Modelagem Séries Temporais

Modelagem de
S´eries Temporais
Apostila introdut´oria Vin´ıcius Melqu´ıades de Sousa

Vin´ıcius M. de Sousa K
Sumário
I Séries Temporais 6
1 Introdu¸cão 6
1.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Processos Estocásticos 7
2.1 Caracter´ısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Estacionaridade 8
4 Modelos ARMA(p, q) 9
4.1 Modelos Auto-Regressivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.1 Valor Esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.2 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.3 Autocovariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Modelos de Média Móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.1 Valor Esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.2 Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.3 Autocovariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.4 Transforma¸cão de um MA(1) em AR(∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Modelos ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5 Operadores de defasagem 15
5.1 Operador de defasagem de um AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1.1 Polinômio Caracter´ıstico do AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.2 Operador de defasagem de um MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.3 Representa¸cão ARMA(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6 Modelos ARIMA 16
6.1 ARIMA(p, i, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7 Modelos Sazonais 19
7.1 SAR(P) ou AR(P)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7.2 SMA(Q) ou MA(Q)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.3 SARIMA(P, I, Q) ou ARIMA(P, I, Q)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7.4 ARIMA(p, i, q)(P, I, Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
II Metodologia Box & Jenkins 21
8 Identifica¸cão 21
8.1 Fun¸cões FAC e FACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.1.1 Fun¸cão de autocorrela¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8.1.2 Fun¸cão de autocorrela¸cão parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.2 Determina¸cão dos filtros de integra¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.3 Filtros auto-regressivos e de média móvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.3.1 AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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8.3.2 AR(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8.3.3 MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8.3.4 MA(q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8.3.5 ARMA(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8.3.6 ARMA(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.4 ‘Regra’ para determina¸cão dos filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.5 Crtitérios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.5.1 Critério de Informa¸cão de Akaike(AIC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8.5.2 Critério de informa¸cão Bayesiana (BIC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9 Estima¸cão 31
9.1 M´ınimos Quadrados Ordinários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9.2 Máxima Verossimilhan¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10 Verifica¸cão 35
10.1 Análise dos Res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.1.1 Individualmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.1.2 Conjuntamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.2 Avalia¸cão da ordem do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
11 Previsão 36
12 Comentário Final 36
III Tópicos 37
13 Equa¸cões de Yule-Walker 37
13.1 Deriva¸cão das equa¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
13.2 Montando o Sistema de Equa¸cões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
13.3 Estimando os Coeficientes Autoregressivos e Variância do Res´ıduo . . . . . . . . 38
13.3.1 Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
13.3.2 Variância do Res´ıduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
13.3.3 Valores da FACP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
13.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
13.4.1 Coeficientes AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
13.4.2 Variância do Res´ıduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
14 Exemplo: Eficiência dos algor´ıtmos 41
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Lista de Figuras
1 Passageiros internacionais ao longo dos anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Componentes do conjunto de dados sobre passageiros internacionais . . . . . . . 8
4 Diagrama de Venn dos modelos ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Exemplo de série estacionária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Câmbio R$/U$ entre Jan/95 e Ago/16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6 1ª Diferen¸ca da taxa de câmbio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7 Variável 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8 Variável 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9 FAC e FACP de um AR(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10 FAC e FACP de um AR(20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 FAC e FACP de um MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
12 FAC e FACP de um MA(20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
13 FAC e FACP de um ARMA(1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14 D´ıvida do governo federal e banco central (% do PIB) . . . . . . . . . . . . . . . 32
15 1ª Diferen¸ca da d´ıvida pública . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
16 Autocorrela¸cão da 1ª diferen¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
17 Autocorrela¸cão Parcial da 1ª diferen¸ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
18 Código gerador da série zt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
19 Série zt ao longo do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
20 Rendimento acumulado do fundo de a¸cões do BCB . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
21 FAC e FACP do rendimento do fundo de a¸cões (40 defasagens) . . . . . . . . . . 43
22 SARIMAS’s escolhidos pelo autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
23 Modelo escolhido pelo algor´ıtmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
24 Gráfico “Autor vs. Algor´ıtmo”(linha preta=previsão) . . . . . . . . . . . . . . . . 46
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Parte I
Séries Temporais
1 Introduç ão
Uma série temporal deriva de um conjunto de dados observados na natureza, e.g., o PIB
de um pa´ıs ao longo dos anos, quantidade de chuva numa cidade durante um ano, a emissão
de poluentes de uma fábrica ao logo do semestre etc. Esses dados normalmente possuem dois
componentes:
1. Determin´ıstico: Tendência e/ou Ciclo. Um exemplo de tendência é o fato estilizado de
que o PIB das economias tende a crescer ao longo dos anos, enquanto um de ciclo são as
esta¸cões do ano que influênciam a chuva na cidade em questão.
2. Estocástico: Aleatório. O PIB de um pa´ıs pode crescer num determinado ano 2.2% assim
como 2.7%, mas acabou crescendo 1.9%, foi um ‘sorteio’.
1.1 Exemplo
Vamos analisar o número de passageiros internacionais entre os anos de 1949 e 1960, com
dados mensais, como exemplo para que fique mais claro o que foi acima dito.
A tabela 1 mostra o número de passageiros internacionais para o per´ıodo em milhares.
Tabela 1: Passageiros internacionais (milhares)
Jan Fev Mar Abril Mai Jun Jul Agos Set Out Nov Dez
1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432
Qual o comportamento dessa série? A figura 1 mostra esse comportamento.
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1950 1952 1954 1956 1958 1960
Passageiros(milhares)
Figura 1: Passageiros internacionais ao longo dos anos
É claro a presen¸ca de uma tendência e uma sazonalidade (ciclo). A ideia central ao analisar
uma série temporal é modelar seu componente aleatório, desse modo o interesse maior encontra-se
na parte estocástica dos dados. Portanto, é interessante decompor a série para a analisarmos.
Isso é feito a seguir.
Analisando a figura 2 percebemos na segunda linha que há uma tendência crescente na série, o
que indica que o número de passageiros internacionais tende a aumentar com passar do tempo.
Além disso, percebe-se, claramente, na terceira linha, que nos meses de verão no hemisfério norte
(julho, agosto) tem-se picos seguidos de quedas no número de passageiros, indicando a presen¸ca
de um ciclo. E por, fim a quarta linha é o componente aleatório.
Para finalizar essa introdu¸cão, destacamos que o componente pode ser representado como um
conjunto de valores yt = {y1, y2, . . . , yn}, onde yi é o valor assumido pela variável yt no per´ıodo
t = i. Como o objetivo do estudo de séries temporais é entender a influência do tempo sobre
uma determinada variável, o componente estocástico é o que nos interessa. Pois, o determin´ıstico
é a influência de variáveis que não são o tempo e, portanto, podem ser estudadas via regressão.
1.2 Hipóteses
Salvo seja explicitado contrário são assumidas todas as hipóteses do modelo clássico de regressão.
Damos ênfase a três delas:
1. Valor esperado do erro: E[ t] = 0.
2. Heteroscedasticia: V ar( t) = σ2.
3. Ausência de autocorrela¸cão residual: E[ i j] = 0 ∀ i = j.
Podemos agora formalizar os conceitos de processo estocástico e estacionaridade que são de
fundamental importância para nosso estudo.
2 Processos Estocásticos
Podemos definir um processo estocástico como sendo um conjunto de observa¸cões aleatórias
{Y (t), t ∈ T}, medidas de acordo com um parâmetro t que varia ao longo do tempo (T). Em
outras palavras, um processo estocástico é uma fun¸cão aleatória de t. A sequência yt, t = 1, 2, 3 . . .
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0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
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0.90
0.95
1.00
1.05
1.10
dataseasonaltrendremainder
1950 1952 1954 1956 1958 1960
Time
Decomposition of multiplicative time series
Figura 2: Componentes do conjunto de dados sobre passageiros internacionais
é chamda de realiza¸cão parcial do processo, pois o valor observado poderia ter sido outros infinitos
valores, e.g., o número de passageiros internacionais em janeiro de 1949 foi de 112 mil, mas
poderia ter sido 120 mil. Portanto, uma série temporal é caracterizada como sendo gerada por
um processo estocástico.
Para estudar os processos geradores de séries se faz necessário observar certas caracter´ısticas
dos processos.
2.1 Caracter´ısticas
Defini¸cão 2.1. Seja {Yt, t ∈ T} um processo estocástico. Então suas caracter´ısticas são,
1. Valor esperado: E[yt] = µ ∀ t ∈ T
2. Variância: E[(yt − µ)2] = σ2
t ∀ t ∈ T
3. Covariância: E[(yt − µ)(yk − µ)] = γt,k ∀ t, k ∈ T
Passemos a outro conceito essencial para nosso estudo.
3 Estacionaridade
Uma maneira intuitiva de se definir estacionaridade é, dizer que uma série é estacionária
quando, o processo estocástico que a gerou possui caracter´ısticas invariantes ao longo do tempo.
Abaixo formalizamos o conceito.
Defini¸cão 3.1. Dizemos que {y1, y2, . . . , yn} é uma série fracamente estacionária se, e somente
se,
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ARMA
AR
MA
ARIMA
Figura 4: Diagrama de Venn dos modelos ARIMA
1. média: E[yt] = µ ∀ t ∈ T
2. Variância: var(yt) = γ0 ∀ t ∈ T
3. Autocovariância: Cov(yt, yk) = γk ,i.e., depende só da distância do instante t.
A série observada do número de passageiros da se¸cão 1.1 é um exemplo de série não estacionária,
ao passo que a figura 3 é um exemplo de uma série estacionária.
5
10
15
20
0 10 20 30 40 50
Tempo
Variável
Figura 3: Exemplo de série estacionária
4 Modelos ARMA(p, q)
Um modelo ARMA(p,q) é um modelo que possui p filtros auto-regressivos (AR) e q componentes
de média móvel dos erros (MA). Podemos chamar um modelo ARMA(1,0) de AR(1), denominado
por modelo auto-regressivo de ordem 1. Também podemos chamar um ARMA(0,q) de MA(q),
denominado por modelo de médias móveis de ordem q. Portanto, os modelos ARMA são um
conjunto de modelos AR e MA. A figura 4 mostra isso1.
Vamos aos modelos em si? #boranegao
1
Os modelos arima serão mais tarde, pois é necessário o conceito de operadores de defasagens.
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4.1 Modelos Auto-Regressivos
Defini¸cão 4.1. Dizemos que um modelo é auto-regressivo quando a variável em questão é
explicada por seus valores passados e o ru´ıdo branco. Equacionando temos o AR(p),
yt = c + φ1yt−1 + ... + φqyt−p + t (1)
A seguir vamos mostrar as caracter´ısticas do modelo descrito em 1.
4.1.1 Valor Esperado
É um dado valor µ.
µ = E[yt]
= E[c + φ1yt−1 + ... + φqyt−p + t]
= c + φ1E[yt−1] + ... + φqE[yt−p]
= c + φ1µ + ... + φpµ
µ(1 − φ1 − ... − φp) = c
µ =
c
(1 − φ1 − ... − φp)
µ = 0
(2)
O último passo deriva do fato de que, por simplicidade, assumiremos doravante a constante do
modelo como sendo nula, i.e., c = 0.
4.1.2 Variância
É um dado valor γ0.
γ0 = φ1γ1 + ... + φpγp + σ2
(3)
Onde os γi são as autocovariâncias de ordem i.
4.1.3 Autocovariância
A autocovariância de ordem k é um dado valor γk.
γk = E[ytyt−k]
γk = φ1γk−1 + ... + φpγk−p
(4)
Aqui é importante notar que para um modelo AR(p) existirão p autocovariâncias diferentes de
zero, portanto γk = 0 ∀ k > p.
Exemplo 1: AR(1)
O modelo AR(1) é o que segue,
yt = φyt−1 + t (5)
Vamos descrever as caracter´ısticas de 5.
1. Variância:
γ0 = E[y2
t ]
= E[(φ1yt−1 + t)2
]
= E[φ2
1y2
t−1 + 2
t + 2φ1yt−1 t]
= φ2
1γ0 + σ2
γ0 =
σ2
1 − φ2
1
(6)
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2. Autocovariância de ordem 1:
γ1 = E[ytyt−1]
= E[(φ1yt−1 + t)yt−1]
= E[φ1y2
t−1 + tyt−1]
γ1 = φγ0
(7)
γ1 = E[ytyt−2]
= E[(φ1yt−1 + t)yt−2]
= E[(φ1(φ1yt−2 + t−1) + t)yt−2]
= E[(φ2
1yt−2 + φ1 t−1)yt−2]
= E[φ2
1y2
t−2 + φ1 t−1yt−2]
γ1 = φ2
1γ0
(8)
Perceba que a condi¸cão de estacionaridade no caso do AR(1) é |φ| < 12.
Exemplo 2: AR(2)
O modelo AR(2) é o que segue,
yt = φ1yt−1 + φ2yt−2 + t (9)
1. Variância:
γ0 = E[y2
t ]
= E[(φ1yt−1 + φ2yt−2 + t)2
]
= E[φ2
1y2
t−1 + φ2
2y2
t−2 + 2
t + 2φ1φ2yt−1yt−2 + 2φ1yt−1 t + 2φ2 t]
= φ2
1γ0 + φ2
2γ0 + σ2
+ 2φ1φ2γ1
γ0(1 − φ2
1 − φ2
2) = 2φ1φ2γ1 + σ2
γ0 =
2φ1φ2γ1 + σ2
1 − φ2
1 − φ2
2
(10)
γ1 = E[ytyt−1]
= E[(φ1yt−1 + φ2yt−2 + t)yt−1]
= E[φ1y2
t−1 + φ2yt−2yt−1 + tyt−1]
= φ1γ0 + φ2γ1
γ1(1 − φ2) = φ1γ0
γ1 =
φ1γ0
1 − φ2
(11)
2
Nos modelos com um número maior de filtros essa condi¸cão também será a de estacionaridade, pois caso ela não
seja atendida os valores assumidos pela variável serão explosivos, de modo que o primeiro item da defini¸cão 3.1
é violado.
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γ2 = E[ytyt−2]
= E[(φ1yt−1 + φ2yt−2 + t)yt−2]
= E[φ1yt−1yt−2 + φ2y2
t−2 + tyt−2]
γ2 = φ1γ1 + φ2γ0
(12)
4.2 Modelos de Média Móvel
Defini¸cão 4.2. Dizemos que um modelo é de média móvel quando a variável em questão é
explicada pelos choques aleatórios (ru´ıdo branco) presente e passados. Equacionando temos o
MA(q),
yt = t − θ1 t−1 − ... − θq t−q (13)
Vamos mostrar agora as caracter´ısticas do modelo descrito em 13.
4.2.1 Valor Esperado
É um dado valor µ.
µ = E[yt]
= E[ t − θ1 t−1 − ... − θq t−q]
= E[ t] − θ1E[ t−1] − ... − θqE[ t−q]
µ = 0
(14)
4.2.2 Variância
É um dado valor γ0.
γ0 = E[(yt − E[yt])2
]
= E[y2
t ]
= E[( t − θ1 t−1 − ... − θq t−q)2
]
= E[ 2
t + θ2
1
2
t−1 + ... + θ2
q
2
t−q + 2A
= σ2
+ θ2
1σ2
+ ... + θ2
q σ2
γ0 = σ2
(1 + θ2
1 + ... + θ2
q )
(15)
A é o produto cruzado dos termos.
4.2.3 Autocovariância
A autocovariância de ordem k um dado valor γk.
γk = E[ytyt−k]
γk = σ2
(−θk + θ1θk+1 + θ2θk+2 + ... + θqθq−k)
(16)
Exemplo 1: MA(1)
O modelo MA(1) é o que segue,
yt = t − θ1 t−1 (17)
Página 12 de 47

