Introdução_de_Investigação_Operacional_Fazenda_110324.pdf

Operational Research - UDM
1
Rodrigues Fazenda 1
I. Introdução
•Capítulo 1:
•Origem e Natureza da Investigação Operacional (IO):
O seu impacto em Problemas de Planeamento e no apoio à decisão
em Problemas de Gestão.
A Investigação Operacional (IO) como ciência
surgiu para resolver,
duma forma mais eficiente, os problemas na
administração das organizações,
originados pelo acelerado desenvolvimento
provocado pela revolução industrial.
A Investigação Operacional (IO) como ciência
surgiu para resolver,
duma forma mais eficiente, os problemas na
administração das organizações,
originados pelo acelerado desenvolvimento
provocado pela revolução industrial.
Para quê a Investigação Operacional (IO)?
Origem da Investigação Operacional
Rodrigues Fazenda 2
Origem da Investigação Operacional
Produção
Distribuição de recursos
Utilização óptima de recursos
Gestão da Organização
Mais desenvolvimento,
mais complexidade na:

2
Rodrigues Fazenda 3
IO e Gestão.
•A partir da Revolução Industrial aumentam os problemas na
gestão das organizações:
–as diferentes componentes dentro duma organização são
sistemas autónomos com objectivos e gestão próprios;
–os objectivos cruzam-se: o que pode ser melhor para uns pode
ser prejudicial para outros.
O
O Problema
Problema:
:
Como
Como gerir
gerir para obter uma
para obter uma melhor
melhor
eficácia
eficácia dentro de toda a
dentro de toda a organização
organização?
?
Rodrigues Fazenda 4
A origem da IO como ciência é atribuído à coordenação
das operações militares durante a 2ª Guerra Mundial.
Em 1947, George Dantzig e outros cientistas do
Departamento da Força Aérea Americana, apresentaram
um método denominado Simplex para a resolução dos
problemas de
Programação Linear (PL).
Outros cientistas:
Outros cientistas que têm dedicado os seus estudos a IO (“à pesquisa
do óptimo”) são:
na Antiguidade: Euclides, Newton, Lagrange
no XX século: Leontief, Von Neumann, Kantarovich
A origem da IO como ciência é atribuído à coordenação
das operações militares durante a 2ª Guerra Mundial.
Em 1947, George Dantzig e outros cientistas do
Departamento da Força Aérea Americana, apresentaram
um método denominado Simplex para a resolução dos
problemas de
Programação Linear (PL).
Outros cientistas:
Outros cientistas que têm dedicado os seus estudos a IO (“à pesquisa
do óptimo”) são:
na Antiguidade: Euclides, Newton, Lagrange
no XX século: Leontief, Von Neumann, Kantarovich
Quando é que surgiu a IO?
Quando é que surgiu a IO?
Surgimento da IO.

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Rodrigues Fazenda 5
Como o seu nome indica:
IO é investigação das operações
Como o seu nome indica:
IO
IO é investigação das operações
O que é a Investigação Operacional?
O que é a Investigação Operacional?
Investigação das operações (actividades)
duma organização
Investigação das operações (actividades)
duma organização
Natureza de IO
Uma abordagem científica na tomada de decisões
Uma abordagem científica na tomada de decisões
Um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados
à resolução de complexos problemas nas operações
(actividades) duma organização
Um conjunto de métodos e modelos matemáticos aplicados
à resolução de complexos problemas nas operações
(actividades) duma organização
Rodrigues Fazenda 6
Quais são as características fundamentais da IO?
Quais são as características fundamentais da IO?
a aplicação de métodos científicos na gestão das organizações
orientação sistémica
extensibilidade
a aplicação de métodos científicos na gestão das organizações
orientação sistémica
extensibilidade
Características da IO.
A IO tem provocado um significativo impacto na gestão e
administração de empresas em diferentes organizações.
Os serviços militares dos E.U. continuaram a trabalhar
activamente nesta área.
Com o desenvolvimento da informática nas últimas décadas, a IO
tem sido estendida a numerosas organizações.
A IO tem provocado um significativo impacto na gestão e
administração de empresas em diferentes organizações.
Os serviços militares dos E.U. continuaram a trabalhar
activamente nesta área.
Com o desenvolvimento da informática nas últimas décadas, a IO
tem sido estendida a numerosas organizações.
Impacto da IO

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Rodrigues Fazenda 7
IO: Ciência da Administração
•Denominada “a ciência da administração”, a sua utilização e
implementação tem sido estendida à:
– business
– economia
– industria
– industria militar
– engenharia civil
– governos
– hospitais, etc.
Rodrigues Fazenda 8
Quais são os ramos mais importantes desenvolvidos na IO?
Os Ramos da IO.
• PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
– Programação Linear (LP)
• Problemas de distribuição de recursos.
• Problemas de transporte
• Problemas de planeamento da produção
• Problemas de corte de materiais, etc.
– Programação Não Linear
– Programação Dinâmica
– Programação Inteira
– Optimização Global
• PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
– Programação Linear (LP)
• Problemas de distribuição de recursos.
• Problemas de transporte
• Problemas de planeamento da produção
• Problemas de corte de materiais, etc.
– Programação Não Linear
– Programação Dinâmica
– Programação Inteira
– Optimização Global
Programação =
Planeamento de
Actividades
Programação =
Planeamento de
Actividades

