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Marcos Pacheco
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Solution Exame Unificado de Física – EUF
2012-2
1
Q1. Um cilindro de altura h e raio externo b é feito de um material com condutividade elétrica σ
e permissividade elétrica ε. O cilindro é furado ao longo de seu eixo de forma que seu raio
interno é a. Um material de alta condutividade elétrica preenche o furo central do cilindro e
forma também uma casca cilíndrica em torno da sua borda externa, formando os contatos
elétricos do cilindro, conforme ilustra a figura abaixo. Considere h >> b, de modo que os
efeitos de borda podem ser desprezados. Aplica-se uma diferença de potencial elétrico V0
entre esses contatos (tome V = 0 na superfície externa do cilindro).
(a) Mostre que, no regime estacionário ( 0
t
ρ
∂
=
∂
), a densidade de carga no interior do meio
condutor homogêneo é nula.
(b) Mostre que, nesse caso, o potencial elétrico obedece à equação de Laplace e obtenha o
vetor campo elétrico ( )
E r
G G
no interior do cilindro.
(c) Calcule a carga livre total acumulada na superfície do contato interno (raio a) e a
capacitância entre os dois contatos elétricos.
(d) Calcule a resistência elétrica entre esses dois contatos elétricos.
Q2. Um cilindro condutor muito longo de raio a conduz uma corrente I ao longo de seu eixo z. A
densidade de corrente J
G
no interior do cilindro varia de acordo com a expressão abaixo:
( ) ( )
0
ˆ
, , sen
J r
J r z z
r a
π
ϕ =
G
,
onde r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro.
(a) Determine a constante J0 em termos de I e a.
(b) Calcule o campo magnético B
G
fora do cilindro condutor (r > a) e expresse seu resultado
em termos de I e a.
(c) Calcule o campo magnético B
G
no interior do cilindro condutor (r < a) e expresse seu
resultado em termos de I e a.
(d) Esboce um gráfico qualitativo do módulo do campo magnético, B(r), indicando seu
comportamento em r = 0 e r = a.
a
b
V0
h
2
Q3. (a) Utilize a relação de de Broglie para o comprimento de onda associado a uma partícula e
obtenha a relação de quantização do momento angular de um elétron em movimento
orbital atômico, no modelo de Bohr (L = nћ, com n=1, 2, 3, ...).
(b) Use a expressão acima para mostrar que as energias associadas aos estados eletrônicos
permitidos em um átomo de hidrogênio são dadas por
4
2 2 2
0
8
e
n
m e
E
h n
= −
ε
,
onde e e me são a carga e a massa do elétron, respectivamente.
(c) Calcule a energia de ionização do Lítio duplamente ionizado (Z = 3) sabendo que a
energia de ionização do hidrogênio é 13,6 eV.
(d) Em espectroscopia, a série de Balmer está associada a um subconjunto de transições nas
quais o elétron do átomo de H vai de um estado excitado ao estado final caracterizado
por nf = 2. Nesta série, a linha denominada por Hβ corresponde a transição a partir do
estado com ni = 4. Estime o comprimento de onda da linha Hβ e situe a mesma em
alguma região do espectro eletromagnético.
Q4. Em um experimento de efeito fotoelétrico, a Figura 1 abaixo mostra um possível gráfico da
corrente fotoelétrica em função da diferença de potencial V entre o coletor de elétrons e um
alvo de sódio. As curvas (a) e (b) correspondem a diferentes intensidades da luz incidente e
V0 é o chamado “potencial de corte” ou “potencial limite”. Já a Figura 2 mostra medidas do
potencial limite em função da frequência da luz incidente. Utilizando esses gráficos:
(a) estime o valor da constante de Planck em eVs, indicando o procedimento utilizado;
(b) estime o valor da “função trabalho” para o sódio;
(c) estime o valor da energia cinética do mais rápido fotoelétron emitido quando o alvo de
sódio é atingido por luz de frequência 1015
Hz;
(d) cite uma característica do efeito fotoelétrico que pode ser explicada classicamente e
outra que não se pode explicar utilizando a teoria ondulatória do eletromagnetismo.