1. Variância:
γ0 = E[y2
t ]
= E[( t − θ1 t−1)2
]
= E[ 2
t − θ2
1
2
t−1 − 2θ1 t t−1]
= σ2
− θ2
1σ2
γ0 = σ2
(1 − θ1)
(18)
2. Autococariância de ordem 1:
γ1 = E[ytyt−1]
= E[( t − θ1 t−1)( t−1 − θ1 t−2)]
= E[ t t−1 − θ1 t t−2 − θ1
2
t−1 + θ2
1 t−1 t−2]
γ1 = −θ1σ2
(19)
γ2 = E[ytyt−2]
= E[( t − θ1 t−1)( t−2 − θ1 t−3)]
γ2 = 0
(20)
Exemplo 2: MA(2)
O modelo MA(2) é o que segue,
yt = t − θ1 t−1 − θ2 t−2 (21)
1. Variância:
γ0 = E[y2
t ]
= E[( t + θ1 t−1 + θ2 t−2)2
]
= E[ 2
t + θ2
1
2
t−1 + θ2
2
2
t−2 + 2Λ]
= σ2
+ θ2
1σ2
+ θ2
2σ2
γ0 = σ2
(1 + θ2
1 + θ2
2)
(22)
Onde Λ é o produto cruzado de yt.
γ1 = E[ytyt−1]
= E[( t − θ1 t−1 − θ2 t−2)( t−1 − θ1 t−2θ2 t−3)]
= E[ tyt−1 − θ1
2
t−1 + θ1 t−1(θ1 t−2 + θ2 t−3) + θ2θ1
2
t−2 − θ1 t−2( t−1 − θ2 t−3)]
= −θ1σ2
+ θ2θ1σ2
γ1 = σ2
(−θ1 + θ2θ1)
(23)
γ2 = E[ytyt−2]
= E[( t − θ1 t−1 − θ2 t−2)( t−1 − θ1 t−3 − θ2 t−4)]
= E[ tyt−2 − θ1 t−1yt−2 − θ2
2
t−2 + θ2 t−2(θ1 t−3 + θ2 t−4)]
γ2 = −θ2σ2
(24)
Página 13 de 47

