Helio Ramalho

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HHPP1122CC
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MBA Coppead UFRJ. Contabilista. Economista
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HP-12C
análise financeira
capital circulante
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financiamento de capital de giro
negociação creditícia
crediário flexível
negociação bancária
investimento imobiliário
desconto
formação do preço
análise de projetos
sistemas de amortização
depreciação

Hélio Ramalho - Inteligência Financeira HP12C 2
Sumário
Apresentação............................................................................................................................6
1. Fundamentos da Matemática Financeira........................................................................7
2. Fórmulas Básicas da Matemática Financeira..................................................................8
2.1. Prazo ou número de períodos – n .............................................................................8
2.2. Fórmula básica do Valor Presente – VP ...................................................................8
2.3. Fórmula básica dos Juros - J .....................................................................................9
2.4. Fórmula básica do Montante ou Valor Futuro – VF................................................9
2.5. Fórmula básica da Taxa de Juros – i ......................................................................10
3. Diagrama do Fluxo de Caixa – Cash Flow......................................................................12
4. Capitalização simples de juros.......................................................................................15
4.1. Fórmula simples de juros.........................................................................................16
4.2. Fórmula simples do Montante ou Valor Futuro....................................................17
4.3. Taxas equivalentes a juros simples........................................................................17
4.4. Operação de Hot Money...........................................................................................17
5. Capitalização composta de juros...................................................................................18
5.1. Fórmula composta do Montante ou Valor Futuro ................................................19
5.2. Fórmula composta do Valor Presente....................................................................20
5.3. Fórmula composta da Taxa de Juros .....................................................................20
5.4. Fórmula composta do Prazo ....................................................................................21
6. Calculadora financeira HP-12C.......................................................................................22
6.1. Fundamentos..............................................................................................................22
6.2. Teclado........................................................................................................................23
6.2.1. Teclas de Prefixo ...................................................................................................24
6.2.2. Referência das Funções Financeiras...................................................................25
6.2.3. Ligar e desligar o teclado.....................................................................................26
6.3. Troca das baterias.........................................................................................................26
6.3.1. Manuseio..................................................................................................................26
7. Teste de funcionamento dos circuitos..........................................................................26
7.1. Teste automático ......................................................................................................26
7.2. Teste semi-automático.............................................................................................27
8. Ponto e vírgula decimais .................................................................................................28
9. Limpeza do registrador X (visor)....................................................................................28
10. Troca de Sinal..................................................................................................................28
11. Memórias e registradores ..............................................................................................29
11.1. Limpeza de memórias e registradores.................................................................29
12. Cálculos usando registradores......................................................................................30
12.1. Registradores da Memória .....................................................................................30
12.2. Registrador estatístico – somatório......................................................................32
13. Número de casas decimais: arredondamento............................................................34
13.1. Casas decimais.........................................................................................................34
13.2. Arredondar número.................................................................................................34
14. Parte inteira e fracionária de número........................................................................35
14.1. Parte inteira de um número..................................................................................35
14.2. Parte fracionária de um número ..........................................................................35
14.3. Recuperando a parte inteira ou fracionária.......................................................36
15. Entrada de expoente de 10...........................................................................................36
15.1. Convertendo número para notação científica ...................................................37
16. Mensagens de erro..........................................................................................................38

17. Lógica operacional RPN .................................................................................................38
17.1. Cadeia de cálculos: sem parênteses e sinal de igual........................................39
17.2. RPN: Pilha automática de memória.....................................................................39
17.3. Rotação da pilha......................................................................................................40
17.4. Troca de X com Y ....................................................................................................40
17.5. Como funciona a pilha automática de cálculo? .................................................41
17.6. Como funciona a tecla 36AENTER?.........................................................................42
17.7. Principais recursos da Lógica RPN........................................................................43
18. Operadores matemáticos...............................................................................................44
18.1. Soma, Multiplicação, Subtração e Divisão ..........................................................44
18.2. Potenciação – exponenciação ...............................................................................45
18.3. Percentagem ............................................................................................................45
18.3.1. Percentual.........................................................................................................45
18.3.2. Cálculo do montante com taxa e principal conhecidos............................46
18.3.3. Cálculo do principal com taxa e montante conhecidos............................46
18.3.4. Percentual do total .........................................................................................47
18.3.5. Diferença percentual entre 2 números........................................................47
18.4. Inverso de um número............................................................................................48
18.5. Radiciação ................................................................................................................48
18.5.1. Raiz quadrada...................................................................................................49
18.5.2. Cálculo de outras raízes .................................................................................49
18.6. Logaritmo neperiano...............................................................................................49
18.7. Antilogaritmo ...........................................................................................................50
18.8. Fatorial......................................................................................................................50
19. Operações com Datas.....................................................................................................51
19.1. Limites da função calendário................................................................................51
19.2. Formato de datas ....................................................................................................51
19.3. Datas futuras ou passadas......................................................................................51
19.4. Número de dias entre datas ..................................................................................52
20. Análise financeira ...........................................................................................................54
20.1. Fluxo constante de capital ....................................................................................54
20.2. Série periódica uniforme .......................................................................................55
20.2.1. Série periódica antecipada ou postecipada................................................55
20.2.2. Cálculo da Prestação.......................................................................................55
20.2.3. Cálculo do Valor Presente..............................................................................57
20.2.4. Cálculo do Valor Futuro..................................................................................58
20.3. Primeiro esquema: pagamento único..................................................................61
20.3.1. Convenção exponencial e linear..................................................................62
20.4. Conversão de taxas a juros compostos................................................................64
20.4.1. Taxas equivalentes a juros compostos.........................................................64
20.4.2. Taxas efetiva e nominal de juros compostos..............................................71
20.4.3. Capital circulante – floating ..........................................................................73
20.5. Segundo esquema: Pagamentos Iguais ................................................................75
20.6. Série Uniforme Diferida .........................................................................................78
20.7. Terceiro esquema: Pagamentos iguais e um diferente....................................80
20.8. Leasing Financeiro...................................................................................................82
20.9. Crédito Direto ao Consumidor...............................................................................86
20.9.1. Fator de Recuperação de Capital - FRC.......................................................86
20.10. Financiamento de Capital de Giro .....................................................................87
20.11. Negociação Creditícia...........................................................................................89
20.11.1. Crediário flexível...........................................................................................90

20.11.2. Negociação bancária .....................................................................................90
20.11.3. Investimentos imobiliários ...........................................................................92
21. Capitalização Composta com Taxas Variáveis...........................................................93
21.1. Taxa real de juros ...................................................................................................93
21.2. Taxa acumulada de juros.......................................................................................95
21.3. Taxa média de juros ...............................................................................................96
21.4. Taxa de desvalorização monetária.......................................................................97
21.5. Taxa acumulada de inflação .................................................................................97
21.6. Taxa média de inflação..........................................................................................98
22. Desconto...........................................................................................................................98
22.1. Desconto simples.....................................................................................................99
22.2. Desconto composto.................................................................................................99
22.3. Diferença entre desconto e juro ..........................................................................99
22.4. Desconto simples racional ou “por dentro” .......................................................99
22.5. Desconto simples comercial ou “por fora”.......................................................100
22.6 Diferença entre taxa de juros e taxa de desconto...........................................100
22.6.1. Taxa de juros..................................................................................................100
22.6.2. Taxa de desconto...........................................................................................102
22.7. Desconto bancário.................................................................................................102
22.7.1. Determinação da taxa de desconto............................................................105
22.7.2. Relação entre taxa de desconto no período e juros compostos ...........106
23. Formação do preço.......................................................................................................106
23.1. Competitividade ....................................................................................................106
23.2. Inovação..................................................................................................................107
23.3. Margens ...................................................................................................................107
23.3.1. Margem de contribuição...............................................................................108
23.3.2. Margem de lucro ............................................................................................108
23.3.3. Markup .............................................................................................................108
23.3.4. Margem líquida...............................................................................................108
23.4. Variáveis do preço.................................................................................................109
23.5. Cálculo “por fora” e “por dentro”.....................................................................110
23.6. Competição via preço...........................................................................................111
23.7. Competição via produto.......................................................................................113
23.8. Análise dos resultados..........................................................................................114
23.9. Conclusão................................................................................................................115
24. Análise de Projetos.......................................................................................................116
24.1. Fluxos Variáveis de Capitais................................................................................116
24.2. Análise de fluxo de caixa descontado ...............................................................117
24.2.1. Taxa Interna de Retorno...............................................................................117
24.2.1.1. Grupos diferentes de cash flow.......................................................117
24.2.1.2. Frequência máxima de cash flow....................................................117
24.2.1.3. Taxa Mínima de Atratividade (TMA) ...............................................118
24.3. Valor Presente Líquido .........................................................................................119
24.4. Valor Presente .......................................................................................................121
24.5. Como funcionam os registradores de cash flow?.............................................122
24.5.1. Revendo dados do cash flow........................................................................122
24.5.2. Corrigindo dados do cash flow ....................................................................124
24.6. Poupança programada..........................................................................................126
24.6.1. Receita diferida .............................................................................................126
25. Amortização de Dívidas ...............................................................................................129
25.1. Pacto de capitais...............................................................................................129

25.1.1. Sistemas e nomenclaturas em pacto de capital.......................................130
25.1.2. Cronograma de amortização........................................................................131
25.2. Sistema de Amortização Francês -SAF...............................................................132
25.2.1. Juros e amortização acumulados até “t” período...................................134
25.2.2. Juros e amortização acumulados entre “t” períodos..............................137
25.3. Sistema de Amortização Constante - SAC.........................................................138
25.4. Sistema Americano de Amortização - SAA........................................................141
26. Depreciação ...................................................................................................................146
26.1. Desvalorização monetária....................................................................................146
26.1.1. Cronograma da depreciação........................................................................147
26.2. Critério Linear........................................................................................................147
26.3. Critério Cole ou Soma dos Dígitos ......................................................................151
26.4. Critério Declínio de Balanço ou Declínio em Dobro........................................154
27. Referências Bibliográficas...........................................................................................158

Apresentação
A intenção deste trabalho é utilizar material próprio nas consultorias do Autor.
Para aplicar o conteúdo não é necessária formação acadêmica específica. A fim de
nivelar os conhecimentos mínimos indispensáveis, antes de avançar no estudo dos
tópicos mais complexos, faço uma revisão completa das funções básicas da
matemática financeira e da calculadora HP-12C.
Pela primeira vez no estudo da HP12C, introduzo os conceitos de numeração do
teclado e da hierarquia das teclas assistentes, gerentes e diretoras. O
funcionamento da pilha automática de cálculo e a lógica operacional RPN - Notação
Polonesa Reversa são mostrados em detalhes.
A hierarquia da rentabilidade real do capital é idéia moderna. A orientação veloz
para resultados é uma naturalidade do mundo globalizado. Ganha mais o investidor
que antes materializa as informações em resultados concretos.
O vendedor, comprador ou investidor, sempre será uma pessoa física e deve i)
possuir espírito empreendedor e bom humor; ii) justificar o processo de
planejamento estratégico pela responsabilidade com as pessoas e a rentabilidade
real do capital; iii) saber explicar algebricamente, em detalhes, os objetivos aos
quais se propõe; iv) desenvolver, através da visualização e concretização de
recompensas financeiras, os bens de capital e os fatores de produção, em
ambientes de gestão participativa e de alto grau de competitividade e de pressão;
v) enquanto fornecedor de soluções de base100, como verá adiante, trazer a visão
antecipada dos resultados comerciais através da economia e da negociação dos
custos e dos ganhos variáveis, por que os fixos são fixos.
Amplamente documentada em outras obras, a calculadora HP-12C é apresentada
como ferramenta principal. A máquina conquistou minha preferência pela
eficiência e simplicidade na resolução rápida dos problemas econômico-financeiros
da maioria dos gestores empresariais avessos às advertências dos números.
Evidente que as dicas e a leitura detalhada do manual do proprietário da HP12C
poderão enriquecer ainda mais a experiência.
Multiplicar os conhecimentos. Estimular o raciocínio lógico, com ênfase em vendas
e negociação creditícia. Rejuvenescer a criatividade matemática. Desmistificar
relações de crédito, investimento e de consumo. São alguns dos meus objetivos.
Notas
A expressão $5.000 significa 5 mil unidades monetárias, enquanto $5.300,85
quer dizer 5 mil, 300 centésimos e 85 décimos de unidades monetárias. O padrão
monetário pode ser dólar, euro, real, etc. Basta configurar o ponto e vírgula
decimais (pág.28).
Faço comentários sempre com as finalidades de aumentar a velocidade do
raciocínio matemático, de ilustrar e não concluir o assunto.

1. Fundamentos da Matemática Financeira
São muitas as definições de análise financeira existente na literatura especializada.
Prefiro aquela que atribui à matemática financeira o estudo da evolução do valor
do dinheiro no tempo.
Geralmente, os agentes econômicos superavitários preferem emprestar o dinheiro
por vários motivos: riscos cambiais e inflacionários, busca de alguma remuneração,
incerteza do futuro, etc. Por outro lado, os agentes econômicos deficitários,
habilitados ao crédito segundo condições intrínsecas do sistema, são levados a
tomar recursos por motivos psicológicos, dívidas vencidas, insatisfações básicas ou
supérfluas, influência da mídia, status social, iniciativas empreendedoras, etc.
De toda forma, a demanda ou endividamento dos agentes econômicos deficitários,
os quais não possuem poupança, sustenta o mercado financeiro ao gerar receitas
em forma de juros, encargos e outras participações contratuais, conforme figura
abaixo:
AGENTES
ECONÔMICOS
SUPERAVITÁRIOS
↔
MERCADO
FINANCEIRO
↔
AGENTES
ECONÔMICOS
DEFICITÁRIOS
FUNCIONAMENTO DO MERCADO FINANCEIRO
Para usar o capital de terceiros, invariavelmente temos que pagar na fonte um
aluguel ou prêmio denominado juros definido antes ou depois do período de tempo
da utilização. A regra vale também quando queremos adquirir um bem e não
podemos fazê-lo à vista. Como regra jurídica, os juros são imposições legais.
Podemos deduzir para a cobrança de juros a existência de um contrato de vontade
entre as partes, aplicador e tomador do dinheiro, por escrito (expresso) ou tácito
(trato verbal), com ou sem garantias estipuladas.
Na maioria dos casos, procuramos canalizar as receitas para os investimentos ou
economizar nas despesas. Sabemos que quem economiza tem mais hoje que ontem
e terá mais amanhã que hoje. Entretanto, o que se vê são pessoas lidando com os
investimentos da mesma forma que lidam com as despesas. Portanto o seu desafio
é assumir o papel de vendedor sem salário fixo para definir e alcançar o nível de
investimentos necessário para bancar o seu custo fixo. Vender-se a si próprio
requer necessariamente ser um bom exemplo.
Tenha como exemplo a seguinte história:
Mensalmente, Jorge administra uma carteira média de custos de $5mil. Sabendo
que precisa estabilizar-se como gestor financeiro, Jorge busca alternativas de
investimentos que possam ajudá-lo a potencializar a sua capacidade de pagamento
e a custear a sua carteira de custos em função das incertezas ao longo do tempo.
Tomando por exemplo a correção monetária e a rentabilidade de 0,5% da
caderneta de poupança, Jorge precisaria “alugar” $1milhão a um banco para obter
de “aluguel” os juros de $5mil para arcar com 100% de certeza a sua carteira de

custos. Logo, para alcançar a base100 de $1milhão são necessários investimentos
intermediários, produtivos ou especulativos, chamados fundos de investimentos ou
carteira de investimentos. Como a maioria das despesas é fixa, Jorge pensa como
investidor.
Pode ser que a seguir você encontre muitos conceitos técnicos que já conhece.
Mesmo assim, pratique. Invente outros exercícios. Não pule etapas. Você pode vir a
precisar delas para definir prioridades ou solucionar problemas financeiros.
Lembre-se que, apesar do conteúdo ser também destinado à revisão das pessoas
que tem uma boa experiência, a melhor intenção é ensinar o caminho das pedras.
Usar a imaginação expandindo os conhecimentos para corrigir os pontos fracos e
aumentar as chances de sucesso das pessoas que tem a pior experiência financeira.
2. Fórmulas Básicas da Matemática Financeira
As fórmulas iniciais da matemática financeira resultam do relacionamento
conceitual entre as variáveis de Juros, Taxa de Juros, Montante e Capital.
2.1. Prazo ou número de períodos – n
Vimos que Matemática Financeira é o estudo da evolução do valor do dinheiro em
determinado período de tempo, renovável ou não, para que direitos e obrigações
sejam satisfeitos. Esse tempo pode ser um único período ou múltiplas frações de
períodos.
Adiante, vamos utilizar n para representar a composição de períodos.
A compra de mercadorias a prazo, para pagamento integral depois de 30 dias,
envolve um único período de tempo (n = 1).
Aplicação em renda fixa envolve uma fração de tempo (30/360 ou 1/12),
considerando uma aplicação durante um mês e a remuneração da operação
expressa em taxa anual.
No crediário popular em 12 meses, o prazo representa o número de
pagamentos, desembolsos ou prestações.
2.2. Fórmula básica do Valor Presente – VP
Valor presente é o capital inicial ou quantidade de unidades monetárias destinado
ao negócio ou operação financeira, podendo o valor presente ser à vista
(antecipado) ou a prazo (postecipado).
Se considerarmos como base 100, o VP será igual a 1 ou ele mesmo. Assim sendo:
VP = 1

No crediário, o valor presente é a entrada antecipada.
Adiante, vamos sempre utilizar VP para representar o capital inicial.
A tecla correspondente na calculadora HP12C é PV, do inglês present value.
2.3. Fórmula básica dos Juros - J
É a remuneração exigida durante o período de utilização do capital de terceiros.
J = VP + i
Os juros também são as diferenças entre o valor futuro e o valor presente:
J = VF – VP
Como veremos adiante, os juros podem ser capitalizados segundo os regimes
simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condições mistas ou especiais,
dependendo da regulamentação que rege o assunto.
A fórmula de juros é matéria prima para a construção de todas as outras
fórmulas da matemática financeira. Fazendo uma analogia, são como os tijolos que
estão por toda parte na construção de uma casa.
Do ponto de vista legal, somente podem cobrar juros as instituições financeiras
autorizadas pelo Banco Central, órgão fiscalizador do Sistema Financeiro Nacional.
Existem outras fontes de recursos. Porém, nesses casos, não existe amparo legal, e
o tomador do empréstimo não terá a quem recorrer se for enganado.
Na contabilidade da instituição financeira, os juros são receitas operacionais.
Na empresa comercial, juros são despesas não operacionais.
2.4. Fórmula básica do Montante ou Valor Futuro – VF
Valor futuro é a quantidade de unidades monetárias resultante em data futura de
uma operação financeira. O montante é igual ao valor presente mais os juros:
VF = VP + J
Substituindo VP na equação, como base 100:
VF = 1 + J
Vimos que:

J = VP + i
VF = 1 + (VP + i)
Termos a fórmula do Valor Futuro:
VF = VP. (1 + i)
A tecla correspondente na calculadora HP12C é VF, do inglês future value.
Por enquanto, é importante você entender que o preço a prazo equivale ao
montante ou valor futuro.
2.5. Fórmula básica da Taxa de Juros – i
Taxa de juros é o coeficiente obtido pela relação entre valor dos juros de um
período e o capital emprestado. Podendo ser expressa sob períodos diversos, na
forma percentual (%), decimal ou unitária (%/100): 2% ou 0,02 (2%/100) ao mês;
5% ou 0,05 (5%/100) ao trimestre, 12% ou 0,12 (12%/100) ao ano; 0,5% ou
0,005 (0,5%/100) ao dia, etc.
J
i =
VP
Vimos também que J = VF – VP
VF - VP
i =
VP
Colocando VP em evidência, fica fácil construir a fórmula básica da taxa de juros:
VF
i =
VP
- 1
Na maioria dos exercícios, vamos utilizar a taxa de juros decimal ou unitária.
Na calculadora HP12C, a taxa deve ser informada na sua forma percentual.
O patamar da taxa de juros não depende da nossa vontade. A variação da taxa
de juros é determinada pelo Copom – Comitê de Política Monetária, composto pelos
membros da Diretoria Colegiada do Banco Central do Brasil, a exemplo do Federal
Open Market Committee (FOMC) do Banco Central dos Estados Unidos. A taxa de
juros fixada na reunião do Copom é a meta para a Taxa Selic, taxa média dos
financiamentos diários, com lastro em títulos federais.

EXERCÍCIO: Calcule os juros e o valor futuro do empréstimo bancário contraído por
Mário Dias junto ao Banco Sul de Minas, no valor de $10.000, para ajudar nas
despesas do casamento da sua filha Juliana, a serem pagos em parcela única,
depois de 60 dias, a taxa de juros de 7,8%BIMESTRE
.
A interpretação rápida do enunciado do problema é fundamental. Separe os
números das letras ou da história. Você só precisa saber identificar 3 variáveis
numéricas para resolver qualquer tipo de questão da matemática financeira.
Calcular o quê? Neste caso, os juros e o valor futuro.
Você tem as 3 variáveis numéricas: valor presente ($10.000), taxa de juros
(7,8% ao bimestre) e o prazo (n = 1 parcela).
Usando a fórmula do valor futuro:
VF = VP.(1+i)
VF = 10.000 (1+7,8%)
Passando a taxa para a forma unitária ou decimal (7,8%/100)
VF = 10.000.(1+0,078)
VF = 10.000.1,078
VF = 10.780
Usando a fórmula de juros, para período igual a 1
J = VF-VP
J = 10.780-10.000
J = 780
EXERCÍCIO: Uma aplicação financeira feita por Daniel Moura no Banco Médio, de
$2.434 foi resgatada depois de 30 dias pelo valor de $2.531,36. Calcule a taxa de
juros do rendimento.
Calcular o quê? Neste caso, a taxa de juros. Você tem as 3 variáveis: valor
presente ($2.434), prazo (n = 1) e valor futuro ($2.531,36).
Usando a fórmula da taxa de juros:
VF
i =
VP
- 1
2.531,36
i =
2.434,00
- 1
i = 1,04 - 1 = 0,04 x 100 = 4%

O resultado será expresso na forma decimal. Para expressá-lo na forma
percentual, multiplique a taxa decimal ou unitária por 100.
Conferindo o resultado usando a fórmula do valor futuro:
VF=VP.(1+i)
VF=2.434.(1+(4%/100))
VF=2.434.(1+0,04)
VF=2.434.1,004
VF=2.531,36
Quando o período da operação é igual a 1, basta identificar as 3 variáveis
dadas, escolher a fórmula certa e resolver facilmente o problema.
A calculadora HP12C deve ser usada para cálculo financeiro de questões
envolvendo o regime COMPOSTO de capitalização de juros.
3. Diagrama do Fluxo de Caixa – Cash Flow
Caixa é a denominação contábil que se dá a conversão imediata, em dinheiro vivo,
do patrimônio empresarial. Podemos fazer uma analogia entre a disponibilidade
imediata de dinheiro da empresa com o seu bolso, neste momento. O bolso da
empresa é o caixa.
Fluxo de caixa (cash flow) é a representação gráfica de mobilização de capitais.
Entradas e saídas (fluxos) de dinheiro são, respectivamente, previstas e estimadas,
durante determinado período de tempo. A periodicidade e o valor das entradas e
saídas de capitais são constantes (análise financeira) ou variáveis (análise de
investimentos).
Fluxo de caixa ou cash flow é a movimentação de entradas e saídas de recursos
monetários, apontando o saldo final do caixa, ao final de determinado período, e a
capacidade de pagamento (financeiro) e de endividamento (econômico). Resolver
um problema de matemática financeira consiste, basicamente, em resolver um
problema de fluxo de caixa. Consumir com consciência e comprometer
adequadamente a capacidade econômico-financeira são os grandes desafios para
proprietários e gerentes de capital, e traduz a finalidade de todas as ferramentas
de previsão orçamentária e de planejamento estratégico, inclusive a HP12C.
Na calculadora HP-12C, assim como na maioria das calculadoras financeiras,
observa-se a inversão de sinais entre os valores dos pagamentos ou recebimentos,
os quais devem estar de acordo com a convenção de sinais estabelecida para fluxos
de caixa, ou seja, sinal positivo (+) para entradas e sinal negativo (–) para saídas.
O ideal é que o cash flow seja conciliado em tempo real, de forma a suportar as
decisões internas e projetar as mudanças externas: negociações, empréstimos,

investimentos, receitas e despesas correntes, comportamento do cliente,
mudanças de legislação: alíquotas tributárias, encargos sociais, etc.
EXERCÍCIO: Fazer o diagrama do fluxo de caixa, conforme receita prevista e
despesa estimada no quadro abaixo, demonstrando o saldo do caixa da empresa, no
início e no final de cada período.
MES RECEITA DESPESA SALDO
Dez 0,00 0,00 4.589,72
Jan 18.456,96 -11.345,45 11.701,23
Fev 14.456,25 -17.888,34 8.269,14
Mar 19.678,55 -18.986,45 8.961,24
Abr 22.345,56 -27.895,25 3.411,55
Mai 9.879,12 -11.568,98 1.721,69
O diagrama de fluxo de caixa segue a seguinte convenção: seta ou movimento
para cima representa entrada de recursos e seta ou movimento para baixo
representa saída de caixa, conforme gráfico abaixo:
0
18.456,96
14.456,25
19.678,55
22.345,56
9.879,12
0
-11.345,45
-17.888,34 -18.986,45
-27.895,25
-11.568,98
4.589,72
11.701,23
8.269,14 8.961,24
3.411,55
1.721,69
Dez Jan Fev Mar Abr Mai
RECEITA
DESPESA
SALDO
DIAGRAMA DO CASH FLOW
A compreensão de diagramação do fluxo de caixa é indispensável. Além de
facilitar o fluxo monetário, a diagramação evita interpretações equivocadas da
composição dos períodos.
Vamos analisar o caso abaixo, para revisar o que vimos até agora sobre investidor,
vendedor, comprador e fluxos monetários.
EXERCÍCIO: No dia 5, contados disponíveis no caixa exatos $10.000, o vendedor
autorizou uma venda 100% a prazo para 45 dias, no valor de $40.500, incluídos

custos de seguro e frete. Comissão e impostos foram calculados conforme a tabela
abaixo. Diagramar o cash flow do vendedor.
DATA CONTA % VALOR SALDO
7/nov IPI 12,00 -4.860 -4.860
10/nov COFINS 3,00 -1.215 -6.075
15/nov ICMS 18,00 -7.290 -13.365
20/nov VENDAS 100 40.500 27.135
30/nov PIS 0,65 -263,25 26.871,75
5/dez COMISSÃO 1,00 -405 26.466,75
% 12 3 18 100 0,65 1
VALOR -4860 -1215 -7290 40500 -263,25 -405
SALDO -4860 -6075 -13365 27135 26871,75 26466,75
IPI COFINS ICMS VENDAS PIS COMISSÃO
7/nov 10/nov 15/nov 20/nov 30/nov 5/dez
Você tem que escolher um lado: vendedor, comprador ou investidor. Note
que foram geradas saídas antecipadas de capital, que poderiam ser evitadas.
Entretanto, a venda 100% à vista nem sempre é possível. A necessidade
(capacidade) de endividamento (econômico) do comprador deve ser atendida pela
disponibilidade (financeira) de pagamento do vendedor. Em outras palavras,
vendedor é quem paga antes de vender; comprador é quem vende antes de pagar.
Vendedor tem visão financeira (curto prazo). Comprador tem visão econômica
(longo prazo). Um se arrisca, outro promete. Ambos ganham ou perdem. O
investidor surge quando um deles ao assumir o risco se dá mal.
“Vendedor não é investidor.
Vendo vendo. Não vendo, não vendo.”
Não esqueça: O cash flow serve para administrar e superar a pior experiência.
Como um negociador pacífico, o cash flow calcula o risco entre o querer e o poder.
Mostra os cenários e as crises de interesses em sustentar relações comerciais:

produção, compras, vendas, investimentos, devoluções, inadimplência, câmbio,
falências, concordatas, sinistros, reposições, concessões, etc.
EXERCÍCIO: Calcule o risco da venda anterior e comente o pior cenário, uma vez a
duplicata vencida e não paga pelo comprador.
DATA CONTA % VALOR SALDO CAIXA
7/nov IPI 12 -4.860 -4.860 5.140
10/nov COFINS 3 -1.215 -6.075 3.925
15/nov ICMS 18 -7.290 -13.365 -3.365
20/nov VENDAS 100 0,00 -13.365 -3.365
30/nov PIS 0,65 -263,25 -13.628,25 -3.328,25
5/dez COMISSÃO 10 -405 -14.033,25 -4.033,25
RISCO DA VENDA ($4.033,25/$10.000)
40%
% 12 3 18 100 0,65 1
VALOR -4860 -1215 -7290 0 -263,25 -405
SALDO -4860 -6075 -13365 -13365 -13628,25 -14033,25
IPI COFINS ICMS VENDAS PIS COMISSÃO
7/nov 10/nov 15/nov 20/nov 30/nov 5/dez
Na venda, o prazo (45 dias) é determinado pelo comprador. Porém, somente
60% ($24.300) deveriam ser negociados a prazo. Mais uma vez, quem vende é o
comprador. Neste caso, o vendedor foi um investidor. Você está pronto para
prosseguir como vendedor, comprador ou investidor?
4. Capitalização simples de juros
Nosso próximo passo será estudar os regimes de crescimento do capital, mediante a
computação dos juros.

No regime de capitalização SIMPLES, os juros incidem exclusivamente sobre o
capital inicial. O montante, nesse caso, resulta do processo de crescimento LINEAR
do capital. Por isso, é usual denominarmos o CÁLCULO DE JUROS SIMPLES como
CÁLCULO LINEAR.
No Brasil, em função do endividamento púbico e o desequilíbrio fiscal
decorrente da política de juros altos, praticamente não se pratica o cálculo linear.
Para se praticar o cálculo linear no mercado financeiro brasileiro, seria necessário
que, no fluxo de caixa do governo, a receita tributária superasse as despesas de
custeio. Assim, o governo não precisaria oferecer títulos públicos a taxas altas de
juros, para financiar o déficit orçamentário.
EXERCÍCIO: Vamos construir o diagrama do fluxo de caixa para uma operação
envolvendo 3 meses, adotando um capital de $1.000 e uma taxa de juros de 10% ao
mês.
0 1 2 3
1000
1100
1200 1300
100100
0
100
DATA
JUROS
CAPITAL
REGIME SIMPLES DE CAPITALIZAÇÃO
Demonstramos que, se o capital inicial de $1.000 for aplicado a 10% por 1 mês,
gera $100 de juros. Aplicado por 2 meses, gera $200 de juros. Aplicado por 3
meses, gera $300 de juros. Portanto, o total de juros para 3 meses pode ser
expresso da seguinte forma:
J = (VP.i + VP.i + VP.i)
J = (VP.i.3)
J = $1.000.10.3
J = $300
4.1. Fórmula simples de juros
Demonstramos que, se o capital inicial de $1.000 for aplicado a 10% por 1 mês,
gera $100 de juros. Aplicado por 2 meses, gera $200 de juros. Aplicado por 3
meses, gera $300 de juros.
Portanto, o total de juros para 3 meses pode ser expresso da seguinte forma:
J = (VP.i + VP.i + VP.i)
J = (VP.i.3)
J = ($1.000.0,10.3)

J = $300,00
J = (VP.i.n)
4.2. Fórmula simples do Montante ou Valor Futuro
A partir da fórmula de juros, podemos obter a fórmula simples para o Montante ou
Valor Futuro:
VF = (VP + J)
Substituindo J na fórmula
VF = VP + (VP.i.n)
VP é a base 100.(VP = 1)
Colocando VP em evidência
VF = VP (1+i.n)
EXERCÍCIO: Calcular o valor futuro do empréstimo de 30 dias, no valor de $1.500 a
taxa de juros de 6% ao mês.
VF = VP.(1+i.n)
VF = $1.500.((1+(6%/100).1))
VF = $1.500.(1+0,06.1)
VF = $1.500.(1,06)
VF = $1.590
4.3. Taxas equivalentes a juros simples
A taxa mensal de 6% equivale à taxa diária de 0,2% (0,06/30). Para 14 dias, essa
taxa passa a ser 2,8% (0,06/30x14).
Quando se trata de juros simples, a relação ou equivalência entre as taxas é
LINEAR. Por isso, denomina-se TAXA EQUIVALENTE LINEAR.
4.4. Operação de Hot Money
Operações de hot money caracterizam-se por empréstimos, de curtíssimo prazo, de
um dia, para ajustar o fluxo de caixa, das empresas.
As empresas que necessitam de recursos por prazos maiores podem recorrer a essa
modalidade de financiamento, se as suas previsões indicarem uma tendência de
queda nas taxas de juros.
A taxa de juros do hot money é linear. Apresentada na forma de taxa mensal ao dia
útil ou taxa over. A convenção do mercado é usar a taxa efetiva de um dia útil
multiplicada por 30 dias.

