Matemática Administração

Universidade regional do noroeste do estado do rio grande do sul – unijuí
vice-reitoria de graduação – vrg
coordenadoria de educação a distância – CEaD
Coleção Educação a Distância
Série Livro-Texto
Ijuí, Rio Grande do Sul, Brasil
2009
Sonia Beatriz Teles Drews
Pedro Augusto Pereira Borges
matemática aplicada
à administração

 2009, Editora Unijuí
Rua do Comércio, 1364
98700-000 - Ijuí - RS - Brasil
Fone: (0__55) 3332-0217
Fax: (0__55) 3332-0216
E-mail: editora@unijui.edu.br
Http://www.editoraunijui.com.br
Editor: Gilmar Antonio Bedin
Editor-adjunto: Joel Corso
Capa: Elias Ricardo Schüssler
Revisão: Véra Fischer
Designer Educacional: Liane Dal Molin Wissmann
Responsabilidade Editorial, Gráfica e Administrativa:
Editora Unijuí da Universidade Regional do Noroeste
do Estado do Rio Grande do Sul (Unijuí; Ijuí, RS, Brasil)
Catalogação na Publicação:
Biblioteca Universitária Mario Osorio Marques – Unijuí
D776m Drews, Sonia Beatriz Teles.
Matemática aplicada à administração / Sônia Beatriz Teles
Drews, Pedro Augusto Pereira Borges. – Ijuí : Ed. Unijuí, 2009. –
182 p. – (Coleção educação a distância. Série livro-texto).
ISBN 978-85-7429-784-2
1. Matemática. 2. Administração financeira. 3. Matemática
comercial. 4. Matemática - Conceitos. I. Borges, Pedro Augusto
Pereira. II. Título. III. Série.
CDU : 51
51:658
658.15

Sumário
Conhecendo os Professores ...........................................................................................5
Unidade I – GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO ..............................................................9
Seção 1.1 – Grandezas................................................................................................................9
Seção 1.2 – Proporção...............................................................................................................18
Seção 1.3 – Regra-de-três.........................................................................................................29
Seção 1.4 – Porcentagem..........................................................................................................34
Seção 1.5 – Regra de sociedade................................................................................................39
Unidade 2 – FUNÇÕES ............................................................................................................43
Seção 2.1 – Intervalos e conjuntos numéricos.........................................................................44
Seção 2.2 – Definição, expressão matemática e gráfico de funções.......................................49
Seção 2.3 – Equação da reta.....................................................................................................55
Seção 2.4 – Funções quadráticas..............................................................................................70
Seção 2.5 – Funções exponenciais e logaritmos......................................................................79
Unidade 3 – TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADAS .............................................................99
Seção 3.1 – Taxa de variação de uma função.........................................................................100
Seção 3.2 – A derivada de uma função..................................................................................103
Seção 3.3 – Regras de derivação............................................................................................109
Seção 3.4 – Análise do crescimento de funções....................................................................118
Seção 3.5 – Pontos críticos e extremos locais de funções......................................................120
Seção 3.6 – Aplicações de derivadas......................................................................................128

Unidade 4 – MATRIZES E SISTEMAS LINEARES .............................................................137
Seção 4.1 – Noções de matrizes e organização de dados com matrizes..............................137
Seção 4.2 – Tipos de matrizes.................................................................................................141
Seção 4.3 – Operações com matrizes.....................................................................................143
Seção 4.4 – Sistemas lineares.................................................................................................148
Anexo 1 – GABARITO DAS QUESTÕES ...............................................................................159
Anexo 2 – COMO INSERIR UMA EQUAÇÃO ......................................................................179
Referências ..........................................................................................................................181

EaD
5
Matemática aplicada à administração
Conhecendo os Professores
SONIA BEATRIZ TELES DREWS
Sou natural da cidade de Cruz Alta/RS e desde 1958 resido na
cidade de Ijuí/RS. Cursei o primeiro e segundo grau-normal na cidade
onde nasci, possuo Bacharelado e Licenciatura em Pedagogia, ambas
cursadas na Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio
Grande do Sul – Unijuí –, que na época era a Fafi.
Durante toda minha carreira profissional sempre busquei ficar
atualizada, realizando especialização em Educação e Administração
Escolar, em Matemática e Estatística, e também Mestrado em Educação
nas Ciências com enfoque matemático na Unijuí.
Como profissional, a minha trajetória no ensino foi sempre com-
prometida com a aprendizagem dos alunos, atuando inicialmente no
ensino primário, secundário, médio e nos cursos de pré-vestibular.
Concomitantemente, atuei como professora universitária (Unijuí) desde
1968, como docente nos cursos de Matemática, Física, Economia, Admi-
nistração, Agronomia, entre outros, desenvolvendo também atividades
de ensino e extensão nas áreas de educação matemática, formação de
professores e programas voltados para o desenvolvimento regional com
enfoque no desenvolvimento profissional do professor.
Também durante minha caminhada profissional assumi cargos
administrativos. Fui secretária municipal de Educação/Ijuí, posterior-
mente assumi a Delegacia Regional de Educação – 36ª DE –, e na
universidade em que atuo mais de uma vez fui chefe de Departamento
(Defem) e coordenadora do curso de Matemática. Também desempe-
nhei as funções de chefe de gabinete da Reitoria e tive o privilégio de
iniciar a Coordenadoria de Apoio aos Estudantes Universitários da
Unijuí.

EaD
Sonia Beatriz Teles Drews – Pedro Augusto Pereira Borges
6
Pela minha atuação na academia, sou membro do corpo editorial
da Educação Matemática em Revista do RS. Durante esta minha tra-
jetória educacional recebi alguns prêmios e títulos honoríficos.
Minha maior satisfação é estar sempre em contato com os alunos
e fazer da sala de aula a razão da minha profissão.

EaD
7
PEDRO AUGUSTO PEREIRA BORGES
Entre os alunos e colegas sou mais conhecido como Pedro Bor-
ges. Nasci em Tenente Portela/RS e moro em Ijuí/RS desde 1969. Sou
casado e tenho duas filhas. Formei-me em Matemática pela Unijuí em
1983. Trabalhei bastante com o ensino de Matemática elementar desde
1980 nos ensinos Fundamental e Médio. Desde essa época o interesse
pelas aplicações da Matemática orientava minhas ações, tanto na área
da educação quanto no estudo da Matemática em si. A questão que
me preocupava era:
Para que serve a Matemática ensinada nas escolas?
Em 1984 ingressei no Mestrado em Educação na Unicamp – SP,
quando aprendi a importância de conhecer a história e os fundamentos
da educação matemática. A partir de 1989 passei a trabalhar somente
no ensino superior. As disciplinas de funções, cálculo diferencial e
integral, cálculo numérico e equações diferenciais ocuparam grande
parte do meu tempo, principalmente com relação as suas aplicações
nas Ciências, Engenharia e Economia. A questão que passou a me
preocupar era:
– Qual é a função da Matemática nos cursos em que ela é ensi-
nada como disciplina formadora básica?
Em 1997 concluí o Mestrado em Matemática na Unijuí, em que
não só entendi como a Matemática é usada nas Ciências, mas como ela
é empregada para resolver problemas reais (Modelagem Matemática).
Entusiasmado com o esclarecimento das questões de aplicação, fiz o
Doutorado em Engenharia Mecânica/UFRGS (1998-2002), durante o
qual tive a oportunidade de conhecer métodos matemáticos, que são
a base da ciência moderna.

EaD
8
Trabalho na Unijuí desde 1986 e atualmente dedico-me às ativi-
dades de ensino na Graduação e no Mestrado em Modelagem Mate-
mática. Neste Mestrado pesquiso aplicações de equações diferenciais
em problemas de transferência de calor e massa, tais como: secagem
de grãos, movimento da água no solo, irrigação e aquecimento/resfria-
mento de sólidos. Os problemas de economia e finanças também são
de meu interesse e este livro é um passo nessa direção.

EaD
9
GRANDEZAS: RAZÃO E PROPORÇÃO
Por meio do estudo dessa Unidade você terá condições de dominar a aplicação das pro-
priedades algébricas empregadas para resolver situações-problema da área de Administração e
que envolvam grandezas direta e inversamente proporcionais. Parece difícil? Não se preocupe,
porque vamos percorrer esse caminho juntos, passo a passo.
Para que possamos alcançar esses objetivos, as seções desta Unidade são:
Seção 1.1 Grandezas
Seção 1.2 Proporção
Seção 1.3 Regra de três
Seção 1.4 Porcentagem
Seção 1.5 Regra de Sociedade
Vamos dar o primeiro passo?
Seção 1.1
Grandezas
Uma grandeza é algo que podemos medir. Medir é comparar a quantidade de uma gran-
deza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe como unidade padrão.
Quando usamos uma régua para medir o comprimento de uma mesa estamos comparando uma
Unidade I

EaD
10
unidade de medida padrão (metro, centímetro...) com o tamanho da grandeza comprimento. Nesse
caso estamos interessados em saber quantos centímetros cabem no comprimento da mesa. Assim,
comprimentos, áreas e volumes são grandezas. O peso de uma mercadoria, o comprimento de
uma corda, o tempo de uma reunião, a massa corporal, a velocidade de um carro, o custo de uma
mercadoria, a produção, o trabalho, a matéria-prima, o preço, etc., são exemplos de grandezas.
A propriedade de uma grandeza é a sua capacidade de ser medida.
Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar, (lembre-se: o dinheiro
é uma grandeza especial: cada país tem suas próprias unidades).
1.1.1 Razão
Chama-se de razão entre dois números racionais a e b, com b # 0, ao quociente entre eles.
Indica-se a razão de a para b por
b
a
, a/b ou a: b, onde o primeiro termo chama-se antecedente
e o segundo chama-se conseqüente.
Exemplo 1.1.1: Estão matriculados na EaD da Unijuí 30 rapazes e 35 moças. Encon-
tre a razão entre o número de rapazes e o número de moças (lembre-se que razão é
divisão).
Solução:
35
30
simplificando temos
7
6
(dividimos por 5 os dois termos da razão)
7
6
(indica que para cada 6 rapazes existem 7 moças).
7
6
(lê-se 6 está para 7) e significa que para cada 6 corresponde 7.
Nessa razão, o 6 é o antecedente e o 7 o conseqüente.
Simples, não é?

EaD
11
Se a e b são dois números naturais (com b ≠ 0), chamamos de fração as expressões do tipo
b
a
, onde o número colocado acima do traço chama-se numerador e indica quantas partes do
inteiro foram tomadas e o número abaixo do traço chama-se denominador e indica em quantas
partes iguais o inteiro foi dividido.
As frações representam uma parte, ou algumas partes, de um todo que foi dividido em
partes iguais.
Fração
7
6
: lê-se 6 sétimos e significa 6 partes do total de 7.
Propriedades das Frações
Usaremos F1, F2, ..., para numerar as propriedades das frações:
F1 – Uma fração não se altera quando se multiplica seus dois termos pelo mesmo número dife-
rente de zero ou mesmo fazendo a divisão desta fração pelo mesmo divisor comum.
Exemplo 1.1.2: Vamos testar a propriedade F1:
5
3
=
65
63
⋅
⋅
=
30
18
Você deve observar que obtemos 0,6 fazendo a divisão tanto em
5
3
quanto em
30
18 .
O mesmo teste pode ser feito dividindo numerador e denominador pelo mesmo nú-
mero:
30
18 =
6:30
6:18 =
5
3
F2 – Multiplicando-se ou dividindo o numerador de uma fração por um número, a fração é mul-
tiplicada ou dividida por esse número.
Exemplo 1.1.3: Seja a fração
3
2
. Multiplicando o numerador por 4, temos:
3
42 ⋅
=
3
8
(multiplicada por 4). Ou seja,
3
8
é quatro vezes maior que
3
2
.

EaD
12
3
2:2
=
3
1
(dividida por 2). Ou seja,
3
1
é a metade de
3
2
.
F3 – Multiplicando-se ou dividindo-se o denominador de uma fração por um número, a fração
é dividida ou multiplicada por esse número.
Exemplo 1.1.4: Seja a fração
4
3
. Multiplicando o denominador por 2, temos:
24
3
⋅
=
8
3
(a fração ficou dividida por 2). Ou seja,
8
3
é a metade de
4
3
.
2:4
3
=
2
3
(a fração ficou multiplicada por 2). Ou seja,
2
3
é o dobro de
4
3
.
Agora que você já foi “apresentado” à Razão, conhecerá a sua parente, a Razão Inversa.
Vamos lá?
Razão Inversa
Duas razões são inversas quando:
1) o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente da outra e vice-versa; ou
2) o produto de uma razão pela outra for igual a 1.
Exemplo 1.1.5: As razões
10
5 e
5
10 são inversas, pois o antecedente da primeira é
igual ao conseqüente da segunda e vice-versa. Também podemos ver que são razões
inversas por que
10
5 .
5
10 = =
50
50 1.
Você deve estar se perguntando, há algum tempo:
– Mas... E daí? Por que estudar grandezas, a Razão é importante? Siga adiante e você vai
compreender.

