São feitas análise de propriedades semânticas que relacionam os resultados das interpretações das fórmulas da lógica proposicional. Essas relações são obtidas no mundo semântico, mas a partir de fórmulas que pertencem ao mundo sintático.
2. 1 Propriedades Semˆantica da L´ogica Proposicional
Introdu¸c˜ao
Propriedades Semˆanticas
Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Equivalˆencias
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3. Introdu¸c˜ao
Faremos an´alise de propriedades semˆanticas que relacionam os resul-
tados das interpreta¸c˜oes das f´ormulas.
S˜ao rela¸c˜oes obtidas no mundo semˆantico, mas a partir de f´ormulas
que pertencem ao mundo sint´atico.
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5. Propriedades Semˆanticas
A defini¸c˜ao a seguir ´e um conjunto de propriedades semˆanticas fundamentais
no estudo da l´ogica.
Defini¸c˜ao (Propriedades Semˆanticas B´asicas)
Sejam
H, G, H1, H2, . . . , Hn, . . .
f´ormulas da L´ogica Proposicional.
H ´e uma tautologia ou v´alida, se, e somente se, para toda inter-
preta¸c˜ao I, I[H] = T.
H ´e fact´ıvel ou satisfat´ıvel, se, e somente se, existe pelo menos uma
interpreta¸c˜ao I, tal que I[H] = T.
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6. Propriedades Semˆanticas
Defini¸c˜ao (Propriedades Semˆanticas B´asicas)
H ´e uma contingˆencia, se, e somente se, existem duas interpreta¸c˜oes
I1 e I2, tais que I1[H] = T e I2[H] = F.
H ´e contradit´oria, se, e somente se, para toda interpreta¸c˜ao I,
I[H] = F.
H implica semanticamente (ou tautologicamente) G, se, e somente
se, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T
H equivale semanticamente (ou tautologicamente) a G, se, e so-
mente se, para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G].
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7. Propriedades Semˆanticas
Defini¸c˜ao (Propriedades Semˆanticas B´asicas)
Dada uma interpreta¸c˜ao I, ent˜ao I satisfaz H, se I[H] = T.
O conjunto
β = {H1, H2, . . . , Hn, . . .}
´e satisfat´ıvel, se, e somente se, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que
I[H1] = T, I[H2] = T, . . . , I[Hn] = T, . . .
Nesse caso, I satisfaz o conjunto de f´ormulas, o que ´e indicado por
I[β] = T.
Dado um conjunto de f´ormulas vazio, ent˜ao toda interpreta¸c˜ao I
satisfaz esse conjunto.
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8. Propriedades Semˆanticas
Defini¸c˜ao (Propriedades Semˆanticas B´asicas)
O conjunto
β = {H1, H2, . . . , Hn, . . .}
implica semanticamente uma f´ormula H, se para toda interpreta¸c˜ao
I, se I[β] = T, ent˜ao I[H] = T. Nesse caso, tamb´em dizemos que H
´e uma consequˆencia l´ogica ou semˆantica de β.
Nota¸c˜ao: Denotamos
A implica¸c˜ao (ou consequˆencia) semˆantica com: .
A n˜ao implica¸c˜ao (ou consequˆencia) semˆantica com: .
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9. Propriedades Semˆanticas
Uma f´ormula H ´e uma tautologia (ou ´e v´alida) quando qualquer
interpreta¸c˜ao I interpreta H como sendo verdadeira.
O conceito de tautologia ´e muito mais que veracidade.
Uma f´ormula G pode ser verdeira segundo uma interpreta¸c˜ao J, mas
n˜ao ser tautol´ogica. Nesse caso, G ´e apenas satisfat´ıvel.
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10. Propriedades Semˆanticas
Se existir uma outra interpreta¸c˜ao I tal que I[G] = F, ent˜ao G ´e uma
contingˆencia.
As contingˆencias s˜ao f´ormulas cuja interpreta¸c˜ao n˜ao pode ser de-
terminadas apenas pelas regras de semˆanticas.
´E necess´ario determinar a interpreta¸c˜ao dos s´ımbolos proposici-
onais que pertencem a uma contingˆencia para calcular seu valor de
verdade.
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11. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
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12. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
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13. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
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14. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
I[P] = T ou I[P] = F
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15. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
I[P] = T ou I[P] = F ⇔ I[P] = T ou I[¬P] = T
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16. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
I[P] = T ou I[P] = F ⇔ I[P] = T ou I[¬P] = T
⇔ I[P ∨ ¬P] = T
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17. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
I[P] = T ou I[P] = F ⇔ I[P] = T ou I[¬P] = T
⇔ I[P ∨ ¬P] = T
⇔ [H] = T
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18. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
I[P] = T ou I[P] = F ⇔ I[P] = T ou I[¬P] = T
⇔ I[P ∨ ¬P] = T
⇔ [H] = T
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19. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
I[P] = T ou I[P] = F ⇔ I[P] = T ou I[¬P] = T
⇔ I[P ∨ ¬P] = T
⇔ [H] = T
Logo, H = (P ∨ ¬P) ´e tautol´ogica.