Geralmente, para valores elevados, a operação é contratada por um dia e, caso
necessário, renovada no dia seguinte. O procedimento evita os riscos para as
partes, em períodos de elevada oscilação das taxas de juros.
EXERCÍCIO: Com base nas taxas de hot money exibidas abaixo, calcule o montante
para um financiamento de $45.000, contratado por 5 dias corridos e 7 dias corridos.
CÁLCULO LINEAR DE FINANCIAMENTO – HOT MONEY
(1) (2) (3) (4) (5)
DIAS
CORRIDOS
DIAS
ÚTEIS
MENSAL LINEAR
DIÁRIA
EFETIVA
NO PERÍODO
1 1 6,978120% 0,232604% 0,232604%
2 2 6,986235% 0,232875% 0,465749%
3 3 6,994370% 0,233146% 0,699437%
4 4 7,002510% 0,233417% 0,933668%
5 5 7,010664% 0,233689% 1,168444%
6 5 5,842220% 0,194741% 1,168444%
7 5 5,007617% 0,166921% 1,168444%
A variação ( ) efetiva (5) foi calculada pela fórmula [((3)÷(1)].
A taxa diária (4) foi calculada pela fórmula ((5)÷(1)).
VF = VP.(1=i.n)
VF = {45.000,00[1+(0,07010664 x 5/30)]} = 45.525,80
VF = {45.000,00[1+(0,07010664 x 7/30)]} = 45.736,12
O montante ou valor futuro calculado para 5 ou 7 dias corridos é o mesmo, por
conter o mesmo número de dias úteis.
A taxa do hot money é diferente nos dois casos, mas a taxa efetiva no período
é a mesma.
5. Capitalização composta de juros
No regime de capitalização COMPOSTO, os juros incidem sobre o capital inicial,
bem como sobre os juros acumulados, obtendo-se um montante que resulta do
crescimento EXPONENCIAL do capital.
Enquanto, o cálculo de juros simples é conhecido por cálculo linear, o cálculo de
juros compostos é conhecido como juros sobre juros ou CÁLCULO EXPONENCIAL DE
JUROS.

EXERCÍCIO: Adotando um capital de $1.000 e uma taxa de juros de 10% ao mês, em
operação que envolve 3 meses, construa o diagrama de cash flow pelo regime
composto de capitalização de juros.
0 1 2 3
1000
1100
1210 1331
121110
0
100
DATA
JUROS
CAPITAL
REGIME COMPOSTO DE CAPITALIZAÇÃO
O capital de $1.000 aplicado à taxa de 10% ao mês, sob o regime composto de
capitalização, a base de cálculo dos juros do primeiro período é o capital inicial ou
valor presente.
Para o cálculo dos juros referente ao segundo período, são tomados como base de
cálculo o capital inicial mais os juros do primeiro período. Para o cálculo dos juros
do terceiro período, a base adotada é de $1.210 = $1000+$100+$110
5.1. Fórmula composta do Montante ou Valor Futuro
Montante para 1 período:
VF1 = VP.(1+i1)
Montante para 2 períodos:
VF2 = VP.(1+i1)(1+i2)
Se a taxa de juros for constante, então:
VF2 = VP.(1+i)2
Para n períodos, temos:
VFn = VP.(1+i1)(1+i2)(1+i3)(1+in)
Mantida a premissa da taxa de juros i ser constante para n períodos, temos:
VF = VP.(1+i)n
A fórmula do Montante ou Valor Futuro a juros compostos:

1. Vale para casos em que a taxa de juros é constante, cujo diagrama do cash
flow envolve únicas entrada e saída no período.
2. É a equação mais importante da Matemática Financeira. Base para as
fórmulas do Prazo, da Taxa de Juros e do Valor Presente.
EXERCÍCIO: Qual é o valor futuro no dia do vencimento da operação de
financiamento de capital de giro no valor de $80.000 por 90 dias, à taxa de 5,65%
ao mês.
O período de capitalização composta da taxa de juros é mensal. Basta
converter o prazo da transação também para mês (90/30).
VF = VP.(1+i)n
VF = 80.000(1+0,0565) 90/30
VF = 80.000(1,0565) 3
VF = 80.000 x 1,1793
VF = 94.340,57
5.2. Fórmula composta do Valor Presente
Conforme mencionado, a fórmula composta do Valor Presente é deduzida da
fórmula composta do Valor Futuro.
EXERCÍCIO: Qual é o valor contratado, se desembolsar $100.000 no vencimento da
operação de 90 dias, à taxa de 5,65% ao mês?
VF = VP.(1+i)n
100.000 = VP.(1+0,0565)90/30
100.000 = VP.(1,0565)3
100.000 = VP.(1,0565)3
100.000 = VP.(1,1793)
100.000
VP =
1,1793
= 84.799,15
Portanto, a fórmula composta do Valor Presente é:
VF
VP =
(1+i)n
5.3. Fórmula composta da Taxa de Juros
Também deduzida da fórmula composta do Valor Futuro.
EXERCÍCIO: Qual foi a taxa de juros na aplicação de $10.000 no dia 13 de fevereiro,
cujo valor de resgate em 17 de abril do mesmo ano foi de $10.968,42?

Do dia 13 de fevereiro ao dia 17 de abril decorreram 63 dias (15+31+17)
VF = VP.(1+i)n
10.968,42 = 10.000,00 (1+i)63/30
10.968,42
10.000,00
= (1+i)63/30
10.968,42
10.000,00
= (1+i)63/30
1,096842
1
63/30
- 1 = 4,5% am
O resultado da taxa de juros será expresso na forma decimal. Para expressá-lo
na forma percentual, basta multiplicá-lo por 100.
Assim, encontramos a fórmula composta da taxa de juros:
VF
1
n
i =
VP
- 1
5.4. Fórmula composta do Prazo
Vamos utilizar a fórmula composta do Valor Futuro para deduzir a fórmula
composta do Prazo.
EXERCÍCIO: Qual a quantidade de dias necessária para que o investimento de
$1.000 produza o valor de resgate de $3.000 se a taxa de juros é de 4,8% ao mês?
VF = VP.(1+i)n
3.000 = 1.000(1+0,048) n
Para isolar o expoente n, utilizaremos o logaritmo natural ou decimal e suas
propriedades, conforme segue:
ln3.000 = ln1.000.(1+0,048) n
ln3.000 = ln1.000 + ln.(1+0,048) n
ln3.000 = ln1.000 + n.ln.(1+0,048)
ln3.000 - ln1.000 = n.ln.(1+0,048)
ln3.000 - ln1.000
n =
ln.(1+0,048)
= 23,43 meses ou 703 dias

Assim, temos a fórmula composta da Taxa de Juros:
ln.VF – lnVP
n =
ln(1+i)
6. Calculadora financeira HP-12C
6.1. Fundamentos
De todas as máquinas financeiras, a HP 12C é a mais antiga. Lançada em 1981,
dentro da clássica série de calculadoras 10C, composta pelas máquinas HP 10C,
11C, 12C, 15C e 16C, todas lançadas entre os anos de 1981 a 1985.
A calculadora HP12C oferece mais de 120 funções específicas, que permitem
trabalhar com 20 diferentes fluxos de caixa, operações com taxa interna de retorno
e valor presente líquido. Faz cálculos complexos usando a lógica RPN (do inglês,
Reverse Polish Notation, ou notação polonesa reversa), permitindo entrada rápida
de dados e a execução eficiente dos cálculos.
Apresenta baterias de longa duração, tamanho pequeno e conveniente. Além de
programação através do teclado, o qual se assemelha ao teclado de computador.
A fabricante apresenta HP12C como calculadora que não morre. Sendo a mais
antiga e mais bem sucedida em vendas. Embora, outros modelos com recursos
adicionais tenham sido lançados posteriormente, as vendas da HP 12C seguem de
vento em popa.
Alguns catálogos de vendas destacam a superioridade mecânica de outras
máquinas, como a HP 17BII (apresentada como 15 vezes mais rápida que a 12C e
com capacidade de armazenamento e processamento quatro vezes superior) ou a
HP 19BII (15 vezes mais rápida e com capacidade 9 vezes superior de
processamento de informações).
E quais seriam as razões do uso generalizado da HP 12C. Apresento algumas
justificativas:
1. Calculadora puramente RPN, sem opções algébricas. As calculadoras HP 17B e
19B, foram lançadas em versões algébricas, rapidamente substituídas, por
confundir usuários, pelas versões BII, com RPN opcional;
2. Compradores, profissionais ligados em finanças, são ligeiramente
conservadores. A HP12C faz parte do “elegante uniforme executivo de
negócios”, o que a distingue dos modelos mais baratos.
3. Como outras calculadoras da série 10C, a HP12C possui boa e sólida aparência
“feita como um tijolo”, quando comparada ao tamanho de outros modelos de
calculadoras disponíveis no mercado;

4. Fornece as funções apropriadas, de forma rápida, e pelo preço justo.
De um modo geral, as duas principais características da calculadora poderiam ser
representadas por sua robustez e simplicidade. É fácil de operar, possuindo as
principais funções necessárias em matemática financeira.
Com a evolução dos sistemas gerenciais e das planilhas eletrônicas, o uso da HP12C
ficaria limitado a rápidas operações ou cálculos mais simples. Didaticamente, ainda
representa um excelente recurso, em função de executar as principais funções
financeiras com excelente tempo de resposta, e apresentar um custo mais baixo
que um microcomputador portátil.
6.2. Teclado
Para facilitar a memorização das principais funções executivas, que podem ser
utilizadas, vamos numerar o teclado da HP-12C. A numeração das teclas serve
como alternativa para diminuir o tempo da resposta. Incentivar o domínio de
programação, ao promover associação do teclado da calculadora HP12C às colunas
e linhas da planilha eletrônica de cálculos do Excel.
A marcação não consta do manual do proprietário. A maneira que encontrei
para aumentar a velocidade da resposta foi pensar o que tenho que fazer, e não
perder tempo imaginando o que posso fazer com o dinheiro.
Essa é a nossa principal missão, à qual todas as outras subordinam-se como
meros coadjuvantes ou enunciados. Em outras palavras, nos exercícios, não se
deixe levar pelas letras das estórias.
11 12 13 14 15 16 17 18 19
┌---------- BOND ---------┐ ┌------------ DEPRECIATION ------------┐
21 22 23 24 25 26 27 28 29
┌----------------------- CLEAR --------------------------┐
31 32 33 34 35 37 38 39
41 42 43 44 45 36/46 47 48 49
TECLADO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP12C

Exceto os operadores aritméticos (÷÷÷÷, x, -, +), todas as demais teclas
operacionais da HP12C são numeradas exatamente como demonstra figura acima.
6.2.1. Teclas de Prefixo
42A 43A
Algumas teclas da HP-12C têm até 3 funções hierárquicas de
cálculo, nas cores branca, azul e dourada.
Na literatura existente, você vai ver a função na cor branca denominada como
função primária, e as funções nas cores azul e dourada como funções secundárias
ou alternativas.
Para adaptar-nos melhor às regras do mercado financeiro brasileiro, e
compreender com precisão à frente o funcionamento da Lógica RPN, vamos
trabalhar as funções de cálculo da seguinte forma:
42A
A tecla de prefixo diretora 42Af (prefix key directress), na
cor amarela, fica na interseção da 4ª linha e 2ª coluna.
Aciona função diretora, na cor dourada.
A função assistente, na cor branca, fica no topo da tecla.
É acionada diretamente.
43A
A tecla de prefixo gerente 43Ag (prefix key manager), na
cor azul, fica na interseção da 4ª linha e 3ª coluna.
Aciona função gerente, na cor azul.
As atribuições, de cada função, estão dispostas na tabela abaixo.
COR EXEMPLO FUNÇÃO AÇÃO
BRANCA n Assistente
Faz a interface com o usuário. Auxilia as funções
superiores. Liga e desliga a calculadora. Executa
cálculos aritméticos. Movimenta a pilha operacional.
Cancela ações próprias.
AZUL 12x Gerente
Gerencia cálculos estatísticos e de datas. Desenvolve
programas residentes. Elabora cash flow (fluxo de
caixa) variável em projetos de investimentos.
Cancela ações próprias e da função assistente.
DOURADA AMORT Diretora
Apura resultados. Faz amortização, depreciação,
programação. Mapeia programas e registradores.
Cancela ações próprias e da função gerente.
Pressionando uma das teclas de prefixo faz o respectivo indicador de status, ou
flag, aparecer no visor aguardando a instrução hierárquica.
Adiante, vamos grafar as teclas com funções diretoras e gerentes. E algumas teclas
assistentes, exceto as teclas de operadores.

Veja alguns exemplos, e confira a hierarquia das funções, tal qual organograma
de departamento financeiro:
42A 15D
A função taxa interna de retorno, no inglês internal rate
of return, é numerada como 15DIRR. Fica na intersecção da
1ª linha e da 5ª coluna. É acionada pela tecla diretora de
prefixo.
34A
A função x troca com y é grafada como 34Ay↔x indicando
que a função assistente é acionada diretamente. Fica na
interseção da 3ª linha e da 4ª coluna.
43A 14G
A função fluxo de caixa, no inglês cash flow, é numerada
como 14GCFj indicando que a função cash flow é acionada
pela tecla gerente de prefixo. Fica na intersecção da 1ª
linha e da 4ª coluna.
EXERCÍCIO: Conferindo as teclas de prefixo. Pressione:
TECLAS VISOR AÇÃO EXEMPLO
42A
f
0,00
Consulta função
diretora, na cor
dourada, acima das
teclas. 25D
Depreciação
declínio em
dobro
42A 36D
0,00
Cancela ação
própria. Libera para
execução a função
assistente, na cor
branca.
24A
Variação da
percentagem
43A
g
0,00
Ativa a função
gerente, na cor
azul, embaixo das
teclas. 15G
Série
antecipada de
pagamentos
6.2.2. Referência das Funções Financeiras
Na resolução dos exercícios, usaremos a referência hierárquica variável para o
significado e ação das funções. Associando o que se pretende decidir ou obter ao
que a função financeira meramente faz.
Exemplos: 11D, 11A e 11G, conforme abaixo.
FUNCÃO TECLA FUNÇÃO FINANCEIRA
11D Diretora. Cálculo dos juros no período
11A Assistente. Cálculo do prazo ou período
11G Gerente. Cálculo anual do que está em x (visor)

6.2.3. Ligar e desligar o teclado
41A
Para começar a usar sua calculadora HP12C, pressione a tecla 41AON.
Pressionando 41AON novamente, o teclado é desligado.
Permanecendo ociosa, dependendo do volume de dados, a calculadora desliga o
teclado automaticamente após 8 a 17 minutos, para economizar a energia das
baterias.
Apenas o teclado é desligado. A máquina permanece ociosa ou off line,
conservando todos os registros e cálculos existentes nas memórias, que somam
cerca de 128kb de espaço físico.
6.3. Troca das baterias
As baterias, acopladas na parte traseira da calculadora, devem ser trocadas quando
um asterisco (*) piscar no canto esquerdo do visor. A calculadora HP12C opera com
3 baterias especiais de 1,5v.
As baterias não são recarregáveis. Nunca deixe a calculadora exposta ao sol e
calor. A vida útil das baterias está condicionada ao manuseio e transporte corretos.
6.3.1. Manuseio
Assim como você faz com o teclado do computador, dividir o teclado da HP12C,
com as duas mãos, aumenta a velocidade da informação.
As teclas de prefixo 42Af e 43Ag devem ser acionadas com o polegar esquerdo.
As teclas de algarismos e operadores aritméticos devem ser pressionadas com o
polegar direito.
Lembre-se que não precisa usar lápis e papel.
7. Teste de funcionamento dos circuitos
Para saber se a calculadora está funcionando normalmente, existem alguns
procedimentos de teste que podem ser efetuados.
7.1. Teste automático
Se a máquina estiver funcionando corretamente, depois de alguns segundos, a
expressão processando, em inglês running, será trocada no visor por todos os
indicadores ou flags, conforme figura abaixo. Exceto * (asterisco), indicador de
bateria fraca.

EXERCÍCIO: Com a calculadora desligada, vamos verificar se todos os flags do visor
estão funcionando corretamente.
TECLAS VISOR AÇÃO
X (segure)
41AON (solte) 0,00 Liga
X (solte) running Flags
-8,8,8,8,8,8,8,8,8,8
USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM
TESTE AUTOMÁTICO
7.2. Teste semi-automático
EXERCÍCIO: Com a calculadora desligada, pressione e mantenha pressionada a tecla
÷ e depois ligue a HP12C, pressionando a tecla 41AON. Solte a tecla 41AON e depois a
tecla ÷
TECLAS VISOR AÇÃO
÷ (segure)
41AON (solte) 0,00 Liga
÷ (solte) running Flags
-8,8,8,8,8,8,8,8,8,8
USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM
TESTE SEMI-AUTOMÁTICO
Para verificar todas as teclas da HP12C, nesta opção de teste é necessário
pressionar TODAS as teclas da máquina, da esquerda para a direita, de cima para
baixo.
Ou seja, é necessário pressionar todas as teclas, da tecla 11AN até a tecla ÷, depois
da tecla 34Ay↔x até a tecla x, da tecla 31AR/S até a tecla -, pressionando, na
passagem, a tecla 36AENTER e, por último, da tecla 41AON até a tecla [+], passando,
também, pela tecla 36AENTER.
Assim, a tecla 36AENTER deverá ser pressionada em duas passagens distintas. Por
isso, a função é grafada na FIGURA 1 como 36AENTER e 46AENTER.
De forma similar ao teste anterior, se o mecanismo da máquina estiver funcionando
corretamente, após pressionar todas as teclas na ordem descrita, o visor indicará o
número 12 no centro.
Se aparecer a expressão "Error 9" ou não aparecer nada, a calculadora está com
problemas. Recomendo você procurar suporte no site ou uma oficina de assistência
técnica autorizada pela fabricante.

8. Ponto e vírgula decimais
O sistema americano dólar é default (padrão de fábrica) da separação da parte
inteira da parte decimal (decimal point) de um número.
Para usar a configuração monetária do sistema financeiro brasileiro, com vírgula
antes dos centavos (decimal comma), proceda da seguinte forma, com a
calculadora desligada.
EXERCÍCIO: Configurar o padrão monetário da sua HP.
FUNÇÃO VISOR AÇÃO
48A. (segure) Brasil
41AON (solte) 0,00 liga
48A. (solte) 0,00 Decimal comma
41AON (solte) desliga
48A. (segure) EUA
41AON (solte) 0.00 liga
48A. (solte) 0.00 Decimal point
O número de casas decimais é critério de cada usuário. Na resolução da
maioria dos nossos exercícios usaremos o padrão monetário brasileiro (decimal
comma) e 2 casas decimais.
9. Limpeza do registrador X (visor)
35A
A tecla 35ACLX, do inglês clear x, limpa o visor. Qualquer número que
estiver no registrador X (visor) será automaticamente substituído por zero
e desconsiderado na cadeia de cálculo.
EXERCÍCIO: Calcular 15÷4. Antes de pressionar a função ÷ substituir 4 por 3.
42Af 35DCLX 0,00 0,00
15 36AENTER 15,00 Numerador
4 35ACLX 3 3,00 Denominador
÷ 5,00 Produto
10. Troca de Sinal
16A
A tecla 16ACHS, do inglês change sign, troca o sinal de um número, de
positivo para negativo e vice-versa.

EXERCÍCIO: Calcular 5x2-1/2
42Af 35DREG 0,00 0,00
5 36AENTER 5,00 1° termo
2 36AENTER 2,00 Radicando
2 22A1/x 16ACHS -0,50 Índice (grau da raiz)
21Ayx
0,71 Índice (grau da raiz)
X 3,54 5x2-1/2
11. Memórias e registradores
A HP-12C possui quatro registradores de pilha operacional. Além dos registradores
X, Y, Z e T, que compõem a pilha operacional, a calculadora conta com outros 20
registradores de armazenamento (memórias) para guardar números.
Caso a calculadora tenha algum programa residente, o número de registradores
disponíveis poderá ficar reduzido. Porém, sempre restará pelo menos 7
registradores disponíveis para armazenagem manual (0 ao 6).
EXERCÍCIO: Conferir a quantidade de memórias disponíveis.
43Ag 19GMEM P-08 r-20 MEM disponíveis
Se todas as memórias estiverem disponíveis aparecerá no visor “(r-20)”. Caso
apareça um número menor do que 20, pode ser algum programa carregado na
memória de programação. Para voltar a 20 memórias livres, limpe as memórias
executando:
EXERCÍCIO: Liberar as memórias da calculadora.
- (segure) 0,00
41AON (segure) 0,00
Solte as duas teclas 0,00
Liberar
MEM
11.1. Limpeza de memórias e registradores
A HP-12C conta com cinco tipos de memória:
1. Pilha operacional
2. Registradores de uso geral
3. Registradores financeiros

4. Memórias de programação
5. Memórias estatísticas (registros de uso geral de 1 a 6)
As cinco teclas do menu CLEAR acionadas pela função 42Af, apagam
simultaneamente uma série de registradores, conforme tabela abaixo:
FUNÇÃO AÇÃO
35A
Limpar o visor (registrador X).
42A 32D
Limpar os registradores estatísticos (R1 a R6) e registradores
da pilha operacional (X, Y, Z e T) e o visor.
42A 34D
Apagar os registradores financeiros
42A 35D
Apagar todos os registradores de armazenamento,
financeiros, pilha operacional e o visor.
42A 33D
Apagar a memória de programação. As teclas 42Af 31DR/S
acionam o modo programação.
42A 36D
Cancelar as teclas 42A , 43A , 44A , 33G
12. Cálculos usando registradores
12.1. Registradores da Memória
44A 45A
Os registradores da memória trabalham com 20 memórias, que
podem ser visualizadas como 20 endereços numerados de 0 até 9
e de .0 até .9, sendo que o ponto tem o valor de 1.
Para guardar ou buscar um número que se encontra na memória, execute:
TECLA FUNÇÃO
44A
44ASTO, armazenar, do inglês store, seguida da tecla de endereçamento
(0, 1, 2,..., 9, .0, .1, .2,..., .9, para armazenar um número na
memória).
45A
45ARCL, recuperar, do inglês recall, seguida da tecla de armazenamento
cujo valor foi anteriormente endereçado, para fazer retornar ao visor
algum número que se encontra na memória.

EXERCÍCIO: Armazenar -2x3 no registrador 5.
42Af 35DREG 0,00 0,00
2 35ACHS 36AENTER 3 x -6,00 -2x3
44ASTO 5 -6,00 Armazena -2x3 no registrador 5
EXERCÍCIO: Calcular 6x5 e somar ao produto armazenado no registrador 5.
42Af 35DREG 0,00 0,00
6 36AENTER 5 x 30,00 6x5
45ARCL 5 + 24,00 6x5+(-2x3)
EXERCÍCIO: Guardar 15 na memória 5. Na memória 12, armazenar 22. Chamar de
volta o número 15. Por último, acumular 4, 5 e 8 na memória 3.
42Af 35DREG 0,00 0,00
15 44ASTO 5 15,00 Guardar 15 na MEM 5
22 44ASTO. 2 (o ponto vale 1) 22,00 Guardar 22 na MEM .2
45ARCL 5 15,00 Resgatar 15
4 44ASTO 3 5 44ASTO + 3 8 44ASTO + 3 8,00 Informar soma
45ARCL 3 17,00 4+5+8
As memórias que aceitam acumulação de valores são 0, 1, 2, 3 e 4. Também podem
ser feitas subtrações, multiplicações ou divisões usando: 44ASTO - ou 44ASTO x ou
44ASTO ÷÷÷÷.
EXERCÍCIO: Digite 7 44ASTO + 9. Aparecerá no visor a mensagem “Error 4”. A
memória 9 não aceita acumulação de valores.
42Af 35DREG 0,00 0,00
7 44ASTO + 9 Error 4 MEM 9 não acumula
EXERCÍCIO: O seu último saldo no banco era igual a $7.000. Desde a última
posição, você emitiu cheques, nos valores de $50 e $120. Efetuou depósito no valor
de $250 e, no período, foram debitados $9,53 de tarifas bancárias, e $68,65 do
débito automático da conta de luz. Qual o valor do seu saldo atual?
O saldo pode ser controlado no registrador 1, por exemplo:

PASSO FUNÇÃO VISOR AÇÃO
01 42Af 35DREG 0,00 Limpa os registradores
02 700 44ASTO 1 700,00 Saldo anterior
03 50 44ASTO 1 - 650,00 Pagamento
04 120 44ASTO 1 - 530,00 Pagamento
05 250 44ASTO 1 780,00 Depósito
06 9,53 44ASTO 1 - 770,47 Tarifas bancárias
07 68,65 44ASTO 1 - 701,82 Conta de luz
08 45ARCL 1 701,82 Saldo atual
12.2. Registrador estatístico – somatório
49A 49G
As teclas 49AΣ+ e 49GΣ- são utilizadas para cálculos estatísticos
básicos. Através delas, é possível acumular ou subtrair várias
somas distintas de valores introduzidos em sua calculadora.
Antes de armazenar valores nos registradores estatísticos é necessário limpar o
conteúdo anterior mediante a função 42Af 32DΣ
1. 42Af 32DΣ: Limpa os registradores estatísticos.
2. 49AΣ+: acrescenta dados aos registradores estatísticos.
3. 49GΣ-: subtrai dados aos registradores estatísticos.
É possível construir as principais medidas estatísticas como a média, o desvio-
padrão e o coeficiente de correlação, que serão abordadas posteriormente.
A calculadora HP12C armazena conjunto de somatórios. Não armazena dados
individuais, conforme figura abaixo.
REGISTRADOR ESTATÍSTICO REGISTRADOR HP12C
N: número de dados armazenados R1: Registrador 1
ΣX: somatório de X R2: Registrador 2
ΣX2: somatório de X ao quadrado R3: Registrador 3
ΣY: somatório de Y R4: Registrador 4
ΣY2: somatório de Y ao quadrado R5: Registrador 5
ΣXY: somatório de (X vezes Y) R6: Registrador 6
REGISTRADORES ESTATÍSTICOS
Para recuperar o número de elementos incluídos nos somatórios (n) basta
recuperar o registrador 1: 45ARCL 1

Para recuperar o Σ XY basta recuperar o registrador 6: 45ARCL 6
EXERCÍCIO: Calcule o somatório das vendas na semana, conforme tabela abaixo:
DIA VENDAS
2ª feira $5.897
3ª feira $6.280
4ª feira $3.279
5ª feira $2.385
6ª feira $9.6420
Para recuperar o ΣX, somatório de X, recupere o registrador 2: 45ARCL 2
PASSO FUNÇÃO VISOR AÇÃO
01 42Af 32DΣ 0,00 Limpar registradores estatísticos
02 5.897 49AΣ+ 1,00 Vendas na 2ª feira (1º dia útil)
03 6,280 49AΣ+ 2,00 Vendas na 3ª feira (2º dia útil)
07 45ARCL 2 27.483,00 Vendas na semana
EXERCÍCIO: Para comemorar 50 anos de casamento, uma senhora comprou 6
garrafas de cerveja sem álcool a $0,81 cada, 12 extratos de suco natural diet, a
$0,50 cada, e 36 litros de whisky, White Horse 18 anos, a $69 cada. Quanto gastou
em bebidas no total?
42Af 32DΣ 0,00 0,00
6 36AENTER 0,81 x 4,86 Valor da cerveja
49AΣ+ 1,00 Armazena o 1º valor
12 36AENTER 0,50 x 6,00 Valor do suco
36 36AENTER 69 x 2.484,00 Valor do whisky
45ARCL 2 2.494,86 Valor total das bebidas
Quando utilizamos a tecla 49AΣ+, a soma fica automaticamente armazenada no
R2 (Registrador 2).
EXERCÍCIO: Vamos supor que tenha havido um engano. O preço de cada garrafa de
whisky não era $69, e sim $96.

Supondo que os dados ainda estejam contidos na sua calculadora, é possível
corrigir os cálculos, utilizando a tecla 49GΣ-
36 36AENTER 69 x 2.484,00 Valor errado do whisky
49GΣ- 2,00 Armazena o 1º valor
36 36AENTER 96 x 3.456,00 Valor corrigido do whisky
45ARCL 2 3.466,86 Valor total de bebidas
13. Número de casas decimais: arredondamento
13.1. Casas decimais
Para escolher o número de casas decimais pressione a tecla 42f seguida do número
indicativo da quantidade de casas desejada (1, 2, 3, …, 9). A tecla do ponto
decimal deverá ser pressionada se o número possuir dígitos na parte decimal; se o
número for inteiro, o ponto decimal é irrelevante.
EXERCÍCIO: Fixar 9 casas decimais. Dividir 14 por 6 fixando o resultado com 2 casas
decimais. Depois, fixar o resultado com 6 casas decimais.
42Af 35DREG 0,00 0,00
42Af 9 0,000000000 9 casas decimais
14 36AENTER 14,00 Fator
6 ÷ 2,33 2 casas decimais
A fixação de casas decimais é uma função assistente, ao nível de visor.
Pressionando 42Af 36DPREFIX podemos ver o cálculo interno executado com até 9
casas decimais, sem afetar as funções ativas.
13.2. Arredondar número
42A 14D
Permite o arredondamento da parte fracionária de um número.
O número apresentado no visor, após a instrução, passa a ser o
número contido internamente.
O critério de arredondamento utilizado pela calculadora é convencionado
internacionalmente. Ou seja, de 0 a 4 arredonda-se para baixo e de 5 a 9 para
cima.

EXERCÍCIO: Arredondar o número 58,745839, com 2 casas decimais.
42Af 42DREG 0,00 0,00
58,745839 36AENTER 58,75 2 casas decimais
42A f 6 58,745839 Nº armazenado
42Af 2 42Af 14DRND 58,75 Nº arredondado
42Af 6 58,750000 Nº armazenado arredondado
14. Parte inteira e fracionária de número
Tendo, no visor da calculadora, um número composto de uma parte inteira e outra
fracionária, elimine uma ou outra.
14.1. Parte inteira de um número
43A 25G
Essa função elimina a parte fracionária e mantém a parte
inteira.
EXERCÍCIO: Manter somente a parte inteira do número 538,2673.
42f 42REG 0,00 0,00
42f 4 0,0000 4 casas decimais
538,2673 43g 25GINTG 538,0000 Fração eliminada
14.2. Parte fracionária de um número
43A 24G
É o caso oposto do exemplo anterior: elimina-se a parte inteira
e mantém-se a parte fracionária.
EXERCÍCIO: Eliminar a parte inteira do número 538,2673.
42Af 35DREG 0,00 0,00
538,2673 43Ag 24GFRAC 0,2673 Fração mantida

14.3. Recuperando a parte inteira ou fracionária
43A 36G
Executadas as funções 43Ag 15GINTG ou 43Ag 14GFRAC, como nos
exemplos anteriores, ficam zeradas, respectivamente, as
partes fracionária e inteira do número original.
Para recuperar o número completo basta pressionar as teclas
43Ag 36GLSTx. Pressionando 43Ag 36GLSTx, do inglês last x, o valor
de X (visor), antes da última operação, volta para X (visor).
EXERCÍCIO: Eliminar a parte fracionária do número 120,83. Em seguida, recupere o
número original.
42Af 42DREG 0,00 0,00
120,83 43Ag 15GINTG 120,00 Fração eliminada
43Ag 36GLSTx 120,83 Nº recuperado
EXERCÍCIO: A empresa faturou $7.474.480 brutos, referentes a 14.374 produtos
vendidos, e $1.543.500 de serviços prestados. Ache o preço unitário do produto
(vamos admitir que você se engane e considere 14.347 unidades vendidas).
42Af 42DREG 0,00 0,00
7474480 36AENTER 7.474.480,00 Faturamento do produto
14347 ÷ 520,98 Preço unitário errado
43Ag 36GLSTx 14347 Recupera última entrada
x 7.474.480,00 Recompõe faturamento
14374 ÷ 520,00 Preço unitário certo
15. Entrada de expoente de 10
26A
O visor da HP-12C tem capacidade para até 10 dígitos. Isto impossibilita
a digitação de um número muito grande ou muito pequeno.
Para trabalhar com números que tenham mais de 10 algarismos, é necessário, fazer
a prévia conversão para notação científica. A tecla 26AEEX, do inglês enter expoent,
é usada para fazer operações com grandes números.
EXERCÍCIO: Converter para notação científica os números 0,00000000000111 (muito
pequeno) e 1.230.000.000.00 (muito grande).

