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Temos então:⃗       ⃗   ⃗     |                |            |                             |   |                 |       ⃗ ...
3.20)Prove que:                                    ⃗               (⃗               ⃗ )                     (⃗           ⃗...
3.22)Determine a distância do ponto P(4,5,-7) à reta que passa por Q(-3,6,12)e paralela ao vetor ⃗   ̂     ̂      ̂ . Calc...
Logo, uma equação do plano é:Então, usando a fórmula de distância de ponto temos:                                         ...
Das propriedades de determinantes temos que se duas filas de uma matriz quadrada sãoiguais, então seu determinante é zero....
Logo:Como demostrado no exercício 3.29:Logo:
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Lista 1 resolução dos exercícios pdf

  1. 1. Resolução dos exercícios - segunda semana3.19)Obtenha a expressão de ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ na forma de determinante. Deduza, a partirdela, as seguintes propriedades de simetria: ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗Prove que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelostrês vetores.Resolução: Sejam: ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂Temos então que: ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ( ̂ ̂ ̂ ) | | ̂ ̂ ̂ [( )̂ ̂ ( )̂ ] ( ) | | | | | |.Pelo teorema de Laplace, temos que a expressão acima é o resultado do seguintedeterminante: | |Logo: ⃗ ⃗ ⃗ | |Das propriedades de determinante: quando trocamos a posição de duas filas de umamatriz o valor do determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante damatriz anterior.
  2. 2. Temos então:⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗Logo: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗Agora vamo provar que o triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formadopelos 3 vetores. Para isso, considere a disposição dos 3 vetores como na figura quesegue: ⃗𝑉 𝑥𝑉 ⃗ ∙ ⃗𝑉 ⃗𝑉 θ ⃗𝑉O volume do parelalepípedo é dado pelo produto entre a área da base e a sua altura.Seja volume, a área da base e a altura do parelalepípedo.Temos: || ⃗ ⃗ || || ⃗ || || ⃗ ⃗ || || ⃗ || , em que , é o menorângulo entre os vetores ⃗ ⃗ e⃗ .como: ⃗ ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || || ⃗ ||Temos que: ⃗ ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || || ⃗ || ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ || ⃗ ⃗ || || ⃗ ||
  3. 3. 3.20)Prove que: ⃗ (⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ )⃗ ⃗ ⃗ ⃗Resolução:Sejam: ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ | | ( )̂ ̂ ( )̂ ̂ ̂ ̂⃗ ⃗ | | ( )̂ ̂ ( )̂Temos então:Logo: ⃗ ⃗ ( ( ) )̂ ( )̂ ( )̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ̂ ̂ ( ) ̂ ( ) ̂Adicionando e subtraindo ̂ ̂ e ̂ a equação fica: ⃗ ⃗ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ( ) ̂ ⃗ ⃗ ( )( ̂ ̂ ̂ ) ( ) ̂ ̂ ̂ ⃗ ⃗ (⃗ ⃗ )⃗ (⃗ ⃗ )⃗
  4. 4. 3.22)Determine a distância do ponto P(4,5,-7) à reta que passa por Q(-3,6,12)e paralela ao vetor ⃗ ̂ ̂ ̂ . Calcule também a distância doponto P ao plano perpendicular a ⃗ que passa por Q.Resolução: ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂Seja um ponto sobre a reta, tal que: ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂Seja o triângulo com lado sobre a reta dada e área . Temos que: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗Seja a distância entre e a reta. Temos que: ⃗⃗⃗⃗⃗Igualando as duas equações temos que: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ ||⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ || ‖ ‖ ̂ ̂ ̂ √ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ √Logo: √Como o plano é perpendicular ao vetor ⃗ podemos escrever uma equação do plano daseguinte forma:Como pertence ao plano podemos substituir suas coordenadas na equação anterior eachar
  5. 5. Logo, uma equação do plano é:Então, usando a fórmula de distância de ponto temos: √ √3.29)Dados três vetores não coplanares ⃗ ⃗ e ⃗ , os vetores ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗São chamados de vetores recíprocos. Prove que e ondei e j assumem os valores 1, 2 e 3. Discuta a disposição geométrica dos vetoresrecíprocos ⃗ ⃗ ⃗ em relação a ⃗ ⃗ ⃗ .Resolução:Sejam: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂vetores não complanares.Da questão 3.19 temos queFazendo , onde α é um escalar, temos: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗LogoDo exercício 3.19, temos também que: | |.Temos, então: | |
  6. 6. Das propriedades de determinantes temos que se duas filas de uma matriz quadrada sãoiguais, então seu determinante é zero.Logo:Usando o mesmo processo provamos que , onde e assumem os valores 1,2e3e .Como , onde e assumem os valores 1, 2 e 3 e . Temos que éperpendicular a e , é perpendicular a e e é perpendicular a e .3.32)Prove que ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗Resolução:Sejam ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ ⃗Denominando: , um escalar, temos: [ ] [ ]Porém:Logo: [ ] [ ]
  7. 7. Logo:Como demostrado no exercício 3.29:Logo:

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