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AULA COMPUTACIONAL
- Análise de Processos (Cap. 2)
- Estratégias de Cálculo (Cap. 3)
- Avaliação Econômica (Cap. 4)
01 DE SETEMBRO DE 2008
PROJETO
(a) previsão do desempenho do sistema.
(b) avaliação do desempenho do sistema.
(a) escolha de um elemento para cada tarefa.
(b) definição da estrutura do sistema.
PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE
SÍNTESE
ANÁLISE
Dimensionamento
(c) seleção de métodos para a estimativa das propriedades e
dos parâmetros físicos e econômicos.
(b) modelagem matemática
(a) reconhecimento do processo
A ANÁLISE se inicia com as seguintes etapas preparatórias:
Seguem-se as etapas executivas ligadas aos objetivos da análise:
Simulação
OTIMIZAÇÃO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
Parâmetros
Físicos MODELO
MATEMÁTICO
MODELO
ECONÔMICO
Dimensões Calculadas Lucro
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
3
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
2
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
4
OTIMIZAÇÃO
5
  
Resumo da Análise de Processos
Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
Exemplo: Modelo do Resfriador do Processo Ilustrativo
(Capítulo 2)
Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos
f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0
f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0
. . . . . .
fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0
24. Balanço Material da Água:
W11 - W12 = 0
25. Balanço Material do Benzeno:
W10 - W13 = 0
26. Balanço de Energia na Corrente de Água:
Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0
27. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno:
Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0
28. Equação de Dimensionamento:
Qr - Ur Ar r = 0
29. Definição do T Médio Logarítmico (r ):
r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de
uma
Estratégia de Cálculo
Fontes de complexidade:
Em geral, os modelos de processos são muito complexos.
(c) presença de reciclos nos processos
(b) não-linearidades em muitas equações
(a) grande número de equações e de variáveis
Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos,
e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???
MODELO
FÍSICO
MODELO
ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
Parâmetros
Físicos Dimensões Calculadas Lucro
Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos
modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).
FINALIDADE DO CAPÍTULO 3
Familiarização com modelos matemáticos de processos:
- sua estrutura
- os métodos de resolução
- aplicações na análise de processos complexos.
Base dos “softwares” comerciais
3.1.1 Representação
3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares
3.2.1 Estrutura e representação
3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos
3.4.1 Estratégia Global
3.4.2 Estratégia Modular
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
3.5.1 Questionamento do Projeto
3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares
A equação
f (x1
*, ..., xi - 1
*, xi, xi + 1
*,…, xM
*) = 0
pode ser vista como um “processador de informação” assim
representado graficamente:
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES
3.1.1 Representação
f
j
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
x1
x2
x i - 1
x i + 1
xM
x i
Métodos de
Aproximações Sucessivas
Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução
de equações não-lineares.
Métodos de
Redução de Intervalos
Por diferentes raciocínios lógicos,
promovem a redução do intervalo
até que se torne menor do que
uma tolerância pré-estabelecida.
Por diferentes raciocínios
lógicos, testam novos valores
até que a diferença relativa
entre valores sucessivos se
torne menor do que uma
tolerância pré-estabelecida.
Partem de um intervalo inicial.
(limites inferior e superior)
Partem de um valor inicial.
3.1.2 Resolução
Estrutura dos Sistemas de Equações
f1(xo,x1) = 0
f2(x1,x2) = 0
f3(x2,x3) = 0
1 2 3
x x
1
x
2
x
3
0
Estrutura Acíclica
f1(xo,x1,x3) = 0
f2(x1,x2) = 0
f3(x2,x3) = 0
1 2 3
x
0
x
1
x
2
x
3
x
3
Estrutura Cíclica
As equações de um modelo ser interligadas pelas variáveis
comuns (conexões) formando um sistema.
Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas
estruturas.
Estruturas Básicas
Estrutura
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 0 0 0 0 0 0
3 0 0 1 1 0 0 1 0 0
4 0 0 0 1 1 0 0 0 0
5 0 0 0 0 1 1 0 0 0
6 0 0 0 0 0 1 1 0 0
7 0 0 0 0 0 0 1 1 0
8 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Matriz Incidência (Numérica)
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 * *
2 * *
3 * * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
Matriz Incidência (Gráfica)
Matrizes Esparsas !
1. f1(xo*,x1) = 0
2. f2(x1,x2) = 0
3. f3(x2,x3,x6) = 0
4. f4(x3,x4) = 0
5. f5(x4,x5) = 0
6. f6(x5,x6) = 0
7. f7(x6,x7) = 0
8. f8(x7,x8) = 0
Representação Matricial
3.2.2 Resolução
Os sistemas de equações podem ser resolvidos por
- métodos simultâneos
- método seqüencial.
Método Seqüencial
Elementos importantes:
(a) partição
(b) abertura
(c) Algoritmo de Ordenação de Equações
Aproveita-se do conhecimento da estrutura do sistema para
minimizar o esforço computacional.
Equações de Incógnita Única
Variáveis de Freqüência Unitária
Ciclos
1 2
X
o
*
X
1
X
2
7 8
X
6
X
7
X
8
3 4 5
X
3
X
4
X
5
3 4 5 6
X
3
X
4
X
5
Equação
Final
3 4 5
X
3
X
4
X
5
3 4 5 6
X
3
X
4
X
5
EQUAÇÃO VARIÁVEL
1 x1
2 x2
7 x7
6 final
8 x8
EQUAÇÃO VARIÁVEL
1 x1
2 x2
7 x7
3 x3
4 x4
5 x5
6 final
8 x8
X6
Variável de Abertura
x6
META DO MÉTODO SEQÜENCIAL
Produzir uma sequência de cálculo
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações
Enquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.