NOTAÇÃO CIENTÍFICA
0,00000000000111 = 1,11 x 10-12
1.230.000.000.000 = 1,23 1012
15.1. Convertendo número para notação científica
42A 48A
Qualquer número com até 10 algarismos pode ser convertido à
notação científica pela própria HP-12C ao pressionar as teclas
42f.. Para retornar à notação normal pressione 42f 2
EXERCÍCIO: Converter à notação científica o número 4.308.697.
Como o número contém menos de 10 dígitos, é possível a conversão direta à
notação científica.
42Af 35DREG 0,00 0,00
4308697 42Af . 4,308697 06 4,308697 x 106
EXERCÍCIO: Calcule a dívida per capita de um país, admitindo uma dívida externa
de $150.000.000.000 (150 x 109
= 15 x 1010
) e uma população de 130.000.000 (130 x
106
= 13 x 107
) de habitantes.
42Af 35DREG 0,00 0,00
15 16AEEX 10 15, 10 15 (mantissa) x 1010
(expoente)
36AENTER 1,5 11 15 x 1010
(notação científica)
13 16AEEX 7 13, 07 13 x 107
÷ 1.153,85 Dívida externa per capita
Quando o número 150 bilhões aparece no visor em notação científica
(1,500000) basta deslocar o ponto decimal 10 casas à direita para obter o número
em seu formato original. O mesmo acontece quando queremos calcular o fatorial
de 15. Pressionando 15 43Ag 39Gn! faz aparecer no visor 1,3076674 12, que
significa 1,307674 x 1012 = 1.307.674.000.000 (o ponto decimal foi deslocado 12
casas à direita).
A quantidade máxima de dígitos aceita para a mantissa (parte inteira + parte
fracionária) são 10. Sendo 7 o número máximo de dígitos para a parte inteira.
Embora a calculadora opere com tamanho 10 de mantissa, no visor aparecerão
apenas 7.

Para ver os algarismos armazenados pressione e segure a tecla 42Af 36GPREFIX
16. Mensagens de erro
Certas operações não podem ser realizadas sob determinadas condições. Por
exemplo, a divisão quando o número que estiver no visor for igual a zero, entre
outras operações. O quadro abaixo resume os tipos de erros por assunto.
ERRO SIGNIFICADO
Error 0 Operações Matemáticas
Error 1 Excesso (“overflow”) de Armazenamento
Error 2 Operações Estatísticas
Error 3 IRR (Internal Rate Return)
Error 4 Memória
Error 5 Juros Compostos
Error 6 Registradores de Armazenamento
Error 7 IRR
Error 8 Calendário
Error 9 Auto-Teste
EXERCÍCIO: Dividir 5 por 0.
42Af 35DREG 0,00 0,00
5 36AENTER 5,00 Numerador
0 ÷ Error 0 Divisão por 0
17. Lógica operacional RPN
A lógica operacional da HP-12C é baseada numa lógica
matemática não ambígua, que não utiliza parênteses e o sinal
de igual, conhecida como Notação Polonesa Reversa (Reverse
Polish Notation), desenvolvida pelo matemático polonês Jan
Lukasiewics (1878-1956).
Enquanto a Notação Algébrica convencional posiciona
operadores entre números ou variáveis relevantes, a Notação
Lukasiewics posiciona operadores depois dos números. Essa é a
razão do nome Notação Polonesa Invertida.

17.1. Cadeia de cálculos: sem parênteses e sinal de igual
A rapidez e a simplicidade dos cálculos quando se utiliza RPN são evidentes numa
cadeia de cálculos com mais de uma operação. A pilha de memória RPN, como verá
adiante, armazena resultados intermediários. A adição de percentagem e a raiz
cúbica são dois exemplos elementares de cadeias de cálculos.
EXERCÍCIO: Calcular 7x(12+3)
Inicie o cálculo dentro dos parênteses encontrando 12+3. Observe que não
precisa pressionar 36AENTER para salvar resultados intermediários. Sendo um
resultado calculado, esse é um saldo automático – sem utilizar parênteses.
42Af 35DREG 0,00 0,00
12 36AENTER 3 + 15,00 Intermediário
7 x 105,00 7x(12+3)
EXERCÍCIO: Calcular [(750x12)÷360]
42Af 35DREG 0,00 0,00
750 36AENTER 12 x 360 ÷ 25,00 [(750x12)x360]
17.2. RPN: Pilha automática de memória
Como vimos, o armazenamento automático de resultados intermediários é a razão
pela qual o modo RPN facilmente processa cálculos complicados – sem utilizar
parênteses e o sinal de igual. A chave para o armazenamento automático é a pilha
automática de memória RPN.
A pilha de memória, área de trabalho para cálculos, consiste de até 4 posições de
armazenamento chamadas registradores, os quais são “empilhados” uns em cima
dos outros.
Esses registradores, rotulados como X, Y, Z e T, armazenam e manipulam 4
números correntes. O número “mais antigo” será o que estiver no registrador T
(topo da pilha). O número “recente” é o que estiver no visor.
T 0 Número “mais antigo”
Z 0
Y 0
X 0 Número “mais recente” - Visor
MODO RPN – LÓGICA LUKASIEWICS

17.3. Rotação da pilha
33A
A tecla rolar para baixo 33AR↓↓↓↓, do inglês roll down, permite a revisão de
todo o conteúdo da pilha “rolando-o” para baixo, um registrador por
vez.
Admita que a pilha seja preenchida com 1, 2, 3 e 4 (pressione 1 36AENTER, 2
36AENTER, 3 36AENTER, 4). Acionando 33AR↓↓↓↓ quatro vezes, os números rolam por
todos os registradores e voltam às suas posições iniciais. Essa tecla é mais utilizada
no modo programação.
T
Z
Y
X
1
2
3
4
4
1
2
3
3
4
1
2
2
3
4
1
1
2
3
4
33A 33A 33A 33A
TECLA 33AR↓↓↓↓
Pressionando 33AR↓↓↓↓, o valor do registrador X rola para o registrador T. Observe que
o conteúdo dos registradores é rolado, enquanto os registradores mantêm suas
posições. A calculadora apresenta apenas o registrador X.
Apagando a pilha com 42Af 35DREG reduzimos o tamanho da pilha a apenas um
registrador X, contendo zero. À medida que novos números são introduzidos, a
pilha será reconstruída.
17.4. Troca de X com Y
34A
Outra tecla que manipula o conteúdo da pilha é 34Ax↔↔↔↔y (X permuta ou
troca com Y). Essa tecla troca de lugar o conteúdo dos registradores X e
Y, sem afetar o resto da pilha.
Pressionando novamente 34Ax↔↔↔↔y a ordem original dos conteúdos será
restabelecida. A função 34Ax↔↔↔↔y é utilizada para permutar a ordem do divisor (÷÷÷÷)
em uma cadeia de cálculos.
T
Z
Y
X
1
2
3
4
1
2
3
4

34A
TECLA 34Ax↔↔↔↔y
EXERCÍCIO: Calcular 9÷(13x8).
42Af 35DREG 0,00 0,00
13 36AENTER 8 x 9 34Ax↔↔↔↔y ÷ 0,09 9÷(13x8)
17.5. Como funciona a pilha automática de cálculo?
Nas operações aritméticas, o conteúdo da pilha de memória é movido
automaticamente para cima e para baixo, quando novos números são introduzidos
no registrador X – visor (levantando a pilha). E quando operadores aritméticos
combinam dois ou mais números reproduzindo um resultado calculado no
registrador X – visor (deixar a pilha cair).
A figura seguinte mostra uma pilha, na qual os valores dos quatro registradores são
diferentes de zero. Veja como uma pilha completa deixa cair, levanta e deixa cair
novamente seu conteúdo enquanto faz cálculos.
EXERCÍCIO: Calcular 13x4-9. Visualizar o cálculo na pilha operacional.
42Af 35DREG 0,00 0,00
13 36AENTER 4 x 9 - 43,00 13x4-9
T
Z
Y
X
LEVANTA
0
0
0
13
36AENTER
0
0
13
13 4
LEVANTA
0
0
13
4 x
DEIXACAIR
0
0
0
52 9
DEIXACAIR
0
0
52
9 x
DEIXACAIR
0
0
0
43
13 (back-up)
PILHA OPERACIONAL AUTOMÁTICA DE CÁLCULO
Devido ao movimento automático da pilha, não precisamos apagar o visor antes de
fazer novo cálculo.
Quando a pilha deixa cair (resultado calculado), o conteúdo do registrador T é
repetido “escrevendo” por cima do que estiver no registrador X – visor.

Quando a pilha levanta (entrada de dados), o conteúdo do registrador T é jogado
para fora (o número é perdido). Isso mostra que a pilha operacional é limitada a
quatro registradores.
A maioria das funções, exceto 36AENTER e 35ACLx, preparam a pilha para levantar
seu conteúdo quando um número entra no registrador X.
17.6. Como funciona a tecla 36AENTER?
A tecla 36AENTER separa dois números digitados, um depois do outro. Isto é, a tecla
36AENTER deve ser usada para prosseguir os cálculos somente se o número que
estiver no visor foi digitado.
EXERCÍCIO: Assumir que a pilha operacional esteja carregada com números
apresentados como resultado de cálculos anteriores. Calcular 8÷2 e visualizar a
memória da pilha operacional.
9
(perdido)
8
(perdido)
7
(back-up)
T
Z
Y
X
9
8
7
6 8
LEVANTA
8
7
6
8
36AENTER
LEVANTA
7
6
8
8 2
NÃOLEVANTA
7
6
8
2 +
DEIXACAIR
7
7
6
4
8(back-up)
TECLA 36AENTER
A tecla 36AENTER repete o conteúdo do registrador X no registrador Y. O próximo
número digitado ou recuperado será posicionado sobre a cópia (back-up) do
primeiro número que ficou no registrador X.
O efeito é simplesmente a separação de dois números digitados em seqüência.
A tecla 36AENTER oferece outros recursos. Para utilizar um número duas vezes
numa fileira. Isto é, adicionar um número a si próprio (constante).
Confira no exercício seguinte um exemplo de crescimento cumulativo constante.
EXERCÍCIO: Uma empresa prevê que suas vendas dobrem uma vez por ano, As
vendas atuais são $84.000. Quais serão as vendas nos próximos 3 anos?
Antes, faça o desenho rápido do fluxo de caixa, conforme segue: para ajudar
durante a resolução do exercício.

42Af 35DREG 0,00 0,00
2 36AENTER 36AENTER 36AENTER 2,00 Constante
84000 84.000,00 Ano 0
x 168.000,00 Ano 1
x 336.000,00 Ano 2
x 672.000,00 Ano 3
0 1 2 3
84.000
168.000
672.000
336.000
O processo automático de levantar e deixar cair o conteúdo da pilha permite a
retenção de resultados intermediários sem retrabalho, e sem utilizar parênteses e
sinal de igual. Essa é uma vantagem da pilha RPN sobre a Lógica Algébrica.
17.7. Principais recursos da Lógica RPN
1. Nunca é preciso trabalhar com mais de dois números ao mesmo tempo.
2. A tecla 36AENTER separa dois números digitados em seqüência.
3. Pressionar uma tecla de operação executa o cálculo imediatamente.
4. Resultados intermediários aparecem quando são calculados, podendo ser
checado cada passo do cálculo.
5. Resultados intermediários são armazenados automaticamente.
Reaparecendo, quando solicitados, para novos cálculos. O último resultado
armazenado é o primeiro a reaparecer.
Podemos calcular na mesma ordem que faríamos com lápis e papel – de dentro para
fora dos parênteses.
EXERCÍCIO: Calcular [360÷(750x12)]
42Af 35DREG 0,00 0,00
360 36AENTER 750 36AENTER 12 x ÷ 0,04 Produto

EXERCÍCIO: Calcular [((456-75)÷18,5).(68÷ 1,9)]
42Af 35DREG 0,00 0,00
456 36AENTER 75 – 18,5 ÷ 68 36AENTER 1,9 ÷ x 737,07 Produto
EXERCÍCIO: Calcular √(5,4x0,8)÷(12,5-0,73
)
42Af 35DREG 0,00 0,00
5,4 36AENTER 0,8 x 0,7 36AENTER
3 11Ay↔x 12,5 11Ay↔x - ÷ 43Ag 11G√x
0,6 Produto
EXERCÍCIO: Calcular [8,33x(4-5,2)÷(8,33-7,46)x0,32]
√ [4,3x(3,15-2,75)-(1,71x2,01)]
42Af 35DREG 0,00 0,00
8,33 36AENTER 4 36AENTER 5,2 - x
8,33 36AENTER 7,46 – 0,32 x ÷
4,3 36AENTER 3,15 36AENTER 2,75 – x
1,71 36AENTER 2,01 x - ÷ 43Ag 11G√x
4,57 Produto
18. Operadores matemáticos
18.1. Soma, Multiplicação, Subtração e Divisão
O modo RPN exige a digitação dos valores para depois efetuar a operação
aritmética. A tecla 36AENTER separa números digitados e o operador matemático
completa o cálculo.
Não precisa utilizar 36AENTER antes de um operador.
Operador matemático é função assistente, na cor branca, acionada
diretamente.

EXERCÍCIO: Calcular 12+3; 12-3; 12x3; 12÷3; 122
; √12; e 1/12.
42Af 35DREG 0,00 0,00
12 36AENTER 3 + 15,00 12+3
12 36AENTER 3 - 9,00 12-3
12 36AENTER 3 x 36,00 12x3
12 36AENTER 3 ÷ 4,00 12÷3
12 36AENTER 2 21Ayx
144,00 122
12 43Ag 21G√x 3,46 √12
12 22A1/x 0,08 1/12
18.2. Potenciação – exponenciação
21A
Exponenciação ou potenciação é uma operação unária usada em
aritmética para indicar a multiplicação de uma dada base por ela
mesma tantas vezes quanto indicar o expoente, e é a operação
matemática oposta à radiciação.
EXERCÍCIO: Calcular 54
, (1,08)12
, (2,90)181/360
e 121/3
42Af 35DREG 0,00 0,00
5 36AENTER 4 21Ayx
625,00 54
1,08 36AENTER 12 21Ayx
2,52 (1,08)12
2,90 36AENTER 2,90 base
181 36AENTER 360 ÷ 0,50 expoente
21Ayx
1,71 (2,90)181/360
12 36AENTER 3 22A1/x 21Ayx
2,29 121/3
18.3. Percentagem
25A 23A 24A
Percentagem é a fração centesimal de um número
chamado principal, calculada a uma determinada taxa.
Na HP-12C, a função 25A% processa a percentagem de
um número.
18.3.1. Percentual
25A
A tecla 25A% calcula a percentagem sem utilizar a tecla x. Combinada com
+ ou -, adiciona ou subtrai percentagens.

EXERCÍCIO: Calcular 27% de 200, 200 menos 27% e 12% a mais que 25.
42Af 35DREG 0,00 0,00
200 36AENTER 27 % 54 27% de 200
200 36AENTER 27 % - 146,00 200 menos 27%
25 36AENTER 12 % + 28,00 12% a mais que 25
Compare essas seqüências de teclas nos modos RPN e ALG
Calcular RPN ALG
27% de 200 200 36AENTER 27 % 200 X 27 % =
200 menos 27% 200 36AENTER 27 % - 200 – 27 % =
18.3.2. Cálculo do montante com taxa e principal conhecidos
Vimos anteriormente, no regime composto de capitalização de juros, que o capital
inicial ou valor presente é o valor sobre o qual incide uma taxa percentual de
juros, na maioria das vezes conhecida.
O montante ou valor futuro é o valor do capital inicial acrescido ou decrescido
(desconto) da porcentagem.
No modo RPN, ao pressionar a tecla 25A% o resultado fica no registrador X e o
valor do principal armazenado no registrador Y.
EXERCÍCIO: Um produto que custava $70 foi reajustado 4,5%. Qual o novo preço de
venda?
42Af 35DREG 0,00 0,00
70 36AENTER 4,5 25A% + 73,15 Novo preço de venda
O acréscimo ($3,15) encontra-se no registrador X e o valor do principal ($70)
está armazenado no registrador Y. Para saber o novo preço de venda de $73,15
($3,15+$70), basta acionar a função +.
18.3.3. Cálculo do principal com taxa e montante conhecidos
A HP-12C não possui uma tecla específica para resolução deste tipo de problema. A
solução é obtida pela resolução aritmética da fórmula do valor presente.
VF
VP =
(1+i)n

EXERCÍCIO: Um produto está sendo vendido com 10% de desconto sobre o preço de
lista. Qual o preço de lista se o produto foi comprado por $545,50?
42Af 35GREG 0,00 0,00
545,50 36AENTER 545,50 Preço praticado
1 36AENTER 1,00 Base 100 da taxa de juros
10 25A% 0,10 Desconto
- 0,90 Denominador
÷ 606,11 Preço antigo
18.3.4. Percentual do total
23A
A tecla 23A%T calcula a participação no total de cada item do conjunto.
EXERCÍCIO: Os produtos A, B e C foram vendidos por $1.550, $2.985 e $3.742,
respectivamente. Determinar a participação de cada um deles na venda.
42Af 35DREG 0,00 0,00
1550 36AENTER 27 % 1.550,00 Produto A
2985 + 4.535,00 Soma dos produtos A e B
3742 + 8.277,00 Soma total
1550 23A%T 18,73 % do produto A sobre o total
36ACLX 2985 23A%T 36,06 % do produto B sobre o total
36ACLX 3742 23A%T 45,21 % do produto C sobre o total
18.3.5. Diferença percentual entre 2 números
24A
Para usar a função 24A %, de variação de valores, informe primeiro o
valor antigo e depois o atual.
EXERCÍCIO: Determinado título foi vendido em julho por $13.254,67. No mesmo
período do ano anterior, valia $4.554,05. Calcular a variação monetária desse
título.
42Af 35DREG 0,00 0,00
4554,05 36AENTER 4.554,05 Valor antigo
13254,67 24A % 191,05 % de variação (inflação)
EXERCÍCIO: Calcule a variação no preço de um produto no mês de agosto. No dia 1º
custava $0,78 e no dia 31 estava custando $0,73.

42Af 35DREG 0,00 0,00
0,78 36AENTER 0,78 Valor antigo
0,73 24A % -6,41 % de variação (deflação)
EXERCÍCIO: Calcular o prejuízo dos investidores do título que vale $25,70 que, dois
dias atrás, era cotado em $120 na Bolsa de Valores.
42Af 35DREG 0,00 0,00
120 36AENTER 120,00 Valor antigo
25,70 24A % -78,58 % de variação (deflação)
18.4. Inverso de um número
22A
O inverso de um número x é o número 22A1/x. Pressione 22A1/x para se
obter o inverso de um número. Para saber o número que foi invertido
pressione novamente a tecla 22A1/x.
EXERCÍCIO: Calcular 1/63
; (1,95)1/12
; e o número inverso de 26.
42Af 35DREG 0,00 0,00
6 22A1/x 3 21Ayx
0,005 1/63
1,95 36AENTER 12 22A1/x 21Ayx
1,06 (1,95)1/12
26 22A1/x 0,04 1/26
EXERCÍCIO: Qual o número cujo seu inverso é 0,04?
42f 35REG 0,00 0,00
0,04 221/x 25,00 1/0,04
18.5. Radiciação
22A 21A 43A 21G
A HP-12C possui tecla específica apenas para raiz quadrada. Para qualquer outra
potência de raiz utilizam-se outras teclas, como veremos a seguir.

18.5.1. Raiz quadrada
43A 21G
As teclas 43Ag 21G√√√√x calculam a raiz quadrada de um número que
se apresenta no visor.
EXERCÍCIO: Calcular a raiz quadrada dos números 2025 e 30276.
42af 35dREG 0,00 0,00
2025 43Ag 21G√x 45,00 √2025
30276 43Ag 21G√x 174,00 √30276
18.5.2. Cálculo de outras raízes
22A 21A
1. A raiz quadrada de um número (√x) pode ser escrita na forma x1/2
. Assim, √x
= x1/2
.
2. A raiz de ordem qualquer número x, sendo x = índice ou grau da raiz de um
número y (radicando), pode ser escrita como x
√y1
= y1/x
.
3. As teclas 22A1/x e 21Ayx
são usadas para calcular a raiz de índice x qualquer.
4. Caso os valores do radicando (y) ou índice da raiz (x) sejam negativos,
pressionar 16ACHS após digitar cada valor.
EXERCÍCIO: Calcular 24-1/3
.
42Af 35DREG 0,00 0,00
24 36AENTER 24,00 Radicando
3 16ACHS 22A1/x -0,33 Índice ou grau da raiz
21Ayx
0,35 24-1/3
18.6. Logaritmo neperiano
43A 23G
O logaritmo natural ou neperiano é o logaritmo na base “e”. O
logaritmo neperiano (LN) de um número contido no visor é
obtido pressionando as teclas 43Ag 23GLN.
EXERCÍCIO: Calcular o logaritmo neperiano dos números 1326 e 22551.
42Af 35DREG 0,00 0,00
1326 43Ag 23GLN. 7,19 LN 1326
22551 43Ag 23GLN. 10,02 LN 22551

Esses números se referem ao logaritmo neperiano (base e = 2,718281828).
EXERCÍCIO: Para calcular o logaritmo comum (LC), base 10, usamos o artifício de
troca de base. Confira como ficam os mesmos exemplos.
42Af 35DREG 0,00 0,00
1326 43Ag 23GLN 7,19 LN 1326
10 43Ag 23GLN 2,30 LN base 10
÷ 3,12 LC 1326
22551 43Ag 23GLN 10,02 LN 22551
10 43Ag 23GLN 2,30 LN base 10
÷ 4,35 LC 22551
18.7. Antilogaritmo
43A 22G
A função antilogaritmo faz o cálculo inverso ao do logaritmo. Ou
seja, tendo-se o logaritmo obtém-se o número. Vamos
comprovar com base no exemplo anterior.
EXERCÍCIO: Calcular o antilogaritmo de 7,189922171 e 10,02353469.
42Af 35DREG 0,00 0,00
7,189922171 43Ag 22Gex
1.326,00 Antilogaritmo 7,189922171
10,02353469 43Ag 22Gex
22.551,00 Antilogaritmo 10,02353469
18.8. Fatorial
43A 39G
O fatorial de um número n é representado por n! O resultado é
obtido pela multiplicação dos números inteiros de 1 até n. Essa
função é muito utilizada em análise combinatória.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n
A capacidade de cálculo do fatorial de um número da HP-12C é de até 69!
EXERCÍCIO: Calcular o fatorial dos números 5 e 9.
42Af 35DREG 0,00 0,00
5 43Ag 39Gn! 120,00 5x4x3x2x1
9 43Ag 39Gn! 362.880,00 9x8x7x6x5x4x3x2x1

19. Operações com Datas
43A 16G 26G 27G 28G
19.1. Limites da função calendário
A função calendário permite obter as seguintes informações para datas
compreendidas entre 15/10/1582 até 24/11/4046.
1. Número real de dias entre duas datas. Fornece o número de dias calculando
com base no ano de 360 dias.
2. Data futura ou passada, correspondente a um número fixo de dias, tomando-
se como base uma data específica;
3. Dia da semana correspondente a uma data futura ou passada.
19.2. Formato de datas
43A 27G 28G
As teclas 43Ag 26GM.DY e 43Ag 27GD.MY estabelecem o formato das datas e indicam a
ordem de sua apresentação: DD – DIA; MM – MÊS; YYYY – ANO.
EXERCÍCIO: A notação de datas americana 43Ag 26GM.DY é default da calculadora.
Para estabelecer o formato brasileiro DIA, MÊS, ANO, pressione as teclas 43Ag
27GD.MY, o que fará aparecer no visor as letras D.MY. Para restabelecer o default
pressione 43Ag 26GM.DY.
43Ag 26GM.DY 0,00 MM.DDYYYY (default)
43Ag 27GD.MY D.MY 0,00 DD,MMYYYY
19.3. Datas futuras ou passadas
43A 16G
No cálculo de datas futuras ou passadas, conta o dia da
aplicação e não conta o dia do resgate. A primeira data é
incluída e a data da resposta é excluída.

Use a função 16ACHS para procurar uma data anterior a data
digitada.
Na função 43Ag 27GD.MY, a resposta será apresentada com o dia,
o mês e o ano separados entre si por um ponto. No canto
direito virá ainda um número indicativo do dia da semana,
conforme tabela ao lado.
VISOR DIA
1 2ª feira
2 3ª feira
3 4ª feira
4 5ª feira
5 6ª feira
6 Sábado
7 Domingo
EXERCÍCIO: Em 25 de janeiro de 2002 foi feita uma aplicação em renda fixa por 60
dias. Qual a data de resgate e o dia da semana?
42Af 35GREG 0,00 0,00
43Ag 27GD.MY D.MY 0,00 Notação brasileira
25,012002 36AENTER 25,012002 Data inicial
60 60, Dias de aplicação
43Ag 16GDATE 26,03.2002 2 3ª feira
EXERCÍCIO: Qual o dia da semana que ocorreu a Proclamação da República?
(15/11/1889).
42Af 35GREG 0,00 0,00
43Ag 16GDATE 15.11.1889 5 6ª feira
EXERCÍCIO: Aproveitando os dados do exemplo anterior, qual o dia da semana no
qual João pediu Maria em casamento, 17 dias antes do evento acima?
17 16ACHS -17, Dias de aplicação
43Ag 16GDATE 29,101889 2 3ª feira
19.4. Número de dias entre datas
43A 26G
Ao informar a data atual e depois a data passada, a resposta
contendo o número de dias decorridos entre duas datas
aparecerá com o sinal negativo. Se invertermos a ordem de
entrada, o número de dias aparecerá com o sinal positivo.
O número real de dias (tempo exato) é obtido pela função 43Ag 26G∆YS, e leva em
conta os dias adicionais decorrentes dos anos bissextos, quando for o caso.

O número de dias comerciais (tempo aproximado) pode ser obtido, em seguida,
pela função 34Ax↔↔↔↔y. Ano comercial é aquele que considera 360 dias e todos os
meses com 30 dias.
EXERCÍCIO: Uma aplicação foi efetuada em 25 de outubro de 2002, e resgatada no
dia 30 de abril de 2003. Qual o prazo real da aplicação? Qual o número de dias
comerciais entre as duas datas?
42Af 35DREG 0,00 0,00
30,042003 30,042003 Data final
43Ag 26G∆YS 187 Dias reais (exato)
34Ax↔↔↔↔y 185 Dias comerciais
25/out
VP
30/abr
VF
EXERCÍCIO: Uma aplicação foi efetuada em 02/02/2002 e resgatada depois de 128
dias. Qual a data e dia da semana que deveria haver o resgate?
42Af 35DREG 0,00 0,00
43Ag 16GDATE 10,062002 1 Data e dia (1): 2ª feira
2/fev VP
10/jun
VF

EXERCÍCIO: Uma aplicação de 37 dias foi resgatada em 28/03/2002. Qual a data e
dia da semana da aplicação?
42Af 35DREG 0,00 0,00
28,032002 36AENTER 28,032002 Data resgate
37 16ACHS 37, Dias de aplicação
43Ag 16GDATE 19,022002 2 Data e dia (2):
3ª feira
19/fev
VP
28/mar
VF
20. Análise financeira
20.1. Fluxo constante de capital
11A 12A 13A 14A 15A
Os lançamentos do cash flow, de periodicidade e valores constantes, não
necessariamente vinculados a um projeto econômico-financeiro específico, são
feitos por força de cláusulas econômicas indexadas de contratos públicos e
privados.
As relações de trabalho, crédito e consumo são fluxos constantes de capitais, com
destaques para o contrato de trabalho e o CDC – crédito direto ao consumidor.
Por ser flexível, o cash flow gerencial deve resumir os controles financeiros
internos. Consolidar previsões de receitas e estimativas de despesas fixas e
variáveis. Sinalizar indicadores de liquidez corrente, endividamento e
lucratividade.
A projeção do cash flow (superávit ou déficit), ao longo do tempo, influi na tomada
estratégica de decisões empresariais, tais como formação de preços (mark-up),
promoções comerciais (prazos e formas de vendas), marketing (propaganda e
liquidações), suplementos de caixa (capital de giro e hot money), reposição de
estoques, investimentos (reposição de ativos).

Através das funções financeiras: 11An 12Ai 13APV 14APMT 15AFV podem ser resolvidos,
no regime de capitalização composta, problemas financeiros que impliquem em um
só pagamento ou uma série de pagamentos iguais.
Como vimos em diagramação do fluxo e caixa, os valores dos pagamentos ou
recebimentos devem estar de acordo com a convenção de sinais estabelecida para
fluxos de caixa, ou seja, sinal positivo (+) para entradas e sinal negativo (-) para
saídas. A HP12C, assim como a maioria das calculadoras financeiras, observa a
inversão de sinais entre 13APV e 15AFV.
20.2. Série periódica uniforme
Chamamos de séries periódicas uniformes toda seqüência finita ou infinita de
pagamentos ou recebimentos em datas previamente estipuladas.
14A
Na HP-12C, a tecla 14APMT (periodic payment) representa pagamentos
ou recebimentos (fluxos) periódicos uniformes.
11A
Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois fluxos
consecutivos são chamados de períodos e são representados pela tecla
11An.
20.2.1. Série periódica antecipada ou postecipada
Antes de começar a operar problemas de séries periódicas, devemos posicionar
adequadamente os operadores da máquina.
43A 17G
Quando a série periódica exigir movimento na data zero,
pressione as teclas 43Ag 17GBEG, o que fará aparecer expressão
BEGIN no visor, que significa pagamentos feitos no início do
período.
43A 18G
Se os pagamentos forem postecipados, sem movimento na data
zero, basta pressionar 43Ag 18GEND, que significa pagamentos
feitos no fim de cada período, para que o default da máquina
seja restabelecido.
Quando o enunciado do problema omite a periodicidade dos pagamentos,
devemos tratar como uma série periódica postecipada.
20.2.2. Cálculo da Prestação
13A 14A
Analisada isoladamente, cada prestação equivale a um valor
futuro. Portanto, devem ter sinais invertidos entre si, no cash
flow, os valores do valor presente e da prestação.

