PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ
ESCOLA POLITÉCNICA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

ETTORE BUSSOLIN NETTO

LAJES LISA...
ETTORE BUSSOLIN NETTO

LAJES LISAS – ANÁLISE DE OTIMIZAÇÃO DE QUANTITAIVOS COM BASE NO
DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL

Trabalh...
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus amigos e familiares, àqueles que sempre estiveram do meu
lado neste último ano, nos piore...
“So close no matter how far,
Couldn’t be much more from the heart,
Forever trusting who we are,
And nothing else matters.....
RESUMO
Nos últimos anos, o uso de lajes lisas em obras de engenharia vem aumentando de
forma considerável, sobretudo em ed...
LISTA DE FIGURAS

Figura 1 -

Panorama de fissuração da laje na ocasião da ruptura ....................... 21

Figura 2 -
...
Figura 29 -

Reação de apoio do pilar P8. Subtraindo-se o peso do pilar destes
valores, obtém-se FSD (Unidade: kN) ..........
LISTA DE TABELAS

Tabela 1 -

Valores de K ..................................................................................
Tabela 31 - Dimensionamento à flexão – Laje 16 ................................................... 94
Tabela 32 - Dimensio...
Tabela 65 - Dimensionamento à punção – Laje 25 ............................................... 128
LISTA DE SÍMBOLOS


–

Diâmetro de uma barra de aço



–

Taxa de armadura de flexão

f

–

Coeficiente de majoração da...
K

–

Coeficiente que fornece a tensão nominal de cisalhamento em virtude do
momento transferido da laje ao pilar

L

–

V...
SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................
3.5 LAJES CALCULADAS ........................................................................................ 59
3.6 DETAL...
14

1 INTRODUÇÃO

1.1 JUSTIFICATIVA

O corrente aumento do uso de lajes lisas em edificações, atingindo, inclusive,
o Bras...
15

estudo consiste em definir, para esse pavimento, diversas relações entre volume de
concreto e aço, analisando a influê...
16

2 REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS

De acordo com a bibliografia, as principais vantagens das lajes lis...
17

econômicas que a solução tradicional quando há cargas de grande intensidade
(CUNHA; SOUZA, 1994).
A principal desvanta...
18

(ARAÚJO, 2010). Caso não haja a possibilidade de uso de apoios contínuos para as
extremidades da laje, Cunha e Souza (...
19

Embora, em estruturas com sistema laje-pilar, esses elementos possam
auxiliar no contraventamento, a ausência de viga ...
20

heterogeneidade do concreto, o uso do concreto armado, que adiciona as barras de
aço ao material, aumenta significativ...
21

criando conexões entre as fissuras radiais e delimitando o perímetro crítico – este
círculo imperfeito é mostrado na F...
22

ângulo normalmente fica próximo de 45º (Figura 2). Theodorakopoulos e Swamy
(2002) comentam que essas fissuras são irr...
23

tracionada, não tendo sido registrados casos de rompimento por esmagamento do
concreto.
Com

a

realização

de

ensaio...
24

das fissuras de flexão, a força cortante é resistida apenas pela zona de compressão;
o concreto da zona de compressão ...
25

Figura 5 -

Punção excêntrica – Método tradicional

Fonte: Cordovil, 1997, p.23

Outro aspecto que tem sido fonte de m...
26

cisalhamento não são significativamente maiores que apenas o efeito da tensão
normal u1 e da tensão de cisalhamento v...
27

Figura 7 -

Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander – Hipótese de ruptura.

Fonte: Cordovil, 1997, p.36

Nessas circuns...
28

Este comportamento não linear de distribuição de momentos e tensões de
cisalhamento altera a forma de ruptura das laje...
29

cisalhamento em volta da área carregada. Cunha e Souza (1994) comentam que,
dependendo da magnitude dos momentos trans...
30

2.2.3 Métodos de cálculo dos esforços

Para lajes, em geral, segundo Cunha e Souza (1994), há três tipos de apoios:
1)...
31

de uma viga, possa parecer preciso, pode não ser adequado, sobretudo em
situações nas quais as sobrecargas mais desfav...
32



45% dos momentos positivos para as duas faixas internas;



27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas ...
33

Estribos não são indicados para lajes de pouca espessura porque possuem,
segundo Cunha e Souza (1994), eficiência duvi...
34

2d

2d

s

s

c

0,5c  1,5d

Figura 11 - Disposição da armadura de punção

s

un,ef

2d

s

2d

Armadura exigida pelo...
35

brasileira, algumas experiências realizadas na Universidade de São Paulo foram
levadas em conta (CORDOVIL, 1997).
As f...
36

2.3.1 Superfície de controle

As abordagens dos critérios de dimensionamento existentes baseiam-se na
determinação de ...
37

Em relação à distância horizontal da superfície de controle à face do pilar,
Cordovil (1997) entende que a distância i...
38

tensão nominal de cisalhamento que deve ser somada à parcela de tensão
calculada por meio da força normal, resultando ...
39

Figura 13 - Distribuição das tensões de cisalhamento devido ao momento Msd

Fonte: Araújo, 2010, p.229

2.3.3 Outros p...
40

dos momentos transferidos da laje ao pilar, o procedimento é análogo (ARAÚJO,
2010).
Em relação aos pilares de borda o...
41

Figura 15 - Perímetros de controle recomendados pela norma NBR6118:1980

Fonte: Ferreira e Oliveira, 2007, p.622

A AB...
42

O contorno C é dado pelo perímetro do pilar, o contorno C’, distante 2d da
face do pilar, é medido conforme a Figura 1...
43

Quando há aberturas próximas ao pilar, de distância inferior a 8d da face, o
contorno crítico C’ deve ser desconsidera...
44



, onde:

(2)
.



“u . d” é a área da superfície de controle que está sendo calculada (m²);



Msd é o momento de...
45



d é a altura útil da laje entre os contornos críticos C e C’ (m);



sd é a tensão solicitante na superfície de c...
46





, onde: v = 1 – fck / 250 (fck em MPa).

(5)



fck é a resistência característica à compressão do concreto (M...
47

A armadura de punção pode ser dispensada se RD1 > sd. Caso contrário, a
armadura de punção deve ser adotada e a resi...
48

Figura 21 - Representação de Asw e Sr.

Asw

Sr

Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118: 2003, p.117

2.4.4 Requisitos da ar...
49

Figura 22 - Disposição da armadura de punção em corte.

Fonte: NBR 6118, 2003, p.117.

2.4.5 Outras verificações

Caso...
50

3 METODOLOGIA

3.1 ELABORAÇÃO DO PRÉ-PROJETO ESTRUTURAL

Para elaboração do modelo estrutural utilizado para dimension...
51

Com base no projeto arquitetônico apresentado na figura 23, foi desenvolvido
o pré-projeto estrutural deste pavimento ...
52

Figura 24 - Pré-projeto estrutural gerado
608

608

470

608

608

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

624
...
53

22 cm, foi possível obter resultados aceitáveis para a posição da linha neutra no
dimensionamento à flexão e, por isso...
54

Figura 25 - Modelo tridimensional desenvolvido no software SAP 2000

Fonte: O autor, 2013

A modelagem da laje foi fei...
55

majoração de forças f = 1,4, conforme indicado pela norma para edificações dessa
categoria. A definição das dimensões...
56

Figura 27 - Definição da combinação de carregamentos criada.

Fonte: O autor, 2013

Em relação aos carregamentos apres...
57

Figura 28 - Esforços resultantes de momento fletor na direção x (Unidade: kN.m/m).

Fonte: O autor, 2013

Os esforços ...
58

dos pilares. O dimensionamento das armaduras de flexão foi realizado segundo as
prescrições da ABNT NBR 6118:2003.
O e...
59

3 e 4). Para cada laje calculada, foram quantificados os esforços de momentos
fletores nas direções x e y na face dos ...
60

possuem seções quadradas, e seu lado é representado por “LPilar”. A espessura de
cada laje é denominada “h”.
Tabela 5 ...
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
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Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
Lajes lisas   análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural
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Trabalho de Conclusão de curso de Engenharia Civil, abordando o assunto lajes lisas, focando a punção e o método de dimensionamento proposto pela norma brasileira. Na sequência, apresenta-se uma pesquisa sobre a influência da alteração da seção dos pilares e da espessura da laje no quantitativo de aço.

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Lajes lisas análise de otimização de quantitativos com base no dimensionamento estrutural

