Engenharia Mecânica E Controle e Automação

1. Lista 2 – Álgebra Linear (Matrizes inversas)
ÁLGEBRA LINEAR
MATRIZ INVERSA
Seja A é uma matriz quadrada n  n. Chamamos de matriz inversa de A à
uma matriz B, também n  n, que satisfaz a seguinte propriedade: IABBA  ,
em que nII  é a matriz identidade n  n. Se esta matriz B existir, A será
chamada de matriz invertível.
Normalmente a matriz inversa de A é indicada por 1
A , logo:
IAAAA   11
Exemplo
1. Ache a inversa da matriz 






41
32
A


















10
01
41
32
dc
ba














10
01
44
3232
dbca
dbca





04
132
ca
ca

5
4
a e
5
1
c e





14
032
db
db

5
3
b e
5
2
d
Logo













5
2
5
1
5
3
5
4
1
A
Obs: O mesmo resultado seria obtido fazendo: 

















10
01
41
32
dc
ba
Teorema
Se A é uma matriz invertível, então a sua inversa é única.
Observações

2. i) Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, então BA é também invertível e
  111 
 ABBA .
ii) Uma matriz quadrada A admite inversa se e somente se 0det A .
iii) Se A é uma matriz quadrada e 0det A , então
A
A
det
1
det 1

.
Teorema
Seja A uma matriz quadrada. Se uma seqüência de operações elementares
nas suas linhas reduz A a I, então a mesma seqüência de operações elementares
transforma I em 1
A .
Exemplo
2. Ache a inversa da matriz













321
121
121
A












100321
010121
001121




 21 LL












100321
001121
010121



133
122
LLL
LLL













110440
011240
010121




 22
4
1
LL










110440
0
4
1
4
1
2
1
10
010121



233
211
4
2
LLL
LLL





















101200
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 33
2
1
LL


















2
1
0
2
1
100
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001




 322
2
1
LLL

3. 


















2
1
0
2
1
100
4
1
4
1
2
1
010
0
2
1
2
1
001



. Assim,




















2
1
0
2
1
4
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
1
A .
1) Determina (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo:
a) 





31
52
b) 







11
22
c)










110
101
011
d)












100
110
011
e)













011
101
337
f)











832
110
421
g)












524
012
321
h)












325
120
112
2) Determina (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo:
a) 





32
53
b) 





54
65
c) 




 
11
11
d)












113
202
541
3) Se P-1
é a matriz inversa de P = 





31
52
, determina o valor do determinante da
matriz P + P-1
.
4) Determina o valor de x para que as matrizes sejam inversíveis :
a) 







23
2x
b) 




 
42
13x
c) 







x
x
29
4
d)











x
x
231
112
01