Aula 1 e 2 – Lógica e argumentação na linguagem cotidiana 
Professor Nilson José Machado 
Pode-se entender por linguagem c...
Exercícios das vídeo aulas 1 e 2 – Matemática 
Texto A 
Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na l...
7x = 91 
b) “Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma dá 27” 
x + (x+1) = 27 
c) “Encontrar um número que, e...
TEXTO B 
Uma proposição (sentença verdadeira ou falsa) isolada não 
caracteriza um argumento. Nem uma simples coleção de p...
6. Em cada argumento abaixo, indique qual é a conclusão e quais são 
as premissas: 
a) “É lógico que o time C é o melhor d...
conjuntos e, por inspeção direta, analise se cada um dos 
argumentos é válido ou não: 
7. Todos os alemães são europeus. 
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TEXTO D 
Em Matemática, demonstrar uma proposição é apresentá-la como 
consequência necessária de outras, já conhecidas. C...
12. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, 
demonstre que a soma dos ângulos internos de um políg...
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  1. 1. Aula 1 e 2 – Lógica e argumentação na linguagem cotidiana Professor Nilson José Machado Pode-se entender por linguagem como um sistema complexo de signos, símbolos e seus significados, capazes de expressar o pensamento humano. Desta forma, a linguagem não se restringe unicamente à construção formal e sistemática do pensamento. Ela está presente na escrita, na fala, nos gestos, podendo ser, portanto verbal e não-verbal. Não se deve classificar os modos de linguagem em bons ou ruins, melhores ou piores, pois cada um tem um papel diferente e fundamental na comunicação. Entretanto, em determinados contextos e para determinados fins, alguns modos de linguagem podem ser considerados inapropriados ou simplesmente ineficazes, já que a idéia de linguagem é transmitir pensamentos e idéias. Para entender essa diferença, basta comparar a linguagem cotidiana e a linguagem matemática. A linguagem cotidiana, que é a linguagem humana primeira, é extremamente rica em significados e conteúdos. Porém, em muitas ocasiões pode gerar conflitos de significados, graças ao seu aspecto muitas vezes impreciso. Para resolver problemas específicos, que não podem dar margem a dúvidas, o ser humano recorre frequentemente à linguagem da matemática. A linguagem da matemática é composta somente por sentenças declarativas e só podem ser avaliadas como VERDADEIRAS ou FALSAS, nunca ambas ou nenhuma delas. Ela possui técnicas específicas de análise e resolução de problemas que a torna confiável e indispensável para o entendimento de muitas idéias. A matemática possui uma linguagem própria, rígida. Por isso, para que seu potencial seja explorado é preciso conhecê-la muito bem (suas regras, suas formas). Transformar o problema do cotidiano na linguagem matemática requer esforço e concentração. É necessário que se traduza a sentença interrogativa para a forma declarativa equivalente e, só depois, é possível resolvê-la. A resolução de problemas lógicos, porém, não ocorre somente na matemática. Ela pode se dar na linguagem do cotidiano também, desde que se observe dois aspectos fundamentais: - Qualquer argumento, para ser lógico e, portanto, válido, precisa possuir premissas verdadeiras; - Deve decorrer lógica e necessariamente da análise das premissas. Em resumo, a capacidade humana de se comunicar por meio de várias formas de linguagens o diferencia das outras formas de vida e o torna capaz de solucionar problemas dos mais variados tipos, utilizando o modo de linguagem que for mais apropriado à cada ocasião. Joel Vieira de Lima Júnior. 04/08/2014
  2. 2. Exercícios das vídeo aulas 1 e 2 – Matemática Texto A Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem matemática, recorrendo-se a letras para representar números. Letras representando valores desconhecidos, ou incógnitas, podem transformar perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática. Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem na outra sugeridos a seguir. 1. Usando letras para representar números, represente na linguagem matemática: a) A soma de dois números é 17” x + y = 17 b) “Um número elevado ao quadrado, depois somado com seu triplo, dá igual a 10” x2 + 3x = 10 c) “A soma de três números naturais consecutivos é igual a 20” x + (x+1) + (x + 2) = 20 3x + 3 = 20 ou 3(x + 1) = 20 d) “A soma dos quadrados de três números é menor do que 37” x2 + y2 + z2 < 37 e) “A média aritmética de dois números é maior ou igual a sua média geométrica” x + y / 2 ≤ √xy f) “Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa” x2 + y2 = h2 2. As sentenças a seguir representam perguntas. Reescreva cada uma como uma sentença matemática envolvendo incógnitas: a) “Qual o número que multiplicado por 7 dá 91?”