EaD
13
1.1.2 – Aplicações de razão
ESCALA
Você já ouviu falar em escala?
Os desenhos de casas e mapas são feitos usando escalas. A escala é uma razão entre a
medida no desenho e a medida do objeto real.
realmedida
desenhonomedida
Escala =
Exemplo 1.1.6: A distância entre as cidades A e B é de aproximadamente 800 km e o
mapa que mostra esta distância corresponde a 2,5 cm. Qual a escala utilizada?
(lembre-se que na escala as medidas devem estar na mesma unidade).
Solução: Usando a definição de escala anterior temos:
E=
km
cm
800
5,2
=
cm
cm
000.000.80
5,2
Aplicando a propriedade F1 das frações, dividimos antecedente e conseqüente por
2,5 e obtemos:
E=
cm
cm
000.000.32
1 . Escrevendo na forma de razão, temos:
E = 1: 32.000.000 (lê-se 1 para 32.000.000)
Exemplo 1.1.7: Uma maquete de um edifício foi feita na escala de 1:100.
A altura real do edifício é de 10 m. Qual é a altura aproximada do edifício na ma-
quete?
Solução: A razão das grandezas da escala (
100
1
) é igual à razão entre as alturas do
edifício na maquete (D) e na construção real (10 m). Assim,

EaD
14
100
1
=
m
D
10
Empregando a propriedade F1, multiplicamos o numerador e o denominador da
segunda razão por 10 e obtemos duas razões com denominadores iguais.
100
1
=
100
D10
1010
10D
=
⋅
⋅
Se os denominadores são iguais, então os numeradores também serão iguais. Por-
tanto:
10⋅D = 1
D = 0,10m.
Agora que você conheceu (e entendeu) a primeira aplicação para a razão, vamos passar
para outra aplicação: Velocidade.
VELOCIDADE
A velocidade (V) de um objeto qualquer, se deslocando em uma trajetória, é a razão entre
a distância percorrida e o tempo.
(h)tempo
(km)distância
V =
(Observe que neste caso as unidades das grandezas são diferentes).
Exemplo 1.1.8:
150km/2h = 75km/h (as unidades km/h não podem ser simplificadas)
TAXA
As taxas são razões entre duas grandezas. Estas taxas podem ser relacionadas a conjuntos de
100, 1000,... unidades das grandezas envolvidas. Em outras palavras, multiplicadas por 100, 1000,...
Dois exemplos desse tipo de taxa são a taxa de crescimento populacional e a taxa de juros.

EaD
15
Exemplo 1.1.9: A taxa de variação (crescimento ou decrescimento) da população de
uma cidade, em um certo período, é uma razão entre a variação do número de habi-
tantes (∆P, delta P), pelo número de habitantes que moravam na cidade no início do
período considerado. Uma cidade tinha 80.000 habitantes no fim de 2007 e 86.000
habitantes no fim de 2008. Qual é a taxa de crescimento da população desta cidade,
no período considerado?
Solução: A variação do número de habitantes é ∆P=86.000-80.000=6.000. A taxa de
crescimento é
075,0
80000
6000
P
P
t ==
∆
=
Isto significa que a população aumentou 0,075 habitante para cada habitante residen-
te em 2007. Esta taxa é mais útil quando associada à população de 100 habitantes.
Multiplicando a taxa por 100, temos:
t = 7,5 para cada 100 habitantes residentes em 2007. Isso, porém, não é tudo. Se você
percebeu a importância de entender esse conteúdo, veja uma outra aplicação...
TAXA DE JUROS
A taxa de juros de um capital aplicado, em um certo período, é uma razão entre a varia-
ção do capital (∆C, delta C), pelo capital aplicado (C), multiplicada por 100. Ficou interessado?
Aguarde, pois estudaremos este tipo de taxa mais adiante. Agora ainda é preciso apresentar
você aos “Índices”!
1.1.3 – Índices
São obtidos por meio da comparação entre duas grandezas independentes. Ou, em outras
palavras: índices são razões entre duas grandezas independentes. Veja alguns exemplos:

EaD
16
totalsuperfície
totalpopulação
ademográficDensidade =
nonacional/apopulação
nonacional/arenda
capitaperRenda =
Além dessas aplicações, muito utilizadas quando se trata de censo, por exemplo, também
temos uma outra aplicação muito conhecida, que são os índices econômicos.
ÍNDICES ECONÔMICOS
população
produtodototalvalor
capitaperProdução =
Onde o “valor total do produto” é o PIB (Produto Interno Bruto).
população
paísumdebensdetotalconsumo
capitaperConsumo =
população
totalreceita
capitaperReceita =
Percebeu como é importante o estudo dos índices? Ainda precisamos, no entanto, citar os
coeficientes. Veja por que na seqüência.
COEFICIENTES
São razões entre o número de ocorrências e o número total.
totalpopulação
snascimentoden
natalidadedeeCoeficient
o
=
totalpopulação
óbitosden
emortalidaddeeCoeficient
o
=

EaD
17
Não são poucas as vezes em que ouvimos falar sobre esses dois coeficientes, não é mesmo?
A seguir você terá exemplo comentado de como calcular uma razão, porém o que vimos até aqui
servirá de subsídio para você resolver alguns exercícios que propomos no intuito de que tenha
segurança de que aprendeu o que acabamos de ver.
Exemplo 1.1.10 – Determine a razão que é igual a
5
3
e cujo antecedente seja igual
a 9.
Solução: Das condições do problema podemos afirmar que
5
3
=
x
9
. Observe que se
multiplicarmos o antecedente por 3, obtemos o antecedente 9. Usando a propriedade
das frações F1, multiplicamos também por 3 o conseqüente e obtemos x= 15. Então
a nova razão é 9/15.
Exercícios 1.1.
1. Calcular as razões de:
a) 5 e 15 d)
2
7
e
3
14
b) 64 e 4 e) 1,2 e
5
4
c)
3
2
e 6 f) 3,5 m e 0,7 dam
2. Determinar o antecedente e/ou conseqüente das seguintes razões, sabendo que:
a) o conseqüente é 10 e a razão é
5
3
;
b) o antecedente é
3
2
e a razão é
14
12

EaD
18
3. A miniatura de um colégio foi feita na escala de 1 : 100, a altura real do colégio é de 20 m.
Qual a altura aproximada da miniatura?
4. Um copo de suco corresponde a 250 ml. Um bar fez suco para 48 copos. Quantos litros de
suco foram feitos?
Se você realizou todos os cálculos, poderá conferir se as respostas estão corretos no final
deste livro, mas não engane a si mesmo. Só depois de ter se esforçado para responder e achar o
resultado é que você deve CONFERIR se está correto.
Lembre-se: enganar a si mesmo é uma grande bobagem e dominar esses conteúdos
básicos é essencial para o seu progresso!
Após esta “combinação”, passaremos para o estudo da segunda seção desta Unidade:
Proporção!
Seção 1.2
Proporção
Uma proporção é a igualdade entre razões
b
a
=
d
c
Os números que formam a proporção chamam-se, em geral, termos. O primeiro (a) e o
quarto (d) chamam-se de extremos, o segundo (b) e o terceiro (c), meios.
Exemplo: =
4
12
2
6
formam uma proporção.
Essa proporção também pode ser escrita da seguinte forma: 12:4::6:2, e lê-se 12 está para
4, assim como 6 está para 2.

EaD
19
Assim como as frações, as proporções também têm propriedades, as quais apresentaremos
para você e, da mesma forma, também utilizaremos PP1, PP2 para numerá-las.
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Propriedade fundamental: em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto
dos meios.
Na proporção
d
c
b
a
= , multiplicando os extremos e os meios, obtemos a igualdade ad = bc.

PP1) Em toda proporção, a soma ou diferença dos dois primeiros termos está para o primeiro
(ou para o segundo), assim como a soma ou diferença dos dois últimos está para o terceiro
(ou quarto).
No exemplo anterior:
=
4
12 =
2
6
=
±
12
412
6
26 ± ou =
±
4
412
2
26 ±
PP2) Em uma proporção, a soma do primeiro com o terceiro (a+c) está para a soma do segundo
com o quarto termo (b+d), assim como o terceiro está para o quarto.
Seja a proporção
d
c
b
a
= . Usando a PP2, temos
b
a
d
c
db
ca
==
+
+
Deixamos para você substituir as letras por números e verificar se esta propriedade é cor-
reta!
PP3) Em uma proporção, a troca de posições entre o primeiro e o quarto termos não altera a
proporção. O mesmo ocorre para a troca entre o segundo e o terceiro.

EaD
20
Seja a proporção
d
c
b
a
= . Usando a PP3, temos
d
b
c
a
a
c
b
d
== ou .
Exemplo 1.2.1 – Taxa percentual
Chama-se taxa percentual ou porcentagem de um número “a” sobre o número “b”,
com b # 0, à razão:
100
x
tal que
100
x
=
b
a
(indica-se
100
x
por x%)
Você deve lembrar que o símbolo % lê-se “por cento” e significa centésimos.
Qual é a taxa percentual de 6 sobre 30?
Solução:
Sendo x % a taxa percentual, temos pela definição que:
100
x
=
30
6 Usando a propriedade fundamental, temos:
x =
30
6100 ⋅ = 20. Então, a taxa percentual é 20%.
Além de princípio fundamental e dos outros três apresentados até aqui, também temos
o princípio de igualdade que, por sua vez, também se subdivide em outros dois princípios, o
aditivo e o multiplicativo.
Princípios de Equivalência de Igualdade
IGUALDADE – é uma sentença matemática em que as expressões matemáticas estão li-
gadas pelo sinal =.
A expressão situada à esquerda do sinal = é denominada 1º membro da igualdade.
A expressão situada à direita do sinal = é denominada 2º membro da igualdade.

EaD
21
Assim, vale lembrar que as equações são igualdades. A solução de uma equação consiste
em obter o valor da incógnita (neste caso nos referimos à incógnita da equação, que não sabemos
qual é) usando os “princípios da igualdade”, expostos a seguir.
Os princípios da igualdade são:
1) Princípio aditivo: em uma igualdade, podemos adicionar um mesmo número aos dois mem-
bros e a igualdade permanece.
Exemplo 1.2.2 – resolver a equação:
x + 10 = – 5
Solução: Aplicando o princípio aditivo: adicionamos (-10) a ambos os membros da
equação, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
x + 10 + (-10) = -5 + (-10)
Simplificando a equação equivalente, obtemos
x = -15.
2) Princípio multiplicativo: em uma igualdade, podemos multiplicar ou dividir os dois membros
por um mesmo número não nulo, e a igualdade permanece.
Exemplo 1.2.3 – resolver as equações:
a) 5x = 25 b) -3x = 9
Solução:
a) Ainda usando o princípio multiplicativo, multiplicamos ambos os lados da equação
dada por 1/5, com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
5x .
5
1
= 25 .
5
1

EaD
22
5
5x
=
5
25
x = 5.
b) Ainda usando o princípio multiplicativo, dividimos ambos os lados da equação
dada por (-3), com o objetivo de ficar somente com o x do lado esquerdo.
3
3
−
− x
=
3
9
−
x = -3
Exemplo 1.2.4 – determinar a e b na proporção
6
a
=
3
b
, sabendo-se que a sua soma
é 21.
Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos
36
ba
+
+
=
3
b
Usando a condição do problema: a + b = 21, temos
9
21=
6
a
=
3
b
Usando a primeira igualdade, temos
9
21=
6
a
Aplicando a propriedade fundamental das proporções em cada uma das igualdades,
temos:
Na primeira igualdade: Na segunda igualdade:
21 · 6 =9 · a 21 x 3 = 9 x b
126 = 9 a 63= 9b

EaD
23
9
126
=a
9
63 = 9b
a=14 b = 7
Exemplo 1.2.5 – Dadas as razões
2
x
=
5
y
=
8
z
encontre o valor de x, y e z, sabendo-
se que x+y+z =150.
Solução: Aplicando a propriedade PP2 das proporções, temos:
852 ++
++ Zyx
=
2
x
=
5
y
=
8
z
.
Usando a condição do problema, temos
15
150 =
2
x
;
15
150 =
5
y
;
15
150 =
8
z
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
150.2 = 15.x 150.5 = 15y 150.8 = 15z
300 = 15x 750 = 15y 1200 = 15z
15
300 = x
15
750 = y
15
1200 = z
X=20 y= 50 z= 80
Exemplo 1.2.6 – Dadas as razões =
2
x
=
5
y
8
z
calcule o valor de x, y e z sabendo-se
que 5x+2y+3z=440.
Solução: Como precisamos de 5x, 2y e 3z para empregarmos o valor de sua soma,
isto é, 440, usando a propriedade F1 das frações, multiplicaremos os termos da
primeira razão por 5, os da segunda por 2 e os da terceira por 3. Teremos então:
=
10
5x
=
10
2y
24
3z

EaD
24
Aplicando a propriedade PP2 das proporções:
=
++
++
241010
325 zyx
=
10
5x
=
10
2y
24
3z
Substituindo o numerador da 1ª igualdade, temos
=
44
440
2
x
=
44
440
5
Y
=
44
440
8
Z
Usando a propriedade fundamental das proporções, nas três equações anteriores,
obtemos:
x = 20 ; y = 50 e z = 80.
Chegou a vez de testar os seus conhecimentos!
Exercícios 1.2.1
1. Escreva sob a forma de número decimal as seguintes porcentagens:
a) 12% b) 140%
2. Calcule:
a) 30% de 270 b) 0,7% de 4.900
3. Calcule 20% de 50% (lembre-se: escrever 20% de 50% significa 20% ⋅ 50%).