4.2.4 Transformaç ão de um MA(1) em AR(∞)
Percebemos que não há nenhuma restri¸cão sobre θi para que as caracter´ısticas do modelo
existam. Entratanto, é poss´ıvel transformarmos um modelo MA(1) em um modelo do tipo
AR(∞) e, para isso, é necessária a condi¸cão |φ| < 1, aqui chamada de condi¸cão de inversibilidade.
Vamos agora mostrar ao leitor o processo de inversão. Considere o modelo abaixo,
yt = t − θ1 t−1 (25)
Defasando 25 temos,
yt−1 = t−1 − θ1 t−2 (26a)
t−1 = yt−1 + θ1 t−2 (26b)
Substituindo 26b em 25 obtemos
yt = t − θ1(yt−1 + θ1 t−2)
= t − θ1yt−1 + θ2
1 t−2
(27)
Repetindo esse processo de maneira iterativa chegamos a um modelo AR(∞)
yt = t − θ1yt−1 + θ2
1 t−2 + ... (28)
4.3 Modelos ARMA
Defini¸cão 4.3. Dizemos que um modelo é auto-regressivo de médias móveis quando a variável
em questão é explicada por seus valores passados assim como pelos choques aleatórios pressente e
passados. Equacionando temos o ARMA(p,q),
yt = φ1yt−1 + · · · + φpyt−p + t − θ1 t−1 − · · · − θq t−q (29)
A dedu¸cão das caracter´ısticas para o modelo ARMA(p,q) é de natureza complexa e por se
tratar de um texto introdutório a deixamos de lado.
4.3.1 Exemplo
O modelo ARMA(1,1) é o que segue,
yt = φyt−1 + t − θ t−1 (30)
Vamos mostrar agora as caracter´ısticas do modelo descrito em 30.
1. Variância:
γ1 = E[ytyt−1]
= E[(φyt−1 + t − θ t−1)yt−1]
= E[φy2
t−1 + yt−1 t − θyt−1 t]
γ1 = φγ0 − θσ2
(32)
3. Autocovariância de ordens à ordem 2:
γk = E[ytyt−k]
= E[(φyt−1 + t − θ t−1)yt−k]
= E[φyt−1yt−k + yt−k t − θyt−k t−1]
γk = φγk−1
(33)
Página 14 de 47

5 Operadores de defasagem
Antes de apresentarmos ao leitor o modelo ARIMA é necessário que seja mostrada uma
maneira alternativa de testar se o processo gerador da série é estacionário ou não, até
agora seria preciso observar se as condi¸cões da defini¸cão 3.1. Tal maneira é poss´ıvel pois a
condi¸cão de estacionaridade já é de nosso conhecimento. O operador será mostrado para
modelos AR(p) e MA(q) nesta se¸cão e para o modelo ARIMA na se¸cão 6.1.
5.1 Operador de defasagem de um AR(p)
Dado um modelo
yt = φ1yt−1 + · · · + φpyt−p + t (34)
Definimos,
Defini¸cão 5.1. O operador de defasagem como sendo um Ln tal que
Ln
yt = yt−n (35)
Aplicando 35 à 34 temos,
yt = φ1Lyt + · · · + φpLp
yt
yt(1 − φ1L + · · · + φqLp
) = t
ytφi(L)P
= t, com i = 1, 2, . . . , p
(36)
onde,
φi(L)P
= 1 − φ1L + · · · + φqLp
(37)
é chamado de polinômio caracter´ıstico. Para que o processo gerador da série seja considerado
estacionário é necessário que a rela¸cão entre as p ra´ızes de 37 e os φ s garantam que
|φi| < 1 ∀ i = 1, . . . , p. Mostraremos esse importante resultado para o AR(1).
5.1.1 Polinômio Caracter´ıstico do AR(1)
De 37 temos o polinômio do AR(1), basta resolvermos para L,
0 = 1 − φ1L
φ1L = 1
L =
1
φ1
(38)
Vê se então que a raiz de φ1(L) é o inverso de φ1. Como a condi¸cão de estacionaridade
é que os coeficientes sejam menores do que 1 em módulo, então se |L| > 1 ⇒ o processo
gerador da série é estacionário.
5.2 Operador de defasagem de um MA(q)
Dado um modelo,
yt = t − θ1 t−1 − · · · − θq t−q (39)
Definimos,
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Defini¸cão 5.2. O operador de defasagem como sendo um Bn tal que
Bn
yt = t−n (40)
Aplicando 40 à 39 temos,
yt = t − θ1A t − · · · − θqAq
t
= t(1 − θ1A − · · · − θq)
yt = tθi(A)q
, com i = 1, 2, . . . , q
(41)
onde,
θi(A)q
= 1 − θ1A − · · · − θqAq
(42)
é chamado de polinômio caracter´ıstico. Para que o processo gerador da série seja considerado
estacionário é necessário que a rela¸cão entre as q ra´ızes de 42 e os θ s garantam que
|θi| < 1 ∀ i = 1, . . . , q. A demonstra¸cão dessa importante resultado para o modelo MA(1) é
análogo ao da se¸cão 5.1.1 e deixamos para o leitor resolver como exerc´ıcio teórico.
5.3 Representaç ão ARMA(p, q)
Um modelo do tipo ARMA(p, q) pode ser representado utilizando-se os operadores de
defasagem L e A apresentados nas se¸cões anteriores.
A seguir mostramos como:
yt = φ1yt−1 + · · · + φpyt−p + t − θ1 t−1 − · · · − θq t − q
= φ1Lyt + · · · + φpLp
yt + t − θ1A t − · · · − θqAq
t
yt(1 − φ1L + · · · + φqLp
) = t(1 − θ1A − · · · − θq)
ytφi(L)P
= tθj(A)q
, com i = 1, . . . , p e j = 1, . . . , q
(43)
6 Modelos ARIMA
Já conhecendo os operadores de defasagem podemos, agora, terminar a discussão sobre os
modelos de séries temporais apresentando ao leitor os modelos com operador de integra¸cão,
que são utilizados para tornar poss´ıvel a análise de séries temporais não estacionárias. Isso
é poss´ıvel pois muitas variáveis econômicas apresentam comportamento não estacionário se
medidas em n´ıvel, porém ao se utilizar o operador de integra¸cão (de ordem i)3, a variável
passa a ter um comportamento estacionário.
Defini¸cão 6.1. O operador de diferen¸cas é um ∆ tal que,
∆i
yt = yt − yt−i (44)
É importante notar a rela¸cão que há entre ∆ e os operadores de desafagem, sendo ela
∆ = 1 − L, essa demonstra¸cão é simples e a deixamos como exerc´ıcio teórico para o leitor4.
3
Normalmente a primeira ou segunda ordem de integra¸cão para estacionar a série.
4
Fa¸ca-o agora.
Página 16 de 47