0
(b)
(a)
V0
Ia
Corrente
detectada,
I
Diferença de potencial aplicada, V
Ib
+
-
Figura 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Figura 2
Potencial
Limite
(V)
Frequência (1014Hz)
3
Q5. Dois corpos idênticos de capacidade térmica constante CP (finita) estão nas temperaturas T1
e T2, respectivamente, sendo T2 > T1. Considere que nos processos descritos abaixo os
corpos permanecem a pressão constante e não sofrem mudança de fase.
(a) Se os corpos forem colocados em contato, mas isolados termicamente do resto do
universo, determine a temperatura de equilíbrio.
(b) Determine a variação de entropia do sistema no processo descrito no item (a).
Considere agora que os corpos funcionem como fontes quente e fria para uma pequena
máquina térmica, a qual irá funcionar até que os dois corpos atinjam o equilíbrio térmico.
(c) Supondo que esse processo seja reversível, determine a temperatura final de equilíbrio
neste caso.
(d) Calcule a quantidade de trabalho produzida pela máquina térmica no processo descrito
no item (c).
1
Q6. Um corpo celeste de massa m se aproxima do Sol (massa M >> m) seguindo uma trajetória
hiperbólica e quando está a uma distância r0 dele, a sua velocidade é v0 e faz um ângulo de
30° com o raio vetor ao Sol.
(a) Calcule o momento angular L e a energia E desse corpo celeste.
(b) Determine a distância rp de máxima aproximação do corpo celeste ao Sol, expressando o
seu resultado em termos de L e E.
(c) Quando o corpo celeste atinge a distância rp de máxima aproximação, sofre um choque
com um pequeno asteróide de tal maneira que sua massa não varia, porém ele passa a
descrever órbita circular de raio rp no mesmo plano da órbita anterior. Calcule a nova
energia e o novo momento angular do corpo celeste após a colisão, expressando o seu
resultado em termos de rp.
Q7. Uma bola de massa m = 450 g está presa a uma mola cuja energia potencial em função da
elongação x está mostrada na figura abaixo (linha sólida). Expresse as respostas no SI.
(a) Determine a constante elástica da mola, para pequenos deslocamentos.
(b) Esboce um gráfico da força que atua sobre essa bola em função da elongação da mola.
Sabendo que o movimento da bola é unidimensional e sua elongação máxima é de 3 cm:
(c) determine sua velocidade máxima;
(d) determine a energia cinética da bola nesse movimento para a elongação da mola
x = − 2 cm;
(e) Determine a posição (x < 0) em que a bola deve ser solta a partir do repouso para
atingir o ponto x = 5 cm com velocidade nula.
-4 -2 0 2 4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
U(mJ)
x (cm)
2
Q8. Considere o problema unidimensional quântico de uma partícula de massa m sujeita ao
potencial
( )
0
0 0
,
,
,
x
V x x a
x a
+∞ <
⎧
⎪
⎪
⎪
= < <
⎨
⎪
⎪+∞ >
⎪
⎩
.
(a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para este problema.
(b) Resolva a equação, achando todas as soluções aceitáveis independentes. Isto é: determine
todos os valores possíveis para a energia, n
E , e as funções de onda normalizadas
correspondentes, ( )
n x
ψ .
Suponha agora que, na verdade, o potencial total tenha a forma total ( ) ( ) ( )
V x V x W x
= + ,
sendo ( )
W x uma pequena correção dada por
( ) ( )
0
0 0
0
0
,
sen ,
,
x
W x W x a x a
x a
π
<
⎧
⎪
⎪
⎪
= < <
⎨
⎪
⎪ >
⎪
⎩
(c) Usando teoria de perturbações de primeira ordem, calcule a correção para a energia do
estado fundamental obtida no item anterior.