EaD
25
Considerando que você já fez todos os exercícios, ainda queremos retomar o tema da seção
1.1 que trata de grandezas e pensá-las com base nas proporções, tema desta seção 1.2.
Grandezas diretamente proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra
também aumenta na mesma proporção, ou diminuindo uma delas, a outra também diminui na
mesma proporção.
Se duas grandezas a e b são diretamente proporcionais, então os números que expressam
essas grandezas variam na mesma razão, isto é
b
a
=k , onde k é um número chamado constante de proporcionalidade.
Exemplo 1.2.7 – Os números 3, 4 e 6, respectivamente, são diretamente proporcionais
a 12,16, 24. Qual é a constante de proporcionalidade ?
Solução: Se os números dados são diretamente proporcionais, significa que a razão
entre eles é a mesma.
12
3
=
16
4
=
24
6
Usando a propriedade F1 das frações é fácil mostrar que podemos reduzir todas
essas razões a ¼.
Assim, k =
4
1
é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 1.2.8 – A soma das idades de Carlos e Jair é 36 anos. Sabe-se que elas estão
na razão de 2 para 10. Qual a idade de cada um?
Solução: O dado do problema indica que C+J = 36. Fazendo a proporção sugerida
no problema, temos

EaD
26
J
C
=
10
2
Observe que
J
C
=
10
2 pode ser escrito
2
C
=
10
J aplicando a propriedade PP3 das
proporções. Usando a propriedade PP2, temos:
102 +
+ JC
=
12
36
=
2
C
=
10
J
Usando a propriedade fundamental das proporções, na segunda igualdade, obte-
mos
C=6.
Usando a propriedade fundamental das proporções, na proporção entre a segunda
e a terceira razão, obtemos
J=30.
Carlos tem 6 anos e Jair 30 anos.
Atenção: Uma maneira de conferirmos se as respostas estão corretas é verificar se o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos, substituindo os valores de C e J na pro-
porção do problema.
30
6
=
10
2
Observe que 6 • 10 = 30 • 2.
Exemplo 1.2.9 – Dividir o número 55 em partes diretamente proporcionais a 2, 3
e 6.
Solução: Do problema, podemos concluir que
a+b+c=55 e
2
a
=
3
b
=
6
c
.
Usando a propriedade PP2 e a equação do problema, temos:

EaD
27
632 ++
++ cba
=
11
55 =
2
a
=
3
b
=
6
c
Da segunda proporção, temos:
11
55 =
2
a
e usando a propriedade fundamental, temos; a = 10.
Da igualdade da 2ª e 4ª razão, temos:
11
55 =
3
b
e usando a propriedade fundamental, temos; b = 15.
Da igualdade da 2ª e 5ª razão, temos:
11
55 =
6
c
e usando a propriedade fundamental, temos; c = 30.
Verificação:
2
10
=
3
15
=
6
30 (todos os quocientes são igual a 5 )
Grandezas inversamente proporcionais:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra di-
minui na mesma proporção, ou, diminuindo uma delas, a outra aumenta na mesma proporção.
Se duas grandezas a e b são inversamente proporcionais, os números que expressam essas
grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma constante k, tal que
a · b = k.
Exemplo 1.2.10 – Os números 2, 4, 5 são inversamente proporcionais a 20, 10 e 8.
Qual é a constante de proporcionalidade k?

EaD
28
Solução: você deve observar que a seqüência de números 2, 4, 5 é crescente e a se-
qüência de números 20, 10 e 8 é decrescente. Se os números dados são inversamente
proporcionais, então as razões entre eles são iguais.
20
2
=
10
4
=
8
5
.
A constante de proporcionalidade é 40. Observe que
2 • 20 = 40, 4 • 10 = 40 e 5 • 8 = 40.
Exemplo 1.2.11 – Dividir o número 174 em partes inversamente proporcionais aos
números 3, 5 e 9.
Solução: Sejam x, y e z essas partes, então x+y+z = 174 e
3/1
x
=
5/1
y
=
9/1
z
Usando a PP2 e a equação do problema, temos:
3/1
x
=
5/1
y
=
9/1
z
=
9/15/13/1 ++
++ zyx
=
45/29
174
(Lembre-se: adição de frações +
3
1
+
5
1
9
1
=
45
5915 ++
=
45
29 ).
A última razão pode ser escrita da seguinte forma:
29
45174 ⋅
=
29
7830
= 270
Construindo proporções com a 1ª , 2ª , 3ª e 5ª razão e resolvendo-as para x, y e z,
obtemos:
x= 90 ; y= 54 e z=30.

EaD
29
Para que você possa perceber a aplicação do que estudamos, apresentamos um problema
que envolve operações com proporções inversas.
Exemplo 1.2.12 – Dividir entre três alunos 31 livros em partes inversamente propor-
cionais aos erros que tiveram na prova de Matemática Financeira. O aluno A teve 2
erros, o aluno B , 3 erros e o aluno C, 5 erros.
Solução: Os valores 2, 3 e 5 precisam ser representados em forma inversa aos seus
valores, ou seja :
O inverso de 2 é ½, de 3 é 1/3 e de 5 é 1/5.
Considerando a, b e c o número de livros recebidos por cada aluno, temos:
a + b + c = 31 e
5/1
c
3/1
b
2/1
a
==
Usando a PP2, temos:
5/1
c
3/1
b
2/1
a
1
30
30/31
31
5/13/12/1
cba
=====
++
++
Aplicando a propriedade fundamental das proporções formadas pelas razões 3ª e 4ª,
3ª e 5ª e 3ª e 6ª, obtemos, respectivamente:
a = 15; b = 10 e c = 6.
Note que à medida que você avança no estudo desta unidade, mais você precisa do que
estudou no princípio dela. Dessa forma, não siga adiante se tem dúvidas. Leia o material nova-
mente, refaça os cálculos e, somente depois, siga adiante!
Seção 1.3
Regra-de-três
Quando se pretende calcular uma quantidade desconhecida, direta ou inversamente pro-
porcional às demais quantidades conhecidas, tem-se um problema de regra-de-três.

EaD
30
Regra-de-três simples:
A regra-de-três simples é direta ou inversa. É direta quando, crescendo os termos principais,
seus relativos também crescem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos
também diminuem.
Exemplo 1.3.1 – Um operário levou 18 dias para construir um muro de 126 metros.
Quantos dias levará para fazer outro muro igual com 252 metros?
Solução: As quantidades 126 e 252 metros são as principais, 18 é o número de dias
que pretendemos calcular, são os relativos.
Se um operário levou 18 dias para fazer 126 metros de um muro, levará mais dias
para fazer outro de 252 metros.
Trata-se de uma regra-de-três simples e direta.
Metros Dias
126 18
252 x
Escrevendo em forma de proporção: =
252
126
x
18
Aplicando a propriedade fundamental das proporções:
126 ⋅ x = 252 ⋅ 18
x =
126
18252 ⋅
x = 36 dias.
A regra-de-três é inversa quando, crescendo os termos principais, os seus relativos dimi-
nuem, ou quando diminuindo os termos principais, os seus relativos crescem.

EaD
31
Exemplo 1.3.2 – 15 operários levam 8 dias para realizar um determinado trabalho.
Quantos dias levarão 5 operários para a conclusão do mesmo serviço?
Solução: Colocando na forma da regra-de-três, temos:
Operários Dias
15 8
5 x
O número de operários, porém, é inversamente proporcional ao número de dias: di-
minuindo o número de operários, aumenta o número de dias. Para usar a propriedade
fundamental das proporções, precisamos inverter a segunda razão:
=
5
15
8
x
Usando a propriedade fundamental, temos
5x = 8 · 15
x =
5
158 ⋅
x = 24 dias.
Lembre-se: a solução de um problema de regra-de-três simples, direta ou inversa,
resume-se em calcular o quarto termo de uma proporção.
Regra-de-três composta:
é aquela que para resolução de seus problemas envolve três ou mais grandezas, sendo
estas diretas ou inversamente proporcionais.
Para resolvê-los:
a) Escreve-se numa mesma coluna a grandeza de mesma espécie.

EaD
32
b) Identifica-se as grandezas direta ou inversamente proporcionais.
c) Escreve-se a proporção correspondente e resolve-se.
Exemplo 1.3.3 – Se 30 pedreiros fazem 528 m de parede em 40 dias, quantos metros
de parede farão 50 pedreiros em 45 dias?
Solução:
Disposição dos dados:
30 pedreiros em 40 dias fazem 528 metros.
50 pedreiros em 45 dias fazem x metros.
Observe que quanto mais pedreiros, mais metros de parede serão feitos. Da mesma
forma, quanto mais tempo, mais metros de parede serão feitos. Assim sendo, as duas
primeiras grandezas são diretamente proporcionais à terceira.
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos:
x
528
2250
120
4550
4030
==
⋅
⋅
Aplicando a propriedade fundamental na regra-de-três simples, temos:
x = 990 m.
Exemplo 1.3.4 – Se 12 pedreiros fizeram certa obra em 26 dias, trabalhando 12 horas
por dia, quer-se saber em quantos dias 8 pedreiros farão a mesma obra, trabalhando
13 horas por dia.
Solução:
Disposição dos dados:

EaD
33
12 pedreiros a 12 horas gastam 26 dias.
8 pedreiros a 13 horas gastam x dias.
Observe que quanto MAIS pedreiros, MENOS dias serão necessários. Da mesma
forma, quanto MAIS horas por dia trabalharem, MENOS dias serão necessários.
Então, as duas primeiras grandezas são inversamente proporcionais à terceira.
Reduzindo o problema a uma regra-de-três simples, fazemos:
x
26
104
144
138
1212
==
⋅
⋅
Invertendo a posição da última razão, temos
26
x
104
144
=
Usando a propriedade fundamental das proporções, temos:
x=
104
26144 ⋅ = 36 dias.
Exercícios 1.3.
1) Uma fábrica de roupas produz 100 camisas em 1 hora de trabalho. Quantas camisas a fábrica
produzirá em 3 horas?
2) Quinze operários constroem uma casa em 120 dias. Caso a obra fosse construída com mais
5 operários, qual seria o tempo necessário?
3) Um certo trabalho é feito por 50 homens, trabalhando 14 horas por dia, em 60 dias. Quantos
homens seriam necessários para fazer o mesmo trabalho, em 100 dias, trabalhando 12 horas
por dia?
4) Durante 10 dias um automóvel percorre 800 km andando 8 horas por dia. Quantos quilôme-
tros percorreria se, com o dobro da velocidade, andasse 10 horas por dia, durante 6 dias?

EaD
34
5) Para construir 25 armazéns de soja são necessários 60 homens, trabalhando 10 horas por dia.
Se 14 homens são dispensados, quantos armazéns farão trabalhando 12 horas por dia?
Concluída a seção 1.3, estamos prontos para iniciar a penúltima seção desta Unidade, a
seção 1.4.
Seção 1.4
Porcentagem
Definição : Chama-se percentagem ou taxa percentual de um número a razão de a sobre
um número b, desde que 0b ≠ , tal que
b
a
100
x
=
Em outras palavras, a porcentagem é uma razão cujo conseqüente é igual a 100.
Quando nos referimos a 20% de certo valor, queremos dizer que de cada 100 partes, estamos
nos referindo a 20 partes deste valor.
Um modo prático de calcular porcentagens é usar a multiplicação pelas razões percentuais.
Veja o exemplo.
Exemplo 1.4.1 – Calcule 10% de 800.
Solução: Multiplicamos o inteiro (800) pela razão porcentual
100
10 .
100
10
800 ⋅ = 80.
Atenção: você também poderá se deparar com outros nomes usados para a razão per-
centual que podem ser: razão centesimal ou percentil.