(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de
Cálculo.
(c) remover a variável.
Enquanto houver variáveis de freqüência unitária
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.
(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de
Cálculo.
(c) remover a equação.
Se ainda houver equações
(a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de
freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).
(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de
Cálculo.
(c ) remover equação.
REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
- Variáveis discretas
- Variáveis de cálculo direto e iterativo
- Variáveis limitadas
- Ciclos múltiplos
- Variáveis de abertura e de projeto
- Eliminação de ciclos.
Métodos Simultâneos
Calcular F1
x1
(k+1) = F1
Calcular F2
x2
(k+1) = F2
TESTE
TESTE
x1 = x1
(k+1)
x1
k
x2
k
x1
(k+1)
x2
(k+1)
x2 = x2
(k+1)
Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.
Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em
disciplinas de Métodos Numéricos.
Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...
Métodos Simultâneos
 Os softwares comerciais estão migrando da técnica Modular Seqüencial
para a técnica simultânea (orientada por equações)
 Vantagens principais da técnica orientada por equações:
• Modelos podem ser inspecionados
• Modelos podem ser refinados ou reutilizados
• Mesmo modelo como fonte para várias tarefas: simulação,
otimização, estimação de parâmetros, reconciliação de dados, etc.
 ambiente integrado
 Algumas desvantagens:
• Falta de auxílio no desenvolvimento de modelos
• Dificuldade na solução de problemas de modelagem
3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos
Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de
integrá-los no processo (livres de interações).
Motivação para estudar os equipamentos isolados:
Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação
que integram o programa de análise do processo.
Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente
cursadas.
CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
Resolver
Problema
Otimizar
Processo
Calcular Lucro
Dimensionar
Extrator
Dimensionar
Evaporador
Dimensionar
Condensador
Dimensionar
Resfriador
Dimensionar
Misturador
Simular
Extrator
Simular
Evaporador
Simular
Condensador
Simular
Resfriador
Simular
Misturador
Simular
Processo
Dimensionar
Processo
i
M
bi
i
Ebi
Ei )
Q
Q
(
I
I 
Q i: dimensão característica do equipamento i, calculada ou
especificada.
Qb i: valor-base da dimensão característica do equipamento i cujo custo
de investimento IEbi é conhecido.
Mi : fator de escala para o equipamento i, válido para uma faixa de
valores de Qi
IEi : custo de investimento do equipamento i para a dimensão Qi.
ISBL = fT fD fL IEi
IEbi, Qbi, Mi: gráficos (Guthrie) e tabelas.
ISBL: custo instalado dos equipamentos diretamente
envolvidos na produção ("Inside Battery Limits")
fT, fD, fL : fatores empíricos.
4.2.2 ESTIMATIVA DO INVESTIMENTO Itotal  2,34 ISBL
W6
T6
W10
T10
W13
T13 W11
T11
W8
T8
W1
x11
T1
f11
f31
W7
T7
W5
T5
W3
x13
T3
f13
f23
W4
x14
T4
f14
f24
W12
T12
W12
T12
W14
T14
W2
x12
T2
f12
f32
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Vd Ae
Ac
Ar
Alimentação
Vapor
Água
Água
Benzeno
Benzeno
Produto
Condensado
W15
T15
W10
T10
W13
T13
W12
T12
RESFRIADOR
10
11
12
13
Ar
Água
W13
T13
W1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2
f12
f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3
x13
T3
f13
f23
W15
T15
W8
T8
W5
T5
W12
T12
CONDENSADOR
5
8
9
Ac
Água
W10
T10
10
Benzeno
W6
T6
W7
T7
W3
x13
T3
f13
f23
W4
x14
T4
f14
f24
EVAPORADOR
4
6
7
Ae
Vapor
W5
T5
5
Benzeno
Produto
Condensado
3
Extrato
Fragmentando o Processo ...
01. Balanço Material do Ácido Benzóico:
f11 - f12 - f13 = 0
02. Balanço Material do Benzeno:
W15 - f23 = 0
03. Balanço Material da Água:
f31 - f32 = 0
04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido:
f13 - k (f23/f32) f12 = 0
05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido:
k – (3 + 0,04 Td) = 0
06. Balanço de Energia:
(f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0
07. Equação de Dimensionamento:
Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0
08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico:
r - f13/f11 = 0
09. Fases em Equilíbrio
T2 – Td = 0
10. Fases em Equilíbrio
T3 – Td = 0
EXTRATOR
W1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2
f12
f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3
x13
T3
f13
f23
W1
5
T15
34. Vazão Total na Corrente 1:
f11 + f31 - W1 = 0
35. Fração Mássica na Corrente 1:
x11 - f11 /W1 = 0
36. Vazão Total na Corrente 2:
f12 + f22 – W2 = 0
37. Fração Mássica na Corrente 2:
x12 - f12/W2 = 0
38. Vazão Total na Corrente 3:
f13 + f23 – W3 = 0
39. Fração Mássica na Corrente 3:
x13 - f13 /W3 = 0
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno
necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h
de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar
as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é
25 oC.