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Rodrigues Fazenda 9
Outros Ramos da IO.
Quais são outros ramos da IO?
OUTROS RAMOS DA IO são:
Análise Estatística
Teoria de Jogos
Teoria de Filas
organização do tráfego aéreo
Construção de barragens, etc.
Simulação
Gestão de stocks, etc.
OUTROS RAMOS DA IO são:
Análise Estatística
Teoria de Jogos
Teoria de Filas
organização do tráfego aéreo
Construção de barragens, etc.
Simulação
Gestão de stocks, etc.
Rodrigues Fazenda 10
Exemplo 1: Produção de Aço vs. Ambiente(1)
•Uma empresa de aço emite para a atmosfera três tipos de
contaminantes:
–partículas
–óxido sulfúrico
–hidrocarbonetos
•A produção de aço inclui duas fontes principais de contaminação:
– os altos- fornos para produzir o ferro-gusa (ferro de primeira
fundição ainda não purificado)
–os fornos abertos para converter o ferro em aço

6
De acordo com decisões governamentais a fábrica tem de reduzir
anualmente a emissão dos contaminantes como a seguir se indica:
125
C: Hidrocarbonetos
150
B: Óxido sulfúrico
60
A:Partículas
Redução requerida no nível
anual de emissão
(em milhares de toneladas)
Contaminante
•Para reduzir a emissão os engenheiros propõem as seguintes medidas:
– Aumentar a altura das chaminés
– A utilização de filtros nas chaminés
– Incluir certos aditivos nos combustíveis
•Cada medida tem associado os seguintes custos anuais na sua
implementação em milhares de Euros:
11
7
8
Altos fornos
9
Melhores combustíveis
6
Filtros
10
Chaminés mais altas
Fornos
abertos
Método de redução

7
•Com as medidas propostas vai ser possível eliminar as quantidades anuais
dos contaminantes A, B e C nas seguintes quantidades (em milhares de
toneladas):
20
29
34
28
53
37
Hidrocarbonetos
49
56
31
18
42
35
Óxido sulfúrico
13
17
20
25
9
12
Partículas
Fornos
Abertos
Altos
fornos
Fornos
Abertos
Altos
fornos
Fornos
Abertos
Altos
fornos
Contaminante
Melhores
combustíveis
Filtros
Chaminés
mais altas
Estas medidas podem ser implementadas na sua totalidade ou
parcialmente.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Redução
100% de aumento 50% de aumento
Aumento na altura das chaminés nos
altos-fornos
Contaminante A
Contaminante B
Contaminante C
Exemplo 1: Produção do Aço vs. Ambiente(5)
Por exemplo, se implementar na totalidade a medida 1 (em 100%)
conseguir-se-á reduzir a emissão dos contaminantes A, B e C em 12, 35 e
37 milhares de toneladas, respectivamente. Caso contrário, se
implementar esta medida parcialmente (só a um 50% do previsto), apenas
se reduzirá a emissão em 6, 17.5 e 18.5 milhares de toneladas.

8
•O problema de IOO pode ser formulado como segue:
•Determinar um plano óptimo que, aplicando as medidas expostas
(total ou parcialmente) nos fornos emissores, consiga ao menor
custo o índice de maior redução da contaminação.
Exemplo 2: Um problema de IOO que determina um plano óptimo de Produção
•Uma empresa produz três tipos de portas a partir de um determinado material. Sabendo
que diariamente a empresa dispõe de 500 kg de material e 600 horas de trabalho,
determinar um plano óptimo de produção que corresponda ao maior lucro.
•A tabela seguinte indica a quantidade de material e horas de trabalho necessárias para a
produção de uma porta de cada tipo, assim como o lucro unitário de cada uma delas:
40 Euros
6 horas
4kg
Porta 2
50 Euros
7 horas
8 kg
Porta 1
55 Euros
Lucro Unitário
8 horas
Horas de Trabalho
3 kg
Quantidade de material
Porta 3
Recursos
I. Introdução
• Capítulo 2:
– Os principais passos na Investigação Operacional para a resolução
dum problema:
• formulação,
• modelação,
• resolução,
• avaliação,
• decisão,
• implementação.
– Esquema Geral. Exemplos.

9
Modelação
Modelação
Modelação
Formulação
Formulação
Formulação
Solução
Solução
Solução
Avaliação
Avaliação
Avaliação
Decisão
Decisão
Decisão
Domínio
Definição
do Problema
Definição
Definição
do Problema
do Problema
Implementação
Implementação
Implementação
Esquema Geral
1º Passo: Formulação(1)
•Primeiramente a equipa de IO deve formular correctamente o
problema em estudo.
•O problema deve ser analisado a partir de um sistema
integrado, onde interactuam várias componentes, todas elas
interdependentes, para o qual é preciso obter uma solução
óptima que satisfaça a todas elas.
É muito difícil procurar uma solução “certa”
para um problema mal formulado !!!

10
1º Passo:Formulação(2)
•Para formular correctamente um problema de IO é preciso definir
correctamente:
– os objectivos que se pretendem alcançar com a resolução do
problema.
– as restrições (limitações) existentes no sistema em geral,
definidas pelas relações de interdependências entre as
componentes integrantes do sistema.
O que é um modelo ?
•Um modelo é uma representação simplificada de uma situação da vida
real.
•Um modelo reflecte a essência do problema, representando as relações
de interdependência existentes entre todas as componentes da situação
em estudo.
O que é um modelo ?
•Um modelo é uma representação simplificada de uma situação da vida
real.
•Um modelo reflecte a essência do problema, representando as relações
de interdependência existentes entre todas as componentes da situação
em estudo.
2º Passo: Construção do Modelo Matemático.
Um modelo matemático é uma representação
simplificada de uma situação da vida real, formalizado
com símbolos e expressões matemáticas.
Um exemplo da Física: F = m a
Um modelo matemático é uma representação
simplificada de uma situação da vida real, formalizado
com símbolos e expressões matemáticas.
Um exemplo da Física: F = m a
O que é um modelo matemático?
O que é um modelo matemático?
Modelo Matemático
A modelação matemática dum problema possibilita
uma melhor compreensão da essência do mesmo !!!