  1. 1. PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ ESCOLA POLITÉCNICA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL ETTORE BUSSOLIN NETTO LAJES LISAS – ANÁLISE DE OTIMIZAÇÃO DE QUANTITATIVOS COM BASE NO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL CURITIBA 2013
  2. 2. ETTORE BUSSOLIN NETTO LAJES LISAS – ANÁLISE DE OTIMIZAÇÃO DE QUANTITAIVOS COM BASE NO DIMENSIONAMENTO ESTRUTURAL Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Engenharia Civil, da Pontifícia Universidade Católica do Paraná, como requisito parcial à obtenção do título de Engenheiro Civil. Orientador: Prof. Wilson Gorges. CURITIBA 2013
  3. 3. AGRADECIMENTOS Agradeço aos meus amigos e familiares, àqueles que sempre estiveram do meu lado neste último ano, nos piores e nos melhores momentos. Eu jamais teria conseguido chegar onde cheguei até agora se eu não tivesse a certeza que poderia contar com suas amizades nos momentos difíceis. Agradeço aos professores por compartilhar seus conhecimentos, especialmente àqueles que se empenharam em algo que vai além de transmitir informações, mas em formar seres humanos críticos, conscientes de seu papel na sociedade e na engenharia civil. Agradeço à VLB Engenharia por ter me dado a oportunidade de estagiar na área de estruturas e adquirir experiência para desenvolver este trabalho, especialmente aos engenheiros que me orientaram nestes dois anos, que investiram grande parte de seu tempo para contribuir com meu crescimento profissional. Agradeço ao meu orientador, professor Wilson Gorges, pela confiança depositada no meu trabalho e por compartilhar tanto conhecimento e experiência durante este período. Agradeço à minha mãe por ter me dado todo o apoio necessário para que eu pudesse me dedicar integralmente aos estudos. Não é possível atingir objetivo algum sozinho, e eu jamais teria conseguido atingir os objetivos que atingi até agora se não tivesse seu apoio durante este período.
  4. 4. “So close no matter how far, Couldn’t be much more from the heart, Forever trusting who we are, And nothing else matters...” James Hetfield (Metallica)
  5. 5. RESUMO Nos últimos anos, o uso de lajes lisas em obras de engenharia vem aumentando de forma considerável, sobretudo em edificações comerciais. Com base nesta tendência, o estudo do fenômeno da punção em lajes lisas de concreto armado torna-se mais importante para que a expansão de seu uso ocorra sem o comprometimento da segurança das estruturas. A punção, por ser a principal fonte de manifestações patológicas em lajes lisas e cogumelo, além de possuir um tipo de ruptura abrupta, deve ser estudada e entendida. A segurança da estrutura, no entanto, deve ser mantida de forma que o projeto continue viável economicamente. Alinhar economia e segurança nos projetos de lajes lisas é um dos desafios atuais da engenharia civil. O presente estudo visa, atendendo às prescrições das normas brasileiras que tratam de projetos de lajes lisas, realizar uma série de dimensionamentos a partir de um projeto arquitetônico de um pavimento tipo de um edifício comercial. Cria-se um pré-projeto estrutural contendo uma laje lisa e, a partir deste, são realizadas alterações na seção transversal dos pilares e na espessura da laje, gerando novos pré-projetos estruturais. Para cada novo pré-projeto, resultantes dessas alterações, são calculadas as armaduras de flexão negativa na região dos pilares, armadura de punção e armadura de combate ao colapso progressivo. Do ponto de vista de quantitativos, busca-se avaliar a interferência das alterações de volume de concreto na quantidade de aço necessária para que a laje esteja protegida aos esforços solicitantes. Do ponto de vista da segurança, espera-se que o atendimento das prescrições das normas tornem os resultados obtidos praticáveis em projetos reais de engenharia, para que sejam confiáveis e possam servir de referência para análises posteriores. O trabalho tem como objetivo, portanto, avaliar a influência que as alterações nas seções dos pilares e na espessura da laje exercem sobre o quantitativo de concreto e aço, servindo como base para tomadas de decisões em projetos reais de engenharia. Palavras-chave: Tensões. Punção. Lajes lisas.
  6. 6. LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Panorama de fissuração da laje na ocasião da ruptura ....................... 21 Figura 2 - Cone de ruptura em uma laje de fundação .......................................... 21 Figura 3 - Cone de ruptura de uma laje cogumelo. .............................................. 22 Figura 4 - Modelo de engenharia para punção ..................................................... 23 Figura 5 - Punção excêntrica – Método tradicional............................................... 25 Figura 6 - Sistema tridimensional de tensões simplificado ................................... 26 Figura 7 - Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander – Hipótese de ruptura. ..... 27 Figura 8 - Contorno dos esforços cortantes em lajes ........................................... 28 Figura 9 - Diagramas de momento conforme proximidade dos apoios ................ 31 Figura 10 - Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos ............................................................................................... 32 Figura 11 - Disposição da armadura de punção ..................................................... 34 Figura 12 - Superfície de controle .......................................................................... 36 Figura 13 - Distribuição das tensões de cisalhamento devido ao momento Msd .... 39 Figura 14 - Efeito de aberturas próximas ao pilar. .................................................. 39 Figura 15 - Perímetros de controle recomendados pela norma NBR6118:1980 .... 41 Figura 16 - Perímetro crítico em pilares internos retangulares ............................... 42 Figura 17 - Perímetro crítico em pilares de borda. ................................................. 42 Figura 18 - Perímetro crítico em pilares de canto. .................................................. 42 Figura 19 - Perímetro crítico junto à abertura na laje. ............................................ 43 Figura 20 - Distância para cálculo das taxas de armadura negativa de flexão ....... 46 Figura 21 - Representação de Asw e Sr. ................................................................. 48 Figura 22 - Disposição da armadura de punção em corte. ..................................... 49 Figura 23 - Projeto arquitetônico – Pavimento tipo de uma edificação comercial .............................................................................................. 50 Figura 24 - Pré-projeto estrutural gerado ............................................................... 52 Figura 25 - Modelo tridimensional desenvolvido no software SAP 2000 ................ 54 Figura 26 - Parâmetros do concreto armado. ......................................................... 55 Figura 27 - Definição da combinação de carregamentos criada. ........................... 56 Figura 28 - Esforços resultantes de momento fletor na direção x (Unidade: kN.m/m)................................................................................................ 57
  7. 7. Figura 29 - Reação de apoio do pilar P8. Subtraindo-se o peso do pilar destes valores, obtém-se FSD (Unidade: kN) ................................................... 58
  8. 8. LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Valores de K ......................................................................................... 38 Tabela 2 - Dimensões mínimas de projeto ............................................................ 51 Tabela 3 - Planilha modelo para cálculo de armadura de flexão ........................... 59 Tabela 4 - Planilha modelo para cálculo de armadura de punção e colapso progressivo ........................................................................................... 59 Tabela 5 - Lajes calculadas ................................................................................... 60 Tabela 6 - Valores de dX, dY e d para cada laje calculada .................................... 63 Tabela 7 - Quantitativos ........................................................................................ 64 Tabela 8 - Comparativo de resultados em relação à Laje 1 .................................. 66 Tabela 9 - Redução do peso total de aço conforme alteração nos pilares. ........... 68 Tabela 10 - Valores de R para as alterações nas seções dos pilares. .................... 69 Tabela 11 - Percentual de aço economizado com as alterações realizadas. .......... 70 Tabela 12 - Redução do peso total de aço conforme alterações nas espessuras das lajes. ........................................................................... 70 Tabela 13 - Valores de R para as alterações das espessuras das lajes. ................ 71 Tabela 14 - Percentual de aço economizado com as alterações realizadas. .......... 72 Tabela 15 - Relação entre a quantidade de armadura de punção e flexão ............. 73 Tabela 16 - Dimensionamento à flexão – Laje 1 ..................................................... 79 Tabela 17 - Dimensionamento à flexão – Laje 2 ..................................................... 80 Tabela 18 - Dimensionamento à flexão – Laje 3 ..................................................... 81 Tabela 19 - Dimensionamento à flexão – Laje 4 ..................................................... 82 Tabela 20 - Dimensionamento à flexão – Laje 5 ..................................................... 83 Tabela 21 - Dimensionamento à flexão – Laje 6 ..................................................... 84 Tabela 22 - Dimensionamento à flexão – Laje 7 ..................................................... 85 Tabela 23 - Dimensionamento à flexão – Laje 8 ..................................................... 86 Tabela 24 - Dimensionamento à flexão – Laje 9 ..................................................... 87 Tabela 25 - Dimensionamento à flexão – Laje 10 ................................................... 88 Tabela 26 - Dimensionamento à flexão – Laje 11 ................................................... 89 Tabela 27 - Dimensionamento à flexão – Laje 12 ................................................... 90 Tabela 28 - Dimensionamento à flexão – Laje 13 ................................................... 91 Tabela 29 - Dimensionamento à flexão – Laje 14 ................................................... 92 Tabela 30 - Dimensionamento à flexão – Laje 15 ................................................... 93
  9. 9. Tabela 31 - Dimensionamento à flexão – Laje 16 ................................................... 94 Tabela 32 - Dimensionamento à flexão – Laje 17 ................................................... 95 Tabela 33 - Dimensionamento à flexão – Laje 18 ................................................... 96 Tabela 34 - Dimensionamento à flexão – Laje 19 ................................................... 97 Tabela 35 - Dimensionamento à flexão – Laje 20 ................................................... 98 Tabela 36 - Dimensionamento à flexão – Laje 21 ................................................... 99 Tabela 37 - Dimensionamento à flexão – Laje 22 ................................................. 100 Tabela 38 - Dimensionamento à flexão – Laje 23 ................................................. 101 Tabela 39 - Dimensionamento à flexão – Laje 24 ................................................. 102 Tabela 40 - Dimensionamento à flexão – Laje 25 ................................................. 103 Tabela 41 - Dimensionamento à punção – Laje 1 ................................................. 104 Tabela 42 - Dimensionamento à punção – Laje 2 ................................................. 105 Tabela 43 - Dimensionamento à punção – Laje 3 ................................................. 106 Tabela 44 - Dimensionamento à punção – Laje 4 ................................................. 107 Tabela 45 - Dimensionamento à punção – Laje 5 ................................................. 108 Tabela 46 - Dimensionamento à punção – Laje 6 ................................................. 109 Tabela 47 - Dimensionamento à punção – Laje 7 ................................................. 110 Tabela 48 - Dimensionamento à punção – Laje 8 ................................................. 111 Tabela 49 - Dimensionamento à punção – Laje 9 ................................................. 112 Tabela 50 - Dimensionamento à punção – Laje 10 ............................................... 113 Tabela 51 - Dimensionamento à punção – Laje 11 ............................................... 114 Tabela 52 - Dimensionamento à punção – Laje 12 ............................................... 115 Tabela 53 - Dimensionamento à punção – Laje 13 ............................................... 116 Tabela 54 - Dimensionamento à punção – Laje 14 ............................................... 117 Tabela 55 - Dimensionamento à punção – Laje 15 ............................................... 118 Tabela 56 - Dimensionamento à punção – Laje 16 ............................................... 119 Tabela 57 - Dimensionamento à punção – Laje 17 ............................................... 120 Tabela 58 - Dimensionamento à punção – Laje 18 ............................................... 121 Tabela 59 - Dimensionamento à punção – Laje 19 ............................................... 122 Tabela 60 - Dimensionamento à punção – Laje 20 ............................................... 123 Tabela 61 - Dimensionamento à punção – Laje 21 ............................................... 124 Tabela 62 - Dimensionamento à punção – Laje 22 ............................................... 125 Tabela 63 - Dimensionamento à punção – Laje 23 ............................................... 126 Tabela 64 - Dimensionamento à punção – Laje 24 ............................................... 127