W*
1= 100.000 kg/h
x*
11 = 0,002
T*
1 = 25 oC
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2
f12
f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
W3
x13
T3
f13
f23
T*
15 = 25 oC
*= 0,0833 h
r* = 0,60
Vd
W2 = 99.880 kg/h
x12 = 0,0008
T2 = 25 oC
f12 = 80 kg/h
f32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.545 kg/h
x13 = 0,002
T3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h
f23 = 37.425 kg/h
f11 = 200 kg/h
f31 = 99.800 kg/h
W15 = 37.425 kg/h
W15
Vd = 11.860l
Balanço de Informação
V = 22
N = 16
C = 4
G = 2 !
Metas de Projeto
Máximo = 2
V = 22
N = 16
C = 4
M = 2
G = 0
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de
extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência,
caso o extrator de Vd = 11.860 l fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não
com os 37.425 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as
mesmas de projeto).
W*
1= 100.000 kg/h
x*
11 = 0,002
T*
1 = 25 oC
f11 = 200 kg/h
f31 = 99.800 kg/h
1
15
Alimentação
Extrato
3
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
V*
d = 11.860 l
W*
15 = 50.000 kg/h
T*
15 =25 oC
W*
1= 100.000 kg/h
x*
11 = 0,002
T*
1 = 25 oC
f11 = 200 kg/h
f31 = 99.800 kg/h
1
15
Alimentação
Extrato
3
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
T*
15 = 25 oC
*= 0,0833 h
r* = 0,60
W2 = 99.880 kg/h
x12 = 0,0008
T2 = 25 oC
f12 = 80 kg/h
f32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.544 kg/h
x13 = 0,002
T3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h
f23 = 37.424 kg/h
W15 = 37.425 kg/h
W15
Vd = 11.860 l
r = 0,67
 = 0,076 h
W2 = 99.867 kg/h
x12 = 0,0007
T2 = 25 oC
f12 = 67 kg/h
f32 = 99.800 kg/h
W3 = 50.133 kg/h
x13 = 0,00266
T3 = 25 oC
f13 = 133 kg/h
f23 = 50.000 kg/h
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
G = 0 !
Resolver
Problema
Otimizar
Processo
Calcular Lucro
Dimensionar
Extrator
Dimensionar
Evaporador
Dimensionar
Condensador
Dimensionar
Resfriador
Dimensionar
Misturador
Simular
Extrator
Simular
Evaporador
Simular
Condensador
Simular
Resfriador
Simular
Misturador
Simular
Processo
Dimensionar
Processo
Exercício:
Dimensionar e Simular o EVAPORADOR
11. Balanço Material do Ácido Benzóico:
f13 - f14 = 0
12. Balanço Material do Benzeno:
f23 - f24 - W5 = 0
13. Balanço Material do Vapor:
W6 - W7 = 0
14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor:
W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0
15. Balanço de Energia na Corrente de Processo:
Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0
16. Equação de Dimensionamento:
Qe - Ue Ae e = 0
17. Definição da Diferença de Temperatura (e):
e - (T6 - Te) = 0
18. Fases em Equilíbrio
T4 – Te = 0
19. Fases em Equilíbrio
T5 – Te = 0
EVAPORADOR
W6
T6
W7
T7
W3
x13
T3
f13
f23
W4
x14
T4
f14
f24
4
6
7
Ae
Vapor
W5
T5
5
Benzeno
Produto
Condensado
3
Extrato
38. Vazão Total na Corrente 3:
f13 + f33 – W3 = 0
39. Fração Mássica na Corrente 3:
x13 - f13 /W3 = 0
40. Vazão Total na Corrente 4:
f14 + f24 - W4 = 0
41. Fração Mássica na Corrente 4:
x14 - f14/W4 = 0
DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca
térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de
uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em
benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O
evaporador opera a 1 atm e 80 oC.
W6
T*
6 = 150
oC
W7
T*
7 = 150 oC
W*
3 = 37.545 kg/h
x*
13 = 0,0032
T*
3 = 25 oC
f13
f23
W4
x*
14 = 0,10
T4
f14
f24
4
6
7
Ae
Vapor
W5
T5
5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Td
* = 80 oC
W6 = 8.615 kg/h
T*
6 = 150 oC
W7 = 8.615 kg/h
T*
7 = 150 oC
W*
3 = 37.545 kg/h
x*
13 = 0,0032
T*
3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h
f23 = 37.425 kg/h
W4 = 1.201 kg/h
x*
14 = 0,10
T4 = 80 oC
f14 = 120 kg/h
f24 = 1.081 kg/h
4
6
7
Ae=124m2
Vapor
W5 = 36.344 kg/h
T5 = 80 oC
5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te
* = 80 oC
SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a
concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de
projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. O
evaporador é dotado de um sistema de controle que manipula a vazão de vapor de
modo a garantir que esse vapor saia como líquido saturado a 150 oC.
W6 = 8.615 kg/h
T*
6 = 150 oC
W7 = 8.615 kg/h
T*
7 = 150 oC
W*
3 = 37.545 kg/h
x*
13 = 0,0032
T*
3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h
f23 = 37.425 kg/h
W4 = 1.201kg/h
x*
14 = 0,10
T4 = 80 oC
f14 = 120 kg/h
f24 = 1.081kg/h
4
6
7
Ae=124m2
Vapor
W5 = 36.344 kg/h
T5 = 80 oC
5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Td
* = 80 oC
W6 = 8.615 kg/h
T*
6 = 150 oC
W7 = 8.615 kg/h
T*
7 = 150 oC
W*
3 = 50.000 kg/h
x*
13 = 0,0032
T*
3 = 25 oC
f13 = 160 kg/h
f23 = 49.840 kg/h
W4 = 16.931 kg/h
x14 = 0,0095
T4 = 80 oC
f14 = 160 kg/h
f24 = 16.771 kg/h
4
6
7
Ae=124m2
Vapor
W5 = 33.069 kg/h
T5 = 80 oC
5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te
* = 80 oC
resultado do
dimensionamento
Resolver
Problema
Otimizar
Processo
Calcular Lucro
Dimensionar
Extrator
Dimensionar
Evaporador
Dimensionar
Condensador
Dimensionar
Resfriador
Dimensionar
Misturador
Simular
Extrator
Simular
Evaporador
Simular
Condensador
Simular
Resfriador
Simular
Misturador
Simular
Processo
Dimensionar
Processo
3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
Todas as equações são consideradas simultaneamente,
independentemente dos equipamentos e que pertencem.