  3. 3. 7x = 91 b) “Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma dá 27” x + (x+1) = 27 c) “Encontrar um número que, elevado ao cubo e depois somado com 15 resulte em 140” x3 + 15 = 140 d) “Encontrar um número que, somado com seu inverso, dê mais do que 2” x + 1/x > 2 3. Traduza cada sentença como um sistema de equações: a) “Encontrar dois números cuja soma seja 15 e cujo produto seja 14” x + y = 15 xy = 14 3b) “Determinar um número que somado com 3 dá mais do que sete, e que, multiplicado por 4, dá menos que 32” x + 3 > 7 4x < 32 c) Achar um número que, elevado ao cubo, dá mais que 36, e que multiplicado por 7 dá menos do que 42” x3 > 36 7x < 42 4. Reescreva na linguagem corrente cada uma das sentenças matemáticas: a) x – 3 = 21 Qual o número do qual subtraindo-se 3 dá 21? b) 3x = 45 Qual o número cujo triplo é 45? c) x2< 4 Encontre um número que elevado ao quadrado seja menor que 4 d) x2 + 5x – 15 = 0 Que número elevado ao quadrado e somando ao seu triplo e subtraindo-se 15 unidades é igual a zero?
  4. 4. TEXTO B Uma proposição (sentença verdadeira ou falsa) isolada não caracteriza um argumento. Nem uma simples coleção de proposições é um argumento. Argumentar é justificar a verdade de uma proposição (que é a conclusão do argumento) como consequência lógica da verdade outras proposições (que são as premissas do argumento). A estrutura geral de um argumento é “se p é verdade, então q também será”, em que p representa uma ou mais proposições. Um argumento sempre apresenta uma proposição que é a conclusão, e uma ou mais premissas que a justificam. 5. Em cada texto abaixo, indique se se trata ou não de um argumento: a) Acho que vai chover. Não é um argumento. b) Amanhã deverá fazer sol, porque o serviço de meteorologia previu muita chuva, e ele tem errado em suas previsões. Trata-se de um argumento cujas premissas são: - O serviço de metereologia previu muita chuva. - O serviço de metereologia tem errado em suas previsões. Conclusão lógica: “amanhã deverá fazer sol”. c) Joaquim é português e é dono da maior padaria do bairro, que produz 10 000 pães por dia. . Não é um argumento. d) Joaquim não é português, pois ele nasceu no Brasil, e quem nasce no Brasil é brasileiro. É um argumento de premissas: - Joaquim nasceu no Brasil - Quem nasce no Brasil é brasileiro. Logo, Joaquim não é português. e) Penso muito na vida. Não é um argumento. f) Penso, logo, existo. É um argumento de premissas: - Quem pensa existe. – Eu penso. – Logo existo.
