Transformadas clark e park

1. Prof. Kleber Lima
Transformada de Clarke e Park
Centro de Tecnologia
Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Aplicações de Eletrônica de Potência em Sistemas de Potência
Departamento de Engenharia Elétrica

2. 2
Sumário
• Objetivos
• Introdução
• Transformada de Clarke
• Vetor espacial
• Transformada de Park

3. 3
Objetivo
• Compreensão da importância da mudança de
coordenadas
• Transformação de coordenadas abc para αβ
• Compreensão e determinação do vetor girante
• Transformação de coordenadas abc para dq

4. 4
Introdução
• Fasores são números complexos utilizados para
representar grandezas que variam senoidalmente no
tempo
• Por exemplo, a fmm com distribuição
aproximadamente senoidal reproduzidas por cada
enrolamento do estator de uma máquina trifásica,
podem ser representadas pelos vetores espaciais
(fasores espaciais)
• A fmm do estator é a soma no espaço das fmms de
cada fase, dada por:
       
2 4
2 3 3
cos cos coss a b c
N
F i t t i t t i t t
π π
ω ω ω
                     

5. 5
Transformada de Clarke
   2 cosav t V tω
Seja o sistema trifásico definido
pelos três fasores da Fig. 1, com
equações:
 
2
2
3
cosbv t V t
π
ω
     
 
4
2
3
coscv t V t
π
ω
     
Fig. 1
ai 1N
1N
1N
ci
bi a
c
b

6. 6
Transformada de Clarke
     1 2 4
2 2 3 3
cos cos
eq
a b c
N N
i i t i t i tα
π π                   
O vetor espacial da corrente
é definido a partir da
projeção da fmm de cada
fase nos eixos ortogonais
fictícios α e β.
   1 2 4
2 2 3 3
sin sin
eq
b c
N N
i i t i tβ
π π                  
Fig. 2
Eixo
Estacionário
α
β
ai
iβ
iα
1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b

7. 7
Transformada de Clarke
Após algumas simplificações,
resulta nas expressões do
sistema bifásico equivalente,
dado por:
1
eq
N
k
N

   
2 4
3 3
sin sinb ci k i t i tβ
π π                  
Invariância em potência
2
3
k
Fig. 3
     
2 4
3 3
cos cosa b ci k i t i t i tα
π π                   
Eixo
Estacionário
α
β
ai
iβ
iα
1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b

8. 8
Transformada de Clarke
Após algumas simplificações,
resulta nas expressões do
sistema bifásico equivalente,
dado por:
Fig. 4
1 1
1
2 2 2
3 3 3
0
2 2
α
β
 
       
                   
a
b
c
i
i
i
i
i
Eixo
Estacionário
α
β
ai
iβ
iα
1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
bSistema a três fios
implica em ausência de
componente homopolar

9. 9
Transformada de Clarke
Fig. 5
0
1 1 1
2 2 2
2 1 1
1
3 2 2
3 3
0
2 2
α
β
 
 
 
    
    
          
    
      
  
 
a
b
c
i i
i i
i i
Sistema com a
presença de
componente homopolar
Eixo
Estacionário
α
β
ai
iβ
iα
1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b
Componente homopolar

10. 10
Transformada de Clarke
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
100 110 120 130 140
Tempo (ms)
Tensõesa,b,c(p.u.)
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
100 110 120 130 140
Tempo (ms)
Tensõesoα,β(p.u.)
abc
Clarke
vα vβ
va vb vc

11. 11
Vetor Girante
   2 cosav t V tω
 
2
2
3
cosbv t V t
π
ω
     
 
4
2
3
coscv t V t
π
ω
     
Seja o sistema trifásico definido a partir dos três fasores mostrado
na figura, com expressões dadas a seguir:
Segundo KOVACS, o vetor espacial
é definido por:
       
2 4
0 3 3
j j
j
a b cv t v t e v t e v t e
π π
  

Fig. 6
Eixo
Estacionário
α
β
ai
iβ
iα
1N
1N
1N
ci
bi eqN
eqN
a
c
b

12. 12
Vetor Girante
Desenvolvendo...
 
  0
2
3
4
3
2
2
2
3
4
2
3
cos
cos
cos
j
j
j
V t e
V t e
v t
V t e
π
π
ω
π
ω
π
ω
                   

 
0
2 2
23 3
3
4 4
43 3
3
2
2
2
2
2
2
j t j t
j
j t j t
j
j t j t
j
e e
V e
e e
V e
v t
e e
V e
ω ω
π π
ω ω π
π π
ω ω π

                
                
                            

            




13. 13
Vetor Girante
Desenvolvendo...
 