EaD
35
Taxa percentual
Temos uma taxa percentual ou taxa centesimal quando o conseqüente 100 for substituído
pelo símbolo %.
Exemplo: 10%
100
10
=
Porcentagem
Seja uma razão
n
m
, chamamos de porcentagem o valor n a todo valor m, desde que este
estabeleça uma proporção com uma razão centesimal.
=
n
m
100
r
= x %
Como podemos resolver?
1º. Multiplica-se a razão centesimal por n:
100
r
nm ⋅=
2º. Por regra-de-três:
Valores Taxas
m r %
n 100 %
Porcentagem sobre o custo
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria,
Com lucro, o custo é 100% e a venda representa o custo mais o lucro.
V = C + L

EaD
36
Exemplo 1.4.2 – Comprei certa mercadoria por R$ 5.000,00 e quero vender com um
lucro de 50%. Qual é o valor da venda?
Solução: Usando a equação anterior, temos:
V= 100% + 50%
Construindo uma regra-de-três
5.000,00 100%
V 150%
Venda =
100
15000,000.5 ⋅
Venda = R$ 7.500,00
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de custo da mercadoria,
Com prejuízo, o custo é 100% e a venda representa o custo menos o prejuízo.
V = C – P
Exemplo 1.4.3 – Comprei certa mercadoria por R$ 2.000,00 e depois a vendi com um
prejuízo de 10%. Qual é o valor da venda?
V = 100% – 10% .
Construindo uma regra-de-três:
2.000,00 100%
V 90%
Venda = R$ 1.800,00.

EaD
37
Porcentagem sobre o preço de venda
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria, com lucro, a
venda é 100% e o custo representa a venda menos o lucro.
(Como o valor da venda é maior, então a venda representa 100% e o custo menos que
100%)
C = V – L
Exemplo 1.4.4 – Comprei certa mercadoria por R$ 3.000,00 e quero vendê-Ia com
um lucro de 20% sobre preço de venda. Qual o valor da venda?
C = 100 – 20 = 80%
3.000,00 80%
V 100%
V = $ 3.750,00.
Quando a porcentagem é calculada sobre o preço de venda da mercadoria,
Com prejuízo, a venda é 100% e o custo representa a venda mais o prejuízo.
(Como o valor da venda é menor por ser vendida com prejuízo, então: a venda representa
100% e o custo mais que 100%)
C = V + P
Exemplo 1.4.5 – Comprei certa mercadoria por R$ 4.000,00 e ela foi vendida com um
prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Qual o valor da venda?

EaD
38
C = 100 + 20 = 120%
4.000,00 120%
V 100%
Venda = R$ 3.333,33.
Exercício 1.4
1) Certa mercadoria foi vendida por R$ 5.300,00 com um lucro de 18%. Qual o preço de custo
desta mercadoria?
2) Uma pessoa vendeu uma mercadoria que havia custado R$ 1.500,00 com um lucro de 10%
sobre o preço de venda. Qual o valor da venda desta mercadoria?
3) Um produto é vendido com um lucro bruto de 40%. Sabe-se que sobre o preço vendido, ou
seja, sobre o valor da nota, 21% correspondem a despesas. Sendo assim qual é o lucro líquido
que o comerciante obtém ao vender esta mercadoria?
4) O Sr. João Maria comprou uma mercadoria por R$ 650,00; 2 meses após a compra vendeu
esta mesma mercadoria por R$ 505,00. Qual o percentual do prejuízo que o Sr. João Maria
teve se for tomado por base o preço de venda?
5) O prejuízo na venda de uma mercadoria é 15% sobre o preço de custo, se esta mercadoria foi
vendida por R$ 320,00. Determine o valor do prejuízo e o preço de custo desta mercadoria.
Chegamos à última seção desta Unidade, e você verá que como em todas as outras, ela
tratará de questões do dia-a-dia, principalmente para aqueles que, como você, se preparam para
integrar uma empresa.

EaD
39
Seção 1.5
Regra de sociedade
Os problemas de divisão proporcional, numa empresa, que envolvem a divisão dos lucros,
prejuízos, gratificações, participações de lucros e bonificações, em geral recebem o nome de
regra de sociedade.
Regra de sociedade, portanto, é uma aplicação da divisão em partes diretamente propor-
cionais.
Podemos destacar três casos:
1º) Tempos iguais e capitais diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade pro-
porcionalmente aos capitais dos sócios.
Exemplo 1.5.1 – Três pessoas constituem uma sociedade com os capitais de R$
5.000,00, R$ 50.000,00 e R$ 35.000,00 respectivamente.
No fim de certo tempo a sociedade apresentou um lucro de R$ 220.000,00. Quanto
coube a cada sócio?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que
A+B+C= 220.000,00 e =
000.25
A
=
000.50
B
000.35
C
=
000.25
A
=
000.50
B
000.35
C =
000.35000.50000.25 ++
++ CBA = =
000.110
000.220
2
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas igualdades construídas
com a 1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos:

EaD
40
A = 25.000 X 2 = 50.000
B = 50.000 X 2 = 100.000
C = 35.000 X 2 = 70.000
Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 50.000,00; R$ 100.000,00; R$ 70.000,00.
2º) Capitais iguais e tempos diferentes: divide-se o lucro ou o prejuízo da sociedade
proporcionalmente aos tempos de permanência dos sócios.
Exemplo 1.5.2 – Três pessoas formam uma sociedade, permanecendo o primeiro sócio
durante 6 meses, o segundo 10 meses e o terceiro 12 meses. Quanto ganhou cada
um, se a sociedade teve um lucro de R$ 8.400,00?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá. Sabemos que
A + B + C = 8.400 e, além disso, =
6
A
=
10
B
12
C
.
=
6
A
=
10
B
12
C
=
12106 ++
++ CBA
= =
28
8400 300
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas
com a 1ª e 6ª , 2ª e 6ª e 3ª e 6ª razão, respectivamente, obtemos:
A = 6.300 = 1.800
B = 10.300 = 3.000
C = 12.300 = 3.600
Cada sócio recebeu, respectivamente, R$ 1.800,00; R$ 3.000,00; R$ 3.600,00.

EaD
41
3º) Tempos diferentes e capitais diferentes: divide-se o lucro ou prejuízo da sociedade
proporcionalmente aos produtos do tempo pelo capital respectivo de cada sócio.
Exemplo 1.5.3 – Constituiu-se uma sociedade formada por três sócios, 1º, 2º e 3º: o 1º
entrou com um capital de R$ 60.000,00 e nela permaneceu por 30 meses, o 2º entrou
com um capital de R$ 70.000,00 e nela permaneceu por 40 meses e o 3º entrou com
um capital de R$ 50.000,00 e nela permaneceu por 35 meses. Se o resultado (que
pode se um lucro ou um prejuízo) da empresa, após certo período posterior, foi de
R$ 50.000,00, quanto deverá receber (ou pagar) cada sócio?
Solução: Sejam A, B e C as partes que cada sócio receberá, correspondentes ao 1º ,
2º e 3º sócios, respectivamente. O produto capital por tempo de cada sócio é:
1º = 60.000 ⋅ 30 = 1.800.000
2º = 70.000 ⋅ 40 = 2.800.000
3º = 50.000 ⋅ 35 = 1.750.000
Sabemos que
A + B + C = 50.000 e que =
000.800.1
A
=
000.800.2
B
000.750.1
C
=
000.800.1
A
=
000.800.2
B
000.750.1
C
= =
++
000.350.6
CBA
=
000.350.6
000.50 =
635
5
127
1
Aplicando a propriedade fundamental das proporções nas proporções construídas
com a 1ª e 7ª , 2ª e 7ª e 3ª e 7ª razão, respectivamente, obtemos as partes A, B e C.
A=
127
1
(1.800.000) = =
127
000.800.1
14.173.228
B=
127
1
(2.800.000) = =
127
000.800.2
22.047.244

EaD
42
C=
127
1
(1.750.000) = =
127
000.750.1
13.779.527
Atenção: Como já comentamos anteriormente, esta Unidade é fundamental e dá sustentação
a várias outras operações que você executará ao longo de todo o curso.
Assim sendo, somente siga adiante depois de ter certeza de que domina os conceitos apre-
sentados aqui: grandezas, proporção, regra-de-três, porcentagem e regra de sociedade!

EaD
43
FUNÇÕES
Nesta segunda Unidade nossos objetivos são:
1. Desenvolver o conceito de função associado a assuntos simples do cotidiano e a conceitos da
economia.
2. Desenvolver a prática do uso da notação de intervalos e função.
3. Analisar funções relacionando os parâmetros com o significado gráfico.
4. Aplicar o conceito e as propriedades das funções para resolver problemas simples de interesse
da Economia e Administração.
E, para que possamos alcançar os objetivos a que nos propusemos, faremos o seguinte
percurso:
Seção 2.1 – Intervalos e conjuntos numéricos
Seção 2.2 – Definição, expressão matemática e gráfico de funções
Seção 2.3 – Equação da reta
Seção 2.4 – Funções quadráticas
Seção 2.5 – Funções exponenciais e logaritmos
Antes de passar para a primeira seção, salientamos que nesta Unidade vamos estudar as
funções matemáticas mais utilizadas nas áreas da Administração e Economia. Vamos aprender
a expressar matematicamente uma série de situações econômicas, como o custo de produtos,
valor do montante em investimentos de diferentes tipos, funções de procura e demanda, cálculo
da prestação de financiamentos, além de outras situações.
Unidade 2

EaD
44
Seção 2.1
Intervalos e conjuntos numéricos
As variáveis utilizadas em aplicações da Matemática na Administração podem ser discre-
tas ou contínuas. O número de funcionários de uma empresa, de carros, de pizzas, de sapatos,
de casas, ..., produzidos ou vendidos, são variáveis inteiras, que chamamos discretas. Não tra-
balhamos com meio funcionário, ou meio carro. O tempo, os valores monetários, o número de
toneladas (massa) de arroz, soja, feijão, ... são variáveis fracionárias que chamamos contínuas.
Trabalhamos com meia hora, com meio dólar, etc. Para entendermos as expressões matemáticas
dessas variáveis com clareza e precisão, precisamos conhecer os símbolos usados e as defini-
ções dos conjuntos numéricos. Eles podem ser números a) naturais, b) inteiros, c) racionais, d)
irracionais e e) reais!
Conjunto dos Números Naturais (N)
Os números naturais estão associados à quantificação de objetos simples: 1 lápis, 5 maçãs,
12 parafusos, etc. São números inteiros, sem sinais. Matematicamente, podemos escrever os
números naturais da seguinte forma:
N={0,1,2,3,4,5,6,...}
Onde N é a letra associada ao nome do conjunto dos números naturais.
O conjunto dos números naturais é infinito e é representado uma reta numerada da se-
guinte forma:
Os intervalos no conjunto dos números naturais são escritos usando os símbolos
> maior
< menor

EaD
45
≥ maior ou igual e
≤ menor ou igual.
Veja os exemplos:
1) A={x ∈ N / x > 2} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 2.
Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: A={3,4,5,6,7,...}
Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, colocamos “bolinhas” pretas para
os elementos do conjunto A e brancas para os elementos que não pertencem a A.
2) B={x ∈ N / 1< x <5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 1 e menor do
que 5. (ou, x pertence aos Naturais , tal que 1 é menor do que x e x é menor do que 5).
Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: B={2,3,4}
Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos:
3) C={x ∈ N / x ≥ 5} Lê-se: x pertence aos Naturais, tal que x é maior do que 5.
Escrevendo os elementos desse conjunto, temos: C={5,6,7,8,9,10,...}
Mostrando esse conjunto na reta dos números naturais, temos:
Conjunto dos Números Inteiros (Z)
Os números inteiros estão associados às quantidades inteiras relativas. Esses números
descrevem variáveis como temperatura, saldos bancários, altitude, etc.

EaD
46
Z={...,-6,-5,-4-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6,...}
Escrevendo o conjunto Z como um intervalo, temos:
Z={ x ∈ Z / -∞ < x < +∞}.
Simples, não é mesmo? Então, vamos aplicar o que aprendemos?
Exercícios 2.1.1
1. Escreva os seguintes conjuntos usando os sinais de desigualdade.
a) B={2,3,4,5,6} d) J={2,3,4,5,6,...}
b) C={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3} e) K={-3,-2,-1,0,2,3,...}
c) G={...,-2,-1,0,1} f) P={…-2,-1,0}
2. Desenhe os conjuntos do Ex.1 na reta numerada.
Muito bem, se você conferiu seus resultados e ficou satisfeito, já pode seguir adiante!
Conjunto dos Números Racionais (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração
b
a
onde
a e b são números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero. Simbolizados o con-
junto dos racionais com a letra Q .

