O documento apresenta um programa detalhado de Álgebra Linear, abrangendo tópicos como matrizes e sistemas lineares, determinantes, espaços lineares, transformações lineares, valores e vetores próprios, produtos internos, ortogonalização e formas quadráticas.

1. Programa detalhado de Álgebra Linear
Matrizes e Sistemas Lineares
- Operações com matrizes e suas propriedades.
- Sistemas de m equações lineares a n incógnitas.
- Método de eliminação de Gauss.
- A inversa de uma matriz invertível.
- Resolução de sistemas de m equações lineares a n incógnitas.
- Característica de uma matriz.
- Operações elementares e matrizes elementares.
- Factorização triangular.
Determinantes
- Determinante de uma matriz: definição, operações e propriedades.
- Fórmula de Laplace.
- Fórmula para inverter matrizes (invertíveis).
- Regra de Cramer.
Espaços Lineares
- Definição e exemplos de espaços lineares.
- Subespaços lineares.
- Conjunto gerador de um subespaço.
- O espaço das colunas de uma matriz.
- O espaço das linhas de uma matriz.
- O núcleo de uma matriz.
- Soma e Intersecção de subespaços.
- Independência linear.
- Bases.
- Dimensão de um espaço linear.
- Coordenadas de um vector em relação a uma base.
- Matriz de mudança de base.
Transformações Lineares
- Definição e exemplos de transformações lineares.
- Núcleo e contradomínio de uma transformação linear e respectivas
dimensões.
- Operações com transformações lineares.
- Inversas de transformações lineares.
- Consequências da injectividade e/ou sobrejectividade de uma transformação
linear.
- Equações lineares.
- Representações matriciais de transformações lineares.
Valores Próprios e Vectores Próprios. Diagonalização.

2. - Polinómios característicos.
- Valores próprios e vectores próprios.
- Consequências da relação de semelhança entre matrizes.
- Matrizes diagonalizáveis. Transformações lineares diagonalizáveis.
- Aplicações a equações diferenciais lineares.
Produtos Internos. Ortogonalização.
- Definição de produto interno. Exemplos.
- Noções de norma, projecção ortogonal e ângulo entre dois vectores.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz.
- Bases ortogonais e bases ortonormadas. Método de ortogonalização de
Gram-Schmidt.
- Complementos ortogonais e projecções ortogonais em subespaços.
- Distância de um ponto a um subespaço.
Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal.
Formas quadráticas.