O documento discute o Problema da Árvore Geradora de Rotulação Mínima (PAGRM), que envolve encontrar uma árvore geradora em um grafo que utilize o menor número possível de rótulos de arestas. Aborda métodos exatos baseados em cortes coloridos e heurísticas construtivas como Prim, adição de arestas majoritárias e remoção de arestas minoritárias.

1. Problema da Árvore Geradora
de Rotulação Mínima (PAGRM)
Métodos Exatos e Heurísticos

2. Introdução - PAGM
● Problema da Árvore Geradora Mínima (PAGM)
○ Polinomial
○ Variações NP-Completo

3. Variante PAGRM - Definição
Entrada: grafo não orientado G = (V, E, L), onde
● V são os vértices
● E são as arestas
● e L é um conjunto de rótulos sobre E (cada aresta possui um conjunto de rótulos)
Objetivo: encontrar uma árvore T = (V, E', L') em G que utilize o menor número de
rótulos diferentes (minimizar |L'|)

4. PAGRM - Exemplo
(a) Instância-exemplo (b) Solução ótima

5. PAGRM - Aplicações
(Projeto de redes de comunicação) onde existem vários meios entre os nós (e.g. fibra
óptica, ethernet). Encontrar uma árvore que conecte todos os nós com a menor
quantidade de tipos de meio.
(Redes de transporte multimodais) onde deseja-se prover um serviço usando o
número mínimo de companhias. Cada aresta representa uma companhia que gerencia
o serviço naquela aresta. Encontrar uma árvore geradora com o mínimo de
companhias diferentes.

6. PAGRM - Histórico
Várias formulações matemáticas desde 1997
● Exatos
○ Baseado no A*, Branch&Cut, Branch&Cut&Price, Planos de corte
● Heurísticos
○ MVCA (Maximum Vertex Covering Algorithm)
○ GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure)
○ VNS (Variable Neighbourhood Search)
○ MGA (Modified Genetic Algorithm)

7. Formulação Baseada em Cortes Coloridos
(FBCC)

8. Formulação Baseada em Cortes Coloridos
(FBCC)
● δ(S) → Corte de arestas
● Conjunto exponencial de
restrições
● Planos de corte
○ Separação das inequações

9. Heurísticas Construtivas
● Uso do algoritmo de Prim
● Adição de arestas
● Remoção de arestas

10. Heurísticas - Prim
Algoritmo PrimMod:
Entrada: grafo G rotulado
Seja L um conjunto que guarda cada rótulo e a sua frequência no grafo G
Para cada aresta do grafo:
definir seu peso como a frequência do rótulo associado, com valor negativo
Aplicar o algoritmo de Prim (árvore geradora mínima)

11. Heurísticas - Prim
(a) Instância-exemplo (b) Construindo solução ótima

12. Heurísticas - Add Maioritários
Algoritmo AddMajorities:
enquanto |L| > 0:
l = pegar (e remover) rótulo com menor frequência de L
M = conjunto das arestas relacionadas a l
H = G sem as arestas M
se H é conexo:
G = H
remover ciclos de G

13. Heurísticas - Add Maioritários
(a) Instância-exemplo (b) Construindo solução ótima

14. Heurísticas - Del Minoritários
Algoritmo AddMajorities:
H = G sem arestas
enquanto H é desconexo:
l = pegar (e remover) rótulo com maior frequência de L
M = conjunto das arestas relacionadas a l
adicionar as arestas M ao grafo H
remover ciclos de G

15. Heurísticas - Del Minoritários
(a) Instância-exemplo (b) Construindo solução ótima

16. Fim!