1. ANÁLISE DE FORÇA -
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
DE DENTES RETOS
Prof. Alexandre Augusto Pescador Sardá

2. ENGRENAGENS HELICOIDAIS DE EIXOS PARALELOS
• Ângulo de hélice é o mesmo em cada engrenagem;
•Uma engrenagem deve ter uma hélice destra (mão direita) e a outra sestra
(mão esquerda);

3. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE
DENTES RETOS
• As reações entre dentes engrenados ocorre ao longo da linha de
pressão;

4. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE
DENTES RETOS
•Torque aplicado e carga transmitida:
•A componente radial não transmite torque.
Wt = F32
t
d
T = Wt
2

5. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE
DENTES RETOS
WtV
H=
33000
60(103 ) H
Wt =
πdn
Wt é a c arg a transmitida, kN
H = Potência, kW
d = diâmetro engrenagem
da , mm
n = velocidade, rpm

6. EXERCÍCIOS
• O pinhão 2 roda a 1750 rpm e transmite 2,5 kW à engrenagem intermediária 3.
Os dentes são cortados segundo o sistema de 20 de profundidade completa e
têm um módulo m = 2,5 mm. Desenhe um diagrama de corpo livre da
engrenagem 3 e mostre todas as forças que atuam sobre a mesma.

7. EXERCÍCIOS
• diâmetros primitivos:
d 2 = N 2 m = 20(2,5) = 50 mm
d 3 = N 3 m = 50(2,5) = 125 mm
60(103 ) H 60(103 )2,5kW
Wt = = = 0,546 kN
π d2 n π 50 (1750)
F23 = 0,546 kN
t
F23 = F23 tan 20 0 = 0,199 kN
r t
t
F23 0,546
F23 = o
= o
= 0,581 kN
cos 20 cos 20

8. EXERCÍCIOS
• Uma vez que a engrenagem 3 é intermediária, não transmite qualquer potência
(torque) ao eixo ligado a si; assim, a reação tangencial da engrenagem 4 sobre a
engrenagem 3 também é igual a Wr.
F43 = 0,546 kN
t
F43 = 0,199 kN
r
F43 = 0,581 kN
• As reações nos eixos, nas direções x e y, são:
( )
Fbx3 = − F23 + F43 = −(− 0,546 + 0,199 ) = 0,347 kN
t r
3 (
r t
)
Fby = − F23 + F43 = −(0,199 − 0,546 ) = 0,347 kN
• A reação resultante sobre o eixo é:
Fb 3 = (0,347 )2 + (0,347 )2 = 0,491 kN

9. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS CÔNICAS
• Considera-se a carga
tangencial ou
transmitida que
ocorreria se todas as
forças fossem
concentradas no ponto
médio do dente.
T
Wt =
rav
Wr = Wt tan φ cos γ
Wa = Wt tan φ senγ

10. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
• O pinhão cônico roda a 600 rpm e transmite 5 hp à engrenagem. As distâncias de montagem, a
localização de todos os mancais e raios primitivos do pinhão e da coroa são exibidos na figura. Os
mancais A e C devem escorar os esforços axiais. Encontre as forças dos mancais no eixo de
engrenagens.

11. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
• Diagrama de corpo livre do eixo CD

12. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
• Ângulos primitivos:
⎛3⎞
γ = tan −1 ⎜ ⎟ = 18,430
⎝9⎠
⎛9⎞
Γ = tan −1 ⎜ ⎟ = 71,560
⎝3⎠

13. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
• Velocidade no círculo primitivo:
⎛ m ⎞ 600 rpm m
V = 2π rp n = 2π ⎜1,293in * 0,02504 ⎟ = 2,03
⎝ in ⎠ 60 s
Pot = Wt V
Pot
Wt =
V
5hp ⋅ 746W hp
Wt =
2,03 m / s
Wt = 1837,4 N
Direção positiva do eixo z

14. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
Direção negativa do
Wr = Wt tan φ cos Γ = 1837,4 tan 20 cos 71,6 = 211,09 N
0 0
eixo x
Direção negativa do
Wa = Wt tan φ senΓ = 1837,4 tan 20 sen71,6 = 634,5 N
0 0
eixo y
Vetor de posição de D a G (em metros):
r
RDG = 9,72i − 9,49 ˆ
ˆ j
r
Vetor de posição de D a C (em metros): RDC = −15,34 ˆ
j
Momento em relação a D:
r r r r r
RDG × Wˆ + R × F +T = 0
DC C

15. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
(9,72iˆ − 9,49 ˆj )× (− 211,09iˆ − 634,5 ˆj + 1837,4kˆ )+
(− 15,34 ˆj )× (F iˆ + F ˆj + F kˆ )+ Tˆj = 0
x y z
r
C C C
(− 17436,9iˆ − 17859,5 ˆj − 8169,74kˆ )+
(− 15,34F iˆ + 15,34F kˆ)+ Tˆj = 0
C
z
C
x
r
T = 17859,5 ˆ
j
FCx = 532,5 N
FCz = −1136,6 N

16. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
r r r r
FD + FC + W = 0
(F iˆ + F kˆ )+ (532,5iˆ + F ˆj − 1136r6kˆ )+
D
x
D
z
C
y
,
(− 211,09iˆ − 635,05 ˆj + 1837,4kˆ) = 0
FCy ˆ − 635,05 ˆ = 0 ˆ
j j j FCy = 635,05 N
r
FC = 532,5i − 635,05 ˆ − 1136,6k
j ˆ

17. EXERCÍCIO 13.7 – SHIGLEY – PG.659.
(F iˆ + F kˆ)+ (532,5iˆ − 635,05 ˆj − 1136,6kˆ )+
D
x
D
z
(− 211,09iˆ − 635,05 ˆj + 1837,4kˆ) = 0r
F = −321,41N
D
x
F = −700,8 N
D
z
r
FD = −321,41i − 700,8k N
ˆ ˆ

18. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS HELICOIDAIS
• O ponto de aplicação dessas forças localiza-se no plano de passo
primitivo e no centro da face da engrenagem.
Wr = Wsenφn
Wt = W cos φn cosψ
Wa = W cos φn senψ

19. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS HELICOIDAIS
• Normalmente, Wt e as demais forças são requeridas.
Wr = Wt tan φt
Wa = Wt tanψ
Wt
W=
cos φn cosψ

20. EXERCÍCIO
• Um motor elétrico de 2 hp gira a 1800 rpm em sentido horário.Fixado ao motor há um pinhão helicoidal
de 20 dentes com ângulo de pressão normal de 25o, ângulo de hélice de 35o, e um passo diametral normal
de 10 dentes/polegada. Determine as forças atuantes no pinhão bem como as reações de mancal em A e
B. O esforço axial deve ser suportado em A.
tan φn
cosψ =
tan φt
⎛ tan φn ⎞
φt = arctan⎜
⎜ cosψ ⎟ ⎟
⎝ ⎠
⎛ tan 250 ⎞
φt = arctan⎜
⎜ cos 350 ⎟
⎟
⎝ ⎠
φt = 29,650

21. EXERCÍCIO
• Sabe-se que:
Pt = Pn cosψ = 10 cos 350 Pt = 8,19 dentes polegada
N 20
dp = = = 2,442 polegadas = 62,02 mm
8,19 8,19
V = π d n = π (62,02mm )
1800
Hz = 5845,9 mm / s = 5,84 m / s
60
Pot 2hp ⋅ 746W hp
Wt = Wt = Wt = 255,2 N
V 5,84 m / s

22. EXERCÍCIO
Wr = Wt tan φt = 255,2 tan 29,65 = 145,3N
0
Wa = 255,2 tan 350 = 178,7 N
255,2
W= 0 0
= 343,7 N F = Wa =178,7 N
A
x
cos 25 cos 35

23. EXERCÍCIO
• Momento em relação ao eixo z::
dp
Wa + FBy (300mm ) − Wr (400mm ) = 0
2
+ FBy (300mm ) − 145,3(400mm ) = 0
62,02mm
178,7 N
2 F = 175,3 N
B
y

