O objetivo geral desse projeto consiste no estudo dos preços de retornos do mercado financeiro, através da análise espectral, tendo como método a transformada de fourier e a função de densidade espectral, buscando padrões de comportamento e a verificação das hipóteses da eficiência dos mercados

1. An´alise Espectral do pre¸co e retorno financeiro de commodities
Discente: Wauber Bezerra de Magalh˜aes Mauricio J´unior - UFABC
Orientador: Andr´e Fonseca - CMCC - UFABC
Projeto Referente ao Programa
Pesquisando Desde o Primeiro Dia (PDPD) - UFABC
1 de Janeiro de 2002
1

2. Conte´udo
1 Introdu¸c˜ao 4
1.1 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Hip´otese da eficiˆencia dos mercados 4
2.1 Condi¸c˜oes para verifica¸c˜ao do mercado eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Forma informacional de eficiˆencia de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.1 Mercado eficiente em termos fracos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2.2 Mercado eficiente em termos semi-fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.3 Mercado eficiente em termos fortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 S´eries Temporais 7
3.1 Algumas defini¸coes estat´ısticas importantes para s´eries temporais . . . . . . . . . . . . 7
3.1.1 Processo estoc´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1.2 Diagrama de disper¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.3 M´edia Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.4 Variˆancia Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.5 Covariˆancia Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.6 Coeficiˆente de Correla¸cao Amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Principais fenˆomenos t´ıpicos de algumas s´eries temporais: . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 An´alise de s´eries temporais 11
4.1 An´alise de tendˆencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.1 Formas de tendˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.2 M´etodos para determina¸c˜ao da tendˆencia e sua natureza . . . . . . . . . . . . . 11
4.1.3 Modelo random walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2 An´alise sazonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.1 Formas de sazonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.2.2 M´etodos para determina¸c˜ao da sazonalidade e sua natureza . . . . . . . . . . . 13
4.3 Modelos de Box-Jenkins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.1 Modelo (AR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.3.2 Modelo (MA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.3 Modelos auto-regressivos de m´edias m´oveis (ARMA) . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3.4 Modelos auto-regressivos integrados de m´edias m´oveis (ARIMA) . . . . . . . . 14
4.3.5 Modelos sazonais (SARIMA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4 Retornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.4.1 Fatos estilizados sobre retornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5 An´alise de componentes c´ıclicos em commodities 17
5.1 An´alise Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.1 S´erie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1.2 Densidade espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.1.3 An´alise de Ondeletas(Wavelets) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6 Estat´ıstica 20
6.1 Vari´avel Aleat´oria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2 Disribui¸c˜oes de vari´aveis aleat´orias discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2.1 Distribui¸c˜ao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2.2 Distribui¸c˜ao Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6.2.3 Distribui¸c˜ao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2.4 Distribui¸c˜ao Geom´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.3 Distribui¸c˜oes de vari´aveis aleat´orias continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3.1 Distribui¸c˜ao Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.3.2 Distribui¸c˜ao Normal ou Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2

3. 6.3.3 Distribui¸c˜ao t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3.4 Distribui¸c˜ao Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.4 Testes estat´ısticos de hip´oteses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.4.1 Teste z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6.4.2 Teste t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4.3 Teste q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.4.4 Teste BDS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7 Metodologia 30
7.1 S´eries de pre¸cos das commodities sem tendˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7.2 S´eries de retornos das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.3 An´alise Espectral das commodities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.3.1 Espectro de Fourier das s´eries de pre¸cos das commodities . . . . . . . . . . . . 40
7.3.2 Espectro de Fourier das s´eries de retornos das commodities . . . . . . . . . . . 49
7.3.3 Densidade Espectral das s´eries de pre¸cos das commodities . . . . . . . . . . . . 58
7.3.4 Densidade Espectral das s´eries de retornos das commodities . . . . . . . . . . . 62
8 Resultados 67
9 Conclus˜ao 67
10 Lista de figuras 68
3

4. 1 Introdu¸c˜ao
A hip´otese da eficiˆencia dos mercados ´e um dos assuntos mais importantes dentro da teoria de
finan¸cas ´e tamb´em um dos t´opicos mais polˆemicos. De acordo com esta hip´otese proposta for Fama
(1970), o mercado seria considerado eficiente se refletisse rapidamente qualquer informa¸c˜ao dispon´ıvel
nos pre¸cos dos ativos, impossibilitando ganhos anormais e assim considerando que complexas t´ecnicas
de an´alise gr´aficas consistem em esfor¸cos in´uteis na busca de lucros extraordin´arios. A partir dai varios
trabalhos tem sido realizados apresentando evidˆencias contra e a favor desta hip´otese, mas a hip´otese
da eficiˆencia dos mercados proposta por Fama(1970) ainda continua sendo a mais aceita pela teoria
financeira.
A an´alise espectral ´e fundamental em ´areas onde o intersse consiste b´asicamente na busca de
periodicidade dos dados, sua aplica¸c˜ao no mercado financeiro surgiu antes mesmo que o trabalho do
Fama, em 1963 , por Granger e Morgenstern, eles analisaram as diferentes frequˆencias dos pre¸cos de
ativos da bolsa de Nova York. A partir da´ı, esta an´alise tem sido utilizada para a caracteriza¸c˜ao dos
ativos e tamb´em para a verifica¸c˜ao ou n˜ao da hip´otese de eficiˆencia dos mercados em sua forma fraca,
que tem como implica¸c˜ao segundo diversos autores o fato dos pre¸cos de ativos serem descritos por um
”passeio aleat´orio”.
Neste projeto ´e utilizado a an´alise espectral por meio da transformada de fourier e da fun¸c˜ao de
densidade espectral, aplicadas em pre¸cos e retornos de commodities, com o prop´osito de compreender
v´arios fenˆomenos observados no mercado financeiro.
1.1 Objetivo
O objetivo geral desse projeto consiste no estudo dos pre¸cos de retornos do mercado financeiro,
atrav´es da an´alise espectral, tendo como m´etodo a transformada de fourier e a fun¸c˜ao de densidade
espectral, buscando padr˜oes de comportamento e a verifica¸c˜ao das hip´oteses da eficiˆencia dos mercados
2 Hip´otese da eficiˆencia dos mercados
A hip´otese da eficiˆencia dos mercados tem sua origem em estudos realizados em 1900, quando a
id´eia do comportamento aleat´orio dos pre¸cos passou a ser desenvolvida, mas esta proposta de mercado
eficiente ganhou mais consistˆencia em meados dos anos 60 quando foi formalizada matematicamente
e traduzida em modelos econˆomicos. A partir da´ı, os economistas desenvolveram a id´eia de que n˜ao
havia nenhum padr˜ao nos pre¸cos hist´oricos, ou seja, estes n˜ao eram ´uteis para prever mudan¸cas futuras.
De acordo com o conceito de mercado eficiente proposto por Fama(1970) os pre¸cos dos ati-
vos refletem imediatamente e completamente as informa¸c˜oes dispon´ıveis de maneira a impossibilitar
o investidor de qualquer ganho anormal, ou seja retornos superiores aos ajustados ao risco do ativo,
segundo ele o mercado eficiente pode ser definido como:
”...um mercado onde haja um grande n´umero de agentes racionais maximizadores de lucros compe-
tindo ativamente e tentando prever o valor futuro de mercado dos t´ıtulos individuais e onde informa¸c˜oes
importantes estejam dispon´ıveis para todos os participantes a um custo pr´oximo de zero.
Em um mercado eficiente, a competi¸c˜ao entre muitos participantes inteligentes conduz a uma
situa¸c˜ao onde, em qualquer momento no tempo, os pre¸cos reais dos ativos individuais j´a refletem os
efeitos das informa¸c˜oes, tanto com base em eventos que j´a tenham ocorrido no passado ou em eventos
que o mercado espera que ocorram no futuro. Em outras palavras em um mercado eficiente o pre¸co
de um ativo ser´a uma boa estimativa do seu valor intr´ınseco em qualquer momento.
Na vis˜ao de Van Horne(1995) o mercado eficiente existe quando os pre¸cos dos ativos refletem
o consenso geral sobre todas as informa¸c˜oes dispon´ıveis sobre a economia, os mercados financeiros e a
4

5. pr´opria empresa envolvida, ajustando-as rapidamente aos pre¸cos. Segundo Silva(1999), a base te´orica
para um mercado financeiro eficiente reside em trˆes argumentos:
O primeiro considera que todos os investidores s˜ao racionais e, portanto, avaliam os t´ıtulos racio-
nalmente.
O segundo que, no caso de investidores n˜ao racionais, as negocia¸c˜oes com t´ıtulos sejam aleat´orias
e, por esse motivo, s˜ao negocia¸c˜oes que eliminam umas `as outras, sem alterar o pre¸co dos t´ıtulos.
O terceiro argumenta ´e que ainda no caso de investidores n˜ao-racionais, verifica-se a a¸c˜ao de
arbitradores racionais que eliminam a influˆencia desses investidores no pe¸co dos t´ıtulos.
´E importante salientar que a existˆencia do mercado eficiente n˜ao depende exclusivamente da
racionalidade do investidor a casos em que os investidores n˜ao s˜ao inteiramente racionais e o mercado
ainda sim ´e dito como eficiente.
2.1 Condi¸c˜oes para verifica¸c˜ao do mercado eficiente
Para Fama(1970) as condi¸c˜oes para a verifica¸c˜ao da hip´otese do mercado eficiente seriam :
• Inexistˆencia de custos de transa¸c˜ao e negocia¸c˜ao de t´ıtulos;
• Disponibiliza¸c˜ao para os participantes do mercado de todas informa¸c˜oes com isen¸c˜ao de custos;
• Existˆencia de expectativa homogˆenea com rela¸c˜ao aos retornos futuros de cada titulo.
Perobelli e Ness Jr (2000) acreditam que, como as defini¸c˜oes sobre o mercado s˜ao demasiada-
mente gerais para que possam ser testadas empiricamente, ´e necess´ario que um processo de forma¸c˜ao
de pre¸cos seja inicialmente definido, ponto no qual reside o maior obst´aculo aos testes de eficiˆencia.
Dessa maneira, o conceito ´e normalmente testado conjuntamente com algum modelo de equil´ıbrio pr´e-
estabelecido.
Elton e Gruber (1995) classificaram a eficiˆencia dos mercados em duas categorias a informacio-
nal, onde percept´ıvel a rapidez com que a informa¸c˜ao ´e incorporada ao pre¸co de mercado de uma a¸c˜ao,
e a racionalidade de mercado, em que a capacidade dos pre¸cos refletem com precis˜ao as expectativas
dos investidores quanto ao valor presente dos fluxos de caixas futuros.
2.2 Forma informacional de eficiˆencia de mercado
Fama(1970) propˆos trˆes formas informacionais de eficiˆencia de mercado, a fraca, semi- forte e a
forte.
2.2.1 Mercado eficiente em termos fracos
Um mercado ´e dito eficiente em termos fracos quando todas informa¸c˜oes s˜ao provenientes de pe¸co
e retornos passados, e um dos teste feitos para avaliar a eficiˆencia fraca ´e utilizado a autocorrela¸c˜ao
serial onde ´e avaliado o grau de interdependˆencia das taxas de rentabilidade de um dia com as dos
dias anteriores, se obtivermos uma correla¸c˜ao serial de zero significa que n˜ao existe correla¸c˜ao nas
mudan¸cas de pre¸cos em per´ıodos, eles n˜ao seriam correlacion´aveis entre si de modo que os investido-
res n˜ao poderiam obter retornos extraordin´arios a partir de informa¸c˜oes passadas. Podemos pensar
tamb´em que como as informa¸c˜oes referentes aos pre¸cos s˜ao de f´acil acesso, se fosse poss´ıvel obter
retornos extraordin´arios utilizando padr˜oes de retornos passados, os agentes de mercado arbitrariam
tal oportunidade a ponto de extingui-l´a.
5