A fórmula da prestação é mostrada a seguir:
(1+i)n
i
PMT = VP .
(1+i)n
- 1
FÓRMULA: PRESTAÇÃO
EXERCÍCIO: Calcular o valor das prestações do empréstimo de $1.000, à taxa de
5%MÊS
, a ser quitado em 3 prestações iguais e consecutivas, vencendo a primeira
prestação 30 dias após assinatura do contrato.
Sempre que a questão envolver o cálculo do prazo ou da taxa DIÁRIA de juros,
na sua HP12C, pressione 42Af 4 para fixar 4 casas decimais e, ao final, pressione 42Af
2 para retornar 2 casas decimais.
Usando a fórmula da prestação:
PMT = 1.000,00 .
(1+0,05)3
. 0,05
(1+0,05)3
- 1
PMT = 1.000,00 .
0,0579
0,1576
PMT = 1.000,00 . 0,3672
PMT = 367,21
Usando as teclas financeiras da calculadora HP12C, o cálculo da fórmula da
prestação é automático. Note que, se o valor presente é informado com sinal
negativo, a prestação resulta com sinal positivo.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
1000 16ACHS 13APV -1.000,00 Valor presente
3 11An 3,00 Prazo
5 12Ai 5,00 Taxa de juros
14APMT 367,21 Prestação
Do ponto de vista do tomador do empréstimo, o diagrama do cash flow ficaria
assim:

367,21 367,21
-1.000,00
367,21
VP 1 2 3
Note que o intervalo de tempo que separa as prestações é constante. O valor
presente da série uniforme de pagamentos, na data zero, é a soma do valor
presente de cada prestação tomada como um valor futuro.
PV =
367,21
(1+i)1 +
367,21
(1+i)2
+
367,21
(1+i)3
PV =
367,21
1,05
+
367,21
1,10
+
367,21
1,16
PV = 349,72 + 333,83 + 316,56
PV = 1.000,00
20.2.3. Cálculo do Valor Presente
13A
A fórmula do valor presente é mostrada a seguir:
(1+i)n
- 1
VP = PMT
(1+i)n
. i
FÓRMULA: VALOR PRESENTE
EXERCÍCIO: Determine o valor de um empréstimo que pode ser quitado em 3
parcelas de $367,21 a uma taxa nominal de juros de 5%MÊS
.
Usando a fórmula do valor presente:

VP = 367,21 .
(1+0,05)3
- 1
(1+0,05)3 .
0,05
VP = 367,21 .
0,1576
0,0579
VP = 367,21 . 2,7219
VP = 1.000,00
Usando as teclas financeiras da calculadora HP12C:
42Af 34DFIN 0,00 0,00
367,21 14APMT 367,21 Prestação
3 11An 3,00 Prazo
13APV -1.000,00 Valor Presente
Diagrama do cash flow:
367,21 367,21
-1.000,00
367,21
VP 1 2 3
20.2.4. Cálculo do Valor Futuro
15A
A fórmula da prestação é mostrada a seguir:
VF = PMT .
(1+i)n
- 1
i
FÓRMULA: VALOR FUTURO

EXERCÍCIO: Determine o valor futuro de um empréstimo, a taxa nominal de juros
de 5%MÊS
a ser quitado em 3 parcelas de $367,21.
Usando a fórmula do valor futuro:
VF = 367,21 .
(1+0,05)3
- 1
0,05
VF = 367,21 . 3.1525
VF = 1.157,63
Usando as teclas financeiras da calculadora HP12C:
42Af 34DFIN 0,00 0,00
367,21 16ACHS 14APMT -367,21 Prestação
3 11An 3,00 Prazo
13AFV 1.157,63 Valor futuro
Diagrama do cash flow:
-367,21
1157,63
-367,210,00 -367,21
0 1 2 3 VF

EXERCÍCIO: Qual o montante produzido pela aplicação de 6 parcelas mensais de
$5.000 cada uma, à taxa de 8%MÊS
?
42Af 34DFIN0,00
0,00 0,00
5000 16ACHS 14APMTMÊS
-5.000,00 Prestação
6 11AnMÊS
6,00 Prazo
8 12AiMÊS(%)
8,00 Taxa de juros
15AFVVF
36.679,65 Valor futuro
-5.000,00 -5.000,00 -5.000,00 -5.000,00 -5.000,00
36.679,65
0,00 -5.000,00
VP 1 2 3 4 5 6 VF
EXERCÍCIO: Utilizando os dados do exemplo anterior, calcular o montante
admitindo que as aplicações sejam feitas no início de cada período (pagamentos
antecipados).
43Ag 17GBEGI
36.679,65 BEGIN Série antecipada
15AFV 39.614,02 BEGIN Valor futuro
-5.000,00 -5.000,00 -5.000,00 -5.000,00 -5.000,00
39.614,02
0,00 -5.000,00
VP 1 2 3 4 5 6 VF
Os diversos tipos de problemas, que são resolvidos com utilização das teclas
financeiras podem ser sintetizados através de 3 esquemas básicos a seguir, sempre
acompanhados, para melhor visualizarão, da diagramação do cash flow.

20.3. Primeiro esquema: pagamento único
São operações compostas por uma entrada e uma saída, e vice-versa. Geralmente,
de curtos e médios prazos.
VP
VF VP
VF
PAGAMENTO ÚNICO
EXERCÍCIO: Ao final de 8 meses, quanto deverá receber uma pessoa que emprestou
$5.000 mediante um resgate remunerado a 10%MÊS
?
42Af 34DFIN 0,00 0,00
5000 16ACHS 13APV -5.000,00 Valor do empréstimo
8 11An 8,00 Prazo
10 12Ai 10,00 Taxa de juros mensal
15AFV 10.717,94 Valor futuro ou Resgate
6.050,00
6.655,00
7.320,50
8.052,55
8.857,81
9.743,59
10.717,94
-5.000,00
5.500,00
VP VF VF VF VF VF VF VF VF

Se esse tipo de problema for resolvido tendo-se como referência o tomador do
empréstimo e observada a convenção de sinais, o valor do empréstimo deverá ser
informado com o sinal positivo e o valor futuro ou de resgate aparecerá precedido
do sinal negativo. Em números absolutos, o resultado não se altera.
Para apresentar no visor o conteúdo de um registrador financeiro pressione 45ARCL
seguida pela tecla correspondente.
Para limpar os registradores pode ser usado 42Af 35DREG ao invés de 42Af 34DFIN. O
primeiro comando apaga todos os registradores (inclusive o visor). O segundo
comando limpa somente os registradores financeiros (não limpa o visor).
A limpeza do módulo financeiro, sem alterar o conteúdo das demais memórias, é
importante para assegurar a eliminação de dados indesejados em um cálculo. Por
exemplo, se vamos calcular o 15AFV a partir do 13APV, podemos ter uma distorção no
resultado provocado por algum valor armazenado na função 14APMT.
EXERCÍCIO: Determinar a taxa de juros de uma aplicação de $20.000 durante 6
meses, e valor de resgate de $30.000.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
30.000 15AFV 30.000,00 Valor futuro
6 11An 6,00 Prazo
12Ai 6,99 Taxa semestral de juros
-20.000,00
30.000,00
VP VF
20.3.1. Convenção exponencial e linear
44A 26A
Quando o prazo não é um período inteiro em relação ao prazo
definido para a taxa (período fracionário), utilizamos convenção
linear ou exponencial para calcular o montante, taxa e juros.
Para ilustrar, vamos resolver o próximo exemplo, inicialmente, pela forma
indevida.

EXERCÍCIO: Uma pessoa emprestou a um amigo $10.000 à taxa de 120%ANO
pelo
prazo de 3,5 anos. Determinar o valor futuro.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
3,5 11AnANO
6,00 Prazo
120 12AiANO(%)
120,00 Taxa anual de juros
15AFV 170.368,00 Valor futuro
48.400,00
106.480,00
170.368,00
-10.000,00
22.000,00
VP 1 2 3 VF
Confira o resultado antes de apagar os registradores financeiros. O valor correto é
$157.935,36, resultante da equação do montante FV = PV.(1+i)n
= $10.000.(2,20)3,5
= $157.935,36.
Sempre que o prazo for fracionário, o resultado poderá ser diferente de uma HP-
12C para outra, dependendo da configuração adotada: linear ou exponencial. O
ajuste para a convenção exponencial é percebido pelo “c” no visor.
Se a sua calculadora não exibe o “c” no visor, digite 44ASTO 26AEEX. Pela convenção
linear a operação será feita a juros compostos somente no “n” inteiro. O
“montante dessa primeira etapa” sofrerá capitalização simples pelo período
fracionário.
Admitindo que o visor não exiba o “c”, estando configurada para a convenção
linear. No exemplo, queremos calcular o montante de $10.000 por 3 anos e meio, a
120%ANO
. O resultado será igual a $170.368, enquanto que a resolução algébrica
resulta em $157.935,36. Como explicar essa diferença?
Conforme o diagrama do cash flow, indexado a 120%ANO
, o capital de $10.000,
aplicado por 1 ano, gera um valor futuro de $22.000. Se reaplicarmos os $22.000
por mais 2 anos a 120%ANO
, teremos um novo valor de $106.480. Se calcularmos a
taxa equivalente para 6 meses, a juros simples, teremos 60%SEMESTRE
. Ao aplicarmos
$106.480 por 6 meses a 60%SEMESTRE
, teremos o montante de $170.368.
Aproveitando os dados contidos na sua calculadora, vamos resolver o problema
adequadamente usando a convenção exponencial.

EXERCÍCIO: Concluir a resolução do exemplo anterior ativando a convenção
exponencial. Ao final, desative a função.
44ASTO 26AEEX 170.368,00c Ativar convenção exponencial
15AFV 157.935,36c Montante (devido)
44ASTO 26AEEX 157.935,36 Desativar convenção exponencial
48.400,00
106.480,00
157.935,00
-10.000,00
22.000,00
VP 1 2 3 VF
CONVENÇÃO ATRIBUIÇÃO
Linear
Admite formação de juros compostos para parte inteira do período e
de juros simples para parte fracionária.
Exponencial
A combinação das teclas 44ASTO 26AEEX exibe no visor o flag “c”, no
inglês compound interest, indicando cálculo de juros compostos para
as partes inteira e fracionária do período.
20.4. Conversão de taxas a juros compostos
20.4.1. Taxas equivalentes a juros compostos
Duas ou mais taxas de juros compostos são equivalentes se, aplicadas sobre um
mesmo capital, por um período equivalente de tempo, resultarem em valor futuro
idêntico.
Quando se trata de juros compostos, a relação ou equivalência entre as taxas é
EXPONENCIAL. Por isso, denomina-se TAXA EQUIVALENTE EXPONENCIAL.
Uma formulação prática para o cálculo da taxa equivalente a juros compostos é
representada pela seguinte equação, que denominei fórmula exponencial de
equivalência de taxas:
iq = (1+it)q/t
-1
FÓRMULA: EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS
iq = Taxa que quero

it = Taxa que tenho
q = Prazo da taxa que quero
t = Prazo da taxa que tenho
EXERCÍCIO: Qual é a remuneração equivalente ao dia, ao mês, ao bimestre, ao
trimestre, ao quadrimestre e ao semestre, oferecida por um produto do banco,
cuja taxa de juros é de 27%ANO
?
Sempre que a questão envolver o cálculo da taxa DIÁRIA de juros, na sua
HP12C, pressione 42Af 4 para fixar 4 casas decimais e, ao final, pressione 42Af 2 para
retornar 2 casas decimais.
Primeiro, vamos usar a fórmula de equivalência de taxas a juros compostos:
TAXA DIÁRIA
iq = (1+i)q/t
- 1
iq = (1+0,2700)1/360
- 1
iq = (1,2700)0,0028
- 1
iq = 1,0007 - 1
iq = 0,0007 100x
iq = 0,0664 i%DIA
iq = 0,07% i%DIA
TAXA MENSAL
iq = (1+i)q/t
- 1
iq = (1+0,2700)30/360
- 1
iq = (1,2700)1/12
- 1
iq = 1,0201 - 1
iq = 0,0201 100x
iq = 2,0118 i%MES
iq = 2,01 i%MES
TAXA BIMESTRAL
iq = (1+i)q/t
- 1
iq = (1+0,2700)60/360
- 1
iq = (1,2700)2/12
- 1
iq = 1,0406 - 1
iq = 0,0406 100x
iq = 4,0640 i%BIM
iq = 4,06 i%BIM
TAXA TRIMESTRAL
iq = (1+i)q/t
- 1
iq = (1+0,27)90/360
- 1
iq = (1,27)3/12
- 1
iq = 1,0616 - 1
iq = 0,0616 100x
iq = 6,1576 i%TRI
iq = 6,16 i%TRI
TAXA QUADRIMESTRAL
iq = (1+i)q/t
- 1
iq = (1+0,27)120/360
- 1
iq = (1,27)4/12
- 1
iq = 1,00829 - 1
iq = 0,0829 100x
iq = 8,2932 i%QUA
iq = 8,29 i%QUA
TAXA SEMESTRAL
iq = (1+i)q/t
- 1
iq = (1+0,27)180/360
- 1
iq = (1,27)6/12
- 1
iq = 1,1269 - 1
iq = 0,1269 100x
iq = 12,6943 i%SEM
iq = 12,69 i%SEM

Confira as respostas usando os operadores aritméticos da calculadora HP12C:
TAXA DIÁRIA
42Af 35DREG 0,0000 0,00
27 36AENTER 27,0000 iANO
(%)
100 ÷ 0,2700 iANO
(centesimal)
1 + 1,2700 iANO
(unitária)
360 22A1/x 0,0028 (q/t)
22Ayx
1,0007 (1,27)1/360
1 – 0,0007 iDIA
(centesimal)
100 x 0,0664 iDIA
(%)
42Af 2 0,07 iDIA
(%)
TAXA MENSAL
42Af 35DREG 0,0000 0,00
(%)
100 ÷ 0,2700 iANO
(centesimal)
1 + 1,2700 iANO
(unitária)
12 22A1/x 0,0833 (q/t)
22Ayx
1,0201 (1,27)1/12
1 – 0,0201 iMÊS
(centesimal)
100 x 2,0118 iMÊS
(%)
42Af 2 2,01 iMÊS
(%)
TAXA BIMESTRAL
42Af 35DREG 0,0000 0,00
(%)
100 ÷ 0,2700 iANO
(centesimal)
1 + 1,2700 iANO
(unitária)
6 22A1/x 0,1667 (q/t)
22Ayx
1,0406 (1,27)2/12
1 – 0,0406 iBIM
(centesimal)
100 x 4,0640 iBIM
(%)
42Af 2 4,06 iBIM
(%)
TAXA TRIMESTRAL
42Af 35DREG 0,0000 0,00
(%)
100 ÷ 0,2700 iANO
(centesimal)
1 + 1,2700 iANO
(unitária)
4 22A1/x 0,2500 (q/t)
22Ayx
1,0616 (1,27)3/12
1 – 0,0616 iTRI
(centesimal)
100 x 6,1576 iTRI
(%)
42Af 2 6,16 ITRI
(%)
TAXA QUADRIMESTRAL
42Af 35DREG 0,0000 0,00
(%)
100 ÷ 0,2700 iANO
(centesimal)
1 + 1,2700 iANO
(unitária)
3 22A1/x 0,3333 (q/t)
22Ayx
1,0829 (1,27)4/12
1 – 0,0829 iQUA
(centesimal)
100 x 8,2932 iQUA
(%)
42Af 2 8,29 iQUA
(%)
TAXA SEMESTRAL
42Af 35DREG 0,0000 0,00
(%)
100 ÷ 0,2700 iANO
(centesimal)
1 + 1,2700 iANO
(unitária)
2 22A1/x 0,5000 (q/t)
22Ayx
1,1269 (1,27)6/12
1 – 0,1269 iSEM
(centesimal)
100 x 12,6943 iSEM
(%)
42Af 2 12,69 iSEM
(%)

27,00%
8,29%
6,16%
4,06%
2,01%
0,07%
12,69%
1 ANO 6 MESES 4 MESES 3 MESES 2 MESES 1 MÊS 1 DIA
Finalmente, vamos conferir, se o mesmo capital aplicado às taxas equivalentes
a 27%ANO
, resulta em valor futuro idêntico.
EXERCÍCIO: Aplique o capital de $500 no produto do banco, cuja remuneração é de
27%ANO
, usando as taxas equivalentes encontradas no exercício anterior.
n VP (1+i)n
= VF
ANO 500,00 (1+0,2700)1
= 635,00
SEM 500,00 (1+0,1269)2
= 635,00
QUA 500,00 (1+0,0829)3
= 635,00
TRI 500,00 (1+0,0616)4
= 635,00
BIM 500,00 (1+0,0406)6
= 635,00
MÊS 500,00 (1+0,0201)12
= 635,00
DIA 500,00 (1+0,0007)360
= 635,00
EXERCÍCIO: Qual será o valor do resgate, depois de 22 dias, do capital de $1.200
aplicado em fundo de renda fixa que paga 105%ANO?
Quando a questão envolver o cálculo da taxa DIÁRIA de juros, na sua HP12C,
pressione 42Af 4 para fixar 4 casas decimais e, ao final, pressione 42Af 2 para
Primeiro, vamos encontrar a taxa equivalente para 22 dias, usando a fórmula
exponencial de equivalência de taxas.
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS
iq22d = (1+it)q/t
- 1
iq22d = (1+1,0500)22/360
- 1
iq22d = (2,0500)0,0611
- 1
iq22d = 1,0448 - 1
iq22d = 0,0448 100x
iq22d = 4,4844 i22D
(%)
iq22d = 4,48 i22D
(%)

Utilize a fórmula do montante para conferir se a taxa, para 22 dias, de 4,48% é
equivalente à taxa ANUAL de 105%. Não esqueça que você deve inverter o expoente
“n” (22/360 para 360/22).
O valor futuro deve resultar igual para aplicação do capital de $1.200 à taxa de
4,48%, durante o prazo de 1 ano, e à taxa anual de 120%, durante 22 dias.
n VP (1+i)n
= VF
ANO 1.200,00 (1+1,05)1
= 2.460,00
22 DIAS 1.200,00 (1+0,0448)360/22
= 2.460,00
Pronto! Agora, com absoluta segurança, podemos responder à questão.
42Af 35DREG 0,0000 0,00
1200 36AENTER 1200,00 VP
105 36AENTER 105,0000 iANO
(%)
100 ÷ 1,0500 iANO
(centesimal)
1 + 2,0500 iANO
(unitária)
22 36AENTER 22,0000 q
360 ÷ 0,0611 (q/t)
22Ayx
1,0448 (1+1,05)22/360
x 1253,8133 VF22DIAS
42Af 2 1253,81 VF 22DIAS
EXERCÍCIO: Qual é a taxa de remuneração bruta do fundo de renda fixa que paga
95%ANO
para uma aplicação durante dois quadrimestres?
Fazendo a equivalência do prazo da operação em relação ao prazo da taxa de
juros, 2 quadrimestres, ou 8 meses, é igual a 2/3 (8/12) de um ano.
Usando a fórmula exponencial de equivalência de taxas:
TAXA 8 MESES
iq = (1+it)q/t
- 1
iq = (1+0,95)2/3
- 1
iq = (1,95)0,67
- 1
iq = 1,56 - 1
iq = 0,56 100x
iq = 56,08 i8M
(%)

Conferindo a resposta, usando os operadores aritméticos da calculadora HP12C:
95,00%
56,08%
1 ANO 8 MESES
42Af 35DREG 0,00 0,00
(%)
100 ÷ 0,95 iANO
(centesimal)
1 + 1,95 iANO
(unitária)
2 36AENTER 2 Prazo que quero
3 ÷ 0,67 Prazo que tenho
22Ayx
1,56 (1,95)2/3
1 – 0,56 i8MES
(centesimal)
100 x 56,08 i8MES
(%)
EXERCÍCIO: Quanto paga o mesmo fundo de renda fixa, sem descontar os impostos,
para uma aplicação trimestral?
Fazendo a equivalência do prazo da operação em relação ao prazo da taxa de
juros, 3 meses, ou 1 trimestre, é igual a 1/4 (3/12) de um ano.
Usando a fórmula exponencial de equivalência de taxas:
TAXA TRIMESTRAL
iq = (1+it)q/t
- 1
iq = (1+0,95)1/4
- 1
iq = (1,95)0,25
- 1
iq = 1,18 - 1
iq = 0,18 100x
iq = 18,17 iTRI
(%)
Conferindo a resposta, usando os operadores aritméticos da calculadora HP12C:
95,00%
18,17%
1 ANO TRIMESTRE
42Af 35DREG 0,00 0,00
(%)
100 ÷ 0,95 iANO
(centesimal)
1 + 1,95 iANO
(unitária)
4 22A1/x 0,25 q/t
22Ayx
1,18 (1,95)1/4
1 – 0,18 iTRI
(centesimal)
100 x 18,17 iTRI
(%)

EXERCÍCIO: A operação de $100.000 foi resgatada por $200.000. Sabendo-se que a
taxa de rendimento é 210%ANO
, calcular o prazo.
Neste caso, a situação é mais delicada. Quando o prazo é incógnito do
problema, a HP12C, por característica ou limitação, como resultado, mostra
número inteiro, que pode ser o prazo exato, ou o prazo arredondado para mais.
Há 2 caminhos para solução de casos como esse. O primeiro, seria trabalhar com
taxas de períodos menores, equivalentes a taxa de juros dada, calculadas no
regime de capitalização composta. O segundo caminho seria introduzir um
programa específico.
No nosso caso, vamos optar pelo primeiro caminho. Inicialmente, considerando a
taxa anual. Depois, a taxa mensal. Por último, a taxa diária.
Sempre que a questão envolver o cálculo da taxa DIÁRIA de juros, na sua
HP12C, pressione 42Af 4 para fixar 4 casas decimais e, ao final, pressione 42Af 2 para
42Af 35DREG 0,00 0,00
100000 13APV 100.000,0000 Valor presente
200000 16ACHS 15AFV -200.000,0000 Valor futuro
210 36AENTER 210,0000 iANO
(%)
100 ÷ 2,1000 iANO
(centesimal)
1 + 3,1000 iANO
(unitária)
360 22A1/x 0,0028 q/t
22Ayx
1,0031 (1+2,10)1/360
1 – 0,0031 iDIA
(centesimal)
100 x 0,3148 iDIA
(%)
12Ai 0,3148 Taxa diária (%)
11An 221,0000 Prazo (nº de dias)
100.000,00
-200.000,00
VP 221 dias

20.4.2. Taxas efetiva e nominal de juros compostos
Taxa efetiva de juros é a taxa verdadeira que onera o tomador ou remunera o
financiador. A taxa nominal de juros é a taxa aparente pactuada entre as partes.
Para que a taxa nominal e a taxa efetiva de juros sejam a mesma, não pode haver
nenhuma outra condição ou cobrança de encargo adicional aos juros da operação.
A tributação na fonte sobre a renda (rendimento real descontada a inflação); a
cobrança de comissões de permanência e acessórios; floating, operações casadas,
exigência de reciprocidades, etc; onera o tomador, reduzindo o valor disponível e
aumentando a taxa efetiva.
A redução do valor disponível acaba obrigando o tomador a captar recursos
acima das suas necessidades.
Uma formulação prática para o cálculo da taxa efetiva a juros compostos é
apresentada a seguir:
VF
ief =
VP - X
1/n
- 1
FÓRMULA: TAXA EFETIVA DE JUROS
ief = Taxa efetiva de juros
X = Despesas
n = q/t ou taxa equivalente
EXERCÍCIO: Dois bancos oferecem operação de capital de giro de $10.000 por 30
dias. O Banco A informou a taxa de juros de 35%ANO
. O Banco B informou a taxa de
33%ANO
mais 1,5% a título de comissão de abertura de crédito. Qual a taxa anual
efetiva de juros cobrada pelo Banco B?
O primeiro passo para decidir a contratação é calcular o montante da
operação, utilizando a fórmula do montante:
BANCO A
VF = VP (1+i)n
VF = 10.000,00 (1+0,35)30/360
= 10.253,24
VF = 10.000,00 (1,35)1/12
= 10.253,24
BANCO B
VF = VP (1+i)n
VF = 10.000,00 (1+0,33)30/360
= 10.240,50
VF = 10.000,00 (1,33)1/12
= 10.240,50

44A 26A
Usando as teclas financeiras da HP-12C, acionando convenção
exponencial, tendo em vista que o prazo da operação é
fracionário (1/12)
BANCO A
FUNÇÃO VISOR
42Af 34DFIN0,00
0,00
10.000 13APVVP
10.000,00
12 22A1/x 11AnFRAÇÃO
0,08
44ASTO 26AEEX 0,08 c
35 12AiANO(%)
35,00 c
15AFVVF
-10.253,24 c
BANCO B
FUNÇÃO VISOR
42Af 34DFIN0,00
0,00
10.000 13APVVP
10.000,00
12 22A1/x 11AnFRAÇÃO
0,08
44ASTO 26AEEX 0,08 c
33 12AiANO(%)
33,00 c
15AFVVF
-10.240,50 c
Aparentemente, contratar a operação com o banco B seria melhor negócio.
Entretanto, como as despesas extras somam 1,5%, o valor líquido liberado pelo
Banco B será $9.850, o que revela, ao final, a taxa efetiva de juros de 59,45% ANO
,
bem acima da taxa efetiva de juros do Banco A, que não cobra nenhuma despesa
acessória (X = 0).
Utilizando a fórmula da taxa efetiva de juros:
ief =
VF
VP - X
1/n
- 1
ief =
VF
VP - X
1
30/360
- 1
ief =
10.240,50
10.000-150
1
1/12
- 1
ief =
10.240,50
9.850,00
12
- 1
ief = 1,0396 12
- 1
ief = 0,5945 100x
ief = 59,45%ANO
Utilizando a calculadora HP12C:

42Af 35DREG 0,00 0,00
10240,50 36AENTER 10.240,50 VF
10000 36AENTER 150 - ÷ 1,04 ief
MÊS
(unitária)
12 22Ayx
1,59 ief
ANO
(unitária)
1 - 0,59 ief
ANO
(centesimal)
100 x 59,45 ief
ANO
(%)
20.4.3. Capital circulante – floating
A retenção de valores arrecadados com a cobrança bancária de títulos e impostos,
liberação de pagamentos, por determinado período de tempo, denominado capital
circulante ou floating (D1, D2...Dn), é uma forma de remuneração dos bancos.
O pagamento dos funcionários de uma empresa, através de contas salários, por
exemplo, também pode ser remunerado através do floating, com a antecipação,
bloqueio ou reserva do dinheiro, em 1 dia (D1), 2 dias (D2) ou 3 dias (D3).
A cobrança de floating em uma operação de empréstimo provoca a elevação da
taxa efetiva de juros, em conseqüência do encurtamento do período, obrigando o
tomador a contar com os recursos durante um prazo abaixo das suas necessidades
de giro ou equilíbrio de cash flow.
A fórmula da taxa efetiva com a cobrança de floating é mostrada a seguir:
ief = VF/VP
1
n-floating - 1
FÓRMULA: TAXA EFETIVA DE JUROS COM FLOATING
ief = Taxa efetiva de juros
X = Despesas
n = q/t ou taxa equivalente
EXERCÍCIO: Admita que, no exercício anterior, o tomador tivesse consultado um
terceiro banco, o Banco C, a respeito da mesma operação. Obtendo a informação
de que a taxa praticada era de 34%ANO
, com dois dias de floating. Calcule a taxa
efetiva anual cobrada pelo Banco C.
Embora o floating encurte o prazo da operação de 30 para 28 dias, o cálculo do
montante considera os 30 dias.
Calculando o montante:

BANCO C
VF = VP (1+i)n
VF = 10.000,00 (1+0,34)30/360
= 10.246,89
VF = 10.000,00 (1,34)1/12
= 10.246,89
Usando a fórmula da taxa efetiva de juros com floating:
1
ief = VF/VP n-floating
- 1
1
10.246,89 30-2/360
ief = 10.000,00
- 1
1
ief = 1,0247 0,0778
- 1
ief = 0,3683 100 x
ief = 36,83%ANO
Usando a calculadora HP12C:
BANCO C
42Af 35DREG0,00
0,00 0,00
10.246,89 36AENTER 10.246,89 VF
10000 ÷ 1,02 VF/VP
1 36AENTER 1,00 numerador
30 36AENTER 30,00 n
2 - 28,00 n-floating
360 ÷ ÷ 12,86 30-2/360
1
10.246,89 30-2/360
22Ayx
1,37
10.000,00
1 - 0,37 ief
ANO
(centesimal)
100 x 36,83 ief
ANO
(%)
O aumento da taxa efetiva de juros decorrente da cobrança de floating é
maior quanto maior for o patamar das taxas de juros e quanto menor for o período
contratual do financiamento.
BANCO VP VF iANO
ief
ANO
A 10.000,00 10.253,24 35,00% 35,00%
B 9.850,00 10.240,50 33,00% 59,45%
C 10.000,00 10.246,89 34,00% 36,84%

59,45%
34,00%35,00% 33,00%
36,84%
BANCO A BANCO B BANCO C
NOMINAL
EFETIVA
20.5. Segundo esquema: Pagamentos Iguais
Compostos por uma entrada e diversas saídas de mesmo valor, ou vice-versa, com
vencimentos periódicos.
Os pagamentos iguais são feitos no fim de cada período unitário (postecipados) ou
no início de cada período (antecipados), em intervalos regulares de tempo (de mês
em mês, de trimestre em trimestre, de ano em ano, etc.).
Os diagramas de fluxo de caixa a seguir ilustram os casos possíveis dentro desse
modelo.
POSTECIPADO (END)
43A 18G
VALOR FUTURO VALOR ATUAL
0 1 2 ... n 0 1 2 n

ANTECIPADO (BEGIN)
43A 17G
0 1 2 n VF 0 1 2 n
UMA ENTRADA E DIVERSAS SAÍDAS, E VICE-VERSA.
Vimos até aqui que, qualquer cálculo financeiro compreende 4 variáveis, das quais
3 têm que ser obrigatoriamente conhecidas.
Para solução dos problemas de pagamento único e de pagamentos iguais
pressionamos 4 das 5 teclas financeiras: 3 teclas com a introdução dos dados e uma
quarta tecla para obter o resultado.
EXERCÍCIO: Um banco empresta $10.000 para ser liquidado em 6 prestações
mensais iguais, à taxa de 10,5%MÊS
. Calcular as prestações.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
43Ag 17GBEG 0,00 BEGIN Série antecipada
10000 16ACHS 13APV -10.000,00 BEGIN Valor presente
6 11An 6,00 BEGIN Prazo
10,5 12Ai 10,50 BEGIN Taxa de juros
14APMT 2.329,82 BEGIN Prestação

0 1 2 12
2.329,82 2.329,82 2.329,82
...
-10.000,00
2.329,82
EXERCÍCIO: Um produto está em promoção por $900 à vista. Ou em 6 prestações
mensais de $199 cada, sendo a primeira paga no ato da compra. Calcular a taxa de
juros cobrada pela loja.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
900 13APV 900 BEGIN Valor presente
199 16ACHS 14APMT -199,00 BEGIN Prestação
12AiMÊS(%)
12,94 BEGIN Taxa de juros
0 1 2 6
-199,00 -199,00 -199,00
...
900,00
-199,00
EXERCÍCIO: Qual o preço a vista de uma calculadora HP-12C financiada a taxa de
juros de 7,7%MÊS
em 3 pagamentos de $75.