EaD
47
Exemplo de números racionais:
.....6666,0
3
2
= .8,0
5
4
= ....0000,66
1
6
==
...80000,08,0
5
4
== .....166666,1
6
7
−=
−

2
1
.
10
5
5,0 ==
3
1
9
3
.....3333,0 == ...131313,0
99
13
= (observe que o 13 se repete infinitamente)
Todo número decimal finito (por exemplo 4/5=0,8) ou periódico (por exemplo 2/3=0,666...,
onde o periódico se repete infinitamente) pode ser representado na forma de um número racional
b
a
. Veja os exemplos e confira com sua calculadora:
2 = 4/2 22,5 = 45/2 3,46 = 346/100
0,333333...=1/3 0,121212...=12/99 0,245245...=245/999
Você deve observar que todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração, portanto
também é um número racional.
Números Irracionais (I)
Os números irracionais são simbolizados pela letra I. Existem números decimais infinitas
não periódicos, aos quais damos o nome de números irracionais, por que não podem ser escritos
na forma de
b
a
. Veja os exemplos:
.....4242135,12 = (observe que não há repetições)
...7320508,13 =
π (pi)= 3,1415926.......
e = 2,7182818284590452353602874... ( esse número é a base do sistema de logaritmo ne-
periano).

EaD
48
Conjunto dos Números Reais (R)
O conjunto dos Números Reais é a união do conjunto dos Racionais e dos Irracionais.
R = Q ∪ I
A representação do conjunto R na reta numérica é uma reta cheia (reta real).
Veja alguns exemplos de intervalos em R e suas respectivas representações na reta nu-
merada:
Os conjuntos também podem ser representados usando parênteses para intervalos abertos,
por exemplo:
(a,b) significa { x ∈ R / a < x < b}
e colchetes para intervalos fechados, por exemplo:
[a,b] significa ={ x ∈ R / a ≤ x ≤ b}.
Os mesmos conjuntos representados anteriormente, poderiam ser escritos usando parên-
teses e colchetes. Veja:
C = [-1,+∞) ; D = (-1,1] e E = [+2,4).
Entendido? Ótimo, então chegou a sua vez.

EaD
49
Exercícios 2.1.2
1. Represente os seguintes conjuntos na reta real.
a) B={ x ∈ R / -2 < x < +∞} d) J={ x ∈ R / x ≤ +3}
b) C={ x ∈ R / -5 ≤ x < +3} e) K={ x ∈ R / x < +2}
c) G={ x ∈ R / -5 ≤ x ≤ +3} f) P={ x ∈ R / 1 < x ≤ 3}
2. Escreva os intervalos do Exercício 1 usando a notação de parêntesis e colchetes.
Seção 2.2
Definição, expressão matemática e gráfico de funções
Muitos problemas da área de Administração requerem a expressão matemática das variáveis
e parâmetros envolvidos na forma de funções. Nesta seção vamos usar a notação matemática e
estudar as funções associadas a situações simples da vida de um cidadão, tais como compra e venda
de produtos, orçamentos, financiamentos e aplicações financeiras e conceitos da economia.
Exemplo 2.2.1 – Dona Maria e sua família são vorazes consumidores de pizzas.
Quando os seus filhos a visitam de “surpresa”, todas as sextas-feiras, levando os
filhos, a alternativa mais prática (Dona Maria detesta cozinhar para muita gente !)
é comprar as pizzas e dividir os custos entre todos.

EaD
50
Na Pizzaria Sabor Derretido todas as pizzas têm o mesmo preço: P = R$ 20,00. A Tabela
2.2.1 mostra o custo para cada quantidade de pizzas. Podemos fazer uma expressão
matemática para calcular o custo de qualquer número de pizzas:
C(n) = P ⋅ n (2.2.1)
Onde C(n) é o custo de n pizzas (R$)
P é o preço de uma pizza (R$/unidade de pizzas) e
n é o número de pizzas.
A Equação (2.2.1) relaciona as variáveis C e n, que chamamos de lei da função. Veja esta
definição prática de função:
Definição de função: função é uma expressão matemática que relaciona duas ou mais
variáveis.
Podemos representar a função Custo de pizzas C(n), na forma de gráfico, localizando cada
ponto (n,C) no Plano Cartesiano XY, como mostra a Figura 2.2.1. É fácil verificar que os pontos
estão alinhados. Esse alinhamento ocorre porque para cada aumento de uma pizza, aumenta
sempre os mesmos R$ 20,00.
Como não são vendidos meios, terços ou quartos de pizzas, a Fig. 2.2.1 mostra apenas pontos
referentes a números inteiros de pizzas. Nesse caso, dizemos que a variável “n” é DISCRETA,
pois SÓ pode assumir valores inteiros e é definida nos números naturais: n ∈ N.
Tabela 2.2.1: Dados do Custo X número de pizzas
n Custo (R$)
0 0
1 20
2 40
3 60
4 80
5 100

EaD
51
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
n (unidades)
C(n)($)
Figura 2.2.1: Função custo de pizzas
Exercícios 2.2.1
1. Faça o gráfico das funções com as seguintes expressões matemáticas (considere X e Y variá-
veis contínuas reais).
a) y = 4x c) y = 2x + 3
b) y = – x d) y = – x + 5
2. Dadas as tabelas encontre a expressão matemática das funções
a) X Y
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
b) X Y
0 1
1 3
2 5
3 7
4 9
c) X Y
0 -1
1 1
2 3
3 5
4 7
d) X Y
0 -3
1 1
2 5
3 9
4 13

EaD
52
Exemplo 2.2.2 – Se Dona Maria for buscar as pizzas com seu Fusca/69 (que gasta
muita gasolina), terá um custo fixo de R$ 4,00. A função proposta no Exemplo 2.2.1
terá de ser modificada. Precisamos de outra expressão matemática para descrever
esta situação. Temos de acrescentar o custo fixo independentemente do número de
pizzas. Nesse caso, a função C x n terá a seguinte forma:
C(n) = P ⋅ n + CF (2.2.2)
onde CF é o custo fixo (gasto com o transporte) (R$).
Como fazer para construir uma tabela com os novos custos C(n)? Coloque os valores
de n na primeira coluna (como no Exemplo 2.2.1). Use a Eq. 2.2.2. para calcular os
valores de C(n). Se você colocar os pontos da tabela em um gráfico, obterá algo se-
melhante ao que está apresentado na Fig. 2.2.2.
Observe que os pontos continuam alinhados. O fato de acrescentarmos o custo CF
apenas aumentou em R$ 4,00 no custo de cada número de pizzas. Se Dona Maria for
até a pizzaria e comprar nenhuma pizza, o custo fixo continua sendo R$ 4,00. Nesse
caso, a tabela que você construiu tem o par (0,4) e a seqüência de pontos (reta) não
se inicia na origem, mas no ponto (0,4).
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
n (unidades)
C(n)($)
Figura 2.2.2 – Função custo de pizzas com custo fixo

EaD
53
Exemplo 2.2.3 – Nem sempre Dona Maria oferece pizzas para sua família. Sempre
que alguém resolve cozinhar (e lavar a louça!) ela prontamente disponibiliza todos os
recursos e dá todo o apoio para que saia uma comida “diferente”: galinhada (galinha
com arroz). Esta é a especialidade de sua filha mais velha, que puxou ao pai, claro!
Numa noite dessas, família reunida, todos de acordo em fazer mais uma galinhada,
Dona Maria notou que faltava arroz. Imediatamente pegou seu Fusca/69 e foi até
o mercado, que ficava ao lado da pizzaria, portanto o custo fixo do transporte é R$
4,00. Se o preço P do arroz é R$ 3,50 kg, podemos elaborar uma tabela relacionando
o custo do arroz em função da quantidade de arroz adquirida.
O modelo matemático para esta nova investida econômica da Dona Maria é:
Ca(p) = Pa ⋅ q + CF (2.2.3)
Onde Ca(p) é o custo do arroz (R$)
Pa é preço do arroz (R$/kg)
q é a massa de arroz (kg) e
CF é o custo fixo (gasto com o transporte) (R$).
Se você colocar os pontos da tabela em um gráfico, obterá algo semelhante ao que
está apresentado na Fig. 2.2.3.
Como podem ser vendidos meios, terços ou qualquer quantidade fracionária de arroz,
o gráfico mostra uma linha contínua relacionando a quantidade q com o Custo do
arroz, Ca. Nesse caso, q é uma variável CONTÍNUA, e a função Ca(q) pode assumir
valores não inteiros: q ∈ R.

EaD
54
0
5
10
15
20
25
0 1 2 3 4 5
massa de arroz (kg)
Ca($)
Figura 2.2.3: Função custo de arroz com custo fixo
Para que você não acabe sentindo fome e pare de estudar para ir comer, vamos usar outro
exemplo de aplicação para funções.
Exemplo 2.2.4 – O montante de um empréstimo de curto prazo (hot money) é calcu-
lado com taxa fixa, a juros simples. Consideremos o financiamento de R$ 30.000,00
feitos por uma empresa em um banco X, com taxa 0,03 % ao dia.
Se j = 0,03 % ao dia, podemos usar a taxa i = j/100 como multiplicador do montante
para calcular os juros a cada dia (confira esta idéia fazendo a regra-de-três). Veja os
cálculos na segunda coluna da Tabela 2.2.2.
Tabela 2.2.2: Empréstimo hot money
Dias
n
Esquema do cálculo
Montante
M(n) (R$)
0 30.000 + 0 ⋅ i ⋅ 30.000 30.000
1 30.000 + 1 ⋅ i ⋅ 30.000 30.009
2 30.000 + 2 ⋅ i ⋅ 30.000 30.018
3 30.000 + 3 ⋅ i ⋅ 30.000 30.027
4 30.000 + 4 ⋅ i ⋅ 30.000 30.036
... ... ....
Da segunda coluna da Tabela 2.2.2 podemos deduzir uma expressão particular para
calcular a função Montante:
M(n) = 30000 + n ⋅ i ⋅30000
M(n) = 30000 (1+ n ⋅ i) .

EaD
55
Para generalizar esta fórmula substituímos o valor do financiamento por VF e
temos:
M(n) = VF ⋅ (1+ n ⋅ i) (2.2.4)
a) Coloque os dados de n e M(n) em um gráfico cartesiano.
b) Verifique se os pontos obtidos estão sobre a mesma reta.
Exercícios 2.2.2
1. Com base no Exemplo 2.2.4 construa a tabela dos financiamentos hot money com os seguintes
dados:
a) j = 0,05 %; VF = 35.000 para 7 dias
b) j = 0,045 %; VF = 50.000 para 7 dias
2. Construa a expressão da função do montante e faça o gráfico das funções do Exercício 1.
Seção 2.3
Equação da reta
Observe que a Figura 2.3.1 tem os mesmos pontos da Figura 2.2.1 que relaciona o número
de pizzas com o respectivo custo. Para tornar nosso texto mais genérico, vamos chamar a variável
C de y e a variável n de x. Assim, nossas conclusões servirão para quaisquer funções lineares:
y=f(x), onde f(x) é a expressão matemática da função.

EaD
56
Figura 2.3.1: Coeficiente angular
Observe o triângulo mais escuro, formado entre os pontos P2
e P3
. O lado horizontal é a
diferença entre os valores de X, que chamamos de “delta x”, e escrevemos ∆x = x3
– x2
. Fazendo
o mesmo para Y, temos “delta y”, e escrevemos ∆y = y3
– y2
.
Observe que o ângulo θ assinalado na Fig. 2.3.1, é o ângulo que a reta faz com o próprio eixo
X. A divisão ∆y/∆x é chamada “tangente do ângulo θ “ e, para P2
e P3
. é calculada pela Eq. 2.3.1.
20
23
4060
x
y
tg =
−
−
=
∆
∆
=θ (2.3.1)
Evidentemente podemos fazer as mesmas diferenças para Po
e P1
, P1
e P2
e os demais
pontos. Se estes pontos estão sobre a mesma reta, então a reta que os une tem a mesma incli-
nação. Para que isso aconteça é necessário que as divisões do ∆y pelo ∆x de cada triângulo
sejam iguais. Convidamos você a conferir se as tangentes dos demais triângulos marcados na
Fig. 2.3.1, têm o mesmo valor.
Generalizando, a tangente do ângulo θ é escrita como a Eq. 2.3.2 e dá a inclinação da
reta. Este número está associado ao ângulo que a reta faz com o eixo X e por isso é chamado de
coeficiente angular da reta. Usaremos a letra “a” para este coeficiente.
i1i
i1i
xx
yy
x
y
tga
−
−
===
+
+
∆
∆
θ (2.3.2)

EaD
57
Figura 2.3.2 – Equação da reta
Na reta mostrada na Fig. 2.3.2, escolhemos os pontos P2
e P3
para formar um triângulo.
Escolhendo um ponto qualquer P=(x,y) da reta e o ponto Po
=(0,yo
), ponto onde a reta corta o
eixo Y. Usando a Eq. 2.3.2 nestes triângulos, temos uma proporção:
o
o
23
23
xx
yy
xx
yy
−
−
=
−
−
Substituindo o valor de xo
=0 e resolvendo esta proporção para y, temos:
o
23
23 yx
xx
yy
y +
−
−
= (2.3.3)
Verifique que a fração que multiplica o x, na Eq. 2.3.3 é o próprio coeficiente angular. En-
tão, uma equação para esta reta é
y = a x + yo
(2.3.4)
onde
23
23
xx
yy
a
−
−
= é o coeficiente angular.