  10. 10. Tabela 65 - Dimensionamento à punção – Laje 25 ............................................... 128
  11. 11. LISTA DE SÍMBOLOS  – Diâmetro de uma barra de aço  – Taxa de armadura de flexão f – Coeficiente de majoração das forças RD1 – Resistência da diagonal de tração do contorno crítico calculado sem armadura de punção RD2 – Resistência da diagonal de compressão do contorno crítico calculado; RD3 – Resistência da diagonal de tração do contorno crítico calculado com armadura de punção sd – Tensão nominal de cisalhamento atuante no contorno crítico calculado V – Coeficiente de minoração da resistência característica à compressão do concreto AS – Área da armadura de flexão Asw – Área das barras da armadura de punção C – Contorno crítico correspondente ao perímetro do pilar C’ – Contorno crítico distante 2d do pilar C’’ – Contorno crítico distante 2d do contorno C’ c1 – Dimensão do pilar paralela à excentricidade responsável por transmitir momento da laje ao pilar c2 – Dimensão do pilar perpendicular à excentricidade responsável por transmitir momento da laje ao pilar d – Altura útil da laje fbd – Resistência de aderência de cálculo entre aço e concreto fck – Resistência característica do concreto FSD – Força de cálculo de reação do pilar, para cálculo da tensão nominal de cisalhamento no contorno crítico calculado fyd – Resistência de cálculo à tração da armadura de flexão fyk – Resistência característica à tração do aço fywd – Resistência de cálculo da armadura de punção h – Espessura das lajes calculadas H – Pé direito
  12. 12. K – Coeficiente que fornece a tensão nominal de cisalhamento em virtude do momento transferido da laje ao pilar L – Vão livre entre dois apoios lb – Comprimento básico de ancoragem LPilar – Dimensão dos pilares quadrados das lajes calculadas MSD – Momento transmitido da laje ao pilar R – Coeficiente que relaciona o peso de aço economizado a cada metro cúbico de concreto gasto Sr – Espaçamento radial entre as linhas de armadura de punção u – Comprimento do contorno crítico calculado u* - Comprimento reduzido do contorno crítico calculado WP – Módulo de resistência plástica
  13. 13. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 14 1.1 JUSTIFICATIVA .................................................................................................. 14 1.2 OBJETIVO........................................................................................................... 14 2 REFERENCIAL TEÓRICO..................................................................................... 16 2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS .............................................................................. 16 2.1.1 Requisitos das lajes lisas .............................................................................. 17 2.1.2 Participação no contraventamento ............................................................... 18 2.2 PUNÇÃO ............................................................................................................. 19 2.2.1 Modo de ruptura ............................................................................................. 20 2.2.2 Outros Estudos realizados ............................................................................ 24 2.2.2.1 Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander ................................................... 26 2.2.2.2 Influência da retangularidade dos pilares ...................................................... 27 2.2.2.3 Influência do momento .................................................................................. 28 2.2.2.4 Pilares de borda e de canto ........................................................................... 29 2.2.2.5 Contribuição da armadura de flexão.............................................................. 29 2.2.3 Métodos de cálculo dos esforços ................................................................. 30 2.2.4 Armadura de combate à punção ................................................................... 32 2.3 ASPECTOS ABORDADOS PELAS PRINCIPAIS NORMAS............................... 34 2.3.1 Superfície de controle .................................................................................... 36 2.3.2 Efeito dos momentos ..................................................................................... 37 2.3.3 Outros parâmetros ......................................................................................... 39 2.4 DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO SEGUNDO A NBR 6118:2003 .................... 40 2.4.1 Superfícies de controle .................................................................................. 41 2.4.2 Tensões solicitantes ...................................................................................... 43 2.4.3 Tensões resistentes ....................................................................................... 45 2.4.4 Requisitos da armadura de punção .............................................................. 48 2.4.5 Outras verificações ........................................................................................ 49 3 METODOLOGIA .................................................................................................... 50 3.1 ELABORAÇÃO DO PRÉ-PROJETO ESTRUTURAL .......................................... 50 3.2 MODELO ESTRUTURAL .................................................................................... 53 3.3 CÁLCULO DOS ESFORÇOS .............................................................................. 56 3.4 DIMENSIONAMENTO ......................................................................................... 58
  14. 14. 3.5 LAJES CALCULADAS ........................................................................................ 59 3.6 DETALHAMENTO ............................................................................................... 60 3.7 ANÁLISES REALIZADAS.................................................................................... 61 4 RESULTADOS OBTIDOS ..................................................................................... 63 5 ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................................................................. 65 5.1 ANÁLISE COMPARATIVA COM A LAJE 1 ......................................................... 65 5.2 AVALIAÇÃO DAS ALTERAÇÕES DAS SEÇÕES DOS PILARES ...................... 68 5.3 AVALIAÇÃO DAS ALTERAÇÕES DAS ESPESSURAS DAS LAJES ................. 70 5.4 INFLUÊNCIA DO DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO NO QUANTITATIVO ....... 72 6 CONCLUSÕES ...................................................................................................... 74 6.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................................................. 75 REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 77 APÊNDICE A - RESULTADOS DOS DIMENSIONAMENTOS À FLEXÃO ............. 79 APÊNDICE B - RESULTADOS DOS DIMENSIONAMENTOS À PUNÇÃO........... 104
  15. 15. 14 1 INTRODUÇÃO 1.1 JUSTIFICATIVA O corrente aumento do uso de lajes lisas em edificações, atingindo, inclusive, o Brasil, torna imprescindível o estudo e o desenvolvimento de estudos envolvendo o fenômeno da punção, bem como o desenvolvimento de métodos para um correto dimensionamento da armadura transversal, destinada a combater esse tipo de rompimento. Diversos campos precisam ser explorados, desde o comportamento do concreto quando sujeito às forças que provocam punção, como a elaboração de prescrições, por parte das normas, que possibilitem o uso de uma quantidade segura e econômica de armadura, além de seu correto posicionamento, para possibilitar que os efeitos previstos sejam efetivamente cumpridos. Sob o ponto de vista econômico, deve ser feita uma busca por otimizações dos projetos de lajes lisas, buscando relações ideais entre a quantidade de concreto e a de aço utilizada. Essas otimizações só podem ser encontradas por meio de estudos que envolvam a definição de uma adequada quantidade dos materiais financeiramente mais dispendiosos em um projeto de concreto armado, onde incluise o concreto e o aço. A busca pelo menor custo deve ser realizada sem abrir mão da segurança, a qual deve ser garantida com o cumprimento de todas as prescrições da norma brasileira, que, para isso, deve estar em constante aprimoramento e garantindo, em suas prescrições, a melhoria de fatores como conforto, segurança e uma adequada usabilidade da estrutura. Possibilitar que, mesmo após toda a otimização, a estrutura não comprometa a construção no ponto de vista arquitetônico deve ser outro aspecto levado em conta durante o desenvolvimento de um projeto estrutural com lajes apoiadas diretamente sobre pilares. 1.2 OBJETIVO Reconhecendo a necessidade de um maior aprofundamento no conhecimento sobre lajes lisas, devido ao seu crescente uso, o presente trabalho tem como objetivo levantar possibilidades de pré-projeto estrutural partindo de um projeto arquitetônico de um pavimento tipo com laje apoiada diretamente sobre pilares. O
  16. 16. 15 estudo consiste em definir, para esse pavimento, diversas relações entre volume de concreto e aço, analisando a influência da variação do volume total de concreto, que se dará pela variação da seção transversal dos pilares ou pela variação da espessura da laje, no total de aço utilizado. Os projetos gerados por tais variações não devem comprometer a segurança da estrutura, ou seja, devem atender as prescrições da ABNT NBR 6118:2003, além de possibilitar que a mesma permaneça favorável no ponto de vista arquitetônico. Os seguintes parâmetros serão analisados: volume de concreto, armadura de punção, armadura de combate ao colapso progressivo e armadura de flexão negativa na região do pilar. Será analisada a interferência que a variação da quantidade de concreto possui na quantidade de aço necessária. Espera-se garantir que a segurança não seja comprometida ao seguirem-se as prescrições da ABNT NBR 6118:2003. Após serem realizados os dimensionamentos, com diferentes seções de pilares e espessuras de lajes, os resultados serão analisados de acordo com uma relação a qual, para este trabalho, será denominada “R”, que analisará o peso de aço reduzido por metro cúbico de concreto acrescido. As principais finalidades deste trabalho são apresentar os resultados obtidos, analisar os efeitos das alterações realizadas mediante o fator “R” e servir de consulta para projetistas que busquem quais alterações no pré-projeto estrutural são interessantes para encontrar a relação aço/concreto mais econômica no desenvolvimento de seus projetos. Estima-se que a variação da seção do pilar e da espessura da laje produzirão impactos dignos de atenção na quantidade total de aço necessária para manter a segurança estrutural da edificação e, com a análise destes impactos, haver subsídios para que decisões que conciliem adequadas condições de segurança e economia possam ser tomadas.
  17. 17. 16 2 REFERENCIAL TEÓRICO 2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS De acordo com a bibliografia, as principais vantagens das lajes lisas são:  As lajes lisas possibilitam economia de fôrmas, em virtude dos menores detalhes decorrentes da ausência de vigas. A facilidade de montagem das fôrmas facilita sua execução;  A execução das armaduras também é facilitada;  A presença de vigas, de acordo com Cunha e Souza (1994), diminui a circulação de ar e a entrada de luz, as lajes lisas, portanto, possibilitam maior ventilação e iluminação do ambiente;  O pé direito da laje é diminuído em virtude da ausência de vigas, e essa redução é permitida sem dificultar a passagem de dutos de instalação pela face inferior da laje;  Em virtude da diminuição do pé direito dos pavimentos, as lajes lisas permitem a diminuição da altura total de uma edificação ou, no caso da manutenção de sua altura, a inserção de um número maior de pavimentos;  No caso de diminuição da altura do edifício, a área de exposição ao vento é menor, diminuindo os esforços horizontais na edificação;  Outros aspectos a serem mencionados são a facilidade para posicionamento das divisórias que é possibilitado, diminuição dos revestimentos e a possibilidade do uso de telas soldadas para armadura de flexão, permitindo um detalhamento mais simples. Sobre os aspectos executivos, Dias e Rios (2010) comentam que o sistema tradicional (laje-viga-pilar) apresenta dificuldades de acesso ao vibrador e, neste aspecto, o sistema com lajes lisas ou cogumelo apresenta dificuldades menores. Cunha e Souza (1994) complementam que as simplificações na execução de fôrmas e armaduras proporcionadas pelas lajes lisas permitem menores prazos de execução, diminuindo, consequentemente, os custos financeiros. Em relação à capacidade de carga, as lajes lisas podem vencer vãos relativamente grandes e suportar grandes carregamentos, além de serem mais