11
Modelo Matemático de um Problema de Optimização
•Um modelo matemático de um Problema de Optimização é definido por:
– um número N de decisões a ser tomadas, denominadas variáveis de
decisão,
– uma função matemática, que representa a medida da vantagem
(desvantagem) da tomada de decisão denominada função objectivo,
– um conjunto de restrições associadas às variáveis de decisão
denominadas restrições do modelo,
– um conjunto de constantes (coeficientes) da função objectivo e das
restrições denominadas parâmetros do modelo.
Aspectos fundamentais a ter em conta durante a modelação.
1. Simplificar sem perder a essência do problema.
– CUIDADO !!!: a simplificação do modelo deve corresponder à
realidade, de tal forma que as soluções obtidas através do modelo
matemático possam realmente ser aplicadas na vida real.
2. Processo em espiral
– O processo de modelação desenvolve-se em forma de espiral,
começando por uma representação simplificada do problema, até se
chegar depois de vários ciclos a uma representação mais próxima da
situação em estudo na vida real.
– Um problema pode ser reformulado se:
• Durante a etapa da avaliação os resultados demonstram que é
preciso uma reformulação do problema incorporando novas
restrições, alterando os valores de alguns dos parâmetros, etc..
• Depois de avaliadas e implementadas as soluções, pretende-se
agora avançar para uma etapa mais complexa de resolução.

12
Aspectos fundamentais a ter em conta durante a modelação
•2. Processo em espiral …
– Este processo de reformulação e remodelação pode repetir-se, até
que o modelo desenvolvido e as suas soluções representem, o mais
fielmente possível, a complexidade do problema em estudo, e as
soluções implementadas satisfaçam completamente os principais
objectivos traçados.
•3. Escolha do modelo certo
– Na maioria das situações, o problema pode ser representado por
modelos e problemas tipo já desenvolvidos pela IO. Neste caso
formular matematicamente o problema não é mais do que convertê-lo
em certos modelos e problemas tipo da IO (modelos de Programação
Linear, Programação Dinâmica, Problema de Transporte, etc.)
2º Passo: Construção do Modelo Matemático.
A IO estrutura e formula um problema de optimização da vida real
dentro dum modelo matemático que reflecte a essência do
problema, de forma que as decisões (soluções) obtidas, possam ser
aplicadas na situação real.
3º Passo: Resolução. Determinação de uma solução.
•Uma vez realizada a formulação matemática do problema, é preciso aplicar
métodos e algoritmos desenvolvidos para a resolução do correspondente modelo
de IO. Para isto podem ser utilizados muito dos softwares e pacotes de
computação disponíveis para a resolução de problemas de IO.
•Se o modelo foi correctamente formulado, a solução obtida pode ser uma boa
aproximação da solução a implementar na situação real. “Pode ser” em lugar de
“é”. Qualquer modelo, como representação do problema, possui um certo grau de
incerteza, motivado fundamentalmente pelas simplificações efectuadas.
Realmente uma solução óptima do modelo pode estar longe de ser a solução
óptima na situação real.

13
3º Passo: Resolução.
Análise de sensibilidade e Pós-optimização
•Neste passo é incorporada outro tipo de análise denominada análise de
sensibilidade e pós-optimização em que é abordado o comportamento da
solução óptima quando são efectuadas pequenas alterações em certos
parâmetros do modelo. Para isto, é preciso determinar quais são os
parâmetros do modelo que mais influenciam a solução óptima
(denominados parâmetros “sensíveis”).
•A análise de sensibilidade e pós-optimização possibilita um espectro mais
alargado de soluções quando ocorrem alterações nestes parâmetros
“sensíveis”.
•Uma vez concluído este passo, a equipa de IO, está pronta para avaliar
várias propostas de modelos e as respectivas soluções óptimas .
4º Passo: Avaliação
•Neste passo serão avaliados, quer o modelo escolhido, quer as
soluções obtidas. Dependendo das conclusões da avaliação, será
determinado o passo a seguir:
– se a avaliação é satisfatória:
proceder à tomada de decisão, que prepara as condições
para a implementação da solução obtida na situação real.
– se a avaliação é não satisfatória:
proceder à reformulação, remodelação e resolução do novo
modelo, a partir dos resultados obtidos no processo de
avaliação e também na análise de pós-optimização

14
5º Passo: Tomada de decisão
•Uma vez concluída satisfatoriamente a etapa de avaliação, é preciso elaborar
um relatório bem documentado que possibilite a implementação da situação
obtida na situação real.
•Este relatório deve incluir:
– o modelo escolhido
– uma metodologia bem detalhada com todos os passos que sejam
necessários seguir para a implementação da solução obtida.
6º Passo: Implementação.
•Neste passo efectua-se a implementação das soluções obtidas usando a
metodologia elaborada. No processo de implementação é preciso envolver
activamente a administração e todas as componentes da organização que
actuam no sistema em estudo.
•Como foi mencionado no 2.º Passo, depois de se terem implementado as
soluções, pode ser necessário avançar para uma etapa mais complexa do
problema, incluindo alguns elementos novos. Neste caso, inicia-se um novo ciclo
para a resolução do problema em causa, só que agora com um nível superior de
complexidade de mesmo.
A formulação e resolução de modelos matemáticos
para os Problemas de Optimização representam
apenas uma parte de todo o processo que envolve
um estudo de Investigação Operacional.
Os outros passos aqui mencionados, também são de
grande importância para o sucesso da resolução do
problema em estudo.
Conclusões