6.1 ARIMA(p, i, q)
Suponha que tenhamos o modelo,
yt = φ1yt−1 + · · · + φpyt−p + t − θ1 t−1 − · · · − θq t − q (45)
cujo yt apresenta um comportamento não estacionário. Em frente disso, podemos tomar
sua primeira diferen¸ca e testar se ∆yt é estacionária, continuaremos fazendo esse processo
até a ordem i onde a variável ∆iyt é estacionária. Equacionaremos agora o que foi dito.
Aplicando a defini¸cão 6.1 à 45 temos,
∆i
yt = φ1∆i
yt−1 + · · · + φp∆i
yt−p + tθ(A)q
∆i
yt − φ1∆i
yt−1 + · · · − φp∆i
yt−p = tθ(A)q
∆i
yt(1 − φ1L + · · · + φqLp
) = tθ(A)q
(1 − L)i
ytφ(L)p
= tθ(A)q
(46)
onde o último passo foi derivado do resultado já demonstrado pelo leitor como exerc´ıcio.
6.2 Exemplo
Analisaremos agora a taxa de câmbio R$/U$ entre janeiro de 1995 e agosto de 20165. A
figura 5 traz o plot da série.
1
2
3
4
1995 2000 2005 2010 2015
R$/U$
Figura 5: Câmbio R$/U$ entre Jan/95 e Ago/16
Como já mostrado na se¸cão 3, é necessário que a série seja estacionária para que a análise
de séries temporais possa ser aplicada. Será que a série da figura 5 é estacionária, leitor?
5
Dispon´ıvel em https://fred.stlouisfed.org/series/DEXBZUS
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Vamos utilizar aqui o teste de Dickey-Fuller6 7 aumentado para testar a estacionaridade
da série. O teste tem como hipótese nula a não estacionaridade da série e escolhemos o
clássico n´ıvel de significância de 5%.
O resultado do teste é p do teste é p =0.595> 0.05 então aceitamos a hipótese nula, i.e., a
série é não estacionária . O que havemos de fazer? Recomendo um e então aplicar a
defini¸cão 6.1 à série e testar novamente.
Tabela 2: Taxa de Câmbio Real/Dólar
Câmbio 1ª diferen¸ca
01/01/1995 0.846 0
01/02/1995 0.841 -0.005
01/03/1995 0.890 0.049
01/04/1995 0.907 0.017
01/05/2016 3.540 -0.023
01/06/2016 3.423 -0.117
01/07/2016 3.278 -0.145
01/08/2016 3.196 -0.082
A tabela 2 mostra o in´ıcio e o final da taxa de câmbio em n´ıvel e sua 1ª diferen¸ca.
Iremos repetir a análise para a 1ª diferen¸ca, come¸cando com a figura 6. É clara a mudan¸ca
entre a figura 5 e 6. Repetindo o teste Dickey-Fuller aumentado temos como resultado o
valor p =0.01< 0.05 então rejeitamos a hipótese nula. Disso conclu´ımos que a série não é
estacionária em n´ıvel, porém sua 1ª diferen¸ca é e, portanto, é ela (1ª diferen¸ca) que seria
usada para a análise da série.
6
Não se preocupe que isso é cena de próximos cap´ıtulos, a verifica¸cão da estacionaridade de uma série será
abordada mais adiante
7
Só dando uma intui¸cão ao leitor, o teste de Dickey-Fuller aumentado testa a signifiância do coeficiente da
primeira diferen¸ca de uma variável regredida contra sua primeira diferen¸ca e a tendência da série.
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−0.2
0.0
0.2
0.4
1995 2000 2005 2010 2015
1ªDiferença
Figura 6: 1ª Diferen¸ca da taxa de câmbio
Passemos agora aos modelos sazonais.
7 Modelos Sazonais
Aqui vamos apresentar uma introdu¸cão aos modelos sazonais, que em muito assemelham-se
aos modelos ARIMA. A sazonalidade nada mais é do que a influência da variável no ponto
de tempo t − s sobre a variável no per´ıodo t. A intui¸cão disso, classicamente, é passada
com o exemplo das vendas de varejo. A quantidade de vendas no varejo de mar¸co/16 é
mais explicada pela quantidade das vendas de mar¸co/15 do que a quantidade de vendas no
varejo de fev/16, no caso do varejo, o valor de s seria 12.
Este comportamento é muito comum em séries que possuem mais de uma observa¸cão dentro
de um ano (trimestrais, mensais, diários etc.), entretanto, nada restringe que séries anuais
possuam um componente sazonal. Mostraremos os tipos de modelos teóricos e em seguida
dar-se-á exemplos.
7.1 SAR(P) ou AR(P)s
Defini¸cão 7.1. Dizemos que um modelo é auto-regressivo sazonal quando a variável em
questão, no instante de tempo t, é explicada por seus valores assumidos nos instante de
tempo t − 2, t − 2s, . . . e pelo ru´ıdo branco. Equacionando temos,
yt = Φ1yt−s + Φ2yt−2s + · · · + ΦP yt−Ps + t
ytΦ(Ls)P
= t
(47)
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7.2 SMA(Q) ou MA(Q)s
Defini¸cão 7.2. Dizemos que um modelo é de médias móveis sazonal quando a variável em
questão, no instante de tempo t, é explicada por seus valores assumidos nos instante de
tempo t − 2, t − 2s, . . . e pelo ru´ıdo branco. Equacionando temos,
yt = t − Θ1 t−s − · · · − ΘQ t−Qs
yt = tΘ(Bs)Q
(48)
7.3 SARIMA(P, I, Q) ou ARIMA(P, I, Q)s
Jun¸cão do SAR(P) com SMA(Q) e filtros de integra¸cão para estacionar a série (caso
necessário), que resulta em,
Φ(Ls)P
(1 − L)I
yt = Θ(Bs)Q
t (49)
7.4 ARIMA(p, i, q)(P, I, Q)
Os modelos sazonais até agora mostrados assumem (implicitamente) que a variável não está
correlacionada com valores anteriores seus que não sejam múltiplos de s, porém isso não se
mostra muito presente nos dados, como pode ser observado nos dados sobre passageiros. O
modelo ARIMA(p, i, q)(P, I, Q), ou modelo multiplicativo geral, é bastante utilizado, pois
ele possui componentes estocásticos e componentes sazonais. Sem mais delongas, voi-là o
modelo,
φ(L)p
Φ(Ls)P
∆i
∆I
yt = θ(B)q
Θ(B)Qs
t (50)
Com isso terminamos a introdu¸cão aos tipos de modelos de séries temporais que era o
objetivo da primeira parte. A próxima parte dedica-se à Metodologia de Modelagem e
Previsão Box & Jenkins.
Página 20 de 47

Parte II
Metodologia Box & Jenkins
Até aqui foi apresentado ao leitor tipos de modelos de séries temporais univariados8, tais
modelos podem ser utilizados pela metodologia Box & Jenkins que tem como objetivo a
previsão dos valores que a variável irá assumir. A metodologia Box & Jenkins consiste em 4
etapas, sendo elas 1ª identifica¸cão, 2ª estima¸cão, 3ª verifica¸cão e 4ª previsão. Apresentá-la
ao leitor é o objetivo desta parte do texto.
8 Identificaç ão
As figuras 7 e 8 mostram um modelo AR(2) e um MA(2). O leitor saberia dizer qual figura
mostra qual tipo de modelo?
O autor espera que a resposta tenha sido uma negativa, isto porque o gráfico da variável
pode no máximo nos dizer se a variável é ou não estacionária. Frente a isso, é necessário que
utilizemos um ferramental formal, para determinar quais filtros devem conter no modelo
que melhor representa os dados. Para isso, utilizaremos as fun¸cões de autocorrela¸cão (FAC)
e autocorrela¸cão parcial (FACP).
−3
−2
−1
0
1
2
3
0 20 40 60 80 100
Tempo
Variável1
Figura 7: Variável 1
8
Dependem apenas da própria variável.
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−15
−10
−5
0
5
0 20 40 60 80 100
Tempo
Variável2
Figura 8: Variável 2
8.1 Funç ões FAC e FACP
8.1.1 Funç ão de autocorrelaç ão
É a autocorrela¸cão que há entre o per´ıodo t e k.
Defini¸cão 8.1. A fun¸cão de autocorrela¸cão é dada pelos pares (k, ρk) gerados por,
ρk =
Cov(yt, yk)
V ar(yy)
=
γk
γ0
(51)
Para termos os valores de ρ basta efetuarmos o cálculo e plotar no espa¸co k × ρ = IR2
.
Já adiantamos que na análise de séries amostrais é necessário conhecer a distribui¸cão de
ˆρ quando ρ = 0, de modo que possamos testar as hipóteses nulas de que ˆρ = 0. Bartlett
(1946) apud Vasconcellos and Alves (2000) mostra que,
V ar(ˆρk) =
1
n
(1 + 2ˆρ2
1 + · · · + ˆρ2
j ), ∀ k > j (52)
onde ˆρk ∼ N(0, 1/n). E disso pode-se construir os testes tradicionais de significância
individual. Como alternativa aos testes individuais pode-se utilizar o teste de Ljung-Box
para verificar se os primeiros k coeficientes são conjuntamnte nulos (como de praxe, esta é
a hipótese nula). A estat´ıstica é dada por,
Q(K) = n(n + 2)
K
k=1
ˆρ2
k
n − k
(53)
que segue a distribui¸cão χ2 com K graus de liberdade.
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8.1.2 Funç ão de autocorrelaç ão parcial
Mede a autocorrela¸cão entre yt e yt−k depois de descontada a influência de yt−1, . . . , yt−k+1
sobre yt.
Defini¸cão 8.2. A fun¸cão de autocorrela¸cão parcial é dada pelos pares (k, φkk), onde o
primeiro k de φkk refere-se à linha da equa¸cão no sistema e o segundo refere-se à ordem
de autocorrela¸cão, representados no espa¸co k × φkk = IR2
, que podem ser gerados de duas
maneiras:
a) Aplicando m´ınimos quadrados nas equa¸cões abaixo:
yt = β11yt−1 + t ⇒ φ11 = β11
yt = β21yt−1 + β22yt−2 + t ⇒ φ22 = β22
...
yt = βk1yt−1 + · · · + βkkyt−k t ⇒ φkk = βkk
(54)
b) Resolvendo o sitema derivado das equa¸cões de Yule-Walker9:
ρ(1) = φ1ρ(0) + φ2ρ(1) + · · · + φpρ(p − 1)
ρ(2) = φ1ρ(1) + φ2ρ(0) + · · · + φpρ(p − 2)
...
ρ(p) = φ1ρ(p − 1) + φ2ρ(p − 2) + · · · + φpρ(0)