  18. 18. 17 econômicas que a solução tradicional quando há cargas de grande intensidade (CUNHA; SOUZA, 1994). A principal desvantagem das lajes lisas é a possibilidade da punção – uma ruptura decorrente de grandes tensões de cisalhamento desenvolvidas na laje, ao redor do pilar. Este fator, pela sua complexidade, é considerado por Ferreira e Oliveira (2007) o propulsor de grandes controvérsias entre os critérios de projeto. Para Dias e Rios (2010), as lajes lisas e cogumelo nem sempre são vantajosas devido ao fato de a carga necessária para rompimento por punção ser menor que a carga necessária para rompimento por flexão. Ngo (2010) comenta que o número de acidentes envolvendo este tipo de laje é motivo de preocupação entre os engenheiros, o uso do High Strength Concrete é uma possibilidade de obter estruturas mais seguras futuramente, capazes de suportar cargas maiores, mas, para que seu uso seja disseminado, faz-se necessário um número maior de estudos sobre o assunto. Outra desvantagem das lajes lisas, comentada por Cunha e Souza (1994), é que para edifícios muito altos, sujeitos a fortes solicitações de ventos, o desempenho de uma estrutura constituída pelo sistema tradicional – laje-viga-pilar – é mais eficiente do que uma estrutura com um sistema laje-pilar. 2.1.1 Requisitos das lajes lisas Devido à possibilidade de redistribuição de momentos em combinação com tensões de membrana, as lajes apoiadas diretamente sobre pilares, como as lajes lisas, possuem uma grande reserva de capacidade à flexão. A capacidade resistente das lajes apoiadas diretamente sobre pilares é ditada pela resistência ao cisalhamento, e não pela flexão, e, segundo Cunha e Souza (1994, p.226) “a ligação laje-pilar é geralmente o ponto crítico nas lajes cogumelo, podendo ocorrer ruptura por punção”. Em relação aos apoios, Cunha e Souza (1994) comentam que os apoios diretos sobre pilares não são uma solução adequada para extremidades de lajes, Fusco (1995 apud ARAÚJO, 2010) recomenda que vigas sejam projetadas para serem utilizadas como apoio nesta região, pois garantem maior segurança neste local crítico. As extremidades das lajes necessitam suportar a alvenaria de fachada do edifício e, dependendo das dimensões da viga, a punção nos pilares de borda e de canto pode ser evitada, visto que são regiões críticas para o efeito da punção
  19. 19. 18 (ARAÚJO, 2010). Caso não haja a possibilidade de uso de apoios contínuos para as extremidades da laje, Cunha e Souza (1994) recomendam que elas fiquem livres, posicionando-se os pilares próximos às bordas, mas com um afastamento. Quanto às espessuras, a NBR 6118:2003 exige uma espessura mínima de 16 cm para lajes maciças lisas. Polillo (1976) comenta que há a recomendação de alguns autores de utilizar espessura equivalente a L/36, sendo L o vão entre dois apoios, enquanto Araújo (2010) recomenda um valor de L/30 para espessura da laje, desde que essa relação resulte maior que 16 cm. A dimensão dos pilares deve ser obtida fazendo-se a relação H / 15 e L / 20 (onde H é o pé-direito da edificação), adotando-se o maior valor. Para a outra dimensão do pilar, adota-se o mesmo procedimento, utilizando-se, para o valor de L, o vão na direção paralela à dimensão calculada. Os comprimentos de vãos nas duas direções devem ser medidos pela distância de eixo a eixo dos pilares (ARAÚJO, 2010). As vantagens das lajes lisas não podem ser aproveitadas por qualquer tipo de estrutura. Em estruturas residenciais, há grande variabilidade da disposição dos pilares, não há regularidade, o que pode torná-las antieconômicas, além de possuir um comportamento estrutural desfavorável. Aliado a isso, as lajes lisas possuem grande deformabilidade, fator que pode causar trincas e rachaduras em alvenarias, que são fortemente presentes em edificações residenciais (CUNHA; SOUZA, 1994). Cunha e Souza (1994) comentam que as lajes apoiadas diretamente sobre pilares em concreto armado podem ser consideradas competitivas economicamente para vãos de cerca de 7 a 8 metros. Para vãos maiores, “possivelmente uma solução com laje cogumelo protendida, laje nervurada ou em grelha poderá ser mais indicada” (p.229). 2.1.2 Participação no contraventamento Em estruturas onde não são projetadas paredes para garantir o contraventamento, os pórticos formados pelos pilares e lajes lisas devem ser responsáveis pela resistência às ações horizontais, ou seja, responsáveis pelo contraventamento da estrutura. Portanto, devem ser considerados na laje, além dos esforços verticais, os esforços horizontais (CUNHA; SOUZA, 1994).
  20. 20. 19 Embora, em estruturas com sistema laje-pilar, esses elementos possam auxiliar no contraventamento, a ausência de viga torna as lajes muito deformáveis frente às ações horizontais, e se isso torna um problema maior para edifícios altos. Além disso, o método de cálculo de esforços na laje, quando ela deve auxiliar no contraventamento da estrutura, utiliza pórticos equivalentes com baixa rigidez e de difícil detalhamento para a ligação laje-pilar. Em estruturas com lajes lisas, preferencialmente, o contraventamento deve ser garantido por elementos como paredes estruturais ou pilares-parede nas caixas dos elevadores a fim de garantir a estabilidade horizontal da edificação e tornar as lajes responsáveis por receber apenas esforços verticais (ARAÚJO, 2010). 2.2 PUNÇÃO Punção é a denominação dada à ruptura transversal decorrente de esforços de cisalhamento na laje. A punção é a condição dimensionante de lajes apoiadas diretamente sobre pilares (CUNHA; SOUZA, 1994), é um estado limite último, atingido quando a laje é submetida à carga de punção, Araújo (2010) define punção como “o estado limite último por cisalhamento no entorno de forças concentradas (cargas ou reações)” (p.225). Qualquer laje que receba carregamentos localizados fica sujeita à punção. A ruptura por punção caracteriza-se por ser frágil, tipo de ruptura decorrente de o material não passar por um estágio de plastificação antes de romper, ou seja, não possui nenhum “aviso prévio” de rompimento. Embora o termo “punção” seja utilizado amplamente em lajes de concreto armado, Cordovil (1997, p.17) define que a punção, entendida como uma ruptura por deslizamento, não existe em materiais granulares como o concreto, em virtude de sua resistência ao cisalhamento ser maior que a resistência à tração. O aço, por se tratar de um material dúctil e homogêneo, ao sofrer punção, forma um “tronco de cone semelhante à cabeça de um rebite”, e este modo de ruptura é possibilitado pelo fato de o aço possuir uma resistência à tração superior ao cisalhamento. O concreto, por sua vez, é definido como uma rocha artificial formada pelos agregados envoltos e rigidamente ligados por uma massa de cimento endurecida, por ser um material heterogêneo. Esse “tronco de cone” não se forma com tanta nitidez, e a ruptura se estende por grandes distâncias a partir da periferia do pilar, na ordem de duas vezes a espessura da laje. Além dos aspectos mencionados sobre a
  21. 21. 20 heterogeneidade do concreto, o uso do concreto armado, que adiciona as barras de aço ao material, aumenta significativamente sua heterogeneidade, agravando a dificuldade de prever seu comportamento. Tendo-se conhecimento dessa dificuldade de compreensão do comportamento do concreto, a solução para a construção de hipóteses teóricas aceitáveis é a realização de pesquisas experimentais (CORDOVIL, 1997). Entre os elementos que possibilitam maior resistência da laje ao puncionamento, Theodorakopoulos e Swamy (2002) mencionam a relação lado maior / lado menor do pilar, seu formato geométrico e a altura efetiva da laje como fatores relevantes. Para Park et al. (2011), a resistência à tração do concreto (calculada com base em sua resistência à compressão), a taxa da armadura de flexão, as dimensões da seção do pilar, a altura efetiva da laje e a altura da zona de compressão, que é desenvolvida com a atuação do sistema tridimensional de tensões decorrentes dos carregamentos, são os principais influenciadores da resistência da laje à punção. Quanto ao período de ocorrência da punção, Coelho (1999 apud DIAS;RIOS, 2010) comenta sobre a possibilidade de ocorrência do puncionamento durante a fase de execução da estrutura: Cargas excessivas aplicadas durante a concretagem, retirada precipitada do escoramento, mau posicionamento da armadura negativa ou da localização de aberturas na laje, utilização de materiais de baixa qualidade ou erro de projeto são algumas das causas que podem resultar numa ruptura por puncionamento e eventualmente levar a um colapso generalizado da estrutura, por colapso progressivo (DIAS; RIOS, 2010, p.2). 2.2.1 Modo de ruptura De acordo com ensaios realizados, ao receber o carregamento, a laje apresenta, em virtude da atuação de momentos radiais e tangenciais, deformações circunferenciais (também chamadas de deformações tangenciais) inicialmente maiores que as deformações radiais, o que ocasiona a aparição de fissuras radiais, inicialmente em sua superfície, provocadas por tensões tangenciais – as fissuras partem do pilar para as bordas da laje. Uma fissura quase circular (provocadas por tensões radiais), que limita o contorno do topo do cone ao redor do pilar, ocorre na superfície somente na ocasião da ruptura, ou seja, com elevados estágios de carga,
  22. 22. 21 criando conexões entre as fissuras radiais e delimitando o perímetro crítico – este círculo imperfeito é mostrado na Figura 1, junto às fissuras radiais desenvolvidas previamente. Quanto à intensidade dos momentos desenvolvidos antes da ruptura, Leonhardt e Mönnig (1978) comentam que, em lajes de fundação submetidas a carregamentos de pilares (Figura 2), como as forças de compressão se distribuem nos bordos do pilar, os momentos tangenciais são maiores que em outros tipos de lajes, enquanto os momentos radiais são menores. Figura 1 - Panorama de fissuração da laje na ocasião da ruptura Fonte: Cordovil, 1997, p.38 Figura 2 - Cone de ruptura em uma laje de fundação Fonte: Leonhardt e Mönnig, 1977, p.80 Durante este processo, em que o pilar punciona a laje, são desenvolvidas, ao longo da profundidade da laje, fissuras inclinadas. A distância horizontal da fissura circular superficial indica até onde as fissuras inclinadas se estendem. Essas fissuras, que partem da face inferior da laje em contato com o pilar, possuem ângulo de, aproximadamente, 30º em relação ao plano da laje, e esse ângulo, de acordo com Theodorakopoulos e Swamy (2002), pode variar para lajes puncionadas executadas com High Strength Concrete (HSC). Leonhardt e Mönnig (1977) mencionam que, para lajes de fundação que recebem carregamentos de pilares, tal
  23. 23. 22 ângulo normalmente fica próximo de 45º (Figura 2). Theodorakopoulos e Swamy (2002) comentam que essas fissuras são irregulares e, para cada caso, podem assumir formas diferentes. Após o rompimento, no qual ocorre um descolamento da laje e do pilar, o sólido que continua ligado ao pilar possui um aspecto físico semelhante a um cone (delimitado pelas fissuras circulares no plano da laje e pelas fissuras inclinadas ao longo de sua espessura), o qual possui irregularidade acentuada (Figura 3). Sua superfície é definida como a superfície de ruptura, ou perímetro crítico. Figura 3 - Cone de ruptura de uma laje cogumelo. Fonte: Leonhardt e Mönnig, 1977, p.80 A distância da fissura circular até a face do pilar, quando não há armadura de cisalhamento, varia entre 2d e 3d (sendo “d” a altura útil da laje). Com armadura de cisalhamento, essa fissura pode ocorrer em três posições: na zona entre o pilar e a primeira camada de armadura de cisalhamento (ruptura do concreto adjacente ao pilar), na zona com armadura de cisalhamento (rompimento do concreto e da armadura transversal) e na zona situada além da armadura de cisalhamento (ruptura do concreto). O local ideal de ruptura é a zona que possui armadura de cisalhamento, pois a armadura entraria em escoamento plástico e essa ruptura seria dúctil (CORDOVIL, 1997). O rompimento por punção se dá no momento em que as tensões de cisalhamento atingem a resistência à tração do concreto (THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002). De acordo com Carvalho (2008), os ensaios diversos reunidos por meio de uma extensa pesquisa bibliográfica mostram que a ruína de punção está sempre relacionada ao rompimento da diagonal
  24. 24. 23 tracionada, não tendo sido registrados casos de rompimento por esmagamento do concreto. Com a realização de ensaios aplicando-se, progressivamente, um carregamento vertical concentrado em uma laje (Figura 4), observam-se os seguintes fenômenos: desenvolvimento de uma zona de compressão (acima das fissuras inclinadas), desenvolvimento de fissuras de flexão, formação de fissuras circulares nas regiões periféricas ao pilar e formação de fissuras inclinadas, iniciadas a meia altura da laje, que se desenvolvem até a zona de compressão (encontro da face superior da laje com o pilar) e até a região das fissuras circulares (superfície inferior da laje). No entanto, a propagação dessas fissuras inclinadas é impedida, antes do rompimento, por dois mecanismos: no primeiro, a zona de compressão próxima à face do pilar (próximo ao Ponto A), que é mais rígida neste trecho, impede a propagação da fissura. O segundo mecanismo ocorre na região inferior da laje, e a armadura de flexão impede esta propagação das fissuras. No último estágio, o rompimento ocorre por descolamento do concreto ao longo das linhas AA’ e/ou BB’ na maioria dos experimentos realizados. Não há registros de rompimento por esmagamento, o que caracteriza a punção, essencialmente, como um rompimento por tensões de tração no concreto, decorrentes do cisalhamento (THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002). Figura 4 - Modelo de engenharia para punção Fonte: Theodorakopoulos e Swamy, 2002, p.511 Qualquer laje, por possuir uma grande relação entre extensão e altura, possui grande dependência das deformações decorrentes da flexão, em conexões laje-pilar – essas deformações de flexão ocorrem antes da punção. Após o desenvolvimento