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20. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 1: (tautologia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ ¬P) ´e uma tautologia.
Solu¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I ´e verdade que:
I[P] = T ou I[P] = F ⇔ I[P] = T ou I[¬P] = T
⇔ I[P ∨ ¬P] = T
⇔ [H] = T
Logo, H = (P ∨ ¬P) ´e tautol´ogica.
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21. Propriedades Semˆanticas
Tautologia
Assim, na f´ormula H = (P ∨ ¬P), vimos que:
Tautologia
Independentemente do valor de verdade I[P], temos que I[H] = T.
Isto ´e, a interpreta¸c˜ao da tautologia H independe da interpreta¸c˜ao do
s´ımbolo proposicional P contido em H.
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22. Propriedades Semˆanticas
Tautologia
Assim, na f´ormula H = (P ∨ ¬P), vimos que:
Tautologia
Independentemente do valor de verdade I[P], temos que I[H] = T.
Isto ´e, a interpreta¸c˜ao da tautologia H independe da interpreta¸c˜ao do
s´ımbolo proposicional P contido em H.
Princ´ıpio do Terceiro Exclu´ıdo
Al´em disso, o fato de a f´ormula P ∨¬P ser uma tautologia est´a relacionado
ao princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: dada uma proposi¸c˜ao e sua nega¸c˜ao,
pelo menos uma delas ´e verdadeira.
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23. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
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24. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
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25. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
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26. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
se I[P] = T e I[Q] = F,
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27. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
se I[P] = T e I[Q] = F, ent˜ao I[H] = T
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28. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
se I[P] = T e I[Q] = F, ent˜ao I[H] = T
se J[P] = F e J[Q] = F,
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29. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
se I[P] = T e I[Q] = F, ent˜ao I[H] = T
se J[P] = F e J[Q] = F, ent˜ao J[H] = F
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30. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
se I[P] = T e I[Q] = F, ent˜ao I[H] = T
se J[P] = F e J[Q] = F, ent˜ao J[H] = F
Portanto, H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia.
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31. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
se I[P] = T e I[Q] = F, ent˜ao I[H] = T
se J[P] = F e J[Q] = F, ent˜ao J[H] = F
Portanto, H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia. Al´em disso, existe uma inter-
preta¸c˜ao I tal que, I[H] = T, isto ´e, H ´e satisfat´ıvel.
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32. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 2: (satisfabilidade e contingˆencia)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao
Sejam I e J, interpreta¸c˜oes, tais que:
se I[P] = T e I[Q] = F, ent˜ao I[H] = T
se J[P] = F e J[Q] = F, ent˜ao J[H] = F
Portanto, H = (P ∨ Q) ´e uma contingˆencia. Al´em disso, existe uma inter-
preta¸c˜ao I tal que, I[H] = T, isto ´e, H ´e satisfat´ıvel.
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33. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
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34. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
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35. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
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36. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F
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37. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
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38. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
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39. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
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40. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
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41. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
Assim, como ´e falso que exista uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T,
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42. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
Assim, como ´e falso que exista uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T, segue
que, para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = F,
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43. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
Assim, como ´e falso que exista uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T, segue
que, para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = F, isto ´e, H ´e uma contradi¸c˜ao.
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44. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 3: (contradi¸c˜ao)
Mostrar que a f´ormula H = (P ∧ ¬P) ´e uma contradi¸c˜ao.
Solu¸c˜ao
´E falso que existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I, tal que
I[P] = T e I[P] = F ⇔ I[P] = T e I[¬P] = T
⇔ I[P ∧ ¬P] = T
⇔ I[H] = T
Assim, como ´e falso que exista uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T, segue
que, para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = F, isto ´e, H ´e uma contradi¸c˜ao.
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45. Propriedades Semˆanticas
Princ´ıpio da N˜ao Contradi¸c˜ao
Se a f´ormula P ∧ ¬P ´e uma contradi¸c˜ao, ent˜ao a f´ormula
¬(P ∧ ¬P) ´e uma tautologia.
A f´ormula P ∧ ¬P est´a relacionado ao princ´ıpio da n˜ao contradi¸c˜ao:
dada uma proposi¸c˜ao e sua nega¸c˜ao, pelo menos uma delas ´e
falsa.
Dada uma proposi¸c˜ao, ´e falso que tal proposi¸c˜ao e sua nega¸c˜ao sejam
verdadeiras.
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58. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (b))
Seja I uma interpreta¸c˜ao tal que I[Q] = F, ent˜ao
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = F e I[¬Q] = T
Logo,
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59. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (b))
Seja I uma interpreta¸c˜ao tal que I[Q] = F, ent˜ao
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = F e I[¬Q] = T
Logo,
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → ¬Q] = T
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60. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (b))
Seja I uma interpreta¸c˜ao tal que I[Q] = F, ent˜ao
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = F e I[¬Q] = T
Logo,
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → ¬Q] = T
Portanto, H2 ´e satisfat´ıvel.