φkk = φk, k = 1, . . . , p (55)
Veremos, agora, como determinar os filtros de integra¸cão, auto-regressivos e de média
móveis.
8.2 Determinaç ão dos filtros de integraç ão
Regra de Bolso: Se para k > 5 ainda tivermos |γk| > 0, 7 a série deve ser considerada não
estacionária (Vandaele, 1983). Nesse caso, deve-se aplicar o operador de diferen¸cas até que
a regra de bolsa seja atendida e então ter-se-á ∆i como filtro de integra¸cão.
8.3 Filtros auto-regressivos e de média móvel
Podemos estudar o comportamento das fun¸cões FAC e FACP de cada modelo teórico
ARMA de modo a observarmos suas caracter´ısticas. Desse modo, ao plotarmos os pares
(k, ˆρk) e (k, ˆφkk) podemos analisar as caracter´ısticas, comparar com as dos modelos teóricos
e escolher os modelos ‘candidatos’ a geradores da série.
8.3.1 AR(1)
Retomando 5 temos,
yt = φyt−1 + t (56)
onde,
a) FAC:
ˆρk =
ˆγk
ˆγ0
= ˆφk
, k = 1, . . . , k (57)
Devida a condi¸cão de estacionaridade a FAC de AR(1) decresce exponencialmente.
9
Ver se¸cão 13 em III
Página 23 de 47

b) FACP:
ˆφkk =
= 0, se k = 1
= 0, se k = 2, . . . , k
(58)
Então FACP é truncada10 em k = 1 = p.
A figura 9 mostra esse comportamento.
−0.20.20.40.60.8
Lag
FAC
AR(1) com phi=0.9
5 10 15 20
−0.20.20.40.60.8
Lag
FACP
AR(1) com phi=0.9
5 10 15 20
−0.50.00.5
Lag
FAC
AR(1) com phi=−0.9
5 10 15 20
−0.8−0.40.00.2
Lag
FACP
AR(1) com phi=−0.9
5 10 15 20
Figura 9: FAC e FACP de um AR(1)
8.3.2 AR(p)
Retomando 1 temos,
yt = c + φ1yt−1 + ... + φqyt−p + t (59)
onde,
10
Entenda-se ‘truncada como a fun¸cão ser significante até a defasagem p.
Página 24 de 47

a) FAC:
ˆρk = ˆφ1 ˆρk−1 + ˆφ2 ˆρk−2 + · · · + ˆφp ˆρk−p, = 1, . . . , k (60)
O comportamento não é obvio11, mas FAC do AR(p) descresce exponencialmente
e/ou apresenta ondas senoidais.
b) FACP:
ˆφkk =
= 0, se k = 1, . . . , p
= 0, se k > p
(61)
De modo que FACP de AR(p) é truncada em k = p.
A figura 10 mostra essa comportamento, onde p = 20.
−0.50.00.5
Lag
FAC
AR(20)
0 20 40 60 80 100
−0.40.00.4
Lag
FACP
AR(20)
0 20 40 60 80 100
Figura 10: FAC e FACP de um AR(20)
11
O leitor pode confiar em mim, mas pode também verificar no cap´ıtulo 3 de (Brockwell and Davis, 2002).
Página 25 de 47

8.3.3 MA(1)
Um MA(1) é o modelo que segue,
yt = t − θ1 t−1 (62)
onde,
a) FAC:
ˆρk
= −ˆθ1
1+ˆθ1
, se k = 1
= 0, se k > 1
(63)
De modo que a FAC de MA(1) é truncada em k = 1 = q.
b) FACP: É necessário transformar o MA(1) em um AR(∞) para se chegar ao resultado
que segue:
ˆφkk =
−(ˆθ)k
1 + ˆθ2 + · · · + ˆθ2k
(64)
Devido á condi¸cão de invertibilidade, a FACP de MA(1) decresce exponencialmente.
A figura 11 mostra essa comportamento.
Página 26 de 47

−0.20.00.20.4
Lag
FAC
MA(1) com theta=0.9
5 10 15 20
−0.20.00.20.4
Lag
FACP
MA(1) com theta=0.9
5 10 15 20
−0.5−0.3−0.10.1
Lag
FAC
MA(1) com theta=−0.9
5 10 15 20
−0.5−0.3−0.10.1
Lag
FACP
MA(1) com theta=−0.9
5 10 15 20
Figura 11: FAC e FACP de um MA(1)
8.3.4 MA(q)
Retomando 13 temos,
yt = t − θ1 t−1 − ... − θq t−q (65)
onde,
a) FAC:
ˆρk =
= 0, se k = 1, . . . , q
= 0, se k > q
(66)
De modo que a FAC de MA(q) é truncada em k = q.
b) FACP: Decresce à medida que k aumenta, porém sem nenhum padrão.
A figura 12 mostra essa comportamento, onde q = 20.
Página 27 de 47

−0.40.00.4
Lag
FAC
MA(20)
0 20 40 60 80 100
−0.20.20.6
Lag
FACP
MA(20)
0 20 40 60 80 100
Figura 12: FAC e FACP de um MA(20)
8.3.5 ARMA(1,1)
Retomando 30 temos,
yt = φyt−1 + t − θ t−1 (67)
onde,
a) FAC
ˆρk =



(1−ˆφˆθ)(ˆφ−ˆθ)
1+ˆθ2−2ˆφˆθ
, se k = 1
ˆφˆρk−1, se k > 1
(68)
b) FACP: Deve ser transformado num AR. Devido a condi¸cão de estacionaridade a FACP
será decrescente à medida que k aumenta, recomendo que o leitor veja o exemplo da
página 64 em Enders (2014) para a verifica¸cão do que foi afirmado.
Página 28 de 47

A figura 13 mostra essa comportamento.
−0.20.20.40.60.8
Lag
FAC
ARMA(1,1) com phi=theta=0.9
5 10 15 20
−0.40.00.40.8
LagFACP
ARMA(1,1) com phi=theta=0.9
5 10 15 20
−1.0−0.50.00.5
Lag
FAC
ARMA(1,1) com phi=theta=−0.9
5 10 15 20
−1.0−0.6−0.20.2
Lag
FACP
ARMA(1,1) com phi=theta=−0.9
5 10 15 20
Figura 13: FAC e FACP de um ARMA(1,1)
8.3.6 ARMA(p, q)
As fun¸cões de autocorrela¸cão e autocorrela¸cão parcial são inúteis na determina¸cão de qual
deve ser o modelo adotado quando se tratando de ARMA, de modo que vamos caracterizá-
las brevemente. A FAC de um ARMA come¸ca a decrescer em k = q e a FACP em k = p
(Enders, 2014).
8.4 ‘Regra’ para determinaç ão dos filtros
A tabela 3 mostra um resumo para auxiliar na identifica¸cão dos filtros averiguando o
comportamento da FAC e FACP.
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Tabela 3: Regra auxiliar
FAC FACP
AR(p) Declinante Significante até a defasagem p
MA(q) Significante até a defasagem p Declinante
ARMA(p,q) Declinante Declinante
8.5 Crtitérios
As fun¸cões FAC e FACP teóricas são bem comportadas de modo que a indentifica¸cão do
modelo correto é poss´ıvel analisando-as, porém ao trabalharmos com as séries coletadas
estaremos lidando com FAC e FACP amostrais que apresentam um comportamento não tão
bem definido. Essa ‘subjetividade’ na escolha do modelo incomodou muitos estat´ısticos. Por
sorte, foram desenvolvidas estat´ısticas para elimiar (pelo menos em parte) a subjetividade
dessa escolha e aqui apresentaremos à você, leitor, duas importantes delas.
8.5.1 Critério de Informaç ão de Akaike(AIC)
Desenvolvido pelo estat´ıstico japonês Hirotugu Akaike e publicado em 197412, esta estat´ıstica
tem como intui¸cão medir o trade-off entre acrescentar mais um parâmetro e a informa¸cão
perdida devida ao acréscimo, e é obtida através de
AIC = ln ˆσ2
+
2(p + q)
n
(69)
É importante evidenciar que o AIC não mede, em nenhum senso, a qualidade do ajuste do
modelo tampouco é uma estat´ıstica que possui uma hipótese nula a ser testada. O que a
estat´ıstica traz (e isso está claro em 69) é uma estimativa da quantidade de informa¸cão
perdida no modelo. E, desta última frase, pode-se inferir corretamente, que deve-se escolher
o modelo que apresentar o menor valor da estat´ıstica.
8.5.2 Critério de informaç ão Bayesiana (BIC)
Desenvolvido por Gideon Schwarz e publicado em 197813, esta estat´ıstica tem a mesma
intui¸cão da AIC, a principal diferên¸ca, que ficará clara em seguida, é que a BIC penaliza
mais o acréscimo de parâmetros. É obtida por,
BIC = ln ˆσ2
+
(p + q) ln n
n
(70)
Asism como AIC, o BIC não mede grau de ajustamento do modelo, nem possui uma
hipótese nula a ser testada e sim, uma estimativa da quantidade de informa¸cão perdida, o
que implica que deve-se escolher o modelo que apresenta o menor valor de BIC. Destaca-se,
por fim que os critérios AIC e BIC andam juntos de modo que o modelo que apresentar o
menor AIC, também apresentará (em grande parte dos casos) o menor BIC.
12
(Akaike, 1974)
13
(Schwarz, 1978)
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9 Estimaç ão
Escolhidos os valores de p, i, q temos o modelo,
∆i
ytφ(L)p
= tθ(A)q
(71)
Podemos estimar 71 de duas maneiras.
9.1 M´ınimos Quadrados Ordinários
A clássica minimiza¸cão do quadrado dos erros,
n
t=1
ˆ2
t =
n
t=1
[∆i
yt
ˆφ(L)p
ˆθ(A)q
]2
(72)
onde resolve-se o sistema gerado pelas p + q derivadas.
9.2 Máxima Verossimilhança
Maximizando a seguinte equa¸cão,
f(ˆφ, ˆθ, ˆσ2
/W) = (2ˆφˆσ2
)−n/2
× |ˆΩ|−1/2
× exp[−
1
2
W ˆΩ−1 W
ˆσ2
] (73)
onde,
ˆ ˆt ∼ N(0, ˆσ2) (implica na próxima)
ˆ ˆwt ∼ N(0, ˆσ2 ˆΩ)
ˆ W =