  25. 25. 24 das fissuras de flexão, a força cortante é resistida apenas pela zona de compressão; o concreto da zona de compressão não é danificado pelas fissuras de flexão (PARK et al., 2010; THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002). 2.2.2 Outros Estudos realizados Por ser a principal fonte de manifestações patológicas em lajes lisas e cogumelo, é importante entender o fenômeno da punção. Aliado a isso, sua forma de ruptura, abrupta, torna seu estudo mais importante. Muitos estudos têm sido realizados neste nível, e métodos de combate à punção têm sido desenvolvidos em cima desses estudos. Todavia, os estudos realizados sobre o tema são dispersos e, mesmo com a crescente utilização de lajes apoiadas diretamente sobre pilares, não há um texto que aborde de forma didática ou prática este tipo de ligação, e sim uma série de trabalhos realizados com base em pesquisas, sendo que cada um enfoca um aspecto particular do problema. Além disso, embora haja um número razoável de pesquisas realizadas no Brasil e no exterior, é necessário um número maior para que se tenha um quadro de resolução do problema (CORDOVIL, 1997). Cunha e Souza (1994) comentam que, apesar de haver vários estudos e procedimentos para prevenção da punção, foram registrados muitos casos de rompimentos de lajes por esse fenômeno. Os ensaios de punção costumam apresentar fissuras radiais antes da ruptura. Fissuras circulares, não perfeitamente definidas, ocorrem na ocasião da ruptura da laje. Os ensaios de punção centrada são os ensaios realizados sem excentricidade de carga, ou seja, apenas com carregamentos verticais, situação ilustrada na Figura 5 (CORDOVIL, 1997).
  26. 26. 25 Figura 5 - Punção excêntrica – Método tradicional Fonte: Cordovil, 1997, p.23 Outro aspecto que tem sido fonte de muitos estudos é o estudo da punção em lajes executadas com o uso de concreto tipo High Strength Concrete (HSC), que são concretos com resistência acima de 50 MPa. Park et al. (2010) comentam, no entanto, que o aumento da resistência à compressão do concreto, que aumenta sua resistência à tração, diminui a altura da zona de compressão da laje durante o carregamento (quanto menor a altura da zona de compressão, menor a resistência da laje à punção) e, desta forma, o aumento da resistência do concreto aumenta a resistência da laje à punção, mas não de forma completamente proporcional. Em relação ao estado de tensões desenvolvido desde o carregamento da laje até a ocasião da punção, e qual estado de tensões provoca a punção, há uma grande dificuldade em estimar este comportamento. Hallgren (1996 apud PARK et al., 2010) e Ožbolt (1999 apud PARK et al., 2010) comentam que há um complexo estado de tensões de natureza tridimensional que provocam a ruptura de uma conexão laje-pilar. As tensões mostradas na figura 6 se desenvolvem na zona de compressão da seção crítica (seção onde se desenvolvem as fissuras inclinadas), sendo duas tensões de compressão normais (u1 e u2) e duas tensões de cisalhamento (vu1 e vu2). A zona de compressão é submetida a uma combinação dessas tensões normais de compressão e tensões de cisalhamento. No entanto, o complexo sistema tridimensional pode ser simplificado para um sistema bidimensional, pois o efeito das combinações das tensões normais e de
  27. 27. 26 cisalhamento não são significativamente maiores que apenas o efeito da tensão normal u1 e da tensão de cisalhamento vu1 (PARK et al., 2010). Figura 6 - Sistema tridimensional de tensões simplificado Fonte: Park et al, 2010, p. 1065 2.2.2.1 Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander Kinnunen e Nylander (1960 apud CORDOVIL, 1997) apresentaram uma hipótese de equacionamento elaborada com base em um modelo mecânico de uma laje circular apoiada sobre um pilar com seção circular. Nesse modelo, a ruptura da laje ocorre a partir do pilar, com o deslocamento de um sólido interno, com formato cônico. A inclinação do cone em relação ao plano da laje varia entre 25 e 30º, o sólido descolado possui aspecto físico semelhante a um cogumelo. No entorno do cone, a laje seria dividida em elementos rígidos iguais, limitados pela superfície inclinada do cone e por fissuras radiais. Esses elementos rígidos iriam produzir um trabalho decorrente da rotação em torno do centro de rotação, denominado CR. As fissuras que limitam a superfície inclinada e as fissuras radiais seriam formadas antes da ruptura da laje. No instante da ruptura da laje, seriam formadas fissuras entre o CR e a periferia do pilar. As condições de equilíbrio entre os esforços internos e externos mostrados na Figura 7 são possibilitadas por estas hipóteses CORDOVIL, 1997). de funcionamento (KINNUNEN; NYLANDER, 1960 apud
  28. 28. 27 Figura 7 - Modelo mecânico de Kinnunen e Nylander – Hipótese de ruptura. Fonte: Cordovil, 1997, p.36 Nessas circunstâncias, é possível estabelecer uma teoria próxima da realidade, aplicando o princípio dos trabalhos virtuais, supondo a rotação do elemento. Todavia , a teoria foi desenvolvida com base em uma laje circular apoiada em um pilar de seção circular, “quando se tenta estender essa teoria para formas quadradas ou retangulares, não há como definir uma formulação confiável” (CORDOVIL, 1997, p.37). 2.2.2.2 Influência da retangularidade dos pilares O índice de retangularidade é dado pela relação entre o maior lado e o menor do pilar; um pilar com alto índice de retangularidade possui grande relação lado maior / lado menor. De acordo com Ferreira e Oliveira (2007), há muitos estudos sobre o comportamento de lajes apoiadas sobre pilares quadrados e/ou circulares, mas não há muito conhecimento sobre o comportamento de lajes apoiadas em pilares alongados. A forma como as tensões se distribuem em volta do pilar varia conforme seu índice de retangularidade. De acordo com Mouro, Gomes e Guimarães (2010), tanto a resistência à punção como a resistência à flexão da laje diminuem conforme a relação lado maior / lado menor aumenta. Em pilares muito retangulares, há uma polarização das tensões de cisalhamento, ou seja, concentrações maiores de tensões de cisalhamento em volta dos lados menores dos pilares (Figura 8), enquanto as outras regiões sofrem tensões menores do que sofreriam se o pilar fosse menos retangular. O mesmo ocorre com os momentos fletores. Os pilares retangulares sofrem maiores esforços de momento fletor em regiões específicas.
  29. 29. 28 Este comportamento não linear de distribuição de momentos e tensões de cisalhamento altera a forma de ruptura das lajes apoiadas sobre pilares com alto índice de retangularidade, que tem sua resistência última à punção reduzida (FERREIRA; OLIVEIRA, 2007). Figura 8 - Contorno dos esforços cortantes em lajes Fonte: Ferreira e Oliveira, 1997, p.624 Ferreira e Oliveira (2007) comentam que, para pilares com alto índice de retangularidade, as fissuras radiais desenvolvidas se concentram nas extremidades dos pilares (em volta dos lados menores), e as fissuras circulares, que conectam as fissuras radiais, se desenvolvem, também, nesta região, não atingindo a periferia das regiões intermediárias do pilar. Em experiências realizadas aplicando-se carregamentos tanto nos bordos paralelos aos maiores lados do pilar quanto nos bordos paralelos ao menor lado do pilar. Observou-se que as fissuras radiais, ao nível do menor lado do pilar, impediram a propagação das fissuras tangenciais para as regiões intermediárias dos maiores lados, levando a laje ao puncionamento com a superfície de ruptura percorrendo um perímetro consideravelmente reduzido (FERREIRA; OLIVEIRA, 2007, p.625). 2.2.2.3 Influência do momento Quando a laje transmite momento ao pilar, ou seja, quando há excentricidade, uma parte do momento é transmitida na forma de tensões de cisalhamento, as tensões de cisalhamento transmitidas por momento são somadas às tensões de cisalhamento transmitidas pela força normal. De acordo com Cordovil (1997), uma parte do momento é transmitida por flexão e outra por torção, e a parcela de momento transmitida por torção ocorre em função de uma distribuição desigual do
  30. 30. 29 cisalhamento em volta da área carregada. Cunha e Souza (1994) comentam que, dependendo da magnitude dos momentos transmitidos ao pilar, sua consideração no dimensionamento à punção não deve ser ignorada. 2.2.2.4 Pilares de borda e de canto Para pilares posicionados nas bordas ou cantos da laje, Cordovil (1997) comenta que a resistência de uma ligação entre esses elementos depende de fatores semelhantes às ligações entre laje e pilar interno. Embora a rigidez entre o pilar e a laje possua uma importância maior em ligações com pilares de canto e de borda, essa maior dependência da rigidez, segundo Leonhardt e Mönnig (1978), será determinante para definição dos momentos fletores desenvolvidos na laje. Em pilares de canto e borda, sempre há excentricidade, e os esforços se concentram, predominantemente, na direção desta excentricidade. Cunha e Souza (1994) afirmam que os pilares extremos recebem significativas tensões de cisalhamento decorrentes dos momentos. Para Cordovil (1997) é possível encontrar, na literatura internacional, considerações teóricas baseadas no modelo mecânico de Kinnunen e Nylander, que são considerações feitas com base no que foi deduzido para pilares internos, estendidas aos pilares de borda. 2.2.2.5 Contribuição da armadura de flexão A armadura de flexão possui importante contribuição para a resistência de lajes sujeitas à punção (DIAS; RIOS, 2010). Theodorakopoulos e Swamy (2002) comentam que a armadura de flexão auxilia na resistência à punção quando a estrutura está próxima ao colapso, além de influenciar no modo de ruptura da laje puncionada. De acordo com Ferreira e Oliveira (2007), em lajes apoiadas sobre pilares com alto índice de retangulardade, a armadura de flexão contribui consideravelmente na resistência à punção. Segundo Park et al. (2010) há uma grande dificuldade para estimar a parcela resistente da armadura de flexão na resistência à punção, no entanto o aumento da taxa da armadura de flexão aumenta a altura da zona de compressão da laje, o que aumenta sua resistência à punção. De acordo com Cunha e Souza (1994), o cálculo da armadura de flexão deve ser realizado pelos métodos tradicionais de dimensionamento à flexão.
  31. 31. 30 2.2.3 Métodos de cálculo dos esforços Para lajes, em geral, segundo Cunha e Souza (1994), há três tipos de apoios: 1) apoio contínuo sobre uma linha (sobre alvenaria ou parede de concreto); 2) apoio discreto (diretamente sobre pilares) e; 3) apoio de um trecho maior de sua área, em contato com o solo (exemplo: Radiers). Para cálculo de esforços de lajes apoiadas sobre pilares, modelos recentes como a “Analogia de treliça”, “Análise de fratura”, “Análise de elementos finitos” e o “Modelo de Kinnunen e Nylander modificado” são propostos. Há uma grande dificuldade em elaborar um modelo simples para o estudo de puncionamento em lajes devido ao comportamento tridimensional de distribuição dos esforços e das incertezas existentes sobre a forma de transferência de tensões de cisalhamento para a laje (THEODORAKOPOULOS; SWAMY, 2002). Há a possibilidade do cálculo de esforços com o uso de tabelas, no entanto Araújo (2010) observa que o uso de tabelas é voltado para situações muito específicas. Polillo (1980) menciona, para cálculo de flexão, o método de cálculo baseado no estudo de Marcus, que demonstra os esforços em um módulo qualquer de uma laje lisa, entre 4 pilares. A Figura 9 mostra que, quanto mais próximo dos apoios, mais significantes são os momentos negativos e positivos. De acordo com os valores obtidos para este módulo, é possível obter valores médios de momentos, que são valores próximos aos valores obtidos para um cálculo de esforços em uma viga contínua: Comparando-se estes valores médios encontrados para o módulo com os valores dos momentos negativos de vigas contínuas com um número infinitos de vãos iguais a , sujeitas a um carregamento uniformemente distribuído, nota-se uma grande semelhança (POLILLO, 1980. p.355). No entanto, não é possível realizar um dimensionamento à flexão seguro com base no cálculo de valores médios de esforços e, por isso, propõe-se a divisão dos diferentes valores de momentos em faixas, algumas mais rígidas, que, por estarem mais próximas dos apoios, fornecerão valores médios maiores, e outras menos rígidas, com valores menores. Embora o cálculo dos esforços feito por esta metodologia, onde se obtêm os esforços na laje a partir do diagrama de momentos