42Af 34DFIN 0,00 0,00
75 16ACHS 14APMT -75,00 BEGIN Prestação
13APV 209,30 BEGIN Valor presente
0 1 2
-75,00 -75,00
...
-75,00
209,30
20.6. Série Uniforme Diferida
Denominamos série uniforme diferida, ou cash flow diferido, uma seqüência de
capitais iguais e de periodicidade uniforme, com exceção do primeiro período,
maior que os demais, em função de um tempo determinado de carência de
movimentação no cash flow.
A fórmula da série uniforme diferida ou cash flow diferido é mostrada a seguir:
(1+i)n+tc
. i
PMT = VP .
(1+i)n
- 1
Fórmula: Cash flow diferido
tc = Tempo de carência
EXERCÍCIO: Um equipamento é vendido à vista por $1.000. Ou em até 12
prestações mensais sem entrada. A taxa de juros é 5%MÊS
. Qual deverá ser o valor
das prestações para um cliente que propõe pagar 10 prestações mensais e iguais,
iniciando os pagamentos somente 90 dias após a data da compra?
Usando a fórmula do cash flow diferido:

PMT = VP .
(1+i)n+tc
. i
(1+i)n
- 1
PMT = VP .
(1+0,05)10+2
. 0,05
(1+0,05)10
- 1
PMT = 1.000,00 .
0,0898
0,6289
PMT = 1.000,00 . 0,1427
PMT = 142,78
Ao propor efetuar o primeiro pagamento após 90 dias, o cliente está propondo
60 dias (um bimestre) de carência. Em uma série postecipada (43Ag 18GENDFINAL
), o
cliente teria que iniciar os pagamentos mensais decorridos 30 dias da compra.
No exercício proposto, durante o período de carência, quando não ocorre
movimentação de cash flow ou pagamento de prestações (amortização), o valor
financiado (VP) é corrigido durante um bimestre pela taxa de juros proposta.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
1000 36AENTER 1.000,00 VP
5 36AENTER 5,00 iMÊS
(%)
100 ÷ 0,05 iMÊS
(centesimal)
1 + 1,05 iMÊS
(unitária)
2 21Ayx
1,10 iBIMESTRE
(unitária)
x 13APV 1.102,50 VP corrigido
10 11An 10,00 11AnMÊS
5 i 5,00 iMÊS
(%)
14APMT -142,78 14APMTMÊS
0 1 2 3 10
0,00 0,00
-142,78 -142,78 -142,78
...
1.000,00
1 2 3 4 5 6

20.7. Terceiro esquema: Pagamentos iguais e um diferente
Composto por uma entrada e diversas saídas de mesmo valor e uma diferente, ou
vice-versa. Com vencimentos periódicos, o pagamento tem que ser
necessariamente o primeiro (nos casos relacionados com o cálculo do montante) ou
o último (nos casos relacionados com o cálculo do valor atual). Os casos possíveis
são ilustrados pelos diagramas de fluxo de caixa a seguir.
POSTECIPADO (END)
43A 18G
0 1 2 ... n 0 1 2 n
ANTECIPADO (BEGIN)
43A 17G
0 1 2 n VF 0 1 2 n
UMA ENTRADA E DIVERSAS SAÍDAS E UMA DIFERENTE, E VICE-VERSA
Na resolução dos problemas de pagamentos iguais e um diferente, vamos
utilizar as cinco teclas financeiras, sendo quatro com a introdução dos dados e uma
quinta para obter o resultado.

EXERCÍCIO: Quanto terá ao final de 7 meses, uma pessoa que aplicar hoje $800 e
fizer, a partir do próximo mês, mais 6 prestações mensais e consecutivas de $300,
sabendo-se que o rendimento contratado é de 9%MÊS
?
A movimentação na data zero caracteriza uma série antecipada (43Ag
17GBEGINÍCIO
). Para simplificar o cálculo, podemos considerar o exemplo como uma
série uniforme com 7 prestações (14APMT) de $300 e uma entrada (15APV) de $500,
totalizando a aplicação total de $800 na data zero.
FUNÇÃO VISOR
42Af 34DFIN 0,00
43Ag 17GBEG 0,00 BEGIN
500 16ACHS 15APV -500,00 BEGIN
300 16ACHS 14APMT -300,00 BEGIN
7 11An 7,00 BEGIN
9 12Ai 9,00 BEGIN
15AFV 3.922,56 BEGIN
-800,00
-300,00 -300,00 -300,00
3.922,56
0 1 ... 7 VF
EXERCÍCIO: Um título com renda mensal de $100 com prazo de 12 meses e valor de
resgate de $1.000 foi negociado por $1.036. Calcular a taxa mensal de rendimento
do investidor.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
43Ag 17GEND 0,00 Série postecipada
100 14APMT 100,00 Prestação
1000 15AFV 1.000,00 Valor futuro
12 11An 12,00 Prazo
12Ai 9,48 Taxa de juros

-1.000,00
100,00 100,00
1.136,00
1 2 3 4
20.8. Leasing Financeiro
O leasing oferece algumas vantagens em relação às outras formas de
financiamentos, do ponto de vista do credor.
No setor automobilístico, por exemplo, o consumidor pode optar em financiar um
carro pelo CDC Crédito Direto ao Consumidor, mantendo a liberdade de transferir a
dívida e a propriedade para terceiros, ou de antecipar o pagamento da dívida, das
contraprestações ou somente da parcela dos juros (extrato de juros).
Na operação de leasing financeiro, a prestação é denominada contraprestação.
O saldo devedor final é chamado valor residual.
O consumidor pode optar também pelo leasing financeiro, sem poder antecipar o
pagamento das contraprestações ou transferir a propriedade do veículo, o qual
permanece gravado em nome do credor até a quitação da dívida, em troca de taxas
de juros ligeiramente menores.
Portanto, o leasing caracteriza-se como sendo o aluguel de bem de capital, com ou
sem valor residual, proporcionando garantia significativa para o credor contra
inadimplência do tomador.
Por outro lado, as empresas que utilizam o leasing para adquirir bens de capital
(infra-estrutura, máquinas e equipamentos, instalações, etc.), são beneficiadas
com apólices de seguros, assistência técnica e redução tributária.
A dedução como despesa operacional da depreciação dos equipamentos,
financiados pelo leasing financeiro, reduz a lucratividade e o imposto de renda a
recolher.
EXERCÍCIO: Uma empresa pagará $500 por mês por uma operação de leasing, sendo
a primeira contra prestação paga na assinatura do contrato. O valor residual (VR) a
ser pago no final de 3 anos é de $320. A taxa cobrada na operação é de 2,5%MÊS
.
Calcular o valor do equipamento.

42Af 34DFIN 0,00 0,00
43Ag 17GBEGIN 0,00 BEGIN Série antecipada
500 16ACHS 14APMT -500,00 BEGIN Contra prestação
320 16ACHS 15AFV -320,00 BEGIN Valor futuro
15APVVP
12.204,13 BEGIN Valor presente
1
35 36
-500,00 -500,00 -500,00
12.204,13 ...
-320,00
-500,00
EXERCÍCIO: Conservando os dados na máquina, calcular o valor do equipamento
admitindo, no exemplo anterior, que os pagamentos sejam postecipados.
A solução, neste caso, é simples. Todos os dados estão armazenados nos
registradores financeiros. Basta posicionar a máquina para calcular séries
periódicas postecipadas.
FUNÇÃO VISOR
43Ag 18GEND 0,00
15APV 11.909,68
1 35 36
-500,00 -500,00 -500,00
11.909,68 ...
-820,00
EXERCÍCIO: Admitir que, no caso anterior, o valor residual (VR) não fosse
conhecido e que o valor do equipamento, de $11.909,67, tivesse sido informado.
Determinar o VR introduzindo os dados do problema.

42Af 34DFIN 0,00 0,00
43Ag 18GEND 0,00 Série postecipada
500 16ACHS 14APMT -500,00 Contra prestação
36 11An 36,00 Prazo
2,5 12Ai 2,50 Taxa de juros
11909,67 15APV -11.909,67 Valor Presente
15AFV -320,00 Valor Residual
1 35 36
-500,00 -500,00 -500,00
...11.909,68
-820,00
EXERCÍCIO: Uma Companhia pretende fazer uma operação de leasing de um
equipamento industrial no valor de $800.000. O prazo do contrato é de 36 meses.
As contraprestações serão mensais, iguais e fixas, sendo a primeira paga no ato da
assinatura do contrato. O valor residual contratado é de 5% do valor do
equipamento. A empresa faz provisão da operação com base na taxa efetiva de
101%ANO
. Calcular o valor das contraprestações.
42Af 35DREG 0,00 0,00
43Ag 17GBEG 0,00 BEGIN PMTINÍCIO
800000 15APV 800.000,00 BEGIN VP
16ACHS 5 25A% 15AFV -40.000,00 BEGIN VR
36 11An 36,00 BEGIN nMÊS
101 36AENTER 101,00 BEGIN iANO
(%)
100 ÷ 1 + 2,01 BEGIN iANO
(unitária)
12 22A1/x 21Ayx
1,06 BEGIN iMÊS
(unitária)
1 – 100 x 12Ai 5,99 BEGIN iMÊS
(%)
14APMT -51.246,63 BEGIN PMTMÊS

1 35 36
-51.246,63 -51.246,63 -51.246,63
...800.000,00
-40.000,00
EXERCÍCIO: Uma empresa firmou um contrato de leasing de $45.000, por 4 anos, e
valor residual de 2%. A primeira contraprestação, no valor de $1.640, será paga
somente um mês depois da entrega do equipamento. Calcular a taxa efetiva anual
cobrada na operação.
42Af 35DREG 0,00 0,00
43Ag 18GEND 0,00 PMTFINAL
48 11An 48,00 nMÊS
45000 15APV 45.000,00 VP
16ACHS 2 25A% 15AFV -900,00 VR
1640 16ACHS 14APMT -1.640,00 PMTMÊS
12Ai 2,59 iMÊS
(%)
100 ÷ 1 + 1,03 iMÊS
(unitária)
12 21Ayx
1,36 iANO
(unitária)
1 – 100 x 35,96 iANO
(%)
1 47 48
-1.640,00 -1.640,00 -1.640,00
...45.000,00
-2.540,00

20.9. Crédito Direto ao Consumidor
20.9.1. Fator de Recuperação de Capital - FRC
A tabela de crediário é utilizada em operações de crédito direto ao consumidor.
Multiplicando o valor financiável pelo coeficiente pré-calculado, correspondente ao
prazo ou número de pagamentos desejado pelo consumidor, obtém-se o valor das
prestações.
O coeficiente de financiamento é denominado FRC - Fator de Recuperação de
Capital, sendo calculado mediante a utilização da fórmula para cálculo do valor da
prestação de uma série uniforme postecipada, adotando-se 1 como valor
financiado. Vimos que o valor presente é a base 100 ou ele mesmo.
A taxa de juros cobrada pelas financeiras, antes dos impostos, é conhecida
como taxa nominal líquida de juros.
EXERCÍCIO: Calcular o FRC para a venda de um produto em 12 prestações, a uma
taxa de 3%MÊS
.
(1+i)n
i
PMT = VP
(1+i)n
- 1
FÓRMULA: PRESTAÇÃO OU FRC
(1+0,03)12
0,03
PMT = 1
(1+0,03)12
- 1
PMT = 0,100462086
Um produto, cujo preço anunciado é $1.500 à vista, poderia ser vendido a
prazo, a uma taxa efetiva de 3%MÊS
, em 12 prestações postecipadas de $150,69 cada
uma.
EXERCÍCIO: Elabore uma tabela de FRC. Considere prazos de 1 a 6 prestações iguais
e postecipadas, com taxas efetivas de juros variando de 1% a 5%MÊS
.
%/n 1 2 3 4 5 6
1 1,01000 0,50751 0,34002 0,25628 0,20604 0,17255
2 1,02000 0,51505 0,34675 0,26262 0,21216 0,17853
3 1,03000 0,52261 0,35353 0,26903 0,21835 0,18460
4 1,04000 0,53020 0,36035 0,27549 0,22463 0,19076
5 1,05000 0,53780 0,36721 0,28201 0,23097 0,19702
42Af 35DREG0,00
0,00 0,00
1 16ACHS 15APVVP
-1,00 VP

1 12AiMÊS
1,00 iMÊS
(%)
1 11AnMÊS1
1,00 nMÊS
14APMT MÊS1
1,01000 FRC 1%x1PMT
2 11An MÊS2
2,00 nMÊS
14APMT MÊS2
0,50751 FRC 1%x2PMT
3 11An MÊS3
3,00 nMÊS
14APMT MÊS3
0,34002 FRC 1%x3PMT
4 11An MÊS4
4,00 nMÊS
14APMT MÊS4
0,25628 FRC 1%x4PMT
5 11An MÊS5
5,00 nMÊS
14APMT MÊS5
0,20604 FRC 1%x5PMT
6 11An MÊS6
6,00 nMÊS
14APMT MÊS6
0,17255 FRC 1%x6PMT
E assim por diante, substituindo 12Ai por 2, 3, 4, e 5, e recomeçando a rotina
de cálculo.
20.10. Financiamento de Capital de Giro
Na operação de capital de giro, o início da amortização da dívida acontece
depois de um determinado período de carência.
Amortização é um processo de extinção de uma dívida através de pagamentos
periódicos, que são realizados em função de um planejamento, de modo que cada
prestação corresponde à soma do reembolso do capital ou do pagamento dos juros
do saldo devedor, podendo ser o reembolso de ambos, sendo que os juros são
sempre calculados sobre o saldo devedor.
No Brasil, existe a amortização contábil, cujo conceito não se restringe à
diminuição de dívidas, mas também à direitos intangíveis classificados no ativo
(conta de balanço), derivado da teoria de dimensão econômica dos fundos
contábeis. Assim, associa-se o termo amortização contábil, à depreciação contábil
(redução de bens tangíveis) e à exaustão contábil (recursos naturais).
Dependendo da finalidade, a operação de capital de giro pode ser para financiar
um projeto promissor (maturação), ou para corrigir deficiências conjunturais de
cash flow (despesas imprevistas ou maiores que receitas garantidas). Outras formas
eficientes de captação são a participação no capital da empresa (debêntures e
ações); o “venture capital” (business plan), etc.
Geralmente, o capital emprestado será cobrado mais tarde, de uma forma ou
de outra, independentemente da composição inicial da dívida e da condição
jurídica do investidor.
EXERCÍCIO: A empresa contratou operação de capital de giro, no valor de
$100.000, para ser liquidada ao final de 180 dias. O banco cobrou juros de 24%ANO
,
comissão antecipada de 5%, além do IOC de 0,75%. Calcule o valor da comissão
antecipada mais o valor do IOC, o valor líquido creditado na conta do cliente, o
valor do resgate corrigido, e a taxa efetiva anual cobrada antes da correção
monetária.

42Af 34DFIN 0,00 0,00
100000 13APV 100.000,00 VPBRUTO
45ARCL 13APV 5,75 25A% 5.750,00 com+ioc
– 44ASTO 1 94.250,00 VPLÍQUIDO
180 36AENTER 180,00 nDIA
360 ÷ 11An 0,50 nANO
(fração)
44ASTO 26AEEX 0,50c nANO
(fração)
24 12Ai 24,00c inom
ANO
(%)
15AFV -111.355,29c VF
45ARCL 1 13APV 94.250,00c VPLÍQUIDO
12Ai 39,59c ief
ANO
(%)
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-111.355,90
0,00
94.250,00
0,00
VP 1 2 3 4 5 6 7 VF
Calcular, na seqüência, o valor do resgate e a taxa efetiva anual, depois da
correção monetária, admitindo-se que o indexador IGP-M valia $1.230,67 em
outubro, mês anterior ao contrato, e $1.469,48 em abril, mês de vencimento da
operação.
45ARCL 15AFV -111.355,29c VF
1230,67 ÷ -90,48c VFIGP-M
1469,48 x -132.963,64c VF
15AFV 12Ai 99,02c ief
ANO
(%)

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-132.963,64
0,00
94.250,00
0,00
VP 1 2 3 4 5 6 7 VF
O exemplo anterior também poderia ser resolvido fazendo a equivalência de
taxas considerando o prazo de 6 meses (180 dias).
20.11. Negociação Creditícia
Crédito é a confiança de atributos positivos (dinheiro, valor moral, conhecimentos
humanos, etc.) de uma pessoa (por outra pessoa ou grupo de pessoas). Crédito
demonstra a confiabilidade que uma pessoa tem por outra, em um determinado
assunto.
Em finanças, crédito é a capacidade prevista que uma pessoa tem de retornar um
investimento (empréstimo, financiamento) sobre ele. Aquele que empresta
dinheiro a um indivíduo ou a uma instituição se chama credor.
Tempo é dinheiro. Negócios podem ser rapidamente equacionados economizando
crises de interrupção. O vendedor mantendo o cliente dentro do empreendimento.
O credor considerando a capacidade econômico-financeira do devedor, etc.
A nossa cultura de crédito leva em conta o valor das prestações, em relação ao
peso relativo (comprometimento) das prestações no orçamento familiar (15%, 20%,
25%, etc).
O número de prestações de empréstimos e financiamentos é função direta da
capacidade de desembolso periódico conhecida pelas partes. Logo, para vender é
preciso flexibilizar o crédito (crediário).
Algumas vezes, por motivos independentes da nossa vontade, somos obrigados a
enfrentar crises e dificuldades financeiras. E ninguém gosta de dívidas. Quando nos
deparamos com situações de quebra de caixa, a melhor coisa a fazer é negociar.
Lembre-se que a maioria das dívidas é pactuada a juros compostos, com
penalidades pecuniárias pesadas. Portanto, o tempo é amigo da insolvência, e
resolver discussões financeiras é uma questão de sobrevivência econômica para
pessoas físicas e jurídicas.

20.11.1. Crediário flexível
EXERCÍCIO: Uma mercadoria está sendo vendida por $1.300 à vista. Ou em 6
prestações de $272,73. Um consumidor tem interesse em adquirir o produto.
Porém, tem a certeza de poder pagar em dia somente $200 mensais. Como ficaria o
financiamento para garantir o fechamento do negócio?
1º passo: Calcular a taxaMÊS
de juros cobrada na operação de crédito anunciada.
42Af 34DFI 0,00 0,00
1300 16ACHS 15APV 1.300,00 VP
6 11An 6,00 nMÊS
272,73 14APMT 272,73 PMTMÊS
i 7,00 iMÊS
(%)
2 o
passo: Aproveitando os dados contidos na calculadora, introduzir a
prestação garantida, definida pelo consumidor, e calcular o novo prazo do
financiamento que comporta a pretensão do comprador e viabiliza o fechamento do
negócio.
200,00 14APMT 200,00 PMTMÊS
n 9,00 nMÊS
Note que o crediário flexível leva em conta a capacidade econômico-financeira
do comprador.
20.11.2. Negociação bancária
EXERCÍCIO: Em livre renegociação, credor e devedor resolveram trocar o patamar
das taxas de juros, convertendo para CDC, a ser liquidado em 24 meses, algumas
dívidas, a saber: 1
$26.325 de crédito rotativo (cheque especial); 2
$19.507 de
capital de giro; 3
$5.611 de adiantamentos a depositantes; e 4
$7.832 de cartão de
crédito, totalizando 1+2+3+4
$59.275 de dívidas vencidas na data zero (VP). O devedor
propôs pagar, além das prestações mensais, $5.000 no final de cada semestre
(prestação extra, balão ou reforço). A taxa efetiva de juros (já incluso o IOC) é de
4,76%MÊS
. Calcular o valor das prestações mensais.
1 o
passo: Calcular o valor atual (VA) das prestações semestrais e deduzir do
valor presente (VP) - estado da dívida na data zero.

42Af 34DFIN 0,00 0,00
4,76 36AENTER 4,76 iMÊS
(%)
100 ÷ 1 + 1,05 iMÊS
(unitária)
6 21Ayx
1,32 iSEMESTRE
(unitária)
1 – 100 x 12Ai 32,18 i SEMESTRE
(%)
4 11An 4,00 nSEMESTRE
5000 14APMT 5.000,00 PMTSEMESTRE
15APV -10.447,19 PMTSEMESTRE
59275 + 15APV 48.827,81 VP’
24 11An 24,00 nMÊS
4,76 12Ai 4,76 iMÊS
(%)
14APMT 3.456,44 PMTMÊS
2 o
passo: A partir do novo estado da dívida (VP’), descontadas as prestações
extras, calcular as 24 PMTMÊS
postecipadas, dentro da realidade econômico-
financeira do devedor.
24 11An 24,00 nMÊS
4,76 12Ai 4,76 iMÊS
(%)
14APMT 3.456,44 PMTMÊS
-3.456,44
-8.456,44
-3.456,44
-8.456,44
-3.456,44
-8.456,44
-3.456,44
-8.456,44
...0 ... 246 12 18... ...
59.274,00

20.11.3. Investimentos imobiliários
EXERCÍCIO: Um imóvel é anunciado, na planta, ao preço à vista de $100.000. A
construtora faz a seguinte proposta de financiamento: 20% do valor em 24
prestações mensais de $1.180,95, e o saldo financiado em 15 anos pelo agente
financeiro. Um comprador se dispõe a pagar 24 parcelas de $1.000 e a diferença de
$180,95 mensais pagos em 4 parcelas semestrais iguais (prestação extra, balão ou
reforço). Qual deverá ser o valor das parcelas intermediárias?
1o
passo: Dados o valor presente do financiamento direto (20.000,00), e o prazo
(24 meses), calcular a taxaMÊS
de juros, usando as teclas financeiras da HP12C.
FUNÇÃO VISOR AÇÕES
42Af 34DFIN 0,00 0,00
20000 15APV 20.000,00 VP
1180,95 16ACHS 14APMT -1.180,95 PMTMÊS
24 11An 24,00 nMÊS
12Ai 3,00 iMÊS
(%)
2o
passo: Aproveitando os dados na calculadora, calcular o valor atual (VA) da
proposta do comprador e a diferença (VP’) a ser paga semestralmente.
1000,00 16ACHS 14APMT -1.000,00 PMTMÊS
15APV 16.935,52 VA
20000 - 16ACHS 15APV -3.064,48 VP’
3o
passo: Uma vez encontrado o valor presente (VP’) das intermediárias,
calcular o valor das prestações semestrais, dentro da realidade econômico-
financeira do comprador.
45ARCL 12Ai 3,00 iMÊS
(%)
100 ÷ 1 + 1,03 iMÊS
(unitária)
6 21Ayx
1,19 iSEMESTRE
(unitária)
1 – 100 x 12Ai 19,41 iSEMESTRE
(%)
4 11An 4,00 nSEMESTRE
(24÷6)
14APMT -1.170,46 PMTSEMESTRE

-1.000,00
-2.170,46
-1.000,00
-2.170,46
-1.000,00
-2.170,46
-1.000,00
-2.170,46
...0 ... 246 12
18
... ...
20.000,00
21. Capitalização Composta com Taxas Variáveis
21.1. Taxa real de juros
Taxa real de juros é a remuneração auferida ou paga acima da taxa de inflação. Na
remuneração da caderneta de poupança, por exemplo, o capital aplicado é
atualizado por um índice de correção monetária. Em seguida, ao capital corrigido,
é acrescido 0,5% de taxa real de juros.
EXERCÍCIO: O investidor permaneceu durante 33 dias no fundo renda fixa que
oferecia remuneração bruta de 25%ANO
mais correção monetária medida pelo IGP-
DI. A operação sofre tributação de 15%. A inflação no período da aplicação,
segundo o índice escolhido, foi de 1,5%. Qual foi a taxa líquida real anual obtida
pelo investidor?
Primeiramente, apuramos a taxa bruta de juros fazendo a equivalência de taxas
para 33 dias.
iq = (1+it)q/t
- 1
iq = (1+0,25)33/360
- 1
iq = (1,25)0,09
- 1
iq = 1,02 - 1
iq = 0,02 100x
iq = 2,07%
Como a operação está sujeita à tributação na fonte de 15%, o investidor obteve
como rendimento líquido 85% da taxa bruta de juros.

42Af 35DREG 0,00 0,00
2,07 36AENTER 2,07 iBRUTA33D
(%)
85 25A% 1,76 iLÍQUIDA33D
(%)
Uma vez encontrada a taxa33D
líquida de juros, podemos utilizar a fórmula de
Fischer (FISCHER, Irving. The Theory of Interest. New York. Mac Millan, 1930) para apurar a taxa33D
líquida real de juros.
1+i
1 + r =
1+j
Fórmula: Taxa real de juros
r = Taxa real de juros
i = Taxa nominal de juros
j = Taxa de correção monetária
1+i
1 + r =
1+j
1+0,0176
r =
1+ 0,015
- 1
1,0176
r =
1,015
- 1
r = 0,26%
Ou seja, o investidor teve o poder de compra do seu dinheiro praticamente
atualizado no período em que permaneceu no fundo de renda fixa. A renda (ganho)
real foi de apenas 0,26%, acima da inflação, inferior ao rendimento da caderneta
de poupança.
O último passo para resolução do problema é indicar a equivalente taxaANO
líquida
real de juros.
iq = (1+it)q/t
- 1
iq = (1+0,26/100)360/33
- 1
iq = (1,0026)10,91
- 1
iq = 1,03 - 1
iq = 0,03 ou 2,87%
A taxaANO
líquida real de juros pode variar alguns décimos percentuais em função
do número de casas decimais escolhido durante a resolução.

21.2. Taxa acumulada de juros
As teclas financeiras da HP-12C admitem apenas uma única taxa de juros, não
podendo ser utilizadas para calcular capitalização composta a taxas variáveis.
Nestes casos, a solução é usar as teclas de percentagem.
A taxa acumulada de juros é importante para dimensionar a evolução de dívidas e
investimentos pós-fixados, e nortear estratégia creditícia de vendas e remuneração
de capitais.
EXERCÍCIO: Um investidor aplicou $1.000 em um fundo de renda fixa, durante 4
meses, obtendo as seguintes rentabilidades mensais: 4,53%, 3,56%, 5,62% e 4,85%.
Que saldo quadrimestral obteve o investidor?
Usando a fórmula do montante:
VF = VP . (1+i)n
VF = 1.000,00 . (1+0,0453).(1+0,0356).(1+0,0562).(1+0,0485)
VF = 1.000,00 . 1,1988
VF = 1.198,80
Usando operadores aritméticos da HP12C:
42Af 35DREG 0,00 0,00
1000 36AENTER 1.000,00 Aplicação
4,53 25A% + 1.045,30 Renda mensal
3,56 25A% + 1.082,51 Valor de resgate
5,62 25A% + 1.143,35 Prazo
4,85 25A% + 1.198,80 Valor negociado
1.082,51
1.143,35
1.198,80
1.000,00
1.045,30
VP 1 2 3 4
EXERCÍCIO: Utilizando os dados do exemplo anterior, informe qual foi a taxa de
juros acumulada no período.

Mantida a premissa de constância ou igualdade das taxas de juros, a taxa
acumulada é calculada a partir da fórmula da taxa equivalente de juros. Se as
taxas forem diferentes, podemos deduzir que:
Utilizando a fórmula da taxa acumulada de juros:
iac = (1+i1)n
(1+i2)n
(1+i3)n
... (1+in)n
- 1
FÓRMULA: TAXA ACUMULADA DE JUROS
iac = (1+0,0453)1
(1+0,0356)1
(1+0,0562)1
(1+0,0485)1
- 1
iac = 1,1988 - 1
iac = 0,1988 100x
iac = 19,88%QUA
21.3. Taxa média de juros
A taxa média de juros é útil para atuar nos mercados de capitais e commodities,
bem como formular políticas empresariais de orçamentos e investimentos, com ou
sem subsídios de capital de terceiros.
EXERCÍCIO: Conhecida a taxa de 19,88%QUA
, qual é a taxa média mensal?
Usando a fórmula de equivalência da taxa quadrimestral para mensal de juros:
iq = (1+i)q/t
- 1
iq = (1+0,1988)1/4
- 1
iq = 0,0464 100x
iq = 4,64%MÊS
EXERCÍCIO: Como calcular a taxa média mensal de juros de três meses
consecutivos com as seguintes taxas: 8,5%, 10,5% e 11,02%?
im = [(1+i1)n
(1+i2)n
(1+i3)n
... (1+in)n
]1/n
- 1
FÓRMULA: TAXA MÉDIA DE JUROS
im = [(1+0,085)1
(1+0,105)1
(1+0,1102)1
]1/3
- 1
im = 1,1000 - 1
im = 0,1000 100x
im = 10,00%MÊS

21.4. Taxa de desvalorização monetária
Se a inflação de um período for de 100%, o poder aquisitivo de um consumidor se
reduz à metade. Se a inflação for de 25%, o poder aquisitivo é reduzido em 20%.
Tal relação pode ser calculada conforme segue:
EXERCÍCIO: Calcule a reposição salarial anual da categoria profissional, cujo índice
de preços, pactuado em contrato coletivo de trabalho, registrou variação
acumulada de 30% no último ano.
Utilizando a fórmula da taxa de desvalorização monetária:
ip
TDM =
1+ ip
FÓRMULA: TAXA DE DESVALORIZAÇÃO MONETÁRIA
ip = Variação decimal do índice de preços
Como vimos até aqui, variação decimal é a forma percentual dividida por 100.
O índice de preços pode ser qualquer, permitido em lei, contratado entre as
partes.
TDM =
0,3
1+0,3
TDM = 0,23 100x
TDM = 23%
21.5. Taxa acumulada de inflação
A inflação ocorre sob o regime de capitalização composta. Assim, em períodos de
altas taxas de correção monetária, a inflação passa a ser o principal componente
da taxa de juros, e a prática de juros compostos passa ser predominante no
mercado.
EXERCÍCIO: Tomando o valor do IGP-M de 100,00, 119,68 e 162,66,
respectivamente, para os meses de maio, junho e julho, calcular a inflação
acumulada no trimestre.
Utilizando a fórmula da taxa acumulada de inflação:
IGP-Mt
Iac =
IGP-Mt-n
- 1
FÓRMULA: TAXA ACUMULADA E INFLAÇÃO

t = Valor recente, nem sempre maior.
t-n = Valor antigo, nem sempre menor.
Embora raro, pode o índice registrar queda (deflação) de preços.
162,66
Iac =
100,00
- 1
Iac = 0,6266 100x
Iac = 62,66%TRIM
21.6. Taxa média de inflação
A taxa média de inflação é útil em políticas salariais. Por exemplo, em épocas
inflacionárias, um gatilho (taxa média de inflação) de 20% reajustava os preços da
economia.
A taxa média de inflação pode ser calculada do mesmo modo da taxa acumulada de
juros variáveis.
EXERCÍCIO: Considerando as taxas de inflação de 19,68% e de 35,91%, para os
meses de junho e julho, respectivamente, calcular a taxa média de inflação para o
bimestre.
Utilizando a fórmula da taxa média de inflação:
Im = (1+i1)n
(1+i2)n
(1+i3)n
... (1+in)1/n
- 1
FÓRMULA: TAXA MÉDIA DE INFLAÇÃO
Im = (1+0,1968)1
(1+0,3591)1/2
- 1
Im = (1,6266)1/2
- 1
Im = 1,2754 - 1
Im = 0,2754 100x
Im = 27,54%
22. Desconto
Em finanças, desconto é a diferença entre o valor nominal ou valor futuro do título
e o valor atual ou presente.
Define-se desconto como sendo o abatimento que o devedor faz jus quando
antecipa o pagamento de um título ou quando o mesmo é resgatado antes de seu
vencimento, ou ainda, como sendo o juro cobrado por um intermediário para

antecipar o recebimento de um título, que representa um direito de crédito futuro.
É uma operação tradicional no mercado financeiro e no comércio em geral.
Notações comuns na área de descontos:
22.1. Desconto simples
É aquele obtido em função de cálculo linear (capitalização simples). Distinguem-se
dois tipos de descontos simples, o racional e o comercial ou bancário.
22.2. Desconto composto
O conceito de desconto, em capitalização composta de juros, é idêntico ao visto no
regime de juro simples, corresponde ao abatimento por saldar-se um compromisso
antes do seu vencimento.
A diferença é devida apenas ao regime de juro, sendo o raciocínio financeiro o
mesmo. O que fazemos é calcular a diferença entre o valor nominal e o atual do
compromisso na data em que se propõe que seja feito o desconto.
O desconto corresponde à quantia a ser abatida do valor nominal e o valor
descontado é a diferença entre o valor nominal e o desconto. Conceitualmente
existe apenas o desconto racional sendo o desconto comercial ou bancário uma
convenção prática do mercado em geral.
22.3. Diferença entre desconto e juro
A diferença entre juro e desconto está no fato do primeiro ser recebido ou pago
após o decurso do prazo da operação e o segundo ser recebido ou pago
antecipadamente, no ato do fechamento da operação.
Quando operamos com desconto, é comum utilizarmos os seguintes termos:
1. Valor nominal ou valor futuro: designa o valor do título, na data do seu
vencimento.
2. Valor atual ou valor presente: designa o valor descontado ou valor líquido.
Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).
1. Simples racional: denominado “desconto por dentro”.
2. Simples comercial: designado “desconto por fora”.
22.4. Desconto simples racional ou “por dentro”
O desconto racional simples ou “desconto por dentro”, raramente aplicado na
prática brasileira, por se tratar, como o nome sugere, de desconto a juros simples,
pode ser analisado como parâmetro de comparação para o desconto comercial ou
“desconto por fora”.

