1. ALGUMAS MULHERES
DA
´ ´
HISTORIA DA MATEMATICA
Por
Jo˜o Batista do Nascimento
a
UFPA/ICEN/Matem´tica a
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
E-mail: jbn@ufpa.br, joaobatistanascimento@yahoo.com.br
vers˜o
a M - mar¸o/2012, sem revis˜o t´cnica e apenas para divulga¸ao
c a e c˜
´
CONTEUDO ´
PAG.
¸˜ ¸˜
INTRODUCAO/APRESENTACAO 2
ELISA - PERSONAGEM DA LITERATURA UNIVERSAL INSPIRADA EM SABER 3
´
MATEMATICO
´ ´
HIPATIA - PROFESSORA DE MATEMATICA FOI BARBARAMENTE ASSASSI- 5
NADA
´
ROSVITA - A PROFESSORA DE MATEMATICA PERFEITAMENTE MUITO 7
´ ´
ALEM DA MEDIA
ˆ ´
MADAME DU CHATELET - A MATEMATICA QUE CONCILIAVA DOIS 10
ˆ
GENIOS
ˆ ¸˜ ´
APENDICE - UM POUCO NA DIFERENCA DAS FORMULACOES DE CALCULO NEWTONIANO
¸
E LEIBNIZIANO
´
MARIA GAETANA AGNESI - A MATEMATICA AUTORA DO PRIMEIRO 15
´ ´
TEXTO DIDATICO EM CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E QUE RESOLVIA
´
PROBLEMA ATE DORMINDO
´
MARIE-SOPHIE GERMAIN - A MATEMATICA QUE LANCOU BASE DO
¸ 18
´
QUE HOJE HA DE MAIS AVANCADO EM ENGENHARIA
¸
´
MARY FAIRFAX SOMERVILLE - A MATEMATICA QUE CONQUISTOU 20
´ ˜
PARTE DO CEU, MAS NAO SE LIVROU DE SOFRER CERTOS PRECONCEITOS TER-
RENOS
´ ˜
SONJA KOVALEVSKY - A MATEMATICA QUE FAZIA QUESTAO DE ESTU- 23
DAR COM GRANDES MESTRES E SUPEROU ALGUNS DESSES
´ ´
EMMY NOETHER - A MATEMATICA QUE NOS LEGOU ANEIS BRILHANTES 25
MILEVA MARIC - NOS CEM ANOS DE EINSTEIN UM MINUTO PARA ESSA 30
´
MATEMATICA E SUA EX-ESPOSA
˜ ¸˜ ˆ
DIGRESSOES: BURRICE COMO PRODUCAO DE GENERO E FUNDAMENTA- 32
DORA DE DESGRACAS DO EDUCACIONAL [ CASOS: PARAENSE, BRASILEIRO E
¸
IBERO-AMERICANO ]

2. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 2
¸˜ ¸˜
INTRODUCAO/APRESENTACAO
´
¨E certo que s´ no caminho do tra¸o ´ que se vai assim de ponto em ponto.¨
o c e
Cec´ Meireles (1091-1964), Poetisa Brasileira
ılia
Quando m´ educa¸ao se torna o sustent´culo mais promissor das vertentes pol´
a c˜ a ıticas, como
no caso do Brasil, a escola vira uma panaceia e l´cus concentrador at´ das piores discrimina¸oes.
o e c˜
Por´m, ao mesmo tempo essa recebe os que ainda socialmente pouco se inteiraram disso ou tocaram
e
em tais fatores em condi¸oes de haver chances de mudan¸a.
c˜ c
S˜o chances de esperan¸a quase v˜, mas n˜o existe outro meio em condi¸oes de mudar tal
a c a a c˜
panorama e tudo que nasce ou deixa de nascer socialmente em fun¸ao da escola ou ausˆncia desta,
c˜ e
retornar-lhe-´ at´ de forma mais intensa, j´ que o vazio de escola produz sem receber nada.
a e a
Um dado que diria nem haver discrimina¸ao de gˆnero, de fato se fosse seria no sentido
c˜ e
inverso, ´ o predom´
e ınio hist´rico das mulheres nas s´ries inicias no Brasil. Mas a medida que vamos
o e `
subindo na escala escolar avista-se, especialmente nas areas de Exatas e Tecnol´gicas, quadros de
´ o
espantosa ausˆncia dessas. E o mais grave: alguns quadros que apresentam at´ certas revers˜es,
e e o
como o n´mero global de matr´
u ıcula no ensino superior brasileiro j´ ser maior de mulheres, isso n˜o
a a
se caracteriza por mudan¸as especificas na qualidade da escola, mas por outras raz˜es conjunturais,
c o
portanto, sem qualquer garantia de que n˜o se retorne ao ponto inicial ou at´ para situa¸ao muito
a e c˜
pior.
No caso da Matem´tica, da presen¸a feminina s´ se pode dizer que foi historicamente es-
a c o
por´dica. Na mais antiga escola dessa especialidade, pitag´rica, um uma lembrada ´ Theano,
a o e
´
nascida em 546 a.C., E tamb´m conhecida como fil´sofa e f´
e o ısica. Essa foi aluna de Pit´goras e
a
sup˜e-se que tenha sido sua mulher. Acredita-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola
o
pitag´rica ap´s a morte do marido.
o o
Mas em ´poca algum deixa de haver discrimina¸ao contra mulher e nem s´ conhecer a
e c˜ o
hist´ria de alguma ´ suficiente nisso, precisar rebuscar os m´todos e parˆmetros que est˜o nas for-
o e e a a
mula¸oes do ensino, e n˜o apenas da matem´tica, e na estrutura¸ao geral das concep¸oes escola e
c˜ a a c˜ c˜
sociedade. Levando, portanto, para ser preocupa¸ao de toda forma¸ao docente, apenas matem´tica
c˜ c˜ a
´ o cerne neste.
e
E n˜o ´ pretens˜o esgotar o tema, mas apenas fazer um pequeno apanhado de algumas
a e a
dessas mulheres para servir de referˆncia inicial para proposta metodol´gica que desenvolvemos
e o
- preconizamos que s´ ganhar´ profundidade com pesquisa e pr´tica escolar- , sem que com isso
o a a
se queira depreciar qualquer outra mulher que n˜o conste e nem as demais obras existentes no
a
tema. Ou seja, n˜o se defende ser melhor do que nenhuma abordagem/proposta, mas se garante
a
ser absolutamente diferente.
Entretanto, perceber diferen¸a exige acuidade, muito estudo, paciˆncia e vigilˆncia per-
c e a
manente, especialmente no caso docente. Posto que, isso s´ faz sentido enquanto no campo do
o
´
desconhecido, fora do treinado e faz parte do que propositalmente bloquearam. E preciso lembrar
que a grande for¸a de uma ideologia n˜o fica com os seus claramente partid´rios, mas quando
c a a
praticada at´ pelos que tem toda caracter´
e ıstica de ser sua v´
ıtima e inocentes in´teis ou neutros.
u
Assim, finalizando, em tudo que relatamos, em forma de artigos, o foco principal s˜o os
a
conte´dos e o ensino da matem´tica, pois s˜o esses conhecimentos que far˜o com que o aprendiz
u a a a
compreenda e valorize cada uma.

3. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 3
ELISA
PERSONAGEM DA LITERATURA UNIVERSAL INSPIRADA EM SABER
´
MATEMATICO
¨Naturalmente, as pessoas desejam manter o aspecto agrad´vel da ciˆncia sem o aspecto negativo;
a e
mas at´ o momento as tentativas de fazer isso fracassaram.¨
e
Bertrand Russel (Inglaterra,1872-1970), matem´tico, fil´sofo e
a o
ganhador do Nobel de literatura de 1950.
Por Nascimento, J.B
UFPA/ICEN/Matem´tica a
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
E-mail: jbn@ufpa.br, Mar¸/2012
c
N˜o se conhece registro quanto haver algum lugar no qual matem´tica seja algo prazeroso
a a
para todos os estudantes. E n˜o ´ comum caso como o brasileiro em que autor de livro did´tico se
a e a
disp˜e ilustrar o n´mero sete com um gatinho sendo jogado do s´timo andar e se faz at´ pesquisa
o u e e
que tira sangue de estudante supondo que nota baixa nessa disciplina deriva de doen¸a gen´tica.
c e
Ante essa trag´dia, a qual ´ extremamente muito maior, ´ irrelevante o interesse dos cen-
e e e
tros de forma¸ao docente em matem´tica inserir exemplos que sirvam ao futuro docente levar com
c˜ a
que os estudantes percebam e saboreiem conceitos dessa em campos outros, porquanto, capacit´-lo
a
implementar programa que inclua al´m do que seja apenas manipular conceitos dessa por cima de
e
outros da mesma.
E a impossibilidade mais forte ´ que isso exige di´logos com as demais forma¸oes e o fac-
e a c˜
tual ´ que a dissociabilidade entre essas implementada no Brasil, o mais premente na gera¸ao de
e c˜
preconceitos, faz com que nem se possa dizer haver realmente forma¸ao docente, mas apenas pro-
c˜
cesso de diploma¸ao. Obviamente que h´ exce¸oes, mas fruto da iniciativa pr´pria, at´ enfrentando
c˜ a c˜ o e
resistˆncia feroz desses centros e havendo uma verdade eterna: exce¸ao n˜o qualifica nada, apenas
e c˜ a
tende adiar barb´rie por completo.
a
O exemplo que abordaremos exige que, pelos menos, dois trabalhos tenham sidos feitos:
- Docente de Hist´ria ter abordado Gr´cia Antiga e forma¸ao das suas principais cidades e da
o e c˜
importˆncia que cada uma teve na estrutura¸ao dessa civiliza¸ao; e
a c˜ c˜
- Docente de literatura ter abordado os principais cl´ssicos da Gr´cia Antiga.
a e
E nisso precisam atuar profissionalmente, porquanto, longe da combina¸ao em que um faz
c˜
s´ o que interessa aos outros e unicamente por isso. E um trecho de interesse matem´tico ´ esse da
o a e
obra Eneida de Virg´ ( 70 a.C.- 19 a.C):
ılio
¨Uma mulher ´ o chefe da expedi¸ao. Chegados ao local onde ver´s agora enormes
e c˜ a
muralhas e a imponente cidadela de Cartago, compraram todo o terreno que um couro de
touro podia cercar.¨
O hist´rico de Cartago deixa claro que s´ engenhosidade das mais significativas da mente
o o
humana poderia fazˆ-la brotar de apenas um couro de touro. E Elisa esbanja criatividade ao trans-
e
form´-lo no maior fio poss´ e depois atinge um n´ matem´tico dos mais impressionantes quando
a ıvel ıvel a
disp˜e esse, dentro das condi¸oes dadas, de forma que cercasse o m´ximo de area poss´
o c˜ a ´ ıvel.
Assim, essa resolveu um problema matem´tico classificado como sendo isoperim´trico, a qual
a e
´ area da matem´tica de riqueza vasta e oferece algumas vers˜es de problemas para ser trabalhado
e´ a o
em todo n´ escolar. E feito isso, agora o conhecimento matem´tico deve fluir ampliando a vis˜o
ıvel a a
do quanto magistralmente essa personagem foi constru´ e aprendam ser essa uma obra que se
ıda
revigora em toda ´poca por haver momentos desse n´
e ıvel em condi¸oes de eterniz´-la atrav´s das
c˜ a e
gera¸oes.
c˜

4. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 4
H´ ainda outro fator no qual Elisa fica submersa, posto que, matem´tica ´ uma das partes
a a e
mais substanciais do tipo de desenvolvimento cient´ıfico e tecnol´gico que permeia os dias atuais e
o
isso n˜o pode ser feito com qualidade razo´vel sem que integre a todos. E nada ´ mais desinter-
a a e
grador do que preconceito e, assim como em toda Ciˆncia, o relacionado ao gˆnero feminino na
e e
matem´tica ´ hist´rico.
a e o
E, finalizando, como combater preconceito ´ uma a¸ao que precisa envolver todos da escola,
e c˜
fica sendo um dado da mais alta relevˆncia todo saber que o poeta Virgilio colocou no nascedouro
a
de importante cidade da nossa civiliza¸ao uma mulher aplicando conhecimento matem´tico.
c˜ a
Referˆncia
e
´
- AS MULHERES NA MATEMATICA, Daniel C. de Morais Filho, Campina Grande.PB,
www.rpm.org.br/conheca/30/2/mulheres.htm, acesso mar¸/12
c
´
- SEM HABILIDADE COM NUMEROS, Junia Oliveira, O Estado de Minas, 08/06/2010
http://wwo.uai.com.br/EM/html/sessao 18/2010/06/08/interna noticia,id sessao=18&id noticia=141062/interna noti-
cia.shtml, acesso jun/210
- http://www.exkola.com.br/scripts/noticia.php?id=34579041
- http://blog.opovo.com.br/educacao/sem-habilidade-com-numeros/
- http://vghaase.blogspot.com/, acesso ag/10
- http://discalculialnd.blogspot.com/, acesso ag/10
- Decifrando uma inc´gnita, www.ufmg.br/boletim/bol1698/4.shtml, acesso, ag/10
o
- Pesquisa dos Laborat´rios de Neuropsicologia e de Gen´tica da UFMG pode ajudar a desvendar causas e con-
o e
sequˆncias da discalculia, 7 de junho de 2010
e
http://www.ufmg.br/online/arquivos/015678.shtml
- Neuropsicologia e gen´tica decifram causas e consequˆncias da discalculia,
e e
ISa´de.Net, Sa´de P´blica, http://isaude.net/z9h8, acesso ag/10
u u u
- Doen¸a que dificulta aprendizado de matem´tica ´ alvo de especialistas
c a e
http://saude.ig.com.br/minhasaude/doenca+que+dificulta+aprendizado+de+matematica+e+alvo+de+especialistas/
n1597074737032.html
´
- Discrimina¸ao Tira Mulheres de Areas Exatas e Preocupa Governo
c˜
http://ultimosegundo.ig.com.br/educacao/discriminacao+tira+mulheres+de+areas+exatas+e+preocupa+governo/
n1238144853610.html, acesso maio/2011

5. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 5
´
HIPATIA
´
PROFESSORA DE MATEMATICA FOI BARBARAMENTE ASSASSINADA
¨Sem d´vida alguma uma semente da verdade permaneceu na alma,
u
e ela vem reanimar um ensino esclarecedor.¨
Bo´cio, 480 - 524 d:C Professor de matem´tica da Idade M´dia)
e a e
Por Nascimento, J.B
UFPA/ICEN/Matem´tica
a
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
E-mail: jbn@ufpa.br, Mar¸/2009
c
ˆ
NO MES INTERNACIONAL DAS MULHERES, UMA JOVEM E TALENTOSA PROFES-
´ ´
SORA DE MATEMATICA TEVE MORTE HORRIVELMENTE TRAGICA NO ANO DE 415
d.C., QUANDO UMA TURBA DE INTOLERANTES A MASSACROU EM PLENA RUA DE
ALEXANDRIA; USANDO CONCHAS DE OSTRAS, RETALHARAM COMPLETAMENTE O
SEU CORPO.
Por volta do ano 380 da era crist˜, na cidade de Alexandria, nascia a filha do matem´tico
a a
˜ ´ ´
e professor TEAO, chamada HIPATIA ( o nome HIPACIA tamb´m ´ adotado) e que desde
e e
cedo encantava a todos pela sua inteligˆncia. O pai ensinou-lhe astronomia e matem´tica. Hip´tia
e a a
preferiu estudar geometria, embora n˜o apenas, da´ ser chamada ¨A Geˆmetra¨. Esta passou al-
a ı o
gum tempo em Atenas, onde Plutarco, o jovem, ainda lecionava em p´blico, sobre Arist´teles e
u o
Plat˜o.
a
Provavelmente Hip´tia fez parte do seleto grupo de iniciados que estudou com Plutarco.
a
E n˜o demorou muito para que esta jovem de extraordin´ria beleza e talentosa professora de
a a
matem´tica fosse reconhecida e distinguida nas ruas pelo o seu manto de fil´sofa. De inquestion´vel
a o a
capacidade cient´ ıfica, assumiu o posto de maior relevˆncia em ciˆncia que j´ existiu em todos os
a e a
tempos: a dire¸˜o do Museu de Alexandria. Pois, trata-se da mais completa Universidade que
ca
existiu at´ a era moderna.
e
Defensora intransigente da liberdade de pensamento, da liberdade de express˜o, de aprender
a
e ensinar, Hip´tia atrai contra si o poder virulento que sempre teve a parcela mais aldravante ( de
a
fato, sempre foram maioria, e gra¸as a prestimosa ajuda que recebem dos omissos. N˜o ´ a toa, ser
c ` a e`
este tipo dileto que esta parcela adora formar), corrupta, dogm´tica, incompetente, torpe e zopeira
a
que atuava como se fosse educador e matem´tico.
a
Al´m disso, e tamb´m, pela sua condi¸ao de mulher, cultuava-lhe odio os obscurantistas de
e e c˜ ´
tudo quando era tipo; a Idade M´dia ´ o maior triunfo dos seus inimigos. S´ n˜o contavam que
e e o a
esta haveria de referenciar alguns poucos e valiosos, em condi¸oes de sacrificarem suas vidas para
c˜
ensinar seriamente um pouco de matem´tica.
a
Aos que acham dever-se a sua popularidade por compactuar com alunos med´ ıocres, registra
a hist´ria que esta, e como ultimo recurso, contra um tolo que persistia em confundir a sua condi¸ao
o ´ c˜
de professora com a de mulher, perdendo tempo lhe insinuando galanteios ao inv´s de estudar, esta
e
saca o seu pano menstrual em plena sala de aula, dizendo-lhe:
¨- ´ isto que eu sou, ´ a isto que vocˆ ama¨.
e e e
Um ato absolutamente not´vel para uma mulher, se considerarmos que s´ ap´s cerca de
a o o
1.400 anos, alguma teve coragem de sacar o seu suti˜ e queim´-lo em pra¸a p´blica.
a a c u
Em mar¸o de 415, ao regressar do Museu de Alexandria, esta jovem e esplendorosa
c
professora de matem´tica foi covardemente atacada por uma turba, excitada que fora
a
pelos seus desafetos, quando dilaceram o seu corpo usando conchas de ostra.
Matou-se n˜o apenas uma mulher, mas uma era fundamental da Matem´tica, da Ciˆncia e
a a e
da Hist´ria. Sendo este mais um exemplo na hist´ria da humanidade em que apagam um luminoso
o o
raio de luz para seguir nas trevas.

6. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 6
Algumas indica¸oes Hipatianas
c˜
- Compreender as coisas que nos rodeiam ´ a melhor prepara¸ao para compreender o que h´
e c˜ a
mais al´m.
e
- Todas as formas religiosas dogm´ticas s˜o falaciosas e n˜o devem ser aceitas por auto-respeito
a a a
pessoal.
- Reserve o seu direito a pensar, mesmo pensar errado ´ melhor do que n˜o pensar.
e a
- Ensinar supersti¸oes como verdades ´ uma das coisas mais terr´
c˜ e ıveis.
ˆ
REFERENCIA:
- Boyer, C. B. - Hist´ria da Matem´tica - Ed. Bl¨cher, Trad. Elza Gomide (IME. USP);
o a u
- www.agnesscott.edu/Iriddle/womem;
- www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/matematicos/hipatia.htm/hypatia.htm

7. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 7
ROSVITA
´ ´
A PROFESSORA DE MATEMATICA PERFEITAMENTE MUITO ALEM
´
DA MEDIA
¨O primeiro a examinar o conceito do infinito em detalhes foi o fil´sofo Zen˜o.¨
o a
Morris, R
Por Nascimento, J.B
UFPA/ICEN/Matem´tica
a
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E-mail: jbn@ufpa.br, Mar¸/2009
c
ROSVITA DE GANDERSHEIM viveu por volta do ano 1.000 d.C e s´ o
isso j´ torna inusitado ser professora e ainda mais de matem´tica. Acrescido que
a a
nos livros de Hist´ria da Matem´tica, especialmente nos mais usuais dos cursos de
o a
licenciatura em matem´tica, quase nem citam mesmo nada dessa ´poca, quanto
a e
menos ainda sendo mulher, pois discrimina¸ao de gˆnero, e n˜o apenas nessa,
c˜ e a
permeia toda Ciˆncia. Tamb´m ´ fato que tais centram-se no hist´rico dos conceitos
e e e o
e n˜o no ensino da matem´tica.
a a
Porquanto, os fatores que tornam Rosvita da mais alta relevante hist´ria n˜o constam nas
o a
concep¸oes desses, embora fator de relevˆncia essencial, sendo o seguinte: o poder mais fundamental
c˜ a
da educa¸ao de qualidade n˜o ´ evitar desgra¸a, embora tamb´m, mas referenciar tudo que se faz
c˜ a e c e
necess´rio para se sair disto. Ou seja, os sinais de que estamos numa gera¸ao um pouco melhor do
a c˜
que ela viveu, deve-se ao fato de ter havido docente como Rosvita. E, falando restritivamente de
quem tem cargo de docente de matem´tica em universidade p´blica, ´ lastim´vel que alguns hoje
a u e a
n˜o honrem sua pessoa.
a
Al´m disso, afamada teatr´loga, o papel mais importante dessa, o que at´ hoje ´ assim no
e o e e
Brasil, de professora da escola b´sica, ficou obscurecido ao longo da hist´ria. O que ´ uma profunda
a o e
ironia com essa que iluminou esplendorosamente o ensino da matem´tica e penoso porque isso con-
a
tribui para que atualmente, como ´ o caso do Brasil, o ensino dessa disciplina apresente situa¸oes
e c˜
catastr´ficas.
o
O seu feito j´ ´ da mais alta intensidade na hist´ria do ensino da matem´tica se apenas
a e o a
reproduziu o que tenha lido, por isso provar que lia texto matem´tico de alto n´
a ıvel, encantou-se e
copiou na sua pe¸a de teatro. Cresce exponencialmente se apenas repassou o texto para que suas
c
alunas, j´ que era professora de mosteiro, repetisse na encena¸ao da pe¸a. E se algum outro tomou
a c˜ c
conhecimento dessa pe¸a e fez estudantes represent´-la, muit´
c a ıssimo prov´vel, justifica fazermos sub-
a
stancial esfor¸o para que a existˆncia dessa professora de matem´tica permane¸a viva.
c e a c
Ou seja, apenas por conhecer a pe¸a de teatro que essa fez abordando conte´dos de matem´tica
c u a
j´ faz Rosvita esplendorosa. Por´m, isso ´ ´
a e e ınfimo. A sua a¸ao ´ muito mais profunda em temos
c˜ e
de ensino da matem´tica. E isso exige delinear um hist´rico envolvendo conceitos e resultados da
a o
matem´tica que est˜o em pe¸a rosvitiana e que permite a todo, se quiser aprender completando
a a c
os detalhes, fazer um curso razo´vel em Teoria dos N´meros.
a u
No que seque apenas consideramos N´ meros Naturais N = {0, 1, 2, 3, · · · }..., porquanto,
u
o ıvel, para Inteiros Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · } ´ exerc´
vers˜es, se poss´ e ıcio. Os dois conceitos
b´sicos s˜o:
a a
´
N´ mero Primo (p) - E todo N´mero Natural diferente de 1 cujos unicos divisores s˜o 1 e o
u u ´ a
pr´prio. Pelo contr´rio, ´ dito N´ mero Composto.
o a e u
Exerc´ 1 - Os N´meros Primos forma um subconjunto infinito de
ıcio u ,[3],
Exerc´ıcio 2 - Se n = ×pr qk ,
sendo p e q primos distintos, ent˜o n possui (r + 1) × (k + 1)
a
divisores. Quais s˜o todos? Generalize.
a

8. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 8
Exerc´ 3 - Uma s´rie num´rica a1 , a2 , · · · , an ´ dita uma Progress˜o Geom´trica quanto ex-
ıcio e e e a e
iste r tal que ak = r×ak−1 , para todo k > 1. Prove que, fora o caso de r = 1, Sn = a1 +a2 +· · ·+an =
a1 − r n × a 1
. Em particular: 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1
1−r
u ´
N´ mero Perfeito - E todo cuja soma dos seus divisores, naturais, pr´prios resulta nesse. Por
o
exemplo, 6 ´ n´mero perfeito, pois os divisores s˜o: 1, 2, 3 e 6 e 1 + 2 + 3 = 6.
e u a
O professor da USP Luiz Jean Lauand, [2], P´g.42 - acho essa pequena obra conter grandes
a
tesouros e aqui revelo s´ uma gota, portanto, de leitura indispens´vel -, assim registra conte´do da
o a u
pe¸a rosvitiana ¨Sabedoria¨:
c
¨Rosvita sabe, o que pode surpreender os que ignoram a hist´ria da matem´tica
o a
medieval, que 6, 28, 496 e 8128 s˜o perfeitos, bem como o velho crit´rio para gera¸ao
a e c˜
n n−1 n
de n´meros perfeitos: p = (2 − 1) × 2
u ser´ perfeito se 2 − 1 for primo.¨
a
Exerc´ 4 - Verifique que os citados s˜o n´meros perfeitos.
ıcio a u
Cabe esclarecer que nem hoje, e quanto menos nos tempos de Rosvita, n˜o carece de tanto
a
se for apenas para surpreender os que ignoram matem´tica. Pelo contr´rio, o n´
a a ıvel avan¸ado do
c
exposto indica que ela correu riscos dos mais terr´ ıveis de ser tomada por louca, quando mesmo
assim ainda seria o de menor gravidade. Isso fica refor¸ado pelo seguinte: se hoje no Brasil algum
c
docente de qualquer escola privada entrar na sala e colocar esse resultado no quadro como tema da
aula, correr´ s´rios riscos de n˜o ter o emprego no dia seguinte.
a e a
E o mais prov´vel disto n˜o acontecer n˜o ´ tal amea¸a, mas desconhecimento ou consider´-
a a a e c a
lo irrelevante ou por n˜o saber demonstr´-lo ou medo das diversas nuances que traz, porquanto,
a a
passivo de algum estudante perguntar, agora de todo tipo de escola: p´blica e privada; a concep¸ao
u c˜
de que esse seria, assim como achar qualquer outro resultado da matem´tica irrelevante, caracteriza
a
n˜o ser e potencializa que nunca ser´ Matem´tico.
a a a
E, portanto, o mais acredit´vel ´ que Rosvita tenha refeito e comprovado que os j´ citados
a e a
s˜o n´meros perfeito e entendido da validade da f´rmula euclidiana. Pois, nessa ´poca circulavam
a u o e
textos que podemos dizer que foram inspiradores dos atuais livros did´ticos - no caso do Brasil s´
a o
em termos gerais, pois em qualidade matem´tica h´ elementos indicando que eram melhores - como
a a
os dos matem´ticos Bo´cio ( Anicius Manlius Torquatus Severinus Boetius, Romano, 480
a e
a 524 d.C.), Iˆmbico de C´lcis (c. 325) e Nicˆmaco de Gerasa ( c. 100 d.C), que versavam no
a a o
tema bem pr´ximo do que diz Boyer, [4], p´g. 80, no seguinte trecho comentando os Elementos
o a
de Euclides (300 a.C):
¨A proposi¸ao seguinte, a ultima do livro IX, ´ a f´rmula bem conhecida para
c˜ ´ e o
n´meros perfeitos. ’Se tantos n´meros quantos quisermos, come¸ando com a unidade,
u u c
forem colocados continuamente em dupla propor¸ao at´ que a soma de todos seja um
c˜ e
primo, e se a soma for multiplicada pelo ultimo, o produto ser´ perfeito.’ Isto ´, em
´ a e
nota¸ao moderna, se Sn = 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1 ´ um primo, ent˜o 2n−1 .(2n − 1)
c˜ e a
´ perfeito. A prova ´ f´cil, em termos da defini¸ao de n´mero perfeito dada no Livro V II.
e e a c˜ u
Os gregos antigos conheciam os quatros primeiros n´meros perfeitos: 6, 28, 496 e 8.128.
u
Euclides n˜o respondeu a pergunta rec´
a ` ıproca - se essa f´rmula fornece todos ou n˜o todos
o a
os n´meros perfeitos. Sabe-se agora que todos os n´meros perfeitos pares s˜o desse tipo,
u u a
mas a quest˜o da existˆncia de n´meros perfeitos ´
a e u ımpares ´ ainda um problema n˜o
e a
resolvido. Das duas d´zias de n´meros perfeitos conhecidos hoje todos s˜o pares, mas ´
u u a e
arriscado supor que todos sejam.¨
Alguns, como [7], apenas citam que o quinto n´mero perfeito fora descoberto no s´c. V d.C,
u e
corresponde na f´rmula euclidiana a n = 13 e ´ 33.550.336. Portanto, ´ compreensivo que Rosvita
o e e
n˜o soubesse desse ou tivesse meios para conferir, pois fazia conta com algarismos romanos. E o seu
a
agu¸ado tino matem´tico desponta quando estudos posteriores revelam lances fabulosos envolvendo
c a
conte´do que divulgou, notando que a f´rmula euclidiana s´ comprova ser perfeito depois que se
u o o
sabe ser 2 n − 1 primo.

9. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 9
Um grande estudioso desse fator em particular, foi o frade franciscano Marin de Mersene
(1588-1648). E em sua homenagem todo esse que for primo ´ chamando de n´ mero primo de
e u
Mersene, que alguns autores denotam por Mn [7]. E temos que: se n ´ par e n˜o primo, i.e,
e a
n = 2k, k > 1, ent˜o 2
a n − 1 = 22k − 1 = (2k )2 − 1 = (2k − 1)(2k + 1), portanto, composto. Assim
com, h´ n primo sem que 2n − 1 seja. Por exemplo, n = 13, 213 − 1 (verifique) ´ composto.
a e
ıcio 5 - Provar que 2n − 1 ´ primo de Mersene apenas se n for primo. Ou seja, se n ´
Exerc´ e e
composto, ent˜o 2n − 1 tamb´m ser´.
a e a
O matem´tico su´co Leonhard Euler (1707-1783) al´m de provar que M 31 ´ primo de
a ı¸ e e
Mersene ainda mostra o que fecha para sempre uma das indaga¸oes que vinha dos tempos de —bf
c˜
Euclides, com o seguinte resultado:
Teorema - Todo n´mero par e perfeito ´ dado pela f´rmula euclidiana. Isto ´, se m ´ par e
u e o e e
perfeito, ent˜o existe n tal que m = 2n−1 .(2n − 1).
a
Diversos outros resultados permeiam n´meros perfeitos e com o advento do computador j´
u a
foi poss´ıvel determinar alguns com enorme quantidade de d´ ıgitos e dois problemas que parecem
persistirem, porquanto, n˜o sei hoje se provado, s˜o:
a a
- Haver ou n˜o n´mero perfeito ´
a u ımpar.
- Se os primos de Mersene s˜o infinitos.
a
E o divulgado por Rosvita atinge at´ o glamouroso, que ´ a posi¸ao reservada aos casos
e e c˜
em que al´m de transcender no tempo, como j´ vimos, ainda permite generaliza¸oes. Posto que,
e a c˜
Mersene definiu n como sendo n´mero multiplamente perfeito de ordem k quando a soma de
u
todos os seus divisores, S, ´ tal que S = k.n. Obviamente inspirado no caso de que todo perfeito ´
e e
multiplamente perfeito de ordem dois, i.e, n perfeito, ent˜o S = 2n. O mesmo teria achado os trˆs
a e
primeiros n´meros multiplamente perfeito de ordem 3, qual sejam: 120, 672 e 523.776 [7]. Sendo
u
que esse comunicou da sua proposta em carta ao matem´tico francˆs Ren´ Descartes (1596 -
a e e
1650), o qual em resposta envia uma lista de nove desses.
Para finalizar, tudo isso mostra da perfei¸ao com que Rosvita cruzou com alguns conceitos
c˜
da matem´tica. Por´m, essa prova o mesmo valor em termo de educa¸ao ao oferecer ao seu Rei um
a e c˜
livro, como ilustra gravura que usamos e consta em [3] - A. D¨ner, A monja Rosvita apresenta um
u
livro a Ot˜o I (kupferstichkabinett, Berlim).
a
ˆ
REFERENCIA
[1] A Experiˆncia Matem´tica, Davis P. J. e Herst R., Ciˆncia Aberta, Ed. Gradiva, 1 a 1995
e a e
[2] Educa¸ao, Teatro e Matem´tica Medievais, Lauand, L., Ed. Perspectiva, 1986
c˜ a
[3] Os Elementos de Euclides, Tradu¸ao e Introdu¸ao de Irineu Bicudo, Ed. Unesp, 2009
c˜ c˜
[4] Hist´ria da Matem´tica, BOYER, C. B., trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2 a Edi¸ao, Ed.
o a c˜
Edgard Bl¨cher Ltdda, 1988
u
[5] Introdu¸ao a hist´ria da matem´tica, EVES, HOWARD, tradu¸ao de Domingues, H.H, 3 a
c˜ ` o a c˜
edi¸ao, Ed. Unicamp, SP: 2002.
c˜
[6] Introdu¸ao a Teoria dos N´meros, Santos, J.P. O, Col. Mat. Universit´ria, Impa, 1998
c˜ ` u a
[7] N´meros e Numerais (T´picos de Hist´ria da Matem´tica para Uso em Sala de Aula), Gund-
u o o a
lach, B. H, tradu¸ao de Domingues H.H, Ed. Atual, 1998
c˜
[8] Uma Breve Hist´ria do Infinito - Dos paradoxos de Zen˜o ao Universo Quˆntico, Morris, R.,
o a a
Ed. Zahar, 1997

10. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 10
ˆ
MADAME DU CHATELET, (Fran¸a, 17/12/1706 -10/09/1749)
c
´ ˆ
A MATEMATICA QUE CONCILIAVA DOIS GENIOS
¨Para Lenard, Einstein era o prot´tipo do ¨pensamento judeu degenerado¨, que tra´ as id´ias
o ıa e
simples e claras da F´ısica Cl´ssica.¨
a
Heisenberg, E., A Vida Pol´ ıtica de um Apol´ ıtico, Ed..Ars Poetica
Por Nascimento J.B.
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
www.cultura.ufpa.br/matematica/?pagina=jbn
Email: jbn@ufpa.br, 18/mar¸o/2012
c
Imagine em pleno s´c. XVIII uma jovem em trajes masculino batendo
e
na porta de caf´ parisiense onde grandes matem´ticos se encontravam, n˜o
e a a
que ela quisesse enganar ningu´m, mas como protesto por haver tentado
e
entrar antes para debater com alguns desses e tinha sido impedida.
E nem h´ qualquer ind´ de que ela seria ingˆnua que n˜o soubesse que em tais lugares
a ıcio e a
poderia servir algo mais do que caf´. O que essa sempre demonstrou ´ que sabia separar os seus
e e
interesses cient´
ıficos dos demais. Essa recebeu ao nascer o nome de GRABRIELLE EMILIE ´
´
TONNELIER DE BRETEUIL e conhecida historicamente por Emilie, Madame ou Mar-
quesa Du Chˆtelet.
a
Ficando lament´vel que historiador da matem´tica ante suas obras transpare¸a mais pre-
a a c
ocupado com os seus bilhetes amorosos, como os que ela fazia para o seu maior leitor, confidente
cient´
ıfico e amante, Fran¸ois Marie Arouet, fil´sofo francˆs mais conhecido por Voltaire (1694
c o e
-1778). Isso faz com que, como no caso de Eves H, [8], p´g. 482, essa seja apresentada nos seguintes
a
termos: ¨Embora mais uma divulgadora do que uma criadora de matem´tica...¨.
a
Eves, em cujo pref´cio defende que sua obra se prop˜e ser util para forma¸ao docente, comete
a o ´ c˜
um disparate ao contrapor divulgador com criador. Posto que, desconhece o obvio: saber sem di-
´
vulga¸ao ´ quase in´til e docˆncia s´ existe pelo valor que h´ em divulgar saberes. Esse deveria ter
c˜ e u e o a
se lembrado, pelo menos, que a obra mais lida da matem´tica, Os Elementos de Euclides (s´c. III
a e
a.C), n˜o apenas se comp˜e de resultados originais, que os h´, como ´ compila¸ao de resultados
a o a e c˜
que estavam dispersos e foram reavivados num arranjo genial que tornou poss´ divulg´-los.
ıvel a
Vamos mostrar que essa fez um trabalho de divulga¸ao exemplar na hist´ria da matem´tica,
c˜ o a
coisa imposs´ıvel para quem n˜o domina esse saber. Para tanto, ´ preciso conhecer um pouco do
a e
quanto sua ´poca estava sobrecarregada por uma disputa feroz centrada na base essencial da Ciˆncia
e e
e Tecnologia moderna, a qual ´ C´lculo Diferencial e Integral. Pois, partid´rios dos dois principais
e a a
formuladores disso, Newton e Leibniz, enfrentavam-se numa briga feroz. E quem nos mostra um
pouco do n´ disto ´ o seguinte trecho de livro de Voltaire publicado em 1739:
ıvel e
¨Se uma falsa experiˆncia n˜o tivesse conduzido Newton a esta conclus˜o, podemos
e a a
acreditar que ele teria raciocinado de forma absolutamente diferente.¨
Elementos da Filosofia de Newton, Voltaire, trad. Maria das Gra¸as S. do Nascimento,
c
Ed. Unicamp, 1996
Dado que, at´ um pensador como Voltaire se disp˜e fazer um argumento t˜o canhestro deste
e o a
em defesa de Newton, endeusando-o por retirar-lhes at´ os erros de suas experiˆncias. E o seguinte
e e
trecho de artigo, Nobre, S., p´g. 18-19, [7] dimensiona quase tudo (g.n):
a
¨Se uma falsa experiˆncia n˜o tivesse conduzido Newton a esta conclus˜o, podemos
e a a
acreditar que ele teria raciocinado de forma absolutamente diferente.¨
Elementos da Filosofia de Newton, Voltaire, trad. Maria das Gra¸as S. do Nascimento,
c
Ed. Unicamp, 1996

11. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 11
Dado que, at´ um pensador como Voltaire se disp˜e fazer um argumento t˜o canhestro
e o a
deste em defesa de Newton, endeusando-o por retirar-lhes at´ os erros de suas experiˆncias. E o
e e
seguinte trecho de artigo, Nobre, S., p´g. 18-19, [7], dimensiona quase tudo (g.n):
a
¨Em Leibniz Newton encontrou um advers´rio mais de seu calibre. Hoje em dia,
a
est´ bem estabelecido que Newton desenvolveu o c´lculo antes de Leibniz
a a
´
pensar em estudar seriamente matem´tica. E quase universalmente aceito
a
que Leibniz chegou mais tarde ao c´lculo independentemente. Nunca houve
a
d´ vida de que Newton n˜o publicou seu m´todo dos fluxos; assim, foi o
u a e
artigo de Leibniz, em 1684, que primeiramente tornou o c´lculo p´ blico. Nos
a u
Principia Newton deu dicas desse m´todo, mas ele n˜o o publicou realmente
e a
´
antes de anexar dois artigos ao seu Otica de 1704. Nessa ´poca, a controv´rsia
e e
j´ estava perdendo seu calor.
a
´
E imposs´ dizer quem come¸ou. O que eram apenas acidas cr´
ıvel c ´ ıticas rapidamente se
tornou fortes acusa¸oes de pl´gio de ambos os lados. Levado por seguidores ansiosos
c˜ a
por ganhar reputa¸˜o `s suas custas, Newton se deixou levar ao centro da
ca a
disc´rdia; e, uma vez que seu temperamento foi espica¸ado por acusa¸oes de desonesti-
o c c˜
dade, sua ira ficou al´m dos limites. A condu¸ao da controv´rsia por Leibniz n˜o foi muito
e c˜ e a
agrad´vel, mas era p´lida perante a de Newton. Apesar de nunca ter aparecido em
a a
p´ blico, Newton escreveu a maioria das pe¸as que apareceram em sua defesa,
u c
publicando-as em nome de seus jovens disc´ ıpulos, que nunca negaram a autoria.
Como presidente da Royal Society, ele apontou um comitˆ ’imparcial’ para inves-
e
tigar a quest˜o, secretamente escreveu o relat´rio oficialmente publicado e a
a o
resenhou anonimamente nas Philosophical Transactions. Mesmo a morte de
Leibniz n˜o diminuiu a f´ria de Newton, e ele continuou a perseguir o inimigo al´m do
a u e
t´mulo. A batalha com Leibniz e a necessidade incontrol´vel de afastar a acusa¸ao de
u a c˜
desonestidade dominaram os ultimos 25 anos da vida de Newton. Isso o envolvia quase
´
inconscientemente. Quase todos os artigos em qualquer assunto nesses ultimos anos
´
continham um par´grafo furioso contra o fil´sofo alem˜o, e ele afiou os instrumentos
a o a
de sua f´ria com ainda mais cuidado. No fim, apenas a morte de Newton aplacou sua
u
vingan¸a.¨
c
Foi nesse ambiente de alta toxidade das mentalidades cient´
ıficas que em 1740 Madame Du
Chˆtelet publica Institutions de Physique, na qual defende ideias de Leibniz, porquanto, um
a
anos ap´s Voltaire publicar em defesa de Newton e quando j´ dividiam len¸ois, o que mostra da
o a c´
sua total independˆncia nesse tocante. E anos depois essa pede e consegue autoriza¸ao real para
e c˜
fazer a primeira e definitiva tradu¸ao francesa da obra mais fundamental de todos os tempos da
c˜
aplica¸ao do C´lculo Diferencial e Integral: Principia de Newton.
c˜ a
Ficando gr´vida, na medida em que a gravidez avan¸ava mais essa ultimava terminar essa
a c
tradu¸ao e n˜o escondia a raz˜o de ningu´m: temia morrer de parto. Isso era t˜o evidente que
c˜ a a e a
nesse advento estavam presentes marido e amantes. E as correspondˆncias que trocaram logo ap´s
e o
o parto, felizes por tudo ter transcorrido normalmente, porquanto, aliviados, comprova tudo. En-
tretanto, dias ap´s essa se sente enferma e no leito pede que lhe trouxesse as anota¸oes prontas da
o c˜
tradu¸ao de Newton, anota nessa 10/09/1749 e logo falece.
c˜
Postumamente, em 1756, o mundo conhece a magistral tradu¸ao e descobre que n˜o era
c˜ a
apenas isso, pois estava recheada de coment´rios pr´prios dos mais valiosos. Havendo um detalhe:
a o
se vivo fosse, Newton teria pelos menos dois aborrecimentos. Posto que, pelo numa p´gina que
a
encontrei na internet, ela usou a nota¸ao leibniziana para derivada e integral e uma proposi¸˜o
c˜ ca
que Newton resolve aplicando integra¸˜o numa esfera, no seu coment´rio ela faz no
ca a
geral para esferoide. Lembro que isso ocorre nos prim´rdios do C´lculo, porquanto, integra¸ao
o a c˜
em uma vari´vel e mesmo com o instrumental que temos hoje as duas integra¸oes nem sempre s˜o
a c˜ a
de dificuldades equivalentes.

12. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 12
´
Emilie Du Chˆtelet referencia profissionalismo mostrando que a Ciˆncia s´ perde com
a e o
briga tipo Newton-Leibniz envolvendo paix˜es pessoais, desprezo pelos preceitos cient´
o ıfico, o in-
teresse p´blico e servindo para todo tipo de adula¸oes, prescindindo conciliar com base de validade
u c˜
t´cnica o que houver de bom de ambos os lados. E essa premissa ´ porque Ciˆncia e Desenvolvi-
e e e
mento Cient´ ıfico e Tecnol´gico precisam at´ mais do que dessa concilia¸ao, exigem avan¸ar e inovar
o e c˜ c
as formula¸oes, n˜o apenas no sentido t´cnico, isso at´ ocorreu razoavelmente no caso do C´lculo,
c˜ a e e a
mas em divulga¸ao, porquanto, qualificando o ensino/forma¸ao docente disto.
c˜ c˜
E um fato que mostra do quanto o feito por Madame Du Chˆtelet precisa continuar sendo
a
perseguido ´ o seguinte trecho de livro escrito em 1977 do ex-professor de filosofia e matem´tica da
e a
Kingston University Paul Stranthern, p´g. 64-65, [13]:
a
¨Ainda no s´c. XVIII, Pit´goras foi admirado por Leibniz, figura quase f´rtil intelec-
e a e
tualmente e quase t˜o excˆntrica quanto ele. O grande pol´
a e ıgrafo e med´
ıocre matem´tico
a
alem˜o (al´m de diplomata nada diplom´tico, inepto plagiador, negocista frustrado etc.)
a e a
via-se como parte ’tradi¸ao pitag´rica’ Fez o melhor que pˆde.¨
c˜ o o
E em pa´ ıses como Inglaterra as desqualifica¸oes que tal mentalidade permeia o ensino da
c˜
matem´tica em n´ superior s˜o amortecidas no desenvolvimento tecnol´gico via outros fatores,
a ıvel a o
como a qualidade do ensino da matem´tica no n´ b´sico. Entretanto, em outros que n˜o disp˜em
a ıvel a a o
de nada substancial capaz disto, como ´ o caso do Brasil, isso explode nos cursos de Exatas e
e
Engenharia num quadro dantesco do n´ ıvel de rendimento em C´lculo. Um dado que
a
obtemos da UFPA aponta que de 140 ingressantes em cursos de Exatas, apenas 13
foram aprovados na primeira disciplina desse tema.
E nada disto ´ socialmente sens´ no Brasil por fatores da m´ educa¸ao, como n˜o haver
e ıvel a c˜ a
nos sites dos cursos os dados estat´
ısticos do n´ de aprova¸ao/reprova¸ao. E o mais verdadeiro
ıvel c˜ c˜
em tudo ´ que tais dados tr´gicos s˜o normalizados em fun¸˜o do p´ssimo ensino
e a a ca e
b´sico em matem´tica, porquanto, esse n˜o cumpre ` exigˆncia m´
a a a a e ınima de preparar
o educando para tal evento. Muito pelo contr´rio, destr´i os fatores predecessores no
a o
entendimento dos conceitos gerais de C´lculo, como j´ dissemos, pouco dependem da
a a
vers˜o, pelo menos, no caso Newton-Leibniz.
a
´
Emilie Du Chˆtelet, finalizando, haver´ de ser lembrada sempre que
a a
tiver algu´m seriamente empenhado em Ciˆncia, porquanto, pelo menos
e e
livre dos preconceitos mais banais, os mais terr´
ıveis. E tudo aqui enfoca
apenas sua contribui¸ao em matem´tica, havendo diversos outros pontos
c˜ a
para encontr´-la sem qualquer possibilidade de n˜o ter algo para leitura
a a
ˆ
com alta densidade, dado que, MADAME DU CHATELET escrevia
tendo ao lado uma tina com agua gelada para ir resfriando a m˜o.
´ a
Ilustra¸oes obtidas em
c˜
http://www.flickr.com/photos/fundoro/5415666228/, acesso Marc/12
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Madame du Ch%C3%A2telet.jpg, aceso Marc/12

13. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 13
ˆ
APENDICE
¸˜ ´
UM POUCO NA DIFERENCA DAS FORMULACOES DE CALCULO
¸
NEWTONIANO E LEIBNIZIANO
Qual ´ toda essa? Factualmente n˜o sei. Mas num aspecto ´ patente: Newton fazia o seu
e a e
c´lculo visando o j´ estava posto nas suas teorias e Leibniz estava mais centrado nos
a a
o ´
fundamentos filos´ficos dos resultados. E como hoje acontece em computa¸ao quando se tem
c˜
programa fechado e aberto. Os dois quando executados faz aparecer no monitor do computador
o mesmo, porquanto, ao usu´rio comum ´ indiferente, mas para quem manipula computa¸ao um
a e c˜
pouco mais do que isso a diferen¸a ´ imensa. Havendo um fator agravante nisso: a Mecˆnica New-
c e a
toniana ´ eterna, mas em termos de Ciˆncia e Tecnologia ´ um belo passado.
e e e
Vamos ilustrar tudo com o seguinte exemplo bem comum em livro de C´lculo:
a
Considere que uma escada de 5m de comprimento, antes encostada
numa parede perfeitamente vertical, comece a deslizar se afastando da
parede numa dire¸ao perfeitamente horizontal. Se quando essa se encontrar
c˜
numa posi¸ao que dista 4m da parede a velocidade com que se afasta ´ de
c˜ e
3 m/s, determina a velocidade e posi¸ao da parte superior verticalmente
c˜
em descida.
Resolu¸ao
c˜
Adotando a nota¸ao cartesiana e que velocidade se afastando da origem ´ positiva e negativa
c˜ e
no contr´rio, para todo instante de tempo t, o Teorema de Pit´goras diz que
a a
x2 (t) + y 2 (t) = 25 (1)
dx dy
Diferenciando (1) em t, Regra da Cadeia, fica: 2x(t) + 2y(t) = 0 e, portanto,
dt dt
dx dy
x(t) + y(t) = 0 (2).
dt dt
Como no instante procurado x= 4, por (1), obtemos que y= 3 e como ainda nesse instante
dx dy
= 3m/s, substituindo esses valores em (2), conclui-se que = −4m/s.
dt dt
E todas as formula¸oes de C´lculo que conhe¸o chegam nessas condi¸oes a mesma conclus˜o.
c˜ a c c˜ ` a
Agora considere que x esteja bem pr´ximo de 5m. A equa¸ao (1) no diz que y fica bastante
o c˜
dy
pr´ximo de zero. Logo, para calcular
o nesse caso vou precisar dividir por y bastante pr´ximo
o
dt
de zero. Por´m, os fundamentos de C´lculo diz que tal aproxima¸˜o faz com que a
e a ca
velocidade exploda. Entretanto, mecˆnica nenhuma, quanto menos newtoniana, aceita
a
uma coisa desta. Portanto, surgem perguntas: qual ´ o limite aceit´vel dessa aplica¸˜o?
e a ca
Quais s˜o isso de todos os casos? Qual filosofia do ensino da matem´tica abarca tudo
a a
isso?

14. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 14
ˆ
REFERENCIAS
´ ˆ
[1] EMILIE DU CHATELET,
http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%89milie du Ch%C3%A2telet, acesso Marc/12
´
[2] EMILIE DU CHATELET, UN PASSEUR SCIENTIFIQUE AU XVIIIE SIECLE, D’EUCLIDE A LEIBNIZ,
Mireille Touzery
http://histoire-cnrs.revues.org/7752, acesso mar¸/12
c
[3] EMILIE DE BRETEUIL, MARQUESA DU CHATELET, CIENT´
´ ˆ IFICA DEL SIGLO DE LAS LUCES, SHA-
HEN HACYAN
http://www.revistas.unam.mx/index.php/cns/article/view/12091, acesso Marc/12
[4] FEMALE PIONEERS IN MATHEMATICS FOUND STRENGTH IN NUMBERS,
http://www.theaustralian.com.au/news/arts/female-pioneers-in-mathematics-found-strength-in-numbers/story-e6frg8nf-
1226098373410, acesso Marc/12
[5] GREATEST WOMEN MATHEMATICIANS
http://www.successstories.co.in/greatest-women-mathematicians/, acesso Marc/12
´ ´
[6] HISTORIA DA MATEMATICA, Boyer, C. B, trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2a Edi¸ao, Ed. Edgard
c˜
Bl¨cher Ltdda, 1988
u
ˆ ´
[7] HISTORIOGRAFIA DA CIENCIA: ELEMENTOS QUANTITATIVOS COMO BASE PARA A AN ALISE
QUALITATIVA, Sergio Nobre, Unesp - Rio Claro,
http://www.sepq.org.br/IIsipeq/anais/pdf/mr1/mr1 7.pdf, acesso Marc/12
¸˜ ` ´ ´
[8] INTRODUCAO A HISTORIA DA MATEMATICA, Eves, H., tradu¸ao: Hygino H. Domingues, 3a edi¸ao,
c˜ c˜
Ed. Unicamp, SP: 2002
´ ´
[9] LA MARQUESA QUE TRADUJO LOS PRINCIPIOS MATEMATICOS DE NEWTON AL FRANCES
http://www.camiri.net/?p=5085, acesso Marc/12
[10] MADAME DU CHATELET ˆ
http://revistaphilomatica.blogspot.com.br/2010/03/madame-du-chatelet.html, acesso Marc/12
´
[11] MAT5766-EPISTEMOLOGIA DA MATEMATICA, Semin´rio: Newton e o c´lculo, Guilherme de Souza
a a
Rabello e William Vieira, 5/11/ 2002
http://www.ime.usp.br/ brolezzi/semin.pdf, acesso Marc/12
ˆ
[12] MARQUESA DE CHATELET,
http://matedanse.no.sapo.pt/pagina11.htm, acesso mar/12
´
[13] PITAGORAS E O SEU TEOREMA EM 90 MINUTOS, Stranthern, P., trad. Marcus Penchel, Jorge Zahar
Ed. 1988

15. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 15
M A R I A G A E T A N A A G N E S I (Mil˜o, 1718 - 1799)
a
´ ´
A MATEMATICA AUTORA DO PRIMEIRO TEXTO DIDATICO EM
´
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL E QUE RESOLVIA PROBLEMA
´
ATE DORMINDO
¨Nem todo processo nervoso, muito menos todo processo cerebral, ´ e
acompanhado de consciˆncia.¨ Erwin Schr¨dinger
e o
(f´
ısico austr´
ıaco, 1887-1961, Nobel de 1933)
O que ´ Vida? O Aspecto F´
e ısico da C´lula Viva, seguido de Mente e
e
Mat´ria e Fragmentos Autobiogr´ficos, Trad. Assis, J. P. e Assis V. Y.
e a
P., Ed. Unesp, 1997
Por Nascimento, J.B
UFPA/ICEN/Matem´tica
a
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
E-mail: jbn@ufpa.br, Mar¸/12
c
Nem Havia florescido a metade do s´c.XVII quando uma menina italiana com nove anos
e
de idade publica artigo em latim defendendo o direto das mulheres ingressar em curso superior. E
mesmo que fosse apenas uma peraltice j´ teria valor hist´rico, mas estava longe disto. Trata-se de
a o
MARIA GAETANA AGNESI, filha de docente de matem´tica da universidade de Bolonha e
a
j´ respeitada nesse meio c´
a ırculo acadˆmico como dominadora de v´rios saberes.
e a
E aos que pensaram tudo permanecer no campo te´rico, GAETANA AGNESI deu-lhes
o
resposta pouco mais da dobra do tempo, a qual foi a seguinte registrada em Eves, [3], p´g 479 (g.n):
a
¨Quando tinha vinte anos , publicou Propositiones Philosophicae, uma coletˆnea a
de 190 ensaios que, al´m de matem´tica, se ocupam de l´gica, mecˆnica, hidromecˆnica,
e a o a a
elasticidade, gravita¸ao, mecˆnica celeste, qu´
c˜ a ımica, botˆnica, zoologia e mineralogia.
a
Esses ensaios resultaram das discuss˜es nas tert´lias em casa de seu pai.¨
o u
Visando preparar irm˜o que demonstrava interesse por Exatas, porquanto, mias ainda para
a
qualquer outro, em 1748, AGNESI publica Instituzioni Analitiche cobrindo em dois volume
o que ainda hoje em pa´ como o Brasil ´ o essencial para se come¸ar uma gradua¸ao promissora
ıses e c c˜
em Exatas e Engenharia. Esse assume aspecto did´tico por trazer os fundamentos matem´ticos que
a a
d˜o suporte para o entendimento de C´lculo, mais conhecido no Brasil por pr´-c´lculo/revis˜o e
a a e a a
serve de referˆncia do que se deve fazer no ensino b´sico.
e a
Traduzida para o inglˆs, porquanto essa obra influenciou em diversos pa´
e ıses,os livros atuais
seguem pr´ximos desse padr˜o. E um caso que essa tratou serve para situarmos a importˆncia de
o a a
tudo de forma um pouco mais t´cnica. Trata-se de uma curva que Pierre de Fermat (1601 -
e
1665) havia definido, a qual, por erros de diversas tradu¸oes, ficou conhecida por FEITICEIRA
c˜
ou CURVA DE AGNESI.
Lembro que n˜o tenho essa obra de AGNESI para colocar exatamente tudo que ela fez em
a
fun¸ao desta curva. De fato, nem ´ essa a inten¸ao, mas mostrar como pode ser feito um pequeno
c˜ e c˜
exame s´ usando essa para determinar se algu´m domina o essencial de C´lculo e, porquanto, serve
o e a
para todo que quiser preencher os detalhes para testar os seus conhecimentos.
Considere um c´ ırculo raio a e centro 0, a), a reta tangente desse
em (0, 2a) e uma reta secante ao c´ ırculo passando pela origem, cujo
segundo ponto de interse¸ao ´ G e faz interse¸ao com a reta tangente
c˜ e c˜
em H. A reta paralela ao eixo − y passando por H e paralela ao eixo − x
passando por G tem P por ponto de interse¸ao. A curva ´ a descritas
c˜ e
por todos os lugares geom´tricos de P assim obtidos.
e
Os t´picos principais s˜o:
o a

16. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 16
1 - Saber tirar de informa¸oes descritivas Equa¸oes Alg´bricas, mostrando que a equa¸ao
c˜ c˜ e c˜
dessa curva ´ y(x
e 2 + 4a2 ) = 8a3 .
2 - Saber o m´
ınimo de deriva¸ao, porquanto, calcular as derivadas primeiras e segundas, y e
c˜
y , usando caso particular da Regra do Quociente ou Regra da Cadeia.
3 - Interpretar conceitos via deriva¸ao, como o de Ponto de Inflex˜o, mostrando nesse caso
c˜ a
que, por exemplo, a reta secante passando pela origem fazendo um angular de 60 o com o eixo − x
tem Ponto de Inflex˜o dessa curva.
a
4 - Que o eixo − x ´ Reta Ass´
e ıntota dessa curva.
5 - Saber que a area limitada pela curva e eixo−x ´ dada pela Integral de y(x).
´ e
6 - Conhece, pelo menos num caso particular, o C´lculo de Primitiva do
a
inverso de polinˆmio do segundo grau com discriminante negativo.
o
7 - Conhece o conceito de Integra¸˜o com limite no infinito o suficiente
ca
para calcular a area limitada pela curva e o eixo − x, obtendo ser o qu´druplo
´ a
da do c´
ırculo de raio a.
8 - Conhece as t´cnicas b´sicas do c´lculo por integra¸ao em uma vari´vel
e a a c˜ a
´
da Area e Volume de S´lido Gerado pela Rota¸˜o de curva, cal-
o ca
culando tais elementos do obtido pela rota¸ao dessa curva em torno do eixo−x.
c˜
Em 1749, MARIA GAETANA AGNESI foi designada pelo Papa Benedito XIV como
membro da Universidade de Bolonha, sem que haja qualquer outro fator mais preponderante para
tal atitude papal do que acreditar nos seus dotes cient´
ıficos. Entretanto, tudo indica - come¸ando
c
que n˜o acho anais da pr´pria universidade indicando o contr´rio, e deveria fazˆ-lo com orgulho-,
a o a e
que essa nunca exerceu efetivamente o cargo de docente nessa universidade. E este epis´dio, in-
o
dependentemente de tudo, mostra o n´ a que discrimina¸ao contra mulher pode chegar quando
ıvel c˜
anula efeito de decreto papal em pleno s´c. XVIII.
e
Finalizando, um fato que muitos cita como excentricidade, qui¸a acidental, acho ser mais
c´
obra da engenhosidade humana na busca de aprender. Posto que, sofrendo de sonambulismo essa
antes de deitar-se arruma a sua escrivaninha deixando separados os problemas mais duros ou que
nem sabia resolver. E uma vez atacada por essa disfun¸ao do sono, levanta-se, acende sua lampar-
c˜
ina, resolve-os, voltar para ao leito para acabar de dormir e ao acordar revisa o feito, sem que haja
qualquer registro de que MARIA GAETANA AGNESI tenha errado na resolu¸ao dos que fez c˜
acordada ou sonˆmbula.
a
Ilustra¸oes copiadas de:
c˜
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Il frontispizio delle Instituzioni analitiche dell’ Agnesi.png, acesso
Mar¸/12
c
http://it.wikipedia.org/wiki/File:5407 - Palazzo di Brera, Milano - Busto a Gaetana Agnesi - Foto
Giovanni Dall%27Orto, 1-Oct-2011.jpg, acesso Mar¸/12 c

17. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 17
Referˆncias
e
´
[1] AS MULHERES NA MATEMATICA, TCC de K´tia Cristina da Silva Souza, Licencianda
a
em Matem´tica, UCB/DF, Orientador: Sinval Braga de Freitas,
a
http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22006/KatiaCristinadaSilvaSouza.pdf, acesso Mar¸/12
c
[2] CURVA DE AGNESI
http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva de Agnesi, acesso Mar¸/12
c
¸˜ ` ´ ´
[3] INTRODUCAO A HISTORIA DA MATEMATICA, Eves, H., tradu¸ao: Hygino H. Domingues,
c˜
3a edi¸ao, Ed. Unicamp, SP: 2002,
c˜
[4] MARIA GAETANA AGNESI
http://instructional1.calstatela.edu/sgray/Agnesi/, acesso Mar¸/12
c
[5] MARIA GAETANA AGNESI
http://www.robertnowlan.com/pdfs/Agnesi,%20Maria%20Gaetana.pdf, acesso Mar¸/12
c
´
[6] 7 NOTAVEIS MULHERES MATEMATICAS ´
http://www.fichariodematematica.com/2011/04/7-notaveis-mulheres-matematicas.html, acesso Mar¸/12
c

18. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 18
M A R I E − S O P H I E G E R M A I N ( Fran¸a,1776 - 1831)
c
´ ´
A MATEMATICA QUE LANCOU BASE DO QUE HOJE HA DE MAIS
¸
AVANCADO EM ENGENHARIA
¸
¨Gosto da gota d’´gua que se equilibra na folha rasa, tremendo no vento.¨
a
Cec´ Meireles
ılia
Por Nascimento, J.B
UFPA/ICEN/Matem´tica
a
http://lattes.cnpq.br/5423496151598527
E-mail: jbn@ufpa.br, Out/2011
Numa vista r´pida, enxerga-se nas pirˆmides eg´
a a ıpcias e em alguns pr´dios atuais como obras
e
esplˆndidas da engenharia de cada ´poca. E o diferencial ´ abismal: enquanto as pirˆmides s˜o den-
e e e a a
tro de uma concep¸ao de extrema rigidez, entendendo que vibra¸ao ´ perigosa, alguns atuais s˜o
c˜ c˜ e a
feitos exatamente para n˜o cair por balan¸ar durante terremotos.
a c
In´meras pessoas contribu´
u ıram nisso, muitos anonimamente e de diversas areas. E todo
´
que deu foi por fazer dos estudos algo de seriedade e determina¸ao, portanto, superando diversos
c˜
obst´culos. Nesse caso, o que geralmente ´ raro, h´ uma contribui¸ao in´dita, fundamental e que
a e a c˜ e
surpreende muita gente por ser de uma mulher. Posto que, essas historicamente sofrem de discrim-
ina¸oes e mais ainda na area dessa, matem´tica, o que ainda hoje ´ uma tr´gica realidade brasileira.
c˜ ´ a e a
MARIE-SOPHIE GERMAIN, francesa, nasceu em 1776, ´poca em que escola para
e
meninas era apenas o suficiente para escrever e ler cartas de amor. Na sua adolescˆncia, em fun¸ao
e c˜
de grandes agita¸oes sociais, especialmente na sua cidade, Paris, os seus pais colocaram-na para
c˜
passar o dia na biblioteca, portanto, proibida de sair na rua, quando teria lido e se encantado com
a vida e obra do matem´tico Arquimedes de Siracusa (287 a.C. - 212 a.C), reconhecidamente
a
um dos maiores matem´tico e engenheiro de todos dos tempos. Arquimedes foi morto por soldado
a
invasor enquanto transcrevia na areia da praia algum resultado, quando havia determina¸ao supe-
c˜
rior de protegˆ-lo. Ou seja, mesmo prisioneiro seria valioso aos inimigos.
e
Germain demonstra interesse significativo por matem´tica ao ponto do tempo na biblioteca
a
ser insuficiente e adentrar na noite estudando no seu quarto. E al´m da preocupa¸ao com a sa´de
e c˜ u
dessa e da inutilidade que viam na ´poca menina estudar matem´tica, os seus pais passaram em
e a
racionar as suas velas e tudo mais para que ela fosse dormir mais cedo. Entretanto, a obstina¸ao
c˜
de Germain convenceu-os do quanto nada disso fazia diminuir o seu interesse por matem´tica.
a
Havendo um dado relevante: os seus estudos capacitava, e s´ interessava, para ingressar na
o
´
Ecole Polytechnique, que era o centro em termos de Ciˆncia e Tecnologia, entretanto, proibido as
e `
mulheres. Pior ainda: mesmo o seu pai sendo da burguesia nada podia fazer contra isso e, pela
agita¸ao social reinante, seria at´ perigoso cogitar ingresso de mulher no equivalente hoje ao n´
c˜ e ıvel
superior.
Germain coloca em evidˆncia mais uma vez a sua singular obstina¸ao e descobre haver
e c˜
nessa um que n˜o comparecia: Monsieur Antoine-August Le Blanc, E age como se fosse ele e
a
logo numa disciplina avan¸ada ministrada pelo j´ famoso na ´poca e seu compatriota, o matem´tico
c a e a
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). Lagrange toma um susto lendo trabalhos dos seus alunos.
Como Le Blanc, at´ ent˜o matematicamente obscuro, isso pelo fato de nem lembrar quem seria,
e a
tinha evolu´ tanto. Ante isso, Lagrange solicita presen¸a na sua sala.
ıdo c
´
Lagrange teria tomado outro susto maior pela figura que adentra sua sala. E o primeiro a
falar observando que Le Branc deveria passar p´ssimos momentos por ter um peitoral t˜o avanta-
e a
jado. Nisso, Germain releva toda verdade e ganha de Lagrange mais do que admira¸ao, incentivo
c˜
para estudar matem´tica.
a
Paralelamente a isso, Germain, como se fosse Le Blanc, j´ vinha atravessando fronteiras
a
trocando correspondˆncia com um dos maiores matem´tico de todos os tempos: Johann Carl
e a
Friedrich Gauss(Alemanha, 1777-1855) e ganhara profundo respeito deste por conseguir fazer
coment´rios de alguns dos seus livros sem que esse visse nada que pudesse considerar qualquer
a
fraqueza matem´tica.
a

19. Algumas Mulheres da Hist´ria da Matem´tica, por Nascimento, J. B.- ICEN/ UFPa
o a 19
Gauss reconhece da profundidade matem´tica de alguns trabalhos que recebe do que sabia
a
ser monsieur Le Blanc. Esse s´ soube da verdade muito depois, 1806, quando recebeu visita de
o
comandante francˆs que invadiu sua cidade, era a ´poca das invas˜es francesas, e o avisa de que
e e o
estivera salvo de qualquer perigo por pedido direto da sua amiga Sophie Germain. Foi o que
ela pode fazer para n˜o correr o risco de reviver o que ocorreu com Arquimedes. Isso mostra que
a
mesmo tendo contato social para tanto, nada pode fazer diretamente contra a proibi¸ao de mulher
c˜
´
ingressar na Ecole Polytechnique.
Autora de v´rios resultados originais em matem´tica, uma das teorias que desenvolveu
a a
tinha na raiz o fato de certas vibra¸oes, ao contr´rio da cren¸a geral, ao inv´s de de-
c˜ a c e
stro¸ar as estruturas, derrubando-as, contribu´
c ´
ıam para mantˆ-las. E nisso, Superf´
e ıcies
El´sticas, que versa um dos seus trabalhos e pelo qual ganhou, em 1816, prˆmio da Academia
a e
Francesa de Ciˆncia, tornando-se a primeira mulher a ser aceita nessa. E a primeira grande obra
e
de engenharia que se sabe aplicar isso ´ a Torre Eiffel, inaugurada em 1889 em Paris. E come-
e
teram uma injusti¸a sem tamanho quando em l´pide desta fizeram constar nomes de cientistas e
c a
engenheiros que ajudaram na sua concep¸ao, sem que contasse o nome de Sophie Germain.
c˜
c˜ a ´
Germain fez contribui¸ao importante no j´ famoso Ultimo Teorema de Fermat (
Pierre de Fermat, 1601 - 1665), o qual afirma que para todo n inteiro maior do que dois a
equa¸ao xn + y n = z n n˜o possui solu¸ao nos inteiros. O feito dela ´ o maior de todos antes, sem
c˜ a c˜ e
que se tenha not´ de algum que n˜o tenha tentado, e perdurou assim por muitas d´cadas. Esse
ıcia a e
s´ foi resolvido pelo matem´tico inglˆs Andrew Wiles em 1994.
o a e
Finalizando, Gauss submete a universidade de G¨ttingen, Alemanha, reconhecer trabalho
` o
de Germain como tese de doutorado. E quando a documenta¸ao de aceite do t´
c˜ ıtulo chega, a
Matem´tica MARIE-SOPHIE GERMAIN havia falecido de cˆncer na mama.
a a
Referˆncia
e
- BOYER, C. B - Hist´ria da Matem´tica, trad. Elza F. Gomide (IME/USP), 2 a Edi¸ao, Ed.
o a c˜
Edgard Bl¨cher Ltdda, 1988, P´g. 347
u a
- DISCRIMINACAO¸ ˜ TIRA MULHERES DE AREAS EXATAS E PREOCUPA GOVERNO,
´
http://ultimosegundo.ig.com.br/educacao/discriminacao+tira+mulheres+de+areas+exatas+e+ pre-
ocupa+governo/n1238144853610.html, acesso maio/2011
- EVES, HOWARD - Introdu¸ao a Hist´ria da Matem´tica, tradu¸ao: Hygino H. Domingues,
c˜ ` o a c˜
3a edi¸ao, Ed. Unicamp, SP: 2002
c˜
´
- SINGH, S. - O Ultimo Teorema de Fermat, Editora Record, 1998.
- SOPHIE GERMAIN: AN ESSAY IN THE HISTORY OF THE THEORY OF ELASTICITY,
http://books.google.com/books?id=tCTMGbB4wQ4C&printsec=frontcover&hl=pt-BR#v=
onepage&q&f=false, acesso out/2011
´
- TARADA POR NUMEROS, Revista Galileu,
http://revistagalileu.globo.com/Galileu/0,6993,ECT832482-2680,00.html, acesso out/11
- UM TEOREMA DE SOPHIE GERMAIN,
http://serolmar.wordpress.com/2010/12/14/um-teorema-de-sophie-germain/, acesso jan/11
(*) Foto em: http://www.math.rochester.edu/u/faculty/doug/UGpages/sophie.html, acesso out/11