6. 2.2.2 Mercado eficiente em termos semi-fortes
No mercado de eficiˆencia semi-forte os pre¸cos refletem todas informa¸c˜oes publicamente dispon´ıveis.
esta forma de mercado eficiente abrangem a eficiˆencia em termos fracos pois leva em considera¸c˜ao as
informa¸c˜oes passadas, mas tamb´em considera as informa¸c˜oes publicadas que requerem interpreta¸c˜ao
qualificada.
Uma das preocupa¸c˜oes com essa forma de eficiˆencia ´e que quando fatos p´ublicos de relevˆancia para
o mercado s˜ao publicados ´e esperado que uma rea¸c˜ao dos investidores no intuito que as cota¸c˜oes se
ajustem. Para que o mercado seja perfeito, os ajustes teriam que ocorrer de forma instantˆanea e n˜ao
tendenciosa, tais ajustes podem ser tanto positivo, caso as informa¸c˜oes fossem boas ou negativo caso
as informa¸c˜oes fossem ruins.
2.2.3 Mercado eficiente em termos fortes
J´a no mercado eficiente forte os pre¸cos dos ativos refletem todas as informa¸c˜oes dispon´ıveis, de
modo que n˜ao possibilitem nenhum retorno extraordin´ario, os pre¸cos se ajustariam ao surgimento
de novas informa¸c˜oes inclusive para os detentores priorit´arios de informa¸c˜oes como os insider traders
(investidores com informa¸c˜oes privilegiadas).
No mercado de a¸c˜oes existe uma sensa¸c˜ao que os gestores de investimento deveriam obrigatoria-
mente obter retornos maiores que o do mercado.
De acordo com Ross, Westerfield e Jaffe(1999) se o mercado for de fato eficiente na forma
forte, n˜ao haver´a evidˆencias de retornos anormais por partes de alguns investidores. Analisaram o de-
sempenho de fundos m´utuos por considerar que al´em de serem gerenciados por profissionais altamente
qualificados poderiam fazer uso de informa¸c˜oes privilegiadas, e conclu´ıram que n˜ao houve evidˆencias
de retornos acima do ´ındice de mercado utilizado.
Figura 1: Informa¸c˜ao no mercado eficiente
6

7. 3 S´eries Temporais
Uma s´erie temporal pode ser definida como um conjunto de observa¸c˜oes de uma vari´avel dispostas
sequencialmente no tempo, esta pode ser deterministica ou estoc´astica, uma fun¸cao y = f(tempo)
representa uma s´erie deterministica, mas se a fun¸c˜ao for y = f(tempo, β) sendo β um termo aleat´orio
esta s´erie ´e denominada estoc´astica.
A primeira vista o comportamento da s´erie temporal pode parecer aleat´orio, mas se empregado
m´etodos prop´ostos pele teoria de analise de s´eies temporais ´e possivel perceber comportamentos an-
tes dificilmente percept´ıveis como tendˆencia, ciclos, volatilidade e sazonalidade, esse comportamentos
quando extra´ıdos das s´eries temporais revelam informa¸c˜oes valiosas sobre o seu comportamento.
3.1 Algumas defini¸coes estat´ısticas importantes para s´eries temporais
3.1.1 Processo estoc´astico
Seja T um conjunto arbrit´ario. Um processo estoc´astico ´e uma fam´ılia Z = {Z(t), t ∈ T}, tal
que, para cada t ∈ T, Z(t) ´e uma vari´avel aleat´oria. Nestas condi¸c˜oes, um processo estoc´astico ´e
uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias (v.a), que supomos definidas num mesmo espa¸co de probabilidades
(Ω, A, P). O conjunto T ´e normalmente tomado como o conjunto dos inteiros Z = {0, ±1, ±2, ...} ou
o conjunto dos reais R. Tamb´em, para cada t ∈ T, Z(t)ser´a uma v.a. real.
Como, para t ∈ T, Z(t) ´e uma (v.a.) definida sobre Ω, na realidade Z(t) ´e uma fun¸c˜ao de dois
argumentos, Z(t, ω), t ∈ T, ω ∈ Ω. A Figura 2 ilustra esta interpreta¸c˜ao de um processo estoc´astico.
Vemos, na figura, que para cada t ∈ T, temos uma v.a Z(t, ω), com uma distribui¸c˜ao de
probabilidades; ´e poss´ıvel que a fun¸c˜ao densidade de probabilidade(fdp) no instante t1 seja diferente
da fdp no instante t2, para dois instantes t1 e t2 quaisquer, mas a situa¸c˜ao usual ´e aquela em que a
fdp de Z(t, ω) ´e a mesma, para todo t ∈ T.
7

8. Figura 2: Um processo estoc´astico interpretado como uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias
Por outro lado, para cada ω ∈ Ω fixado, obteremos uma fun¸c˜ao de t, ou seja, uma realiza¸c˜ao
ou trajet´oria do processo, ou ainda, uma s´erie temporal.
Vamos designar as realiza¸c˜oes de Z(t, ω) por Z(1) (t) , Z(2) (t), etc. O conjunto de todas estas
trajet´orias ´e chamado o ”ensemble”. Observemos que cada realiza¸c˜ao Z(j) (t) ´e uma fun¸c˜ao do tempo
t n˜ao aleat´oria e, para cada t fixo, Z(j) (t) ´e um n´umero real. Uma maneira de encarar a distribui¸c˜ao
de probabilidades de Z(t, ω), para um t fixado, ´e considerar a propor¸c˜ao de trajet´oria que passam
por uma ”janela”de amplitude ∆. Tal propor¸c˜ao ser´a fz(z) · ∆, se fz(z) for a fdp de Z(t, ω). Veja a
Figura(3).
Figura 3: Um processo estoc´astico interpretado como uma fam´ılia de trajet´orias
O conjunto dos valores {Z(t), t ∈ T} ´e chamado espa¸co dos estados, , do processo estoc´astico,
e os valores de Z(t) s˜ao chamados estados.
Se o conjunto T for finito ou enumer´avel, como T = {1, 2, ..., N}ou T = Z, o processo diz-se
como parˆametro discreto. Se T for um intervalo de reais obtemos um processo com parˆametro cont´ınuo.
O espa¸co dos estados, ξ, tamb´em pode ser discreto ou cont´ınuo. No primeiro caso, Z(t) pode represen-
tar uma contagem, como, por exemplo, o n´umero de chamadas telefˆonicas que chegaram a uma central
durante um per´ıodo de duas horas. No segundo caso, Z(t) representa uma medida que varia continu-
amente, como temperatura, pre¸co de um ativo financeiro, altura de ondas, etc.(Morettin e Toloi/2006)
8

9. 3.1.2 Diagrama de disper¸c˜ao
O diagrama de dispers˜ao ´e um gr´afico onde pontos no espa¸co cartesiano X Y s˜ao usados para repre-
sentar simultaneamente os valores de duas vari´aveis quantitativas medidas em cada elemento do con-
junto de dados. O diagrama de dispers˜ao ´e usado principalmente para visualizar a rela¸c˜ao/associa¸c˜ao
entre duas vari´aveis.
3.1.3 M´edia Amostral
Seja X uma vari´avel aleat´oria com m´edia µ(E(X) = µ). Supondo uma amostra de X,assumindo
valores (x1, x2, ..., xn), definimos a m´edia amostral com a seguinte estat´ıstica:
χ =
Σn
i=1x1
n onde E(χ) = µ
3.1.4 Variˆancia Amostral
Seja X um vari´avel aleat´oria, com m´edia µ e variˆancia σ2, E(x) = µ e V AR(X) = σ2.Supondo uma
amostra de X assumindo valores(x1, x2, ..., xn), a distribui¸c˜ao, ou dispers˜ao, dos valores da amostra
em torno da m´edia amostral pode ser medida pela variˆancia amostral, que podemos definir usando a
estat´ıstica a seguir:
σ2 =
Σn
i=1(x1−χ)2
n−1 .
3.1.5 Covariˆancia Amostral
Sejam X e Y duas vari´aveis aleat´orias com m´edias µx e µy, respectivamente. Ent˜ao a covariˆancia
entre as duas vari´aveis ´e definida como:
Cov(X, Y ) = E[(X − µx)(Y − µy)].
3.1.6 Coeficiˆente de Correla¸cao Amostral
O Coeficiˆente de Correla¸c˜ao ´e um indicador para obtermos o grau de relacionamento entre duas
vari´aveis quaisquer. Dadas X e Y, duas vari´aveis com n elementos, e sejam χ e γ suas m´edias ou es-
peran¸cas amostrais, respectivamente, define-se como coeficiente de correla¸c˜ao amostral pela seguinte
f´ormula:
ρx, y =
Σn
i=1(xi−χ)(yi−γ)
√
Σn
j=1(xj−χ)2Σn
j=1(yj−γ)2
3.2 Principais fenˆomenos t´ıpicos de algumas s´eries temporais:
• Tendˆencia: ´E o efeito de uma mudan¸ca de logo prazo na m´edia de uma s´erie. essa mudan¸ca
podem ter duas naturezas, a determin´ıstica ou a estoc´astica. A tendˆencia determin´ıstica ´e a
que a varia¸c˜ao no n´ıvel m´edio de uma dada vari´avel se d´a, de forma previs´ıvel. J´a a tendˆencia
estoc´astica se difere da dertermin´ıstica pois, a mudan¸ca provocada pela tendˆencia em rela¸c˜ao ao
seu n´ıvel m´edio ser´a um montante aleat´orio e imprevis´ıvel.
• Sazonalidade: S˜ao efeitos ligados a varia¸c˜oes peri´odicas (semanal, mensal, anual, etc).
• Ciclos: S˜ao movimentos de queda e eleva¸c˜ao em torno do nivel m´edio da tendˆencia com isso
refletem o comportamento a longo prazo da vari´avel em quest˜ao, esses movimentos em torno da
tendˆencia podem ser estritamente peri´odicos ou aproximadamente peri´odicos.
• Volatilidade ou Varia¸c˜oes irregulares: Movimentos oscilat´orios n˜ao relacionados a sazonalidade
que podem ocorrer ao longo de um ano mensalmente, semanalmente ou em intervalos menores
de tempo.
9

