1. ESCOLA SECUNDÁRIA ALBERTO SAMPAIO
Ficha de trabalho 2 a) 11º ano – Matemática A
1) Mostra que:
1.1) cos
4
( θ ) − sen 4 ( θ ) = 1 − 2 sen θ 1.2) ( cos α + sen α )2 + ( cos α − sen α ) 2 = 2
1 − sen 2 x
1.3) = cos x 1.4) cos
2
( θ ) − sen 2 ( θ ) = 2 cos 2 θ − 1
cos x
1 − tg 2 α cos 2 θ
1.5) = cos 2 α − sen 2 α 1.6) 1 − = sen θ
1 + tg α
2
1 + sen θ
1 cos 4 θ cos α 1
1.7) − cos θ =
2
1.8) tg α + =
tg 2 θ sen 2 θ 1 + sen α cos α
cos α 1 + sen α 2 1 sen α 1
1.9) + = 1.10) − + =0
1 + sen α cos α cos α tg α 1 − cos α sen α
2) Calcula:
2.1) sen (240º ) − cos (150º ) + tg (330º ) 2.2) sen (300º ) + tg (225º ) − cos (210º )
⎛ π ⎞
⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞ cos ⎜ ⎟
sen ⎜ π ⎟ + cos ⎜ π ⎟ − tg ⎜ π⎟ ⎛ π ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎝ 6 ⎠
2.3)
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 2.4) tg ⎜ ⎟ x cos ⎜ π⎟ +
⎝ 3 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ 11 ⎞
⎜ 6 π⎟
cos ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 π π 7 5 7 ⎛ 7 ⎞
2.5) sen π − 2 sen cos 2.6) sen π + cos π + cos π − tg ⎜ − π⎟
3 3 3 4 4 2 ⎝ 4 ⎠
⎛ 7 ⎞ 17 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 8 ⎞ 15
2.7) sen ⎜ − π ⎟ − sen π + cos ⎜ − π ⎟ + tg ⎜ π ⎟ + sen π
⎝ 6 ⎠ 6 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 6
3) Simplifica cada uma das seguintes expressões:
3.1) sen ( 2π − x ) + cos ( 2π − x ) + 2 tg ( 3π − x ) + 2 sen ( 3π − x )
3.2) cos ( − x ) + 2 cos ( − 3π − x ) + sen ( − x ) − 3 cos ( π − x ) − sen ( 2π − x )
3.3) tg ( − x + π ) − 2 sen ( π + x ) + 3 cos ( 5 π + x ) + 2 cos ( 4 π − x )
3.4) sen (− x ) − 3 sen ( π − x ) + 3 cos ( − x ) + tg ( 2π − x )
3.5) sen ( π − x ) + cos ( x + 4π ) + tg (− x + 7π ) + sen ( 6π − x ) + 3 sen ( − x )
5 ⎛ ⎞
3.6) cos ( x − 5π ) − cos ( 3π − x ) + sen ⎜ − π + x⎟
2 ⎝ ⎠
⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 ⎞
3.7) sen ( x − 7 π ) + cos ⎜ π + x ⎟ − sen ⎜ π − x⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ 7 ⎞ ⎛ 7 ⎞
3.8) sen ⎜ x − π ⎟ + cos ( 11π − x ) − cos ⎜ − π + x⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
1

2. ⎛ π ⎞ ⎛ π ⎞ ⎛ 5 ⎞
3.9) cos ⎜ x + ⎟ + cos ⎜ − x + ⎟ + tg ⎜ π + x ⎟ ⋅ tg ( π − x )
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞
cos ⎜ + x ⎟ + sen ( π − x )
⎝ 2 ⎠
3.10)
⎛ π ⎞
tg ⎜ −x ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ π ⎞
3.11) sen ⎜ − x ⎟ + sen ⎜ π + x ⎟ + cos ⎜ x − ⎟ − sen ( − x )
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
3 ⎤ 3 ⎡
4) Sabendo que cos α = − α∈⎥ π , π ⎢ , calcula:
5 ⎦ 2 ⎣
4.1) sen α − cos α
4.2) tg α − sen α + cos 2 α
2
π 2
5) Considera o ângulo de amplitude α, tal que 0 < α < e sen ( π + α ) = − ,
2 3
calcula:
5.1) sen α
5.2) cos (π − α ) + tg ( 3π + α ) − cos (π + α )
3 4
6) Sabendo que sen α = e cos α = − , calcula:
5 5
6.1) sen ( 2π + α ) + cos ( π + α )
1
6.2)
1 + cos (α + 5π )
2
⎛ 3 ⎞
6.3) sen ⎜ α + π ⎟ + sen (12π − α )
⎝ 2 ⎠
⎛π ⎞ 3
7) Sabendo que sen ⎜ − α ⎟ = e 3π < α < 4π , calcula:
⎝2 ⎠ 5
7.1) cos ( x − 13π ) 2
7.2) sen x
⎛ 3 ⎞
7.3) sen ⎜ x + π⎟ 7.4) tg ( 4 π − x )
⎝ 2 ⎠
2

