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Cap1 grafos 2001

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  1. 1. Centro de Ciências Exatas e da Terra Departamento de Informática e Matemática Aplicada Teoria dos Grafos e Aplicações Prof. Dario José Aloise Prof. João Soriano da Cruz 2001
  2. 2. Tória dos Grafos e Aplicações 2 Teoria dos Grafos e Aplicações Programa Objetivos: Estudar alguns problemas e algoritmos fundamentais à teoria dos grafos. Conteúdo: 1. Breve histórico e exemplos de aplicações 2. Conceitos Básicos e Terminologia 3. Complexidade Computacional de Problemas e Algoritmos 4. Representações de Grafos no Computador 5. Estudo de Problemas Clássicos: Árvore Geradora Mínima, Caminho mais Curto, Matching, Coloração, Caixeiro Viajante, Roteamento de Veículos, etc. 6. Fluxo em Redes 7. Sistema de Informações Geográfica 8. Metaheurísticas (opcional) Bibliografia [01] Brassard, G. e P. Bratley., Algorithmics”, Prentice Hall, New Jersey, (1988) [02] Campello, R. E., e N. F. Maculan., “Algoritmos e Heurísticas: Desenvolvimento e Avaliação de Performace”, Furnas Editora, (1994) [03] Chartrand, G. e O. R. Oellermann, “Applied and Algoritmic Graph Theory”, McGraw-Hill, International Editions, (1993) [04] Christofides, N., “Graph Theory, an Algorithmic Approach”, Academic Press, London, (1975) [05] Even, S., “Graph Algorithms”, Computer Science Press, Rockville,(1980). [06] Lawler, E. L., Lenstra, J. K., Rinnooy Kan, e D. B. Shmoys., “The Travelling Salesman Problem”, John Wiley & Sons, New York, (1985). [07] Boaventura Netto, P. O., “Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos”, São Paulo:. Edgard Blücher, (1996). [08] Peterson J. L., “Petri Net Theory and The Modeling of System”, Prentice-Hall Inc, (1981). [09] Syslo, M. M. e DEO, N., “Discrete Optimization Algorithms with Pascal Programs”, Prentice- Hall, 1983. [10] Szwarcfiter, J. L., “Grafos e Algoritmos Computacionais “, Campus, Rio de Janeiro, (1984) [11] Wai-Kai Chen., “Theory of Nets Flows in Networks”, John Wiley e Sons, (1990) [12] Notas de Aula Horários: Aulas ! 24T56 Atendimento a alunos ! 6T345 Sistema de Avaliação: - Resolução de listas de exercícios; - Apresentação de Trabalhos em grupo; - Provas ( ± a cada 20 horas/aula ).
  3. 3. Tória dos Grafos e Aplicações 3 Cap 1. Apresentação e História 1.1 – Grafos ! 1736 - “O Problema das Pontes de Königsberg” Grafo – Solução / Euler Ref.: J. Newman, “Leonhard Euler and the Königsberg Bridges." Scientific American. 189 (1953), pp. 66- 70. O PRIMEIRO TEOREMA DE TEORIA DOS GRAFOS (Euler, 1736) Dado um grafo G determinar uma rota que: (1) retorna ou ponto inicial, e (2) atravessa cada linha (rua, estrada) exatamente 1 vez. A B D Ilhas - B,D C Margens - A,C Resposta - G tem uma ROTA EULERIANA precisamente quando todos os nós de G têm grau par . Idéia: A
  4. 4. Tória dos Grafos e Aplicações 4 ! Século XIX - Problemas isolados. 1852 - “O Problema das 4-Cores” (Francis Guthris / De Morgan) “As regiões de todo mapa podem ser coloridas usando não mais que 4 cores de forma que A regiões adjacentes tenham cores distintas”, Problema em aberto por mais de 100 anos. Prova usando o computador em 1977 C D (Appel/Haken), e mais recentemente, em 1997, B também usando o computador com uma prova mais simples (Robertson / Sanders/ Seymour/ Thomas). http://www.imada.ou.dk/Research/graphcol.html 1856 -“O Problema dos Ciclo Hamiltoniano” (William R. Hamilton) Enigma: É possível um cavalo fazer uma rota pelo tabuleiro de xadrez, isto é, visitar cada quadrado exatamente uma vez e retornar para o seu quadrado inicial? - “Teoria das Árvores”(Kirchoff / Cayley)
  5. 5. Tória dos Grafos e Aplicações 5 ! Século XX - Grande interesse pela Teoria dos Grafos 1930 - Resultados teóricos fundamentais (Kuratiwski, König, Minger) 1971 - PROBLEMA DE STEINER EM GRAFOS (Hakimi et. al.) 1.2 – Algoritmos ! Século XX - Formalização da Noção de Computação → Algoritmo - associado ao desenvolvimento de técnicas para resolver problemas. - Computador → Influenciou o desenvolvimento e o estudo dos algoritmos: Eficiência de tempo e espaço. Exemplo: Problema do Caminho Hamiltoniano n ≥ 20 ⇒ inadmissível ! (sob o ponto de vista da aplicação é como se não existisse).
  6. 6. Tória dos Grafos e Aplicações 6 Algoritmo: “Função da Entrada de Dados do Problema” Dados do problema = Dados do algoritmo Solução do problema - Saída do algoritmo “Algoritmo computa a função f “ E Algoritmo f S = f(E) Entradas – Variáveis independentes – produzem as saídas do algoritmo, permitindo a análise de tempo e espaço. 1.3 – Alguns exemplos de aplicações de Grafos Matemática
  7. 7. Tória dos Grafos e Aplicações 7 Na Indústria eletrônica Na Indústria de Confecções Grafo Associado

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