Q9. Para uma partícula de spin ½ o operador de spin é dado por
2
S σ
=
G G
=
, onde
0 1 0 1 0
1 0 0 0 1
, ,
x y z
i
i
σ σ σ
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎝ −
=
⎠ ⎠
= =
são as matrizes de Pauli. Seja n̂ o vetor unitário na direção de ângulos (θ, φ), conforme
ilustra a figura abaixo.
(a) Calculando o produto escalar, mostre explicitamente que o operador que representa a
componente do spin nessa direção, ˆ·
n
S n S
=
G
, é dado por
2
cos sen
sen cos
i
n i
e
S
e
φ
φ
θ θ
θ θ
−
⎛ ⎞
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎝ ⎠
=
−
=
.
n̂
θ
φ
x
y
z
3
(b) Mostre que os únicos valores que podem ser obtidos numa medida de n
S são 2
+ = e
2
− = , qualquer que seja a direção n̂ .
(c) Obtenha o vetor coluna normalizado que representa o estado no qual uma medida de n
S
produz necessariamente o valor 2
+ = . Simplifique a resposta final expressando a
dependência em θ em termos de 2
sen( )
θ e 2
cos( )
θ .
(d) Suponha, agora, que θ = 60° e φ = 45°. Se a partícula for preparada de tal forma que a
componente z do spin, Sz , tenha o valor bem definido 2
+ = , qual é a probabilidade de
obter-se esse mesmo valor numa medida de n
S ? Dê a resposta numérica.
Q10. Considere um gás composto por N partículas ultrarrelativísticas (de forma que sua energia
ε possa ser escrita como c p
ε = , onde p é o seu momento linear) confinado em um
recipiente de volume V e a temperatura T. Suponha que as partículas sejam indistinguíveis
e não interagentes, e que sua energia térmica seja suficientemente alta para desprezar
efeitos quânticos.
(a) Mostre que a função de partição do gás é
( )
( )
3
8
!
N
N
B
V
Z
N hc k T
π
= , onde h é a constante
de Planck, c é a velocidade da luz no vácuo e kB é a constante de Boltzmann.
(b) Determine a pressão do gás.
(c) Calcule a entropia do gás.
(d) Determine a energia interna do gás.
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Exame unificado de fisica 2012 2 - solution

  • 1. Não se deve estudar apenas para ganhar dinheiro, mas para obter respostas para os profundos mistérios da vida. Marcos Pacheco mar_pac@uol.com.br Solution Exame Unificado de Física – EUF 2012-2
  • 2. 1 Q1. Um cilindro de altura h e raio externo b é feito de um material com condutividade elétrica σ e permissividade elétrica ε. O cilindro é furado ao longo de seu eixo de forma que seu raio interno é a. Um material de alta condutividade elétrica preenche o furo central do cilindro e forma também uma casca cilíndrica em torno da sua borda externa, formando os contatos elétricos do cilindro, conforme ilustra a figura abaixo. Considere h >> b, de modo que os efeitos de borda podem ser desprezados. Aplica-se uma diferença de potencial elétrico V0 entre esses contatos (tome V = 0 na superfície externa do cilindro). (a) Mostre que, no regime estacionário ( 0 t ρ ∂ = ∂ ), a densidade de carga no interior do meio condutor homogêneo é nula. (b) Mostre que, nesse caso, o potencial elétrico obedece à equação de Laplace e obtenha o vetor campo elétrico ( ) E r G G no interior do cilindro. (c) Calcule a carga livre total acumulada na superfície do contato interno (raio a) e a capacitância entre os dois contatos elétricos. (d) Calcule a resistência elétrica entre esses dois contatos elétricos. Q2. Um cilindro condutor muito longo de raio a conduz uma corrente I ao longo de seu eixo z. A densidade de corrente J G no interior do cilindro varia de acordo com a expressão abaixo: ( ) ( ) 0 ˆ , , sen J r J r z z r a π ϕ = G , onde r é a distância radial entre o ponto considerado e o eixo do cilindro. (a) Determine a constante J0 em termos de I e a. (b) Calcule o campo magnético B G fora do cilindro condutor (r > a) e expresse seu resultado em termos de I e a. (c) Calcule o campo magnético B G no interior do cilindro condutor (r < a) e expresse seu resultado em termos de I e a. (d) Esboce um gráfico qualitativo do módulo do campo magnético, B(r), indicando seu comportamento em r = 0 e r = a. a b V0 h