3. 8) Sabendo que cos x < 0 e sen x = 3cos x , calcula:
⎛ π ⎞
8.1) tg ⎜ x − ⎟ + sen ( 3π + x )
⎝ 2 ⎠
⎛ 3 ⎞ 1
8.2) cos ⎜ − x + π⎟−
⎝ 2 ⎠ tg ( − x )
m +1
9) Sabendo que α ∈ 2º Q , determina m de modo que tenha sentido a expressão tg α = .
m
10) Determina os valores reais de m, de modo que tenham significado as expressões:
m +1 m
10.1) 9 cos α = m 2 10.2) sen α = e cos α =
2 3
1
10.3) sen α = e tg α = − 2m 10.4) 2 sen α = m 2 + 1
3
11) Resolve cada uma das seguintes equações:
2 3
11.1) cos x = − 11.2) cos x = −
2 2
2
11.3) sen x = − 11.4) sen x = − 2
4
11.5) cos x = 3 11.6) 3 tg x = 3
⎛ π ⎞
11.7) tg x = − 3 11.8) sen ⎜ x + ⎟=0
⎝ 3 ⎠
⎛ π ⎞ 1 ⎛ π ⎞
11.9) cos ⎜ 2 x − ⎟= 11.10) sen ⎜ 2 x + ⎟ +1 = 0
⎝ 6 ⎠ 2 ⎝ 6 ⎠
⎛ π ⎞ ⎛ x⎞
11.11) tg ⎜ 2 x + ⎟= 0 11.12) cos ⎜ 48º + ⎟ − sen x − cos x = 0
2 2
⎝ 4 ⎠ ⎝ 2⎠
π
11.13) 2 sen ( 2 x ) = sen 11.14) sen ( 5 x + 75º ) = sen 25º
2
⎛ π ⎞
11.15) tg ( 2 x ) = tg ⎜ −x ⎟ 11.16) sen x = − sen ( 2 x )
⎝ 6 ⎠
π
11.17) cos ( 3 x ) = − cos 11.18) sen x = cos x
6
⎛ x ⎞ ⎛ π ⎞
11.19) cos ⎜ ⎟ = − cos ( 2 x ) 11.20) cos ⎜ x + ⎟ + sen ( 3x ) = 0
⎝ 2 ⎠ ⎝ 3 ⎠
2⎛ x ⎞ ⎛ x ⎞
11.21) 2 cos x sen x + sen 2 x + cos 2 x = 0 11.22) tg ⎜ ⎟ = 3 tg ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
11.23) 2 cos 2 x − 3cos x + 1 = 0 11.24) sen x − 4 sen x + 3 = 0
2
11.25) 1 − cos x = 2 sen x 11.26) sen x − 1 = 0
2 2
3