15
Exemplo 1: Produção de Aço vs. Ambiente. Formulação (1)
•Uma empresa de aço emite para a atmosfera três tipos de
poluentes:
–partículas
–óxido sulfúrico
–hidrocarbonetos
•A produção de aço inclui duas fontes principais de contaminação:
– os altos- fornos para produzir o ferro-gusa (ferro de primeira
fundição ainda não purificado)
–os fornos abertos para converter o ferro em aço
De acordo com decisões governamentais, a fábrica tem de
reduzir anualmente a emissão dos contaminantes como a seguir
se indicam:
125
C: Hidrocarbonetos
150
B: Óxido sulfúrico
60
A:Partículas
Redução requerida no nível anual
de emissão
(em milhares de toneladas)
Contaminante

16
•Para reduzir a emissão os engenheiros propõem as seguintes medidas:
– Aumentar a altura das chaminés
– A utilização de filtros nas chaminés
– Incluir certos aditivos nos combustíveis
•Cada medida tem associado os seguintes custos anuais na sua
implementação, em milhares de Euros:
11
7
8
Altos fornos
9
6
Filtros
10
Fornos abertos
•Com as medidas propostas vai ser possível eliminar as quantidades anuais
dos contaminantes A, B e C nas seguintes quantidades (em milhares de
toneladas):
20
29
34
28
53
37
Hidrocarbonetos
49
56
31
18
42
35
Óxido sulfúrico
13
17
20
25
9
12
Partículas
Fornos
Abertos
Altos
fornos
Fornos
Abertos
Altos
fornos
Fornos
Abertos
Altos
fornos
Contaminante
Melhores
combustíveis
Filtros
Chaminés mais
altas
Estas medidas podem ser implementadas na sua totalidade ou
parcialmente.

17
0
5
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15
20
25
30
35
40
Redução
100% de aumento 50% de aumento
Aumento na altura das chaminés nos
altos-fornos
Contaminante A
Contaminante B
Contaminante C
Por exemplo, se implementar na totalidade a medida 1 (em 100%)
conseguir-se-á reduzir a emissão dos contaminantes A, B e C em 12, 35 e
37 milhares de toneladas, respectivamente. Caso contrário, se
implementar esta medida parcialmente (só a um 50% do previsto), apenas
se reduzirá a emissão em 6, 17.5 e 18.5 milhares de toneladas.
•O problema de IOO pode ser formulado como se segue:
•Determinar um plano óptimo, que aplicando as medidas expostas
(total ou parcialmente) nos fornos emissores, consiga ao menor
custo o índice de maior redução da contaminação.
Determinar um plano de acção para reduzir a
contaminação, ou seja determinar quais e em que
proporção serão aplicadas as diferentes medidas para
reduzir a emissão dos contaminantes com o menor custo.
Os custos destas medidas devem ser minimizados.
Exemplo1: Formulação
1º. Formular os objectivos:

18
As reduções na emissão dos contaminantes, provocadas pela
aplicação total ou parcial das medidas tem de ser superior ou igual
aos dados que correspondem à redução exigida pelo governo.
Exemplo1: Formulação.
2º. Formular as restrições:
Definir 6 variáveis de decisão: xj (j=1,2….6) que representam as
percentagens de implementação destas medidas para cada um
dos fornos emissores.
Exemplo1: Modelação
1º. Definir as variáveis de decisão:
x5
x3
x1
Altos fornos
x6
x4
Filtros
x2
Fornos abertos

19
Como o objectivo é minimizar o custo total na aplicação das
medidas de redução, calculamos o custo total Z como:
minimizar Z = 8x1 + 10x2 + 7x3 + 6x4 + 11x5 + 9x6 , em milhões de Euros
2º. Definir a função objectivo:
Exemplo 1: Modelação
contaminante A 12x 1 + 9x 2 + 25x 3 + 20x 4 + 17x5 + 13x6 ≥ 60
contaminante B 35x1 + 42x 2 + 18x3 + 31x 4 + 56x5 + 49x6 ≥ 150
contaminante C 37x1 + 53x 2 + 28x3 + 24x 4 + 29x5 + 20x6 ≥ 125
3º. Definir as restrições de redução da emissão:
As medidas podem ser implementadas na sua totalidade ou
parcialmente, o que significa que as variáveis de decisão xj têm
de ter um valor menor ou igual do que a unidade, ou seja:
xj ≤ 1, para j=1,2,…,6
4º. Definir as restrições tecnológicas:

20
Uma medida pode não ser implementada num dos fornos, ou se é
implementada, então o valor da variável de decisão xj
correspondente tem de ser positivo, ou seja podemos definir as
seguintes restrições:
xj ≥ 0, para j=1,2,…, 6
5º. Definir as restrições de não negatividade:
Minimizar Z = 8x1 + 10x2 + 7x 3 + 6x4 + 11x5 + 9x 6,
sujeito a
12x 1 + 9x 2 + 25x 3 + 20x 4 + 17x5 + 13x6 ≥ 60
35x1 + 42x 2 + 18x3 + 31x 4 + 56x5 + 49x6 ≥ 150
37x1 + 53x 2 + 28x3 + 24x 4 + 29x5 + 20x6 ≥ 125
xj ≤ 1, para j=1,2,… 6
xj ≥ 0, para j=1,2,… 6
Exemplo 1: Modelo Matemático