EXERCÍCIO: Foi descontado o título, no valor de $20.000, a vencer daqui a 60 dias,
a taxa de juros simples de 5%MÊS. Calcular o valor do desconto racional e o valor
líquido ou descontado.
Utilizando a fórmula do desconto racional simples:
N
V =
1+(i.n)
Dr = N - V
FÓRMULA: DESCONTO RACIONAL SIMPLES
V = Valor atual ou valor presente
N = Valor nominal ou valor futuro
Dr = Desconto racional simples
n = Período a decorrer até o vencimento
i = Taxa simples de juros
N 20.000,00 20.000,00
V =
1+(i.n)
=
1+(0,05.2)
=
1,1
= 18.181,82
Dr = N - V = 20.000,00 - 18.181,82 = 1.818,18
O cálculo do desconto racional simples significa responder à seguinte pergunta:
“Qual deve ser o valor a deduzir do valor nominal do título, no ato da liberação,
correspondente à cobrança de tanto por cento de juros simples?”.
22.5. Desconto simples comercial ou “por fora”
O desconto comercial simples é a modalidade de desconto de uso generalizado.
Trata-se de uma taxa antecipada e incide sobre o valor nominal ou valor futuro, e
não sobre o valor atual ou valor presente.
22.6 Diferença entre taxa de juros e taxa de desconto
22.6.1. Taxa de juros
EXERCÍCIO: O título é vendido, a 30 dias do vencimento, por cota única de $100, ou
a vista, com desconto de 5%. Qual é a taxa efetiva de juros cobrada no
financiamento.

Utilizando a fórmula da taxa de desconto e da taxa de juros para desconto
racional simples:
i
d =
1+i
FÓRMULA: TAXA DE DESCONTO RACIONAL SIMPLES
0,05
d =
1+0,05
= 0,0476 . 100 = 4,76
d
i =
1-d
FÓRMULA: TAXA DE JUROS PARA DESCONTO RACIONAL SIMPLES
0,05
i =
1-0,05
= 0,0526 . 100 = 5,26
Primeiro, vamos trabalhando mais, encontrando o valor atual do título, usando
a fórmula do valor presente:
(1+i)n
- 1 (1+0,05)1
- 1 0,05
VP = PMT .
(1+i)n
. i
= 100,00 .
(1+0,05)1
. 0,05
= 100,00
.
0,05
= 95,00
Em seguida, utilizando a fórmula da taxa efetiva de juros, considerando que
não há cobrança de despesas acessórias (X = 0):
VF 100,00
ief =
VP - X
1/n
- 1 =
95,00 - 0
1/1
- 1 = 0,0526 . 100 = 5,26%
Para conferir, quando interpretada corretamente a convenção dos sinais, a
resolução da questão na calculadora HP-2C:
42Af 34DFIN 0,00 0,00
100 16ACHS 15AFV -100,00 Valor futuro
1 11An 1,00 Prazo
95 13APV 95,00 Valor presente

22.6.2. Taxa de desconto
Conforme o enunciado do exercício anterior, podemos concluir que a taxa de
desconto de 5%, no mesmo período, corresponde a 5,26% de juros. A relação entre
a taxa de desconto (d) e a taxa de juros (i) é dada pelas seguintes fórmulas.
i 0,05
d =
1+i
=
1+0,05
= 5%
FÓRMULA: RELAÇÃO ENTRE TAXA DE JUROS E TAXA DE DESCONTO
d 0,05
i =
1-d
=
1-0,05
= 5%
FÓRMULA: RELAÇÃO ENTRE TAXA DE DESCONTO E TAXA DE JUROS
22.7. Desconto bancário
O desconto bancário é o desconto simples comercial aplicado às operações
bancárias, tendo as duplicatas como objeto principal de desconto. Duplicatas são
títulos de crédito decorrentes de operações comerciais.
EXERCÍCIO: A empresa descontou duplicata de 36 dias, no valor de $8.000.
Considerando que a taxa de desconto praticada pelo banco é de 5%MÊS, calcular o
valor do desconto, o valor líquido e a taxa efetiva mensal de juros da operação.
Utilizando a fórmula do desconto bancário:
Dc = N.d.n
V = N - Dc
FÓRMULA: DESCONTO BANCÁRIO
V = Valor atual ou valor presente
N = Valor nominal ou valor futuro
Dc = Desconto bancário
n = Período a decorrer até o vencimento
d = Taxa de desconto
Dc = N.d.n = 8.000,00 . 0,05 .
36
30
= 480,00
V = N - Dc = 8.000,00 – 480,00 = 7.520,00

Note que há correspondência entre montante e valor nominal, assim como
entre capital e valor líquido.
Usando a fórmula da taxa efetiva de juros. Assumindo que, na operação, não
houve despesas acessórias (X = 0).
30
36
ief =
VF
VP - X
1
36/30
- 1 =
8.000,00
7.520,00
-1 = 0,0529 100x 5,29%MÊS
EXERCÍCIO: A empresa descontou 3 duplicatas de 36 dias, no valor de $8.000,
$9.500 e $6.000 a vencerem, respectivamente, em 21, 42 e 63 dias. A taxa de
desconto informada foi de 4%MÊS
Qual foi o valor líquido obtido na operação? Qual
foi a taxa efetiva mensal de juros incorrida pela empresa em cada uma das
duplicatas?
Quanto maior o prazo, mantida a taxa de desconto, maior será a taxa efetiva
de juros. Portanto, é interessante negociar títulos com menor prazo ou pesquisar
menores taxas de desconto para duplicatas de maior prazo.
O exemplo aborda desconto de conjunto ou borderô de duplicatas.
Considerando que a soma das 3 duplicatas é de $23.500, podemos equiparar a
borderô a uma única duplicata.
O cálculo do prazo médio utiliza conceito de média ponderada, em vez da
média aritmética, levando em conta o peso relativo do valor dos títulos.
Utilizando a fórmula do prazo médio ponderando:
xw =
∑xy
∑y
FÓRMULA: PRAZO MÉDIO PONDERADO
x = prazo
y = valor
DUPLICATA PRAZO VALOR (XY)
A 21 8.000,00 168.000,00
B 42 9.500,00 399.000,00
C 63 6.000,00 378.000,00
A+B+C ∑y = 23.500,00 ∑xy = 945.000,00

∑xy 945.000,00
xw =
∑y
=
23.500,00
= 40,21 dias
Utilizando as funções estatísticas da calculadora HP12C:
42Af 32D∑ 0,00 0,00
21 36AENTER 21,00 Prazo da 1ª duplicata
8000 49A∑+ 1,00 Valor da 1ª duplicata
43Ag 29Gxw 40,21 Prazo médio ponderado
Após achar o prazo médio do borderô de duplicatas, o próximo passo é calcular
o valor do desconto, utilizando a fórmula do desconto bancário:
Dc = N.d.n = 23.000,00 . 0,04 .
40,21
30
= 1.259,91
Note que, se digitar 40,21, o resultado será 1.259,9133. Utilizamos aqui o
cálculo em cadeia, que considera o prazo médio ponderado de 40,21276596
Para calcular o valor líquido liberado do borderô de duplicatas:
V = N - Dc = 23.500,00 – 1.259,91 = 22.240,09
Para apontar o valor do desconto de cada duplicata:
A = Dc = N.d.n = 8.000,00. 0,04.
21
30
= 224,00
B = Dc = N.d.n = 9.500,00. 0,04.
42
30
= 532,00
C = Dc = N.d.n = 6.000,00. 0,04.
63
30
= 504,00
Calculando o valor líquido liberado na operação:
A = V = N - Dc = 8.000,00 – 224,00 = 7.776,00
B = V = N - Dc = 9.500,00 – 532,00 = 8.968,00

C = V = N - Dc = 6.000,00 – 504,00 = 5.496,00
A+B+C = V = N - Dc = 23.500,00 – 1.260,00 = 22.240,00
Usando a fórmula da taxa efetiva de juros, para encontrar a taxa efetiva
mensal de juros do desconto de cada duplicata:
A = ief =
VF
VP - X
1
21/30
- 1 =
8.000,00
7.776,00
30
21
-1 = 4,14%MÊS
A = ief =
VF
VP - X
1
42/30
- 1 =
9.500,00
8.968,00
30
42
-1 = 4,20%MÊS
A = ief =
VF
VP - X
1
63/30
- 1 =
6.000,00
5.496,00
30
63
-1 = 4,27%MÊS
Sofisticando a resposta, podemos indicar a taxa média efetiva de juros da
operação, usando a fórmula da taxa média de juros:
im = [(1+i1)n
(1+i2)n
(1+i3)n
... (1+in)n
]1/n
- 1
im = [(1+0,0414)1
(1+0,0420)1
(1+0,427)1
]1/3
- 1 = 4,20%
A taxa média efetiva da operação é igual à taxa efetiva de juros o prazo de 42
dias, que também é o prazo médio da operação.
22.7.1. Determinação da taxa de desconto
EXERCÍCIO: Qual a taxa de desconto para 30 dias, quando a taxa efetiva anual de
juros, objetivada pela instituição financeira, é de 30%ANO
.
Utilizando a fórmula de equivalência de taxas.
iq = (1+i)q/t
- 1 = (1+0,30)30/360
- 1 = 0,022104 = 2,2104%

Utilizando a fórmula da relação entre taxa de juros e taxa de desconto:
i 0,022104
d =
1+i
=
1+0,022104
= 0,021626 = 2,1626%
22.7.2. Relação entre taxa de desconto no período e juros
compostos
EXERCÍCIO: Se o produto é vendido a $100 para pagamento em 42 dias, qual é o
desconto que o vendedor pode conceder à vista, se a taxa efetiva média de
mercado, para empréstimos nesse prazo, é de 3,5%MÊS
.
Utilizando as teclas financeiras da HP12C, para calcular o valor presente do
desconto, para o período de 42 dias, considerando a taxa de juros de 3,5%MÊS.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
100 15AFV 100,00 Valor futuro
3,5 12Ai 3,50 Taxa de juros
42 36AENTER 30 ÷ 11An 1,40 Prazo
13APV -95,28 Valor presente
100 + 4,71 Valor do desconto
Utilizando as teclas financeiras da HP12C, para calcular o valor presente do
desconto, para o período de 42 dias, considerando a taxa de juros de 3,5%MÊS.
42Af 34DFIN 0,00 0,00
100 15AFV 100,00 Valor futuro
36AENTER 4,7 % - 95,30 Valor à vista com desconto
16ACHS 13APV -95,30 Troca sinal
42 36AENTER 30 ÷ 11An 1,40 Prazo
23. Formação do preço
23.1. Competitividade
É a capacidade da empresa lograr êxito no cumprimento da sua missão. Baseia-se
na capacidade de satisfazer as necessidades e as expectativas dos clientes, no seu
mercado objetivo, de acordo com a missão para a qual foi criada.

Geralmente, competitividade é vista no contexto da economia de mercado. Neste
sentido, a boa competitividade empresarial significa obter rentabilidade igual ou
superior aos concorrentes. Ao longo do tempo, quando a empresa registra
rendimento inferior aos concorrentes, a rentabilidade tende à zero tornando-se,
em seguida, negativa.
A empresa é competitiva quando demonstra as seguintes qualidades intrínsecas:
1. Produtividade: competência de produzir com qualidade utilizando cada vez
menos tempo e recursos, resultando na redução dos custos de produção.
2. Serviço: atributo ético de atender e satisfazer clientes, com honestidade,
justiça, solidariedade, transparência, amabilidade, pontualidade, etc.
A competitividade é base do fracasso ou prosperidade da empresa, que a diferencia
das concorrentes, independente do potencial de lucro e crescimento.
23.2. Inovação
Independente da estratégia se basear no preço ou na diferenciação, a inovação se
constitui o principal fator motivador da competitividade. A competitividade é a
realização da inovação no produto, na produção, na distribuição e na gestão.
“Inovação é a capacidade do produto se manter ou aumentar o lucro
gerado na sua venda”. Ribault (1995, p. 31)
Ao se analisar o preço como fator de competição, a estratégia baseia-se na redução
dos custos de produção. Por sua vez, a redução dos custos, dentre outros fatores,
decorre da inovação dos processos de produção, de distribuição ou das técnicas de
gestão.
A manutenção ou aumento do lucro via diferenciação do produto
“envolve o desenvolvimento de produtos ou serviços únicos. A empresa
pode oferecer qualidade mais alta, melhor desempenho ou
características únicas, que são fatores que podem justificar o preço mais
alto”. Baumeier (2002, p. 65),
As características únicas proporcionadas pela diferenciação derivada da inovação
permitem a empresa a monopolização temporária do mercado. Será temporária,
visto que a monopolização se estenderá até o momento em que um concorrente
copie a inovação ou que lancem um produto substituto mais inovado.
Considerando a inovação a base fundamental do processo competitivo,
independente da utilização do preço ou da diferenciação, o grande desafio é o
desenvolvimento de estratégias de sustentação dessa política, onde a adequada
metodologia de formação do preço pode se constituir no agente financiador.
23.3. Margens
A formação do preço pode ser feita diretamente, ou depois de apurar o markup,
para posterior aplicação na soma dos custos para a obtenção do preço.

Na formação do preço, freqüentemente são confundidas margens de contribuição,
margem de lucro, margem líquida e markup.
23.3.1. Margem de contribuição
Margem de Contribuição é quantia em dinheiro que sobra do preço de venda, após
retirar o valor do custo variável unitário. Esta quantia é que irá garantir a
cobertura do custo fixo e do lucro. Em outras palavras, a margem de contribuição é
o preço de venda com a dedução dos custos variáveis. Pode ser definida como a
contribuição de cada produto à cobertura do custo fixo mais o lucro da empresa.
A margem de contribuição deve cobrir os impostos e contribuições incidentes sobre
o preço, as despesas administrativas, de vendas, ainda não incluídos no custo do
produto, e o lucro razoável desejado pelos investidores.
23.3.2. Margem de lucro
A margem de lucro considera todos os custos de produção (diretos e indiretos),
alocados no produto, mais as despesas fixas e variáveis.
É a diferença positiva entre o preço de venda e o custo total. Acontece quando a
base da formação do preço é o custo total, considerado o custo fixo. Caso o
resultado for negativo, a empresa registra prejuízo.
O que diferencia margem de contribuição da margem de lucro é o custo variável de
venda. Margem de contribuição é o percentual necessário para cobrir o custo
variável de venda mais a margem de lucro. Quando utilizada, a margem de lucro
representa que o custo variável de venda, juntamente com o custo de produção, já
foram consideradas no cálculo.
Independente da margem utilizada, o preço final de venda será o mesmo.
23.3.3. Markup
O markup é um termo de marketing para indicar quanto do preço do produto está
acima do seu custo da distribuição no mercado. Pode ser calculado com utilização
da margem de contribuição ou da margem de lucro.
Para a obtenção do markup, é aplicada a mesma metodologia de formação do
preço de venda, com a utilização referencial do custo médio unitário do produto. O
índice obtido é um multiplicador que aplicado sobre o custo de qualquer produto,
resultará no preço de venda, incluídas as despesas de marketing ou da distribuição
do produto no mercado.
23.3.4. Margem líquida
É a relação percentual existente entre o resultado líquido propiciado pela venda do
produto em relação a seu preço.

Para empresas enquadradas no SIMPLES – Sistema Integrado de Pagamentos de
Impostos e Contribuições das Microempresas e Empresas de Pequeno Porte, ou
tributadas pelo Lucro Presumido, o resultado líquido confunde-se com o lucro
líquido.
Micros e pequenas empresas são isentas do Imposto de Renda e da Contribuição
Social, impostos classificados como CVV custos variáveis de vendas, repassados nos
preços ao consumidor, pelas empresas tributadas pelo Lucro Presumido.
23.4. Variáveis do preço
Na formação do preço, distinguida a margem de contribuição da margem líquida,
são levados em consideração:
PV – preço de venda, o valor monetário nominal expresso numericamente e
associado a uma mercadoria, serviço ou patrimônio. Composto por custos indiretos,
custos de manutenção, necessidade de recompra, e mesmo a energia física, o
tempo e o custo emocional de se adquirir uma oferta.
PVL – preço de venda líquido. A margem de lucro é aplicada sem considerar os
impostos, contribuições e demais despesas administrativas e de vendas na sua
formação.
PVB – preço de venda bruto. A margem de lucro considera todos os custos de
aquisição e oferta final do produto.
MP – matéria prima, representada pelo preço de aquisição, crédito do ICMS, custo
de transporte, embalagem, IPI, e outras despesas incidentes até o recebimento da
mercadoria ou matéria prima.
MOD – mão de obra direta, custo de qualquer trabalho executado no produto
alterando a forma e natureza do material de que se compõe, por exemplo, gasto
com salários e encargos, apropriados diretamente ao produto, dos empregados da
produção, excluídos funcionários das áreas administrativas e de vendas, etc.
CIP – custos indiretos de produção, demais custos necessários. Porém, genéricos
para serem apropriados diretamente ao produto. Exemplo: materiais indiretos,
mão-de-obra indireta, energia elétrica, seguro e aluguel da fábrica, depreciação de
máquinas, etc.
ITV – impostos e tributos sobre a venda. Custo variável de venda. Compreende o
débito do ICMS, recolhimento ou compensação de impostos e de contribuições,
Simples, PIS, Cofins, IRPJ - Imposto de Renda Pessoa Jurídica, CSSL - Contribuição
Social sobre Lucro, comissão sobre as vendas, e outras despesas decorrentes da
saída da mercadoria ou insumo, emissão de documentos fiscais e do processo de
venda como um todo.
DVA – despesas de administração e vendas. Compreende o custo fixo ou de
funcionamento da empresa. Composto de despesas fixas, independentes das vendas
ou das operações comerciais: aluguéis, salários, tarifas públicas, etc.

M – Margem de Lucro, diferença positiva entre o preço de venda e o custo total.
Acontece quando a base da formação do preço é o custo total, considerado o custo
fixo. Caso o resultado for negativo, a empresa registra prejuízo.
23.5. Cálculo “por fora” e “por dentro”
Na formação do preço, destaca-se o cálculo “por dentro” do ICMS, instituído pela
Constituição de 1988, com alíquota interna, para operações dentro do estado, de
18%, e alíquota externa, para operações fora do estado, de 25%, incidentes sobre
mercadorias, combustíveis, e serviços de eletricidade e telecomunicações.
O cálculo “por dentro” consiste em se criar uma nova alíquota que, incidindo sobre
outra base conhecida, reproduz o valor do imposto.
Por exemplo, no empréstimo bancário de $1.000, a alíquota de 1,5% do IOF Imposto
sobre Operações Financeiras resulta em $15. Dividindo-se o IOF de $15 pelo valor
líquido liberado de $985 obtém-se 1,523%. Logo, o IOF de $15 pode ser obtido
aplicando-se 1,523% sobre o valor líquido do financiamento.
Da mesma forma, o cálculo “por dentro” aplica-se ao ICMS. Na conta de luz de
$1.000 o valor cobrado a título do ICMS, de $333,33, dividido pelo total cobrado de
$1.333,33, valor diferente da base de incidência, resulta em 25%.
As taxas (ou alíquotas) que incidem sobre a base menor podem ser chamadas de
taxas “por dentro” e aquelas que incidem sobre a base maior, de taxas “por fora”.
Outros exemplos são operações de desconto “por dentro” simples ou desconto
bancário “por fora”. As taxas “por dentro” são sempre maiores que as “taxas por
fora”.
EXERCÍCIO: Dois comerciantes compram mercadorias idênticas por $100
revendendo por $125. O primeiro alega que opera com margem bruta de 25%. O
segundo alega operar com margem bruta de 20%. Explique a metodologia de cálculo
utilizada, em economia sem custo fixo e custo variável de venda.
O primeiro comerciante define como margem bruta, a relação entre lucro
bruto e preço de custo, utilizando o cálculo por fora para estabelecer o preço de
venda da mercadoria, conforme segue:
PV = PC.(1+MC)
FÓRMULA: CÁLCULO POR FORA DE FORMAÇÃO DO PREÇO
PV = Preço de venda
PC = Preço de custo
MC = Margem de contribuição (%)

PV = PC . (1+0,25) = 125,00
MC = PV – PC = 125,00 - 100,00 = 25,00
O segundo comerciante define como margem bruta, a relação entre lucro bruto
e preço final de venda, utilizando o cálculo por dentro para estabelecer o preço de
venda da mercadoria, conforme segue:
PV =
PC
1-MC
FÓRMULA: CÁLCULO POR DENTRO DE FORMAÇÃO DO PREÇO
PV =
PC
1-MC
=
100,00
1-0,25
= 125,00
MC = PV - PC = 125,00 - 100,00 = 25,00
23.6. Competição via preço
23.6.1. - Margem sobre o preço de venda líquido
O preço de venda obtido com a utilização da margem sobre o preço de venda
líquido (PVL) desconsidera os impostos, contribuições e demais despesas
administrativas e de vendas na sua formação. A margem é aplicada, para a
obtenção do preço, sem impostos e demais despesas, e depois acrescido destes.
A competição via preço, em mercados de concorrência perfeita, com oferta de
produtos homogêneos, pressupõe-se a existência da estratégia baseada na redução
dos custos e na otimização dos processos de produção.
A redução dos custos pode destacar, por exemplo, a substituição de matérias-
primas ou dos processos de produção, através da economia de escala.
EXERCÍCIO: Os custos de produção, descontados os respectivos créditos de
impostos, são de $100, sendo $60 referente a matéria-prima (MP), $30 de mão-de-
obra direta (MOD) e $10 referentes a outros custos indiretos de produção (CIP). As
despesas administrativas e de vendas (DVA) correspondem a 15,00% e a margem de
lucro objetivada é de 10,00%. Os impostos e tributos sobre a venda (ITV)
correspondem a 23,93% (PIS: 0,65%, Cofins: 3,00%, IRPJ: 1,20%, CSLL: 1,08% e ICMS:
18,00%).
Para facilitar a demonstração não será considerado o Imposto sobre Produtos
Industrializados (IPI), visto que o mesmo não faz parte da sua própria base de
cálculo. Ele é simplesmente acrescentado no preço obtido.

Utilizando a fórmula da formação do preço de venda com a margem sobre o
preço de venda líquido.
PLV =
MP + MOD + CIP
(100% - %ITV - %DVA) x (100% - %M)
x 100
FÓRMULA: MARGEM SOBRE O PREÇO DE VENDA LÍQUIDO
PLV = Preço líquido de venda
MP = Matéria prima
MOD = Mão de obra direta
CIP = Custos indiretos de produção
ITV = Impostos e tributos sobre a venda
DVA = Despesas administrativas sobre vendas
M = Margem de Lucro
PV =
60,00 + 30,00 + 10,00
(100% - 23,93% - 15,00%) x (100% - 10,00%)
x 100 = 181,84
Decompondo-se o preço obtido, verifica-se que a margem de 10,00% objetivada
é igual à margem obtida sobre o preço de venda líquido (PVL) de $111,11, ou seja,
sobre o preço de venda bruto (PVB) descontados os impostos e as despesas
administrativas e de vendas:
Discriminação $ %
PVB - Preço de venda antes do IPI 181,94 100,00%
ITV - Impostos e taxas sobre vendas 43,54 23,93%
PIS 1,18 0,65%
COFINS 5,46 3,00%
ICMS 32,75 18,00%
IRPJ 2,18 1,20%
CSLL 1,96 1,08%
DVA - Despesas de Administração e Vendas 27,29 15,00%
PVL - Preço de venda líquido 111,11 100,00%
Custo de produção total 100,00 90,00%
MP - Matéria prima 60,00 54,00%
MOD - Mão-de-obra direta 30,00 27,00%
CIP - Custos indiretos de produção 10,00 9,00%
Lucro 1,11 10,00%

23.7. Competição via produto
23.7.1. - Margem sobre o preço de venda bruto
A estratégia de competição poderá diferenciar a utilidade ou a qualidade do
produto, buscando, via produto e não via preço, a concorrência monopolista.
“Ser competitivo é desenvolver vantagens competitivas, seja através de
menores custos ou de produtos diferenciados, dos quais obtêm-se preços
elevados. Para manter estas vantagens, as empresas precisam aprimorar
seu desempenho, conseguindo novas vantagens, mais sofisticadas com o
decorrer do tempo, oferecendo produtos e serviços de melhor qualidade
ou produzindo com mais eficiência”.
EXERCÍCIO: Considere o exemplo anterior para calcular o preço de venda bruto.
Utilizando a fórmula da formação do preço de venda com a margem sobre o
preço de venda bruto.
PLV =
MP + MOD + CIP
(100% - %ITV - %DVA - %M)
x 100
FÓRMULA: MARGEM SOBRE O PREÇO DE VENDA BRUTO
PLV = Preço líquido de venda
MP = Matéria prima
MOD = Mão de obra direta
CIP = Custos indiretos de produção
ITV = Impostos e tributos sobre a venda
DVA = Despesas administrativas sobre vendas
M = Margem de Lucro
PV =
60,00 + 30,00 + 10,00
(100% - 23,93% - 15,00% - 10,00%)
x 100 = 195,81
Decompondo-se o preço obtido, observa-se que a margem de lucro obtida é
exatamente igual à margem objetivada, ou seja, 10,00% sobre o preço de venda
bruto de $195,81.

Discriminação $ %
PVB - Preço de venda antes do IPI 195,81 100,00%
ITV - Impostos e taxas sobre vendas 46,86 23,93%
PIS 1,27 0,65%
COFINS 5,87 3,00%
ICMS 35,25 18,00%
IRPJ 2,35 1,20%
CSLL 2,11 1,08%
DVA - Despesas de Administração e Vendas 29,37 15,00%
PVL - Preço de venda líquido 119,58 61,07%
Custo de produção total 100,00 51,07%
MP - Matéria prima 60,00 30,64%
MOD - Mão-de-obra direta 30,00 15,32%
CIP - Custos indiretos de produção 10,00 5,11%
Lucro 19,58 10,00%
23.8. Análise dos resultados
As fórmulas de cálculo, que proporcionam a mesma margem percentual de lucro
(uma sobre o PVB e outra sobre o PVL), apresentam diferença de $13,87, obtida
pela característica da metodologia de margem sobre o preço de venda bruto, a
qual é aplicada sobre os impostos e sobre as despesas administrativas e de vendas.
O preço de venda, sem impostos e despesas de vendas, utilizando-se da margem
sobre o preço de venda bruto, seria:
PV =
60,00 + 30,00 + 10,00
(100% - 10,00%)
x 100 = 111,11
Com a mesma metodologia de cálculo, o preço de venda dos impostos e das
despesas variáveis de venda, ITV e DVA, de $76,23, serão:
PV =
76,23
(100% - 10,00%)
x 100 = 84,70
Somando-se o preço do produto com o preço de venda de seus respectivos impostos
e demais despesas, obtém-se o preço de venda proporcionado pela metodologia
que utiliza a margem sobre o preço de venda bruto, ou seja, $195,81.
O lucro obtido na venda dos impostos (ITV) e despesas variáveis de venda (DVA)
será de $8,47, que corresponde a diferença entre ($84,70 – $76,23).
A utilização da metodologia com a margem sobre o preço de venda líquido (PVL),
elimina o efeito do lucro sobre os impostos considerados no ITV e sobre a DVA.

Nesta os impostos e as taxas sobre vendas, são aplicados no preço sem eles. Ou
seja, ITV e DVA não fazem parte da base de cálculo do lucro. O preço de venda do
mesmo produto considerado anteriormente, sem os impostos será:
PV =
60,00 + 30,00 + 10,00
(100% - 10,00%)
x 100 = 111,11
Aplicando-se os impostos e as despesas de vendas e administração, o preço será:
PV =
111,11
(100% - 23,93% – 15,00 %)
x 100 = 181,94
A diferença do lucro proporcionado pelas duas metodologias é de $8,47 ($195,81 –
$181,94), a qual é exatamente igual a diferença de preços levantada de $13,87,
descontados ITV (23,93%) e DVA (15,00%), incidente sobre a mesma ($8,47 = $13,87
(1- 0,3893)).
Analisando-se a diferença de preços, proporcionada pelas duas metodologias,
verifica-se que, com a mesma margem percentual de lucro, a utilização da margem
sobre o preço de venda líquido, torna a empresa mais competitiva via preços no
mercado.
Esquivando-se dessa concorrência e apropriando-se do lucro adicional gerado na
venda dos impostos e despesas de administração e de vendas, a empresa poderá
investir no desenvolvimento de tecnologias. Essas tecnologias poderão ser
relacionadas ao produto, visando à diferenciação ou a produção, se a finalidade for
a obtenção de ganhos de escala representada pela conseqüente redução dos custos
do produto como forma de competição.
A diferenciação derivada da inovação tecnológica propicia a oportunidade de
monopolizar temporariamente o mercado, forma de concorrência onde se utiliza o
produto e não o preço como forma de competição.
23.9. Conclusão
A formação do preço de venda com a utilização da margem sobre o preço de venda
bruto (PVB), propicia a prática de lucros sobre os impostos, contribuições e demais
despesas administrativas e de vendas.
A utilização da margem sobre o preço de venda líquido (PVL) proporciona preço de
venda menor, com a mesma margem percentual de lucro. Nesta metodologia, ao
contrário da primeira, os impostos e demais despesas administrativas e de vendas
incidem sobre os custos mais os lucros desejados.
Esquivando-se da concorrência via preços, a diferença obtida na aplicação das duas
metodologias propicia a apropriação de um lucro adicional que, se utilizado na
inovação poderá proporcionar a competição via diferenciação.

A diferenciação poderá ser representada pela aplicação do lucro adicional em
tecnologias de produção com o objetivo de se obter ganhos de escala. Com essa
prática, mantém-se o preço de venda, reduzindo-se os custos e aumentando-se o
lucro.
Se o lucro adicional for aplicado no desenvolvimento de novos produtos ou na
diferenciação dos existentes, a empresa poderá monopolizar, temporariamente, o
mercado. Dada característica da não existência de similares, poderá praticar
preços maiores, gerando lucro adicional, derivado da inovação (lucro do inovador).
Se o lucro adicional for reinvestido, constantemente, no desenvolvimento de novos
produtos e de meios de produção ou na especialização e diferenciação do
atendimento ao cliente, em tese, garante continuidade da estratégia de
diferenciação via produto com interposição de barreiras a entrada de concorrentes.
Assim, caso a empresa opte por buscar diferenciar-se da concorrência via preços e
via diferenciação dos produtos ou meios de produção ou atendimento ao cliente
deve adotar a metodologia de cálculo da margem sobre o preço de venda líquido.
24. Análise de Projetos
24.1. Fluxos Variáveis de Capitais
43A 13G 43A 14G 43A 15G
Os fluxos de capitais de periodicidade e valores variáveis, necessariamente
vinculados a um projeto econômico-financeiro específico, são feitos por força de
cronogramas das atividades de inovação ou revisão, inserção e comercialização de
produtos e novas tecnologias.
O fluxo de caixa variável pode ser suportado ou adicionado ao fluxo de caixa
corrente ou gerencial. Prestar contas ou simplesmente ser entendido como custo
afundado.
Informações temporais contribuem para mudar a lucratividade do
empreendimento. O valor presente líquido e a taxa interna de retorno são algumas
das ferramentas gerenciais usadas para avaliar a viabilidade econômico-financeira
de projetos, tidos como custos de oportunidade dentro da realidade intrínseca e
perspectivas comerciais do empreendimento.
Os fluxos variáveis de capitais ocorrem com maior freqüência em empresas de
serviços e tecnologia, as quais gastam recursos expressivos no desenvolvimento e
inovação de produtos e metodologias.
EXERCÍCIO: Uma empresa vai investir hoje quatro parcelas mensais de $40.000.
Depois, mais uma parcela de $150.000 para lançar um novo produto. Quando
espera faturar mensalmente $29.000 durante o primeiro semestre, e $45.000 no
semestre seguinte. Desenhar o cash flow.

