1) O documento descreve uma atividade realizada com alunos do 9o ano para ensinar sobre pontos infinitos em um intervalo usando a metodologia de resolução de problemas. 2) Foi proposta aos alunos a questão "Quantos pontos existem entre A e B?" e depois de discutirem, eles concluíram que existem muitos pontos, mas não infinitos. 3) O professor então propôs o problema do "Menino que queria atravessar a rua" baseado nos paradoxos de Zenon, mostrando que por mais que ele ande

1. UMA PROPOSTA PARA A VERICAÇÃO DE PONTOS EM UM
INTERVALO
Willian Aparecido Mazoni
naylliw8@hotmail.com
Orientadora: Prof (a). Dr (a). Rita de Cassia Pavani Lamas
rcplamas@gmail.com
Resumo: A maioria dos alunos não entende a questão de infinitos pontos em um
intervalo AB. Em geral, eles apenas aceitam essa afirmação colocada pelo professor. Neste
relato é apresentado como essa questão foi trabalhada com os alunos do 9°ano da Escola
Municipal Paul Percy Harris, em São José do Rio Preto-SP, via a Metodologia de Resolução
de Problemas. Foi inicialmente lançada a seguinte pergunta aos alunos: Quantos pontos
existem no segmento AB? Distintas respostas foram dadas e a partir delas foram formulados
problemas para filtrar suas idéias. Foi observado que quando o aluno tem suas idéias iniciais
confrontadas, forçando-o a pensar e a buscar a resposta certa. O problema faz com que eles
vivenciem suas dúvidas e certezas e assim formulem um pensamento mais concreto, de forma
construtiva e dedutiva. A metodologia de ensino proposta auxiliou na compreensão do
conceito e na superação de dúvidas anteriores. Esse trabalho foi desenvolvido junto ao
subprojeto de Licenciatura em Matemática, vinculado ao Programa Institucional de Bolsa e
Iniciação à Docência (PIBID - Capes 2009) no primeiro semestre de 2013.
Palavras-chave: Metodologia de Resolução de Problemas, idéias, aprendizagem,
Existência de Pontos, Segmento.
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2. 1. Introdução
Convidamos os alunos a pensar sobre este problema: “Quantos pontos eu posso
encontrar no segmento AB?”. Através das respostas dados verificamos que eles tinham muitas
dificuldades em entender o conceito de “infinito” e de outras abstrações matemáticas. Decidi
usar a Metodologia de resolução de problemas para auxiliar na compreensão desses conceitos,
pois essa metodologia é vista como um possível caminho para dinamizar o Ensino da
Matemática. Essa técnica "baseia-se na apresentação de situações abertas e sugestivas que
exijam dos alunos uma atitude ativa e um esforço para buscar respostas, construindo seu
próprio conhecimento". Portanto, como os alunos possuem, em geral, dificuldade para resolver
problemas de matemática, temos como objetivo desenvolver e aplicar problemas de que
abordem a realidade do estudante, de forma que a busca pela sua solução seja mais
interessante e apresente desafios.
Foi proposta para a turma a seguinte questão: “Um menino queria ir até o
mercadinho do outro lado da rua para comprar biscoito. Ele anda durante muito
tempo, mas nunca chega, mesmo que aumente a sua velocidade. Por quê?”.
Problema esse que foi tirado do passado, mais especificamente da Grécia antiga,
falando sobre os paradoxos de Zenon e a História da Matemática. Mostrando que o passado e
o presente estão interligados pela matemática.
Este Trabalho foi desenvolvido em sala de aula na Escola Municipal Poul Percy Harris
de São José do Rio Preto-SP com uma turma de alunos do 9°ano. Os alunos fazem parte de um
projeto chamado “VESTIBULINHO”, a qual tem como objeto preparar os alunos para
prestar vestibulares para ingressar em escolas Técnicas como a Escola
Etec Philadelpho Gouvêa Netto e a Escola SENAI Antônio Devisate.
2. O Relato da Atividade
2.1. O inicio
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Estadual

3. A Geometria é um dos pilares da matemática e como tal é sempre cobrada em
vestibulares. A nossa história começa aqui, na introdução das noções básicas de geometria
plana, como ponto, a reta e o plano. Falamos sobre como definir um ponto, os axiomas de
Euclides, sobre medidas de segmentos, ponto médio, retas e semi-retas.
A fim de se aprofundar na matéria foi feita à turma a seguinte pergunta: “Quantos
pontos eu posso encontrar no segmento AB?”.
Os alunos se manifestaram de várias formas:
-Nenhum ponto.
-10 pontos
-Vários pontos, mas não infinitos.
-Infinitos pontos.
