Unis

1. Professor: Dr. Alessandro Ferreira Alves
Disciplina: Lógica Matemática
Tema da Aula: Aspectos Introdutórios da Lógica Matemática
Semestre/Ano: Segundo Semestre de 2017

2. 2
Introdução a
Lógica

3. Aspectos Introdutórios da Lógica
3
DIVERSOS PROBLEMAS NAS MAIS
DIVERSAS SUBÁREAS NECESSITAM DA
CRIAÇÃO DE PROPOSIÇÕES E TEORIAS
MAIS COMPLEXAS BASEADAS EM
FERRAMENTAS DA LÓGICA.

4. Aspectos Introdutórios da Lógica
4
 Tem lógica isso?
 Faz sentido?
 Essa argumentação está coerente?
 A argumentação está correta? Ou está
incorreta?
 Não pode ser assim? Ou pode ser
assim?

5. 5
 Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e
regras de inferência que visam representar
formalmente o raciocínio válido.
 No estudo da Lógica Matemática utilizamos
de uma linguagem formal. Linguagens Formais
que são objetos matemáticos, cujas regras de
formação são precisamente definidas e às
quais podemos atribuir um único sentido,
sem ambiguidade.
Introdução a Lógica Matemática

6. A Importância da Lógica no Cotidiano
6
Raciocínio
Lógico
Ferramentas
Qualitativas
Intimamente
ligada a
Matemática
Ferramentas
Quantitativas
Profissionais
mais
dinâmicos
Raciocinar
com
coerência

7. Definindo a Lógica: O que é Lógica?
7
 “Lógica é a ciência que estuda os
mecanismos do pensar”. (Adaptado
de L. Liard)
 “A Lógica pode ser encarada como
o ramo da ciência que descreve as
estruturas das linguagens”.
(Adaptado de L. Hegenberg)

8. Definindo a Lógica: O que é Lógica?
8
 “Lógica é a ciência que fundamenta a
argumentação, sendo o vetor direção da
operação do raciocínio humano”.
(Adaptado de Gofredo Telles Júnior)
 “A Lógica é o ramo do pensar que
mensura os vários métodos e princípios
usados para a diferenciação do
raciocínio correto do incorreto.
(Adaptado de I. Copi)

9. Definindo a Lógica: O que é Lógica?
9
 “A Lógica é uma ciência que está
intimamente ligada com a
Matemática e a Filosofia, que visa a
descrição correta do pensar e agir
de forma coerente e correta.”
(Alessandro F. Alves).

10. Lógica: O que é?
10
 Formas do
pensamento
 Linguagem
descritiva do
pensamento
 Leis da
argumentação
 Leis dos
raciocínios
considerados
corretos
 Técnicas e
princípios básicos
do pensamento

11. 11
Lógica: uma ciência interpretativa e racional
A palavra “Lógica” é associada ao grego antigo significando “logos”,
podendo ser encarada como a discussão do uso de raciocínio em
alguma atividade ou situação problema, isto é, o estudo pautado nas
normas, na Filosofia e no raciocínio.

12. 12
 Proposição ou sentença é toda oração declarativa
que pode ser classificada em verdadeira ou falsa.
 Toda proposição apresenta três
características obrigatórias: 1) Tem sujeito e
predicado. 2) É declarativa. 3) Tem um, e somente
um, dos dois valores lógicos: Verdadeira (V) ou Falsa
(F).
 Uma proposição é representada por uma
letra minúscula do nosso alfabeto : p, q, r,
s,....
Definições Básicas da Lógica Matemática

13. 13
Lógica Dedutiva e Indutiva
 Lógica Dedutiva: considera-se que qualquer
proposição pode ter somente um dos valores
lógicos, ou seja, uma proposição ou é V
(Verdadeira) ou F (Falsa), jamais os dois
simultaneamente.
 Lógica Indutiva: aqui leva-se em
consideração que uma proposição qualquer
pode ter distintos graus de aceitação
relacionados a ela, segundo a mesma parecer
ser mais ou menos verdadeira.

14. 14
Lógica Dedutiva e Indutiva
Trabalha no sentido de descrever a verdade
das proposições.
• Lógica Dedutiva
É o raciocínio que, após considerarmos um
número suficiente de casos particulares,
concluímos uma verdade geral.
• Lógica Indutiva

15. 15
Conceitos Fundamentais da Lógica
Proposição
ou Sentença
Conjunção Disjunção
Negação Condicional Bicondicional

16. 16
Conceitos Fundamentais da Lógica
• É um conjunto de palavras ou
símbolos que descrevem um
pensamento no seu sentido
completo, atribuindo
unicamente ao seu enunciado o
valor lógico V ou F.
Proposição
ou
Sentença
• “e” (o “e” descrito
matematicamente).
Conjunção

17. 17
Conceitos Fundamentais da Lógica
• “ou” (o “ou” descrito
matematicamente).
Disjunção
• “não”
Negação

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Conceitos Fundamentais da Lógica
•a implicação
“se...então...”;
Condicional
• “a bicondicional
“se...e somente
se...”;
Bicondicional

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Postulados - Importante
 Postulado 1: (Princípio da Não Contradição)
Uma proposição não pode ser verdadeira e
falsa simultaneamente.
 Postulado 2: (Princípio do Terceiro Excluído)
Qualquer proposição ou é verdadeira ou é
falsa, isto é, verificamos sempre um destes
casos e nunca um outro.

