qaweqeqee

1. lim x² = 4 ⇔
x→2
⇔∀ε >0 ∃ δ > 0 ∀x∈R :| x-2 | < δ → | x² -4 | < ε
Como a definiçãodiz que existe umnúmeroδ ,temos que o achar (em
função de ε)
Partimos de | x² -4 | < ε , e usamos a informação de que | x-2 | < δ
quando necessário.
| x² -4 | < ε
| (x-2)(x+2) | < ε
| x-2 | | x+2 | < ε
Ora | x-2 | < δ ,
e | x+2 | = | x-2 +4 | ≤ | x-2 | + |4| ( porque |a+b| ≤ |a|+|b| )
< δ+4
Logo | x-2 | | x+2 | < δ(δ+4) < ε
δ²+4δ < ε
Supondo δ < 1 , multiplicandotudopor δ , e porque δ > 0 , vem
δ² < δ , logo δ²+4δ < 5δ< ε
Portantoδ < ε/5
Dado ε>0 , bastaentão tomar δ = min { 1,ε/5 }
o que prova que o limite é 4