21
Uma vez formulado o problema como um modelo de Programação
Linear a equipa de IO, utilizando uns dos softwares para resolver
estes problemas, conseguiu determinar o seguinte plano óptimo:
Exemplo 1: Resolução(1)
Medidas a aplicar
x5 = 0.048
(melhorar os combustíveis
em 48% do previsto)
x3 = 0.343
(utilizar os filtros só em
34.3%)
x1 =1
(aumentar a altura na sua
totalidade, i.e. aplicar a
medida em 100%)
Altos fornos
x6 = 1
(melhorar os combustíveis em
100% )
Melhores
combustíveis
x4 = 1
(utilizar os filtros na sua
totalidade, i.e. aplicar a medida
em 100%)
Filtros
x2 = 0.623
(aumentar só 62.3 % da altura
prevista)
Chaminés mais
altas
Fornos abertos
Método de
redução
Exemplo 1: Conclusões
•Uma vez encontrada a solução óptima a equipa de IO efectou a sua avaliação
para verificar se realmente esta cumpria com os objectivos propostos. Como a
avaliação foi satisfactória, de inmediato elaborou-se uma metodologia para a
implementação das medidas.
•Com a implementação da solução encontrada pela equipa de IO foi possível
reduzir a emissão dos contaminantes na atmosfera e cumprir com as decisões
governamentais ao menor custo possível.

22
I. Introdução
•Capítulo 3:
•Problemas de Optimização
– Programação Matemática(PM) e Programação Linear(PL).
– Construção de um modelo matemático de PL.
– Exemplos clásicos de PL.
Problemas de Optimização
Programação Matemática
Programação
Programação
Linear
Linear
Programação
Programação
Não Linear
Não Linear
O que são problemas de Optimização ?
O que são problemas de Optimização ?
Os problemas de Optimização são problemas de maximização ou
minimização de funções de variáveis, designada por objectivo, que
depende de um número finito de variáveis. Estas variáveis podem ser
independentes uma das outras, ou podem estar relacionadas através
de uma ou mais restrições.
Os problemas de Optimização são problemas de maximização ou
minimização de funções de variáveis, designada por objectivo, que
depende de um número finito de variáveis. Estas variáveis podem ser
independentes uma das outras, ou podem estar relacionadas através
de uma ou mais restrições.
O que são problemas de Programação Matemática ?
O que são problemas de Programação Matemática ?
Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de
problemas de Optimização, que surgem na década de quarenta, aplicados
nos campos da organização e da gestão económica, em que o objectivo e
as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais.
Os problemas de Programação Matemática são uma classe particular de
problemas de Optimização, que surgem na década de quarenta, aplicados
nos campos da organização e da gestão económica, em que o objectivo e
as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais.
Problemas de Programação Matemática

23
Programação
Programação
Matemática
Matemática
Planeamento de
actividades
Planeamento de
actividades
O problema pode
ser representado
por um modelo
matemático
O problema pode
ser representado
por um modelo
matemático
maximizar f (x1, x2, … , xN )
(minimizar)
satisfazendo
g1 (x1, x2, … , xN ) {≤, =, ≥} b1
…
gM (x1, x2, … , xN ) {≤, =, ≥} bM
onde:
x1, x2, … , xN - N variáveis de decisão,
f(x1, x2, … , xN ) - função objectivo e
g1 , g2, … , gM - M restrições do modelo
Modelo matemático do problema de Programação Matemática

24
Classificação dos problemas de Programação Matemática
•Os problemas de Programação Matemática podem ser classificados em:
– lineares: se f (x1, x2, … , xN) , gi (x1, x2, … , xN) , i=1…M,
são funções lineares – PROGRAMAÇÃO LINEAR
– não lineares: se alguma das relações f (x1, x2, … , xN), gi (x1, x2,
… , xN) , i=1…M, for uma função não linear – PROGRAMAÇÃO NÃO
LINEAR
O que são problemas de Programação Linear?
O que são problemas de Programação Linear?
Programação Linear
Os problemas de Programação Linear são uma classe particular
de Problemas de Programação Matemática (PM), onde a função
objectivo e as restrições podem ser representadas por funções
lineares.
A Programação Linear determina o planeamento óptimo de
actividades, ou seja, um plano óptimo que represente a melhor
solução entre todas as alternativas possíveis.
Os problemas de Programação Linear são uma classe particular
de Problemas de Programação Matemática (PM), onde a função
objectivo e as restrições podem ser representadas por funções
lineares.
A Programação Linear determina o planeamento óptimo de
actividades, ou seja, um plano óptimo que represente a melhor
solução entre todas as alternativas possíveis.

25
Programação
Programação
Linear
Linear
Planeamento de
actividades
Planeamento de
actividades
O problema é
representado
matematicamente
pelo modelo de PM
onde todas as funções
f (x1, x2 ,… , xN ),
gi(x1, x2 , … , xN ), i=1…M
são lineares.
O problema é
representado
matematicamente
pelo modelo de PM
onde todas as funções
f (x1, x2 ,… , xN ),
gi(x1, x2 , … , xN ), i=1…M
são lineares.
maximizar f (x1, x2, … , xN )
(minimizar)
satisfazendo
g1 (x1, x2, … , xN ) {≤, =, ≥} b1
…
gM (x1, x2, … , xN ) {≤, =, ≥} bM
onde:
x1, x2, … , xN - variáveis de decisão,
f(x1, x2, … , xN ) - função objectivo LINEAR ,
g1 , g2, … , gM - restrições do modelo LINEARES
Modelo matemático do problema de Programação Linear