  • 3. 2 Q3. (a) Utilize a relação de de Broglie para o comprimento de onda associado a uma partícula e obtenha a relação de quantização do momento angular de um elétron em movimento orbital atômico, no modelo de Bohr (L = nћ, com n=1, 2, 3, ...). (b) Use a expressão acima para mostrar que as energias associadas aos estados eletrônicos permitidos em um átomo de hidrogênio são dadas por 4 2 2 2 0 8 e n m e E h n = − ε , onde e e me são a carga e a massa do elétron, respectivamente. (c) Calcule a energia de ionização do Lítio duplamente ionizado (Z = 3) sabendo que a energia de ionização do hidrogênio é 13,6 eV. (d) Em espectroscopia, a série de Balmer está associada a um subconjunto de transições nas quais o elétron do átomo de H vai de um estado excitado ao estado final caracterizado por nf = 2. Nesta série, a linha denominada por Hβ corresponde a transição a partir do estado com ni = 4. Estime o comprimento de onda da linha Hβ e situe a mesma em alguma região do espectro eletromagnético. Q4. Em um experimento de efeito fotoelétrico, a Figura 1 abaixo mostra um possível gráfico da corrente fotoelétrica em função da diferença de potencial V entre o coletor de elétrons e um alvo de sódio. As curvas (a) e (b) correspondem a diferentes intensidades da luz incidente e V0 é o chamado “potencial de corte” ou “potencial limite”. Já a Figura 2 mostra medidas do potencial limite em função da frequência da luz incidente. Utilizando esses gráficos: (a) estime o valor da constante de Planck em eVs, indicando o procedimento utilizado; (b) estime o valor da “função trabalho” para o sódio; (c) estime o valor da energia cinética do mais rápido fotoelétron emitido quando o alvo de sódio é atingido por luz de frequência 1015 Hz; (d) cite uma característica do efeito fotoelétrico que pode ser explicada classicamente e outra que não se pode explicar utilizando a teoria ondulatória do eletromagnetismo. 0 (b) (a) V0 Ia Corrente detectada, I Diferença de potencial aplicada, V Ib + - Figura 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Figura 2 Potencial Limite (V) Frequência (1014Hz)
  • 4. 3 Q5. Dois corpos idênticos de capacidade térmica constante CP (finita) estão nas temperaturas T1 e T2, respectivamente, sendo T2 > T1. Considere que nos processos descritos abaixo os corpos permanecem a pressão constante e não sofrem mudança de fase. (a) Se os corpos forem colocados em contato, mas isolados termicamente do resto do universo, determine a temperatura de equilíbrio. (b) Determine a variação de entropia do sistema no processo descrito no item (a). Considere agora que os corpos funcionem como fontes quente e fria para uma pequena máquina térmica, a qual irá funcionar até que os dois corpos atinjam o equilíbrio térmico. (c) Supondo que esse processo seja reversível, determine a temperatura final de equilíbrio neste caso. (d) Calcule a quantidade de trabalho produzida pela máquina térmica no processo descrito no item (c).