24. EXERCÍCIO
• Somando as forças na direção y:
FBy − FAy − Wr = 0
175,3 − FAy − 145,3 = 0 FAy = 29,96 N

25. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS SEM-FIM
• Desconsiderando-se o atrito, a única força aplicada pela coroa-sem-fim será a força W.:

26. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS SEM-FIM
W = W cos φn senλ
x
W y = W senφn
W z = W cos φn cos λ
• W e G indicam as forças que agem no parafuso e na coroa, respectivamente.
Wy é a força radial do parafuso e da coroa sem-fim. A força tangencial no
parafuso é Wx e na coroa Wz. A força axial no parafuso é Wy e nacoroa Wx.
Wwt = −WGa = W x
Wwr = −WGr = W y
Wwa = −WGt = W z

27. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS SEM-FIM
• Introduzindo-se o coeficiente de atrito f, tem-se
W x = W (cos φn senλ + f cos λ )
W y = Wsenφn
W = W (cos φn cos λ − fsenλ )
z
• Após alguma manipulação:
f WGt
W f = fW =
f senλ − cos φn cos λ

28. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS SEM-FIM
cos φn senλ + f cos λ
WWt = WGt
f senλ − cos φn cos λ
• Eficiência definida como:
WWt ( sem fricção)
η=
WWt (com fricção)
• Após alguma manipulação:
cos φn − f tan λ
η=
cos φn + f cot λ

29. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS SEM-FIM
• Eficiência de pares de engrenagens sem-fim para f = 0,05
Ângulo de hélice, graus Eficiência
1,0 25,2
2,0 45,7
5,0 62
7,5 71,3
10,0 76,6
15,0 82,7
20,0 85,9
30,0 89,1

30. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS SEM-FIM
• Coeficiente de atrito é dependente da velocidade relativa ou de deslizamento
(experimentos)
VW
VS =
cos λ

31. ANÁLISE DE FORÇA – ENGRENAGENS SEM-FIM
• Valores representativos do coeficiente de atrito para engrenagens sem-fim.
Coeficiente de atrito, f

32. EXERCÍCIO
• Um pinhão destro sem-fim de 2 dentes transmite 2 hp, a 1000 rpm a uma coroa sem-fim de 20 dentes e
passo diametral transversal de 5 dentes/in e uma largura de face de 30 mm. O pinhão apresenta um
diâmetro primitivo de 40 mm e uma largura de face de 50mm. O ângulo de pressão normal vale 14,5o.
•A) Encontre o passo axial, a distância entre centros, o avanço e o ângulo de avanço.
•B)Encontre as forças exercidas pelos mancais contra o eixo da coroa sem-fim.
40
mm
70
mm

33. EXERCÍCIO
a) O passo axial é igual ao passo transversal da coroa:
π π
px = pt = = = 0,628 in = 15,95 mm
P 5
d w = 40 mm
N G 20
dG = = = 4 in = 101,6 mm
P 5
d w + dG 40 + 101,6
C= = = 70,8 mm
2 2

34. EXERCÍCIO
Avanço:
L = px N w = 15,73 mm(2) = 31,90 mm
L 31,90 3190
tan λ = = = 0,25 λ= = 14,240
π d w π (40) π (40 )
b) Velocidade na linha primitiva do pinhão:
Vw = π d w nw = π (40 mm )
1000 rpm mm
= 2094,4
60 s
VW 2094,4
VS = = = 2160,8 mm / s = 425,4 ft / min
cos λ cos 14,24 0
( )

35. EXERCÍCIO
Considerando-se f=0,05;
Forças:
Pot 2hp ⋅ 746W / hp
Wwt = = = −712,5 N
Vw 2,094 m / s

36. EXERCÍCIO
Mas: Wwt = −WGa = W x
x
W
W=
(cos φn senλ + f cos λ )
712,5 N
W= = 2485,9 N
(
cos14,5 sen14,24 + 0,05 cos14,24
0 0
)
(
W = Wsenφn = 2485,9 sen 14,5 = 622,4 N
y 0
)
W z = W (cos φn cos λ − fsenλ ) =
( )
2485,9 cos14,50 cos14,240 − 0,05 sen14,240 = 2302,2 N