  32. 32. 31 de uma viga, possa parecer preciso, pode não ser adequado, sobretudo em situações nas quais as sobrecargas mais desfavoráveis atuantes na laje são significativas, e esse tipo de situação possui grande influência nos esforços desenvolvidos quando se considera a ligação entre o pilar e a laje. Por esta razão, para o caso mais geral, é necessário calcular os esforços na laje pelo regime elástico ou rígido plástico. Para lajes que não possuam simetria de forma ou carregamento em relação ao pilar, a ligação do pilar com a laje deve ser estudada com especial atenção (POLILLO, 1980). Em casos de sobrecargas significativas, deve-se analisar criteriosamente o ponto de aplicação desta carga, procurando as posições mais desfavoráveis, análogo ao que é feito com vigas contínuas. Pilares com regularidade entre si possibilitam um melhor comportamento estrutural da laje (ARAÚJO, 2010). Figura 9 - Diagramas de momento conforme proximidade dos apoios Fonte: Polillo, 1980, p.354 A ABNT NBR 6118:2003, em seu item 14.7.8, recomenda que a análise estrutural de lajes lisas e cogumelo seja realizada pelo emprego de procedimento numérico adequado, tais como diferenças finitas, elementos finitos e elementos de contorno. Em situações em que os pilares estiverem dispostos em filas ortogonais, de maneira regular e com vãos pouco diferentes, o cálculo dos esforços pode ser realizado pelo processo elástico aproximado, com redistribuição, que consiste em adotar, para cada direção, pórticos múltiplos para obtenção dos esforços solicitantes. Após o cálculo dos momentos fletores nas faixas adotadas, esses momentos devem ser redistribuídos. A distribuição dos momentos, obtida em cada direção, segundo as faixas indicadas na Figura 10, deve ser feita da seguinte maneira:
  33. 33. 32  45% dos momentos positivos para as duas faixas internas;  27,5% dos momentos positivos para cada uma das faixas externas;  25% dos momentos negativos para as duas faixas internas;  37,5% dos momentos negativos para cada uma das faixas internas. A ligação entre laje e pilar deve ser estudada cuidadosamente, sobretudo em situações nas quais não haja simetria de forma ou carregamento. Figura 10 - Faixas de laje para distribuição dos esforços nos pórticos múltiplos Fonte: ABNT NBR 6118, 2003, p. 68 A verificação da variabilidade dos vãos pode ser feita pelo seguinte procedimento: Verifica-se a diferença entre o maior e o menor entre todos os vãos — essa diferença não pode ser maior que 30% para que este método sugerido pela norma brasileira possa ser utilizado. Em lajes onde não há uniformidade dos vãos, é indicado que o cálculo dos esforços seja realizado pelo método dos elementos finitos (ARAÚJO, 2010). Quanto à verificação da flecha, apesar da grande resistência à flexão que lajes apoiadas diretamente sobre pilares costumam apresentar, é comum ocorrerem grandes flechas, mormente em lajes muito esbeltas, onde as altas deflexões podem ocasionar fissuração nas alvenarias (THOMÁZ, 1988 apud CUNHA; SOUZA, 1994). 2.2.4 Armadura de combate à punção A armadura de punção é colocada transversalmente na região sujeita ao puncionamento e pode ser constituída por estribos, barras dobradas, pinos ou perfis laminados. A colocação de armaduras em posições inclinadas, de acordo com Cordovil (1997), não oferece nenhuma vantagem ao dimensionamento ou à execução da laje, sendo, portanto, a adoção de barras verticais, a melhor prática.
  34. 34. 33 Estribos não são indicados para lajes de pouca espessura porque possuem, segundo Cunha e Souza (1994), eficiência duvidosa, e a dificuldade de obter uma barra perfeitamente reta prejudica sua eficiência. Contudo, para lajes mais espessas, esse tipo de armadura pode apresentar bom comportamento, a exemplo do que ocorre em vigas. Para Cordovil (1997), a armadura de maior eficácia é o tipo pino com chapa de ancoragem nas extremidades, e ela é composta por uma haste reta (o pino que irá resistir à punção) com uma extremidade soldada em uma chapa de aço horizontal que realiza a ancoragem da armadura transversal com a armadura de flexão. Na parte inferior da haste, a ancoragem, por meio de outra chapa horizontal, ocorre na região comprimida da laje. De acordo com Araújo (2010), as chapas horizontais conectadas aos pinos garantem boa ancoragem, elemento fundamental para a resistência à punção, afirmação comprovada por experiências realizadas. Conforme Cunha e Souza (1994) declaram que, em alguns países, a proteção à punção é realizada com o uso de perfis metálicos. Fusco (1985), apud Cordovil (1997), publicou, na Universidade de São Paulo, um boletim técnico que descreve experimentações realizadas com a armadura de cisalhamento tipo pino com chapa de ancoragem, e confirmou-se o que estudos anteriores já haviam apontado: Este tipo de armadura aumenta a resistência das lajes com grande eficiência, inclusive lajes delgadas. A forma perfeitamente reta da haste é o fator que permite a eficiência desse tipo de armadura. A armadura de punção tem como objetivo primário o aumento de resistência da laje submetida a carregamentos verticais concentrados em pequena área. Cordovil (1997) comenta que, apesar do objetivo primário da armadura transversal ser relacionado ao aumento de resistência da laje, ela também colabora para diminuir a fragilidade da ruptura da laje, tornando-a mais dúctil, aspecto que colabora para a segurança global da estrutura. Em pilares de borda e de canto, onde o perímetro crítico normalmente é reduzido, costuma-se utilizar armadura na região não abrangida pelo perímetro crítico, que não deve ser contabilizada como parcela da armadura calculada, pois os cálculos são válidos para contornos paralelos ao perímetro crítico. Araújo (2010) salienta que tal armadura, embora adicional, é obrigatória (Figura 11).
  35. 35. 34 2d 2d s s c 0,5c  1,5d Figura 11 - Disposição da armadura de punção s un,ef 2d s 2d Armadura exigida pelo cálculo Armadura adicional 2d s c 0,5c  1,5d un,ef un,ef Fonte: Adaptado de Araújo, 2010, p.233 Os perímetros externos às regiões armadas devem possuir tensões resistentes do concreto maiores que as tensões solicitantes. Em situações nas quais não se deseja utilizar armadura de combate à punção, o aumento de resistência da laje pode ser obtido com aumento das dimensões do pilar, aumento da espessura da laje ou aumento da resistência do concreto (CUNHA; SOUZA, 1994). 2.3 ASPECTOS ABORDADOS PELAS PRINCIPAIS NORMAS De acordo com Cunha e Souza (1994), as principais normas mundiais começaram a dar atenção à punção somente a partir dos anos 70. Araújo (2010) afirma que a análise de punção é diferente da análise realizada para o estado limite último de força cortante e, por esta razão, necessita de critérios específicos. Os critérios utilizados atualmente em projetos foram estabelecidos com base em pesquisas experimentais realizadas em instituições localizadas em países da Europa, nos Estados Unidos e no Canadá; já para o desenvolvimento da norma
  36. 36. 35 brasileira, algumas experiências realizadas na Universidade de São Paulo foram levadas em conta (CORDOVIL, 1997). As formulações das principais normas internacionais no dimensionamento à punção, como o código ACI 318 e EUROCODE 2, além da norma brasileira, ABNT NBR 6118:2003, são, de forma geral, seguras, embora as normas americana e europeia apresentem resultados mais seguros que a norma brasileira. No entanto, as três normas possuem prescrições que conduzem a resultados antieconômicos, além de as prescrições para concreto protendido, especificamente, serem excessivamente conservadoras e geradoras de grandes desperdícios de material. No que se refere ao modo de ruptura, no entanto, as normas são precisas em estimar que a ruptura à punção deve ocorrer na diagonal de tração (CARVALHO, 2008). Park et al. (2010) afirmam, com base em resultados de experimentos coletados, que a norma americana atual superestima a resistência das lajes à punção. De acordo com Dias e Rios (2010), as diferenças que ocorrem entre os modelos existentes para cálculo de resistência à punção de uma laje decorrem, basicamente, da superfície de controle considerada por cada norma. Quanto ao tipo de concreto estudado, a maioria dos critérios de dimensionamento foram desenvolvidos com base em estudos de concreto de baixa resistência. À medida que o uso do concreto de alto desempenho (HSC) aumenta, um número maior de estudos é realizado, mas há ainda pouco conhecimento sobre o comportamento deste tipo de concreto, o que não possibilita, neste momento, uma aceleração de seu uso (NGO, 2001). Embora os critérios da norma brasileira não tenham sido desenvolvidos para concreto de resistência superior a 50 MPa, Carvalho (2008) considera os resultados de resistência obtidos pelos critérios da norma brasileira utilizáveis para o High Strength Concrete. Os critérios da NBR 6118:2003 para punção foram elaborados com base nos critérios do CEB-FIP MC 90 e, por isso, os resultados de perímetro da superfície crítica, resistência da superfície crítica e área de armadura transversal costumam estar próximos aos resultados da norma europeia (DIAS; RIOS, 2010).
  37. 37. 36 2.3.1 Superfície de controle As abordagens dos critérios de dimensionamento existentes baseiam-se na determinação de uma tensão nominal de cisalhamento, que é estabelecida como atuante em uma superfície de controle com ângulo de 90º em relação ao plano da laje. De acordo com Araújo (2010), as tensões tangenciais de punção que ocorrem em volta dos pilares de apoio são determinantes para definir a resistência das lajes apoiadas sobre pilares, mas as tensões nominais determinadas pelas normas não possuem significado físico, pois são adotados métodos empíricos para seus cálculos; não obstante representam de forma satisfatória os ensaios experimentais realizados. Esta superfície de controle, mostrada na Figura 12, também conhecida como perímetro de controle, possui perímetro e distância da face do pilar variável conforme o critério estudado. A ABNT NBR 6118:2003 refere-se ao perímetro de controle como C’, com distância 2d da face do pilar, enquanto o EUROCODE 2 utiliza a denominação “contorno básico de controle”, distante 2d da face do pilar, representado por u1. O ACI 318 utiliza a denominação “perímetro efetivo”, com distância 0,5d da face e representado por bo. Figura 12 - Superfície de controle Fonte: Cordovil,1997, p.29 A superfície de controle definida por cada critério deve ser considerada como uma grandeza de referência, “A abordagem baseada na superfície de controle não significa o entendimento de que a ruptura ocorra nessa superfície. A superfície real de ruptura é mais parecida com a de um tronco de cone” (CORDOVIL, 1997, p.30). Para Ngo (2010), embora os critérios não apresentem resultados compatíveis com o que ocorre na realidade, é possível estimar o comportamento da laje sujeita à punção com razoável precisão, utilizando as prescrições das normas.
  38. 38. 37 Em relação à distância horizontal da superfície de controle à face do pilar, Cordovil (1997) entende que a distância ideal encontra-se na ordem de 1,25d, visto que o valor de 0,5d — fornecido por algumas normas, de acordo com estudos realizados utilizando extensômetros elétricos nas armaduras para monitoramento da distribuição das tensões tangenciais — coloca a superfície de controle em uma região onde as tensões desenvolvidas estão em torno de um terço da resistência do aço. Por outro lado, o valor de 2d, recomendado por várias normas, embora localizado em uma região onde há tensões expressivas, tem uma mobilização da armadura retardada. Na posição distante de 1,25d da face do pilar, “além das tensões serem maiores, a mobilização da armadura, uma vez constituída por pinos, ocorre desde o início do carregamento” (CORDOVIL, 1997, p.93). A resistência da superfície de controle varia conforme cada critério e é calibrada conforme seu perímetro, que depende da distância horizontal da superfície até a face do pilar. A ABNT NBR 6118:2003 leva em conta o valor de fck (calculado com raiz cúbica), a taxa da armadura de flexão e o valor da altura útil para definir a resistência. O EUROCODE 2 leva em conta os mesmos parâmetros da norma brasileira, mas possui a variável k, limitada ao valor de 2, que depende do valor da altura útil da laje. Essa limitação no valor de k torna os resultados obtidos mais conservadores, sobre este coeficiente, Carvalho (2008) considera que a não limitação do valor de k conduziria a resultados mais econômicos os quais não comprometeriam a segurança. O ACI 318 considera a raiz quadrada da resistência característica à compressão do concreto, além de levar em conta o índice de retangularidade do pilar ao qual a laje está apoiada. Essas normas prescrevem o uso de armadura de punção somente na constatação de uma tensão nominal maior que a tensão resistente da superfície de controle. 2.3.2 Efeito dos momentos O efeito de momentos na punção é abordado pelas normas brasileira e europeia levando em conta haver uma distribuição linear de tensões de cisalhamento na superfície de controle, conforme Figura 13. A norma americana, por outro lado, considera a variabilidade existente das tensões de cisalhamento decorrentes do momento. Cada norma apresenta uma formulação para o efeito de momento, mas todas partem do princípio de que o momento fornece uma parcela de