  5. 5. 6. Em cada argumento abaixo, indique qual é a conclusão e quais são as premissas: a) “É lógico que o time C é o melhor do atual campeonato, pois ele tem o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número de vitórias.” Premissas sobre o time C: - Tem o melhor ataque - Tem a defesa menos vazada - Tem o maior número de vitórias. Conclusão: O time C é o melhor do atual campeonato. b) “Três séculos de pesquisas mostraram-nos que nenhum megalozoário é carcomênico. Deste fato, podemos concluir que os infimozoários não são carcomênicos, uma vez que todo infimozoário é megalozoário”. Premissas: - Nenhum megalozoário é carcomênio - Todo infimozoário é megalozoário Conclusão: Os infimozoários não são carcomênios. c) “O café não é um produto importado; portanto, não deveria ser caro, uma vez que todos os produtos importados é que são caros. Premissas: - Todos os produtos importados é que são caros. - O café não é um produto importado. Conclusão: O café não deveria ser caro. TEXTO C Uma proposição é ou verdadeira ou falsa; um argumento, no entanto, não é verdadeiro ou falso, mas sim válido ou não válido, ou seja, consistente ou não consistente. Um argumento é válido quando a verdade da conclusão decorre inevitavelmente da verdade das premissas; se for possível ter as premissas simultaneamente verdadeiras e a conclusão falsa, o argumento não é válido. Representando as proposições por meio de conjuntos no plano podemos analisar a validade de argumentos. Por exemplo, a sentença “Todos os pernambucanos são brasileiros” pode ser representada por um conjunto P (de pernambucanos) contido em outro conjunto B (de brasileiros). Analogamente, a frase “Nenhum alemão é francês” poderia ser representada por dois conjuntos A (alemães) e F (franceses) disjuntos. Em cada argumento abaixo, represente as proposições por
  6. 6. conjuntos e, por inspeção direta, analise se cada um dos argumentos é válido ou não: 7. Todos os alemães são europeus. Nietzsche era alemão. Logo, Nietzsche era europeu. 8. Todos os alemães são europeus. O príncipe Charles não é alemão Logo, o príncipe Charles não é europeu 9. Todos os apinagés são índios Não existem índios carecas Logo, não existem apinagés carecas 10. Nenhum mamífero é ave Nenhuma ave tem quatro patas Logo, nenhum mamífero tem quatro patas
  7. 7. TEXTO D Em Matemática, demonstrar uma proposição é apresentá-la como consequência necessária de outras, já conhecidas. Como a estrutura básica de uma demonstração é “se p é verdade, então q também deverá ser”, precisamos conhecer a verdade de algumas proposições iniciais para começar a demonstrar outras proposições a partir delas. Quando se formula uma teoria, as verdades iniciais são os postulados, sempre em número pequeno, e os teoremas são proposições que devem ser demonstradas a partir dos postulados, ou de outros teoremas já demonstrados. Um exercício interessante é demonstrar uma proposição admitindo outras como verdadeiras, ou por já haverem sido demonstradas, ou porque nos parecem evidentes. Naturalmente, quanto mais desenvolvemos o pensamento crítico, mais procuramos demonstrações para proposições que anteriormente considerávamos evidentes... 11. Admita que já foi demonstrado o seguinte teorema: “Em um triângulo, unindo-se os pontos médios de dois lados, obtém-se um segmento de reta que é paralelo ao terceiro lado” Demonstrar que, por mais irregular que seja um quadrilátero, unindo-se os pontos médios dos quatro lados obtém-se um paralelogramo. - Em todo quadrilátero é possível formar duas diagonais, unindo-se os ângulos opostos por uma reta. - - Com essas diagonais, pode-se formar alguns triângulos, dentre os quais, os triângulos ABC, ADB, DBC e ACD. - No triângulo ADB unindo-se os pontos médios de AD e AB, cria-se um segmento de reta paralelo à diagonal DB – segmento “N”. - No triângulo ACD, a união entre os pontos médios de DC e AD formam um segmento de reta paralelo à diagonal AC – segmento “P”. - E, por fim, a união entre os pontos médios DC e BC formam um segmento de reta paralelo à diagonal DB – segmento “Q”. Ora, sendo o segmento “M”, paralelo à diagonal AC e sendo a diagonal AC paralela ao segmento “P”, então “M” é paralelo a “P”. Do mesmo modo, sendo “N” e “Q” paralelos a BD, então “N” é paralelo a “Q”. Em palavras, fazendo referência à figura, onde ABCD é um quadrilátero qualquer e MNPQ é quadrilátero que tem como vértices os pontos médios dos lados de ABCD, trata-se de demonstrar que MNPQ é um paralelogramo, ou seja, que MN é paralelo a QP e que MQ é paralelo a NP.
  8. 8. 12. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, demonstre que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados é igual a (n – 2).180º Todo polígono convexo pode ser dividido em um certo número de triângulos. Ex. Quadrado: Se considerarmos somente os triângulos formados a partir de uma única origem o número de possíveis triângulos diminui. No caso o exemplo (quadrado) cai pelo metade. A soma dos ângulos dos triângulos formados a partir de uma única origem é igual a soma dos ângulos internos do polígono convexo que os contem. Podemos observar os seguintes exemnplos: Assim, o numero de triângulos formados a partir de um único angulo é sempre igual ao numero de lados menos dois. O número total de triângulos multiplicado por 180 (soma dos ângulos internos de um triangulo qualquer) mostrará o valor da soma dos ângulos internos de um polígono convexo.

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