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61. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (b))
Seja I uma interpreta¸c˜ao tal que I[Q] = F, ent˜ao
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q] = F e I[¬Q] = T
Logo,
I[P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ Q → ¬Q] = T
Portanto, H2 ´e satisfat´ıvel.
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65. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (c))
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[P ∨ ¬P] = T e I[Q ∧ ¬Q] = F
Logo,
I[(P ∨ ¬P) → (Q ∧ ¬Q)] = F.
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66. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (c))
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[P ∨ ¬P] = T e I[Q ∧ ¬Q] = F
Logo,
I[(P ∨ ¬P) → (Q ∧ ¬Q)] = F.
Portanto, a f´ormula H3 ´e uma contradi¸c˜ao.
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67. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 4: Item (c))
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[P ∨ ¬P] = T e I[Q ∧ ¬Q] = F
Logo,
I[(P ∨ ¬P) → (Q ∧ ¬Q)] = F.
Portanto, a f´ormula H3 ´e uma contradi¸c˜ao.
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68. Propriedades Semˆanticas
Conforme a Defini¸c˜ao das Propriedades Semˆantica, H implica semantica-
mente G, quando para toda interpreta¸c˜ao I
se I[H] = T ent˜ao I[G] = T.
Ou seja, essa defini¸c˜ao n˜ao diz que para toda interpreta¸c˜ao I
I[H] = I[G] ou que I[H] = T e I[G] = T
A defini¸c˜ao de implica¸c˜ao semˆantica ´e a seguinte:
para toda interpreta¸c˜ao I, se I interpreta H como T, ent˜ao, I
interpreta G como sendo T.
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69. Propriedades Semˆanticas
Isto n˜ao quer dizer que, para toda interpreta¸c˜ao I, as interpreta¸c˜oes
de H e G segundo I coincidem ou s˜ao iguais a T.
Caso existe uma interpreta¸c˜ao J tal que J[H] = F, ent˜ao nada pode
ser dito sobre J[G]. Neste caso ´e poss´ıvel qu J[G] = T ou J[G] = F.
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70. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 5 (implica¸c˜ao semˆantica)
Considere as f´ormulas
E = ((P ∧ Q) ∨ Q)
H = (P ∧ Q)
G = (P → Q)
Construa a tabela verdade associada a essas f´ormulas e verifique se h´a ou
n˜ao rela¸c˜ao de implica¸c˜ao semˆantica no itens a seguir:
(a) E . . . G (b) E . . . H (c) H . . . E
(d) H . . . G (e) G . . . H (f ) G . . . E
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72. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 5)
A tabela verdade associada a essas f´ormulas ´e
P Q E H G
T T T T T
T F F F F
F T T F T
F F F F T
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73. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 5)
A tabela verdade associada a essas f´ormulas ´e
P Q E H G
T T T T T
T F F F F
F T T F T
F F F F T
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74. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 6 (implica¸c˜ao semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica se-
manticamente G.
Solu¸c˜ao (Exemplo 6: 1a Forma)
Vamos utilizar as tabelas verdade associadas `as f´ormulas H e G
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75. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 6 (implica¸c˜ao semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica se-
manticamente G.
Solu¸c˜ao (Exemplo 6: 1a Forma)
Vamos utilizar as tabelas verdade associadas `as f´ormulas H e G
P Q H G
T T
T F
F T
F F
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76. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 6 (implica¸c˜ao semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica se-
manticamente G.
Solu¸c˜ao (Exemplo 6: 1a Forma)
Vamos utilizar as tabelas verdade associadas `as f´ormulas H e G
P Q H G
T T
T F
F T
F F
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77. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 6 (implica¸c˜ao semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica G.
Solu¸c˜ao (Exemplo 6: 1a Forma)
Vamos utilizar as tabelas verdade associadas `as f´ormulas H e G
P Q H G
T T T T
T F F T
F T F F
F F F F
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78. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 6 (implica¸c˜ao semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica G.
Solu¸c˜ao (Exemplo 6: 1a Forma)
Vamos utilizar as tabelas verdade associadas `as f´ormulas H e G
P Q H G
T T T T
T F F T
F T F F
F F F F
Nessa tabela, na linha destacada, quando I[H] = T, ent˜ao I[G] = T. Logo,
a H implica semanticamente G.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
79. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 6 (implica¸c˜ao semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica G.
Solu¸c˜ao (Exemplo 6: 1a Forma)
Vamos utilizar as tabelas verdade associadas `as f´ormulas H e G
P Q H G
T T T T
T F F T
F T F F
F F F F
Nessa tabela, na linha destacada, quando I[H] = T, ent˜ao I[G] = T. Logo,
a H implica semanticamente G.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
80. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 6 (implica¸c˜ao semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (P ∧ Q) e G = P s˜ao tais que H implica G.
Solu¸c˜ao (Exemplo 6: 2a Forma)
Foi feita em sala de aula. Onde foi mostrado que
Se I[H] = T ent˜ao I[G] = T
Portanto, conclu´ımos que H G.