10. 4 An´alise de s´eries temporais
De acordo com BOX e JENKINS (1976), o estudo e a elabora¸c˜ao de modelos de an´alise de s´eries
temporais geralmente est˜ao ligados a trˆes objetivos distintos, por´em n˜ao necessariamente mutuamente
exclusivos, quais sejam:
• Estudo dos padr˜oes comportamentais das s´eries, dados os seus componentes n˜ao-observ´aveis;
• A previs˜ao do comportamento futuro das s´eries, com o uso de modelos univariados e multivari-
ados;
• A implementa¸c˜ao de m´etodos para o controle do comportamento futuro das s´eries e demais
vari´aveis correlacionadas.
No mercado financeiro os modelos de an´alise de s´eries temporais s˜ao largamente empregados
na an´alise de pre¸cos de a¸c˜oes ou commodities, isto se d´a pela decomposi¸c˜ao das s´eries de pre¸cos e
a analise de seus componentes como a tendˆencia, sazonalide, ciclos e volatilidade, a analise destes
componetes ´e de grande valia para a minimiza¸c˜ao dos riscos, com isso tornando a tomada de descis˜ao
mais assertiva neste mercado.
4.1 An´alise de tendˆencias
Primeiramente temos que verificar a estacionaridade da s´erie. Quando temos conjunto composto
por vetores aleat´orios M-dimensionais ...yt−1, yt, yt+1... ´e chamado de processo estoc´astico vetorial.
Se essa s´erie tiver m´edia e variˆancia finitas ser˜ao consideradas estacion´arias em covariˆancia. Se a s´erie
n˜ao seja estacion´aria temos que utilizar de outros m´etodos de an´alise com isso afim de evitar problemas
econom´etricos, um dos m´etodos ´e o teste de ra´ızes unit´arias poderemos verificar a n˜ao estacionaridade
da s´erie devido `a presen¸ca de tendˆencias.
4.1.1 Formas de tendˆencia
• Tendˆencia determin´ıstica: A varia¸c˜ao no n´ıvel m´edio de uma dada vari´avel se dar´a, de forma
previs´ıvel, como uma fun¸c˜ao do tempo, ela pode ser do tipo polinomial do 2◦ grau ou mais
complexas.
• Tendˆencia estoc´astica: Esta se difere da dertemin´ısticas pelo fato de implicar uma varia¸c˜ao
percentual m´edia na s´erie em dado per´ıodo de tempo, ao contr´ario da determin´ıstica, que em cada
per´ıodo a mudan¸ca provocada pela tendˆencia em rela¸c˜ao ao seu n´ıvel m´edio ser´a um montante
aleat´orio e imprevis´ıvel, em vez de constante, dado por determinada taxa. Com isso a tendˆencia
oscilar´a de forma aleat´oria `a medida que o tempo evolua e os choques ex´ogenos entrem no
sistema. Existem diversos modelos de s´eries temporais que incorporam tendˆencias estoc´asticas
e que particularmente s˜ao importantes na an´alise de vari´aveis do mercado financeiro, como o
retorno de a¸c˜oes e os pre¸cos de commodities. Dentro dessa classe de modelos, destaca-se o
modelo de passeio aleat´orio o random walk.
4.1.2 M´etodos para determina¸c˜ao da tendˆencia e sua natureza
• Visualmente: Os dados s˜ao colocados em um gr´afico de dispers˜ao e as poss´ıveis tendˆencias s˜ao
avaliadas visualmente.
• Analise da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao: Com essa fun¸c˜ao podemos calcular os coeficientes de
autocorrela¸c˜ao, este mensura a correla¸c˜ao dos pre¸cos nos diferentes momentos de tempos. Esses
coeficientes tamb´em servem para apontar modelos probabil´ısticos que possa ter gerado a s´erie
temporal.
10

11. • Teste de Dickey-Fuller Expandido ou teste ADF: Identifica se a tendˆencia ´e estoc´astica ou de-
termin´ıstica.
• Teste de Ra´ızes Unit´arias de Phillips-Perron: Este verifica a estacionariedade das s´eries e poss´ıvel
necessidade de diferencia¸c˜ao destas.
4.1.3 Modelo random walk
No mercado financeiro existem v´arios modelos de s´eries temporais que incorporam as tˆendencias
estoc´aticas, destes modelos um dos mais utilizados ´e o modelos de passeio aleat´orio ou random walk,
este ´e definido por:
Yt = Yt−1 + t ou ∆Yt = t
Onde:
t ´e um erro tipo ru´ıdo branco, tendo m´edia 0 e variˆancia σ2;
∆Yt ´e um operador de diferen¸cas finitas de primeira ordem.
O modelo random walk pode ser interpretado como um caso especifico do processo auto re-
gressivo de ordem 1 o [AR (1)], que ser´a abordado posteriormente.
De acordo com ENDERS (1995), modelo random walk implica no fato de que, supondo uma
amostra de valores da s´erie Yt e se deseje prever os valores futuros para esta, a melhor previs˜ao de
Yt + s que se pode fazer ser´a dada por:
Et (Yt+s) = Yt
Sendo assim, o valor constante de Yt ser´a o melhor estimador n˜ao-viesado para todos os valores
futuros de Yt+s (s > 0). Com isso, pode-se notar que um choque t ter´a um efeito permanente em Yt e
o multiplicador de impactos de t em Yt (dado por ∂Yt
∂ t
) ser´a o mesmo multiplicador de t em Yt+s. Essa
permanˆencia dos efeitos implica que a sequˆencia Yt possui tendˆencia estoc´astica, dada pela express˜ao
i, que imp˜oe mudan¸cas aleat´orias no n´ıvel m´edio da s´erie com o passar do tempo.
4.2 An´alise sazonal
O componente sazonal pode ser analisado com o objetivo de desazonalisa¸c˜ao da s´erie ou seja
subtrair o componente sazonal para que o comportamento de outros componentes da s´erie sejam ob-
sevados com maior precis˜ao, ou eleborar um modelo de previs˜ao que incorpore-a afim de ganhar uma
maior efic´acia preditiva. ´E importante salientar que o componete sozonal ´e imprescind´ıvel para a
determina¸c˜ao do melhor m´etodo a ser utilazado em sua modelagem, porque assim como o componente
de tendˆencia a sazonalidade pode ser de natureza determin´ıstica ou estoc´astica, com isso a utiliza¸c˜ao
de m´etodos impr´opios na an´alise deste componente pode resultar em conclus˜oes erronias.
4.2.1 Formas de sazonalidade
• Sazonalidade determin´ıstica: Esta apresenta um comportamento de natureza relativamente
est´avel e previs´ıvel ao longo dos anos, nesta a sazonalidade tem intensidade regular como em
datas espec´ıficas que se repetem de ano em ano.
• Sazonalidade estoc´astica: Normalmente ocorrem em s´eries financeiras que s˜ao influenciadas por
diversos fatores que n˜ao obrigat´oriamente ir˜ao se repetir de forma previs´ıvel ano a ano.
11

12. 4.2.2 M´etodos para determina¸c˜ao da sazonalidade e sua natureza
• Visualmente: Se da pela sobreposi¸c˜ao gr´afica da s´erie atual com as s´eries passadas onde a
ocorrˆencia de repeti¸c˜oes em determinadas partes da s´erie podem evidˆenciar um comportamento
sazonal.
• An´alise da fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao
• Modelos de Regress˜ao Linear com Vari´aveis Independentes Bin´arias (Vari´aveis Dummy)
• Modelos de An´alise Espectral
• Modelos de Box e Jenkins Sazonais (SARIMA)
4.3 Modelos de Box-Jenkins
Os modelos de Box-Jenkins, ou ARIMA (Auto Regressive Integrated Moving Averages) em por-
tuguˆes Auto-regressivos Integrados de M´edias M´oveis, s˜ao utilizados com o intuito de captar o com-
portamento da correla¸c˜ao seriada ou autocorrela¸c˜ao entre os valores da s´erie temporal, e apartir disso
se a estrutura de correla¸c˜ao for modelada de maneira eficiente ´e poss´ıvel obter boas previs˜oes futuras.
O modelo ARIMA ´e proveniente de trˆes componentes, o (AR) auto- regressivo, (I) filtro e o (MA)
m´edias m´oveis.
George E. P. Box e Gwilym M. Jenkins publicaram em 1970 o livro Time Series Analysis, fo-
recasting and control apresentando uma m´etodologia para a an´alise de s´eries temporais, e em 1976 foi
lan¸cada a vers˜ao revisada desse livro e que normalmente ´e a mais mencionada, o grande m´erito desse
trabalho foi reunir as t´ecnicas existentes numa m´etodologia para construir modelos que descrevessem
com precis˜ao e de forma parcimoniosa o processo gerador da s´erie temporal, proporcionando previs˜oes
acuradas de valores futuros.
4.3.1 Modelo (AR)
O modelo auto-regressivo de ordem 1 ou AR(1) ´e o mais simples desta classe de modelos, ´e apre-
sentado alg´ebrica pela equa¸c˜ao abaixo:
˜Z = φ1
˜Zt−1 + t
Sendo φi o parˆametro que descreve como o ˜Zt se relaciona como valor ˜Zt−1 para i = 1, 2, .., p.
No modelo estacion´ario ´e necess´ario seguir a condi¸c˜ao de estacionaridade em que |φ1 < 1 onde
as autocovariˆancias (γk)sejam independentes. No modelo AR(1), as autocovariˆancias s˜ao:
γk = φk
1γ0
Onde a equa¸c˜ao da autocorrela¸c˜ao ρk ´e:
ρk = γk
γ0
= φk
1k = 1, 2, ..
A fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao decai exponencialmente quando φ1 ´e positivo; quando φ1 ´e nega-
tivo, a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao tamb´em decai s´o que com os sinais positivo e negativo alternados.
12

