O documento discute os conceitos de ordem, desordem, harmonia e caos nas culturas ao longo da história. Apresenta exemplos matemáticos que ilustram como sistemas determinísticos podem ter comportamentos caóticos devido à sensibilidade às condições iniciais, tornando imprevisíveis.

1. Caos

2. Os conceitos de:Os conceitos de:
Ordem x DesordemOrdem x Desordem
Harmonia x CaosHarmonia x Caos
Bem x MalBem x Mal
PermearamPermearam
e continuam permeandoe continuam permeando
as culturas da Terraas culturas da Terra

3. No Hinduísmo o Cosmo passa por 3 fases:
Criação
(Brahma) Conservação
(Vishnu) Destruição
(Shiva)

4. Contudo Vishni e Shiva não representam o
bem e o mal, são apenas duas manifestações
diferentes de Brahma
Benevolência x Fúria
Harmonia x Discórdia

5. Conservação (Vishnu) ⇒ Ordem
Destruição (Shiva) ⇒ Caos
Ordem e Caos são manifestações
diferentes de um determinismo subjacente
(Brahma)
Não existem isolados
A Ciência mostra que a Natureza é
infatigavelmente não linear

6. Até meados do século XX acreditava-se
que a Natureza era linear.
Mesmo após se verificar a não linearidade
da maioria dos fenômenos naturais, a
modelagem matemática concentrou-se
em montar equações lineares dos
fenômenos,
só porque estas equações eram
solúveis...

7. O que é Caos?
A palavra caos
sempre teve,
na mente das
pessoas,
uma conotação
negativa.

8. Sempre esteve associada a destruição e desordem.

9. Visto como a contraposição de ordem e de criação
Oposto
à emergência

10. Essa visão dicotômica de caos x criação
é uma herança da cultura ocidental
greco-romana-judaico-cristã-muçulmana,
que coloca tudo em termos antagônicos:
bem x mal
frio x calor
criação
x
destruição

11. Essa visão não é compartilhada por muitas
culturas orientais.
Na escrita chinesa, o caractere mnemônico que
representa a palavra crise é uma combinação
dos caracteres de
perigo e oportunidade.
Perigo – 危險
Oportunidade – 機會
Crise – 危機

12. Nessa cultura, uma crise é um período
de grande perigo, desordem e caos;
mas
contém dentro de si um embrião de
uma oportunidade,
criar uma nova realidade,
fazer tudo de uma forma nova.
A crise destrói a antiga ordem,
abrindo espaço para que uma nova ordem surja.

13. Caos – conceito matemático:
Comportamento estocástico que ocorre num
sistema determinístico

14. Sistemas Previsíveis
Pêndulos
Sistema massa-mola
e
Não- Previsíveis
Clima
Fluidos turbulentos

15. As equações de Newton, que regem a
mecânica, são determinísticas:
Dadas as forças agindo sobre um
sistema de partículas
e as condições iniciais
somos capazes de determinar
o movimento do sistema.

16. Mas se atirarmos bolinhas para cima
aproximadamente do mesmo modo,
porque elas não caem aproximadamente
no mesmo lugar?

17. Condições iniciais muito parecidas podem provocar
efeitos dinâmicos muito diferentes.

18. Sistemas muito simples podem ter
comportamentos complexos,
onde pequenas diferenças iniciais são
amplificadas,
levando a um comportamento aleatório.

19. Origem
da
Teoria dos Caos

20. Henri Poincarè em 1880 pesquisou os problemas
relacionados à impossibilidade de resolução das
equações diferenciais não lineares, na busca das leis
da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos.
Seu objetivo era descrever o que ocorreria
matematicamente quando se introduzia num sistema
gravitacional uma massa complementar num sistema
duplo, isto é, passando a análise de dois para três
corpos gravitacionais interagindo mutuamente.
Acabou descobrindo que os sistemas de massas
gravitacionais com 3 corpos evoluíam sempre para
um equilíbrio irregular. As órbitas tendiam a não ser
periódicas, tornavam-se complexas e irregulares.

21. Poincaré descobriu que ao invés de existirem
órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou
um sistema equilibrado e harmônico, o que
ocorriam eram sistemas verdadeiramente
desestabilizados, onde o que prevaleceria não
era a ordem natural, e sim o caos, a confusão,
pois os movimentos se tornavam aleatórios.