EaD
58
Chamaremos yo
na Eq. 2.3.4 de coeficiente linear (porque yo
é onde a reta corta o eixo Y)
e usaremos a letra b para nos referir a ele. Reescrevendo a Eq. 2.3.4 com estes símbolos, temos
a EQUAÇÃO DA RETA.
y = a x + b
(2.3.5)
Esta função também é chamada de função de 4º grau.
Exemplo 2.3.1: Aos domingos, a família da Dona Maria costuma fazer um churrasco.
Dona Maria fez um levantamento dos preços da picanha em quatro mercados da
cidade e colocou os dados em um gráfico cartesiano. Chamando de P o preço de 1
kg de picanha, e q a massa comprada (kg), podemos adaptar a Eq. 2.2.2 e escrever
a lei da função Custo da Picanha C(q):
C(q) = P⋅ q + CF.
Mercado
Preço da pica-
nha (R$/kg)
Custo Fixo ($)
Lei da função
C(q)
A 12 4 C(q)=12q+4
B 14 3,5 C(q)=14q+3,5
C 16,5 5 C(q)=16,5q+5
D 19 2 C(q)=19q+2
0
20
40
60
80
100
120
0 1 2 3 4 5
X
Y
A
B
C
D
Figura 2.3.3: Custo da picanha
Observe que, independentemente do custo fixo, as inclinações de cada reta são diferentes
e dependem exclusivamente do parâmetro P (preço da picanha). Este parâmetro é o coeficiente
angular e determina a inclinação das retas.

EaD
59
Quanto maior o coeficiente angular, mais próxima da vertical está a reta.
Quanto menor o coeficiente angular, mais próxima da horizontal está a reta.
Conheça, agora, os tipos de retas.
Retas Horizontais
Uma reta na posição horizontal (paralela ao eixo X, veja na Figura 2.3.4 (a)) tem coeficiente
angular “zero”. Substituindo a = 0 na Eq. 2.3.5, temos:
y = b,
onde b é o valor de y, onde a reta corta o eixo Y. (2.3.6)
Retas Verticais
Uma reta na posição vertical (paralela ao eixo Y, veja na Figura 2.3.4 (b)) teria coeficiente
angular infinito ! Como “infinito’não é um número, não podemos escrever a equação da reta na
forma da Eq. 2.3.5. Então, a escrevemos apenas como
x = c, onde c é o valor de x, onde a reta corta o eixo X. (2.3.7)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
0 1 2 3 4 5
X
Y
Figura 2.3.4: (a) Reta horizontal: y = 3 (b) Reta vertical: x = 1,6

EaD
60
Retas crescentes e decrescentes
Observe os coeficientes angulares das retas dadas na Tabela 2.3.1.
Tabela 2.3.1: funções crescentes e decrescentes
Função f(x)
Y1 Y = x + 1
Y2 y = 2x + 1
Y3 y = -2x + 5
Y4 y = -3x + 15
Observe a posição de cada reta na Figura 2.3.5 e relacione com o coeficiente angular,
mostrado na respectiva equação.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5
X
Y
Y1
Y2
Y3
Y4
Figura 2.3.5: Funções crescentes e decrescentes
Atenção!
Quando o coeficiente angular é positivo a reta está inclinada para a direita (Função Cres-
cente).
Quando o coeficiente angular é negativo a reta está inclinada para a esquerda. (Função
Decrescente).
Exercícios 2.3.1
1. a) Construa um gráfico cartesiano com os valores de X e Y da Tabela:

EaD
61
X Y
0 1,3
1,2 3,7
2 5,3
3,4 8,1
4 9,3
b) Calcule o coeficiente angular e o linear da reta.
c) Com base no valor dos coeficientes angular e linear determine se a reta é crescente/decres-
cente e onde ela intercepta o eixo Y.
2. Analise os coeficientes angular e linear das retas. Determine se crescem/decrescem e o ponto
de intersecção com o eixo Y. Faça um esboço do gráfico com base nessa análise.
a) y = 3x + 5 b) y = 2x – 1,5 c) y = -1,3x + 2
d) y = -2,3x – 1 e) y = -5,2x + 2,3 f) y = -4,1x -5
3. Nas retas do Ex.2, qual é a que mais cresce? E a que mais decresce?
4. Nas retas que passam pelos pontos P1
e P2
:
– Calcule os coeficientes angular e linear da reta.
– Escreva a equação da reta.
– Esta reta é crescente?
– Em que ponto a reta intercepta o eixo Y?

EaD
62
a) P1
=(1,1) e P2
=(2,4).
b) P1
=(1,6) e P2
=(5,3)
c) P1
=(2,8)) e P2
=(7,1).
d) P1
=(6,1) e P2
=(1,3)
5. A fabricação de um produto implica custos de materiais, energia, mão de obra (pessoal e en-
cargos sociais) e impostos. Para uma determinada quantidade do produto, vamos considerar
os custos de mão-de-obra como custo fixo, no valor de R$ 20,00. Considerando que os custos
de materiais, energia e impostos são de R$ 150,00, para produzir uma unidade do produto:
a) Construa uma tabela relacionando o número de unidades do produto e o custo total.
b) Faça um gráfico com os dados da tabela.
c) Determine uma equação para relacionar o número de unidades do produto e o custo total.
d) Esta equação é uma reta. Determine o coeficiente angular e o linear? Qual é o sentido destes
coeficientes no problema?
6. Um empresário fez um financiamento de curto prazo com juros simples. A taxa cobrada pelo
banco foi de 0,3 % ao dia. O capital financiado foi de R$ 25.000,00.
a) Construa uma tabela e determine o montante depois de 5 dias (Use a Eq. 2.2.4, M=VF(1+u.i)
que é uma equação de reta).
b) Qual é o coeficiente angular e o linear desta reta?

EaD
63
7. Um empresário fez um financiamento de curto prazo com juros simples. O ca-
pital financiado foi de R$ 25.000,00. Depois de 5 dias o montante estava em
R$ 25.287,50.
a) Calcule a taxa do financiamento, usando a Eq. 2.2.4.
b) Do Ex.6 sabemos que o coeficiente angular da reta é a = VFo
⋅i. Calcule os coeficientes
angular e linear da reta.
Atividade 2.3.1 – Avaliação de custo, receita e lucro
Fazer “modelagem matemática“ é expressar matematicamente uma determinada situação
real ou hipotética. “Expressar matematicamente” significa descrever as variáveis e parâmetros
da situação usando estruturas matemáticas (números, funções, tabelas, gráficos, matrizes, flu-
xogramas,...) de tal forma que essas estruturas organizadas produzam dados muito semelhantes
aos obtidos com a situação.
No Exemplo 2.2.1 desta Unidade a situação a ser modelada é a compra de pizzas; as va-
riáveis escolhidas foram o custo e a quantidade de pizzas (variável discreta); o parâmetro do
problema é o preço de uma pizza; e o modelo escolhido foi o modelo de uma função linear, com
coeficiente linear nulo.
No Exemplo 2.2.2 as variáveis são as mesmas do Ex. 2.2.1, mas acrescentamos o custo do
transporte. Por isso, tivemos de escolher um modelo com mais um parâmetro, o custo fixo, CF.
Em regra, podemos melhorar um modelo até que ele descreva a situação tão precisamente
quanto desejarmos. Vamos explicar melhor!
Modificação 1
No modelo das pizzas, por exemplo, podemos considerar que os seus preços sejam dife-
rentes: P1
≠P2
≠ P3
, ...O modelo poderia ser escrito como

EaD
64
C(n) = P1
⋅ n1
+ P2
⋅ n2
+ P3
⋅ n3
+ .... (2.3.8)
Ou, na forma de um somatório
∑
=
=
n
1i
iniP)n(C . (lê-se: somatório de Pi
ni
quando i
varia de 1 a n) (2.3.9)
Este modelo é mais próximo da realidade (em regra, as pizzas têm preços diferentes). Apesar
do modelo (equação) ficar um pouco mais sofisticado, ainda é fácil entendê-lo e usá-lo. Então,
tivemos um ganho de precisão melhorando o modelo, sem perder em praticidade.
Modificação 2
Ainda no modelo das pizzas, por exemplo, podemos considerar o desgaste do Fusca/69 como
custo fixo. Teríamos de calcular o custo da depreciação por quilômetro rodado, multiplicá-lo pela
distância até a pizzaria e acrescentar o valor obtido ao custo da gasolina. Tal valor seria da ordem
de centavos, enquanto que o preço da gasolina é da ordem de reais. Com certeza o modelo ficaria
mais preciso, mas o custo do desgaste não é significativo diante dos demais custos. Nesse caso,
a melhoria do modelo não trouxe ganhos significativos na descrição da situação dada.
Com essa idéia de construir modelos (modelagem matemática), vamos modelar a produ-
ção e comercialização de um produto real. Lembre-se que nosso objetivo é aprender a escrever
matematicamente o problema simples. Siga as orientações a seguir:
1. Escolha um produto simples do qual você conhece (ou pode conseguir informações) os detalhes
da produção. Por exemplo: cachorro-quente; pizzas, pepino em conserva, pão caseiro, bolos,
tijolos, hortaliças, roupas, cadeiras, mesas, etc.
2. Faça uma relação de todos os materiais e suas respectivas quantidades para produzir uma
unidade do produto. Coloque-os organizadamente em uma tabela.
3. Calcule o custo da mão-de-obra para a produção de uma unidade do produto. Use como base
o valor do salário mínimo, pago para uma jornada de 40 horas, com os encargos sociais.

EaD
65
4. Verifique a ocorrência de outras despesas como energia elétrica, gás, etc, e calcule-as para a
produção de uma unidade do produto.
5. Classifique e some as despesas em “fixas” (chame de b) e “dependentes” (chame de a) do
número de unidades produzidas.
6. Construa uma tabela relacionando o número de unidades do produto e o custo total.
7. Elabore um gráfico com os dados da tabela.
8. Determine uma equação para relacionar o número de unidades do produto (x) e o custo total
(y); y = ax + b.
10. Cálculo da receita: Determine o preço de venda do produto, considerando um lucro de 30%
sobre os custos dependentes do número de unidades produzidas e faça uma equação da
receita: R = 1,3(ax+b).
11. A função lucro é L = R – y.
12. Coloque as funções y, R e L no gráfico e faça sua análise. Quantas unidades devem ser pro-
duzidas para que os custos fixos sejam pagos?
Atividade 2.3.2– Gráfico de funções no computador
Os gráficos de funções podem ser feitos facilmente em aplicativos computacionais, como
as planilhas eletrônicas, amplamente utilizadas na área da Administração.
O Excel é uma planilha eletrônica composta de células dispostas em linhas 1, 2, 3,... e co-
lunas A, B, C, .... Cada célula tem um “endereço” na forma de coluna e linha: A célula A1 está na
coluna A e linha 1; A célula A2 está na coluna A e linha 2; e assim por diante. Da mesma forma,
a célula B1 está na coluna B e linha 1, a célula B2 está na coluna B e linha 2, etc.

EaD
66
Podemos colocar letras, números e fórmulas nas células. Observe o exemplo a seguir, no
qual vamos fazer a tabela de uma função.
Problema 1: calcular os valores de uma função
Colocar os valores de X={0,1,2,3,4,5} e calcular os valores de Y={1,4,7,10,13,16} usando
a função f(x)=3x+1.
Como faremos?
Célula A1 : Escrevemos “X” só para indicar que nessa coluna serão colocados os valores
de X da função.
Célula B1: Escrevemos “Y” só para identificar que nessa coluna estarão os valores da
função.
Célula A2: Escrevemos “0” para o primeiro valor de X.
Célula A3: Escrevemos “=A2+1” e clicamos Enter.
Usamos o sinal de “=” para escrever uma equação. Nesse caso estamos ordenando o com-
putador a ler o valor que está em A2 e adicionar 1. A digitação do Enter, com o cursor na célula
A3 faz com que o computador execute a equação “=A2+1”. Veja que o computador escreveu 1
na célula A3.
Clicando com o botão esquerdo do mouse em A3, a célula fica ressaltada (quadro com
linha preta mais forte que as demais células). Levando o cursor até o canto direito inferior e
clicando sobre o ponto ali existente, arrastamos o cursor para baixo, com o mouse até a célula
que desejamos, por exemplo, A7.
Observe que com esse procedimento o computador substitui a fórmula “=A2+1” por
“=A3+1” na célula A4; por “=A4+1” na célula A5, e assim por diante, gerando os valores de
X que queríamos.