13. 4.3.2 Modelo (MA)
Em um modelo de m´edias m´oveis MA do inglˆes moving average, a s´erie Zt resulta da combina¸c˜ao
dos ru´ıdos brancos do per´ıodo atual com aqueles ocorridos em per´ıodos anteriores. Um modelo de
m´edias m´oveis de ordem q ou MA(q) ´e representado por:
˜Zt = t + φ1 t−1 + φ2 t−2 + ... + φq t−q
4.3.3 Modelos auto-regressivos de m´edias m´oveis (ARMA)
Existem casos onde devido ao grande n´umero de parˆametros em modelos puramente AR ou pu-
ramente MA ´e mais vi´avel misturar os componentes de um modelo AR como os componentes de um
modelo MA, gerando, assim, um modelo ARMA. Este modelo ARMA(p,q) exigir´a um n´umero menor
de termos e pode ser expresso conforme a equa¸c˜ao:
˜Zt = φ1
˜Zt−1 + ... + φp
˜Zt−p + t − φ1 t−1 − ... − φq q−t
Sendo o modelo ARMA mais simples:
˜Zt = φ1
˜Zt−1 + t − φ1 t−1
E a fun¸c˜ao de autocorrela¸c˜ao do modelo ´e dada por:
ρ1 = (1−φ1θ1)(φ1θ1)
1+θ2
1+2φ1θ1
ρk = φ1ρk−1 para K < 1
4.3.4 Modelos auto-regressivos integrados de m´edias m´oveis (ARIMA)
Sendo constatado o comportamento n˜ao est´acion´ario de uma s´erie temporal se faz necess´ario
transforma-l´a em estacion´aria um dos procedimentos utilizados para esta transforma¸c˜ao consiste em
tomar diferen¸cas sucessivas da s´erie original at´e obter uma s´erie estacion´aria.
A primeira diferen¸ca de Zt ´e definida por:
∆Zt = Zt − Zt−1
A segunda diferen¸ca tem por defini¸c˜ao:
D2Zt = D [DZt] = D [Zt − Zt−1] = Zt − 2Zt−1 − Zt−2
O n´umero (d) de diferen¸cas necess´arias para tornar a s´erie estacion´aria ´e denominado ordem
de integra¸c˜ao. A inclus˜ao deste termo de ordem de integra¸c˜ao permite que sejam utilizados os modelos
ARIMA (p,d,q) dados pela equa¸c˜ao:
wt = φ1wt−1 + ... + φpwt−p + t − φ1 t−1 − ... − φq t−q
Onde:
wt = ∆dZt
13

14. 4.3.5 Modelos sazonais (SARIMA)
O modelo ARIMA se utiliza da autocorrela¸c˜ao entre os valores da s´erie em instantes sucessivos,
quando os dados s˜ao observados em per´ıodos de tempo inferiores a um ano, a s´erie tamb´em pode
apresentar autocorrela¸c˜ao para uma esta¸c˜ao de sazonalidade (s). Um tipo de modelo que contemplam
as s´eries que apresentam autocorrela¸c˜ao sazonal ´e conhecido como SARIMA, este contˆem uma parte
n˜ao sazonal, com parˆametros (p, d, q), e uma sazonal, com parˆametros (P, D, Q) s. Sendo o modelo
mais geral dado pela equa¸c˜ao:
(1 − φ1L − ... − φpLp) 1 − Φ1Ls − ... − ΦP LPs (1 − L)d
(1 − Ls)D
Zt =
(1 − θ1L − ... − θqLq) 1 − Θ1Ls − ... − ΘQLQs
t
Onde:
• (1 − φ1L − ... − φpLp) ´e a parte auto-regressiva n˜ao-sazonal de ordem (p);
• 1 − Φ1Ls − ... − ΦP LPs ´e a parte auto-regressiva sazonal de ordem (P) e esta¸c˜ao sazonal s;
• (1 − L)d
´e parte de integra¸c˜ao n˜ao-sazonal de ordem (d);
• (1 − Ls)D
´e parte de integra¸c˜ao sazonal de ordem (D) e esta¸c˜ao sazonal (s);
• (1 − θ1L − ... − θqLq) ´e a parte n˜ao-sazonal de m´edias m´oveis de ordem (q);
• 1 − Θ1Ls − ... − ΘQLQs ´e a parte sazonal de m´edias m´oveis de ordem (Q) e esta¸c˜ao sazonal
(s).
4.4 Retornos
Um dos objetivos das finan¸cas ´e a avalia¸c˜ao de riscos de uma carteira de ativos financeiros. O
risco ´e frequentemente medido em termos de varia¸c˜oes de pre¸cos e ativos.
Denotemos por Pt o pre¸co de um ativo no instante t, normalmente um dia de neg´ocio. Su-
ponha, primeiramente, que n˜ao haja dividendos pagos no per´ıodo. A varia¸c˜ao de pre¸cos entre os
instantes t − 1 e t ´e dada por ∆Pt = Pt − Pt−1 e a varia¸c˜ao relativa de pre¸cos ou retornos l´ıquidos
simples deste ativo, entre os mesmos instantes, ´e definido por:
Rt = Pt−Pt−1
Pt−1
= t
Pt−1
Note que Rt = Pt/Pt−1 − 1. Chamamos 1 + Rt = Pt/Pt−1 de retorno bruto simples. Usual-
mente expressamos Rt em percentagem, relativamente ao per´ıodo (um dia, um mˆes, um ano etc); ´e
tambem chamado de taxa de retorno.(Morettin e Toloi/2006)
4.4.1 Fatos estilizados sobre retornos
S´erie econˆomicas e financeiras apresentam algumas caracter´ısticas que s˜ao comuns a outras s´eries
temporais, com:
14

15. (a) tendˆencia;
(b) sazonalidade;
(c) pontos de influentes (at´ıpicos);
(d) heteroscedasticidade condicional;
(e) n˜ao-linearidade;
Dessas, a ´ultima talvez seja a mais complicada de definir. De um modo bastante geral, pode-
mos dizer que uma s´erie econˆomica ou financeira ´e n˜ao-linear quando responde de maneira diferente a
choques grandes ou pequenos. Por exemplo, uma queda de um ´ıdice da bolsa de valores de S˜ao Paulo
pode causar maior volatilidade no mercado do que uma alta.
Os retornos financeiros apresentam, por outro lado, outras caracter´ısiticas peculiares, que mui-
tas s´eries n˜ao apresentam. Retornos raramente apresentam tendˆencias ou sazonalidades, com exce¸c˜ao
eventualmente de retornos intra-di´arios. S´eries de pre¸cos, de taxa de cˆambio e s´eries de taxas de juros
podem apresentar tendˆencias que variam no tempo.
Os principais fatos estilizados relativos a retornos financeiros podem ser resumidos como segue:
1. retornos s˜ao em geral n˜ao-auto-correlacionados;
2. os quadrados dos retornos s˜ao auto-correlacionados, apresentando uma correla¸c˜ao de defasagem
uma pequena e depois uma queda lenta das demais;
3. s´eries de retornos apresentam agrupamentos de volatilidade ao longo do tempo;
4. a distribui¸c˜ao (incondicional) dos retornos apresenta caudas mais pesadas do que uma distri-
bui¸c˜ao normal; al´em disso, a distribui¸c˜ao, embora aproximadamente sim´etrica, ´e em geral lep-
toc´urtica;
5. algumas s´eries de retornos s˜ao n˜ao-lineares, no sentido explificado acima.(Morettin e Toloi/2006)
5 An´alise de componentes c´ıclicos em commodities
A an´alise de componentes c´ıclicos ou peri´odicos em commodites, neste trabalho se deu, atrav´es
da utiliza¸c˜ao da s´erie de fourier e da fun¸c˜ao de densidade espectral como m´etodo de an´alise espectral
.
5.1 An´alise Espectral
A An´alise no dom´ınio da frequˆencia ou an´alise espectral se utiliza de um m´etodo de decomposi¸c˜ao
da s´erie temporal estacion´aria em componetes associados a frequˆencia ou per´ıodos. Esta representa
uma forma de an´alise de s´eries temporais que fornece informa¸c˜oes complementares `aquelas propiciadas
pela an´alise no dom´ınio do tempo, tais normalmentes est˜ao ligadas ao estudo da ocorrˆencia de ciclos
nas s´eries. Na an´alise espectral uma s´erie temporal ´e representada como uma soma ponderada de
fun¸c˜oes peri´odicas do tipo seno e coseno, ela tamb´em determina a importˆancia dos ciclos de diferentes
15

16. frequˆencias, e atrav´es disso ´e explicado a variˆancia da s´erie temporal e com isso o comportamento da
s´erie.
Em 1963 Granger e Morgenstern publicaram um artigo em que contrariavam a hip´otese de
Random Walk (id´eia que defende n˜ao haver diferen¸ca entre uma distribui¸cao de retornos que esteja
condicionada a uma determinada estrutura de informa¸c˜ao e a distribui¸cao incondicional de retornos),
o trabalho analisou pre¸cos de ativos da bolsa de nova iorque utilizando-se de an´alise espectral, se o
modelo de comportamento aleat´orio fosse o correto a s´erie de pre¸cos s´era uma sequˆencia de valores
desconexos. Ap´os a analise, o modelo Random Walk se mostrou adequando mais os autores fizeram
uma resalva no que se refere ao comportamento de longo prazo dos pre¸cos dos ativos, pois segundo
eles n˜ao eram consistentes com o modelo.
Os autores utilizaram a s´erie de fourier como m´etodo de analise espectral afim de decompor
gr´aficos de ativos em seu espectro discreto de frequˆencias. como ´e mostrado na figura(4) que exibe
o espectro de 120 frequˆencias do comportamento da taxa dos Commercial Papers de Nova iorque de
1876 at´e 1914, esta imagem foi extra´ıda do artigo original.
Figura 4: Espectro de potˆencia da taxa de Commercial Paper em nova iorque
Os autores observaram picos de potˆencia nas bandas de per´ıodo igual a 40 meses e 12 meses, e
por conta do decaimento do gr´afico as frequˆencias maiores exercem maior influˆencia no comportamento
do ativo. Se o espectro n˜ao tivesse decaimento fosse uma linha horizontal paralelo ao eixo x ele seria
proveniente de uma sequˆencia aleat´oria de termos.
Em espectros com decaimentos as harmˆonicas com maior periodo possuem maior importˆancia,
logo os ciclos de longo prazos influˆenciam com maior preponderˆancia o comportamento do ativo,
Granger e Morgesntern n˜ao se surpreenderam com este resultado, visto que o ru´ıdo gerado por dados
mais recentes costuma interferir na identifica¸cao da tendˆencia de longo prazo.
O resultado demonstra que as harmˆonicas de longo prazo que s˜ao as de baixa frequˆencia s˜ao as
mais relevantes porque s˜ao nestas bandas de frequˆencias que os autores encontram maior dificuldade
para lidar pois qualquer tendˆencia para a m´edia elevar´a a amplitude da frequˆencia baixa e afetar´a
as harmonicas vizinhas, por isso foi necess´ario os autores usarem a subtra¸c˜ao da m´edia m´ovel para
eliminar a tendˆencia da m´edia. (Bianchi/2006)
16

