1. Aula 1 e 2 – Lógica e argumentação na linguagem cotidiana
Professor Nilson José Machado
Pode-se entender por linguagem como um sistema complexo de signos, símbolos e seus
significados, capazes de expressar o pensamento humano.
Desta forma, a linguagem não se restringe unicamente à construção formal e sistemática do
pensamento. Ela está presente na escrita, na fala, nos gestos, podendo ser, portanto verbal e não-verbal.
Não se deve classificar os modos de linguagem em bons ou ruins, melhores ou piores, pois cada
um tem um papel diferente e fundamental na comunicação.
Entretanto, em determinados contextos e para determinados fins, alguns modos de linguagem
podem ser considerados inapropriados ou simplesmente ineficazes, já que a idéia de linguagem é
transmitir pensamentos e idéias.
Para entender essa diferença, basta comparar a linguagem cotidiana e a linguagem matemática.
A linguagem cotidiana, que é a linguagem humana primeira, é extremamente rica em significados e
conteúdos. Porém, em muitas ocasiões pode gerar conflitos de significados, graças ao seu aspecto
muitas vezes impreciso.
Para resolver problemas específicos, que não podem dar margem a dúvidas, o ser humano recorre
frequentemente à linguagem da matemática.
A linguagem da matemática é composta somente por sentenças declarativas e só podem ser
avaliadas como VERDADEIRAS ou FALSAS, nunca ambas ou nenhuma delas.
Ela possui técnicas específicas de análise e resolução de problemas que a torna confiável e
indispensável para o entendimento de muitas idéias.
A matemática possui uma linguagem própria, rígida. Por isso, para que seu potencial seja
explorado é preciso conhecê-la muito bem (suas regras, suas formas). Transformar o problema do
cotidiano na linguagem matemática requer esforço e concentração. É necessário que se traduza a
sentença interrogativa para a forma declarativa equivalente e, só depois, é possível resolvê-la.
A resolução de problemas lógicos, porém, não ocorre somente na matemática. Ela pode se dar na
linguagem do cotidiano também, desde que se observe dois aspectos fundamentais:
- Qualquer argumento, para ser lógico e, portanto, válido, precisa possuir premissas
verdadeiras;
- Deve decorrer lógica e necessariamente da análise das premissas.
Em resumo, a capacidade humana de se comunicar por meio de várias formas de linguagens o
diferencia das outras formas de vida e o torna capaz de solucionar problemas dos mais variados
tipos, utilizando o modo de linguagem que for mais apropriado à cada ocasião.
Joel Vieira de Lima Júnior.
04/08/2014

2. Exercícios das vídeo aulas 1 e 2 – Matemática
Texto A
Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem
matemática, recorrendo-se a letras para representar números.
Letras representando valores desconhecidos, ou incógnitas, podem transformar
perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática.
Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem na outra sugeridos a
seguir.
1. Usando letras para representar números, represente na linguagem
matemática:
a) A soma de dois números é 17”
x + y = 17
b) “Um número elevado ao quadrado, depois somado com seu
triplo, dá igual a 10”
x2 + 3x = 10
c) “A soma de três números naturais consecutivos é igual a 20”
x + (x+1) + (x + 2) = 20
3x + 3 = 20 ou 3(x + 1) = 20
d) “A soma dos quadrados de três números é menor do que 37”
x2 + y2 + z2 < 37
e) “A média aritmética de dois números é maior ou igual a sua
média geométrica”
x + y / 2 ≤ √xy
f) “Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é
igual ao quadrado da hipotenusa”
x2 + y2 = h2
2. As sentenças a seguir representam perguntas.
Reescreva cada uma como uma sentença matemática envolvendo
incógnitas:
a) “Qual o número que multiplicado por 7 dá 91?”