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81. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
82. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
83. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
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84. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
85. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
⇔ I[P ∨ Q] = F
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86. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
⇔ I[P ∨ Q] = F
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = T
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87. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
⇔ I[P ∨ Q] = F
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = T
⇔ I[G] = T
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88. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 7 (equivalˆencia semˆantica)
Mostre que as f´ormulas H = (¬P ∧ ¬Q) e G = ¬(P ∧ Q) s˜ao equivalˆencias
semˆanticas.
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
I[H] = T ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = T
⇔ I[¬P] = T e I[¬Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
⇔ I[P ∨ Q] = F
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = T
⇔ I[G] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
92. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
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93. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
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94. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
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95. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
⇔ I[G] = F
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96. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
⇔ I[G] = F
Logo, nos dois casos vemos que I[H] = I[G]. Portanto, H equivale seman-
ticamente a G.
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97. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
⇔ I[G] = F
Logo, nos dois casos vemos que I[H] = I[G]. Portanto, H equivale seman-
ticamente a G. Fica como exerc´ıcio a outra forma de resolver utilizando a
tabela verdade.
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98. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 7: 1a Forma)
I[H] = F ⇔ I[¬P ∧ ¬Q] = F
⇔ I[¬P] = F e/ou I[¬Q] = F
⇔ I[P] = T e/ou I[Q] = T
⇔ I[P ∨ Q] = T
⇔ I[¬(P ∨ Q)] = F
⇔ I[G] = F
Logo, nos dois casos vemos que I[H] = I[G]. Portanto, H equivale seman-
ticamente a G. Fica como exerc´ıcio a outra forma de resolver utilizando a
tabela verdade.
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99. Propriedades Semˆanticas
(Satisfabilidade de Conjunto de F´ormulas)
Um conjunto de f´ormulas
{H1, H2, · · · , Hn, · · · }
´e satisfat´ıvel quando existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] =
T, para todo i ∈ {1, 2, · · · , n, · · · }.
O conceito de satisfabilidade ´e importante em Computa¸c˜ao.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
100. Propriedades Semˆanticas
(Satisfabilidade de Conjunto de F´ormulas)
Um conjunto de f´ormulas
{H1, H2, · · · , Hn, · · · }
´e satisfat´ıvel quando existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] =
T, para todo i ∈ {1, 2, · · · , n, · · · }.
O conceito de satisfabilidade ´e importante em Computa¸c˜ao.
Uma propriedade desej´avel de programas l´ogicos; por exemplo, ´e que
eles sejam conjuntos de f´ormulas satisfat´ıveis.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
101. Propriedades Semˆanticas
(Satisfabilidade de Conjunto de F´ormulas)
Um conjunto de f´ormulas
{H1, H2, · · · , Hn, · · · }
´e satisfat´ıvel quando existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] =
T, para todo i ∈ {1, 2, · · · , n, · · · }.
O conceito de satisfabilidade ´e importante em Computa¸c˜ao.
Uma propriedade desej´avel de programas l´ogicos; por exemplo, ´e que
eles sejam conjuntos de f´ormulas satisfat´ıveis.
Isso significa que deve haver pelo menos uma interpreta¸c˜ao que sa-
tisfa¸ca o programa.
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102. Propriedades Semˆanticas
(Satisfabilidade de Conjunto de F´ormulas)
Um conjunto de f´ormulas
{H1, H2, · · · , Hn, · · · }
´e satisfat´ıvel quando existe pelo menos uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] =
T, para todo i ∈ {1, 2, · · · , n, · · · }.
O conceito de satisfabilidade ´e importante em Computa¸c˜ao.
Uma propriedade desej´avel de programas l´ogicos; por exemplo, ´e que
eles sejam conjuntos de f´ormulas satisfat´ıveis.
Isso significa que deve haver pelo menos uma interpreta¸c˜ao que sa-
tisfa¸ca o programa.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
103. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 8 (insatisfabilidade de conjunto de f´ormulas)
Mostre que o conjunto de f´ormulas
H1 = P, H2 = ¬P e H3 = Q
´e insatisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao (Exemplo 8)
Para toda toda interpreta¸c˜ao I, tem-se
se I[H1 = T, ent˜ao IH2 = F]
e, vice-versa.
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105. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 8)
Logo, n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que
I[H1] = T, I[H2] = T e I[H3] = T.
Portanto, o conjunto de f´ormulas
{P, ¬P, Q}
´e insatisfat´ıvel, como exigido.
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106. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 8)
Logo, n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que
I[H1] = T, I[H2] = T e I[H3] = T.
Portanto, o conjunto de f´ormulas
{P, ¬P, Q}
´e insatisfat´ıvel, como exigido.
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107. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 9 (satisfabilidade de conjunto de f´ormulas)
Mostre que o conjunto de f´ormulas
E = (P → Q), H = (Q → R) e G = (R → P)
´e satisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao (Exemplo 9)
Basta considerar uma interpreta¸c˜ao I tal que
I[P] = F, I[Q] = F e I[R] = F
Ent˜ao,
I[E] = T, I[H] = T e I[G] = T.