  • 5. 1 Q6. Um corpo celeste de massa m se aproxima do Sol (massa M >> m) seguindo uma trajetória hiperbólica e quando está a uma distância r0 dele, a sua velocidade é v0 e faz um ângulo de 30° com o raio vetor ao Sol. (a) Calcule o momento angular L e a energia E desse corpo celeste. (b) Determine a distância rp de máxima aproximação do corpo celeste ao Sol, expressando o seu resultado em termos de L e E. (c) Quando o corpo celeste atinge a distância rp de máxima aproximação, sofre um choque com um pequeno asteróide de tal maneira que sua massa não varia, porém ele passa a descrever órbita circular de raio rp no mesmo plano da órbita anterior. Calcule a nova energia e o novo momento angular do corpo celeste após a colisão, expressando o seu resultado em termos de rp. Q7. Uma bola de massa m = 450 g está presa a uma mola cuja energia potencial em função da elongação x está mostrada na figura abaixo (linha sólida). Expresse as respostas no SI. (a) Determine a constante elástica da mola, para pequenos deslocamentos. (b) Esboce um gráfico da força que atua sobre essa bola em função da elongação da mola. Sabendo que o movimento da bola é unidimensional e sua elongação máxima é de 3 cm: (c) determine sua velocidade máxima; (d) determine a energia cinética da bola nesse movimento para a elongação da mola x = − 2 cm; (e) Determine a posição (x < 0) em que a bola deve ser solta a partir do repouso para atingir o ponto x = 5 cm com velocidade nula. -4 -2 0 2 4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 U(mJ) x (cm)
  • 6. 2 Q8. Considere o problema unidimensional quântico de uma partícula de massa m sujeita ao potencial ( ) 0 0 0 , , , x V x x a x a +∞ < ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ = < < ⎨ ⎪ ⎪+∞ > ⎪ ⎩ . (a) Escreva a equação de Schrödinger independente do tempo para este problema. (b) Resolva a equação, achando todas as soluções aceitáveis independentes. Isto é: determine todos os valores possíveis para a energia, n E , e as funções de onda normalizadas correspondentes, ( ) n x ψ . Suponha agora que, na verdade, o potencial total tenha a forma total ( ) ( ) ( ) V x V x W x = + , sendo ( ) W x uma pequena correção dada por ( ) ( ) 0 0 0 0 0 , sen , , x W x W x a x a x a π < ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ = < < ⎨ ⎪ ⎪ > ⎪ ⎩ (c) Usando teoria de perturbações de primeira ordem, calcule a correção para a energia do estado fundamental obtida no item anterior. Q9. Para uma partícula de spin ½ o operador de spin é dado por 2 S σ = G G = , onde 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 , , x y z i i σ σ σ − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ − = ⎠ ⎠ = = são as matrizes de Pauli. Seja n̂ o vetor unitário na direção de ângulos (θ, φ), conforme ilustra a figura abaixo. (a) Calculando o produto escalar, mostre explicitamente que o operador que representa a componente do spin nessa direção, ˆ· n S n S = G , é dado por 2 cos sen sen cos i n i e S e φ φ θ θ θ θ − ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ = − = . n̂ θ φ x y z
  • 7. 3 (b) Mostre que os únicos valores que podem ser obtidos numa medida de n S são 2 + = e 2 − = , qualquer que seja a direção n̂ . (c) Obtenha o vetor coluna normalizado que representa o estado no qual uma medida de n S produz necessariamente o valor 2 + = . Simplifique a resposta final expressando a dependência em θ em termos de 2 sen( ) θ e 2 cos( ) θ . (d) Suponha, agora, que θ = 60° e φ = 45°. Se a partícula for preparada de tal forma que a componente z do spin, Sz , tenha o valor bem definido 2 + = , qual é a probabilidade de obter-se esse mesmo valor numa medida de n S ? Dê a resposta numérica. Q10. Considere um gás composto por N partículas ultrarrelativísticas (de forma que sua energia ε possa ser escrita como c p ε = , onde p é o seu momento linear) confinado em um recipiente de volume V e a temperatura T. Suponha que as partículas sejam indistinguíveis e não interagentes, e que sua energia térmica seja suficientemente alta para desprezar efeitos quânticos. (a) Mostre que a função de partição do gás é ( ) ( ) 3 8 ! N N B V Z N hc k T π = , onde h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no vácuo e kB é a constante de Boltzmann. (b) Determine a pressão do gás. (c) Calcule a entropia do gás. (d) Determine a energia interna do gás.