17. 5.1.1 S´erie de Fourier
A s´erie de fourier, criada por Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830)em seu tratado Th`eorie
Analytique de la Chaleur publicado em 1822, neste trabalho fourier faz um estudo sistˆemico de s´eries
infinitas para resolver a equa¸c˜ao da propaga¸cao de calor na f´ısica, utilizando de uma t´ecnica de senos
e cossenos, a s´erie de fourier. Com ela quaisquer fun¸c˜ao por mais complexa que seja pode ser decom-
posta em senos e cossenos,a s´erie tambem ´e muito utilizada nas ´areas envolvidas com a,matem´atica,
engenharia, computa¸c˜ao, m´usica, sinais digitais, mercado financeiro, etc.
Segundo Tolstov (1962) uma fun¸c˜ao f(t) ´e peri´odica se existe uma constante T > 0 tal que
f(x + T) = f(x) para todo o x pertencente ao dom´ınio de f(t), dentre as fun¸c˜oes peri´odicas temos a
s´erie trigonom´etrica de fourier:
a0
2
+
∞
n=1
ancos
nπx
T
+ bnsen
nπx
T
Observamos que todas as infinitas parcelas s˜ao peri´odicas de periodo T. No conjunto de valores
de x para os quais a s´erie converge onde ´e definida uma fun¸c˜ao peri´odica f de per´ıodo T.onde os
coeficiˆentes a0, an e bn s˜ao chamados coeficientes de fourier e s˜ao expressos na forma:
a0 = 1
T
T
−T f(x)dx
an = 1
T
T
−T f(x) cos nπ
T xdx
bn = 1
T
T
−T f(x) sin nπ
T xdx
5.1.2 Densidade espectral
No processo de decomposi¸c˜ao espectral de uma s´erie temporal univariada surge uma fun¸c˜ao de
densidade espectral ou auto espectro em um intervalo de frequˆencia (0, π), messurando a importˆancia
relativa de cada intervalo em termos da sua contribui¸c˜ao para a variˆancia total da s´erie temporal. Esta
fun¸c˜ao chama-se espectro de variˆancia, pois analisa a variˆancia de uma s´erie temporal em termos da
sua freq¨uˆencia.
A fun¸c˜ao da densidade de potˆencia ´e composta por uma transformada de Fourier da autoco-
variˆancia de uma s´erie estacion´aria (Xt, t = 1, ..., n), aproximada por:
f ( ) = 1
2π
∞
t=−∞ γ (t) cos t
Sendo γ (t) a fun¸c˜ao de autocovariˆancia.
Se um componente de frequˆencia ´e relevante, o espectro exibir´a um pico relativo nesse ponto.
Dessa forma, a fun¸c˜ao de densidade espectral facilita a an´alise e simplifica a identifica¸c˜ao de compor-
tamentos vari´aveis ao longo do tempo. Adicionalmente, possui propriedades amostrais mais simples
do que os modelos no dom´ınio temporal (RAUSSER; CARGILL, 1970).
17

18. 5.1.3 An´alise de Ondeletas(Wavelets)
A transformada de ondaleta ou wavelet (TW) ´e capaz de fornecer a informa¸c˜ao de tempo e de
frequˆencia simultaneamente, consequentemente dando a representa¸c˜ao de frequˆencia-tempo da s´erie.
Nesse ponto vale lembrar o princ´ıpio da incerteza de Heisenberg. N´os n˜ao podemos exatamente saber
qual frequˆencia existe em um dado instante de tempo, mas apenas podemos saber quais bandas de
freq¨uˆencia existem em determinados intervalos de tempo. A frequˆencia e a informa¸c˜ao do tempo de
uma s´erie em certo ponto no plano frequˆencia-tempo n˜ao podem ser conhecidos. Em outras palavras:
”n´os n˜ao podemos saber qual o componente espectral existe em qualquer dado instante de tempo”
Este ´e um problema para se resolver, e esta ´e a principal raz˜ao pela qual pesquisadores tem mudado
das transformadas de Fourier para a TW. A an´alise de ondaletas tem sido utilizada em v´arios ramos
da ciˆencia, em economia sua principal aplica¸c˜ao encontra-se na econometria no tratamento de s´eries
temporais utilizadas para realizar previs˜ao.(Morettin/1999)
TWC(τ, s) = 1√
|s|
∞
−∞ f(t)ψ t−τ
s )dt
s, t ∈ i, s = 0
As ondaletas s˜ao localizadas no tempo ou espa¸co, contrariamente do que ocorre com as fun¸c˜oes
trigonom´etricas. Esse comportamento torna-as ideais para analisar sinais n˜ao estacion´arios, contendo
transitoriedades e estruturas tipo fractais. Bases de Fourier s˜ao localizadas em frequˆencia, mas n˜ao
no tempo, pequenas mudan¸cas em algumas das observa¸c˜oes podem provocar mudan¸cas em todas as
componentes de uma expans˜ao de Fourier, o que n˜ao acontece com uma expans˜ao em s´erie de onda-
letas (Morettin/1999). A an´alise de Ondeletas n˜ao ser´a empregada neste trabalho.
6 Estat´ıstica
6.1 Vari´avel Aleat´oria
Uma vari´avel aleat´oria (unidimensional) uma fun¸c˜ao que a cada acontecimento do espa¸co de
resultados faz corresponder um valor real.
Podemos classificar as vari´aveis aleat´orias em discretas e cont´ınuas:
• Uma vari´avel aleat´oria diz-se discreta se s´o assume um n´umero finito ou infinito numer´avel de
valores distintos.
• Uma vari´avel aleat´oria diz-se cont´ınuase assumir um n´umero infinito n˜ao numer´avel de valores
distintos.
6.2 Disribui¸c˜oes de vari´aveis aleat´orias discretas
6.2.1 Distribui¸c˜ao de Bernoulli
Uma distribui¸c˜ao pode ser dita de Bernoulli se a vari´avel aleat´oria X s´o puder assumir os valores
0 (fracasso) e 1 (sucesso) com P (X = 0) = q e P (X = 1) = p com p + q = 1, nesta distribui¸c˜ao
a esperan¸ca e a variˆancia s˜ao dadas nesta ordem por E (X) = p e σ2 = V ar (X) = p.q. Podemos
escrever o modelo de distribui¸c˜ao de Bernoulli como:
P (X = x) = px.q1−x
18

19. Onde:
q = 1 − p
Exemplo:
Uma urna cont´em 20 bolas pretas e 30 azuis. Uma bola ´e retirada da urna e a vari´avel aleat´oria X
denota o n´umero de bolas azuis obtidas. Calcule a m´edia E (X), a V ar (X) e o desvio-padr˜ao de X.
Temos que:
X = 0, q = 20/50 = 2/5, eX=1,p=30/50=3/5, portanto P (X = x) = (2/5)x
. (3/5)1−x
logo
E (X) = p = 2/5, V ar (X) = p.q = (2/5) . (3/5) = 6/25
6.2.2 Distribui¸c˜ao Binomial
´E utilizada em experimentos que satisfa¸cam as seguintes condi¸c˜oes:
1. O experimento deve ser repetido, nas mesmas condi¸c˜oes, um n´umero finito de vezes, (n).
2. As provas repetidas devem ser independentes, o resultado de uma n˜ao afeta o resultado da outra.
3. Existe apenas dois resultados poss´ıveis: sucesso ou insucesso.
4. A probabilidade do sucesso em uma tentativa ´e p e a do insucesso ´e q = 1 − p
A probabilidade de se obter sucesso k vezes durante (n) tentativas ´e determinado por:
f (X) = P (X = k) = n!
k!(n−k)! pkqn−k
Exemplo:
Uma moeda ´e lan¸cada 5 vezes seguidas e independentes. Qual a probabilidade de obter 3 coroas
nessa prova?
n = 5 k = 3 p = 1/2 q = 1 − p = 1 − 1/2 = 1/2
P (X = 3) = 5!
3!(5−3)!. 1
2
3
. 1
2
5−3
= 5
16
6.2.3 Distribui¸c˜ao de Poisson
´E uma distribui¸c˜ao que se aplica a ocorrˆencia de eventos ao longo de intervalos especificados. A
vari´avel aleat´oria ´e o n´umero de ocorrˆencia do evento no intervalo. Estes intervalos podem ser de
tempo, distˆancia e outras unidades similares. As condi¸c˜oes para um vari´avel aleat´oria X admitir a
distribui¸c˜ao de poisson s˜ao:
1. X = 0, 1, 2, ...(n˜ao tem limites);
2. A esperan¸ca E (X) = µ = λ;
3. A variˆancia V ar (X) = σ2 = λ;
19

20. 4. Sua fun¸c˜ao de probabilidade ´e P (X = k) =
−λλk
k! , k = 0, 1, 2, ...; ´e a probabilidade de k ocorrˆencias
em um intervalo.
Propriedades do experimento de Poisson:
• A probabilidade de uma ocorrˆencia ´e a mesma para quaisquer dois intervalos
• A ocorrˆencia ou n˜ao ocorrˆencia em qualquer intervalo ´e independente da ocorrˆencia ou n˜ao
ocorrˆencia em qualquer intervalo.
Exemplo:
Um determinado departamento na ufabc recebe em m´edia 3 chamadas telefˆonicas por dia, qual a
probabilidade deste receber 4 chamadas num dia?
λ = 3 chamadas telefˆonicas por dia em m´edia.
P (X = 4) =
−λλk
k! =
334
4! = 0, 1680 ou 16, 80%
6.2.4 Distribui¸c˜ao Geom´etrica
Esta distribui¸c˜ao pode ser entendida como a realiza¸c˜ao de sucessivas provas de Bernoulli at´e que
ocorra um sucesso. Sendo assim se for necess´ario a realiza¸c˜ao de (x) provas para que o sucesso ocorra, o
resultado da x-´esima prova ´e um sucesso, o k-´esimo sucesso pretendido e todas as tentativas anteriores
resultaram em insucessos.
Sendo x a vari´avel aleat´oria que indica o n´umero de tentativas at´e o sucesso, essa vari´avel tem uma
distribui¸c˜ao Geom´etrica e a sua fun¸c˜ao de probabilidade ´e dada por:
P (X = x) = p. (1 − p)x−1
Parˆametros caracter´ısticos
E (X) = 1
p e V ar (X) = (1−p)
p2
Exemplo:
Uma mulher com problemas para engravidar, recorreu a uma t´ecnica de insemina¸c˜ao artificial com
o objetivo de conseguir o primeiro filho. A eficiˆencia da t´ecnica de insemina¸c˜ao ´e de 0,20. Qual a
probabilidade da mulher conseguir engravidar na terceira tentativa?
P (X = k) = p (1 − p)k−1
= (0, 2) (0, 8)3
= 0, 128 ou 12, 8%
6.3 Distribui¸c˜oes de vari´aveis aleat´orias continuas
6.3.1 Distribui¸c˜ao Uniforme
Este modelo de distribui¸c˜ao ´e o mais simples entre as vari´aveis aleat´orias continuas, pode ser
definida em intervalos de [α e β]como:
f (x; α, β) =
1
β−α, se α < x < β,
0, outro caso,
A distribui¸c˜ao uniforme tem sua fun¸c˜ao de densidade de probabilidade constante dentro de um
intervalo de valores da vari´avel aleat´oria X.
20