  39. 39. 38 tensão nominal de cisalhamento que deve ser somada à parcela de tensão calculada por meio da força normal, resultando na tensão nominal total. A parcela do momento atuante no pilar, que contribui para a tensão nominal de cisalhamento na superfície de controle, pode ser obtida pela multiplicação do momento total pelo coeficiente representado pela letra “k”, representação utilizada no EUROCODE 2 e na ABNT NBR 6118:2003. Já a norma americana utiliza, para esse coeficiente, a denominação v, e apresenta uma formulação para obtenção do seu valor o qual depende da maior e da menor dimensão do pilar. O coeficiente K depende do índice de retangularidade do pilar, para índices altos, quando o momento possui direção perpendicular ao menor lado, e há uma grande parcela de tensão deste momento transmitido por tensão de cisalhamento, devido aos altos valores de “k” (ou, no caso da norma americana, V) — esta parcela tende a diminuir à medida que o índice de retangularidade diminui. Por outro lado, quando o momento possui direção perpendicular ao maior lado do pilar, o valor de “k” é menor à medida que o índice de retangularidade aumenta. A tabela 1, que possui os valores utilizados para a norma brasileira e europeia, ilustra esta análise. Tabela 1 - Valores de K C1 / C 2 0,50 1,00 2,00 3,00 K 0,45 0,60 0,70 0,80 Onde: C1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força; C2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força. Fonte: ABNT NBR 6118, 2003, p.113 As normas, de forma geral, admitem que a força Fsd, normal, produz tensões de cisalhamento uniformes na superfície crítica, ao passo que as tensões de cisalhamento devidas ao momento (Msd . K) são distribuídas da forma representada na Figura 13.
  40. 40. 39 Figura 13 - Distribuição das tensões de cisalhamento devido ao momento Msd Fonte: Araújo, 2010, p.229 2.3.3 Outros parâmetros Em projetos que possuam aberturas localizadas próximas ao pilar, as normas consideram a perda de resistência decorrente dessas aberturas. Há diferentes critérios para considerar esta perda de resistência, geralmente dada pela redução da superfície de controle, como mostra a Figura 14. Figura 14 - Efeito de aberturas próximas ao pilar. Fonte: Cordovil, 1997, p.44 Quanto à armadura de flexão, as normas definem uma distância de distribuição mínima, a partir da face do pilar, suficiente para a armadura de flexão superior ser considerada no cálculo da taxa da armadura de flexão. O cálculo do valor da reação do pilar — o valor necessário para o cálculo da tensão nominal atuante na superfície de controle — é realizado subtraindo-se da carga total de um pilar a carga decorrente dos pavimentos superiores. Para cálculo
  41. 41. 40 dos momentos transferidos da laje ao pilar, o procedimento é análogo (ARAÚJO, 2010). Em relação aos pilares de borda ou de canto, as abordagens existentes definidas pelos critérios para dimensionamento de lajes sujeitas à punção não são vistas como adequadas pelos pesquisadores, e não há estudos experimentais suficientes para que a questão possa ser abordada de uma forma segura (CORDOVIL, 1997). 2.4 DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO SEGUNDO A NBR 6118:2003 Os critérios de dimensionamento à punção sofreram uma revisão no Brasil, em 2003, com a publicação da ABNT NBR 6118:2003. Mudanças que podem ser destacadas são: mudança da distância entre a superfície crítica e a face do pilar, de 0,5d para 2d; Inclusão da verificação da influência do momento transmitido ao pilar nas tensões de cisalhamento atuantes na laje; ausência da redução do perímetro crítico para pilares com índice de retangularidade superior a 3; e Inclusão da recomendação de armadura de combate ao colapso progressivo. De acordo com Carvalho (2008), os critérios apresentados pela ABNT NBR 6118:2003, em termos globais, apresentam-se mais satisfatórios em termos de segurança, precisão e economia, quando comparados aos critérios das normas europeia e americana. Um aspecto faltante nos critérios da atual norma brasileira, e em muitas normas mundiais, é a ausência da consideração do índice de retangularidade na definição do perímetro de controle, o que torna esses critérios passíveis de imprecisões referentes à tensão nominal para pilares muito retangulares, pois o perímetro crítico deveria ser reduzido. A antiga norma brasileira, NBR 6118:1980, estabelecia limites para os valores do perímetro crítico quando o pilar possuísse índices de retangularidade superiores a 3 (Figura 15), procedimento não realizado na atual norma. A ausência da redução do perímetro crítico para pilares com alto índice de retangularidade torna a tensão atuante em um pilar, com mesmo perímetro, idêntica se seu índice de retangularidade for, por exemplo, 1 ou 5 (FERREIRA; OLIVEIRA, 2007).
  42. 42. 41 Figura 15 - Perímetros de controle recomendados pela norma NBR6118:1980 Fonte: Ferreira e Oliveira, 2007, p.622 A ABNT NBR 6118:2003 prevê, em suas recomendações, a adoção de armadura de flexão para combate ao colapso progressivo o qual, de acordo com Dias e Rios (2010), é responsável por um colapso total da estrutura, e a armadura de proteção contra o colapso progressivo permite evitar que isso ocorra na estrutura numa situação de rompimento por punção. Segundo Mitchell (1984 apud CUNHA; SOUZA, 1994), o colapso brusco é evitado pelos esforços de membrana cujo desenvolvimento adequado é possibilitado por uma apropriada ancoragem das barras de flexão de momentos positivos (inferiores) da laje no pilar. 2.4.1 Superfícies de controle O dimensionamento de lajes sujeitas à punção pelos critérios da NBR 6118:2003 consiste na verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies de controle, e cada superfície corresponde a uma área dada pela altura útil da laje e pelo contorno crítico. Na primeira superfície, dada pelo contorno crítico C, correspondente ao contorno do pilar, verifica-se a tensão de compressão diagonal atuante no concreto, mediante a tensão de cisalhamento. Na superfície de contorno C’, distante 2d da face do pilar, verifica-se a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal do concreto, que é verificada por meio da tensão de cisalhamento atuante nessa superfície. Uma terceira superfície crítica, com contorno C’’, distante 2d do contorno C’, é verificada apenas em situações de necessidade de armadura transversal.
  43. 43. 42 O contorno C é dado pelo perímetro do pilar, o contorno C’, distante 2d da face do pilar, é medido conforme a Figura 16. Figura 16 - Perímetro crítico em pilares internos retangulares Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118, 2003, p.112 Para pilares de borda e pilares de canto, há uma redução do contorno crítico C’, que deve ser calculado conforme Figuras 17 e 18. Figura 17 - Perímetro crítico em pilares de borda. C’ C Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118, 2003, p.114 Figura 18 - Perímetro crítico em pilares de canto. C C’ Fonte: Adaptado da ABNT NBR 6118, 2003, p.114
  44. 44. 43 Quando há aberturas próximas ao pilar, de distância inferior a 8d da face, o contorno crítico C’ deve ser desconsiderado do trecho compreendido entre as duas retas que passam pelo centro de gravidade do pilar (ou área de aplicação da força) e que tangenciam o contorno da abertura, vide Figura 19. Figura 19 - Perímetro crítico junto à abertura na laje. Fonte: ABNT NBR 6118, 2003, p.115 2.4.2 Tensões solicitantes Em pilares internos, com carregamento simétrico, a tensão solicitante pode ser calculada pela expressão:  , onde: [ ]. (1)  d é a altura útil da laje entre os contornos C e C’ (m);  dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais, entre os contornos críticos C e C’ (m);  u é o comprimento do contorno crítico que está sendo calculado (m);  “u . d” corresponde à área da superfície de controle que está sendo calculada (m²);  Fsd, é a força ou reação concentrada de cálculo do pilar (kN);  sd é a tensão solicitante na superfície de controle que está sendo calculada (kN/m²). Em pilares quadrados ou retangulares internos, com efeito de momento, o cálculo da tensão solicitante, no qual o efeito da assimetria deve ser considerado, é realizado pela expressão:
  45. 45. 44  , onde: (2) .  “u . d” é a área da superfície de controle que está sendo calculada (m²);  Msd é o momento de cálculo (kN.m) em uma determinada direção;  WP é o módulo de resistência plástica (m²), possuindo um valor para cada direção;  c1 é a dimensão do pilar paralela à excentricidade da força (m);  c2 é a dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força (m);  d é a altura útil da laje entre os contornos críticos C e C’ (m);  K é o coeficiente que possibilita o cálculo da parcela de tensão nominal de cisalhamento transmitida à laje por meio da excentricidade, possuindo um valor para cada direção, e que assume os valores da Tabela 1.  sd é a tensão solicitante na superfície crítica de controle que está sendo calculada (kN/m²). Em pilares de borda, quando não há atuação de momento no plano paralelo à borda livre, o cálculo é feito pela expressão:   , onde: Msd1 = Msd – Msd*. (3) u* é o comprimento reduzido do contorno crítico que está sendo calculado (m);  reduzido (m);  “u* . d” é a área reduzida da superfície de controle que está sendo calculada (m²);  Msd* é o momento de cálculo resultante da excentricidade do perímetro u * em relação ao centro do pilar (kN.m);  Msd é o momento de cálculo (kN.m);  WP1 é o módulo de resistência plástica perpendicular à borda livre, calculado para o perímetro u (m²);  O coeficiente K assume os valores da Tabela 1.
  46. 46. 45  d é a altura útil da laje entre os contornos críticos C e C’ (m);  sd é a tensão solicitante na superfície de controle que está sendo calculada (kN/m²). Em pilares de borda, quando houver ação de momento paralelo à borda livre, utiliza-se a expressão:   . (4) Os valores de K1, Msd1 e W P1 são os mesmos utilizados para o cálculo de pilares de borda sem ação de momento paralelo à borda livre;  “u* . d” é a área reduzida da superfície de controle que está sendo calculada (m²);  d é a altura útil da laje entre os contornos críticos C e C’ (m);  O coeficiente K2 assume os valores estabelecidos na Tabela 1, mas a relação c1 / c2 é substituída pelo uso da relação  . WP2 é o módulo de resistência plástica na direção paralela à borda livre, calculado pelo perímetro u (m²);  Msd2 é o momento de cálculo no plano paralelo à borda livre, calculado de forma análoga ao Msd1 (kN.m);  sd é a tensão solicitante na superfície de controle que está sendo calculada (kN/m²). Em pilares de canto, como há duas bordas livres, calcula-se a tensão solicitante, para cada borda, de forma análoga ao cálculo de pilares de borda sem atuação de momento paralelo à borda livre, ou seja, para cada borda, considera-se que não há momento fletor no plano paralelo. 2.4.3 Tensões resistentes A resistência da diagonal de compressão, determinada para a superfície de controle de contorno C, onde C é o perímetro do pilar, é dada pela expressão:
  47. 47. 46   , onde: v = 1 – fck / 250 (fck em MPa). (5)  fck é a resistência característica à compressão do concreto (MPa);  fcd é a resistência à compressão de cálculo do concreto (MPa);  v é o coeficiente de minoração da resistência característica à compressão do concreto;  RD2 é a resistência da diagonal de compressão da superfície de controle de contorno C (MPa); A resistência da diagonal de tração do concreto, verificada na superfície crítica de contorno C’, quando não há armadura de punção, é calculada pela expressão:  onde:  [ √  √ ] [ e  ] , [ (6) ]  d é a altura útil da laje entre os contornos críticos C e C’ (cm);  x e y são as taxas de armadura negativa de flexão nas duas direções ortogonais, sendo válidas para a largura igual à dimensão do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados (Figura 20) (adimensional);   é a taxa geométrica da armadura de flexão aderente (adimensional);  fck é a resistência característica à compressão do concreto (MPa);  RD1 é a resistência da diagonal de tração do contorno C’ (MPa); Figura 20 - Distância para cálculo das taxas de armadura negativa de flexão 3d c Fonte: O autor, 2013 3d
  48. 48. 47 A armadura de punção pode ser dispensada se RD1 > sd. Caso contrário, a armadura de punção deve ser adotada e a resistência da diagonal de tração do contorno crítico C’ será calculada pela expressão:  [ √ ] [  ]  (7)  Os valores de d,  e fck são os mesmos utilizados no cálculo de RD1;  Sr é o espaçamento radial entre as linhas de armadura de punção (Figura 21), sendo limitado ao valor de 0,75d (cm).  fywd é a resistência de cálculo da armadura de punção (MPa), assumindo valor de 300 MPa para conectores e 250 MPa para estribos (de aço CA50 ou CA-60). Para lajes com espessura entre 15 e 35 cm, f ywd pode variar entre 250 MPa e 435 MPa, sendo permitida interpolação linear para obtenção deste valor.  sen() = 1 para o caso de barras dispostas com inclinação de 90º;  u é o comprimento do contorno crítico ou, para pilares de borda ou canto, comprimento do contorno crítico reduzido (cm);  Asw é a área da armadura de punção em um contorno completo paralelo à C’ (Figura 21) (cm²);  RD3 é a tensão resistente da diagonal de tração da superfície crítica de contorno C’, quando há armadura de punção, e deve ser maior que sd (MPa).
  49. 49. 48 Figura 21 - Representação de Asw e Sr. Asw Sr Fonte: Adaptado de ABNT NBR 6118: 2003, p.117 2.4.4 Requisitos da armadura de punção A ABNT NBR 6118:2003 recomenda o uso de conectores tipo pino com extremidades alargadas, dispostas radialmente a partir do perímetro do pilar, e cada uma dessas extremidades deve estar ancorada fora do plano da armadura de flexão correspondente. A armadura de punção deve ter, preferencialmente, três ou mais linhas de armadura. A armadura deve ser estendida em contornos paralelos a C’, com linhas a distâncias Sr entre si, até atingir o limite do contorno C’, ficando a uma distância 2d do contorno C’’. A distância radial entre o contorno C’ e C’’ é 2d. A primeira linha de armadura deve estar, no máximo, 0,5d distante da face do pilar. As demais linhas possuem espaçamento máximo de 0,75d.