37. EXERCÍCIO
WGa = −W x = 712,5 N
WGr = −W y = −622,4 N
WGt = −W z = −2302,2 N

38. EXERCÍCIO
Assume-se o mancal B de escora, de forma que o eixo de engrenagens trabalhe
em compressão:
Forças na direção x: FBx = WGa = 712,5 N
Momentos em relação a z:
101,6
− WGa − WGr 40 + FBy (40 + 70) = 0
2
101,6
− 712,5 − 622,4(40) + FBy (40 + 70) = 0
2
FBy = 555,4 N

39. EXERCÍCIO
Momentos em relação a y: WGt 40 − FBz (40 + 70) = 0
(2302,2)40 − FBz (40 + 70) = 0
FBz = 837,2 N

40. EXERCÍCIO
Somatório de forças em y: − WGr + FBy + FAy = 0
− 622,4 + 555,4 + FAy = 0
FAy = 67 N
Somatório de forças em z:
− WGt + FBz + FAz = 0
− 2302,2 + 837,2 + FAz = 0
FAz = 1465

41. EXERCÍCIO
Somatório de momentos em x: dG
T − WGt =0
2
0,1016
T − 2302,2 =0
2
T = 116,95 Nm

42. EXERCÍCIO – 13.43
Um pinhão sem-fim de 2 dentes transmite ½ hp a 900 rpm a uma coroa sem-fim de 36
dentes, com um passo diametral transversal de 10 dentes/in. O pinhão tem um ângulo de
pressão normal de 14 ½o , um diâmetro primitivo de 1 ½ in e uma largura de face de 1 ½ in.
Use um coeficiente de atrito de 0,05 e encontre a força exercida pela coroa sobre o pinhão,
bem como o torque de entrada. Para a mesma geometria mostrada no Problema 13-41, a
velocidade do pinhão é horária com relação ao eixo z.
π (1,5)900
VW = = 353,42 ft / min
12
VW = π (1,5 ⋅ 25,4mm / in )
900
= 1795,4 mm / s = 1,80 m / s
60

43. EXERCÍCIO – 13.43
H = 0,5 hp = 373W = 0,373 kW
33000 H 33000 (0,5)
Wx = Wwt = = = 46,7 lbf
V 353,42
60(103 ) H 60(103 ) (0,373)
Wx = Wwt = = = 0,207 kN
πdn π (1,5 ⋅ 25,4) 900
π
pt = px = = 0,3141in = 7,98 mm
10

44. EXERCÍCIO – 13.43
L = px NW = 0,3141(2) = 0,628 in L = px NW = 7,98(2) = 15,96 mm
L 0,628 in
tan λ = = = 0,133
π d w π (1,5 in )
λ = 7,590
15,96 mm
tan λ = = 0,133
π (38,1mm )
Wx
W=
(cos φn senλ + f cos λ )
46,7 lbf
W= = 263,2 lbf
(
cos14,5 sen7,59 + 0,05 cos 7,59
0 0 0
)
207 N
W= = 1166,6 N
(
cos14,5 sen7,59 + 0,05 cos 7,59
0 0 0
)

45. EXERCÍCIO – 13.43
( )
W y = Wsenφn = 263,2 lbf sen 14,50 = 65,89 lbf
W y = Wsenφn = 1166,6 N sen(14,5 ) = 292,1 N
0
W = W (cos φn cos λ − fsenλ ) =
z
( )
263,2 cos14,50 cos 7,590 − 0,05 sen7,590 = 250,8 lbf
( )
W z = 1166,6 cos14,50 cos 7,590 − 0,05 sen7,590 = 1111,8 N
dG 1,5 in
T = Wwt = 46,7 lbf T = 35,025 lbf in
2 2
dG 38,1 mm
T = Wwt = 207 N T = 3943,4 N .mm
2 2

46. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
•13.10;
•13.11;
•13.15;
•13.28;
•13.33;
•13.41.

47. REFERÊNCIAS
SHIGLEY, J.E., MISCHKE, C.R., BUDYNAS, R.G., Projeto de Engenharia
mecânica, 7a edição, Bookman.