45 45
29
-150
-40 -40
29
Cfo N4 Cf4 Cf5 N6 Cf11 N6
24.2. Análise de fluxo de caixa descontado
24.2.1. Taxa Interna de Retorno
42A 15D
A Taxa Interna de Retorno (TIR), do inglês internal rate of return, é a taxa
necessária para igualar o valor de um investimento (valor presente) com os seus
respectivos retornos futuros ou saldos de caixa. Sendo usada em análise de
investimentos significa a taxa de retorno de um projeto.
Para o cálculo da TIR, a HP12C usa o conceito de fluxo de caixa ou cash flow.
Devem existir no mesmo fluxo entrada e saída de recursos.
24.2.1.1. Grupos diferentes de cash flow
43A 13G 43A 14G
A tecla 42Af 15DIRR, do inglês Internal Rate of Return, calcula a TIR de um processo
de tentativa e erro, para até 20 grupos de fluxos de caixa diferentes - 43Ag 14GCFj,
além do fluxo inicial 43Ag 13GCfo.
24.2.1.2. Frequência máxima de cash flow
43A 15G
Cada grupo de valores consecutivos, que se repetem, pode
conter freqüência máxima - 43Ag 15GNj de 99 fluxos iguais. Os
pares de 14GCFj e 15GNj devem ser inseridos em ordem
cronológica no cash flow, onde j = 1, 2, 3 ... n

24.2.1.3. Taxa Mínima de Atratividade (TMA)
É a taxa de juros que representa o mínimo que um investidor se propõe a ganhar
quando faz um investimento, ou o máximo que um tomador de dinheiro se propõe a
pagar quando faz um financiamento.
A TMA é formada a partir de três componentes básicos:
1. Custo de Oportunidade: remuneração obtida em alternativas que não as
analisadas. Exemplo: caderneta de poupança, fundo de investimento, etc.
2. Risco do Negócio: o ganho tem que remunerar o risco inerente de uma nova
ação. Quanto maior o risco, maior a remuneração esperada.
3. Liquidez: capacidade ou velocidade em que se pode sair de uma posição no
mercado para assumir outra.
A TMA é considerada pessoal e intransferível, pois a propensão ao risco varia de
pessoa para pessoa, ou ainda a TMA pode variar durante o tempo. Assim, não existe
algoritmo ou fórmula matemática para calcular a TMA.
Ao se utilizar uma TMA como taxa de juros de referência, aplicam-se, como
veremos adiante, métodos como o Valor Presente Líquido ou o Custo Anual
Uniforme para se determinar a viabilidade financeira de um investimento ou
empréstimo.
Caso o resultado seja positivo, a taxa interna de retorno supera a TMA e o
investimento é interessante. O contrário ocorre caso o resultado seja negativo.
Entre vários investimentos, o melhor será aquele que tiver a maior TIR.
Matematicamente, a TIR é a taxa de juros que torna o valor presente das entradas
de caixa igual ao valor presente das saídas de caixa do projeto de investimento.
A TIR de um investimento, em relação a TMA, pode ser:
1. TIR > TMA: Atrativa.
2. TIR = TMA: Indiferente.
3. TIR < TMA: Negativa.
A TIR é a taxa de desconto que faz com que o Valor Presente Líquido (VPL) do
projeto seja zero. Um projeto é atrativo quando sua TIR for maior do que o custo
de capital do projeto.
EXERCÍCIO: A empresa trabalha com TMA de 12% ao ano, para novos investimentos.
Determinar a TIR do projeto de $100.000, com desembolsos de 3 parcelas mensais
de $30.000, $50.000 e $40.000.

42Af 35DREG 0,00 0,00
10000 16ACHS 43Ag 13GCf0 -100.000,00 Cash flow inicial
30000 43Ag 14GCf1 30.000,00 1ª parcela
50000 43Ag 14GCf2 50.000,00 2ª parcela
40000 43Ag 14GCf3 40.000,00 3ª parcela
42Af 15DIRR 9,26 TIR
A solução de questões de taxa interna de retorno consiste em resolver a
seguinte equação matemática, na qual i é a TIR. Ou seja, o cash flow representado
pelos pagamentos de $30.000, $50.000 e $40.000, descontados à taxa i, é
semelhante a $100.000, conforme demonstrado abaixo:
Cf1 Cf2 Cf3
IRR = VP =
(1+i)j
+
(1+i)j+1
+
(1+i)j+3
30.000,00 50.000,00 40.000,00
IRR = 100.00,00 =
(1+i)1
+
(1+ i)2
+
(1+ i)3
30.000,00 50.000,00 40.000,00
9,26 = 100.00,00 =
(1+0,0926)1
+
(1+ 0,0926)2
+
(1+ 0,0926)3
9,26 = 100.00,00 = 27.457,44 + 41.883,95 + 30.667,36
9,26 = 100.000,00 = 100.008,75
A taxa interna de retorno nada mais é que a taxa de desconto ou de
oportunidade da operação.
No presente caso, a empresa trabalha com TMA de 12% ANO, superior a TIR de
9,26%ANO. Portanto, dificilmente, na forma que se apresenta, caso não receba
significativas modificações, o projeto será aprovado.
24.3. Valor Presente Líquido
43A 13D
O valor presente líquido (VPL), também conhecido como valor
atual líquido ou método do valor atual, é a fórmula matemático-
financeira de se determinar o valor presente de pagamentos
futuros descontados a uma taxa de juros conhecida, menos o
custo do investimento inicial.
Basicamente, é o calculo de quanto os futuros pagamentos somados a um custo
inicial estaria valendo atualmente. Temos que considerar o conceito de valor do
dinheiro no tempo, pois, exemplificando, $100.000 hoje, não valeria $100.000

daqui um ano, devido ao custo de oportunidade de se colocar, por exemplo, tal
montante de dinheiro na poupança para render juros.
Se o VPL for igual a zero, o investimento é indiferente, pois o valor presente das
entradas é igual ao valor presente das saídas de caixa; se o VPL for menor do que
zero, significa que o investimento não é economicamente atrativo, já que o valor
presente das entradas de caixa é menor do que o valor presente das saídas de
caixa.
Para cálculo do valor presente das entradas e saídas de caixa é utilizada a TMA
(Taxa Mínima de Atratividade) como taxa de desconto. Se a TMA for igual à taxa de
retorno esperada pelo acionista, e o VPL > 0, significa que a sua expectativa de
retorno foi superada e que os acionistas estarão esperando um lucro adicional a
qualquer investimento que tenha valor presente igual ao VPL.
Desta maneira, o objetivo da corporação é maximizar a riqueza dos acionistas, os
gerentes devem empreender todos os projetos que tenham um VPL > 0, ou no caso
se dois projetos forem mutuamente exclusivos, deve escolher-se o com o VPL
positivo mais elevado.
EXERCÍCIO: Uma construtora tem a oportunidade de fazer um investimento de
$22.000.000. Espera obter um retorno de 5% (TMA). Prevê que os fluxos de caixa
anuais serão os apresentados abaixo:
Custo do capital $22.000.000
Lançamento: 1ª rodada de vendas $12.000.000
Promoção: 2ª rodada de vendas $3.000.000
Habite-se: 3ª rodada de vendas $3.000.000
Entrega das chaves: 4ª rodada de vendas $8.000.000
Em milhões
8
3
-22
12
3
Cfo Cf1 Cf2 N2 Cf4
Pressione 42Af 2 para fixar duas casas decimais e trabalhar com valores em
milhões.

42Af 35DREG 0,00 0,00
22 16ACHS 43Ag 13GCf0 -22,00 Cash flow inicial
12 43Ag 14GCf1 12,00 1ª parcela
2 43Ag 14GN3 3,00 Freqüência
5 12AiMÊS(%)
5,00 Taxa conhecida
45ARCL 11An 3,00 Parcelas diferentes
42Af 13DNPV 1,32 Valor presente líquido
Como 42Af 13DNPV (valor presente líquido) é positivo, o investimento excedeu a taxa
de atratividade desejada.
O valor $3 milhões se repete duas vezes. Podemos economizar a quantidade de
registradores necessários utilizando a função 43Ag 14GNj. A função 45ARCL 11An
confere o número de fluxos de caixa diferentes lançados.
Assumindo que os fluxos de caixa ainda estejam na calculadora, confira a taxa real
de retorno: 42Af 15DIRR = 7,87%
24.4. Valor Presente
43A 13D
O cálculo do valor presente é quase o mesmo do valor presente
líquido. Apenas fazer o fluxo inicial igual a zero, ou deixar de
inserir o fluxo de caixa no momento zero - 43Ag 13GCf0
Aproveitando os dados do exemplo anterior, o valor presente do cash flow à taxa
de 5%MÊS
, é de $23.322.792,46. Isto é, @22.000.000 + $3.322.792,46.
Para obter o valor presente, em vez do valor presente líquido, insira zero no
registrador inicial do cash flow.
0 44ASTO 0,00 0,00
42Af 13DNPV 23.322.792,46 Valor presente
EXERCÍCIO: Calcule o valor presente de um projeto com recebimentos de $700
daqui a 60 dias, $1.100 daqui a 90 dias, e $100 daqui a 120 dias, para uma taxa de
juros de 1,8% MÊS

100
700
0
0
1100
Cfo Cf1 Cf2 Cf3 Cf4
42Af 35DREG 0,00 0,00
0 43Ag 14GCfo 0,00 Cash flow inicial
700 43Ag 14GCf2 700,00 2ª parcela
1100 43Ag 14GCf3 1.100,00 3ª parcela
100 43Ag 14GCf4 100,00 4ª parcela
1,8 12AiMÊS(%)
1,80 Taxa conhecida
45ARCL 11An 3 Parcelas diferentes
42Af 13DNPV 1.811,25 Valor presente
24.5. Como funcionam os registradores de cash flow?
Vimos que os valores de cash flow são armazenados para processamento nos
registradores da HP12C.
Quando informamos o fluxo na data zero - 43Ag 14GCf0 – o valor é guardado em R0.
Simultaneamente, o zero é guardado no registrador financeiro 11An.
Os valores subseqüentes - 43Ag 14GCf1 a 43Ag 14GCf9, – são registrados, na ordem de
ocorrência, nos registradores R1 a R9, e os valores de 43Ag 14GCf10 a 43Ag 14GCf19, são
armazenados em R1 a R.9
Se, no cash flow, houver ainda 43Ag 14GCf20, o valor é armazenado em 15AFV
O registrador 11An é acrescido de uma unidade cada vez que as teclas 43Ag 14GCfj
forem acionadas, ou de 43Ag 14GNj unidades, quando os valores se repetem,
tornando-se 11An endereçador e contador do número de grupos de cash flow, que
estão sendo introduzidos além do 43Ag 14GCf0
24.5.1. Revendo dados do cash flow
O conjunto de teclas 45ARCL 43Ag 14GNj revê a freqüência dos valores inseridos. A
sequência de teclas 45ARCL 43Ag 14GCfj revê os valores inseridos. A apresentação é
feita em ordem inversa, do último ao primeiro fluxo de caixa.
Para retornar a calculadora ao último movimento inserido, pressione 11An.

EXERCÍCIO: Calcule a TIR do projeto a seguir. Em seguida, confira todos os dados.
Retorne ao movimento mais recente e confirme a variação da TIR.
1000
650 650
-400
-650
-500
200
-400
Cfo Cf1 Cf2 Cf3 N2 Cf4 Cf5 N3
42Af 35DREG 0,00 0,00
500 16ACHS 43Ag 14GCfo 500,00 Cash flow inicial
200 43Ag 14GCf1 200,00 1ª parcela
650 16ACHS 43Ag 14GCf2 650,00 2ª parcela
400 16ACHS 43Ag 14GCf3 400,00 3ª parcela
1000 43Ag 14GCf4 1.000,00 4ª parcela
650 43Ag 14GCf5 650,00 5ª parcela
Conferindo os dados do cash flow:
45ARCL 43Ag 14GNj 3,00 Freqüência
45ARCL 43Ag 14GCf5 650,00 5ª parcela
45ARCL 43Ag 14GCf4 1.000,00 4ª parcela
45ARCL 43Ag 14GCf3 -400,00 3ª parcela
45ARCL 43Ag 14GCf2 -650,00 2ª parcela
45ARCL 43Ag 14GCf0 -500,00 Cash flow inicial
6 11An 6,00 Cf0+Cf1+Cf2+Cf3+Cf4+Cf5

24.5.2. Corrigindo dados do cash flow
A correção do cash flow é feita inserindo o valor correto no período imediatamente
anterior ao valor a ser corrigido.
Para posicionar o cash flow em períodos futuros, pressione o número
correspondente ao fluxo e, em seguida, a tecla 1An
Como vimos anteriormente, para posicionar o cash flow em períodos passados, e
rever a freqüência dos valores inseridos, utilize o conjunto de teclas 45ARCL 43Ag
14GNj e, para conferir os valores inseridos 45ARCL 43Ag 14GCfj. Para posicionar a
calculadora ao final do cash flow, pressione 11An 14GCfj
EXERCÍCIO: Calcule a TIR do projeto abaixo. Em seguida, troque Cf4 = 0 para Cf4 = -
$400. Retorne ao final do cash flow e indique a TIR corrigida.
650,00 650,00
0,00
-500,00-500,00
500,00
1.000,00
Cfo Cf1 Cf2 Cf3 Cf4 Cf5 N3
42Af 35DREG 0,00 0,00
500 16ACHS 43Ag 14GCfo -500,00 Cash flow inicial
500 43Ag 14GCf1 500,00 1ª parcela
500 16ACHS 43Ag 14GCf2 -500,00 2ª parcela
1000 43Ag 14GCf3 1.000,00 3ª parcela
650 43Ag 14GCf5 650,00 5ª parcela
3 43Ag 14GNj 3,00 Freqüência
1,8 12AiMÊS(%)
1,80 Taxa conhecida
45ARCL 11An 3 Parcelas diferentes
Corrigindo a 4ª parcela: trocar Cf4 = 0 para Cf4 = -$400

650,00 650,00
-400,00-500,00-500,00
500,00
1.000,00
Cfo Cf1 Cf2 Cf3 Cf4 Cf5 N3
45ARCL 14GNj 3,00 Freqüência
45ARCL 43Ag 14GCf4 0,00 4ª parcela anterior
400 16ACHS 43Ag 14GCf4 400,00 4ª parcela corrigida
5 11An 5,00 Cf0+Cf1+Cf2+Cf3+Cf4
42Af 15DIRR 50,93 TIR corrigida
EXERCÍCIO: Calcule a TIR do projeto abaixo. Em seguida, troque a estimativa Cf3 =
$1.000 para Cf3 = -$800. Retorne ao final do cash flow e indique a TIR corrigida.
150,00
-600,00-500,00
500,00
1.000,00
Cfo Cf1 Cf2 Cf3 Cf4
42Af 35DREG 0,00 0,00
500 16ACHS 43Ag 14GCfo -500,00 Cash flow inicial
500 43Ag 14GCf1 500,00 1ª parcela
600 16ACHS 43Ag 14GCf2 -600,00 2ª parcela
1000 43Ag 14GCf3 1.000,00 3ª parcela
Corrigindo a 3ª parcela: trocar Cf3 = $1.000 para Cf3 = $800

150,00
-600,00
-500,00
500,00
800,00
Cfo Cf1 Cf2 Cf3 Cf4
45ARCL 43Ag 14GCf3 1.000,00 3ª parcela anterior
800 16ACHS 43Ag 14GCf3 800,00 3ª parcela corrigida
4 11An 5,00 Cf0+Cf1+Cf2+Cf3
42Af 15DIRR 23,57 TIR corrigida
24.6. Poupança programada
Às vezes, ocorrem transações cujas receitas são adiadas. Isto é, ocorrem depois de
determinado número de períodos programado de acordo com as necessidades ou
oportunidades.
24.6.1. Receita diferida
A reserva antecipada de recursos para cobrir despesas futuras é receita diferida ou
poupança programa ou poupança planejada.
No caso de receita diferida, deve-se assumir o primeiro fluxo de caixa como zero,
para aplicar a função 42Af 13DNPV de valor presente.
Observar, no enunciado da questão, se a poupança é antecipada, pressionando
antes da resolução, as teclas 42Af 17ABEG – no visor aparecerá o flag BEGIN - ou,
sendo postecipada, desativar a função, pressionando a função default 42Af 18AEND
EXERCÍCIO: Você acabou de herdar $500.000 e deseja reservar parte do dinheiro
para pagar os estudos da sua filha na universidade, daqui a 10 anos, quando ela
precisará de $10.000 no início de cada um dos 6 anos de duração média dos cursos
superiores. Faz opção por um depósito programado na caderneta de poupança, que
rende 6,17%ANO
. Qual deverá ser hoje o montante do depósito, de modo a gerar
renda fixa anual para cobrir as despesas.

Neste caso, trata-se de estabelecer o valor do depósito suficiente para gerar
renda fixa anual de $10.000, a partir do 10º ano, conhecida a taxa de juros. Se o
desembolso deve ser antecipado, à vista, pressione antes da resolução, as teclas
42Af 17ABEG. No visor aparecerá o flag BEGIN.
15
0,00 0,00
10.000,00 10.000,00 10.000,00
......0 1 10
-41.821,10
42Af 35DREG 0,00 0,00
43Ag 17ABEG 0,00 BEGIN Série antecipada
0 43Ag 14GCfo 0,00 BEGIN Renda no fluxo zero
0 43Ag 14GCf1-9 0,00 BEGIN Renda nos fluxos 1 a 9
9 43Ag 14GN1-9 9,00 BEGIN Frequência
10000 43Ag 14GCf10-15 10.000,00 BEGIN Renda nos fluxos 10 a 15
6 43Ag 14GN10-15 6,00 BEGIN Frequência
6,17 12AiMÊS(%)
6,17 BEGIN Taxa de juros conhecida
42Af 13DNPV 28.536,21 BEGIN Valor presente
EXERCÍCIO: Um trabalhador pretende obter renda mensal de aluguel, quando se
aposentar. Decide poupar parte de seus rendimentos para comprar um imóvel
daqui a 9 anos, quando deixar de trabalhar, e alugá-lo por 1,2% MÊS
do valor de
mercado. Qual deverá ser o valor poupado, a partir de hoje, em fundo de renda
fixa, tributado em 15%, que paga, em média, a taxa bruta de juros de 1,5%MÊS
, se
pretende obter a renda mensal de $750?
Este tipo de problema de renda periódica futura é facilmente resolvido com
ajuda das teclas financeiras da HP12C

62.500,00
-268,67-268,67 -268,67 -268,67
0 1 ... 107 108
42Af 35DREG 0,00 0,00
43Ag 17ABEG 0,00 BEGIN Série antecipada
750 36AENTER 1,2 ÷ 100 x 15AFV 62.500,00 BEGIN Valor Futuro
9 36AENTER 12G12x 11An 108 BEGIN Prazo em meses
1,5 36AENTER 15 25A% - 12Ai 1,28 BEGIN Taxa líquida de juros
14APMT -268,67 BEGIN PMTMÊS
EXERCÍCIO: Um consumidor tem projeto para adquirir um veículo anunciado por
$13.900. Deseja programar a compra aplicando $500MÊS
, no fundo de renda fixa que
paga remuneração líquida de 1,5%MÊS
. Quantos meses serão necessários para
adquirir o veículo à vista?
-500,00 -500,00 -500,00
13.900,00
......0 1 24
0,00
42Af 35DREG 0,00 0,00
43Ag 18AEND 0,00 Série postecidada
13900 15AFV 13.900,00 Valor Futuro
500 16ACHS 14APMT -500,00 Depósito mensal
1,5 12Ai 1,50 Taxa líquida de juros
11An 24 Prazo

EXERCÍCIO: Utilizando os dados do exemplo anterior, qual seria a prestação
mensal, caso o consumidor queira adquirir imediatamente o veículo, com alienação
fiduciária, financiado em 48 meses, sem entrada, a taxa de juros efetiva de 2,9%
MÊS
?
-540,02 -540,02 -540,02
...0 1 48
13.900,00
42Af 35DREG 0,00 0,00
43Ag 18AEND 0,00 Série postecidada
13900 13APV 13.900,00 Valor Presente
2,9 12Ai 2,90 Taxa efetiva de juros
48 11An 48 Prazo
14APMT -540,02 Prestação
25. Amortização de Dívidas
25.1. Pacto de capitais
O projeto econômico-financeiro, de qualquer natureza, é atrativo para o investidor
quando a taxa interna de retorno (TIR) supera significativamente a taxa de juros
recebida (TJR) de outras fontes de remuneração.
O autofinanciamento de idéias oferece a vantagem contra a fatalidade do próprio
erro. O investimento com recursos próprio pode ser aproveitado como custo
afundado (implantação) em outros projetos, por exemplo, em sociedades
individuais.
O capital próprio dispensa caução, aval e garantias reais, diminuindo o risco da
continuidade no caso do projeto vir a implodir. Proporciona poder de negociação e
margens reais de custos e insumos. Funciona como link para estudos de mercado,
estimativas publicitárias de produtos e, sem pressão por faturamento, previsão
segura de margens de lucratividade, crédito flexível, políticas internas cambial e
inflacionária.
Entretanto, o autofinanciamento não é unanimidade. Não são raras discussões
entre investidores sobre a utilização em projetos do capital de terceiros.

Financiar o desenvolvimento e produtos com dinheiro emprestado é uma tradição
no Brasil. Recorrer ao capital de terceiros para bancar projetos não significa que o
tomador seja deficitário. A cultura é que o empréstimo valoriza o projeto,
pressiona o cumprimento do cronograma e do faturamento.
Nas épocas de oferta abundante de capital, a questão é priorizar a realidade do
projeto, colocando em segundo plano a viabilidade e a forma de amortização da
dívida. O encarecimento pode obrigar algumas empresas ao expediente de
empurrar produtos de qualidade duvidosa, na aflição de cumprir prazos e recuperar
investimentos insatisfatórios.
Os empréstimos são contraídos com base em sistemas de amortização de dívidas,
nem sempre colocados de forma transparente. Amortizar dívidas é um pacto de
capitais. O capital pode ser pago junto com os juros, em parcela única, ou maior
número de vezes com prestações iguais ou diferentes. Pode haver ou não carência
para início da amortização, entre outras espécies de clausulas econômicas.
Daí advém a previsibilidade ótima da interação dos fatores de produção e de
capital para materializar o projeto. Como uma empresa trabalha com várias células
de negócios, a sobrevivência da organização depende da qualidade do
conhecimento financeiro e do resultado médio positivo das idéias colocadas em
prática.
Por outro lado, projetos caracterizados pela imprevisibilidade, amadorismo
financeiro e retrabalho contínuo terminam com equipes desmotivadas, causando
insuficiência de recursos, atrasos na amortização da dívida, abandono temporário
ou definitivo dos projetos e a descontinuidade das operações da empresa.
25.1.1. Sistemas e nomenclaturas em pacto de capital
Os principais sistemas utilizados no mercado brasileiro, e as respectivas
características preponderantes, são os seguintes:
1. Sistema de Amortização Francês (Tabela Price) – SAF: A dívida é quitada
através de prestações iguais, periódicas e sucessivas. Aplicação: Crédito
Direto ao Consumidor – CDC.
2. Sistema de Amortização Constante – SAC: Amortizações periódicas,
sucessivas e decrescentes em progressão aritmética de uma dívida, onde a
prestação incorpora principal mais encargos. Aplicação: Sistema Financeiro
de Habitação – SFH.
3. Sistema de Amortização Americano - SAA: Os juros são pagos
periodicamente e o principal é quitado no final da operação. Aplicação:
Títulos da dívida pública, debêntures e outros papéis e títulos de crédito
similares.
4. Sistema de Amortização Misto – SAM: A prestação é a média aritmética das
prestações do Sistema Francês (SAF) e do Sistema de Amortização Constante

(SAC). Os juros são pagos periodicamente. Porém, o valor emprestado é pago
no final. Aplicação: Operações de crédito diferido e de curto prazo.
5. Sistema de Amortizações Variáveis: Permite a inclusão na amortização de
parcelas intermediárias, geralmente, trimestrais, quadrimestrais,
semestrais, anuais. Aplicação: Incorporação imobiliária e financiamento
direto da casa própria.
Em nosso estudo vamos estudar os sistemas mais difundidos pelo mercado que são:
SAF, SAC e SAA.
Na tabela abaixo, são apresentados alguns termos correntes em sistemas de pacto
de capital ou de amortização de dívidas.
VOCABULÁRIO DEFINIÇÃO
Credor ou mutuante Pessoa física ou jurídica que fornece capital
Devedor ou mutuário Pessoa física ou jurídica que recebe capital
Taxa de juros Índice percentual que remunera o capital emprestado
Amortização Parcelas de devolução do capital emprestado
Índice de Preços Indexador de correção monetária da dívida
Prestação Amortização acrescida dos juros e outros acessórios
Saldo devedor O estado da dívida em determinado período
Prazo de utilização Período de transferência do capital
Prazo de carência Período entre prazos de utilização e primeira amortização
Prazo de amortização Período durante o qual é realizada amortização da dívida
Prazo total Soma dos prazos de carência e amortização
Período de amortização Intervalo de tempo entre duas amortizações
Cronograma de amortização Planilha analítica com valores do empréstimo
25.1.2. Cronograma de amortização
Para compor a planilha de financiamento, devemos determinar o valor constante
das prestações (PMT), através dos seguintes registradores financeiros da HP12C.
42A 11A
A função 42Af 11AAMORT indica, de forma ordenada e seqüencial,
a parcela de juros (J) embutida na prestação (PMT).
33A 34A
As funções 33A R↓ e 34Ax↔y “rolam a pilha” operacional da
calculadora, e mostram, seqüencialmente, cada uma das
amortizações (AMORT) do capital.
Assim, logo após a introdução dos dados do financiamento, as parcelas de juros e
de resgate do capital principal, apuradas através das teclas 42Af 11AAMORT, são

relativas a primeira prestação e o saldo devedor é aquele obtido após o
pagamento.
Por exemplo, pressionando as teclas 3 42Af 11AAMORT, logo após a introdução dos
dados do financiamento, determinamos os juros e o capital acumulados de 3
prestações, a amortização acumulada também de 3 prestações, e o saldo devedor
após pagamento da 3ª prestação.
45A 13A
As teclas 45ARCL e 13APV mostram o saldo devedor (SD)
imediatamente após o pagamento da prestação.
25.2. Sistema de Amortização Francês -SAF
42A 11D
Conhecido também como Tabela Price e Sistema Francês de
Amortização, o SAF consiste no pagamento do empréstimo em
prestações iguais e consecutivas.
Com auxílio da HP12C, podemos obter as parcelas de capital e de juros
correspondentes a cada prestação, determinar o saldo devedor após cada
pagamento, bem como, a soma das parcelas de juros correspondentes a duas ou
mais prestações consecutivas, iniciais, intermediárias ou finais.
No Sistema de Amortização Francês, são importantes as seguintes relações:
1. As prestações nominais, definidas com base na Tabela Price, são iguais e
configuram uma série periódica uniforme postecipada.
VP.it (1+i)n
PMTt =
(1+it)-1
FÓRMULA: SAF – PRESTAÇÃO
2. O saldo devedor é o estado da dívida menos amortizações realizadas. O
resgate do principal é crescente. O pagamento dos juros é decrescente.
SDt = SDt-1 - At
FÓRMULA: SAF – SALDO DEVEDOR
3. A parcela de amortização é a prestação subtraída dos juros.
At = PMTt - Jt
FÓRMULA: SAF – AMORTIZAÇÃO
4. A parcela dos juros é o produto da taxa de juros do período multiplicada
pelo saldo devedor existente no período imediatamente anterior.

Jt = it.SDt
FÓRMULA: SAF – JUROS
EXERCÍCIO: O empréstimo de $300.000 deve ser liquidado em 4 prestações
mensais, iguais e consecutivas, sendo que a primeira prestação vence 30 dias após
a data do contrato. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 10%MÊS
, calcular o
valor das prestações, os valores das parcelas de amortização, os juros embutidos
em cada uma das prestações, o saldo devedor após o pagamento de cada
prestação. Construa cronograma e gráfico de amortização, e diagrama de cash
flow.
SAF
PRESTAÇÃO CONSTANTE
JUROS DECRESCENTES
AMORTIZAÇÃO CRESCENTE
AÇÃO VISOR AÇÃO
42Af 35DREG 0,00 0,00
300000 16ACHS 13APV -300.000,00 VP
4 11An 4,00 n
10 12Ai 10,00 i
14APMT 94.641,24 PMT
1 42Af 11AAMORT 30.000,00 PMT1 (J)
34Ax↔y 64.641,24 PMT1 (AMORT)
45ARCL 13APV -235.358,76 SD
1 42Af 11AAMORT 23.535,88 PMT2 (J)
34Ax↔y 71.105,36 PMT2 (AMORT)
45ARCL 13APV -164.253,40 SD
1 42Af 11AAMORT 16.425,34 PMT3 (J)
34Ax↔y 78.215,90 PMT3 (AMORT)
45ARCL 13APV -86.037,50 SD
1 42Af 11AAMORT 8.603,75 PMT4 (J)
34Ax↔y 86.037,49 PMT4 (AMORT)
45ARCL 13APV -0,01 SD
SAF - CALCULADORA HP12C
nt Jt AMORTt PMTt SDt
n0 0,00 0,00 0,00 -300.000,00
n1 30.000,00 64.641,24 94.641,24 -235.358,76
n2 23.535,88 71.105,36 94.641,24 -164.253,40
n3 16.425,34 78.215,90 94.641,24 -86.037,50
n4 8.603,75 86.037,49 94.641,24 -0,01
t 78.564,97 299.999,99 378.564,96
SAF - CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO

30.000,00
23.535,88
16.425,34
8.603,75
71.105,36
78.215,90
86.037,49
94.641,24 94.641,24 94.641,24 94.641,24
64.641,24
1 2 3 4
J AMORT PMT
SAF – AMORTIZAÇÃO
0 1 2 3 4
94.641,24 94.641,24 94.641,24 94.641,24
-300.000,00
SAF – CASH FLOW
O saldo devedor após o pagamento da última prestação tem que ser zero. O
resíduo que aprece neste exemplo se deve ao arredondamento da calculadora. Os
dados do problema podem ser introduzidos em qualquer ordem.
25.2.1. Juros e amortização acumulados até “t” período
Para calcular juros e amortização acumulados da 1ª parcela até a parcela de ordem
nt, não é necessário construir o cronograma. Você pode obter valores acumulados
dos juros desde o instante em que a dívida foi contraída até um período “t”
qualquer.
42A 11D
Pressione as teclas “t” 42Af 11AAMORT.
34A
Em seguida, pressione a tecla 34Ax↔y para obter o volume total da
amortização realizada de “0” até “t”.
EXERCÍCIO: Apure o saldo devedor, os juros e amortização acumulada, após o
pagamento da 5ª prestação do empréstimo de $50.000, pagos em 7 prestações

mensais, a taxa de juros de 12,5%MÊS
. Ao final, construa a resolução completa na
HP12C, o cronograma e gráfico de amortização, e o diagrama do cash flow.
SAF
JUROS DECRESCENTES
42Af 35DREG 0,00 0,00
50000 16ACHS 13APV -50.000,00 VP
7 11An 7,00 n
12,5 12Ai 12,50 i
14APMT 11.130,15 PMT
5 42Af 11AAMORT 24.338,43 PMT1-5 (J)
34Ax↔y 31.312,33 PMT1-5 (AMORT)
45ARCL 13APV -18.687,67 SD
Conferindo as respostas na resolução integral, nos quadros abaixo, na HP12C,
no cronograma e gráfico de amortização, e no diagrama do cash flow:
SAF
JUROS DECRESCENTES
AÇÃO VISOR AÇÃO
42Af 35DREG 0,00 0,00
50000 16ACHS 13APV -50.000,00 VP
7 11An 7,00 n
12,5 12Ai 12,50 i
14APMT 11.130,15 PMT
1 42Af 11AAMORT 6.250,00 PMT1 (J)
34Ax↔y 4.880,15 PMT1 (AMORT)
45ARCL 13APV -45.119,85 SD
1 42Af 11AAMORT 5.639,98 PMT2 (J)
34Ax↔y 5.490,17 PMT2 (AMORT)
45ARCL 13APV -39.629,68 SD
1 42Af 11AAMORT 4.953,71 PMT3 (J)
34Ax↔y 6.176,44 PMT3 (AMORT)
45ARCL 13APV -33.453,24 SD
1 42Af 11AAMORT 4.181,66 PMT4 (J)
34Ax↔y 6.948,49 PMT4 (AMORT)
45ARCL 13APV -26.504,75 SD
1 42Af 11AAMORT 3.313,09 PMT5 (J)

34Ax↔y 7.817,06 PMT5 (AMORT)
45ARCL 13APV -18.687,69 SD
1 42Af 11AAMORT 2.335,96 PMT6 (J)
34Ax↔y 8.794,19 PMT6 (AMORT)
45ARCL 13APV -9.893,50 SD
1 42Af 11AAMORT 1.236,69 PMT7 (J)
34Ax↔y 9.893,46 PMT7 (AMORT)
45ARCL 13APV -0,04 SD
SAF – CALCULADORA HP12C
nt Jt AMORTt SDt
n1 6.250,00 4.880,15
n2 5.639,98 5.490,17
n3 4.953,71 6.176,44
n4 4.181,66 6.948,49
n5 3.313,09 7.817,06
t 24.338,43 31.312,33 -18.687,69
SAF – JUROS E AMORTIZAÇÃO ACUMULADOS 1ª A 5ª PRESTAÇÕES
n0 0,00 0,00 0,00 -50.000,00
n1 6.250,00 4.880,15 11.130,15 -45.119,85
n2 5.639,98 5.490,17 11.130,15 -39.629,68
n3 4.953,71 6.176,44 11.130,15 -33.453,24
n4 4.181,66 6.948,49 11.130,15 -26.504,75
n5 3.313,09 7.817,06 11.130,15 -18.687,69
n6 2.335,96 8.794,19 11.130,15 -9.893,50
n7 1.236,69 9.893,46 11.130,15 -0,04
t 27.911,09 49.999,96 77.911,05
SAF – CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO

6.250,00
5.639,98
4.953,71
3.313,09
2.335,96
1.236,69
5.490,17
6.176,44
6.948,49
7.817,06
8.794,19
9.893,46
11.130,15 11.130,15 11.130,15 11.130,15 11.130,15 11.130,15 11.130,15
4.181,66
4.880,15
1 2 3 4 5 6 7
J AMORT PMT
SAF - AMORTIZAÇÃO
0 1 2 3 4
11.130,15 11.130,15 11.130,15 11.130,15
-50.000,00
SAF - CASH FLOW
25.2.2. Juros e amortização acumulados entre “t” períodos
Após o pagamento da prestação “t” até a prestação “t + m”, sendo “m” o intervalo
de prestações, as quais se desejam calcular juros e amortização acumulados, é
necessário posicionar a calculadora HP12C até a prestação “t”.
42A 11A
Pressione as teclas “m” 42Af 11AAMORT para calcular juros
acumulados entre as prestações “t” (exclusive) até a prestação
“m” (inclusive).
34A
Após o cálculo dos juros, pressione a tecla 34Ax↔y para obter
amortização acumulada entre as prestações “t” (exclusive) até a
prestação “m” (inclusive).
EXERCICIO: O financiamento de $80.000 a taxa de juros de 1,5%MÊS foi pago
durante 50 meses, pela Tabela Price. Determinar juros e amortização acumulados
no 2º ano, entre as 13ª e 24ª prestações.