26
Exemplo Protótipo
•A empresa Nova Linha produz artigos de vidro de alta qualidade: janelas e
portas, em três secções de produção:
– Secção de Serralharia:
para produzir as estruturas de alumínio
– Secção de Carpintaria:
para produzir as estruturas de madeira
– Secção de Vidro e Montagem:
para produzir vidro e montar as portas e janelas
•Devido à diminuição dos lucros, o gerente geral decidiu reorganizar a
produção, e propõe produzir só 2 produtos que têm uma melhor aceitação
entre os clientes.
Estes produtos são:
– Produto 1:
uma porta de vidro com estrutura de alumínio
– Produto 2:
uma janela grande com estrutura de madeira.
Exemplo Protótipo
•O Departamento de Marketing concluíu que a empresa pode vender tanto de
qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produção
disponível. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produção da
secção Nº3, o gerente solicitou ao Departamento de Investigação Operacional
da empresa a resolução deste problema.
•O Departamento de IO para realizar a formulação do problema, procurou os
seguintes dados:
– a capacidade de produção por minuto de cada secção a ser utilizada
na produção de ambos os produtos
– a capacidade de produção por minuto de cada secção, a ser utilizada
para produzir uma unidade de cada produto
– os lucros unitários para cada produto

27
Exemplo Protótipo
•Estes dados estão resumidos na seguinte tabela:
Capacidade utilizada por
unidade de produção
5
2
2
0
Produto 2
18
3
3
3
0
1
Produto 1
Lucro unitário
(em Euros)
12
2
4
1
Capacidade
disponível
Secção Nº
Maximizar Z = 3x1 + 5x2,
sujeito a
x 1 ≤ 4
2x 2 ≤ 12
3x1 + 2x 2 ≤ 18
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
x1 , x2 - o número de unidades do produto 1 e 2 produzidas por minuto
.
Z – o lucro total por minuto.
Exemplo Protótipo: Formulação
5
2
2
0
Produto 2
18
3
3
3
0
1
Produto 1
Lucro unitário
(emEuros)
12
2
4
1
Capacidade
disponível
Secção Nº
5
2
2
0
Produto 2
18
3
3
3
0
1
Produto 1
Lucro unitário
(emEuros)
12
2
4
1
Capacidade
disponível
Secção Nº

28
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x1 = 4
x2 = 6
3
x
1
+
2
x
2
=
1
8
4º 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 18 ⇒ (x1 , x2)
estão situados abaixo ou sobre
a recta 3x1 + 2x2 =18
4º 3 x 1 + 2 x 2 ≤ 18 ⇒ (x1 , x2)
estão situados abaixo ou sobre
a recta 3x1 + 2x2 =18
I. Identificar os valores de (x1, x2)
que satisfaçam todas as restrições
(região de admissibilidade)
I. Identificar os valores de (x1, x2)
que satisfaçam todas as restrições
(região de admissibilidade)
Região de
admissibilidade
Exemplo Protótipo: Solução gráfica (I)
1º x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ⇒ (x1 , x2) estão
no 1º Quadrante
1º x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ⇒ (x1 , x2) estão
no 1º Quadrante
2º x 1 ≤ 4 ⇒ (x1 , x2) estão
situados à esquerda ou
sobre a recta x 1 = 4
2º x 1 ≤ 4 ⇒ (x1 , x2) estão
situados à esquerda ou
3º 2 x 2 ≤ 12 ⇒ x 2 ≤ 6 ⇒ (x1 , x2)
estão situados abaixo ou
3º 2 x 2 ≤ 12 ⇒ x 2 ≤ 6 ⇒ (x1 , x2)
estão situados abaixo ou
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
Região das
soluções
admissíveis
(2,6) é a solução
Z =36= 3x1 + 5x2
II. Determinar a solução
II. Determinar a solução
Nova Linha deve fabricar duas portas (produto 1) e seis janelas
(produto 2) por minuto obtendo um lucro de 36 Euros por minuto.
20= 3x1+ 5x2
10= 3x1+ 5x2
Exemplo Protótipo: Solução gráfica (II)
•Neste caso o ponto de tangência (2,6)
optimiza a função objectivo, pelo que a
solução pretendida é x1 = 2, x2 = 6. O
valor óptimo é 36.
A função objectivo Z = 3x1 + 5x2
define uma recta que pode ser
deslocada paralelamente no
sentido do seu gradiente
(garantindo o crescimento de Z),
até se tornar tangente à região
admissível.

29
Capacidade de produção
das 3 secções
Capacidade de produção
das 3 secções
Recursos:
M
Recursos:
M
Produtos a produzir:
2 produtos
Produtos a produzir:
2 produtos
Total de produtos a
produzir por minutos:
x1 e x2
Total de produtos a
produzir por minutos:
x1 e x2
Lucro por minuto:
Z
Lucro por minuto:
Z
Actividades:
N
Actividades:
N
Nível da actividade j : xj
Nível da actividade j : xj
Medida da vantagem: Z
Medida da vantagem: Z
Exemplo Protótipo:
3 recursos limitados a distribuir entre 2 actividades
O modelo de PL.
c1 c2 ... cN
Lucro unitário
Total de
recurso
disponível
1 2 ... N
Actividades
Recursos
Utilização do recurso
por actividade
x1 x2 ... xN
a11 a12 ... a1N
.
a21 a21 ... a2N
aM1 aM2 ... aMN
Nível de actividade
b1
b2
.
.,
.
bM
1
2
.
.
.
M
Os parâmetros do modelo de PL para um problema onde estão
envolvidas N actividades e M recursos podem ser definidos
utilizando a seguinte tabela:
onde ai j , bi e cj são constantes, xj – variáveis de decisão ( i=1,2,…,M, j=1,2,…,N )

