Vetores, Forças e Condições de Equilíbrio da Partícula

1. Mecânica I
ESTÁTICA: REDUÇÃO DE SISTEMAS DE FORCAS;
EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA

2. Redução de Sistema de Forças
Podem ser Concentradas ou Distribuídas.
Distribuídas: Atuam ao longo de um trecho de dimensão considerável. Unidades: N/m, N/cm,
N/mm, etc.
Concentradas: Quando o carregamento ocorre numa região de área desprezível; tratada como um
vetor, é uma idealização, que em vários casos apresentam resultados satisfatórios. Unidade: N.
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3. Redução de Sistema de Forças
Todo sistema de forças (duas ou mais forças) pode ser substituído por uma única força, a Força
Resultante.
Se as forças agirem numa mesma linha de ação (direção), a resultante dessas forças terá a mesma
linha de ação das componentes, com intensidade e sentido igual à soma algébrica das
componentes.
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4. Redução de Sistema de Forças
Quando as forças têm um mesmo ponto de aplicação, ou se encontram num mesmo ponto depois
de prolongadas, a resultante dessas forças pode ser obtida analítica ou graficamente.
Sendo uma força F num plano “xy”, é possível decompô-la em duas outras forças Fx e Fy.
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𝐹 = 𝐹𝑥
2
+ 𝐹𝑦
2
𝑡𝑔 𝛼 =
𝐹𝑦
𝐹𝑥
→ 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝐹𝑦
𝐹𝑥

5. Redução de Sistema de Forças
Exemplo 1: Calcule a resultante das forças F1 = 50 N, F2 = 80 N e F3 = 70 N aplicadas no corpo
abaixo.
Exemplo 2: Calcular as componentes horizontal e vertical da força de 200 N aplicada na viga
conforme a figura abaixo.
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6. Redução de Sistema de Forças
Para mais de uma força num plano “xy”, basta decompô-las em suas respectivas forças Fx e Fy e
soma-las para cada uma das duas direções.
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𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥
2
+ 𝐹𝑅𝑦
2
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹𝑥 = 𝐹1𝑥 − 𝐹2𝑥 + 𝐹3𝑥
𝐹𝑅𝑦 = 𝐹𝑦 = 𝐹1𝑦 + 𝐹2𝑥 − 𝐹3𝑥
𝑡𝑔 𝜃 =
𝐹𝑅𝑦
𝐹𝑅𝑥
→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
𝐹𝑅𝑦
𝐹𝑅𝑥

7. Redução de Sistema de Forças
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Exemplo 3: Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura baixo. Determine a
resultante das forças no parafuso
𝐹𝑅𝑥 = 𝐹𝑥 = 𝐹1 cos 30° − 𝐹2 sen 20° + 𝐹4 cos 15°
𝐹𝑅𝑥 = 150 cos 30° − 80 sen 20° + 100 cos 15° = 199,13 𝑁
𝐹𝑅𝑦 = 𝐹𝑦 = 𝐹1 sen 30° + 𝐹2 cos 20° − 𝐹4 sen 15° − 𝐹3
𝐹𝑅𝑦 = 150 sen 30° + 80 cos 20° − 100 sen 15° − 110 = 14, 29𝑁
𝐹𝑅 = 𝐹𝑅𝑥
2
+ 𝐹𝑅𝑦
2
= 199,13² + 14,29² = 199,64 N
𝑡𝑔 𝜃 =
14,29
199,13
→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔
14,29
199,13
= 4,10°

8. Redução de Sistema de Forças
Caso não sejam perpendiculares, pode-se determinar a resultante através:
•Lei dos Senos
•Lei dos Cossenos
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9. Redução de Sistema de Forças
•Regra do Paralelogramo
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𝑆 = 𝐹1
2
+ 𝐹1
2
− 2. 𝐹1. 𝐹2. cos 𝛽
𝑆 = 𝐹1
2
+ 𝐹1
2
+ 2. 𝐹1. 𝐹2. cos 𝛼
β
𝐷 = 𝐹1
2
+ 𝐹1
2
− 2. 𝐹1. 𝐹2. cos 𝛼
𝑆 = 𝑎 + 𝑏
𝐷 = 𝑎 − 𝑏

10. Redução de Sistema de Forças
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Exemplo 4: Quatro forças atuam no parafuso A, como mostrado na figura baixo. Determine a
resultante das forças no parafuso
𝐹𝑅 = 60² + 40² + 2𝑥40𝑥60𝑥 cos 25° ≅ 97,7 𝑁
Ou ainda:

11. Toda carga distribuída (N/m ou kN/m) pode ser reduzida à uma única força resultante.
•Retangular (uniformemente distribuída):
•Triangular:
Redução de Sistema de Forças
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𝐹𝑅 = 𝑞. 𝑑
𝐹𝑅 =
𝑞. 𝑑
2
𝑥 =
2. 𝑑
3
𝑥 =
𝑑
3
Localização:
, a partir do início do carregamento; ou
, a partir do topo do carregamento.
Localização: 𝑥 =
𝑑
2

12. Redução de Sistema de Forças
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Exemplo 5: Determine a força resultante e sua localização para cada um dos casoss a seguir:
𝐹𝑅 = 30𝑥0,8 = 24 𝑁
𝐹𝑅 =
50𝑥1,2
2
= 30 𝑁 , a partir do início do carregamento; ou
, a partir do topo do carregamento.
𝑥 =
0,8
2
= 0,4 m
𝑥 =
2𝑥1,2
3
= 0,8 m
𝑥 =
1,2
3
= 0,4 m

13. Equilíbrio de uma Partícula
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•Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este ponto está
em equilíbrio, seja estático (repouso) ou dinâmico (velocidade constante).
•1ª Lei de Newton: “Se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto
permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta
com velocidade constante (se originalmente estava em movimento) ”.
𝐹 = 𝐹𝑅 = 0
𝐹𝑥 = 𝐹𝑅𝑥 = 0
𝐹𝑦 = 𝐹𝑅𝑦 = 0
𝐹𝑧 = 𝐹𝑅𝑧 = 0

14. Equilíbrio de uma Partícula
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Exemplo 5: Verifique se a partícula abaixo está em equilíbrio estático.

15. Equilíbrio de uma Partícula
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Exemplo 6: Na figura, o corpo suspenso tem o peso 100 N. Os fios são ideais e têm pesos
desprezíveis, e o sistema está em equilíbrio estático (repouso). Sendo g = 10 m/s²; sen 30° = 0,50;
cos 30° = √3/2 , quanto vale a tração na corda AB, em N?