É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
Pode-se usar o método seqüencial ou o método simultâneo para
a solução do sistema de equações.
3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL
Existem duas estratégias básicas:
- Estratégia Global
- Estratégia Modular
f11 f12 f13 E V
1 * O * W15f23 5 k
2 O * f31 f32 9 T2
3 * O k 10 T3
4 * * O * * Td 17 De
5 O X T1 T15 18 T4
6 * * X X O Vd  19 T5
7 * * * O X r 25 dc
8 * O X T2 35 f11
9 X O T3 8 f13
10 X O f14 1 f12
11 * O f24 W5 11 f14
12 * * O W6 W7 34 f31
13 * O T6 T7 Qe 3 f32
14 O X X * Te 4 f23
15 * * * * O X Ae e 2 W15
16 * O * 6 T15
17 X X O T4 7 Vd
18 X O T5 36 W2
19 X O W8 W9 37 x12
20 * O W10 38 W3
21 * O Qc T9 T8 39 x13
22 O * X X T10 41 W4
23 * * O X Ac c 40 f24
24 * O * 12 W5
25 * X X X O W11
W12 15 Qe
26 * O W13 14 W6
27 * O Qr T11T12 13 W7
28 O * X X T13 16 Ae
29 * X O * Ar r 21 W10
30 * O * 23 Qc
31 X X X * O W14T14 22 W8
32 * * O 20 W9
33 * * O * X W1 24 Ac
34 * O X x11 27 W13
35 O X X W2 32 W14
36 * * O x12 33 T14
37 * * O W3 31 dr
38 * * O x13 29 Qr
39 * * O W4 28 W11
40 * O * x14 26 W12
41 * O X 30 Ar
Extrator
Evaporador
Correntes M ulticomponentes
Condensador
Resfriador
M isturador
Dimensionamento do Processo
pelo Método Simultâneo
(orientado por equações)
Dimensionamento
W6 =8.615 kg/h
T*
6 = 150 oC
W10 =36.345 kg/h
T10 = 80 oC
W13 = 36.345 kg/h
T13 = 25 oC
W11 = 59.969 kg/h
T*
11 = 15 oC
W8 = 228.101 kg/h
T*
8 = 15 oC
W*
1 = 100.000 kg/h
x*
1,1 = 0,002
T*
1 = 25 oC
f1,1 = 200 kg/h
f3,1 = 99.800 kg/h
W7 = 8.615 kg/h
T7 = 150 oC
W5 = 36.345 kg/h
T*
5 = 80 oC
W3 = 37.545 kg/h
x1,3 = 0,002
T3 = 25 oC
f1,3 = 120 kg/h
f2,3 = 37.425 kg/h
W4 = 1.200 kg/h
x*
1,4 = 0,1
T4 = 80 oC
f1,4 = 120 kg/h
f2,4 = 1.080 kg/h
W12 = 59.969 kg/h
T*
12 = 30 oC
W9 = 228.101 kg/h
T*
9 = 30 oC
W14 = 1.080 kg/h
T*
14 = 25 oC
W2 = 99.880 kg/h
x1,2 = 0,0008
T2 = 25 oC
f1,2 = 80 kg/h
f3,2 = 99.800 kg/h
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Vd = 11.860 l
*= 0,0833 h
r* = 0,60
Ae =
124 m2
Ac = 119
m2
Ar = 361 m2
W15 = 37.425 kg/h
T13 = 25 oC
Produto
Resolver
Problema
Otimizar
Processo
Calcular Lucro
Dimensionar
Extrator
Dimensionar
Evaporador
Dimensionar
Condensador
Dimensionar
Resfriador
Dimensionar
Misturador
Simular
Extrator
Simular
Evaporador
Simular
Condensador
Simular
Resfriador
Simular
Misturador
Simular
Processo
Dimensionar
Processo
3.4.2 Estratégia Modular
Para cada problema, os módulos são seqüenciados
convenientemente segundo o fluxograma material do
processo.
Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se
necessária a abertura de um certo número de correntes e a
inserção de um módulo promotor de convergência para cada
uma.
Esta estratégia é mais indicada para simulação do que
para o dimensionamento.
Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.
Cada módulo contem as equações já ordenadas para
dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).
Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
EXTRATOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
CONDENSADOR
EVAPORADOR
SS
18. W10
20. Qc
19. c
22'. T9
21. W8
17. W9
24. W13
23. W12
25'. Qr
28. T13
27. T12
26. r
29. W15
30. T15
02. f23
32. f11
31. f31
03. f32
05. T2
07. 
06. T3
01' f12
04. f13
08. r
W1
T1
x11
f11
f31
W15
T15
W45
T14
W13
T13
W10
T10
f13
f23
T3
W4
T4
x14
f14
f24
09. f14
13. T4
16. e
15. Qe
12. W6
14. W5
10. f24
11. W7
33. W4
34. x14
T5
T2
f12
f32
W5a
W5c
Repetição até
convergir :
|W5c – W5a| / W5a  
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 8
1* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
Procedimento:
(a) identificação dos ciclos.