SAF
JUROS DECRESCENTES
AÇÃO VISOR AÇÃO
42Af 35DREG 0,00 0,00
80000 16ACHS 13APV -80.000,00 VP
50 11An 50,00 n
1,5 12Ai 1,50 i
14APMT 2.285,73 PMT
12 42Af 11AAMORT 13.269,52 PMT1-12 (J)
12 42Af 11AAMORT 10.499,70 PMT13-24 (J)
34Ax↔y 16.929,11 PMT13-24 (AMORT)
SAF – CALCULADORA HP12C
0 1 2 3 4
11.130,15 11.130,15 11.130,15 11.130,15
-50.000,00
SAF - CASH FLOW
25.3. Sistema de Amortização Constante - SAC
É a forma de amortização periódica, sucessiva e decrescente, em progressão
aritmética, de dívida, onde a prestação incorpora principal mais encargos,
amortizando partes iguais do valor total do empréstimo.
No sistema SAC, as seguintes relações são importantes:
A calculadora HP12C não possui função específica para o sistema SAC, sendo
apresentado através da formulação matemática abaixo:
1. A prestação é decrescente, representado pela soma dos juros mais amortização
correspondente ao período corrente.

PMTt = At+Jt
FÓRMULA: SAC – PRESTAÇÃO
2. O saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. O valor das
prestações é decrescente, já que os juros diminuem a cada prestação paga.
SDt = SDt-1 - At
FÓRMULA: SAC – SALDO DEVEDOR
3. O valor da amortização é calculado dividindo-se o valor do principal pelo número
de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.
PV
At =
n
FÓRMULA: SAC – AMORTIZAÇÃO
4. Os juros são decrescentes a cada período determinados sobre o saldo devedor
existente no período anterior.
Jt = it.SDt-1
Fórmula: SAC – juros
O SAC é utilizado em grande escala no financiamento imobiliário. A
característica do SAC é amortizar percentual fixo do saldo devedor. O percentual
de amortização é sempre o mesmo, o que faz com que a amortização da dívida seja
decrescente e o saldo devedor caia mais rápido.
EXERCÍCIO: O empréstimo pelo sistema SAC, de $25.000, a taxa de juros de
15,25%ANO
, será amortizado em 5 parcelas anuais. Construa cronograma e gráfico de
amortização, e diagrama de cash flow.
SAC
PRESTAÇÃO DECRESCENTE
JUROS DECRESCENTES
AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
AÇÃO VISOR AÇÃO
42Af 35DREG 0,00 0,00
25000 36AENTER 15,25% 3.812,50 PMT1 (J)
34Ax↔y 5 ÷ 5.000,00 PMT1 (AMORT)
+ 8.812,50 PMT1 (J+AMORT)
25000 36AENTER 5000 - 20.000,00 SD

15,25% 3.050,00 PMT2 (J)
5000 + 8.050,00 PMT2 (J+AMORT)
34Ax↔y 5000 - 15.000,00 SD
15,25% 2.287,50 PMT3 (J)
5000 + 7.287,50 PMT3 (J+AMORT)
34Ax↔y 5000 - 10.000,00 SD
15,25% 1.525,00 PMT4 (J)
5000 + 6.525,00 PMT4 (J+AMORT)
34Ax↔y 5000 - 5.000,00 SD
15,25% 762,50 PMT5 (J)
5000 + 5.762,50 PMT5 (J+AMORT)
34Ax↔y 5000 - 0,00 SD
SAC – CALCULADORA HP12C
n0 0,00 0,00 0,00 25.000,00
n1 3.812,50 5.000,00 8.812,50 20.000,00
n2 3.050,00 5.000,00 8.050,00 15.000,00
n3 2.287,50 5.000,00 7.287,50 10.000,00
n4 1.525,00 5.000,00 6.525,00 5.000,00
n5 762,50 5.000,00 5.762,50 0,00
t 11.437,50 25.000,00 36.437,50
SAC – CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO
3.812,50
3.050,00
2.287,50
762,50
5.000,00 5.000,00 5.000,00 5.000,00
8.812,50
8.050,00
7.287,50
6.525,00
5.762,50
1.525,00
5.000,00
1 2 3 4 5
J AMORT PMT
GRÁFICO: SAC - AMORTIZAÇÃO

0 1 2 3 4
8.812,50 8.050,00 7.287,50 6.525,00
-25.000,00
GRÁFICO: SAC – CASH FLOW
25.4. Sistema Americano de Amortização - SAA
Pelo SAA, os juros são pagos ao final de cada período. O valor emprestado é pago
ao final do prazo estipulado para o empréstimo. No último pagamento, o mutuário
paga o capital inicialmente emprestado, além dos juros do período.
O SAA assemelha-se, em alguns aspectos, com operação de capital de giro,
série diferida de pagamentos uniformes com prazo de carência.
EXERCÍCIO: O empréstimo pelo sistema SAA, de $40.000 será amortizado ao final
de 5 anos, sendo que, durante a carência, os juros de 15%ANO
, serão pagos
anualmente, a contar da data do contrato. Construa cronograma e gráfico de
amortização, e diagrama de cash flow.
SAA
JUROS DECRESCENTES
AMORTIZAÇÃO NO FINAL
AÇÃO VISOR AÇÃO
42Af 35DREG 0,00 0,00
40000 36AENTER 15% 6.000,00 PMT (J)
SAA – HP12C
n0 0,00 0,00 0,00 40.000,00
n1 6.000,00 0,00 6.000,00 40.000,00

n2 6.000,00 0,00 6.000,00 40.000,00
n3 6.000,00 0,00 6.000,00 40.000,00
n4 6.000,00 0,00 6.000,00 40.000,00
n5 6.000,00 40.000,00 46.000,00 0,00
t 30.000,00 40.000,00 70.000,00
SAA – CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO
0 0 0
40.000,00
6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00
46.000,00
6.000,006.000,006.000,00 6.000,00 6.000,00
0
1 2 3 4 5
J AMORT PMT
SAA – GRÁFICO DE AMORTIZAÇÃO
0 1 2 3 4 5
6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00
46.000,00
-40.000,00
SAA – CASH FLOW
EXERCÍCIO: Construa e compare a resolução na HP12C, o cronograma de
amortização e o diagrama de cash flow, nos sistemas SAF, SAC e SAA, do
empréstimo de $10.000, a taxa de 3%MÊS, pago em 4 prestações mensais.
SAF
JUROS DECRESCENTES

42Af 35DREG 0,00 0,00
10000 16ACHS 13APV 10.000,00 VP
4 11An 4,00 n
3 12Ai 3,00 i
14APMT 2.690,27 PMT
1 42Af 11AAMORT 300,00 PMT1 (J)
34Ax↔y 2.390,27 PMT1 (AMORT)
45ARCL 13APV 7.609,73 SD
1 42Af 11AAMORT 228,29 PMT2 (J)
34Ax↔y 2.461,97 PMT2 (AMORT)
45ARCL 13APV 5.147,75 SD
1 42Af 11AAMORT 154,43 PMT3 (J)
34Ax↔y 2.535,87 PMT3 (AMORT)
45ARCL 13APV 2.611,89 SD
1 42Af 11AAMORT 78,36 PMT4 (J)
34Ax↔y 2.611,89 PMT4 (AMORT)
45ARCL 13APV 0,00 SD
SAF - CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO
n0 0,00 0,00 0,00 10.000,00
n1 300,00 2.390,27 2.690,27 7.609,73
n2 228,29 2.461,97 2.690,27 5.147,75
n3 154,43 2.535,87 2.690,27 2.611,89
n4 78,36 2.611,89 2.690,27 0,00
t 761,08 10.000,00 10.761,08
SAF - CALCULADORA HP12C

0 1 2 3 4
2.690,27 2.690,27 2.690,27 2.690,27
-10.000,00
SAF - DIAGRAMA DO CASH FLOW
SAC
PRESTAÇÃO DECRESCENTE
JUROS DECRESCENTES
AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
42Af 35DREG 0,00 0,00
10000 36AENTER 3% 300,00 PMT1 (J)
34Ax↔y 4 ÷ 2.500,00 PMT1 (AMORT)
+ 2.800,00 PMT1 (J+AMORT)
10000 36AENTER 2500 - 7.500,00 SD
3% 225,00 PMT2 (J)
2500 + 2.725,00 PMT2 (J+AMORT)
34Ax↔y 2500 - 5.000,00 SD
3% 150,00 PMT3 (J)
2500 + 2.650,00 PMT3 (J+AMORT)
34Ax↔y 2500 - 2.500,00 SD
3% 75,00 PMT4 (J)
2500 + 2.575,00 PMT4 (J+AMORT)
34Ax↔y 2500 - 0,00 SD
SAC - CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO

n0 0,00 0,00 0,00 10.000,00
n1 300,00 2.500,00 2.800,00 7.500,00
n2 225,00 2.500,00 2.725,00 5.000,00
n3 150,00 2.500,00 2.650,00 2.500,00
n4 75,00 2.500,00 2.575,00 0,00
t 750,00 10.000,00 10.750,00
SAC - HP12C
0 1 2 3 4
2.800,00 2.725,00 2.650,00 2.575,00
-10.000,00
SAC - DIAGRAMA DO CASH FLOW
SAA
JUROS DECRESCENTES
AMORTIZAÇÃO NO FINAL
42Af 35DREG 0,00 0,00
10000 36AENTER 3% 300,00 PMT (J)
SAA - CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO
n0 0,00 0,00 0,00 10.000,00
n1 300,00 0,00 300,00 10.000,00
n2 300,00 0,00 300,00 10.000,00
n3 300,00 0,00 300,00 10.000,00
n4 300,00 10.000,00 10.300,00 0,00
t 1.200,00 10.000,00 11.200,00
SAA - HP12C

0 1 2 3 4
300,00 300,00 300,00
10.300,00
-10.000,00
SAA - DIAGRAMA DO CASH FLOW
26. Depreciação
42A 23D 24D 25D
26.1. Desvalorização monetária
A depreciação é a diferença ou desvalorização monetária, entre os valores de
compra e residual, no fim tempo certo determinado por legislação, sofrida pelo uso
ou desgaste físico de bens de capital.
Em qualquer processo produtivo, onde se verifica a interação entre os elementos
bens de capital e de produção, que compõem o capital fixo da empresa, observa-se
que, ao longo da elaboração dos bens ou serviços, há uma gradual perda do valor
inicial ou obsolescência dos ativos imobilizados (máquinas, veículos, móveis,
imóveis e instalações) da empresa.
A depreciação do ativo imobilizado diretamente empregado na produção, será
alocada como custo, por sua vez, os ativos que não forem usados diretamente na
produção, terão suas depreciações contabilizadas como despesa.
O valor inicial pelo qual foram adquiridos os bens de capital diminui ao longo do
tempo. A desvalorização é apropriada periodicamente, pela contabilidade, sob a
forma de depreciação, até que o ativo sofra exaustão completa, com valor residual
zero
Sob a ótica fiscal e contábil, em alguns casos, a legislação tributária permite a
dedução da depreciação da base de cálculo de impostos. Sob a ótica gerencial, a
depreciação é imprescindível na apuração dos custos de produção, análise de
investimentos, atualização tecnológica, entre outros indicadores.

Vale observar que, no cálculo da depreciação, a empresa pode estabelecer
fórmulas mais justas à sua realidade. Assim, um veículo, embora tenha uma vida
útil de 5 anos ou mais, deverá ser depreciado em 5 anos no máximo, pois decorrido
este prazo, estará completamente obsoleto. Na possibilidade do veículo ainda ter
condição de uso, deverá ser objeto de reavaliação, com base em dados técnicos,
continuando a depreciação sobre o novo valor até completa exaustão do bem.
26.1.1. Cronograma da depreciação
Por ocasião de apresentar Balanço Patrimonial, a contabilidade deve elaborar
cronograma ou mapa, analítico e sintético, da depreciação do ativo da empresa,
informando os valores da cota de depreciação periódica (DP), a depreciação
acumulada (DA), o valor atual (VA), e o saldo a depreciar (SD), conforme quadro
exemplo abaixo.
nt DEPRECIAÇÃO
PERIÓDICA
(DP)
DEPRECIAÇÃO
ACUMULADA
(DA)
VALOR
ATUAL
(VA)
SALDO A
DEPRECIAR
(SD)
n0 0,00 0,00 0,00 0,00
n1 0,00 0,00 0,00 0,00
n2 0,00 0,00 0,00 0,00
n3 0,00 0,00 0,00 0,00
n4 0,00 0,00 0,00 0,00
n5 0,00 0,00 0,00 0,00
nt 0,00 0,00 0,00 0,00
Existem vários métodos para estimar a depreciação periódica: linear, cole,
exponencial, produção, declínio de balanço. Para efeitos fiscais, a legislação
brasileira admite o método linear ou qualquer outro inferior.
26.2. Critério Linear
Utilizado no Brasil, o critério linear consiste em dividir o valor do bem pelo número
de períodos de sua vida útil, e apropriar o resultado como despesa de depreciação,
dedutível, dependendo do regime de tributação, do imposto de renda da pessoa
jurídica.
No método linear, a parcela periódica da depreciação, obtida dividindo-se o valor a
depreciar pelo número de períodos, é a mesma para toda vida útil do bem de
capital, conforme fórmula abaixo:
valor inicial – valor residual
Cota da depreciação =
vida útil
Na calculadora HP12C, a nomenclatura da rotina para o cálculo da depreciação
pelo critério linear é a seguinte:

42Af 35DREG 0,00 0,00
13APV 0,00 VA - valor de compra
15AFV 0,00 VR - Valor residual
11An 0,00 VU - Vida útil
42Af 23DSL 0,00 DP - Depreciação periódica
34Ax↔y 0,00 SD - Saldo a depreciar
45ARCL 15AFV + 0,00 VA - Valor atual
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 0,00 DA - Depreciação acumulada
Através das funções assistente e diretora, a calculadora HP12C calcula as seguintes
relações matemáticas da depreciação:
42A 23D
Depreciação (cota) periódica (DP): parcela de desvalorização
do ativo em determinado período. Varia de acordo com o
método utilizado.
45A 13A 34A
Depreciação acumulada: valor do fundo de
depreciação ou a soma das cotas de depreciação
até o período considerado.
13A
Valor atual (VA) do ativo: o quanto vale, ou o quanto ainda não se
desvalorizou, determinado ativo.
34A
Saldo a depreciar (SD): o quanto falta para depreciar o ativo, até atingir
o valor residual (VR) ou valor de revenda.
45A 15A
Valor de revenda (VR): Valor residual ou de exaustão,
apurado ao final do processo da depreciação, quando o
bem é considerado sucata.
11A
Vida útil (VU): Período de tempo de utilização produtiva do bem.
Em termos contábeis, o cálculo da depreciação deverá obedecer aos critérios,
vigentes na época, determinados pelo governo, através da Secretaria da Receita
Federal que, por exemplo, pode estipular o prazo de 10 anos para depreciar
máquinas, 5 anos para veículos, 10 anos para móveis e 25 anos para os imóveis, 5
anos para computadores, etc.
EXERCÍCIO: Sabendo-se que o valor residual é $2.000, que a vida útil é de 5 anos, e
que o valor atual é $70.000, depreciar os novos equipamentos, integralmente, pelo
método linear, demonstrando cronograma e gráfico da depreciação.

42Af 35DREG 0,00 0,00
70000 13APV 70.000,00 VA
2000 15AFV 2.0000,00 VR
5 11An 5,00 VU
1 42Af 23DSL 13.600,00 DP1
34Ax↔y 54.400,00 SD1
45ARCL 15AFV + 56.400,00 VA1
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 13.600,00 DA1
2 42Af 23DSL 13.600,00 DP2
34Ax↔y 40.800,00 SD2
45ARCL 15AFV + 42.800,00 VA2
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 27.200,00 DA2
3 42Af 23DSL 13.600,00 DP3
34Ax↔y 27.200,00 SD3
45ARCL 15AFV + 29.200,00 VA3
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 40.800,00 DA3
4 42Af 23DSL 13.600,00 DP4
34Ax↔y 13.600,00 SD4
45ARCL 15AFV + 15.600,00 VA4
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 54.400,00 DA4
5 42Af 23DSL 13.600,00 DP5
34Ax↔y 0,00 SD5
45ARCL 15AFV + 2.000,00 VA5
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 68.000,00 DA5
HP12C - CRITÉRIO LINEAR
nt DEPRECIAÇÃO
PERIÓDICA
(DP)
DEPRECIAÇÃO
ACUMULADA
(DA)
VALOR
ATUAL
(VA)
SALDO A
DEPRECIAR
(SD)
n0 0,00 0,00 70.000,00 54.400,00
n1 13.600,00 13.600,00 56.400,00 40.800,00
n2 13.600,00 27.200,00 42.800,00 27.200,00
n3 13.600,00 40.800,00 29.200,00 27.200,00
n4 13.600,00 54.400,00 15.600,00 13.600,00
n5 13.600,00 68.000,00 2.000,00 0,00
CRONOGRAMA DE DEPRECIAÇÃO - CRITÉRIO LINEAR

0 1 2 3 5
13.600,00 13.600,00 13.600,00 13.600,00 13.600,00
13.600,00
27.200,00
40.800,00
54.400,00
68.000,00
70.000,00
56.400,00
42.800,00
29.200,00
15.600,00
2.000,00
4
DP DA VA
CASH FLOW - CRITÉRIO LINEAR
EXERCÍCIO: Um veículo utilitário foi adquirido por $90.000 e deve ter valor residual
zero no final da vida útil de 5 anos, pelo método linear. Calcular o valor mensal da
depreciação e o saldo a depreciar após o 1º e o 13º mês.
42Af 35DREG 0,00 0,00
90000 13APV 90.000,00 VA
0 15AFV 0,00 VR
60 11An 60,00 VU
1 42Af 23DSL 1.500,00 DP
34Ax↔y 88.500,00 SD
13 42Af 23DSL 1.500,00 DP
34Ax↔y 70.500,00 SD
EXERCÍCIO: A empresa estuda adquirir nova máquina por $32.000, prevendo a
substituição do ativo depois de 6 anos. Sabendo-se que a vida útil é 10 anos e o
valor residual é $2.000, pelo método linear, calcular: o valor da 6ª cota da
depreciação periódica (DP), o saldo a depreciar (SD), o valor atual (VA) após o
abatimento da 6ª DP, e a depreciação acumulada (DA) até a 6ª DP.
42Af 35DREG 0,00 0,00
32000 13APV 32.000,00 VA
2000 15AFV 2.0000,00 VR
10 11An 10,00 VU

6 42Af 23DSL 3.000,00 DP
34Ax↔y 12.000,00 SD
45ARCL 15AFV + 14.000,00 VA
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 18.000,00 DA
26.3. Critério Cole ou Soma dos Dígitos
42A 24D
A parcela da depreciação é obtida dividindo-se o valor do ativo
pela sua vida útil, e multiplicando o resultado pelos respectivos
dígitos, considerados na ordem inversa.
Por exemplo, um veículo é depreciado em 5 anos. A soma dos dígitos corresponde a
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
O valor da 1ª cota periódica da depreciação é obtido pela divisão do valor do
ativo por 15 e multiplicado por 5;
ativo por 15 e multiplicado por 1.
Na calculadora HP12C, a nomenclatura da rotina para o cálculo da depreciação
pelo critério cole ou soma dos dígitos é a seguinte:
42Af 35DREG 0,00 0,00
42Af 23DSOYD 0,00 DP - Depreciação periódica
Através das funções assistente e diretora, a calculadora HP12C calcula as seguintes
relações matemáticas da depreciação:

42A 23D
método utilizado.
45A 13A 34A
13A
34A
45A 15A
11A
EXERCÍCIO: A empresa adquiriu uma máquina por $60.000, com a vida útil de 5
anos, e valor residual fixado em $6.000. Sabendo-se que a depreciação é calculada
anualmente, pelo Critério Cole ou Soma dos Dígitos, e que o equipamento foi
adquirido no 1º dia útil do exercício contábil:
1. Calcular as parcelas anuais da depreciação, informando o respectivo saldo a
depreciar e o valor atual da máquina após cada parcela.
2. Construir o cronograma e gráfico da depreciação.
42Af 35DREG 0,00 0,00
60000 13APV 60.000,00 VA
6000 15AFV 6.0000,00 VR
5 11An 5,00 VU
1 42Af 24DSOYD 18.000,00 DP1
34Ax↔y 36.000,00 SD1

45ARCL 15AFV + 42.000,00 VA1
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 18.000,00 DA1
2 42Af 24DSOYD 14.400,00 DP2
34Ax↔y 21.600,00 SD2
45ARCL 15AFV + 27.600,00 VA2
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 32.400,00 DA2
3 42Af 24DSOYD 10.800,00 DP3
34Ax↔y 10.800,00 SD3
45ARCL 15AFV + 16.800,00 VA3
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 43.200,00 DA3
4 42Af 24DSOYD 7.200,00 DP4
34Ax↔y 3.600,00 SD4
45ARCL 15AFV + 9.600,00 VA4
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 50.400,00 DA4
5 42Af 24DSOYD 3.600,00 DP5
34Ax↔y 0,00 SD5
45ARCL 15AFV + 6.000,00 VA5
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 54.000,00 DA5
HP12C - CRITÉRIO COLE
nt DEPRECIAÇÃO
PERIÓDICA
(DP)
DEPRECIAÇÃO
ACUMULADA
(DA)
VALOR
ATUAL
(VA)
SALDO A
DEPRECIAR
(SD)
n0 0,00 0,00 60.000,00 54.000,00
n1 18.000,00 18.000,00 42.000,00 36.000,00
n2 14.400,00 32.400,00 27.600,00 21.600,00
n3 10.800,00 43.200,00 16.800,00 10.800,00
n4 7.200,00 50.400,00 9.600,00 3.600,00
n5 3.600,00 54.000,00 6.000,00 0,00
nt 68.000,00 0,00 0,00 0,00
CRONOGRAMA DE DEPRECIAÇÃO - CRITÉRIO COLE

0 1 2 3 50
18.000,00
14.400,00
10.800,00
7.200,00
3.600,00
0
18.000,00
32.400,00
43.200,00
50.400,00
54.000,00
60.000,00
42.000,00
27.600,00
16.800,00
9.600,00
6.000,00
4
DP DA VA
CASH FLOW - CRITÉRIO COLE
26.4. Critério Declínio de Balanço ou Declínio em Dobro
42A
25D
Considera que a parcela periódica da depreciação é uma
percentagem (fator) constante do saldo líquido a depreciar (valor
do ativo menos valor residual), sendo que a legislação americana
permite que a percentagem seja, no máximo, igual ao dobro
(200%) da parcela de depreciação obtida através critério linear.
Usualmente, o fator usado no critério cole ou soma dos dígitos acelera o
processo da depreciação, ao se situar entre 125% a 200% do valor da taxa de
depreciação linear. Na calculadora HP12C, a nomenclatura da rotina para o cálculo
da depreciação pelo critério cole ou soma dos dígitos é a seguinte:
42Af 35DREG 0,00 0,00
42Af 23DDB 0,00 DP - Depreciação periódica

42A 23D
método utilizado.
45A 13A 34A
13A
34A
45A 15A
11A
EXERCÍCIO: Calcular o exercício anterior, com base no fator 200% do critério do
declínio em dobro.
42Af 35DREG 0,00 0,00
60000 13APV 60.000,00 VA
6000 15AFV 6.0000,00 VR
5 11An 5,00 VU
200 11An 200,00 Fator
1 42Af 25DDB 24.000,00 DP1
34Ax↔y 30.000,00 SD1
45ARCL 15AFV + 36.000,00 VA1
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 18.000,00 DA1
2 42Af 25DDB 14.400,00 DP2

34Ax↔y 15.600,00 SD2
45ARCL 15AFV + 21.600,00 VA2
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 38.400,00 DA2
3 42Af 25DDB 8.640,00 DP3
34Ax↔y 6.960,00 SD3
45ARCL 15AFV + 12.960,00 VA3
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 47.040,00 DA3
4 42Af 25DDB 5.184,00 DP4
34Ax↔y 1.776,00 SD4
45ARCL 15AFV + 7.776,00 VA4
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 52.224,00 DA4
5 42Af 25DDB 1.776,00 DP5
34Ax↔y 0,00 SD5
45ARCL 15AFV + 6.000,00 VA5
45ARCL 13APV 34Ax↔y - 54.000,00 DA5
HP12C - CRITÉRIO DO DECLÍNIO EM DOBRO
nt DEPRECIAÇÃO
PERIÓDICA
(DP)
DEPRECIAÇÃO
ACUMULADA
(DA)
VALOR
ATUAL
(VA)
SALDO A
DEPRECIAR
(SD)
n0 0,00 0,00 60.000,00 54.000,00
n1 24.000,00 18.000,00 36.000,00 30.000,00
n2 14.400,00 38.400,00 21.600,00 15.600,00
n3 8.640,00 47.040,00 12.960,00 6.960,00
n4 5.184,00 52.224,00 7.776,00 1.776,00
n5 1.776,00 54.000,00 6.000,00 0,00
CRONOGRAMA DE AMORTIZAÇÃO - CRITÉRIO DO DECLÍNIO EM DOBRO

0 1 2 3 50
24.000,00
14.400,00
8.640,00
5.184,00
1.776,00
0
18.000,00
38.400,00
47.040,00
52.224,00
54.000,00
60.000,00
36.000,00
21.600,00
12.960,00
7.776,00
6.000,00
4
DP DA VA
CASH FLOW - CRITÉRIO DO DECLÍNIO EM DOBRO

27. Referências Bibliográficas
ALBERTON, Anete; DACOL, Silvana. HP-12C Passo a Passo. Florianópolis: Bookstore,
1999.
ASSAF NETO, Alexandre, Matemática Financeira e suas Aplicações. São Paulo: Atlas,
1992.
BREALEY, Richard A; MYERS, Stwart C. Princípios de Finanças Empresariais. 3a
Edição. Portugal: McGraw-Hill, 1992.
FARIAS, E.E.V. Matemática Financeira para Executivos. Porto Alegre: Ortiz, 1993.
GITMAN, Lawrence J. Princípios de Administração Financeira. 3a
Edição. São Paulo:
Harbra, 1987.
HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática Financeira. 4a
Edição. São
Paulo: Atual, 1993.
HEWLETT PACKARD COMPANY. Manual do Proprietário e Guia de Solução de
Problemas, 1981.
MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática Financeira. São
Paulo: Atlas, 1993.
POLO, E.F. Engenharia das Operações Financeiras HP-12C. São Paulo: Atlas, 1996.
PUCCINI, A.de Lima. Matemática Financeira Objetiva e Aplicada. 6a
Edição. São
Paulo: Saraiva, 1999.
SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para Usuários do Excel. São Paulo: Atlas,
1998.
VERAS, L.L. Matemática Financeira. 2a
Edição. São Paulo: Atlas, 1991.
VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Financeira. 3a
Edição. São Paulo: Atlas,
1989.
ZENTGRAF, W. Calculadora Financeira HP-12C. São Paulo: Atlas, 1994.
ALMEIDA, Martinho Isnard Ribeiro de Manual de planejamento estratégico - 2ª.
Edição – Editora Atlas;
ANTHONY, Robert N., GIOVINDARAJAN, Vijay, Sistema de Controle
Gerencial, Editora Atlas, 2002;
BARRETO, Gualter, Manual do Contador, Editora Líder, edição 2006/2007;
CATELLI, Armando, Controladoria, Editora Atlas, edição 2001;
GITMAN, Laurence J. Princípios de administração financeira. 7ª. Ed. São Paulo.
GUERREIRO, Reinaldo, Modelo Conceitual de Sistema de Informação de
Gestão Econômica, FEA, São Paulo, 1989;
MARION, José Carlos, Contabilidade Básica, Editora Atlas, edição 2004;
MEIRELLES, JR, Julio Cândido de. Planejamento Estratégico. Revista
Mineira de Contabilidade;
MICHEL, Maria Helena. Metodologia e Pesquisa Científica em Ciências Sociais –
São Paulo: Atlas, 2005;
ROSS, Stephen A, WESTERFIELD, Randolph W., JORDAN, Bradford D.
Jordan, Princípios da Administração Financeira, 2ª Edição, Editora Atlas, 2002;
SALIM, César Simões, HOCHMAN Nelson, RAMAL, Andréa Cecília, RAMAL, Silvina
Ana, Construindo Planos de Negócios, 3ª. Edição, Editora Campus;

Helio Ramalho

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