, michelalavessantos@hotmail.com. Disciplina: Teoria dos Grafos. Docente Responsável: Leo-
nardo Viana Pereira.
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2. 6 Grafos não isomorfos obtidos através do software Mathematica. Usando o pacote
Combinatorica‘ podemos obter o número de grafos não isomorfos através do co-
mando NumberOfGraphs[n,k], onde n representa o número de vértices e k o número
de arestas. Através da função ListGraphs[n,k], pertencente ao mesmo pacote, po-
demos obter a estrutura de cada grafo. Finalmente, utilizando o comando Show-
GraphArray[ListGraphs[n,k]] somos capazes de desenhar todos os grafos simples
não isomorfos com n vértices e k arestas. A base para a obtenção da quantidade de
grafos não isomorfos origina-se do Teorema de Polya. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
7 Grafo sf-conexo com caminho em vermelho passando por todos os vértices. . . . . . 4
8 Grafo de 8 e 9 vértices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Questão 10
1.1 a)
Figura 1: Grafo apresentado para décima questão. A primeira figura indica apenas as ligações
entre os vértices, a segunda apresenta o grafo complementar.
Primeiramente podemos observar que a clique do grafo original deu origem a um conjunto
independente em seu respectivo grafo complementar, além disso podemos concluir que o número
de ligações para cada vértice no grafo complementar será igual ao número total de vértices menos
o antigo número de ligações mais um, ou seja:
K(v) = |V | − (d(v) + 1)
Onde K(v) é o novo grau do vértice no grafo complementar, |V | é o número de vértices no grafo
original e d(v) o grau do vértice no grafo original.
1.2 b)
Figura 2: Grafo bipartido original, grafo bipartido completo obtido a partir do bipartido original
e grafo bipartido complementar obtido a partir do grafo bipartido original.
2 Questão 11
2.1 a)
Dois grafos são isomorfos se e somente se existir uma função bijetiva entre seus conjuntos de
vértices, que preserve suas relações de adjacência. Observa-se nos grafos abaixo, que G1 possui
um vértice de grau 4 e G2, possui dois vértices de grau 4. Portanto, G1 e G2 não são isomorfos,
pois a relação de adjacência não foi preservada.
2

3. Figura 3: Grafos não isomorfos - questão a).
2.2 b)
Figura 4: Grafos não isomorfos - questão b).
Para esta questão vale a pena lembrar que através do teorema que relaciona o número de
arestas com a soma dos graus dos vértices de um grafo podemos checar se a construção do grafo
realmente atende a seguinte propriedade: a soma dos graus de cada vértice deve ser igual ao dobro
do número de arestas.
Figura 5: Através do Teorema de Enumeração de Polya, podemos provar que um grafo com 5
vértices e 7 arestas possui 4 grafos não isomorfos. Os números ao lado dos vértices denotam o
grau de cada vértice.
Figura 6: Grafos não isomorfos obtidos através do software Mathematica. Usando o pacote Com-
binatorica‘ podemos obter o número de grafos não isomorfos através do comando NumberOf-
Graphs[n,k], onde n representa o número de vértices e k o número de arestas. Através da função
ListGraphs[n,k], pertencente ao mesmo pacote, podemos obter a estrutura de cada grafo. Final-
mente, utilizando o comando ShowGraphArray[ListGraphs[n,k]] somos capazes de desenhar todos
os grafos simples não isomorfos com n vértices e k arestas. A base para a obtenção da quantidade
de grafos não isomorfos origina-se do Teorema de Polya.
3

4. 3 Questão 16
A definição de grafo sf-conexo diz que para todo par de vértices u, v, existirá um caminho
de u até v e/ou existirá um caminho de v até u. Lembre-se que caminho é um tipo de
percurso em grafos orientados onde todos os arcos estão no sentido início do percurso −→ fim do
percurso(ou seja, não há voltas/ciclos). Veja o exemplo abaixo:
Figura 7: Grafo sf-conexo com caminho em vermelho passando por todos os vértices.
4 Questão 19
4.1 a)
Nenhum grafo antirregular com n vértices pode ter mais que n − 1 graus diferentes.
4.2 b)
Se uma sequência de graus gerar um único grafo ela será chamada unigráfica. As sequências
de graus dos grafos antirregulares são unigráficas.
4.3 c)
Figura 8: Grafo de 8 e 9 vértices.
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