22. Henri Poincaré

23. Os resultados observados que levavam à
confusão e à desarmonia, não condiziam com a
harmonia que ocorria na mecânica clássica.
Poincaré neste seu trabalho acabou por descobrir
uma possibilidade da existência de um sistema
desordenado, com variáveis ao acaso. Na época
não houve um interesse prático na sua teoria de
órbitas irregulares, sendo muitas vezes
considerada a teoria uma aberração matemática.
Continuaram havendo alguns estudos esparsos
por outros matemáticos, porém como curiosidade
sobre os Sistemas dinâmicos não-lineares.

24. Quanto mais negativo é o expoente de Lyapunov,
mas rápido a série converge para os valores finais,
quando o expoente é positivo, o sistema apresenta
comportamento caótico
Aleksandr Mikhailovich Lyapunov

25. Suas principais preocupações eram a
estabilidade dos equilíbrios eo movimento de
sistemas mecânicos, a teoria do modelo para a
estabilidade do líquido turbulento uniforme, eo
estudo de partículas sob a influência da
gravidade. Seu trabalho no campo da física
matemática considerado o problema do valor
limite da equação de Laplace. Na teoria do
potencial, a sua obra de 1897 sobre algumas
questões relacionadas com Dirichlet do problema
esclareceu vários aspectos importantes da
teoria. Seu trabalho neste campo é, em
estreita ligação com o trabalho de Steklov.
Lyapunov desenvolvido muitos métodos de
aproximação importantes. Seus métodos, que
ele desenvolveu em 1899, tornam possível

26. Edward Lorenz na década de 60 tentava
resolver equações matemáticas para previsão
do tempo com computadores.

27. O tempo de
processamento
era longo,
e as vezes,
ele interrompia os
cálculos,
para continuar
mais tarde.

28. O computador imprimia o último valor,
para cada uma das variáveis,
valores que ele reintroduzia no programa,
quando continuava a calcular.
Por exemplo:
3.701502 → impresso

29. Contudo, para seu espanto,
cada vez que ele fazia isso,
os resultados obtidos eram totalmente
diferentes daqueles caso não
interrompesse o programa.

30. Por exemplo:
Quando o computador caculava direto o resultado
final era:
8,987734
Quando o computador parava
no meio dos cálculos e
imprimia o valor intermediário da variável,
3.701502,
e este era reintroduzido,
o resultado final, se tornava:
0,032701

31. Porque isso acontecia?

32. O que o computador imprimia
para cada uma das variáveis, era um valor
arredondado.
Por exemplo:
3.701502 → impresso
3.701502432 → na memória
A diferença nos 3 últimos algarismos levava a
uma divergência, nos cálculos,
que crescia com o tempo.

33. Preto: x(0)=0.480 v(0)=0.355
Vermelho: x(0)=0.481 v(0)=0.355
Verde: x(0)=0.482 v(0)=0.355
O cálculo é tão complicado que o resultado torna-se
imprevisível após algum tempo
Condições iniciais

34. Essas descobertas ficaram desconhecidas do
restantes dos cientistas
por mais de 10 anos.
A publicação do artigo,
que deu origem a toda uma nova área da
matemática,
havia sido publicada na
“Gazeta do Estrangulador de Bodes”
(Journal of Atmospheric Sciences)
Isto é, um jornal científico, que ninguém lia.

35. Caos = sensibilidade às condições iniciais
Condições iniciais muito próximas separam-se
exponencialmente rápido ⇒ Efeito Borboleta
Existe um tempo característico τ dentro do
qual previsões são possíveis. Além desse tempo
o sistema torna-se imprevisível.
O fator 1/τ é chamado de expoente de
Lyapunov (é uma freqüência).