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108. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 10 (insatisfabilidade)
Mostre que o conjunto de f´ormulas
H1 = (P → Q), H2 = (Q → R), H3 = (R → S)
H4 = (S → P), H5 = ¬(S → G)
´e insatisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Supunha, ao contr´ario, que o conjunto de f´ormulas
{H1, H2, H3, H4, H5}
´e satisfat´ıvel.
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109. Propriedades Semˆanticas
Exemplo 10 (insatisfabilidade)
Mostre que o conjunto de f´ormulas
H1 = (P → Q), H2 = (Q → R), H3 = (R → S)
H4 = (S → P), H5 = ¬(S → G)
´e insatisfat´ıvel.
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Supunha, ao contr´ario, que o conjunto de f´ormulas
{H1, H2, H3, H4, H5}
´e satisfat´ıvel.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
110. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
111. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
112. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
113. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
114. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
115. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
116. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T ⇔ I[P → Q] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
117. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T ⇔ I[P → Q] = T
⇔ I[P] = F ou I[Q] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
118. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T ⇔ I[P → Q] = T
⇔ I[P] = F ou I[Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
119. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Ent˜ao, existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[Hi ] = T, para todo i ∈
{1, 2, · · · , 5}. Assim,
I[H5] = T ⇔ I[¬(S → Q)] = T
⇔ I[S → Q] = F
⇔ I[S] = T e I[Q] = F (∗)
I[H1] = T ⇔ I[P → Q] = T
⇔ I[P] = F ou I[Q] = T
⇔ I[P] = F e I[Q] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
124. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Al´em disso,
I[H4] = T ⇔ I[S → P] = T
⇔ I[S] = F ou I[P] = T
⇔ I[S] = F e I[P] = F (∗∗)
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
125. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Al´em disso,
I[H4] = T ⇔ I[S → P] = T
⇔ I[S] = F ou I[P] = T
⇔ I[S] = F e I[P] = F (∗∗)
Obter I[S] = F em (∗∗) ´e uma contradi¸c˜ao, pois j´a hav´ıamos obtido I[S] =
T em (∗). Portanto, o conjunto de formulas, n˜ao pode ser satisfat´ıvel.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
126. Propriedades Semˆanticas
Solu¸c˜ao (Exemplo 10)
Al´em disso,
I[H4] = T ⇔ I[S → P] = T
⇔ I[S] = F ou I[P] = T
⇔ I[S] = F e I[P] = F (∗∗)
Obter I[S] = F em (∗∗) ´e uma contradi¸c˜ao, pois j´a hav´ıamos obtido I[S] =
T em (∗). Portanto, o conjunto de formulas, n˜ao pode ser satisfat´ıvel.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
127. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Rela¸c˜oes entre Propriedades
Semˆanticas
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
128. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
As propriedades semˆanticas est˜ao relacionadas entre si.
Veremos isso nas proposi¸c˜oes a seguir.
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129. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
130. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
131. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula,
H ´e tautologia
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
132. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula,
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
133. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula,
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
134. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula,
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
⇔ ¬H ´e contradi¸c˜ao
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135. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula,
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
⇔ ¬H ´e contradi¸c˜ao
Portanto, H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao. cqd
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
136. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 1 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula,
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
⇔ ¬H ´e contradi¸c˜ao
Portanto, H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e uma contradi¸c˜ao. cqd
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137. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
138. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
139. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula, tal que, se
H ´e tautologia
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
140. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula, tal que, se
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
141. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula, tal que, se
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇒ existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
142. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula, tal que, se
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇒ existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T
⇔ H ´e satisfat´ıvel
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143. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula, tal que, se
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇒ existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T
⇔ H ´e satisfat´ıvel
Portanto, se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel. cqd
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144. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 2 (tautologia e satisfabilidade)
Dada uma f´ormula H,
se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel.
Demonstra¸c˜ao
Seja H uma f´ormula, tal que, se
H ´e tautologia ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T
⇒ existe uma interpreta¸c˜ao I tal que I[H] = T
⇔ H ´e satisfat´ıvel
Portanto, se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel. cqd
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145. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
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146. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
147. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
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148. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
Seja H uma f´ormula, ent˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
149. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
Seja H uma f´ormula, ent˜ao
¬H n˜ao ´e satisfat´ıvel
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150. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
Seja H uma f´ormula, ent˜ao
¬H n˜ao ´e satisfat´ıvel ⇔ n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que I[¬H] = T
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151. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
Seja H uma f´ormula, ent˜ao
¬H n˜ao ´e satisfat´ıvel ⇔ n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que I[¬H] = T
⇒ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
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152. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
Seja H uma f´ormula, ent˜ao
¬H n˜ao ´e satisfat´ıvel ⇔ n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que I[¬H] = T
⇒ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
⇔ ¬H ´e contradot´oria
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153. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
Seja H uma f´ormula, ent˜ao
¬H n˜ao ´e satisfat´ıvel ⇔ n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que I[¬H] = T
⇒ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
⇔ ¬H ´e contradot´oria
Portanto, se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel. cqd
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154. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 3 (tautologia e contradi¸c˜ao)
Dada uma f´ormula H, ent˜ao
a) H ´e tautologia, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
b) ¬H n˜ao ´e satisfativel, se, e somente se, ¬H ´e contradit´oria.