EaD
67
Célula B2: Escrevemos “=3*A2+1” para calcular os valores da função Y.
Observe que o (*) é a sinal da multiplicação e o “A2” está fazendo o papel do X.
Clicando com o botão esquerdo do mouse em B2, a célula fica ressaltada. Arrastando para
baixo a célula B2 (como fizemos com A3) até B7, o computador calcula os valores da função
f(x)=3x+1.
Executando os procedimentos mencionados anteriormente você deve ter encontrado o
seguinte resultado:
Você também poderá visualizar a realização desse exemplo na animação disponibilizada
na Biblioteca do Conecta e que leva o mesmo nome: “gráfico de funções no computador”.
Problema 2: Fazer o gráfico de uma função
Faça o gráfico cartesiano da f(x)=3x+1.
Como faremos?
1. Vamos ressaltar as células com os dados de X e Y do Problema 1.

EaD
68
Clicando com o botão esquerdo do mouse no centro de A1 e arrastando até B7, todas as
células com os dados da função ficam ressaltadas.
2. Vamos fazer o gráfico.
Leve o cursor até o assistente de gráfico (Veja na Figura 2.3.6) no menu do Excel e clique
com o botão esquerdo do mouse. Deve aparecer a tela do “assistente de gráfico”, oferecendo os
“tipos padrão”.
Encontre na lista o padrão “Dispersão (XY)” e clique sobre ele. Deve aparecer opções de
gráficos só de pontos, pontos com linhas e outras. Escolha pontos com linhas e clique em “avan-
çar”. A nova tela dá a opção de dados em linhas ou colunas. No nosso exemplo, os dados de X
e Y estão em colunas. Escolha “colunas” e clique em “avançar”.
Esta tela dá opções para colocar o título do gráfico e o nome dos eixos. É importante que
você se habitue a escrever ao menos o nome dos eixos. No nosso exemplo, X e Y. Clicando
em “avançar” e na tela seguinte em “concluir” você terá seu primeiro gráfico pronto.

EaD
69
0
5
10
15
20
0 2 4 6
X
Y
Y
Atenção: você também poderá visualizar a realização do “gráfico de uma função”, dispo-
nível na Biblioteca com esse mesmo nome.
3. Deixaremos para o leitor descobrir outros detalhes da edição de gráficos, como retirar ou colocar
linhas de grade, alterar a legenda, escala dos valores de X e Y, tamanho das fontes (letras), etc.
Alguns destes detalhes ficam disponíveis se você clicar sobre a área do gráfico com o botão
esquerdo do mouse (ressaltar o gráfico); em seguida clicar sobre a área do gráfico ressaltado
com o botão direito e escolher “opções do gráfico”.
DICAS DO EXCEL
1) O Excel usa vírgulas para separar casas decimais.
2) Símbolos das operações:
Adição = + Exemplo: = 3 + 5
Subtração = - Exemplo: = 3 – 5
Multiplicação = * Exemplo: = 3 * 5
Divisão = / Exemplo: = 3/5
Potenciação = ^ Exemplo: = 3^5 significa 35
Radiciação = ^ Exemplo: = 3^0,5 significa 3

EaD
70
ATIVIDADES COM O EXCEL
1. Faça o gráfico das funções na mesma planilha. Use qualquer valor de x.
a) y = 5x + 3 b) y = -5x + 8 c) y = -3x + 8
d) y = 2x + 5 e) y = -0,5x + 8 f) y = -3,5x + 7,4
2. a) Observe o sinal do coeficiente angular e verifique se as funções do Ex.1 são crescentes ou
decrescentes.
b) Observe onde as retas do Ex. 1 interceptam o eixo Y e compare com o valor do coeficiente
linear.
3. Coloque todas as funções do Ex.1 no mesmo gráfico. Crie legendas para identificar cada
função.
4. Coloque os gráficos do Excel no redator de texto Word.
DICA: Depois do gráfico pronto, clique sobre a área do gráfico com o botão esquerdo do mouse.
Copie o gráfico com Ctrl-C e cole no Word, com Ctrl-V.
Vencida esta seção passaremos à próxima, que tratará do que denominamos de Funções
Quadráticas.
Seção 2.4
Funções Quadráticas
As funções quadráticas são funções de 2º Grau, muito comuns em aplicações nas Ciências e
em Economia. Nesta seção vamos estudar as raízes destas funções e o seu significado gráfico.

EaD
71
A função do 2º Grau tem a forma
y(x) = a2
x2
+ a1
x + ao
ou uma forma mais conhecida (2.4.1)
y(x) =Ax2
+ Bx + C. (2.4.2)
Concavidade da parábola
Esta função, quando localizada no gráfico, tem a forma de uma parábola, com concavidade
para cima ou para baixo.
Se A é positivo a parábola tem concavidade para cima.
Se A é negativo a parábola tem concavidade para baixo.
Veja os exemplos:
A função da Figura 2.4.1(a) é y(x) = x2
– 5x + 10.
Observe que A = 1 ; B = -5 e C = 10.
Como A é positivo a concavidade da parábola é para cima.
A função da Figura 2.4.1(b) é y(x) = – x2
+ 5x .
Observe que A = -1 ; B = +5 e C = 0.
Como A é negativo a concavidade da parábola é para baixo.

EaD
72
0
5
10
15
20
25
30
0 1 2 3 4 5 6 7
X
Y
0
1
2
3
4
5
6
7
0 1 2 3 4 5
X
Y
Figura 2.4.1 (a) Concavidade para cima (b) Concavidade para baixo
Raízes da parábola
Os valores de x dos pontos onde as funções do 2º Grau passam pelo eixo X (ou seja, com
y = 0) são chamados de raízes da função quadrática. Colocando y = 0 na Eq. 2.4.2, obtemos
uma equação do 2º Grau:
0 =Ax2
+ Bx + C. (2.4.3)
A solução da equação do 2º Grau é obtida pela conhecida fórmula de Bhaskara.
A2
AC4BB
x
2
2,1
−±−
= (2.4.4)
Você deve observar que esta função pode:
1) passar pelo eixo X em dois pontos;
2) encostar no eixo X em apenas 1 pontos, ou,
3) simplesmente não encostar no eixo X.
De fato, a equação (2.4.3) pode ter três resultados:
1) Dois valores distintos de x: x1
e x2
. Isto ocorre quando
B2
– 4AC > 0.

EaD
73
2) Dois valores iguais de x: x1
= x2
(significa somente um ponto). Isto ocorre quando
B2
– 4AC = 0.
3) Nenhum valor real de x: Isto ocorre quando
B2
– 4AC < 0.
Exemplo 2.4.1: Dada a função y = x2
– 4x + 3, encontre suas raízes e faça um esboço
do gráfico.
Solução: Fazendo y = 0 na equação dada, temos:
0 = x2
– 4x + 3. (2.4.5)
Usando a Eq (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 3, obtemos:
2
24
12
314)4()4(
x
2
2,1
±
=
⋅
⋅⋅−−±−−
=
x1
= 3 e x2
= 1 .
Assim, x1
= 3 e x2
= 1 são as raízes da função dada. Isto significa que essa fun-
ção passa pelo eixo X, nos pontos (1,0) e (3,0). O leitor pode verificar isto na Figura
2.4.2 .
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5
X
Y
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 1 2 3 4 5
X
Y
Figura 2.4.2: Exemplo 2.4.1 – Posição das raízes Figura 2.4.3: Exemplo 2.4.2 – Posição da raiz

EaD
74
– 4x + 4, encontre as raízes da função e faça
um esboço do gráfico.
0 = x2
– 4x + 4. (2.4.6)
Usando a equação (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 4, obtemos:
2
2
04
12
0)4(
12
414)4()4(
x
2
2,1 =
±
=
⋅
±−−
=
⋅
⋅⋅−−±−−
=
x1
= x2
= 2 .
Nesse caso, dizemos que temos duas raízes iguais x1
= x2
= 2 . Isto significa que
essa função apenas encosta no eixo X, no ponto (2,0). O leitor pode verificar isto na
Fig. 2.4.3.
– 4x +5, encontre as raízes da função e faça
um esboço do gráfico.
0 = x2
– 4x + 5. (2.4.7)
Usando a equação (2.4.4) para A = 1 ; B = -4 e C = 5, obtemos:
?
2
?
12
4)4(
12
514)4()4(
x
2
2,1 ==
⋅
−±−−
=
⋅
⋅⋅−−±−−
=
Nesse caso, temos a raiz de um número negativo 4− , que não é um número real.
Por isso, dizemos que a equação (2.4.7) não tem raízes reais, e conseqüentemente
não passa pelo eixo X. O leitor pode verificar isto na Fig. 2.4.5.

EaD
75
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3 4 5
X
Y
Figura 2.4.5: Ex.2.4.3 – Parábola sem raízes reais
Vamos exercitar o que aprendemos nesta seção?
Exercícios 2.4.1
1. Encontre as raízes das funções (se existirem) e faça um esboço do gráfico:
a) y = x2
– 2x – 3 d) y = x2
– x +1
b) y = -x2
-2x + 3 e) y = -x2
+6x – 9
c) y = x2
–4x – 5 f) y = x2
-2x + 3
2. Analise a concavidade das funções do Ex.1.
Atenção: não siga adiante se você não fez os exercícios anteriores. Lembre-se de que
cada item estudado é pré-requisito para seguir adiante e compreender o conteúdo.

EaD
76
O vértice da parábola
O vértice de uma função quadrática é o ponto onde a função tem um valor máximo ou
mínimo. A dedução das fórmulas das coordenadas do vértice podem ser encontradas na Uni-
dade 3. Neste estágio de nosso estudo vamos apenas usá-las. Retomando a Eq. (2.4.2), temos
y(x) =Ax2
+ Bx + C.
A coordenada x do vértice é dada pela fórmula:
A2
B
xv −= (2.4.8)
A coordenada y do vértice é dada pelas fórmulas: CBxAxy v
2
vv ++= ou (2.4.9)
A4
BAC4
y
2
v
−
= (2.4.10)
Exemplo 2.4.4: O custo marginal de um produto é a variação do custo de produção,
à medida que mais uma unidade é produzida. Suponhamos que a função
CM(x) = 0,0369 x2
– 0,83x + 4,87
dá o custo marginal da fabricação de um determinado produto até 20 unidades.
A Figura 2.4.4 mostra o gráfico desta função. O leitor pode observar que existe um
custo marginal mínimo próximo de 10, 11 ou 12 unidades. Para determinar com
precisão o vértice da parábola vamos usar as Eqs. 2.4.8 e 2.4.9.
24,11
0369,02
83,0
xv =
⋅
−
−=
20,087,424,1183,024,110369,0y 2
v =+⋅−⋅=
O vértice exato da parábola é V=(11,24, 0,20), no entanto não existem unidades fra-
cionárias do produto. Por isso, procuramos um valor de x mais próximo. Nesse caso, é
x = 11 unidades. Esses resultados significam que para 11 unidades o custo marginal
é mínimo e com valor de R$ 0,20 . O leitor pode ver isso na Figura 2.4.4.

EaD
77
Figura 2.4.4: Vértice da parábola
Perceba que buscamos trabalhar com exemplos concretos para que você possa perceber a
importância deste componente curricular para a sua formação e desempenho da atividade que
escolheu para si: a de administrador!
Exercícios 2.4.2
1. Dadas as funções quadráticas, calcule o vértice e faça um esboço do gráfico.
a) y = x2
– 4x – 3 c) y = -3x2
– 6 x +4
b) y =-2 x2
+2x – 5 d) y = 3x2
– 6x + 5
2. A função custo marginal de um produto é CM(x) = 0,03 x2
– x + 10 .
a) Essa função tem raízes reais?
b) Calcule o custo marginal mínimo.

EaD
78
Funções Polinomiais
Existem funções polinomiais de ordem (grau) maiores do que dois. Uma função polinomial
de grau “n” pode ser escrita na seguinte forma:
Pn
(x) = an
xn
+ ... + a3
x3
+ a2
x2
+ a1
x + ao
.
Para os objetivos deste livro, vamos restringir nosso estudo às funções polinomiais de grau
menor ou igual a 3. Você deve ter observado que já estudamos os gráficos e raízes das funções de
1º e 2º Graus. Vamos analisar agora uma função importante para a economia, que geralmente
é um polinômio de 3º Grau.
Função Custo de Produção: O custo para gerar um produto é uma função da quantidade
de unidades produzidas. Para pequenas quantidades (como as pizzas da Dona Maria) a depen-
dência pode ser linear, mas à medida que aumentamos o número de unidades produzidas a
dependência torna-se não-linear.
Geralmente usamos funções polinomiais de 3o
Grau para descrever as funções custo:
C(x) = a3
x3
+ a2
x2
+ a1
x + ao
onde C é o custo (em unidades monetárias)
x é o número de unidades produzidas e
a3
, a2
, a1
e ao
são parâmetros (números reais).
Exemplo 2.4.5:: A função C(x) = 0,0123 x3
-0,415x2
+ 4,8727x é uma função poli-
nomial de 3o
Grau e fornece o custo de produção de um determinado produto até 20
unidades. O leitor pode observar no gráfico que se trata de uma função não-linear,
ou seja, o custo de produção não é diretamente proporcional ao número de unida-
des produzidas. Esse custo aumenta de forma diferente para cada unidade a mais
fabricada.