 
 
4
3
2
3
2
2
2
2
2
2
j t j t
j t
j t
j t
j t
e e
V
e e
V
v t
e e
V
ω ω
π
ω
ω
π
ω
ω

      
      
                                                  

 
4
3
2
3
2
2
2
2
2
2
j t j t
j
j t j t
j
j t j t
e e
V
e e e
V
v t
e e e
V
ω ω
π
ω ω
π
ω ω



                                            


14. 14
Vetor Girante
Desenvolvendo...
 
2
2
4 4
3 3
2
2
2 2
3 3
2
2
cos sin
cos sin
j t j t
j t j t
j t j t
e e
V
e e j
V
v t
e e j
V
ω ω
ω ω
ω ω
π π
π π



                                                            


15. 15
Vetor Girante
Desenvolvendo...
 
2
2
1 3
2 2
2
2
1 3
2 2
2
2
j t j t
j t j t
j t j t
e e
V
e e j
V
v t
e e j
V
ω ω
ω ω
ω ω



                                                                        


 
3
2
2
j t
v t Ve ω


Vetor Girante
 v t

α
β
θ
d
dt
θ
ω 
ω
Fig. 7

16. 16
Vetor Girante
 
3
2
2
j t
v t Ve ω


Vetor Girante
 v t

α
β
θ
d
dt
θ
ω 
ω
 v t

θ
ω
aV
bV
cV
Fig. 9
Fig. 8

17. 17
Transformada de Park
   2 cosav t V tω
Seja o sistema trifásico definido
pelos três fasores da Fig. 8, com
equações:
 
2
2
3
cosbv t V t
π
ω
     
 
4
2
3
coscv t V t
π
ω
     
       1 2 4
2 2 3 3
cos cos cos
eq
d a b c
N N
i i t i t i t
π π
θ θ θ
                     
       1 2 4
2 2 3 3
sin sin sin
eq
q a b c
N N
i i t i t i t
π π
θ θ θ
                      
Fig. 10
Eixo
Girante
d
ai
qi
di
1N
1N
1N
ci
bi
eqN
eqN
a
c
b q
θ
ω
θ
ω 
d
dt

18. 18
Transformada de Park
EixodaFaseA
Eixo da Fase c
Eixo da Fase b
Eixo em
quadratura
θ
1
eq
N
k
N

       
2 4
3 3
cos cos cosd a b ci k i t i t i t
π π
θ θ θ
                     
Invariância em potência
2
3
k
       
2 4
3 3
sin sin sinq a b ci k i t i t i t
π π
θ θ θ
                      
Fig. 11

19. 19
Transformada de Park
Após algumas simplificações, o sistema bifásico em coordenadas
dq, é dado por:
 
 
 
 
 
2 4
3 32
3 2 4
3 3
π π
θ θ θ
π π
θ θ θ
                                                                
cos cos cos
sin sin sin
a
d
b
q
c
i t
i
i t
i
i t
Fig. 12
EixodaFaseA
Eixo da Fase B
Eixo da Fase C
Eixo em
quadratura
θ
Sistema a três fios
implica em ausência de
componente homopolar

20. 20
Transformada de Park
Fig. 13
Fig. 14
ai 1N
1N
1N
ci
bi a
c
b
Eixo
Girante
d
qi
di
eqN
eqN
q
θ
ω
Eixo
Estacionário
α
β
iβ
iα
eqN
eqN
θ
ω 
d
dt

21. 21
Transformada de Clarke
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
100 110 120 130 140
Tempo (ms)
Tensõesa,b,c(p.u.)
abc
Park
Tempo (ms)
Tensõesd,q(p.u.)
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
100 110 120 130 140
vd
vq
va vb vc

22. 22
Bibliografia
1. I. Boldea; S. A. Nasar, 2005, Electric Drives. 2nd. edition, CRC Press, New
York, 544p.
2. W. Leonhard, 2001, Control of Electric Drives, 3rd. edition, Springer, New
York, 470p.
3. P. C. Krause, 2002, Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 2nd.
edition, Wiley-IEEE Press, New York, 600p.
4. P. K. Kovacs, 1984, Transiente Phenomena in Electrical Machines, Elsevier,
Amsterdam, 392p.

23. 23
Perguntas?