Para verificar a resposta certa, cada aluno foi até a lousa e marcou um ponto entre A e
B. Depois todos perceberam que poderia ter mais pontos e assim os alunos foram de novo à
lousa e marcaram mais pontos entre A e B. E assim foram indo até o espaço entre A e B ficar
tão cheio de pontos que não dava para colocar mais na lousa.
.__._____._._.__.__.__._._._._______.__._._.
A C
DE F.....
B
Ao todo eles marcaram 57 pontos entre A e B. Depois perguntei se ainda eu poderia
colocar mais pontos entre eles e responderam que eu só poderia colocar mais pontos se esse
segmento fosse aumentado. E dai calcularam que quanto maior o segmento, maior o número
de pontos. E isso é fácil de acreditar, pois é natural pensar que quanto maior for algo, mais
coisas cabem nele. Isso fez aqueles que acreditavam que existiam infinitos pontos entre A e B
voltarem atrás na resposta, pois essa afirmativa não se verificava na prática feita por eles.
Esse é o grande paradigma da matemática, teoria e a pratica. A matemática está fixada
às vezes em um ensino tradicional e estritamente teórico, longe das situações do cotidiano do
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4. aluno. O papel do professor nessa hora é de mudar a maneira de dar a aula, explicando a
matemática em sua essência, levando os alunos a entenderem as abstrações que nela existem
até chegar ao concreto.
Os alunos concluíram que em uma reta existem infinitos pontos, pois todos
compreendiam que a reta é infinita, mas em um segmento limitado isso seria impossível, pois
por maior que seja o segmento, uma hora o espaço entre AB ficaria lotado. Concluindo então
que existem muitos pontos entre A e B, mas não infinitos.
Nesse momento eu pensava em como poderia dizer que existem infinitos pontos entre
AB de maneira que todos os alunos pudessem verificar e compreender a idéia. Surgiu então a
necessidade de buscar um problema que conseguisse ilustrar de uma maneira mais
significativa o conceito.
Segundo DANTE, (L.R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 1998).
“Um problema é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e
conhecimentos específicos para solucioná-la. O autor ressalta que um bom problema deve”:
ser desafiador para o aluno;
ser real;
ser interessante;
ser o elemento de um problema realmente desconhecido;
não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas;
ter um nível adequado de dificuldade.
Concluímos então que um bom problema deve ser capaz de instigar o aluno a resolvêlo. Deve ser interessante, criativo, desenvolver seu pensamento, desafiá-lo constantemente e
desencadear no aluno um comportamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e
conformismo, pois ao contrário ele ficará desmotivado.
Foi então que resolvi procurar no passado da matemática algo que pudesse ajudar.
2.2. Breve história da Geometria
A geometria nasceu a centenas de anos, com as primeiras civilizasses, sendo com os
Egípcios há 5.000 anos os primeiros estudos de ordem cientifica encontrados. Mas foi com
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5. Euclides de Alexandria (500 a.C.), muitas vezes referido como o “Pai da Geometria”, que ela
tomou forma, ganhando um rigor matemático teórico mais bem definido.
Segundo a história, quando Ptolomeu I perguntou a Euclides se não havia caminho
mais curto para a geometria que Os Elementos, ele respondeu: "não há estrada real para a
geometria". Dai chegamos até Zenon (488-430 a.C.) e seus argumentos sobre a geometria e
suas relações métricas.
Discípulo e defensor de Parmênides, Zenon de Eléia sistematizou o método da demonstração
por absurdo e foi considerado por Aristóteles como o inventor da dialética. Partindo das premissas de
seus oponentes, ele as reduzia ao absurdo.
Zenon deixou quarenta argumentos dos quais apenas nove foram conservados. Os argumentos
são sobre certos problemas fundamentais que envolvem noções de grandezas, multiplicidade, espaço,
movimento, tempo e percepção sensível. Dos argumentos de Zenon, tornaram-se mais famosos os que
visam diretamente ao problema do movimento. A Dicotomia e o Aquilies garantem que o movimento é
impossível sob a hipótese de subdivisibilidade indefinida do espaço e do tempo, ou seja, eles
terminariam indivisíveis.
Dicotomia (divisão em dois)
É o argumento que diz que antes que um objeto possa percorrer uma distância dada, deve
percorrer a primeira metade dessa distância; mas antes disso, deve percorrer o primeiro quarto; e antes
disso, o primeiro oitavo e assim por diante, através de uma infinidade de subdivisões. O indivíduo
interessado em se colocar em movimento precisa fazer infinitos contatos num tempo finito; mas é
impossível exaurir uma coleção infinita. Portanto é impossível iniciar o movimento.