Demonstra¸c˜ao
A o item a) j´a foi demonstrado na Proposi¸c˜ao 1. Resta mostrar o item b).
Seja H uma f´ormula, ent˜ao
¬H n˜ao ´e satisfat´ıvel ⇔ n˜ao existe interpreta¸c˜ao I tal que I[¬H] = T
⇒ para toda interpreta¸c˜ao I, I[¬H] = F
⇔ ¬H ´e contradot´oria
Portanto, se H ´e tautologia, ent˜ao H ´e satisfat´ıvel. cqd
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155. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
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156. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
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157. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Sejam as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H G
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158. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Sejam as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T
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159. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Sejam as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H → G] = T
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160. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Sejam as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H → G] = T
⇔ (H → G) ´e tautologia
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161. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Sejam as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H → G] = T
⇔ (H → G) ´e tautologia
Portanto, H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia. cqd
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162. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 4 (implica¸c˜ao semˆantica e o conectivo →)
Dadas as f´ormulas H e G,
H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Sejam as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H → G] = T
⇔ (H → G) ´e tautologia
Portanto, H G, se, e somente se, (H → G) ´e tautologia. cqd
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163. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
164. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
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165. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G
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166. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
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167. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H ↔ G] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
168. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H ↔ G] = T
⇔ (H ↔ G) ´e tautologia
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169. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H ↔ G] = T
⇔ (H ↔ G) ´e tautologia
Portanto, H equivalente a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
cqd
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170. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 5 (equivalˆencia semˆantica e o conectivo ↔)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H ↔ G] = T
⇔ (H ↔ G) ´e tautologia
Portanto, H equivalente a G, se, e somente se, (H ↔ G) ´e tautologia.
cqd
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171. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
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172. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
173. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G
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174. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
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175. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
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176. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T, e,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
177. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T, e,
se I[G] = T, ent˜ao I[H] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
178. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T, e,
se I[G] = T, ent˜ao I[H] = T
⇔ H G e G H
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179. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T, e,
se I[G] = T, ent˜ao I[H] = T
⇔ H G e G H
Portanto, H equivale a G, se, e somente se, H G e G H. cqd
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180. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 6 (equivalˆencia e implica¸c˜ao semˆantica)
Dadas as f´ormulas H e G,
H equivale a G, se, e somente se, H G e G H
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas H e G. Ent˜ao
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = I[G]
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T, e,
se I[G] = T, ent˜ao I[H] = T
⇔ H G e G H
Portanto, H equivale a G, se, e somente se, H G e G H. cqd
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181. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
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182. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
183. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
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184. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G
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185. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
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186. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
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187. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
188. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
189. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G]
ent˜ao
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190. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G]
ent˜ao
para toda interpreta¸c˜ao I,
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191. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G]
ent˜ao
para toda interpreta¸c˜ao I, I[E]=I[G]
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192. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G]
ent˜ao
para toda interpreta¸c˜ao I, I[E]=I[G] ⇔ E equivale a G.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
193. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G]
ent˜ao
para toda interpreta¸c˜ao I, I[E]=I[G] ⇔ E equivale a G.
Portanto, se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G. cqd
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
194. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 7 (transitividade da equivalˆencia)
Dadas as f´ormulas E, H e G,
se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G.
Demonstra¸c˜ao
Dadas as f´ormulas E, H e G. Se
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[E] = I[H]
e
H equivale a G ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G]
ent˜ao
para toda interpreta¸c˜ao I, I[E]=I[G] ⇔ E equivale a G.
Portanto, se E equivale a H e H equivale a G, ent˜ao E equivale G. cqd
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
195. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
196. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
197. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
198. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
199. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
200. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[Hi ] = T,
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
201. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[Hi ] = T,
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
202. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[Hi ] = T,
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
I[(H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
203. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[Hi ] = T,
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
I[(H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))] = T
⇔ (H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))
´e satisfativel.cqd
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204. Rela¸c˜oes entre Propriedades Semˆanticas
Proposi¸c˜ao 8 (satisfabilidade)
Seja {H1, H2, · · · , Hn} um conjunto de f´ormulas.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ (H1 ∧(H2 ∧(· · ·∧Hn) · · · )) ´e satisfativel.
Demonstra¸c˜ao
Seja o conjunto de f´ormulas {H1, H2, · · · , Hn}.