(b) seleção das correntes de abertura
(c) construção do algoritmo de simulação
Simulação do Processo pelo
Método Simultâneo
W6 =8.594 kg/h
T*
6 = 150 oC
W10 =36.284 kg/h
T10 = 80 oC
W13 = 36.284 kg/h
T13 = 25 oC
W*
11 = 59.969 kg/h
T*
11 = 15 oC
W8 = 232.603 kg/h
T*
8 = 15 oC
W*
1 = 150.000 kg/h
x*
1,1 = 0,002
T*
1 = 25 oC
f1,1 = 300 kg/h
f3,1 = 149.700 kg/h
W7 = 8.594 kg/h
T7 = 150 oC
W5 = 36.284 kg/h
T*
5 = 80 oC
W3 = 37.477 kg/h
x1,3 = 0,004
T3 = 25 oC
f1,3 = 149 kg/h
f2,3 = 37.328 kg/h
W4 = 1.130 kg/h
x1,4 = 0,12
T4 = 80 oC
f1,4 = 150 kg/h
f2,4 = 1.080 kg/h
W12 = 59.969 kg/h
T12 = 29 oC
W9 = 232.603 kg/h
T9 = 29 oC
W*
14 = 1.080 kg/h
T*
14 = 25 oC
W2 = 149.850 kg/h
x1,2 = 0,001
T2 = 25 oC
f1,2 = 150 kg/h
f3,2 = 149.700 kg/h
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
V*
d = 11.859 l
 = 0,0617 h
r = 0,50
A*
e =
124 m2
A*
c = 119 m2
A*
r = 361 m2
Simulação
W1 = 150.000 kg/h
W15 = 37.328 kg/h
T13 = 25 oC
Produto
Resolver
Problema
Otimizar
Processo
Calcular Lucro
Dimensionar
Extrator
Dimensionar
Evaporador
Dimensionar
Condensador
Dimensionar
Resfriador
Dimensionar
Misturador
Simular
Extrator
Simular
Evaporador
Simular
Condensador
Simular
Resfriador
Simular
Misturador
Simular
Processo
Dimensionar
Processo
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
Fontes de incerteza:
(a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes
constantes...
A análise de processos é executada em ambiente de muita incerteza.
A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da
Análise de Sensibilidade
(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos
(aproximados e variáveis).
(b) questionamento do desempenho futuro.
Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as
metas de projeto ?
(a) questionamento do próprio dimensionamento.
Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o
resultado do dimensionamento ?
A Análise de Sensibilidade consiste de dois questionamentos
óbvios efetuados ao final do dimensionamento, realizado em
ambiente de incerteza.
Fazem parte da Análise:
- as variáveis características do dimensionamento: dimensões.
- as variáveis características do desempenho do processo:
variáveis de saída (metas de projeto).
- os parâmetros cujos valores são considerados incertos
(variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos
parâmetros  Controle !!!).
F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos
parâmetros . Exemplo: W3, A.
S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i.
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis
especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U,
W1, T1, T3.
Fundamento da Análise de Sensibilidade
i *
F
i
*
i
i
i
i
)
(
F
)
;
F
(
S







Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i*
Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais
)
(
F
)
(
F
)
/
(
)]
(
F
/
)
(
F
[
)
/
;
F
/
F
(
S *
i
*
i
*
i
i
i
1
*
i
i
*
i
i
*
i
i
*

















Vantagens:
(a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos
parâmetros.
(b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar
a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em
que grau.
Nova definição de Sensibilidade:
Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i
*
1
F/F*
i / i *
)
(
F
)
(
F
)
/
(
)]
(
F
/
)
(
F
[
)
/
;
F
/
F
(
S *
i
*
i
*
i
i
i
1
*
i
i
*
i
i
*
i
i
*

















F
i
i *
F*

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a
derivada
Em processos complexos é impossível obter a derivada  aproximação
linear
)
(
F
)
(
F
)
/
(
)]
(
F
/
)
(
F
[
)
/
;
F
/
F
(
S *
i
*
i
*
i
i
i
1
*
i
i
*
i
i
*
i
i
*

















i
*
i
*
i
*
i
i
*
i
*
i
*
i
i
*
i
i
*
i
*
i
i
*
)
(
F
)
(
F
)
(
F
)
(
F
)
(
F
)
(
F
)
/
;
F
/
F
(
S
























01
,
0
/ *
i
i 



)
*
i
*
i
*
i
*
i
i
*
F(
)
F(ξ
)
ξ
F(1,01
100
)
/
ξ
;
S(F/F




S(F/F*;i/ i
*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza
de 1% em i
|S| > 1 : incerteza ampliada
|S| < 1 : incerteza amortecida
)
*
i
*
i
*
i
*
i
i
*
F(
)
F(ξ
)
ξ
F(1,01
100
)
/
ξ
;
S(F/F





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otimização de processos - analise computacional

  • 1. AULA COMPUTACIONAL - Análise de Processos (Cap. 2) - Estratégias de Cálculo (Cap. 3) - Avaliação Econômica (Cap. 4) 01 DE SETEMBRO DE 2008
  • 2. PROJETO (a) previsão do desempenho do sistema. (b) avaliação do desempenho do sistema. (a) escolha de um elemento para cada tarefa. (b) definição da estrutura do sistema. PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE SÍNTESE ANÁLISE
  • 3. Dimensionamento (c) seleção de métodos para a estimativa das propriedades e dos parâmetros físicos e econômicos. (b) modelagem matemática (a) reconhecimento do processo A ANÁLISE se inicia com as seguintes etapas preparatórias: Seguem-se as etapas executivas ligadas aos objetivos da análise: Simulação
  • 4. OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos MODELO MATEMÁTICO MODELO ECONÔMICO Dimensões Calculadas Lucro ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 OTIMIZAÇÃO 5    Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
  • 5. Exemplo: Modelo do Resfriador do Processo Ilustrativo (Capítulo 2) Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . . fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0 24. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0 25. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 26. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 27. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 28. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 0 29. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
  • 6. A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Fontes de complexidade: Em geral, os modelos de processos são muito complexos. (c) presença de reciclos nos processos (b) não-linearidades em muitas equações (a) grande número de equações e de variáveis Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???