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Propriedades Obrigatórias - Proposição
Sendo oração, tem sujeito e predicado.
É declarativa (não é exclamativa nem interrogativa).
Tem um, e somente um, dos dois valores lógicos.

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Exemplos de Proposições
 Pedro Alvares Cabral descobriu o Brasil, é
uma proposição com valor lógico (V).
 2 é um número natural par e primo, é uma
proposição que tem valor lógico (V).
 1 > 2 é uma proposição com valor lógico (F).
 Recife é a capital do estado de Pernambuco,
tem valor lógico (V).

22. 22
Exemplos de Proposições

23. 23
Classificação das Proposições
• É aquela que não possui nenhuma outra
proposição como parte integrante de sua
estrutura, sendo denotadas geralmente,
por letras minúsculas do nosso alfabeto
(letras proposicionais) p, q, r, s, ...,
chamadas letras proposicionais.
Simples
ou
Atômica
• É aquela constituída pela combinação de
duas ou mais proposições simples, sendo
denotadas por letras latinas maiúsculas
(letras proposicionais) P, Q, R, S, ....
Composta
ou
Molecular

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Tipos de Argumentação
Argumentação
por Citação
Argumentação
por
Comprovação
Argumentação
por
Exemplificação
Argumentação
por Raciocínio
Lógico

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Outros Conceitos Importantes
Premissas Silogismos Termos
Falácias Sofismas

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Premissas
 Premissas: em um primeiro momento podemos
encarar uma premissa como sendo uma proposição
ou conteúdo das informações fundamentais que
servem como alicerce para a fundamentação do
raciocínio, para um dado estudo que nos levará a
conclusão do mesmo.

27. 27
Silogismos
 Silogismo: significa argumento, dedução ou raciocínio,
sendo formado por duas premissas, uma maior e outra
menor, que são encaradas como o marco inicial para
descrevermos a conclusão em uma dada
argumentação.
Exemplo: “todos os seres humanos são mortais. Alberto é
homem. Portanto, Alberto é mortal.”

28. 28
Termos
 Termo: é a nomenclatura que utilizamos para a
descrição de um objeto que comparece no contexto
macro do discurso em questão.
Exemplo: Quando falamos no estudo dos números
naturais, “3 + 3” é um termo usado para a caracterização
do número natural 6, resultado da adição anterior.

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Falácias
 Falácia: são visualizadas como os erros relacionados
a argumentação ou particularmente ao raciocínio. As
falácias são comumente classificadas em falácia do
homem espantalho, falácia das várias perguntas e
falácia da inversão dos quantificadores.

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Falácias
 Falácia do homem espantalho: frequentemente associada a fala
de políticos em geral, sendo que esse tipo de falácia está ligada
diretamente a conveniência própria do indivíduo a partir das
ideias defendidas pelos seus opositores.
 Falácia das várias perguntas: este tipo de falácia se aproxima
mais do contexto do direito ou advocacia em situações de
ofício. Particularmente falando, observa-se a mesma, por
exemplo, em discursos de advogados que realiza uma pergunta
que pode ser vista como um conjunto de várias outras.
 Falácia da inversão dos quantificadores: esse tipo de falácia
envolve diretamente os quantificadores “e”, “ou”, ou ainda
“então”. Exemplificando, encaramos como um tipo dessa
falácia: “Todos os homens possuem um pai, então existe
alguém que é pai de todos os homens”.

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Didática da Resolução de Problemas
Problema Raciocínio
Lógico
Metodologia
de Resolução
de Problemas

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Classificação dos Problemas
Exercícios de
Reconhecimento
Exercícios de
Algoritmos
Problemas
Padrão
Problemas
Heurísticos
Problemas de
Aplicação

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Classificação dos Problemas
 Exercícios de Reconhecimento – é caracterizado por fazer com
que a pessoa identifique, caracterize ou diferencie uma
definição ou conceito, um dado fato particular, ou até mesmo
uma propriedade específica, etc.
Exemplos:
o Dados os números 3, 7, 11, 1106, 2156 e 2007, quais são números
primos?
o Dados os números 4, 16, 25 e 38, quais são quadrados perfeitos?
o Qual é o sucessor de 157?
o Duas centenas equivalente a quantas dezenas?
o 30 equivalem a quantas partes de 10?
o Dados os números 2, 4, 6 e 13, quais são números pares?

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Classificação dos Problemas
o Exercícios de Algoritmos – são caracterizados como aqueles
resolvidos a partir de uma sequência lógica de passos (passo a
passo), tendo como objetivo principal o treinamento da habilidade
na execução de um determinado algoritmo.
Exemplos:
o Caracterizar o valor da expressão numérica [(2 x 7) + 3] ÷ 4.
o Efetuar a soma (88 + 114) – 34 + 2 x (1 – 4) + 5.
o Se n é um natural par, podemos afirmar que n² sempre é um número
par?