{H1, H2, · · · , Hn} ´e satisfat´ıvel ⇔ para toda interpreta¸c˜ao I, I[Hi ] = T,
para todo i ∈ {1, 2, · · · , n}
⇔ para toda interpreta¸c˜ao I,
I[(H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))] = T
⇔ (H1 ∧ (H2 ∧ (· · · ∧ Hn) · · · ))
´e satisfativel.cqd
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206. Equivalˆencias
Nesta se¸c˜ao o objetivo ´e demonstrar o teorema da
dedu¸c˜ao semˆantica.
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207. Equivalˆencias
Lema 1 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam H e G duas f´ormulas.
Se {{H ´e tautologia} e {H G}}, ent˜ao {G ´e tautologia}.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
208. Equivalˆencias
Lema 1 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam H e G duas f´ormulas.
Se {{H ´e tautologia} e {H G}}, ent˜ao {G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
209. Equivalˆencias
Lema 1 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam H e G duas f´ormulas.
Se {{H ´e tautologia} e {H G}}, ent˜ao {G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Sejam H e G f´ormulas. Por defini¸c˜ao, H ´e tautologia, se, e somente se,
para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T. Mas, H G, se, e somente se,
para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T. Logo, para toda
interpreta¸c˜ao I, I[G] = T, se, e somente se, G ´e tautologia. Portanto, G ´e
tautologia. cqd
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
210. Equivalˆencias
Lema 1 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam H e G duas f´ormulas.
Se {{H ´e tautologia} e {H G}}, ent˜ao {G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Sejam H e G f´ormulas. Por defini¸c˜ao, H ´e tautologia, se, e somente se,
para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = T. Mas, H G, se, e somente se,
para toda interpreta¸c˜ao I, se I[H] = T, ent˜ao I[G] = T. Logo, para toda
interpreta¸c˜ao I, I[G] = T, se, e somente se, G ´e tautologia. Portanto, G ´e
tautologia. cqd
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
211. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
212. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
213. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
214. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[A → (B → C)] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
215. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[A → (B → C)] = T ⇔ I[A] = F e/ou I[B → C] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
216. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[A → (B → C)] = T ⇔ I[A] = F e/ou I[B → C] = T
⇔ I[A] = F e/ou {I[B] = F e/ou I[C] = T}
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
217. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[A → (B → C)] = T ⇔ I[A] = F e/ou I[B → C] = T
⇔ I[A] = F e/ou {I[B] = F e/ou I[C] = T}
⇔ {I[A] = F e/ou I[B] = F} e/ou I[C] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
218. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[A → (B → C)] = T ⇔ I[A] = F e/ou I[B → C] = T
⇔ I[A] = F e/ou {I[B] = F e/ou I[C] = T}
⇔ {I[A] = F e/ou I[B] = F} e/ou I[C] = T
⇔ I[A ∧ B] = F e/ou I[C] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
219. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[A → (B → C)] = T ⇔ I[A] = F e/ou I[B → C] = T
⇔ I[A] = F e/ou {I[B] = F e/ou I[C] = T}
⇔ {I[A] = F e/ou I[B] = F} e/ou I[C] = T
⇔ I[A ∧ B] = F e/ou I[C] = T
⇔ I[(A ∧ B) → C] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
220. Equivalˆencias
Lema 2 (implica¸c˜ao e conjun¸c˜ao)
Dadas as f´ormulas A, B e C, ent˜ao
(A → (B → C)) equivale a ((A ∧ B) → C).
Demonstra¸c˜ao
Para toda interpreta¸c˜ao I,
I[A → (B → C)] = T ⇔ I[A] = F e/ou I[B → C] = T
⇔ I[A] = F e/ou {I[B] = F e/ou I[C] = T}
⇔ {I[A] = F e/ou I[B] = F} e/ou I[C] = T
⇔ I[A ∧ B] = F e/ou I[C] = T
⇔ I[(A ∧ B) → C] = T
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
225. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
226. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
227. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
⇔ I[(A ∧ B) → C] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
228. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
⇔ I[(A ∧ B) → C] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
229. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
⇔ I[(A ∧ B) → C] = F
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
230. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
⇔ I[(A ∧ B) → C] = F
Portanto, para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G] = T; isto ´e, H equivale
a G.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
231. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao
I[(A → (B → C)] = F ⇔ I[A] = T e I[B → C] = F
⇔ I[A] = T e {I[B] = T e I[C] = F}
⇔ {I[A] = F e I[B] = T} e I[C] = F
⇔ I[A ∧ B] = F e I[C] = F
⇔ I[(A ∧ B) → C] = F
Portanto, para toda interpreta¸c˜ao I, I[H] = I[G] = T; isto ´e, H equivale
a G.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
232. Equivalˆencias
Lema 3 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G.
Se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
233. Equivalˆencias
Lema 3 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G.
Se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
234. Equivalˆencias
Lema 3 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G.
Se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pelo Lema 2, o enunciado
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
235. Equivalˆencias
Lema 3 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G.
Se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pelo Lema 2, o enunciado
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
´e verdadeiro, pois ´e equivalente ao enunciado
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
236. Equivalˆencias
Lema 3 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G.