36. Exemplo 1:
1 0n n nx x x+ = ≥
x0 = 49.0 x0 = 0.030 x0 = 1 x0 = 0
x1 = 7.0 x1 = 0.173... x1 = 1 x1 = 0
x2 = 2.646... x2 = 0.416... x2 = 1 x2 = 0
x3 = 1.627... x3 = 0.645... x3 = 1 x3 = 0
x4 = 1.275... x4 = 0.803... x4 = 1 x4 = 0
x5 = 1.129... x5 = 0.896... x5 = 1 x5 = 0
x6 = 1.063... x6 = 0.947... x6 = 1 x6 = 0
x7 = 1.031... x7 = 0.973... x7 = 1 x7 = 0
0 1
Ponto fixo
instável
Ponto fixo
estável
1>x>0x>1 X=1 X=0

37. Pontos fixos 0 e 1 são como pontos de equilíbrio.
Exemplo 1
1
1

38. x0 = 0.030
x1 = 0.173...
x2 = 0.416...
x3 = 0.645...
x4 = 0.803...
x5 = 0.896...
x6 = 0.947...
x7 = 0.973...
1
1
Partindo de x0; x1 será a raiz quadrada de x0 e assim por diante

39. Resumindo
Extraindo a raiz de um número,
depois a raiz deste
e assim por diante,
chegamos a um número limite,
no nosso exemplo é o número 1.

40. Exemplo 2:
2
1 0n n nx x x+ = ≥
x0 = 2.0 x0 = 0.8 x0 = 1 x0 = 0
x1 = 4.0 x1 = 0.64 x1 = 1 x1 = 0
x2 = 16 x2 = 0.4096 x2 = 1 x2 = 0
x3 = 256 x3 = 0.1677... x3 = 1 x3 = 0
x4 = 65536 x4 = 0.0281... x4 = 1 x4 = 0
x5 = 4294967296 x5 = 0.0008... x5 = 1 x5 = 0
0 1
Ponto fixo
instável
Ponto fixo
estável
1>x>0x>1 X=1 X=0

41. x
x0 = 2.0
x1 = 4.0
x2 = 16
x3 = 256
x4 = 65536
x5 = 4294967296
O pontos fixos 0 e 1 não são pontos de equilíbrio.
Exemplo 2.
f(x)
2
4

42. Resumindo
Encontrando o quadrado de um
número, depois o quadrado deste
e assim por diante,
não chegamos a um número limite,
a seqüência diverge para o ∞.

43. Curiosidade
Para descrever o crescimento de uma população
de coelhos Fibonacci em 1220, criou uma
seqüência de numérica,
que descrevem o número de casais
numa população de coelhos
depois de n meses supondo que:

44.  no primeiro mês nasce apenas um casal,
 casais reproduzem-se já no segundo mês de vida,
 não há problemas genéticos no cruzamento
consangüíneo,
 todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo
casal, e
 os coelhos nunca morrem.

45. Em 114 gerações o volume de coelhos seria maior
que o do universo conhecido
e antes disso a Terra seria envolvida
por uma esfera de coelhos, que se expandiria
a velocidade maior do que a da luz.

46. Mas em um ciclo como este não existe, pois
onde existe a necessidade de alimento
e os predadores, isso não acontece.
Muitos coelhos
Raposas produzindo mais filhotes
Mais raposas
Menos coelhos
Menos raposas

47. Exemplo 3: Mapa logístico
Seja Xn a população de insetos uma
determinada espécie na geração n.
A cada geração uma parte da população morre
e filhotes nascem.
O número de indivíduos na geração seguinte é
aproximadamente proporcional ao número de
indivíduos na geração anterior:
Xn+1 = µ Xn

48. Se µ < 1 a população decresce
Se µ > 1 a população cresce
Se a população fica muito grande pode faltar
comida, então a taxa de crescimento não
pode ser constante.
Substituímos µ por:
µ(1-Xn/Xc)
onde Xc é o maior número de indivíduos que
pode sobreviver com os recursos existentes.