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Classificação dos Problemas
 Exercícios Padrão – este tipo de problema é visualizado como sendo
aquele em que na sua resolução se aplica diretamente um ou vários
algoritmos previamente estudados, sem a utilização de estratégias
específicas.
Exemplos:
o (Problemas Padrão Simples) Numa sala de aula do Colégio AFA existem
34 discentes do sexo masculino e 28 discentes do sexo feminino.
Quantos discentes existem nessa sala de aula?
o (Problemas Padrão Simples) Uma telha pesa 1 quilograma então 1 telha e
meia pesa quantos quilogramas?
o (Problemas Padrão Composto) Cauã, Igor e Felipe são três amigos que
trabalham como promotores de festas e shows diversos. Sabendo que
Cauã, Igor e Felipe possuem juntos 90 ingressos para um show neste
próximo fim de semana para divulgação e que Cauã tem 32 ingressos e
os outros dois possuem quantidades iguais, determine o número de
ingressos que cada um possui para divulgar tal show.

36. 36
Classificação dos Problemas
 Problemas Processo ou Heurísticos – são problemas
caracterizados pela solução que não comtemplam as operações
contidas no enunciado, geralmente, não podem ser
transformados de forma direta para a linguagem matemática, tão
pouco resolvidos diretamente pela utilização de algoritmos.
Exemplos:
o Uma reunião estratégica de custos da AFA Consultoria foi
conduzida por doze gestores diretores. Se cada um trocar um
aperto de mão com todos os outros gestores diretores quantos
apertos de mão teremos ao final da reunião estratégica de custos?
o Eu Igor tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a
idade que tu tens, quando tiveres a idade que eu tenho, a soma de
nossas idades será 42 anos. Quais nossas idades atuais?

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Classificação dos Problemas
 Problemas de Aplicação – são problemas envolvendo diversas
situações do nosso cotidiana e que exigem necessariamente o uso da
matemática e suas divisões para serem solucionados. Frequentemente
são denominados de situações pro.
Exemplos:
o Para realizar um relatório gerencial de custos, um gestor da empresa AFA
Consultoria necessita descrever a despesa mensal com alimentação por
funcionário administrativo. Neste sentido, como o gestor poderia
descrever tais despesas alimentícias por funcionário? Observe que aqui,
podem surgir indagações como: Quantos funcionários da AFA
Consultoria alimentam na empresa diariamente? Quantos funcionários da
AFA Consultoria alimentam na empresa mensalmente? Quantos
quilogramas de alimentos como arroz, feijão, macarrão, tomate, cebola,
sal, etc. a AFA Consultoria consome mensalmente? Quais os valores que
a AFA Consultoria paga por quilograma de cada alimento citado
atualmente? Quanto a despesa mensal com gás da AFA Consultoria?

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Como Resolver um Problema?
Compreensão
do Problema
Elaboração de
Um Plano
Execução do
Plano
Verificação

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Como Resolver um Problema?
• Qual a solicitação feita no
problema?
• Quais são as informações e
especificidades colocadas
no problema?
• É possível criarmos um
gráfico, uma figura ou
ilustração qualquer?
• É possível alguma
estimativa com relação a
resposta do problema?
Compreensão
d Problema

40. 40
Como Resolver um Problema?
• Qual seria o seu plano inicial para
resolução do problema?
• Qual (ais) estratégia (s) você
buscará se utilizar?
• Você se lembra de um problema
similar que possa te dar suporte na
resolução deste?
• Tente organizar e sumarizar os
dados em tabelas, diagramas e
gráficos.
• Tente buscar a resolução do
problema dividindo a mesma em
partes.
Elaboração
de Um
Plano

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Como Resolver um Problema?
• Desenvolva o plano criado
na etapa anterior,
verificando o mesmo passo
a passo.
• Realize todos os cálculos
indicados no plano descrito.
• Aplique todas as estratégias
visualizadas, obtendo
diversas maneiras de
resolver o mesmo
problema.
Execução
do Plano

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Como Resolver um Problema?
• Note se a solução
encontrada está correta.
• Você consegue pensar em
outro modo de resolver este
problema?
• É possível usarmos a técnica
empregada para
resolvermos problemas
similares?
Verificação

43. 43
Referências
FARIA, Rogerio Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5
ed.. São Paulo: Makron Books, 2000.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 4 ed..
São Paulo: Ática, 2008.
BASTOS, C.L & KELLER, Vicente. Aprendendo a Lógica. São Paulo:
Vozes, 2002.
FILHO, Edgard de Alencar. Iniciação à Lógica Matemática. 18. ed.
São Paulo: Nobel, 2000.
GIMENES, Cristiano Marchi. Matemática Financeira com HP 12C e
Excel: uma abordagem descomplicada - 2 ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira. 6 ed.. São
Paulo: Saraiva, 2000.

44. O Mercado Hoje?
44
Conclusão! Graduados que não possuem
recursos nem conhecimentos de pesquisa e
métodos de análise quantitativa de mercado
simplesmente não podem se beneficiar da
inteligência que emerge da expansão do
número de informações! (Mercado exige
gestores dinâmicos).