  • 7. MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro Objetivo de uma Estratégia de Cálculo minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).
  • 8. FINALIDADE DO CAPÍTULO 3 Familiarização com modelos matemáticos de processos: - sua estrutura - os métodos de resolução - aplicações na análise de processos complexos. Base dos “softwares” comerciais
  • 9. 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não-Lineares
  • 10. A equação f (x1 *, ..., xi - 1 *, xi, xi + 1 *,…, xM *) = 0 pode ser vista como um “processador de informação” assim representado graficamente: 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação f j . . . . . . . . . . . . . . . . . . x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i
  • 11. Métodos de Aproximações Sucessivas Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial. 3.1.2 Resolução
  • 12. Estrutura dos Sistemas de Equações f1(xo,x1) = 0 f2(x1,x2) = 0 f3(x2,x3) = 0 1 2 3 x x 1 x 2 x 3 0 Estrutura Acíclica f1(xo,x1,x3) = 0 f2(x1,x2) = 0 f3(x2,x3) = 0 1 2 3 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica As equações de um modelo ser interligadas pelas variáveis comuns (conexões) formando um sistema. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. Estruturas Básicas
  • 13. Estrutura X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 1 1 0 0 1 0 0 4 0 0 0 1 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 1 0 0 0 6 0 0 0 0 0 1 1 0 0 7 0 0 0 0 0 0 1 1 0 8 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Matriz Incidência (Numérica) X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 * * 2 * * 3 * * * 4 * * 5 * * 6 * * 7 * * 8 * * Matriz Incidência (Gráfica) Matrizes Esparsas ! 1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Representação Matricial
  • 14. 3.2.2 Resolução Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.
  • 15. Método Seqüencial Elementos importantes: (a) partição (b) abertura (c) Algoritmo de Ordenação de Equações Aproveita-se do conhecimento da estrutura do sistema para minimizar o esforço computacional. Equações de Incógnita Única Variáveis de Freqüência Unitária Ciclos
  • 16. 1 2 X o * X 1 X 2 7 8 X 6 X 7 X 8 3 4 5 X 3 X 4 X 5 3 4 5 6 X 3 X 4 X 5 Equação Final 3 4 5 X 3 X 4 X 5 3 4 5 6 X 3 X 4 X 5 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x1 2 x2 7 x7 6 final 8 x8 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x1 2 x2 7 x7 3 x3 4 x4 5 x5 6 final 8 x8 X6 Variável de Abertura x6 META DO MÉTODO SEQÜENCIAL Produzir uma sequência de cálculo
  • 17. Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação.
  • 18. REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.
  • 19. Métodos Simultâneos Calcular F1 x1 (k+1) = F1 Calcular F2 x2 (k+1) = F2 TESTE TESTE x1 = x1 (k+1) x1 k x2 k x1 (k+1) x2 (k+1) x2 = x2 (k+1) Todas as variáveis são alteradas simultaneamente. Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...