∆iy1
...
∆iyn



ˆ Ω = E[WW ]: a matrix de covariância
Claramente os cálculos são complexos e, na prática utiliza-se, o software de sua escolha
para a estima¸cão do modelo.
Exemplo
Antes de continuarmos, que tal um exemplo para melhor compreensão de como ocorreria o
processo de identifica¸cão na prática, leitor?
Vamos analisar a d´ıvida l´ıquida do governo federal e banco central como percentagrem do
PIB entre janeiro de 2002 e julho de 201614.
A figura 14 mostra a série em n´ıvel.
14
Série nº 4503 do sistema gerenciador de séries temporais do banco central do Brasil.
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20
25
30
35
40
2005 2010 2015
DívidaPública(%)
Figura 14: D´ıvida do governo federal e banco central (% do PIB)
Utilizaremos, uma vez mais, o teste Dickey-Fuller aumentado para verificar a estacionaridade
da série. O valor p do teste é 0.69, que é maior do que 5% (nosso clásico n´ıvel de significância),
então a hipóetese nula, de não estacionaridade, não é rejeitada. Já para a primeira diferen¸ca
da série, o valor p do teste é 0.01, o que torna a estat´ıstica significativa a um n´ıvel de 5% e,
portanto, rejeitamos a hipótese de não estacionaridade. Podemos observar isso na figura 15.
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−4
−2
0
2
4
2005 2010 2015
1ªDiferençadadívidapública
Figura 15: 1ª Diferen¸ca da d´ıvida pública
Até aqui nenhuma novidade, porém vamos agora identificar os poss´ıveis filtros.Vamos
analisar as fun¸cões FAC e FACP.
−0.2−0.10.00.10.2
Defasagem
Autocorrelação
6 12 18 24
Figura 16: Autocorrela¸cão da 1ª diferen¸ca
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−0.2−0.10.00.10.2
Defasagem
AutocorrelaçãoParcial
6 12 18 24
Figura 17: Autocorrela¸cão Parcial da 1ª diferen¸ca
As faixas azuis nos correlogramas representando o intervalo de confian¸ca das autocorrela¸cões.
Analisando as figuras 16 e 17 vemos que o comportamento das fun¸cão assemelha-se aos
modelos AR(1) e MA(1), qual devemos escolher? Vamos estimar os modelos 74a, 74b e
74c.
wt = ˆφ1wt−1 + ˆt (74a)
wt = ˆt − ˆθ1ˆt−1 (74b)
wt = ˆφ1wt−1 + ˆt − ˆθ1ˆt−1 (74c)
onde wt = ∆yt é a primeira diferen¸ca da d´ıvida do governo federal e do banco central do
Brasil como % do PIB.
Tabela 4: Resultados da Estima¸cão
Phi Theta AIC BIC
Ar(1) -0.026 - 450.5715 456.8896
MA(1) - -0.0182 451 456.9249
ARMA(1,1) -0.9833 0.9377 447.5191 456.9962
A tabela 4 traz os coeficientes e valores dos critérios de informa¸cão para os três modelos.
Aqui utilizamos os critérios de informa¸cão para auxiliar na decisão, percebe-se que os
critétios BIC sofrem pequenas mudan¸cas de pensendo de cada modelo, já o AIC apresenta
uma diferen¸ca de 3.0524 entre os modelos que apresentam os menores AIC. Portanto, o
modelo identificado para representar a 1ª diferen¸ca da d´ıvida pública é o que segue,
wt = −0.98wt−1 + ˆt − 0.94ˆt−1 (75)
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10 Verificaç ão
Estimados os coeficientes e a variância do erro, passamos agora à etapa de verifica¸cão,
i.e., verificar se o modelo estimado representa o processo gerador da série de uma maneira
satisfatória. Essa etapa é feita através de (i) análise dos res´ıduos e (ii) avalia¸cão da ordem
do modelo.
10.1 Análise dos Res´ıduos
10.1.1 Individualmente
Os res´ıduos (ˆt) do modelo estimado são estimativas do ru´ıdo branco ( t) e, portanto, os
coeficientes de autocorrela¸cão residual devem ser estatisticamentes iguais a zero. Isso pode
ser testado de acordo com testes tradicionais de significância, visto que a distribui¸cão é de
nosso conhecimento:
rk(ˆt) =
n
t=k+1
ˆtˆt−k
n
t=1
ˆ2
t
, onde rk(ˆt) ∼ N(0, 1/n) (76)
10.1.2 Conjuntamente
Há também como testar se os k primeiros coeficientes são conjuntamente iguais à zero.
Para tal utiliza-se uma varia¸cão de 53 que segue,
Q∗
(K) = n(n + 2)
K
k=1
rk(ˆ)
n − K
(77)
que segue a distribui¸cão χ2 com K − p − q graus de liberdade. Com a nulidade sendo a
hipótese nula.
10.2 Avaliaç ão da ordem do modelo
Voltemos nossa aten¸cão agora para os valores de p e q. Queremos garantir que o modelo
não está nem superestimado nem subestimado. O critério da parcimônia afirma que não
deve-se ter parâmetros em excesso no modelo e por isso fazemos essa avalia¸cão, a fim de
garantir que tenhamos um modelo com ordem significativa.
a) Utiliza-se o erro padrão referentes aos coeficientes para verificar se há parâmetros
redundantes. Um valor grande do erro padrão de um parâmtro em rela¸cão ao valor do
mesmo é uma indica¸cão de que o modelo está superestimado. Caso seja o coeficiente
de maior ordem (que indique poss´ıvel superestima¸cão) então, deve-se estimar um
modelo omitindo o parâmetro de maior ordem, já no caso de ser um dos parâmetros
de menor ordem então, busca-se autocorrela¸cão entre ele e os demais parâmetros.
b) A verifica¸cão da subestima¸cão é feita simplesmente adicionando parâmetros (um por
vez) e analisando a significância estat´ıstica.
Sobre a medida da qualidade do ajustamento do modelo em regressão, R2, vale destacar
que em séries temporais a mesma não exerce o mesmo papel. Isso é mostrado por Nelson
(1976) apud Vasconcellos and Alves (2000). Destacamos ainda que, quando houver dúvida
Página 35 de 47