30
Maximizar(minimizar) Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + … + a1 j xj + …+ a1N xN { ≤, =, ≥} b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2 j xj + …+ a2N xN {≤, =, ≥} b2
…
ai 1 x1 + ai 2 x2 + … + ai j xj + …+ ai N xN {≤, =, ≥} bi
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + … + aM j xj + …+ aM N xN {≤, =, ≥} bM
x1, x2,…, xj ,…, xN ≥0
onde ai j , bi e cj ( i=1,2,…,M, j=1,2,…,N ) são constantes e em cada restrição
apenas se verifica uma e só uma das relações {≤, =, ≥}.
coluna j
linha i
Função objectivo
Condições de não
negatividade
restrições
Formulação Matemática do Modelo de PL.
Exemplos clássicos de PL
• I- TRANSPORTE:
– Suponha que um sistema de distribuição alimenta N armazéns a partir
de M grandes unidades produtoras. Conhecendo os custos de
transporte, a procura prevista para cada armazém e as capacidades
(máximas) de produção de cada unidade, determinar o programa de
distribuição com menor custo.
• II- COMPOSIÇÃO:
– Conhecendo os conteúdos calóricos e vitamínicos de diversos
alimentos, bem como os seus preços, optimizar a composição da dieta
a adoptar de modo a minimizar o seu custo e a satisfazer níveis
mínimos de calorias e vitaminas.
• III- PRODUÇÃO:
– Suponha que uma fábrica é capaz de produzir N produtos
distintos utilizando M recursos limitados, os quais podem ser :
horas de trabalho, tempos de operação de várias máquinas, matérias
primas, serviços, etc. Conhecendo o lucro unitário, as quantidades de
recurso utilizada para cada produto, e as quantidades de recursos
disponíveis, determinar o plano óptimo de produção (com maior lucro).

31
Os problemas de Programação Linear podem ser
formulados de acordo com um modelo matemático
geral, que consiste na determinação de valores não
negativos para as variáveis x1, x2,…, xj ,…, xN, a satisfazer
um sistema de M equações (inequações) lineares que
maximizem ou minimizem uma função (real) linear
dessas variáveis.
Os problemas de Programação Linear podem ser
formulados de acordo com um modelo matemático
geral, que consiste na determinação de valores não
negativos para as variáveis x1, x2,…, xj ,…, xN, a satisfazer
um sistema de M equações (inequações) lineares que
maximizem ou minimizem uma função (real) linear
dessas variáveis.
O modelo de PL: Conclusões
II. Programação Linear (PL)
• Capítulo 1: O modelo de Programação Linear.
– Forma Padrão (“standard”) e Forma Canónica.
– Conceitos fundamentais.
– Outras formas do modelo:
• forma cartesiana
• forma matricial
• forma vectorial

32
O modelo de PL.
•Os problemas de Programação Linear podem ser formulados de
acordo com um modelo matemático geral, que consiste na
determinação de valores não negativos para as variáveis x1 , x2
,…,xj,…,xN satisfazendo um sistema de M equações (inequações)
lineares que maximizem ou minimizem o valor de uma função (real)
linear dessas variáveis.
Maximizar(minimizar) Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + … + a1 j xj + …+ a1N xN { ≤, =, ≥} b1
a21 x1 + a22 x2 + … + a2 j xj + …+ a2N xN {≤, =, ≥} b2
…
ai 1 x1 + ai 2 x2 + … + ai j xj + …+ ai N xN {≤, =, ≥} bi
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + … + aM j xj + …+ aM N xN {≤, =, ≥} bM
x1, x2,…, xj ,…, xN ≥0
onde ai j , bi e cj ( i=1,2,…,M, j=1,2,…,N ) são constantes e em cada restrição
apenas se verifica uma e só uma das relações {≤, =, ≥}.
coluna j
linha i
Função objectivo
Condições de não
negatividade
restrições
O Modelo de PL.

33
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN
(Minimizar)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN = b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM
x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥0
(Minimizar)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN = b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM
x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥0
Forma Padrão (“standard”).
•Quando as restrições de um modelo de Programação Linear são
apresentadas na forma de equações diz-se que esse modelo está na
forma padrão (ou “standard”).
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2
.. …
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM
x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥0
Forma Canónica.
•Quando as restrições de um modelo de Programação Linear são
apresentadas na forma de inequações diz-se que esse modelo está na
forma canónica.
Minimizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≥ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≥ b2
.. …
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≥ bM
x1, x2 ,…, xj,…, xN ≥0
máximo Z = - mínimo (-Z)
máximo Z = - mínimo (-Z)
Operações de Reformulação
• I. Qualquer problema de maximização pode converter-se num problema de
minimização, pois:

34
ai 1 x1 + ai 2 x2 + …+ ai N xN ≤ bi
ai 1 x1 + ai 2 x2 + …+ ai N xN ≤ bi
- ai 1 x1 - ai 2 x2 - …- ai N xN ≥ - bi
- ai 1 x1 - ai 2 x2 - …- ai N xN ≥ - bi
Operações de Reformulação.
• II.Qualquer restrição de desigualdade de tipo “≤” pode ser convertida
numa restrição do tipo “≥” multiplicando por (-1) ambos os seus
membros.
ai 1 x1 + …+ ai N xN = bi
ai 1 x1 + …+ ai N xN = bi ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤ bi
ai 1 x1 + …+ ai N xN ≥ bi
ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤ bi
ai 1 x1 + …+ ai N xN ≥ bi
-ai 1 x1 - …- ai N xN ≤ - bi
-ai 1 x1 - …- ai N xN ≤ - bi
• III. Qualquer restrição de igualdade pode ser convertida em
duas restrições de desigualdades “≤” equivalentes àquela.