21. Nesta distribui¸c˜ao a m´edia e a variˆancia s˜ao dadas por:
E (X) = α+β
2 V ar (X) = (β−α)2
12
Exemplo:
Uma vari´avel aleat´oria X tem distribui¸c˜ao uniforme no intervalo (50, 200). Calcular a m´edia e o
desvio padr˜ao.
M´edia (µX):
µX = a+b
2 = 50+200
2 = 125
Desvio-padr˜ao (σ):
σ2
X = (b−a)2
12 = (200−50)2
12 = 1875
σ =
√
1875 = 43, 30
6.3.2 Distribui¸c˜ao Normal ou Gaussiana
A distribui¸c˜ao normal ou gaussiana ´e a mais empregada na estat´ıstica, pois abrange um grande
n´umero de fenˆomenos , Ela tamb´em oferece base para inferˆencia estat´ıstica cl´assica devido a sua afini-
dade com o teorema do limite central, esta possui um gr´afico sim´etrico em forma de sino e suas medidas
de tendencia central como a m´edia, moda e mediana s˜ao todas sim´etricas A distribui¸c˜ao Gaussiana
´e caracterizada por dois parˆametros, a m´edia µ e o desvio-padr˜ao σ. A nota¸c˜ao para vari´avel x go-
vernada por uma distribui¸c˜ao Gaussiana ´e x ≈ N(µ, σ). A fun¸c˜ao de densidade da probabilidade da
distribui¸c˜ao normal ´e:
f (x) = 1
2πσ e−(0.5)[(X−µ)/σ]2
Podemos trabalhar com padroniza¸c˜ao de dados, assim dispensando a f´ormula acima e utilizando
apenas uma tabela. Segue abaixo a f´ormula de padroniza¸c˜ao da vari´avel, onde a vari´avel aleat´oria
normal X ´e convertida em uma vari´avel normal padronizada Z
Z = X−µ
σ
Onde σ ´e o desvio padr˜ao e µ a m´edia aritm´etica.
Na distribui¸c˜ao normal padronizada, a vari´avel Z possui m´edia 0 e desvio padr˜ao 1;
Exemplo:
Um banco de investimentos aplica um teste sobre econof´ısica a um grupo de 50 funcion´arios.
Obteve-se uma distribui¸c˜ao normal com m´edia 50 e desvio padr˜ao 6. Qual a propor¸c˜ao de funcion´arios
com notas superiores a 60 ?
Transformando a nota 60 em desvios reduzidos tem-se:
z = 60−50
6 = 1, 67
Utilizando uma tabela com distribui¸c˜oes normais padronizadas, Probabilidade da nota ser superior
a 60 ´e 0, 5 − 0, 4525 = 0, 0475 ou 4, 75%
21

22. 6.3.3 Distribui¸c˜ao t de Student
Segundo o teorema do limite central, a distribui¸c˜ao amostral de uma estat´ıstica seguir´a uma
distribui¸c˜ao normal, enquanto o tamanho da amostra for suficientemente grande. Portanto, quando
conhecemos o desvio padr˜ao da popula¸c˜ao, podemos calcular um z escore ou seja um indicador de
quantos desvios padr˜oes um elemento est´a da m´edia, utilizando esta equa¸c˜ao: z = (X−µ)
σ , e usarmos
a distribui¸c˜ao normal para avaliar probabilidades com a m´edia amostral.
Como em alguns casos as amostras s˜ao pequenas e n˜ao conhecemos o desvio padr˜ao da popula¸c˜ao,
utiliza-se a distribui¸c˜ao da estat´ıstica t tamb´em conhecida como t escore ou distribui¸c˜ao t de Student.
Esta ´e de grande valia para a inferˆencia de parˆametros da popula¸c˜ao e para a estat´ıstica de pequenas
amostras.
Um fator que difere as distribui¸c˜oes t de Student ´e o seu grau de liberdade, sendo esses graus re-
ferente aos n´umeros de observa¸c˜oes independentes num conjunto de dados. O n´umero de observa¸c˜oes
independentes ´e igual ao tamanho da amostra menos um. Sendo assim a distribui¸c˜ao da estat´ıstica t
das amostras de tamanho 8 ser˜ao descritas por uma distribui¸c˜ao t de Student tendo 81 ou 7 graus de
liberdade.
A distribui¸c˜ao t de Student tem como propriedades a sua m´edia igual a 0, A variˆancia igual a
υ/ (υ − 2)onde υ ´e o grau de liberdade e υ ≥ 2, e sua variˆancia ´e sempre maior que 1, embora ela
esteja pr´oxima de 1 quando existirem muitos graus de liberdade. Na existˆencia de infinitos graus de
liberdade, a distribui¸c˜ao t de Student ´e a mesma que a distribui¸c˜ao normal padr˜ao.
A utiliza¸c˜ao da distribui¸c˜ao t de Student s´o ´e poss´ıvel em uma distribui¸c˜ao amostral de uma
estat´ıstica normal ou aproximadamente normal, onde o conceito de normalidade ´e estabelecido pelo
teorema do limite central.
Quando uma amostra de tamanho n for extra´ıda de uma popula¸c˜ao tendo uma distribui¸c˜ao nor-
mal ou aproximadamente normal, a m´edia amostral pode ser transformada numa t-escore, usando a
equa¸c˜ao abaixo:
t = ¯x−µ
s√
n
Em que ¯x ´e a m´edia amostral, µ ´e a m´edia da popula¸c˜ao, s ´e o desvio padr˜ao da amostra, n ´e o
tamanho da amostra e os graus de liberdade s˜ao iguais a (n 1)
A t escore produzida nesta transforma¸c˜ao pode ser associada com uma ´unica probabilidade cumu-
lativa. Esta probabilidade cumulativa representa a probabilidade de se encontrar uma m´edia amostral
menor ou igual a ¯x, dada uma amostra aleat´oria de tamanho n.
Exemplo:
Em uma amostra de uma popula¸c˜ao normalmente distribu´ıda foram extra´ıdos 15 elementos com
m´edia ¯X = 5, 40 e desvio-padr˜ao σ = 0, 80. contruir um intervalo de 90% de confian¸ca para a m´edia
dessa popula¸c˜ao.
Grau de liberdade =15 − 1 = 14
c=90%
tc= 1,761
22

23. Erro=1, 761. 0.8√
15
= 0, 36
5, 4 − 0, 36 < µ < 5, 4 + 0, 36 = 5, 04 < µ < 5, 76
Logo, com 90% de confian¸ca a m´edia populacional est´a entre 5,04 e 5,76.
6.3.4 Distribui¸c˜ao Qui-Quadrado
Suponha realizamos um experimento estat´ıstico, onde selecionamos uma amostra aleat´oria de ta-
manho n de uma popula¸c˜ao normal, tendo um desvio padr˜ao igual a σ. Encontramos que o desvio
padr˜ao da nossa amostra ´e igual a s. Com estes dados, definimos uma estat´ıstica, chamada qui-
quadrado, usando a seguinte equa¸c˜ao:
χ2 = (n−1).s2
σ2
Se repetirmos este experimento um n´umero infinito de vezes, poderemos obter uma distribui¸c˜ao amos-
tral para a estat´ıstica qui-quadrado. Esta distribui¸c˜ao tem como fun¸c˜ao de densidade de probabilidade:
Y = Y0. χ2 (ν
2
−1) .e
−χ2
2
Onde:
Y0= constante que depende do n´umero de graus de liberdade.
χ2= estat´ıstica qui-quadrado.
(ν = n − 1)= ´e o n´umero de graus de liberdade.
e= ´e uma constante igual a base do sistema de logaritmo natural (aproximadamente 2,71828)
Y0= ´e definido, de forma que a ´area sob a curva qui-quadrado seja igual a um.
A distribui¸c˜ao qui-quadrado tem como propriedades:
• M´edia da distribui¸c˜ao igual ao n´umero de graus de liberdade: µ = ν.
• Variˆancia igual a duas vezes o n´umero de graus de liberdade: σ2 = 2.ν.
• Quanto maior a quantidade de graus de liberdade mais a curva qui-quadrado se aproxima de
uma distribui¸c˜ao normal.
• Quando (ν ≥ 2) ,o valor m´aximo de Y ocorre quando χ2 = ν − 2.
Exemplo:
Uma empresa desenvolveu uma nova bateria de telefone celular que tem uma autonomia de 60
minutos com uma ´unica carga. O desvio padr˜ao ´e 4 minutos. Suponha que a empresa queira realizar
um teste de controle de qualidade. Eles selecionam aleatoriamente 7 baterias. O desvio padr˜ao das
baterias selecionadas ´e 6 minutos. Qual seria a estat´ıstica qui-quadrado representada neste teste?
23

24. Desvio padr˜ao da amostra s = 6 minutos
Desvio padr˜ao da popula¸c˜ao σ = 4 minutos
N´umero de observa¸c˜oes n= 7
Portanto:
χ2 = (n−1).s2
σ2 = (7−1).62
42 = 13, 5
6.4 Testes estat´ısticos de hip´oteses
O teste estat´ıstico de hip´otese ´e uma regra decis´oria que nos possibilita rejeitar ou n˜ao uma
hip´oteses estat´ıstica baseado nos resultados de uma amostra. Estas hip´oteses s˜ao geralmente sobre
parˆametros populacionais e a realiza¸c˜ao do teste se baseia na distribui¸c˜ao amostral dos seus respectivos
estimadores. Segue abaixo algumas defini¸c˜oes relevantes para compreen¸c˜ao dos testes estat´ısticos de
hip´otese.
• Parˆametro: ´e uma fun¸c˜ao de valores populacionais, geralmente tendo um valor desconhecido
associdado `a popula¸c˜ao. Por exemplo na distribui¸c˜ao normal os parˆametros s˜ao a m´edia µ =
E (X) e a variˆancia σ2 = V (X).
• Estimador de um parˆametro θ: ´e qualquer fun¸c˜ao das observa¸c˜oes da amostra aleat´oria
X1; X2; :::; Xn. Onde este representa uma dada f´ormula de c´alculo que fornecer´a valores que
ser˜ao diferentes, de acordo com a amostra selecionada.
• Estimativa: ´e o valor n´umerico assumido pelo estimador, quando os valores de X1; X2; :::; Xn
s˜ao considerados.
• Hip´otese estat´ıstica: ´e uma suposi¸c˜ao quanto ao valor de um parˆametro populacional que
ser´a verificada por meio de um teste param´etrico, ou uma afirma¸c˜ao referente `a natureza da
popula¸c˜ao, que ser´a verificada por um teste de aderˆencia.
• Hip´otese nulidade H0: ´E a hip´otese estat´ıstica a ser testada. Esta ´e formulada com o prop´osito
de ser rejeitada, e os testes s˜ao constru´ıdos sob a pressuposi¸c˜ao de H0 ser verdadeira.
O teste de hip´otese consiste em verificar se a amostra observada difere significativamente do resul-
tado esperado sob H0.
• Hip´otese alternativa: ´E uma hip´otese que contraria H0, formulada com base no conhecimento
pr´evio do problema. Para o caso das duas m´edias, µA e µB, poder´ıamos ter:
Ha1 : µA = µB
ou
Ha2 : µA > µB
ou
Ha3 : µA < µB
24