EaD
79
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20
X (unidades)
Custo($)
Figura 2.4.5: Custo de produção polinomial
Vamos estudar as técnicas específicas para analisar estas funções na Unidade 3, que abor-
dará o tema Taxas de variação e derivadas.
Seção 2.5
Funções Exponenciais e Logaritmos
O trabalho de aplicação de funções exponenciais depende do conhecimento das proprie-
dades das potências.
Propriedades das potências (PP)
Nas propriedades a seguir as constantes a e b são números reais positivos diferentes de
1 e as letras m e n são constantes ou variáveis reais quaisquer. Em linguagem matemática es-
crevemos:
a e b ∈ R , tal que a > 0, b > 0 e a ≠ 1 e b ≠ 1; e
m e n ∈ R

EaD
80
PP1) bm
⋅ bn
= bm+n
(produto de potências de mesma base)
PP2)
m
m
b
1
b =−
(expoente negativo)
PP3) bm
÷ bn
= bm-n
(quociente de potências de mesma base)
PP4)
nmnm
b)b( ⋅
= (potência de potência)
PP5) am
⋅ bm
= (ab)m
(produto de potências com expoentes iguais)
PP6)
m
m
m
b
a
b
a






= (quociente de potências com expoentes iguais)
PP7)
i/ei e
aa = (raiz e expoente fracionário)
PP8) Se am
=⋅ an
então m = n.
OBSERVAÇÕES
1. Usaremos as letras “PP” com referência às propriedades das potências.
2. Você deve lembrar sempre de consultar estas propriedades para operar com potências.
Exemplo 2.5.1 – Resolva as potências usando as propriedades.
a) =





−1
2
1
b) =⋅ 23 216
Solução:
(a) Usando a PP2: .2
2
1
1
2
1
1
1
=












=





−
(b) Sabendo que 16 = 24
, temos: .22 23 4
⋅
Usando a PP7 e em seguida a PP1, temos; 3/1023/4
222 =⋅ .

EaD
81
Exercícios 2.5.1
1. Resolva as potências usando as propriedades.
a) 23
⋅ 22
= f) 43 48 ⋅ =
b) 32
⋅ 34
⋅ 35
= g) 41/2
=
c) =
4
3
2
2
h)
23
32
)2(
)4(
=
d) =
⋅
⋅
52
43
33
33
i) =⋅
2
3
3
2 4
2
e) =32
)5( j) 24 216 ÷ =
2. Use sua calculadora para resolver:
a) 23/2
c) 20.5
e) 31,5
b) 5 d) 3 5 f)
3 25
Funções exponenciais
A Função Exponencial expressa uma série de fenômenos da ciência (crescimento popula-
cional, reações químicas, desintegração radioativa) e particularmente nas Ciências Econômicas
expressa aplicações ou financiamentos com capitalização. Inicialmente vamos aprender como é
o crescimento exponencial, suas características e a álgebra envolvida, para depois fazer aplica-
ções em problemas de economia.
As funções exponenciais têm a forma
y = bax
(2.5.1)

EaD
82
onde y é a variável dependente, x a variável independente, a e b são números reais (cons-
tantes), sendo que b > 0 e b ≠ 1 .
Se a base b é o número de Euler e = 2,718281828... chamamos a função de “exponencial
natural” e escrevemos:
y = eax
(2.5.2)
O leitor deve observar a diferença entre as funções polinomiais e as exponenciais.
As funções polinomiais têm a variável na base e o expoente é constante:
Por exemplo: y = x2
.
As funções exponenciais têm a variável no expoente e a base é constante:
Por exemplo: y = 2x
.
Exemplo 2.5.2 – Qual das funções a seguir cresce mais?
y = x2
ou y = 2x
Solução: Vamos fazer tabelas de valores de x e y para as duas funções, inserir esses
valores no gráfico e comparar.
x x2
2x
0 0 1
1 1 2
2 4 4
3 9 8
4 16 16
5 25 32
6 36 64

0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6
X
Y
potência
exponencial
O leitor deve observar que as funções são diferentes. Apresentam valores próximos
até x = 4, mas para x > 4 a exponencial cresce mais que a polinomial.

EaD
83
Exemplo 2.5.3 – Vamos fazer uma tabela e um esboço do gráfico das funções: y =
2x
e y=2-x
.
Solução: Observe que estimando valores para x e calculando os valores de y de
acordo com as funções dadas, obtemos os dados da tabela e com eles, podemos fazer
o gráfico.
x y=2x
y=2-x
-4 0,0625 16
-3 0,125 8
-2 0,25 4
-1 0,5 2
0 1 1
1 2 0,5
2 4 0,25
3 8 0,125
4 16 0,0625

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
X
Y
Y=2^(-X)
Y=2^X
Exercícios 2.5.2
1. Faça uma tabela e um gráfico das funções dadas (use o mesmo plano cartesiano)
a) y = 4x
c) y = 3x
e) y = 2-3x
b) y = 5x
d) y = 6x
f) y = 2-2x
2. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) do Ex.1. Qual delas cresce mais?
3. Compare as funções exponenciais de (a) a (d) com as funções (e) e (f) do Ex.1. O que você
pode afirmar sobre a influência do sinal do expoente no comportamento de crescimento/de-
crescimento das funções exponenciais? Explique sua resposta.
4. Faça os gráficos das funções a seguir em uma planilha eletrônica:
a) y = 5.2x
b) y = 5.ex

EaD
84
Equações exponenciais
As equações exponenciais são igualdades entre expressões, onde a variável está no expo-
ente. A solução destas equações é obtida empregando as propriedades das potências.
Exemplo 2.5.4 – Resolver a equação exponencial: 4 ⋅ 2x
= 16
Solução: Para usar a propriedade PP8 precisamos antes igualar as bases dos dois lados
da igualdade. Nesse caso, dividindo ambos os lados da equação por 4, obtemos:
2x
= 4
2x
= 22
. Usando a propriedade PP8, temos:
x = 2.
Exemplo 2.5.5 – A depreciação de um imóvel pode ser dada pela função
V = Vo
2-bt
, (2.5.3)
onde V é o valor do imóvel, Vo
é o valor do imóvel novo, b é um número real e t é o
tempo, em anos. Sendo Vo
= R$ 110.000,00 e b = 0,2 :
a) Calcule o valor do imóvel depois de 10 anos.
b) Em quanto tempo o valor do imóvel atingirá a metade do seu valor inicial
Vo
?
c) Segundo esse modelo, o preço do imóvel pode ser nulo?
Solução
(a) Substituindo os dados de Vo
= R$ 110.000,00 , b = 0,2, e t=10 anos na Eq.
2.5.3, temos:

EaD
85
V = R$ 110.000 ⋅ 2-0,2⋅ 10
V = R$ 27.500,00
(b) Usando V = Vo
/2 e b = 0,2 na Eq. 2.5.3, temos
Vo
/2 = Vo
⋅ 2-0,2⋅ t
Dividindo ambos os lados da equação por Vo
, temos:
½ = 2-0,2⋅ t
Usando a propriedade PP2, temos:
2-1
= 2-0,2⋅ t
Como as bases de ambos os lados são iguais, usando a propriedade PP8, temos:
-1 = -0,2t
t = 5 anos.
(c) Se o leitor colocar valores de t cada vez maiores (fazer t tender a infinito) na Eq.
2.5.3 observará que o valor do imóvel tenderá a zero. Assim, só para t=∞ o preço
do imóvel será nulo, no entanto. Para efeitos práticos, observe que para t = 50 anos,
V = R$ 107,42, o que corresponde a 0,097 do valor inicial.
Exercícios 2.5.3
1. Resolva as equações exponenciais:
a) 2x
= 8 c) 3x
= 1/729
b) 3x+1
= 27 d) 16025
4 x
=

EaD
86
2. A depreciação de um carro pode ser dada pela Eq. 2.5.3.
a) Elabore uma fórmula para calcular o tempo em que o carro terá a metade do seu valor inicial Vo
.
b) Sabendo que b = 0,23, determine o tempo para o valor do carro atingir ¼ Vo
.
Exemplo 2.5.3 – População de ratos
As populações de insetos, ratos, microorganismos e também de humanos cresce
exponencialmente, sob determinadas condições. Analisemos o crescimento de uma
população de ratos.
Consideremos a geração “zero”, composta apenas pelo ratão-pai, portanto 1 indivíduo.
Considerando que cada indivíduo tenha, na sua existência, apenas 3 filhos, o número
de ratos-filhos da primeira geração será 3. Na segunda geração será 3 vezes, 3 que
dá 9, na terceira 3⋅3⋅3 = 27, e assim por diante. A coluna 2 da Tabela 2.5.1 mostra
as gerações e a população de ratos para esse caso. Como os ratos só comem e fazem
filhos, se não morrer nenhum dos bichinhos, para a geração n podemos dizer que a
população de ratos é 3n
ratos. Confira na Tabela 2.5.1.
Se cada pai tiver 4 filhos, a população de ratos cresce muito mais rapidamente do
que com 3. Veja a comparação na Tab. 2.5.1 e na Fig. 2.5.1. Se a população humana
cresce exponencialmente, pense um pouco mais antes de fazer 4 filhos !
Tabela 2.5.1: População de ratos
Geração População
3 filhos por pai 4 filhos por pai
0 1 1
1 3 4
2 9 16
3 27 64
4 81 256
... ... ...
n 3n
4n

0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4
Gerações
População(indivíduo)
P3
P4
Figura 2.5.1: População de ratos

EaD
87
Observe que nesse modelo o número de ratos da geração posterior (P(n+1)
) é calculado
multiplicando por 3 (se três filhos) ou 4 (se quatro filhos) o número de ratos da geração
anterior (P(n)
). Podemos afirmar que a população da geração posterior (P(n+1)
) depende
da população da geração anterior (P(n)
). Assim, podemos expressar a população de
ratos da seguinte forma:
P(n) = 3n
para 3 filhos por pai e
P(n) = 4n
para 4 filhos por pai.
Genericamente,
nq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.4)
onde P(n) é a população de ratos na geração n (indivíduos), n é a geração e
q é o número de filhos que cada pai tem em cada geração (indivíduos).
Se existirem N ratos na geração “zero”, basta multiplicar o lado direito da Eq. 2.5.4
por N:
nNq)n(P = , para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.5)
Exemplo 2.5.5 – Juros compostos
Uma aplicação financeira do tipo poupança com taxa mensal constante também tem
crescimento exponencial. A Tab. 2.5.2 mostra uma aplicação de R$ 1.500,00 corrigida
mês a mês com uma taxa de 1%. Observe que para obter o Capital do mês posterior
(C(n+1)
) multiplicamos o mês anterior (C(n)
) por 1,01. Confira!
De forma semelhante ao crescimento da população dos ratos, podemos encontrar
uma função para calcular o capital.
tioC)t(C = para n = 0,1,2,3,4,... (2.5.6)

EaD
88
onde Co
é o capital inicial (R$),
100
j
1i += , onde j é a taxa de rendimento mensal e
t é o tempo em meses.
Tabela 2.5.2: Aplicação com juros compostos
Tempo, t
(meses)
Capital, C(t)
(R$)
0 1500,00
1 1515,00
2 1530,15
3 1545,45
4 1560,90
... .....
22 1867,07
23 1885,74
24 1904,60

1500
2000
2500
3000
3500
0 4 8 12 16 20 24
Tempo (meses)
Capital(R$)
j=1,01
j=1,02
j=1,03
Figura 2.5.2: Juros compostos com diferentes taxas
A Figura 2.5.2 mostra três aplicações com taxas de juros j = 1, 2 e 3 %. Observe que
temos curvas (não são retas!), sendo que quanto maior é a taxa de juros, mais cresce
o capital.
Progressões Geométricas
As seqüências mostradas nas Tabs. 2.5.1 e 2.5.2, população e capital, respectivamente, são
Progressões Geométricas. Escrevemos uma PG da seguinte forma:
PG : { ao
, a1
, a2
, .... , an
}
Nestas progressões, o termo posterior (an
+1) é obtido multiplicando o anterior pela razão r.
rna1na ⋅=+ (2.5.7)

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