3. 7x = 91
b) “Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma dá 27”
x + (x+1) = 27
c) “Encontrar um número que, elevado ao cubo e depois somado
com 15 resulte em 140”
x3 + 15 = 140
d) “Encontrar um número que, somado com seu inverso, dê mais do
que 2”
x + 1/x > 2
3. Traduza cada sentença como um sistema de equações:
a) “Encontrar dois números cuja soma seja 15 e cujo produto seja
14”
x + y = 15
xy = 14
3b) “Determinar um número que somado com 3 dá mais do que sete,
e que, multiplicado por 4, dá menos que 32”
x + 3 > 7
4x < 32
c) Achar um número que, elevado ao cubo, dá mais que 36, e que
multiplicado por 7 dá menos do que 42”
x3 > 36
7x < 42
4. Reescreva na linguagem corrente cada uma das sentenças
matemáticas:
a) x – 3 = 21
Qual o número do qual subtraindo-se 3 dá 21?
b) 3x = 45
Qual o número cujo triplo é 45?
c) x2< 4
Encontre um número que elevado ao quadrado seja menor que 4
d) x2 + 5x – 15 = 0
Que número elevado ao quadrado e somando ao seu triplo e subtraindo-se 15
unidades é igual a zero?

4. TEXTO B
Uma proposição (sentença verdadeira ou falsa) isolada não
caracteriza um argumento. Nem uma simples coleção de proposições
é um argumento. Argumentar é justificar a verdade de uma
proposição (que é a conclusão do argumento) como consequência
lógica da verdade outras proposições (que são as premissas do
argumento). A estrutura geral de um argumento é “se p é verdade,
então q também será”, em que p representa uma ou mais
proposições. Um argumento sempre apresenta uma proposição que
é a conclusão, e uma ou mais premissas que a justificam.
5. Em cada texto abaixo, indique se se trata ou não de um argumento:
a) Acho que vai chover.
Não é um argumento.
b) Amanhã deverá fazer sol, porque o serviço de meteorologia
previu muita chuva, e ele tem errado em suas previsões.
Trata-se de um argumento cujas premissas são:
- O serviço de metereologia previu muita chuva.
- O serviço de metereologia tem errado em suas previsões.
Conclusão lógica: “amanhã deverá fazer sol”.
c) Joaquim é português e é dono da maior padaria do bairro, que
produz 10 000 pães por dia.
.
Não é um argumento.
d) Joaquim não é português, pois ele nasceu no Brasil, e quem
nasce no Brasil é brasileiro.
É um argumento de premissas:
- Joaquim nasceu no Brasil
- Quem nasce no Brasil é brasileiro.
Logo, Joaquim não é português.
e) Penso muito na vida.
Não é um argumento.
f) Penso, logo, existo.
É um argumento de premissas: - Quem pensa existe. – Eu penso. – Logo existo.

5. 6. Em cada argumento abaixo, indique qual é a conclusão e quais são
as premissas:
a) “É lógico que o time C é o melhor do atual campeonato, pois ele
tem o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número
de vitórias.”
Premissas sobre o time C:
- Tem o melhor ataque
- Tem a defesa menos vazada
- Tem o maior número de vitórias.
Conclusão: O time C é o melhor do atual campeonato.
b) “Três séculos de pesquisas mostraram-nos que nenhum
megalozoário é carcomênico. Deste fato, podemos concluir que
os infimozoários não são carcomênicos, uma vez que todo
infimozoário é megalozoário”.
Premissas:
- Nenhum megalozoário é carcomênio
- Todo infimozoário é megalozoário
Conclusão: Os infimozoários não são carcomênios.
c) “O café não é um produto importado; portanto, não deveria ser
caro, uma vez que todos os produtos importados é que são caros.
Premissas:
- Todos os produtos importados é que são caros.
- O café não é um produto importado.
Conclusão: O café não deveria ser caro.
TEXTO C
Uma proposição é ou verdadeira ou falsa; um argumento, no
entanto, não é verdadeiro ou falso, mas sim válido ou não válido,
ou seja, consistente ou não consistente.
Um argumento é válido quando a verdade da conclusão decorre
inevitavelmente da verdade das premissas; se for possível ter as
premissas simultaneamente verdadeiras e a conclusão falsa, o
argumento não é válido.
Representando as proposições por meio de conjuntos no plano
podemos analisar a validade de argumentos.
Por exemplo, a sentença “Todos os pernambucanos são
brasileiros” pode ser representada por um conjunto P (de
pernambucanos) contido em outro conjunto B (de brasileiros).
Analogamente, a frase “Nenhum alemão é francês” poderia ser
representada por dois conjuntos A (alemães) e F (franceses)
disjuntos.
Em cada argumento abaixo, represente as proposições por