Se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pelo Lema 2, o enunciado
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
´e verdadeiro, pois ´e equivalente ao enunciado
se {{H ´e tautologia} e {H G}}, ent˜ao {G ´e tautologia}
que, pelo Lema 1, ´e verdadeiro.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
237. Equivalˆencias
Lema 3 (implica¸c˜ao e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G.
Se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pelo Lema 2, o enunciado
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
´e verdadeiro, pois ´e equivalente ao enunciado
se {{H ´e tautologia} e {H G}}, ent˜ao {G ´e tautologia}
que, pelo Lema 1, ´e verdadeiro.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
238. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
239. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
240. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
241. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
242. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
243. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,
se {H G}, ent˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
244. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
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245. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
e, se {G H}, ent˜ao
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
246. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
e, se {G H}, ent˜ao {G ´e tautologia ⇒ H ´e tautologia}
Naygno Barbosa Noia L´ogica Matem´atica
247. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
e, se {G H}, ent˜ao {G ´e tautologia ⇒ H ´e tautologia}
Logo, pela defini¸c˜ao de bi-implica¸c˜ao, temos que
{H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}
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248. Equivalˆencias
Proposi¸c˜ao 9 (equivalˆencia e tautologia)
Sejam as f´ormulas H e G,
se {H equivale a G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}.
Demonstra¸c˜ao
Pela Proposi¸c˜ao 6,
H equivale a G ⇔ H G e G H
Assim, pelo Lema 3,
se {H G}, ent˜ao {H ´e tautologia ⇒ G ´e tautologia}
e, se {G H}, ent˜ao {G ´e tautologia ⇒ H ´e tautologia}
Logo, pela defini¸c˜ao de bi-implica¸c˜ao, temos que
{H ´e tautologia ⇔ G ´e tautologia}
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249. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
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250. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
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251. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
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252. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
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253. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se
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254. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao
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255. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao I[β ∪ {A}] = T
independentemente de
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256. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao I[β ∪ {A}] = T
independentemente de I[A].
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257. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao I[β ∪ {A}] = T
independentemente de I[A]. Mas,
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258. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao I[β ∪ {A}] = T
independentemente de I[A]. Mas, β ∪ {A} B, ent˜ao
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259. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao I[β ∪ {A}] = T
independentemente de I[A]. Mas, β ∪ {A} B, ent˜ao I[B] = T. Logo,
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260. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao I[β ∪ {A}] = T
independentemente de I[A]. Mas, β ∪ {A} B, ent˜ao I[B] = T. Logo,
I[A → B] = T.
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261. Equivalˆencias
Teorema 1 (teorema da dedu¸c˜ao – forma semˆantica)
Considere β um conjunto de f´ormulas e as f´ormulas A e B.
β ∪ {A} B, se, e somente se, β (A → B).
Demonstra¸c˜ao (⇒)
Primeiro, assuma que,
se β ∪ {A} B ent˜ao β (A → B)
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β] = T ent˜ao I[β ∪ {A}] = T
independentemente de I[A]. Mas, β ∪ {A} B, ent˜ao I[B] = T. Logo,
I[A → B] = T.
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265. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que
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266. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T,
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267. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, isto ´e,
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268. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, isto ´e, I[β ∪
{A}] = T.
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269. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, isto ´e, I[β ∪
{A}] = T. Ent˜ao,
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270. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, isto ´e, I[β ∪
{A}] = T. Ent˜ao, I[A → B] = T, pois
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271. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, isto ´e, I[β ∪
{A}] = T. Ent˜ao, I[A → B] = T, pois β (A → B); logo,
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272. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, isto ´e, I[β ∪
{A}] = T. Ent˜ao, I[A → B] = T, pois β (A → B); logo, I[B] = T.
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273. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 1a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, isto ´e, I[β ∪
{A}] = T. Ent˜ao, I[A → B] = T, pois β (A → B); logo, I[B] = T.
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277. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que
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278. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T,
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279. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
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280. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
I[B] = F,
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281. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos
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282. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos I[A → B] = F, que contradiz
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283. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos I[A → B] = F, que contradiz β (A → B).
Logo,
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284. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos I[A → B] = F, que contradiz β (A → B).
Logo, I[B] = T.
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285. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos I[A → B] = F, que contradiz β (A → B).
Logo, I[B] = T. Portanto, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β ∪ {A}] = T,
ent˜ao I[B] = T; isto ´e, β ∪ {A} B.
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286. Equivalˆencias
Demonstra¸c˜ao (⇐) 2a forma
Agora, assuma que,
se β (A → B) ent˜ao β ∪ {A} B
Assim, para toda interpreta¸c˜ao I, tal que I[β] = I[A] = T, se, por absurdo,
I[B] = F, ent˜ao, ter´ıamos I[A → B] = F, que contradiz β (A → B).
Logo, I[B] = T. Portanto, para toda interpreta¸c˜ao I, se I[β ∪ {A}] = T,
ent˜ao I[B] = T; isto ´e, β ∪ {A} B.
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