49. Observe que (1 / )
0
n c
n c
n c
se X X
X X
se X X
µ
µ
<<
− ≈ 
≈
Então a equação que descreve a população fica:
1 (1 / )n n n cX X X Xµ+ = −
1 (1 )n n nx x xµ+ = −
1
(1 )n n n
c c c
X X X
X X X
µ+
= −
Dividindo os dois lados por Xc e definindo uma nova
variável xn = Xn/Xc
xn é a fração da população
máxima que sobrevive

50. Gráficos de x contra n,
onde:
x – fração da população sobrevivente
n – nº de gerações
µ – taxa de crescimento

51. 1 (1 ) 0 1 2.7n n n nx x x xµ µ+ = − ≥ ≥ =
x0 = 0.5
x1 = 0.675
x2 = 0.597...
x3 = 0.650...
x4 = 0.615...
x5 = 0.640...
x6 = 0.622...
x7 = 0.634...
Xn = 0.629...
Pontos fixos: xn+1 = xn Soluções: x=0 e x = (µ−1)/µ = 0.629...
Após alguma
oscilação inicial
a fração da
população
sobrevivente
estabiliza em 0,629

52. A oscilação inicial é
mais longa,
mas a fração da
população
sobrevivente
também estabiliza
em 0,655

53. Não ocorre mais
estabilização,
apenas oscilações
regulares

54. As oscilações
regulares
aumentam de
amplitude

55. As oscilações
regulares
aumentam mais
de amplitude

56. As oscilações
não são mais
regulares

57. As irregularidades
aumentam

58. Gráficos de x contra µ
onde:
x – fração da população sobrevivente
µ – taxa de crescimento

59. Rota para o caos por duplicação de período
(Taxa de crescimento)
(Fraçãodapopulação)

63. Nos exemplos 1 o ponto x=1
é chamado de atrator, isto é,
o mapa de todos os comportamentos possíveis
do sistema,
independentemente das condições iniciais.

64. Nos exemplos 2 não existe atrator. O
comportamento do sistema diverge para o
infinito.

65. Mas no caso do exemplo 3
(mapa logístico - crescimento populacional),
que leva ao caos,
o atrator não é um ponto
ou uma curva fechada,
mas uma curva complexa,
muitas vezes um fractal.

66. Rota para o caos por duplicação de período
No diagrama os ramos vão se bifurcando,
por fim esses pontos de crise (bifurcações),
acabam ocorrendo com tanta freqüência
que se superpõe,
formando um denso aglomerado de possibilidades.

67. Entre a1 e a4, na região de crise
(bifurcação), existem opções limitadas 50%
por vez
Em a∞, o nº e de possibilidades não
aumentam infinitamente, mas ocorrem
regiões de regularidades, dentro do caos,
e nessas regiões de regularidade regiões
mais de caos, ad infinitum...
Nessas superposições é oferecida uma fantástica
amplitude de comportamentos devido ao número
enorme de possíveis estados possíveis.
O sistema já não está mais confinado a um número
limitado de ramos, é livre para experimentar um
infinidade de possibilidades.

68. No estudo de equações do comportamento do clima,
Lorenz gerou, o hoje chamado atrator de Lorenz, que é,
o mapa do estado da atmosfera com qualquer condição inicial.
(Para aquelas equações do clima)

69. Se as condições inicias fossem modificadas, mesmo
que infinitesimalmente,
o ponto final poderá ser muito diferente.

70. Daí que vem a
famosa
afirmação,
de que um bater
de asas
de uma borboleta
no Japão
pode gerar um
furacão nos EUA

71. Constante de Feigenbaum
Um comportamento interessante é que para
valores de µ maiores que 3,
no nosso exemplo, ocorre uma duplicação do
período de recorrência.
Essa duplicação foi estudada por
Armand Vallin Feigenbaum.

72. Ele descobriu que a duplicação ocorria
na razão de 4,6692016090...
Não importando qual fosse a equação
da qual se partisse.
As mudanças de escala (duplicação) geram
um comportamento semelhante ao anterior
(auto-similaridade).

73. A medida que fazemos
mais e mais ampliações
verifica-se, que a figura se
estabiliza
e praticamente uma é
igual a outra.
f(x) = a se n( x)π
Renormalização
f(x) = a. x(1 - x)

74. Essa renormalização gera
auto-similaridade.

75. Renormalização
Transição de fase
Mudança de escala

76. Na perspectiva clássica lei da natureza é
determinística e reversível no tempo.
A noção de caos nos obriga a reconsiderar a
noção de lei da natureza.
Possibilidades...

77. CélulasCélulas (vida)(vida) seriamseriam
capazes de fazercapazes de fazer
suas transiçõessuas transições
no intervalo entreno intervalo entre
caos e ordem.caos e ordem.

78. Final da parte 4Final da parte 4