6. conjuntos e, por inspeção direta, analise se cada um dos
argumentos é válido ou não:
7. Todos os alemães são europeus.
Nietzsche era alemão.
Logo, Nietzsche era europeu.
8. Todos os alemães são europeus.
O príncipe Charles não é alemão
Logo, o príncipe Charles não é europeu
9. Todos os apinagés são índios
Não existem índios carecas
Logo, não existem apinagés carecas
10. Nenhum mamífero é ave
Nenhuma ave tem quatro patas
Logo, nenhum mamífero tem quatro patas

7. TEXTO D
Em Matemática, demonstrar uma proposição é apresentá-la como
consequência necessária de outras, já conhecidas. Como a estrutura
básica de uma demonstração é “se p é verdade, então q também
deverá ser”, precisamos conhecer a verdade de algumas proposições
iniciais para começar a demonstrar outras proposições a partir delas.
Quando se formula uma teoria, as verdades iniciais são os
postulados, sempre em número pequeno, e os teoremas são
proposições que devem ser demonstradas a partir dos postulados, ou
de outros teoremas já demonstrados. Um exercício interessante é
demonstrar uma proposição admitindo outras como verdadeiras, ou
por já haverem sido demonstradas, ou porque nos parecem
evidentes. Naturalmente, quanto mais desenvolvemos o pensamento
crítico, mais procuramos demonstrações para proposições que
anteriormente considerávamos evidentes...
11. Admita que já foi demonstrado o seguinte teorema:
“Em um triângulo, unindo-se os pontos médios de dois lados,
obtém-se um segmento de reta que é paralelo ao terceiro lado”
Demonstrar que, por mais irregular que seja um quadrilátero,
unindo-se os pontos médios dos quatro lados obtém-se um
paralelogramo.
- Em todo quadrilátero é possível formar duas diagonais, unindo-se os
ângulos opostos por uma reta.
-
- Com essas diagonais, pode-se formar alguns triângulos, dentre os quais, os
triângulos ABC, ADB, DBC e ACD.
- No triângulo ADB unindo-se os pontos médios de AD e AB, cria-se um
segmento de reta paralelo à diagonal DB – segmento “N”.
- No triângulo ACD, a união entre os pontos médios de DC e AD formam um
segmento de reta paralelo à diagonal AC – segmento “P”.
- E, por fim, a união entre os pontos médios DC e BC formam um segmento
de reta paralelo à diagonal DB – segmento “Q”.
Ora, sendo o segmento “M”, paralelo à diagonal AC e sendo a diagonal AC
paralela ao segmento “P”, então “M” é paralelo a “P”.
Do mesmo modo, sendo “N” e “Q” paralelos a BD, então “N” é paralelo a “Q”.
Em palavras, fazendo referência à figura, onde ABCD é um quadrilátero
qualquer e MNPQ é quadrilátero que tem como vértices os pontos médios dos
lados de ABCD, trata-se de demonstrar que MNPQ é um paralelogramo, ou
seja, que MN é paralelo a QP e que MQ é paralelo a NP.

8. 12. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º,
demonstre que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo
com n lados é igual a (n – 2).180º
Todo polígono convexo pode ser dividido em um certo número de triângulos.
Ex. Quadrado:
Se considerarmos somente os triângulos formados a partir de uma única origem o
número de possíveis triângulos diminui. No caso o exemplo (quadrado) cai pelo
metade. A soma dos ângulos dos triângulos formados a partir de uma única
origem é igual a soma dos ângulos internos do polígono convexo que os contem.
Podemos observar os seguintes exemnplos:
Assim, o numero de triângulos formados a partir de um único angulo é sempre
igual ao numero de lados menos dois.
O número total de triângulos multiplicado por 180 (soma dos ângulos internos de
um triangulo qualquer) mostrará o valor da soma dos ângulos internos de um
polígono convexo.