  50. 50. 49 Figura 22 - Disposição da armadura de punção em corte. Fonte: NBR 6118, 2003, p.117. 2.4.5 Outras verificações Caso haja necessidade de armadura de punção, deve-se verificar o contorno crítico C’’ após o cálculo da armadura, calculando a tensão solicitante com uso da equação 3. Este valor deve ser comparado com a tensão resistente da diagonal de tração, calculada pela equação 6. No caso da estabilidade global da estrutura depender da resistência da laje à punção, deve ser prevista armadura de punção, mesmo que sd seja menor que RD1. Esta armadura deve possuir força resistente mínima de 50% de Fsd. Para garantir a ductilidade local e a consequente proteção contra o colapso progressivo, a armadura de flexão inferior que atravessa o contorno C (face do pilar) deve estar suficientemente ancorada além do contorno C’. Essa armadura deve ser tal que: AS . fyd > Fsd.  AS é a soma das áreas de todas as barras inferiores que cruzam cada uma das faces do pilar. O comprimento mínimo dessas barras inferiores deve ser maior que 2d + lb, sendo lb calculado por:   . (8)  é o diâmetro das barras de flexão inferiores, responsáveis por combate ao colapso progressivo (cm);  fyd é a resistência de cálculo à tração das barras (kN/cm²);  fbd é a resistência de aderência de cálculo entre aço e concreto (kN/cm²);  lb é o comprimento básico de ancoragem (cm).
  51. 51. 50 3 METODOLOGIA 3.1 ELABORAÇÃO DO PRÉ-PROJETO ESTRUTURAL Para elaboração do modelo estrutural utilizado para dimensionamento, foi desenvolvido, mediante o software Autocad 2012, um projeto arquitetônico, hipotético, de um pavimento tipo de uma edificação comercial, com dimensões de 32 x 32 m, totalizando 1.024 m². Figura 23 - Projeto arquitetônico – Pavimento tipo de uma edificação comercial W.C. W.C. W.C. 1075 936 W.C. 183 168 3200 165 W.C. W.C. 601 Sala de Reunião 227 601 Recepção 586 998 Recepção Sala de Reunião 500 494 3200 220 165 270 165 500 500 353 Depósito 351 200 W.C. W.C. 163 730 155 155 Fonte: O autor, 2013 730 Depósito Copa 200 351 W.C. 163 183 Copa W.C. 168 74 908 934 353
  52. 52. 51 Com base no projeto arquitetônico apresentado na figura 23, foi desenvolvido o pré-projeto estrutural deste pavimento tipo. Para o vão central, onde ficam localizadas as escadas, elevadores e acesso aos escritórios, o pré-projeto estrutural foi desenvolvido com características convencionais, e é composto por lajes, vigas e pilares, não sendo esta região, portanto, objeto de estudo deste trabalho. O préprojeto dos escritórios, que deve possuir lajes apoiadas diretamente sobre pilares, atendeu as recomendações de Araújo (2010) no que se refere às dimensões dos pilares e espessura da laje de acordo com o vão entre os pilares e o pé-direito da edificação, e os parâmetros calculados e as dimensões definidas são apresentados na Tabela 2, onde o pé-direito adotado foi de 2,80 metros. Seguidas essas recomendações e fazendo-se os ajustes necessários para compatibilização com o projeto arquitetônico, chegou-se ao pré-projeto estrutural da figura 24. As dimensões iniciais dos pilares foram 40 x 40 cm, enquanto a espessura inicial definida da laje foi de 22 cm. O posicionamento dos pilares de canto da edificação, a aproximadamente 1 metro das paredes, foi definido com o objetivo de cumprir a recomendação de não posicionar o pilar na extremidade de uma laje sem vigas. Tabela 2 - Dimensões mínimas de projeto Dimensões mínimas de projeto Vão entre apoios 624 cm Pé direito 280 cm Dimensão mínima dos pilares Dimensão adotada para os pilares 31,2 40 cm cm Espessura mínima da laje Espessura adotada para a laje Fonte: O autor, 2013 20,8 22 cm cm
  53. 53. 52 Figura 24 - Pré-projeto estrutural gerado 608 608 470 608 608 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P11 P12 624 P1 20 465 285 616 236 P14 P15 P16 713 611 P13 P17 P18 P19 360 P20 504 360 608 470 608 P22 P23 P24 P25 P26 P27 P28 P29 P30 P31 P32 170 504 P21 Fonte: O autor, 2013 É importante ressaltar que a norma brasileira permite uma espessura de 16 cm para lajes lisas, mas os cálculos preliminares realizados indicaram que haveria, para essa espessura, uma quantidade excessiva de armadura de flexão necessária para armar a laje na região dos pilares, além de deixar a linha neutra a uma altura superior à metade da altura útil da seção transversal no dimensionamento à flexão, procedimento contrarrecomendado pela norma. Por esse motivo, optou-se por criar um modelo estrutural com 20 cm de espessura de laje, mas a realização do dimensionamento apresentou novamente o problema. Com a espessura a partir de
  54. 54. 53 22 cm, foi possível obter resultados aceitáveis para a posição da linha neutra no dimensionamento à flexão e, por isso, esse valor foi estabelecido como valor mínimo de espessura das lajes calculadas neste trabalho. Os carregamentos aplicados foram de 5 kN/m² para solicitações variáveis e 2 kN/m² para solicitações permanentes. O carregamento de peso próprio é calculado automaticamente pelo software utilizado para cálculo dos esforços. A distribuição dos pilares foi feita de forma aproximadamente simétrica nas 4 direções, conforme recomendado pela norma e pela literatura. A perfeita simetria não foi possível devido às diversas necessidades de adaptação ao projeto arquitetônico, mas as assimetrias foram mantidas dentro de limites aceitáveis. Quanto à retangularidade, as prescrições da norma são de melhor aplicação para pilares pouco retangulares; além disso, a adoção de pilares quadrados torna o cálculo mais simplificado, razão pela qual adotaram-se pilares com seção quadrada. Somado a esses fatores, destaca-se que a pesquisa sobre a influência da retangularidade não é objeto de estudo deste trabalho. 3.2 MODELO ESTRUTURAL Com base no pré-projeto estrutural da figura 24, foi desenvolvido o modelo estrutural da figura 25, no software SAP 2000. O SAP 2000 calcula os esforços das estruturas pelo método dos elementos finitos.
  55. 55. 54 Figura 25 - Modelo tridimensional desenvolvido no software SAP 2000 Fonte: O autor, 2013 A modelagem da laje foi feita com o uso de shells — os elementos planos de dimensões finitas do software —, e as dimensões das shells foram mantidas com valores próximos aos da espessura da laje. A modelagem dos pilares foi feita com o uso do recurso solids do software. Os parâmetros físicos dos materiais foram definidos dentro da guia “Materials”, onde foram definidos o peso específico, módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson (figura 26). O módulo de elasticidade definido, de 23,8 GPa, foi calculado com base na formulação fornecida pela NBR 6118:2003, e o fck utilizado do concreto foi de 25 MPa. Os pilares foram considerados engastados na base, de forma a simular o vínculo desses elementos no pavimento inferior. Os carregamentos variáveis e permanentes foram aplicados em toda a área da laje, e também houve aplicação de carregamento de alvenaria em todas as regiões nas quais o projeto arquitetônico apresenta a presença desses elementos e, posteriormente, com o recurso “Load combinations”, foi criada a combinação de carregamentos que sobrepõe os efeitos de peso próprio, carregamentos permanentes, carregamentos variáveis e alvenaria (figura 27), permitindo o cálculo dos esforços na estrutura quando esses quatro carregamentos atuam em conjunto. Dentro de “Load combinations” foi atribuído o coeficiente de
  56. 56. 55 majoração de forças f = 1,4, conforme indicado pela norma para edificações dessa categoria. A definição das dimensões dos pilares foi feita na modelagem dos elementos solids, enquanto a dimensão das lajes foi definida de forma numérica na guia “Area sections”. Após o cálculo dos esforços, novos modelos foram criados, com alteração da espessura da laje e das dimensões dos pilares. O procedimento para criação dos novos modelos consistiu na alteração das dimensões dos solids e adaptação das shells ao novo contorno desses elementos. A espessura da laje foi alterada na guia “Area sections” para cada mudança de espessura necessária. Desta forma, o modelo apresentado na figura 25 serviu como base para geração de todos os modelos subsequentes. Figura 26 - Parâmetros do concreto armado. Fonte: O autor, 2013
  57. 57. 56 Figura 27 - Definição da combinação de carregamentos criada. Fonte: O autor, 2013 Em relação aos carregamentos apresentados na figura 27, o SAP atribui a nomenclatura “DEAD” aos carregamentos devidos ao peso próprio da estrutura. 3.3 CÁLCULO DOS ESFORÇOS Uma vez definidos os parâmetros apresentados na seção 3.2, o software está apto a calcular os esforços atuantes na estrutura. A figura 28 apresenta um exemplo de diagrama de momento fletor resultante, válido para o modelo da figura 25 com os carregamentos apresentados na figura 27 aplicados.
  58. 58. 57 Figura 28 - Esforços resultantes de momento fletor na direção x (Unidade: kN.m/m). Fonte: O autor, 2013 Os esforços calculados pelo software indicaram, como previsto, que os esforços mais significativos de momentos fletores e, portanto, os maiores gastos com armadura de flexão, deveriam ocorrer nas armaduras superiores das regiões próximas aos pilares. O aumento da seção transversal do pilar pouco interferiu nos esforços de flexão, tanto negativo quanto positivo. Para realização dos cálculos, portanto, optou-se por quantificar apenas a armadura de flexão negativa (superior) nas regiões próximas aos pilares. Destaca-se que a taxa de armadura de flexão negativa em relação à área de concreto interfere diretamente no cálculo da resistência da diagonal de tração do contorno C’, apresentando importante influência de acordo com as mudanças de seus valores, motivo pelo qual foi indispensável a quantificação dos esforços de flexão e cálculo das armaduras negativas nas regiões
  59. 59. 58 dos pilares. O dimensionamento das armaduras de flexão foi realizado segundo as prescrições da ABNT NBR 6118:2003. O esforço necessário para cálculo da armadura de punção da laje apoiada diretamente sobre os pilares é a reação de apoio do pilar. Como a modelagem com o uso de solids não possibilita conhecer a reação de apoio do topo do pilar, na elevação da laje, o cálculo foi feito pela subtração do peso próprio do pilar da reação de apoio da base do pilar. A figura 27 exemplifica as reações de apoio do pilar P8. Figura 29 - Reação de apoio do pilar P8. Subtraindo-se o peso do pilar destes valores, obtém-se FSD (Unidade: kN) Fonte: O autor, 2013 O dimensionamento à punção foi realizado conforme as prescrições da norma brasileira, citadas na seção 2.4. Devido à pouca expressividade dos esforços de momentos transferidos das lajes aos pilares, gerando baixos valores de SD, optouse por não considerar esse efeito nos cálculos da armadura de punção. 3.4 DIMENSIONAMENTO Por meio do software Microsoft Excel, o dimensionamento das armaduras de flexão, punção e combate ao colapso progressivo, além da verificação dos contornos críticos, foram calculados mediante uma rotina de cálculo pré-estabelecida (Tabelas
  60. 60. 59 3 e 4). Para cada laje calculada, foram quantificados os esforços de momentos fletores nas direções x e y na face dos pilares e a reação de apoio de topo do respectivo pilar. Obtidos os resultados, os dados foram exportados para as planilhas com a lista de resultados, apresentadas na seção 4. Tabela 3 - Planilha modelo para cálculo de armadura de flexão fck 25 MPa h 22 cm FLEXÃO Direção x 132,00 kNm Msd 0,4543 x d 17,1 cm 0,8183 z As 21,70 cm² Direção y 133,00 kNm Msd x 0,3671 d 18,7 cm z 0,8531 As 19,17 cm² Fonte: O autor, 2013 Tabela 4 - Planilha modelo para cálculo de armadura de punção e colapso progressivo PUNÇÃO Fsd kN sd-C 2,34 MPa 670,14 LPilar cm RD2 4,34 MPa 40 d cm sd-C' 0,97 MPa 17,9  RD1 0,76 MPa 0,00927 u cm Sr 10,00 cm 384,9 A 6.890,39 cm² Asw 3,37 cm² fywd 300 MPa Há necessidade de 0,98 MPa armadura de Punção RD3 Ok As u A Colapso Progressivo lb 15,41 cm² 37,67 Verificação do Contorno C'' sd 0,61 609,88 cm Ok 10916,78 cm² Fonte: O autor, 2013 cm MPa 3.5 LAJES CALCULADAS Os procedimentos descritos nas seções 3.1 a 3.4 foram realizados para um total de 25 lajes, variando-se, para cada laje, apenas a espessura da laje e a seção transversal de todos os pilares. A tabela 3 apresenta os parâmetros de cada laje calculada, além da nomenclatura atribuída para cada uma. Todos os pilares
  61. 61. 60 possuem seções quadradas, e seu lado é representado por “LPilar”. A espessura de cada laje é denominada “h”. Tabela 5 Laje 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Lajes calculadas h LPilar 22 cm 40 cm 24 cm 40 cm 26 cm 40 cm 28 cm 40 cm 30 cm 40 cm 22 cm 45 cm 24 cm 45 cm 26 cm 45 cm 28 cm 45 cm 30 cm 45 cm 22 cm 50 cm 24 cm 50 cm 26 cm 50 cm 28 cm 50 cm 30 cm 50 cm 22 cm 55 cm 24 cm 55 cm 26 cm 55 cm 28 cm 55 cm 30 cm 55 cm 22 cm 60 cm 24 cm 60 cm 26 cm 60 cm 28 cm 60 cm 30 cm 60 cm Fonte: O autor, 2013 3.6 DETALHAMENTO Para levantamento do quantitativo das armaduras de flexão negativa, foi necessário definir, inicialmente, após o cálculo de AS, o diâmetro das barras, espaçamento, comprimento de cada barra e a largura de distribuição. O comprimento das barras foi definido como o comprimento necessário para proteger a laje nas regiões de tensões de tração, somado à decalagem do diagrama de momentos fletores e o comprimento de ancoragem necessário para proteger a barra contra o deslizamento. Quanto ao diâmetro, para simplificação dos cálculos, todas as barras adotadas foram definidas com diâmetro de 16 mm, sendo necessárias, para atendimento do valor calculado, a alteração apenas do espaçamento entre as barras. Com essa simplificação e com a definição de um cobrimento de 2,5 cm,

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