  • 20. Métodos Simultâneos  Os softwares comerciais estão migrando da técnica Modular Seqüencial para a técnica simultânea (orientada por equações)  Vantagens principais da técnica orientada por equações: • Modelos podem ser inspecionados • Modelos podem ser refinados ou reutilizados • Mesmo modelo como fonte para várias tarefas: simulação, otimização, estimação de parâmetros, reconciliação de dados, etc.  ambiente integrado  Algumas desvantagens: • Falta de auxílio no desenvolvimento de modelos • Dificuldade na solução de problemas de modelagem
  • 21. 3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Motivação para estudar os equipamentos isolados: Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas. CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS
  • 23. i M bi i Ebi Ei ) Q Q ( I I  Q i: dimensão característica do equipamento i, calculada ou especificada. Qb i: valor-base da dimensão característica do equipamento i cujo custo de investimento IEbi é conhecido. Mi : fator de escala para o equipamento i, válido para uma faixa de valores de Qi IEi : custo de investimento do equipamento i para a dimensão Qi. ISBL = fT fD fL IEi IEbi, Qbi, Mi: gráficos (Guthrie) e tabelas. ISBL: custo instalado dos equipamentos diretamente envolvidos na produção ("Inside Battery Limits") fT, fD, fL : fatores empíricos. 4.2.2 ESTIMATIVA DO INVESTIMENTO Itotal  2,34 ISBL
  • 26. 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 0 02. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 0 03. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 0 04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: f13 - k (f23/f32) f12 = 0 05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = 0 06. Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 0 07. Equação de Dimensionamento: Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 0 08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13/f11 = 0 09. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 0 10. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0 EXTRATOR W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W1 5 T15 34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 0 35. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 /W1 = 0 36. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f22 – W2 = 0 37. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12/W2 = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0
  • 27. Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC. W* 1= 100.000 kg/h x* 11 = 0,002 T* 1 = 25 oC f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W3 x13 T3 f13 f23 T* 15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W2 = 99.880 kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = 99.800 kg/h W3 = 37.545 kg/h x13 = 0,002 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h W15 = 37.425 kg/h W15 Vd = 11.860l Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! Metas de Projeto Máximo = 2 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0 DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
  • 28. Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.860 l fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.425 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W* 1= 100.000 kg/h x* 11 = 0,002 T* 1 = 25 oC f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V* d = 11.860 l W* 15 = 50.000 kg/h T* 15 =25 oC W* 1= 100.000 kg/h x* 11 = 0,002 T* 1 = 25 oC f11 = 200 kg/h f31 = 99.800 kg/h 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T* 15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 W2 = 99.880 kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = 99.800 kg/h W3 = 37.544 kg/h x13 = 0,002 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.424 kg/h W15 = 37.425 kg/h W15 Vd = 11.860 l r = 0,67  = 0,076 h W2 = 99.867 kg/h x12 = 0,0007 T2 = 25 oC f12 = 67 kg/h f32 = 99.800 kg/h W3 = 50.133 kg/h x13 = 0,00266 T3 = 25 oC f13 = 133 kg/h f23 = 50.000 kg/h SIMULAÇÃO DO EXTRATOR G = 0 !
  • 31. 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 0 12. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 0 13. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 0 14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 0 17. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 0 18. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 0 19. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0 EVAPORADOR W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f33 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0 40. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 0 41. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0
  • 32. DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm e 80 oC. W6 T* 6 = 150 oC W7 T* 7 = 150 oC W* 3 = 37.545 kg/h x* 13 = 0,0032 T* 3 = 25 oC f13 f23 W4 x* 14 = 0,10 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Td * = 80 oC W6 = 8.615 kg/h T* 6 = 150 oC W7 = 8.615 kg/h T* 7 = 150 oC W* 3 = 37.545 kg/h x* 13 = 0,0032 T* 3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h W4 = 1.201 kg/h x* 14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081 kg/h 4 6 7 Ae=124m2 Vapor W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te * = 80 oC
  • 33. SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. O evaporador é dotado de um sistema de controle que manipula a vazão de vapor de modo a garantir que esse vapor saia como líquido saturado a 150 oC. W6 = 8.615 kg/h T* 6 = 150 oC W7 = 8.615 kg/h T* 7 = 150 oC W* 3 = 37.545 kg/h x* 13 = 0,0032 T* 3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h W4 = 1.201kg/h x* 14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h 4 6 7 Ae=124m2 Vapor W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Td * = 80 oC W6 = 8.615 kg/h T* 6 = 150 oC W7 = 8.615 kg/h T* 7 = 150 oC W* 3 = 50.000 kg/h x* 13 = 0,0032 T* 3 = 25 oC f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h W4 = 16.931 kg/h x14 = 0,0095 T4 = 80 oC f14 = 160 kg/h f24 = 16.771 kg/h 4 6 7 Ae=124m2 Vapor W5 = 33.069 kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te * = 80 oC resultado do dimensionamento
  • 35. 3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos e que pertencem. É a estratégia mais indicada para dimensionamento. Pode-se usar o método seqüencial ou o método simultâneo para a solução do sistema de equações. 3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular
  • 36. f11 f12 f13 E V 1 * O * W15f23 5 k 2 O * f31 f32 9 T2 3 * O k 10 T3 4 * * O * * Td 17 De 5 O X T1 T15 18 T4 6 * * X X O Vd  19 T5 7 * * * O X r 25 dc 8 * O X T2 35 f11 9 X O T3 8 f13 10 X O f14 1 f12 11 * O f24 W5 11 f14 12 * * O W6 W7 34 f31 13 * O T6 T7 Qe 3 f32 14 O X X * Te 4 f23 15 * * * * O X Ae e 2 W15 16 * O * 6 T15 17 X X O T4 7 Vd 18 X O T5 36 W2 19 X O W8 W9 37 x12 20 * O W10 38 W3 21 * O Qc T9 T8 39 x13 22 O * X X T10 41 W4 23 * * O X Ac c 40 f24 24 * O * 12 W5 25 * X X X O W11 W12 15 Qe 26 * O W13 14 W6 27 * O Qr T11T12 13 W7 28 O * X X T13 16 Ae 29 * X O * Ar r 21 W10 30 * O * 23 Qc 31 X X X * O W14T14 22 W8 32 * * O 20 W9 33 * * O * X W1 24 Ac 34 * O X x11 27 W13 35 O X X W2 32 W14 36 * * O x12 33 T14 37 * * O W3 31 dr 38 * * O x13 29 Qr 39 * * O W4 28 W11 40 * O * x14 26 W12 41 * O X 30 Ar Extrator Evaporador Correntes M ulticomponentes Condensador Resfriador M isturador
  • 37. Dimensionamento do Processo pelo Método Simultâneo (orientado por equações)
  • 38. Dimensionamento W6 =8.615 kg/h T* 6 = 150 oC W10 =36.345 kg/h T10 = 80 oC W13 = 36.345 kg/h T13 = 25 oC W11 = 59.969 kg/h T* 11 = 15 oC W8 = 228.101 kg/h T* 8 = 15 oC W* 1 = 100.000 kg/h x* 1,1 = 0,002 T* 1 = 25 oC f1,1 = 200 kg/h f3,1 = 99.800 kg/h W7 = 8.615 kg/h T7 = 150 oC W5 = 36.345 kg/h T* 5 = 80 oC W3 = 37.545 kg/h x1,3 = 0,002 T3 = 25 oC f1,3 = 120 kg/h f2,3 = 37.425 kg/h W4 = 1.200 kg/h x* 1,4 = 0,1 T4 = 80 oC f1,4 = 120 kg/h f2,4 = 1.080 kg/h W12 = 59.969 kg/h T* 12 = 30 oC W9 = 228.101 kg/h T* 9 = 30 oC W14 = 1.080 kg/h T* 14 = 25 oC W2 = 99.880 kg/h x1,2 = 0,0008 T2 = 25 oC f1,2 = 80 kg/h f3,2 = 99.800 kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd = 11.860 l *= 0,0833 h r* = 0,60 Ae = 124 m2 Ac = 119 m2 Ar = 361 m2 W15 = 37.425 kg/h T13 = 25 oC Produto
  • 40. 3.4.2 Estratégia Modular Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. Esta estratégia é mais indicada para simulação do que para o dimensionamento. Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).