Aquiles e a tartaruga
Este paradoxo é semelhante ao primeiro, apenas à subdivisão infinita é progressiva em vez de
regressiva. Aqui Aquiles aposta corrida com uma tartaruga que sai com vantagem e por mais depressa
que corra, não pode alcançar a tartaruga, por mais devagar que ela caminhe. Pois, quando Aquiles
chegar à posição inicial da tartaruga, ela já terá avançado um pouco; e quando cobrir essa distância, a
tartaruga terá avançado um pouco mais. E o processo continua indefinidamente, com o resultado que
Aquiles nunca pode alcançar a lenta tartaruga.
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6. 2.3. O problema proposto
Baseado nos paradoxos da dicotomia e do Aquiles e a tartaruga, e nas definições de
Dante, foi proposto um problema de fácil entendimento e que os alunos pudessem verificar na
pratica, no seu dia a dia:
“O menino que queria atravessar a rua”:
Um menino queria ir até o mercadinho do outro lado da rua para comprar biscoito. Ele
anda durante muito tempo, mas nunca chega, mesmo que aumente a sua velocidade. Por quê?
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7. Esse problema consiste em mostrar para os alunos que se você andar metade da
distancia até o outro lado, depois mais a metade da distancia do que falta, e assim
sucessivamente, mesmo que você faça isso durante toda a sua vida, você nunca chegará até o
outro lado.
Todos os alunos disseram que ele chegaria até o outro lado e até riram e fizeram piadas
sobre o fato do aluno não conseguir chegar até lá. Então eu disse:
- Mas e se eu disser que há uma maneira do menino seguir em direção ao bar e nunca
chegar até ele, não importando a sua velocidade ou o tempo que ele demorar?
Todos duvidaram, então continuei;
- Se estabelecermos que o garoto só vá andar de metade em metade, vocês ainda acham
que o garoto vai chegar até o outro lado?
Os alunos responderam que sim.
Vamos verificar:
._________________.________.___.__._._.
A
C
D E FG B
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8. Vamos sempre se aproximando mais e mais de onde queremos chegar, só que nunca
chegamos, pois não importa a distância, grande ou pequena, sempre existe sua metade, por
menor que seja.
Isso causou um espanto neles, pois eles perceberam que era verdade, mas aquilo não
era lógico, pois como alguém que fosse atravessar uma rua e andasse por muito tempo, nunca
pudesse chegar até o outro lado?
Muitos riram, pois não queriam acreditar, mas todos perceberam que aquilo era
possível e que fazia sentido.
E assim eles puderam verificar que em um intervalo AB, existem infinitos pontos, pois
a cada metade que pegamos podemos associá-la a um ponto e como existem infinitas metades,
existirão infinitos pontos.
3. Conclusão
Concluímos que a maioria dos alunos não entende a questão de pontos infinitos entre
um intervalo AB, eles apenas aceitam o discurso do professor como verdade absoluta, sem
refletir a questão em si. Mas quando têm suas idéias iniciais confrontadas isso os força a
pensar e a buscar a resposta certa, pois o problema faz com que eles vivenciem suas dúvidas e
certezas e assim formulam um pensamento mais concreto, de forma construtiva e dedutiva.
Levando-os a compreender verdadeiramente o conceito por traz do problema e a superar suas
dúvidas anteriores. Vimos isso na fala de POLYA (1978); [...] O real prazer de estudar
matemática está na satisfação que surge quando o aluno por si só resolve um problema.
E foi esse o argumento que fez essa atividade ter o resultado esperado, pois o professor
foi o mediador da relação aluno/conhecimento, apenas indicando o caminho a qual foi
percorrido pelo aluno. Desenvolvendo algo neles que é tão pouco trabalhado em sala de aula;
”A autonomia”. Palavra que foi esquecida com os métodos tradicionais que a matemática às
vezes está enraizada. É obvio que o professor tem que ajudar o aluno, mas assim como a
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9. mamãe passaro, o professor não pode bater as azas para o aluno, ele só pode ensiná-lo a voar.
Bater as azas depende do esforço próprio e do estimulo dado da escola e da família.
4. Referências
DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2ªed. São Paulo:
Ática, 1998.
POLYA, G. A. A arte de Resolver Problemas. Tradução: Heitor Lisboa de Araújo.
Interciência, 1978.
SOARES, M. T. C., PINTO, N. B. Metodologia da resolução de problemas. In: 24ª
Reunião.
HERMES, A. PEDROSO. Apostila de História da Matemática. Unesp-S.J.
Rio Preto.
http://www.mat.ibilce.unesp.br/personal/hermes/apostila_hist_mat.pdf
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