25. • Regi˜ao crit´ıca: pode ser definida como a faixa de valores que nos levam `a rejei¸c˜ao da hip´otese
H0. Isto ´e, caso o valor observado da estat´ıstica do teste (Z; t; 2; F) perten¸ca `a regi˜ao cr´ıtica,
rejeita-se H0, caso contr´ario n˜ao rejeitamos H0. Quaisquer decis˜ao tomada nesta regi˜ao implica
na possibilidade de cometer basicamente dois tipos de erros. O erro tipo 1 que se caracteriza
pelo fato de rejeitarmos H0 quando est´a ´e verdadeira. Podemos designar por α a probabilidade
de cometer o erro tipo 1 n´ıvel de significˆancia. Temos tamb´em a existˆencia do erro tipo 2 que
tem como caracter´ıstica o fato de aceitarmos H0 quando est´a ´e falsa, designaremos por β a
probabilidade de cometer o erro tipo 2.
• Poder de um teste: ´E uma informa¸c˜ao utilizada para o dimensionamento de tamanhos de
amostras tendo-se em vista o controle dos dois tipos de erros. Sendo este poder a probabilidade
de rejeitar H0 quando esta ´e falsa, definido como:
Poder = 1 − β
6.4.1 Teste z
Teste de hip´otese de uma m´edia populacional
Sendo X normalmente distribu´ıda com variˆancia conhecida.
Seja uma vari´avel aleat´oria X normalmente distribu´ıda com m´edia E (X) = µ e variˆancia V (X) =
(σ)2
.
Podemos demonstrar que ¯X, a m´edia amostral ´e normalmente distribu´ıda com m´edia µ e a variˆancia
σ2
n .
Sendo:
¯X ≈ N µ, σ2
n
Utilizando vari´avel normal padronizada ou reduzida, obtemos:
Z =
¯X−µ
σ ¯X
mas,
σ ¯X = V ¯X = σ2
n = σ√
n
ent˜ao,
Z =
¯X−µ
σ√
n
Teste de hip´otese de duas m´edias populacionais
Sabendo que XA e XB s˜ao normalmente distribu´ıdas com variˆancia conhecidas.
Sendo ¯XA e ¯XB m´edias obtidas em duas amostras com tamanhos nA e nB, retiradas de duas
popula¸c˜oes normais PA e PB, respectivamente, com variˆancias σ2
A e σ2
B conhecidas e m´edias µA e µB
desconhecidas;
Considerando-se as vari´aveis aleat´orias ¯XA e ¯XB independentes, temos:
¯XA − ¯XB µA − µB,
σ2
A
nA
+
σ2
B
nB
25

26. Consideando o nivel de significˆancia α nosso problema ´e:
H0 : µA = µB
contra
Ha1 : µA = µB
ou
Ha2 : µA > µB
ou
Ha3 : µA < µB
Utilizaremos a estat´ıstica:
Z =
( ¯XA− ¯XB)−(µA−µB)
V ( ¯XA− ¯XB)
Sob o H0 segue que ¯XA − ¯XB ≈ N 0,
σ2
A
nA
+
σ2
B
nB
, e assim teremos:
Z =
( ¯XA− ¯XB)
σ2
A
nA
+
σ2
B
nB
Exemplo:
Estudantes de uma universidade realizaram um teste de Q.I. que apontou uma m´edia de m´edia 115,
com um desvio-padr˜ao de 20. Para saber se uma nova equipe de funcion´arios ´e t´ıpica desta universi-
dade, uma empresa retirou uma amostra aleat´oria de 50 funcion´arios desta nova equipe, encontrando-se
m´edia de 118. Com uma significˆancia de 5%, teste a hip´otese de que os funcion´arios da empresa apre-
sentam a mesma caracter´ıstica dos estudantes da universidade, com rela¸c˜ao ao Q.I.
H0 : µ = 115
H1 := 115
α = 0, 05
Z =
¯X−µ0
σ/
√
n
= 118−115
20/
√
50
= 1, 06
Como o valor da estat´ıstica calculada est´a na regi˜ao de aceita¸c˜ao, logo H0 ´e aceito como verdadeiro.
26

27. 6.4.2 Teste t
Quando o desvio-padr˜ao populacional n˜ao for conhesido e a amostra for pequena, a distribui¸c˜ao
amostral a ser utilizada ´e a t de student, e a estat´ıstica do teste ser´a:
t =
¯X−µ
σ/
√
n
Onde:
¯X= m´edia amostral
µ= m´edia populacional
σ= desvio-padr˜ao amostral
n= tamanho da amostra
Exemplo:
Em um fundo de investimento os profissionais da ´area de Econof´ısica levam em m´edia 50 minuto
para a realiza¸c˜ao de um determinado procedimento. Um novo procedimento est´a sendo implemen-
tado. Deste novo procedimento, retirou-se uma amostra de 12 pessoas, com um tempo m´edio de 42
minutos e um desvio-padr˜ao de 11,9 minutos. Teste a hip´otese de que a m´edia populacional no novo
procedimento ´e menor do que 50.
H0 = µ = 50
H1 = µ < 50
α = 0, 05
t =
¯X−µ0
σ/
√
n
= 42−50
11,9/
√
12
= −2, 53
tα = t0,05 = −1, 796
Como o valor da estat´ıstica calculada est´a na regi˜ao de rejei¸c˜ao, logo H0 ´e rejeitado como verda-
deiro.
6.4.3 Teste q
O teste qui-quadrado verifica a hip´otese de aderˆencia e independˆencia, sendo o teste de aderˆencia
entendido como se os dados coletados experimentalmente se ajustam de modo adequado as premissas
de um derterminado grau de certeza, j´a o teste de independˆencia mostra se duas vari´aveis est˜ao vin-
culadas entre si por rela¸c˜ao de dependˆencia, para determinado grau de certeza.
6.4.4 Teste BDS
A necessidade de caracterizar dependˆencia n˜ao linear em s´eries temporais estimulou o desenvolvi-
mento do Teste BDS que levou o nome dos pesquisadores que o criaram: William Brock, Davis Dechert
e Jos´e Alexandre Sheinkman. O BDS ´e utilizado em diversas ´areas, sendo o teste mais conhecido para
detectar estruturas n˜ao lineares presentes em s´eries temporais.
27

28. O Teste BDS utiliza o conceito da correla¸c˜ao espacial dos termos da s´erie dentro de um espa¸co de
dimens˜ao m. Baseia-se numa integral de correla¸c˜ao definida pela express˜ao:
Cm,t ( ) = t<s I (xm
t , xm
s ) . 2
Tm(Tm−1)
Onde:
T ´e o tamanho da amostra;
Tm = T − m + 1, representa o numero de vetores xm
t ;
Xm
t = (Xt, Xt+1, ...Xt+m−1);
I (xm
t , xm
s ) =
1 se xm
t − xm
s <
0 outro caso
= distˆancia arbitr´aria;
t e s s˜ao instantes de tempo com s = t + 1.
28

29. 7 Metodologia
As commodities ouro, prata e platina, distribu´ıdas em per´ıodos de tempo di´ario, quinzenal e men-
sal, foram submetidas a procedimentos com o objetivo de realizar a an´alise espectral das mesmas. Os
procedimentos foram realizados nesta ordem; a retirada das tendˆencias, a tranforma¸c˜ao de s´erie de
pre¸cos em s´eries de retornos, a aplica¸c˜ao da transformada de fourier nas s´eries de pre¸co,e retornos, e
por fim, a aplica¸c˜ao da fun¸c˜ao de densidade espectral nas s´eries de pre¸cos e retornos.
7.1 S´eries de pre¸cos das commodities sem tendˆencia
A exemplo de diversos trabalhos em an´alise espectral aplicada ao mercado financeiro, as tendˆencias
das s´eries de pre¸cos diarias, quinzenais e mensais das commodities, ouro, prata e platina, foram ex-
tra´ıdas tendo com objetivo garatir uma an´alise espectral mais assertiva tendo em vista que a presen¸ca
de tendˆencia na s´erie pode implicar em picos indesej´aveis na an´alise.
Figura 5: S´erie de pre¸co di´ario do ouro
29

30. Figura 6: S´erie de pre¸co quinzenal do ouro
Figura 7: S´erie de pre¸co mensal do ouro
30

31. Figura 8: S´erie de pre¸co di´ario da prata
Figura 9: S´erie de pre¸co quinzenal da prata
31

32. Figura 10: S´erie de pre¸co mensal da prata
Figura 11: S´erie de pre¸co di´ario da platina
32

33. Figura 12: S´erie de pre¸co quinzenal da platina
Figura 13: S´erie de pre¸co mensal da platina
33

34. 7.2 S´eries de retornos das commodities
As s´eries de pre¸cos das commodities sem tendˆencia foram transformadas em s´eries de retorno,
considerando esta uma pr´atica bem incorporada em an´alises deste gˆenero.
Figura 14: S´erie de retorno di´ario do ouro
34

35. Figura 15: S´erie de retorno quinzenal do ouro
Figura 16: S´erie de retorno mensal do ouro
35

36. Figura 17: S´erie de retorno di´ario da prata
Figura 18: S´erie de retorno quinzenal da prata
36

37. Figura 19: S´erie de retorno mensal da prata
Figura 20: S´erie de retorno di´ario da platina
37

38. Figura 21: S´erie de retorno quinzenal da platina
Figura 22: S´erie de retorno mensal da platina
38

39. 7.3 An´alise Espectral das commodities
7.3.1 Espectro de Fourier das s´eries de pre¸cos das commodities
Foi obtido o espectro de Fourier das s´eries de pre¸cos das commodities, ouro, prata e platina sendo
essa em periodos de tempo, di´ario, quinzenal e mensal. Esta teve como prop´osito a busca por picos
de frequˆencias dominantes nas s´eries.
Neste trabalho ser´a adotado o parˆametro de n˜ao analisar picos de frequˆencias menor que 0, 01,
pois estes picos podem estar associados aos ru´ıdos da s´erie, e podem comprometer a an´alise espectral.
Figura 23: Espectro do pre¸co di´ario do ouro
Na Figura 23 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos di´arios do ouro, n˜ao
´e poss´ıvel observar picos de frequˆencias dominantes que possam ser relevantes para esta an´alise.
39

