O documento discute sistemas de numeração primitivos e modernos. Aborda como tribos antigas contavam usando os dedos e partes do corpo, e como sistemas de base 5, 10, 12, 20 e 60 foram desenvolvidos. Também explica métodos históricos de multiplicação usando os dedos e a relação entre sistemas numerais e números.

1. SISTEMAS DIGITAIS E
ARQUITETURA DE COMPUTADORES
2
Módulo 1 – Sistemas de Numeração

2. Planificação Anual
MÓDULOS
DESIGNAÇÃO AULAS
1  Sistemas de numeração 29
2  Álgebra e Lógica Booleana 39
3  Circuitos Combinatórios 39
4  Circuitos Sequenciais 39
TOTAL 146

3. Introdução
 Desde sempre, o homem sentiu necessidade de fazer contagens consoante
as suas necessidades.

4. Sistemas de Numeração
As primeiras conceções de número vêm do Paleolítico. Assistia-se, nessa
altura a uma correspondência unívoca entre um objeto de um conjunto e outro
objeto de outro conjunto.
Por exemplo, registavam os seus rebanhos através de entalhes que eram feitos
em troncos de árvores, compaus.

5. Sistemas de Numeração
Com a fixação do homem e a respetiva dedicação à agricultura, juntamente com a
invenção de novas coisas tais como a roda e a descoberta dos metais, bronze e cobre,
começou a existir uma franca atividade comercial que promovia a utilização dos termos
numéricos.

6. Sistemas de Numeração
No Egipto o sistema de numeração era muito simples.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII
Já na Grécia, o sistema adotado era o sistema ático que se baseava num esquema de
iteração como se pode verificar na figura.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
I II III IIII ? ?I ?II ?III ?IIII ??

7. Aritmética Digital
Durante algum tempo pensou-se que existiam tribos que não sabiam contar para além de
dois, uma vez que só tinham nomes para os números um, dois e muitos.
No entanto, estes povos arranjaram meios e métodos de realizar as suas contagens.
As tribos com um vocabulário numérico muito reduzido tinham maneiras verdadeiramente
elaboradas de contar pelos dedos das mãos e dos pés.

8. A maior parte dos sistemas de contar primitivos baseavam-se no 5, no 10 ou no 20.
A base 5 foi muito utilizada. Em muitos idiomas, as palavras que significam "cinco" e "mão"
ou são as mesmas ou possuem uma raiz comum.
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9. Os Tamanacos, uma tribo da América do Sul, usavam a mesma palavra para 5 e para
"uma mão inteira".
O termo 6 significava "um na outra mão", 7 era "dois na outra mão" e analogamente para 8
e 9.
O 10 eram "ambas as mãos".
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10. Aritmética Digital
Para exprimir de 11 a 14, os Tamanacos estendiam ambas as mãos e contavam "um do pé,
dois do pé", e assim sucessivamente até "um pé completo".
O sistema continuava com o 16 expresso como "um no outro pé", e por aí adiante até ao 19.
Vinte era a palavra dos Tamanacos para "um índio", "dois índios" significava 40 e assim
sucessivamente.

11. Aritmética Digital
Os nomes primitivos dos números eram frequentemente idênticos aos das partes do corpo,
como dedos das mãos e dos pés, ou outras.
Ainda hoje, quando se fala de "dígitos" está-se a dar testemunho deste facto pois "dígitos" tem
origem numa palavra em latim que significa dedos.

12. Aritmética Digital
Os sistemas de base 6 e de base 9 são extremamente raros. Segundo parece, foi sentida
a necessidade de dar um nome aos números maiores que cinco, adotou-se então um
sistema de base 10.
Hoje o sistema de base 10 é quase universal, incluindo tribos primitivas.

13. Multiplicação usando os Dedos
Durante a Idade Média e o Renascimento, poucas foram as pessoas que chegaram a
conhecer a tabela de multiplicar para além de 5x5.
Assim, usava-se um método muito popular que se baseava no uso dos complementos
dos números dados relativamente a 10.
Como tal, o complemento de n relativamente a 10 será 10-n.

14. Multiplicação usando os Dedos
Neste método era frequente usar os dedos das mãos como instrumento de cálculo.
Associa-se aos dedos de cada mão os números de 6 a 10, começando pelo dedo mindinho.

15. Multiplicação usando os Dedos
Para multiplicar 7 por 8 tocam-se os dedos associados ao 7 e ao 8, como se observa na
figura seguinte.

16. Multiplicação usando os Dedos

17. Os dedos e a tabuada dos 9
Associa-se aos dedos de cada mão os números de 1 a 10 começando pelo dedo polegar.

18. Os dedos e a tabuada dos 9
O produto de vê-se baixando o n-ésimo dedo a contar da esquerda para a direita.
Por exemplo, corresponde a baixar o 4º dedo. Ficam 3 dedos levantados antes do dedo
que se baixa, e 6 depois. O que significa 36, que é o resultado pretendido, como se
observa na figura seguinte.

19. Sistemas de Numeração e Códigos - Introdução
Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número.
Os numerais diferem dos números do mesmo modo que as palavras diferem das coisas a
que se referem.
Os símbolos “11”,“onze” e “XI” são numerais diferentes, representando todos o mesmo
número.

20. Sistemas de Numeração e Códigos - Introdução
Um sistema de numeração (ou sistema numeral), é um sistema em que um conjunto de
números são representados por numerais de uma forma consistente.
Pode ser visto como o contexto que permite ao numeral “11” ser interpretado como o
numeral romano para dois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze.

21. Sistemas de Numeração e Códigos - Introdução
O sistema de numeração mais simples é o sistema de numeração unário onde
cada número natural é representado pelo número correspondente de símbolos.
 Se escolhermos,por exemplo,o símbolo
 para representar o número 1, entãoo
número 4 seria representado por .

22. Sistemas de Numeração e Códigos - Introdução
Actualmente utilizados em todo o mundo os sistemas posicionais (ou de posição)
consistem em elevar à potência o valor de um símbolo, numa determinada base,
consoante a posição que ocupa num número.
O número 0 tem uma importância vital uma vez que permite eliminar algumas potências
(posições) de um número.

23. Algumas bases utilizadas
Oito: Índios americanos utilizavam os espaços entre os dedos para contar.

24. Algumas bases utilizadas
Dez: Assume-se ter sidooriginada porque os humanos têm 10 dedos.

25. Algumas bases utilizadas
 Doze: Sistemas em base-12 foram populares porque as operações de multiplicação e
divisão são mais simples que em base-10 e a adição é igualmente simples.
 Ainda hoje há uma palavra especial para
doze – dúzia.
 Esta base pode ter sido originada a partir do número de nós nos dedos de uma mão
excluindo o polegar, que seriam usados para contar.

26. Algumas bases utilizadas
Vinte: A civilização Maia, entre outras, utilizavam um sistema base-20, possivelmente devido
ao número de dedos nas mãos e nos pés de um indivíduo.

27. Algumas bases utilizadas
Sessenta: Base-60 foiutilizada na Suméria e posteriormente na Mesopotamia.
Ainda existe hoje no nosso
sistema de tempo:
1 hora = 60 minutos;
1 minuto = 60 segundos.
O nosso sistema de medida
angular:
1 grau = 60 minutos;
1 minuto = 60 segundos.

28. Ficha de trabalho nº1
Trabalho de pesquisa