  • 41. Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular EXTRATOR RESFRIADOR MISTURADOR CONDENSADOR EVAPORADOR SS 18. W10 20. Qc 19. c 22'. T9 21. W8 17. W9 24. W13 23. W12 25'. Qr 28. T13 27. T12 26. r 29. W15 30. T15 02. f23 32. f11 31. f31 03. f32 05. T2 07.  06. T3 01' f12 04. f13 08. r W1 T1 x11 f11 f31 W15 T15 W45 T14 W13 T13 W10 T10 f13 f23 T3 W4 T4 x14 f14 f24 09. f14 13. T4 16. e 15. Qe 12. W6 14. W5 10. f24 11. W7 33. W4 34. x14 T5 T2 f12 f32 W5a W5c Repetição até convergir : |W5c – W5a| / W5a  
  • 42. Simulação de Processos com Estrutura Complexa 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c) construção do algoritmo de simulação
  • 43. Simulação do Processo pelo Método Simultâneo
  • 44. W6 =8.594 kg/h T* 6 = 150 oC W10 =36.284 kg/h T10 = 80 oC W13 = 36.284 kg/h T13 = 25 oC W* 11 = 59.969 kg/h T* 11 = 15 oC W8 = 232.603 kg/h T* 8 = 15 oC W* 1 = 150.000 kg/h x* 1,1 = 0,002 T* 1 = 25 oC f1,1 = 300 kg/h f3,1 = 149.700 kg/h W7 = 8.594 kg/h T7 = 150 oC W5 = 36.284 kg/h T* 5 = 80 oC W3 = 37.477 kg/h x1,3 = 0,004 T3 = 25 oC f1,3 = 149 kg/h f2,3 = 37.328 kg/h W4 = 1.130 kg/h x1,4 = 0,12 T4 = 80 oC f1,4 = 150 kg/h f2,4 = 1.080 kg/h W12 = 59.969 kg/h T12 = 29 oC W9 = 232.603 kg/h T9 = 29 oC W* 14 = 1.080 kg/h T* 14 = 25 oC W2 = 149.850 kg/h x1,2 = 0,001 T2 = 25 oC f1,2 = 150 kg/h f3,2 = 149.700 kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 V* d = 11.859 l  = 0,0617 h r = 0,50 A* e = 124 m2 A* c = 119 m2 A* r = 361 m2 Simulação W1 = 150.000 kg/h W15 = 37.328 kg/h T13 = 25 oC Produto
  • 46. 3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE Fontes de incerteza: (a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... A análise de processos é executada em ambiente de muita incerteza. A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da Análise de Sensibilidade (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).
  • 47. (b) questionamento do desempenho futuro. Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto ? (a) questionamento do próprio dimensionamento. Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? A Análise de Sensibilidade consiste de dois questionamentos óbvios efetuados ao final do dimensionamento, realizado em ambiente de incerteza.
  • 48. Fazem parte da Análise: - as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros  Controle !!!).
  • 49. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A. S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i. : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3. Fundamento da Análise de Sensibilidade i * F i * i i i i ) ( F ) ; F ( S       
  • 50. Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i* Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais ) ( F ) ( F ) / ( )] ( F / ) ( F [ ) / ; F / F ( S * i * i * i i i 1 * i i * i i * i i *                  Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade:
  • 51. Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i * 1 F/F* i / i * ) ( F ) ( F ) / ( )] ( F / ) ( F [ ) / ; F / F ( S * i * i * i i i 1 * i i * i i * i i *                  F i i * F* 
  • 52. Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada Em processos complexos é impossível obter a derivada  aproximação linear ) ( F ) ( F ) / ( )] ( F / ) ( F [ ) / ; F / F ( S * i * i * i i i 1 * i i * i i * i i *                  i * i * i * i i * i * i * i i * i i * i * i i * ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) / ; F / F ( S                         01 , 0 / * i i     ) * i * i * i * i i * F( ) F(ξ ) ξ F(1,01 100 ) / ξ ; S(F/F    
  • 53. S(F/F*;i/ i *) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida ) * i * i * i * i i * F( ) F(ξ ) ξ F(1,01 100 ) / ξ ; S(F/F    