40. Figura 24: Espectro do pre¸co quinzenal do ouro
Na Figura 24 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos quinzenais do ouro,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 01. A cada 100 quinze-
nas, um componente do pre¸co se repete.
40

41. Figura 25: Espectro do pre¸co mensal do ouro
Na Figura 25 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos mensais do ouro,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 01. A cada 100 meses,
um componente do pre¸co se repete.
41

42. Figura 26: Espectro do pre¸co di´ario da prata
Na Figura 26 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos di´arios da prata, n˜ao
´e poss´ıvel observar picos de frequˆencias dominantes que possam ser relevantes para esta an´alise.
42

43. Figura 27: Espectro do pre¸co quinzenal da prata
Na Figura 27 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos quinzenais da prata,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 005, mas como esta
frequˆencia est´a abaixo do parˆametro estipulado neste trabalho para evitar a an´alise de picos causados
possivelmente por ru´ıdos, o pico an´alisado foi o primeiro pico significativo com frequˆenia maior ou
igual a 0, 01, tendo este uma frequˆencia aproximada de 0, 02. A cada 50 quinzenas, um componente
do pre¸co se repete.
43

44. Figura 28: Espectro de pre¸co mensal da prata
Na Figura 28 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos mensais da prata,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 01. A cada 100 meses,
um componente do pre¸co se repete.
44

45. Figura 29: Espectro do pre¸co di´ario da platina
Na Figura 29 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos di´arios da platina,
n˜ao ´e poss´ıvel observar picos de frequˆencias dominantes que possam ser relevantes para esta an´alise.
45

46. Figura 30: Espectro do pre¸co quinzenal da platina
Na Figura 30 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos quinzenais da platina,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 02. A cada 50 quinzenas,
um componente do pre¸co se repete.
46

47. Figura 31: Espectro do pre¸co mensal da platina
Na Figura 31 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de pre¸cos mensais da platina,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 04. A cada 25 meses,
um componente do pre¸co se repete.
47

48. 7.3.2 Espectro de Fourier das s´eries de retornos das commodities
Foi obtido o espectro de Fourier dos retornos das commodities, ouro, prata e platina sendo essa
em per´ıodos de tempo, di´ario, quinzenal e mensal. Esta teve como prop´osito a busca por picos de
frequˆencias dominantes nas s´eries.
Neste trabalho ser´a adotado o parˆametro de n˜ao analisar picos de frequˆencias menor que 0, 01,
pois estes picos podem estar associados aos ru´ıdos da s´erie, e podem comprometer a an´alise espectral.
Figura 32: Espectro do retorno di´ario do ouro
Na Figura 32 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos di´arios do ouro,
n˜ao ´e poss´ıvel observar picos de frequˆencias dominantes que possam ser relevantes para esta an´alise.
48

49. Figura 33: Espectro do retorno quinzenal do ouro
Na Figura 33 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos quinzenais do
ouro, observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 26. A cada 3, 84
quinzenas, um componente do retorno se repete.
49

50. Figura 34: Espectro do retorno mensal do ouro
Na Figura 34 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos mensais do ouro,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 49. A cada 2, 04 meses,
um componente do retorno se repete.
50

51. Figura 35: Espectro do retorno di´ario da prata
Na Figura 35 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos di´arios da prata,
n˜ao ´e poss´ıvel observar picos de frequˆencias dominantes que possam ser relevantes para esta an´alise.
51

52. Figura 36: Espectro de retorno quinzenal da prata
Na Figura 36 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos quinzenais da
prata, observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 19. A cada 5, 2
quinzenas um componente do retorno se repete.
52

53. Figura 37: Espectro do retorno mensal da prata
Na Figura 37 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos mensais da prata,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 38. A cada 2, 63 meses,
um componente do retorno se repete.
53

54. Figura 38: Espectro do retorno di´ario da platina
Na Figura 38 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos di´arios da platina,
n˜ao ´e poss´ıvel observar picos de frequˆencias dominantes que possam ser relevantes para esta an´alise.
54

55. Figura 39: Espectro do retorno quinzenal da platina
Na Figura 39 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos quinzenais da
platina, observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 06.A cada 16, 6
quinzenas, um componente do retorno se repete.
55

56. Figura 40: Espectro do retorno mensal da platina
Na Figura 40 que representa a frequˆencia em ciclos para toda s´erie de retornos mensais da platina,
observa-se a presen¸ca de um pico de maior frequˆencia em aproximadamente 0, 12. A cada 8, 3 meses,
um componente do retorno se repete.
56

57. 7.3.3 Densidade Espectral das s´eries de pre¸cos das commodities
Figura 41: Densidade espectral do pre¸co di´ario do ouro
Figura 42: Densidade espectral do pre¸co quinzenal do ouro
57

58. Figura 43: Densidade espectral do pre¸co mensal do ouro
Figura 44: Densidade espectral do pre¸co di´ario da prata
58

59. Figura 45: Densidade espectral do pre¸co quinzenal da prata
Figura 46: Densidade espectral do pre¸co mensal da prata
59

60. Figura 47: Densidade espectral do pre¸co di´ario da platina
Figura 48: Densidade espectral do pre¸co quinzenal da platina
60

61. Figura 49: Densidade espectral do pre¸co mensal da platina
7.3.4 Densidade Espectral das s´eries de retornos das commodities
Figura 50: Densidade espectral do retorno di´ario do ouro
61

62. Figura 51: Densidade espectral do retorno quinzenal do ouro
Figura 52: Densidade espectral do retorno mensal do ouro
62

63. Figura 53: Densidade espectral do retorno di´ario da prata
Figura 54: Densidade espectral do retorno quinzenal da prata
63

64. Figura 55: Densidade espectral do retorno mensal da prata
Figura 56: Densidade espectral do retorno di´ario da platina
64

65. Figura 57: Densidade espectral do retorno quinzenal da platina
Figura 58: Densidade espectral do retorno mensal da platina
65

66. 8 Resultados
Na an´alise do espectro de Fourier das s´eries de pre¸cos e retornos notou-se que nas s´eries di´arias
de todas as commodities n˜ao foi possivel observar um pico relevante para a an´alise, isto se deve as ca-
racteristicas pr´oprias das s´eries e ao per´ıodo de tempo que as comp˜oe, fato este do per´ıodo de tempo,
que pode ser facilmente entendido ser for visualizado as s´eries quinzenais e mensais. Nestas s´eries
devido a um maior agrupamento de tempo que o di´ario elas apresent˜ao uma visualiza¸c˜ao mais n´ıtida e
ampliada das s´eries temporais e do seus espectros, sendo a visualiza¸c˜ao de picos na quinzenal melhor
que na di´aria, e na mensal melhor que na quinzenal.
Outro fato comum nas s´erie de pre¸cos e retornos de todas as commodities, ´e que os valores em
que se situaram as frequˆencias que comp˜oe as s´eries, que foi entre 0 e 0, 5, e tambem que as frequˆencias
neste periodo n˜ao apresentaram picos significativos isolados, os picos apresentados foram sempre acom-
panhado de outros, muitas vezes com menor intensidade mas ainda pr´oximos. A Ocorrˆencia de fatos
comuns ´as s´eries de pre¸cos e retornos, se devem as caracter´ısticas pr´oprias das s´erie que as comp˜oe,
como por exemplo o mercado em que s˜ao comercializadas e o gˆenero destas commodities, mas se deve
tamb´em pela diferˆencia¸c˜ao percentual das s´eries de retornos em rela¸c˜ao as s´eries de pre¸cos.
Algumas s´eries de pre¸cos e retornos quinzenais e mensais apresentaram proporcionalidade en-
tre o seu periodo de tempo e sua frequˆencia dominante, o pico significativo da s´erie de pre¸co da
platina quinzenal foi de 0, 02 o da mensal ficou em 0,04, na s´erie de retorno da platina os pico foram
de 0,06 para a quinzenal e 0,12 para a mensal. O pico siginificativo na s´erie de retorno da prata
foi de 0, 19 quinzenal e 0, 38 mensal, outras commodities tamb´em ficaram pr´oximas destas propor-
cionalidade, como a s´erie de retorno do ouro que teve seu pico em 0, 26 quinzenal e 0, 49 mensal.
Devido a mensura¸c˜ao dos picos significativos das s´eries terem sido feitas visualmente tal mensura¸c˜ao
incorpora um certo grau de incerteza que pode ter influenciado minimamente os valores observados
das frequˆencias dominantes. Incorporando esta incerteza na observa¸c˜ao das frequˆencias dominantes.
apesar disso pode-se considerar um rela¸c˜ao matem´atica de proporcionalidade entre o per´ıodo de tempo
que comp˜oe a s´erie e o valor de sua frequˆencia dominante.
Observando o Espectro de Fourier das commodities foi constatado um comportamento de
crescimento dos espectros de pre¸co do ouro, prata e platina no sentido da frequˆencia 0 fato este n˜ao
observado nos retornos. O melhor e o pior picos significativos observados foram, para a s´erie de pre¸co
o de 0, 04 da platina mensal o melhor, e 0,01 o pior, este observado no ouro quinzenal, mensal e na
prata mensal. J´a o melhor para as s´eries de retornos foi de 0, 49 do ouro mensal, e o pior foi de 0,06
da platina quinzenal.
Analisando o espectro de Fourier foi poss´ıvel afirmar o tempo em que um componente cicl´ıco
da s´erie se repetira, esta afirma¸c˜ao parte do principio que a frequˆencia dominante da s´erie ´e igual ao
ciclo dividio pelo tempo, logo, temos o tempo em que uma componete cicl´ıca se repetirar sendo este,
igual um ciclo sobre a frequˆencia dominante.
Os resultados observados na densidade espectral se mostraram condizentes com os apontados
no espectro de fourier, assim corroborando nas evidˆencias de padr˜oes de comportamentos per´ıodicos
nas s´eries de pre¸co e retornos de commodities
9 Conclus˜ao
De acordo com os resultados obtidos na an´alise espectral e tendo em vista a metodologia aplicada
nesta an´alise, foi observado um padr˜ao de comportamento peri´odico nas s´eries de pre¸cos e retornos
das commodities, o que leva a n˜ao aceita¸c˜ao da hip´otese de eficiˆencia dos mercados, considerando que
esta hip´otese incorpara modelos como o random walk que consideram as s´eries de pre¸cos e retornos
passados como desconexos. A n˜ao aceita¸c˜ao da hip´otese de eficiˆencia dos mercados em termos fracos,
66

67. demonstra que por meio da an´alise de informa¸c˜oes passadas existe a possibilidade de obten¸c˜ao de
lucros acima da m´edia do mercado.
10 Lista de figuras
Das figuras contidas no projeto as ´unicas que n˜ao foram elaboradas pelo autor s˜ao:
Figura 2 e 3
Fonte: Morettin/Toloi (2006)
Figura 4
Fonte: Granger/Morgenstern (1963)
67

68. Bibliografia
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