entre qual modelo utilizar recorrer-se-á à variância do res´ıduo e aos critérios de informa¸cão
(procurando sempre os menores valores). Um último comentário sobre as etapas de escolha
e verifica¸cão do modelo é que em certa medida esta escolha tem um toque do ‘arte’, pois o
componente subjetivo, mesmo que auxiliado por essa metodologia e testes objetivos, não é
exclu´ıdo 100% da escolha, nada lhe impede de modelar a série com um modelo que não
apresente os menores valores critérios de informa¸cão.
11 Previsão
O último passo da metodologia consiste em seu objetivo principal: a previsão do compor-
tamento da variável. Vasconcellos and Alves (2000) traz uma introdu¸cão teórica sobre o
assunto para aqueles que tiverem interesse, pois aqui nos restringiremos a dar a intui¸cão do
funcionamento da previsão.
Intuiç ão
A previsão do comportamento de yt pode ser feita de duas maneiras: (i) pontual e (ii) por
intervalo. Na primeira, é necessário definir o melhor estimador da série, i.e., aquele que
miniza os erros (a distância entre os pontos observados da linha projetada pelo modelo),
de modo a ter-se uma proposi¸cão do tipo: Daqui a l per´ıodos ter-se-á yt+l = κ, com
probabilidade de 1 − α.
Já a técnica de previsão por intervalo, consiste em estimar-se valores máximos e m´ınimos
que yt irá assumir. Isso resulta em uma proposi¸cão do tipo: Daqui a l per´ıodos o valor
assumido por yt+l estará entre κMin e κMax com probabilidade de 1 − α.
12 Comentário Final
O objetivo da metodologia aqui apresentada é a previsão do comportamento de determinada
variável. Além de ser efeciente para as previsões o aprendizado da metodologia ajuda a
desenvolver o racioc´ınio anal´ıtco de séries temporais. Entretando, a populariza¸cão dos
computadores possibilitou o desenvolvimento de algor´ıtmos capazes de ajustar modelos
a partir dos dados de maneira muito mais eficiente em rela¸cão à capacidade anal´ıtica,
escpecialmente em casos cujo número de séries temporais a serem analisadas é muito grande.
Como afirma o estat´ıstico Robin J Hyndman em uma aula para o clube do R de Melbourne
‘os algor´ıtmos muito provavelmente irão fazer um trabalho muito melhor que o de vocês’15.
15
Tradu¸cão livre a partir da aula dispon´ıvel em https://www.youtube.com/watch?v=1Lh1HlBUf8k
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Parte III
Tópicos
13 Equaç ões de Yule-Walker
As publica¸cões de George Udny Yule (1927) e Sir Gilber Thomas Walker (1931) resultaram
no que,criativamente, chamamos de equa¸cões de Yule-Walker. Tais equa¸cões são utilizadas
para a estima¸cão dos valores dos coeficientes autoregressivos de um modelo AR. Aqui
porém, também mostraremos como calcular os valores da fun¸cão de autocorrela¸cão parcial,
entretanto, para isso é necessário assumir que os coeficientes φi sejam de nosso conhecimento.
13.1 Derivaç ão das equaç ões
Suponhemos o modelo AR(p),
yt = φ1yt−1 + φ2yt−2 + · · · + φpyt−p + t (78)
Multiplicando 78 por yt−k, com k = 1, . . . , p para ficarmos com,
ytyt−k = φ1yt−1yt−k + φ2yt−2yt−k + · · · + φpyt−pyt−k + tyt−k (79)
Utilizando o operador de expectância em 79, de modo a ficarmos com,
E[ytyt−k] = E[φ1yt−1yt−k + φ2yt−2yt−k + · · · + φpyt−pyt−k + tyt−k] (80a)
ρk = φ1ρ(k − 1) + φ2ρ(k − 2) + · · · + φpρ(k − p) (80b)
80b é a primeira equa¸cão das de Yule-Walker. Para chegarmos a segunda vamos colocar
k = 0 em 80a, o que resulta em,
E[ytyt] = E[φ1yt−1yt + φ2yt−2yt + · · · + φpyt−pyt + tyt] (81a)
ρ(0) = φ1ρ(1) + φ2ρ(2) + · · · + φpρ(p) + σ2
(81b)
As equa¸cões 80b e 81b são as tão esperadas equa¸cões de Yule-Walker.
13.2 Montando o Sistema de Equaç ões
De 80b podemos extrair p equa¸cões,



ρ(1) = φ1ρ(0) + φ2ρ(1) + · · · + φpρ(p − 1)
ρ(2) = φ1ρ(1) + φ2ρ(0) + · · · + φpρ(p − 2)
...
ρ(p) = φ1ρ(p − 1) + φ2ρ(p − 2) + · · · + φpρ(0)
(82)
que são as equa¸cões apresentadas na defini¸cão 8.216. A partir delas mostraremos como
estimar os coeficientes autoregressivos, variância do res´ıduo e os valores da fun¸cão de
autocorrela¸cão parcial.
16
A ‘troca feita na defini¸cão e em 82 de ρ(h − p) por ρ(p − h) é poss´ıvel, pois a correla¸cão entre δ1 e δ2 é a mesma
que a correla¸cão entre δ2 e δ1.
Página 37 de 47

13.3 Estimando os Coeficientes Autoregressivos e Variância do Res´ıduo
13.3.1 Coeficientes
Podemos reescrever 82 como,





ρ(1)
ρ(2)
...
ρ(p)





=





ρ(0) ρ(1) . . . ρ(p − 1)
ρ(1) ρ(0) . . . ρ(p − 2)
...
...
...
...
ρ(p − 1) ρ(p − 2) . . . ρ(0)





×





φ1
φ2
...
φp





(83)
ou ainda em nota¸cão matricial abreviada,
γp = Γ × Φ (84)
onde,
γp =





ρ(1)
ρ(2)
...
ρ(p)





(85)
e
Γ =





ρ(0) ρ(1) . . . ρ(p − 1)
ρ(1) ρ(0) . . . ρ(p − 2)
...
...
...
...
ρ(p − 1) ρ(p − 2) . . . ρ(0)





(86)
e por fim
Φ =





φ1
φ2
...
φp





(87)
Resolvendo para Φ, teremos as estimativas dos coeficientes autoregressivos do modelo,
Φ = Γ−1
× γp (88)
13.3.2 Variância do Res´ıduo
Observa¸cão: O sobrescrito ‘ ’ denota, como de costume na literatura, a transposta da
matriz na qual ele encontra-se.
De 81b temos que,
σ2
= ρ(0) − φ1ρ(1) − φ2ρ(2) − · · · − φpρ(p)
= ρ(0) − Φ γρ
(89)
utilizando 88,
σ2
= ρ(0) − (Γ−1
× γp) γρ (90a)
σ2
= γρ(Γ−1
) γρ (90b)
onde 90b é a variância dos res´ıduos.
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13.3.3 Valores da FACP
Como, já mostrado na defini¸cão 8.2, os valores da FACP são os valores dos coeficientes φ,
i.e., ρj = φj, j = 1, . . . , p.
13.4 Exemplo
Vamos através de - um tipo de - simula¸cão de Monte Carlo trazer um exemplo da utiliza¸cão
das equa¸cões de Yule-Walker. Isto consiste em escolher os valores dos coeficientes, gerar
números aleatórios e, a partir desses, calcularmos os valores de zt. Feito isso, temos uma
série gerada a partir dos coeficentes por nós escolhidos e podemos então, utilizar métodos
para estimar os coeficientes de modo a compararmos com os coeficientes verdadeiros.
Suponha o modelo que segue,
zt = 0.5zt−1 − 0.5zt−2 + t (91)
#gerando a série
phi1<- 0.5
phi2<- -0.5
n<- 1000
set.seed(1)
z<- rep(0,n)
e<- rnorm(n)
for(t in 3:n) z[t]=phi1*z[t-1]+phi2*z[t-2]+e[t]
z<- z[801:1000]
z <- ts(z)
Figura 18: Código gerador da série zt
Onde zt é a série gerada computacionalmente pelo código mostrado na figura 18. A tabela 5
trás os 10 primeiros valores da séries e suas defasagens e a figura 19 mostra o comportamento
da série ao longo do tempo.
Página 39 de 47

−4
−2
0
2
0 50 100 150 200
z
Figura 19: Série zt ao longo do tempo
Tabela 5: Série Gerada
z t z (t-1) z (t-2)
1 0.342 -1.760 -0.056
2 -1.760 -0.056 0.840
3 -0.056 0.840 -0.152
4 0.840 -0.152 -0.674
5 -0.152 -0.674 -0.687
6 -0.674 -0.687 0.990
7 -0.687 0.990 1.566
8 0.990 1.566 -1.439
9 1.566 -1.439 -1.149
10 -1.439 -1.149 0.872
13.4.1 Coeficientes AR
O próximo passo agora é estimar ρ(0) = E[ztzt], ρ(1) = E[ztzt−1] e ρ(2) = E[ztzt−2] para
resolver o sistema linear derivado de 13.3.1,
ˆρ(1)
ˆρ(2)
=
ˆρ(0) ˆρ(1)
ˆρ(1) ˆρ(0)
×
ˆφ1
ˆφ2
Página 40 de 47