4. B
12) Considera o triângulo [ABC]. Sabe-se que AB = 10 ; AC = 20
⎤ π ⎡
e α é a amplitude do ângulo BAC. Mostra que qualquer α ∈ ⎥ 0, ⎢,
⎦ 2 ⎣
a área do triângulo [ABC], em função de α é dada pela expressão:
A (α ) = 100 sen α ( u.a.)
α
A C
H
13) Na figura estão representados um semicírculo de diâmetro [AB] e um triângulo [ABC]nele
inscrito:
Sabe-se que:
• x é a amplitude do ângulo BAC
• AB = 10 x
13.1) Prova que a área do triângulo [ABC] é dado pela expressão:
A ( x ) = 50 sen x cos x, ∀ ⎤ π ⎡
x ∈⎥ 0,
⎦ 2 ⎢
⎣
π
13.2) Calcula a área do triângulo [ABC] para x =
4
14) Considera a seguinte expressão
⎛ 14 ⎞ ⎛5 ⎞ 1
B (α ) = − sen ( 5 π − α ) + tg ⎜ π + α ⎟ − 2 cos ⎜ π − α ⎟ +
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎛ π ⎞
tg ⎜ − + α ⎟
⎝ 2 ⎠
14.1) Mostra que B (α ) = − 3 sen α
⎤ π π ⎡
14.2) Sabendo que tg α = − 2 e α ∈ ⎥ −
⎦ 2
,
2 ⎣ ⎢ calcula o valor exacto da expressão B (α )
14.3) Resolve, em , a condição B (α ) = 3cos ( − α )
15) A figura ao lado representa um corte transversal de uma caleira
θ
15.1) Mostra que a área da secção da caleira, em função de θ é dada 10
pela expressão A (θ ) =100 sen θ ( cos θ + 1) , ∀ ⎤ π ⎡
θ ∈⎥ 0, ⎢
⎦ 2 ⎣
π 10
15.2) Calcula a área da secção da caleira para θ =
4
4

5. Soluções:
2)
3 3
2.1) − 2.2) 1 2.3) − 2.4) 1
3 3
1
2.5) 0 2.6) − 2 −1 − 3
2
3)
3.1) sen x + coxx − 2 tg x 3.2) 2 cos x 3.3) − tg x + 2 sen x − cos x 3.4) − 4 sen x + 3cos x − tg x
3.5) cos x − tg x − 3 sen x 3.6) − cos x 3.7) cos x 3.8) sen x
3.9) 1 3.10) 0 2 sen x
4)
1 79
4.1) − 4.2)
5 75
5)
2
5.1) 5.2) 1− 2
2
6)
7 25 1
6.1) 6.2)
5 41 5
7)
3 16 3 4
7.1) − 7.2) 7.3) − 7.4)
5 25 5 3
8)
− 10 + 9 10 10 + 9 10
8.1) 8.2)
30 30
9) m∈ [ −1, 0]
10)
− 9 ± 12 3 2
10.1) m∈ − 3,3 [ ] 10.2) 10.3) m = ± [
10.4) m∈ − 1,1 ]
13 8
5

6. 11)
3 5
11.1) x=± π + 2 kπ , k ∈ 11.2) x=± π + 2 kπ , k ∈
4 6
π 7
11.3) x=− + 2 kπ ∨ x = − π + 2 kπ , k ∈ 11.4) i ( x )
6 6
π
11.5) i ( x ) 11.6) x= + kπ , k ∈
6
π π
11.7) x=− + kπ , k ∈ 11.8) x=− + kπ , k ∈
3 3
π 2π
11.9) x= + kπ , k ∈ 11.10) x= + kπ , k ∈
4 3
π
11.11) x=− + kπ , k ∈ 11.12) x = − 96º + k 720º , k ∈
8
π 5π
11.13) x= + kπ ∨ x = + kπ , k ∈ 11.14) x = −10º + k 72º ∨ x = − 16º + k 72º , k ∈
12 12
π π 2 kπ
11.15) x= +k ,k∈ 11.16) x = − π + 2 kπ ∨ x = ,k∈
18 3 3
5π 2 kπ π
11.17) x=± + ,k∈ 11.18) x= + kπ , k ∈
18 3 4
2π 4 kπ 2π 4 kπ π 5π kπ
11.19) x= + ∨ x= + ,k∈ 11.20) x= − + kπ ∨ x = − + , k∈
5 5 3 3 12 24 2
3π
11.21) x= + kπ , k ∈ 11.22) x = 3kπ ∨ x = π + 3kπ , k ∈
4
π π
11.23) x = 2 kπ ∨ x = ± + 2 kπ , k ∈ 11.24) x= + 2 kπ , k ∈
3 2
π
11.25) x = kπ , k ∈ 11.26) x= + kπ , k ∈
2
12) ------------------------------
13)
13.1) --------------- 13.2) 25
14)
14.1) 14.2)
π
14.3) α = − + kπ , k ∈
4
15)
15.1) 15.2)
15.3) 50 + 50 2
6