A tabela 6 mostra o resultado das autocorrela¸cões estimadas.
Tabela 6: Rho’s estimados
Estimados
rho(0) 1
rho(1) 0.297
rho(2) -0.431
Resolvendo o sistema,
0.297
−0.431
=
1 0.297
0.297 1
×
ˆφ1
ˆφ2
(92)
temos os coeficientes autoregressvivos estimados
ˆφ1 = 0.466 (93a)
ˆφ2 = −0.569 (93b)
13.4.2 Variância do Res´ıduo
Estimados os coeficientes autoregressivos vamos agora estimar a variância do res´ıduo.
De 90b temos que,
ˆσ2
=
ˆρ(1)
ˆρ(2)
(
1 0.297
0.297 1
−1
)
ˆρ(1)
ˆρ(2)
(94)
Efetuando os cálculos chegamos ao resultado
ˆσ2
= 0.234 (95)
14 Exemplo: Eficiência dos algor´ıtmos
Contextualizaç ão
A ideia desta se¸cão é mostrar ao leitor como os algoritmos são mais eficientes do que a
análise por nós feita de séries temporais. Vamos analisar a rentabilidade acumulada mensal
Página 41 de 47

do fundo de a¸cões do Banco Central do Brasil17, entre Jan/1992 e Jul/2016. O exerc´ıcio será
realizado da seguinte maneira; (i) cortaremos um peda¸co da série temporal: (ii) estimaremos
os modelos em cima do corte, i.e., usando apenas um peda¸co das observa¸cões a nossa
disposi¸cão: (iii) faremos a previsão do rendimento com base nos modelos estimados: (iii)
visualizaremos os resultados.
Exemplo
Come¸camos analisando o gráfico dos rendimendos. A figura 20 nos mostra isso.
Percebe-se claramento que a série não é estacionária18, porém ao invés de tirarmos a
primeira diferen¸ca, desta vez vamos diminuir a série para o per´ıodo de 2002 à 2016 e então
testaremos a estacionaridade.
O teste de estacionaridade é novamente o Dickey-Fuller aumentado e seu valor p é 0.01,
que é menor do 0.05, então rejeitamos a hipótese nula de não estacionaridade.
−20
0
20
40
60
1995 2000 2005 2010 2015
Time
Rendimentoacumulado(%)
Figura 20: Rendimento acumulado do fundo de a¸cões do BCB
Podemos agora analisar as fun¸cões de autocorrela¸cão e autocorrela¸cão parcial.
Analisando a figura 21 percebemos que:
a) A FAC é truncada na primeira defasagem.
b) A FACP é sazonal e pode-se considerar ela toda sendo insignificante.
Tendo como base a tabela 3 vamos estimar o modelo 1 como SARIMA(1, 0, 0)(2, 0, 0)s=12,
denominado de ‘mod1’, será estimado também o modelo 2 SARIMA(1, 0, 1)(1, 0, 1)s=12,
17
Série nº 7834 do sistema gerenciador de séries temporais do Banco Central do Brasil.
18
Qual condi¸cão vemos ‘de cara’ que é violada?
Página 42 de 47

denominado de ‘mod2’ para compararmos os critérios de informa¸cão19. A figura 22 estima
os modelos assim como traz os resultados obtidos.
−0.20.00.2
Lag
FAC
0 12 24 36
−0.20.00.2
Lag
FACP
12 24 36
Figura 21: FAC e FACP do rendimento do fundo de a¸cões (40 defasagens)
Como observa-se, dois dos três critérios de informa¸cão são menores para o mod2 em rela¸cão
ao mod1 e, portanto, o modelo SARIMA(1, 0, 1)(1, 0, 1)s=12 é o que melhor se ajusta aos
dados.
Vamos agora usar o algor´ıtmo de Hyndman and Khandakar (2008), denominaremos esse de
‘mod3’, e comparar os critéios de informa¸cão. A figura 23 traz os resultados e o modelo
escolhido foi SARIMA(1, 0, 2)(1, 0, 0)s=12.
Todos os critérios de informa¸cão apontam que o algor´ıtmo superou a capacidade de análise
do autor. Além disso, percebos que o segundo dos dois modelos propostos pelo autor,
SARIMA(1, 0, 1)(1, 0, 1)s=12, apresentou melhores critérios de informa¸cão em compara¸cão
com o primeiro modelo proposto.
19
Esses modelos foram escolhidos pelo autor, nada impedindo que outros fossem testados, aqui está aquele toque
de ‘arte’.
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mod1 <- Arima(corte,order = c(1,0,0),seasonal = c(2,0,0))
mod1
## Series: corte
## ARIMA(1,0,0)(2,0,0)[12] with non-zero mean
##
## Coefficients:
## ar1 sar1 sar2 mean
## 0.0759 0.1172 -0.0485 1.0139
## s.e. 0.0810 0.0801 0.0860 0.3778
##
## sigma^2 estimated as 19: log likelihood=-504.05
## AIC=1018.1 AICc=1018.45 BIC=1033.92
mod2 <- Arima(corte,order = c(1,0,1),seasonal = c(1,0,1))
mod2
## Series: corte
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 sar1 sma1 mean
## 0.6711 -0.5439 -0.5770 0.7295 1.0281
## s.e. 0.1765 0.1937 0.3134 0.2757 0.4836
##
## sigma^2 estimated as 18.52: log likelihood=-501.62
## AIC=1015.25 AICc=1015.75 BIC=1034.24
Figura 22: SARIMAS’s escolhidos pelo autor
mod3 <- auto.arima(corte)
mod3
## Series: corte
##
## Coefficients:
## ar1 ma1 ma2 sar1 mean
## 0.4233 -0.3829 0.1699 0.1409 1.0322
## s.e. 0.2481 0.2461 0.0834 0.0808 0.5017
##
## sigma^2 estimated as 18.5: log likelihood=-501.24
## AIC=1014.49 AICc=1014.99 BIC=1033.47
Figura 23: Modelo escolhido pelo algor´ıtmo
Por fim, terminamos mostrando como a previsão de séries temporais não deve ser tratado
como algo determinpistico. A figura 24 traz o plot dos rendimentos observados, dos valores
ajustadados pelos modelos do autor e do algor´ıtmo para o corte e a previsão que cada
modelo fez. Visualmente vemos que as médias dos intervalos de confian¸ca do modelo
estimado pelo autor são menores do que o estimado pelo algor´ıtmo, mesmo apresentando
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critérios de informa¸cões piores. Deve modo, podemos concluir que quando o número de
séries que serão análisadas for pequeno, é razoavél levar em conta a análise feita por você,
entretando quando número de séries é grande a utiliza¸cão dos algor´ıtmos supera a eficiência
- pois lembre-se que eficiência está relacionado ao tempo necessário para fazer algo, e
claramente ao analisar um número de grande de séries os algor´ıtmos o fazem de maneira
mais rápida - de nossa análise.
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−20
0
20
40
60
2000 2010
level
80
95
series
Modelo
Observados
Modelo SARIMA(1,0,1)(1,0,1)_{s=12}
−20
0
20
40
60
2000 2010
level
80
95
series
Modelo
Observados
Modelo SARIMA(1,0,2)(1,0,0)_{s=12}
Figura 24: Gráfico “Autor vs. Algor´ıtmo”(linha preta=previsão)
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Referências
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automatic control, 19(6):716–723.
Bartlett, M. S. (1946). On the theoretical specification and sampling properties of autocorrelated
time-series. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society, 8(1):27–41.
Brockwell, P. J. and Davis, R. A. (2002). Introduction to time series and forecasting. Springer, 2nd
edition.
Enders, W. (2014). Applied Econometric Time Series. Wiley Series in Probability and Statistics.
Wiley, 4 edition.
Hyndman, R. J. and Khandakar, Y. (2008). Automatic time series forecasting: the forecast package
for R. Journal of Statistical Software, 26(3):1–22.
Nelson, C. R. (1976). The interpretation of r 2 in autoregressive-moving average time series models.
The American Statistician, 30(4):175–180.
Schwarz, G. (1978). Estimating the dimension of a model. The annals of statistics, 6(2):461–464.
Vandaele, W. (1983). Applied time series and box-jenkins models. Technical report.
Vasconcellos, M. A. S. and Alves, D. (2000). Manual de econometria. São Paulo: Atlas.
Walker, G. (1931). On periodicity in series of related terms. Proceedings of the Royal Society of
London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character, 131(818):518–
532.
Yule, G. U. (1927). On a method of investigating periodicities in disturbed series, with special
reference to wolfer’s sunspot numbers. Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character, 226:267–298.
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