35
bi - ai 1 x1 - …- ai N xN ≥ 0
bi - ai 1 x1 - …- ai N xN ≥ 0
xN+1 = bi - ai 1 x1 - …- ai N ≥ 0
xN+1 = bi - ai 1 x1 - …- ai N ≥ 0
ai 1 x1 + …+ ai N xN + xN+1 = bi
ai 1 x1 + …+ ai N xN + xN+1 = bi xN+1 ≥ 0
xN+1 ≥ 0
• IV. Qualquer restrição de desigualdade pode ser convertida numa
restrição de igualdade, através da introdução de uma nova variável
(variável de desvio ou folga) xN+1 de valor não negativo .
• V. Qualquer variável livre xj, (não restringida pela condição de não
negatividade) pode ser substituida por um par de variáveis não
negativas xj' ≥ 0 e xj'' ≥ 0, fazendo:
xj = xj' - xj''
xj = xj' - xj''
e deste modo formulando de novo o problema em função
destas duas variáveis.

36
A função a maximizar(minimizar),
Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN ,
designa-se por função objectivo (f.o).
A função a maximizar(minimizar),
Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cN xN ,
designa-se por função objectivo (f.o).
As equações (inequações)
designam-se por restrições.
As equações (inequações)
designam-se por restrições.
As desigualdades x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ,…, xN ≥ 0
designam-se por condições de não negatividade.
As desigualdades x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ,…, xN ≥ 0
designam-se por condições de não negatividade.
Conceitos Fundamentais(1).
As variáveis x1 , x2 , ... , xN ,
designam-se por variáveis de decisão.
As variáveis x1 , x2 , ... , xN ,
designam-se por variáveis de decisão.
As constantes aij ,
designam-se por coeficientes tecnológicos.
As constantes aij ,
designam-se por coeficientes tecnológicos.
As constantes bi ,
designam-se por termos independentes.
As constantes bi ,
designam-se por termos independentes.
As constantes cj ,
designam-se por coeficientes da função objectivo
As constantes cj ,
designam-se por coeficientes da função objectivo
Conceitos Fundamentais(2).

37
Qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão
(x1, x2,…, xN ) que satisfaça as restrições do modelo e as
condições de não negatividade
designa-se por solução admissível.
Qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão
(x1, x2,…, xN ) que satisfaça as restrições do modelo e as
condições de não negatividade
designa-se por solução admissível.
Conceitos fundamentais(3).
O conjunto de todas as soluções admissíveis
designa-se por região de admissibilidade.
Uma solução óptima maximiza (minimiza) a função objectivo
sobre toda a região de admissibilidade.
Uma solução óptima maximiza (minimiza) a função objectivo
sobre toda a região de admissibilidade.
O objectivo da PL é determinar de entre as soluções
admissíveis, uma que seja a “melhor”, medida pelo
valor da função objectivo do modelo. Por melhor
entende-se o maior ou menor valor, dependendo se o
objectivo é maximizar ou minimizar.
Objectivo da PL
Soluções do Problema de PL
• Um problema de PL pode ter:
– uma única solução óptima ou
– múltiplas soluções óptimas (uma infinidade) ou
– não ter óptimo finito ou
– não ter nenhuma solução (neste caso o problema é
impossível)

38
sujeito a
x 1 ≤ 4
2x 2 ≤ 12
3x1 + 2x 2 ≤ 18
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
xi – o número de unidades do produto
produzidas por minuto, i= 1,2.
Z – o lucro total por minuto.
Exemplo Protótipo: Formulação
5
2
2
0
Produto 2
18
3
3
3
0
1
Produto 1
Lucro unitário
(emEuros)
12
2
4
1
Capacidade
disponível
Secção Nº
5
2
2
0
Produto 2
18
3
3
3
0
1
Produto 1
Lucro unitário
(emEuros)
12
2
4
1
Capacidade
disponível
Secção Nº
Uma Única Solução Óptima
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
Região das
soluções
admissíveis
Z =36= 3x1 + 5x2
Z =20= 3x1 + 5x2
Z =10= 3x1 + 5x2
No exemplo protótipo determinamos uma única solução óptima: x1 = 6 , x 2
= 2, onde a função objectivo alcança o seu valor máximo Z=36 .

39
Múltiplas Soluções Óptimas.
No exemplo protótipo mudámos o
lucro unitário do produto 2 de 5 para 2
Euros, i.e., a função objectivo é agora
a recta Z=3x1+ 2x2.
(a f.o. tem o mesmo gradiente da
recta da 3ª restrição 3x1+ 2x2=18).
Todos os pontos (uma infinidade) do
segmento de recta AB, são soluções
óptimas, pois todas alcançam o
melhor valor da f.o.: z = 18.
Se um problema de
PL tem soluções
óptimas múltiplas
então tem um número
infinito delas.
Se um problema de
PL tem soluções
óptimas múltiplas
então tem um número
infinito delas.
4 6
2
2
4
6
8
x1
x2
3x1 + 2x2 = 18
Infinitas soluções
Infinitas soluções
A
A
B
B
O Problema não tem Óptimo Finito.
Se as restrições não evitarem o crescimento indefinido do valor da
função objectivo Z, no sentido favorável (positivo ou negativo) então
o problema não tem óptimo finito.
No exemplo protótipo,
eliminando as restrições:
2x 2 ≤ 12, 3x1 +2x 2 ≤ 18, a região
de admissibilidade fica não
limitada e o valor da função
objectivo pode crescer
indefinidamente nesta região.
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
Região das
soluções
admissíveis
Z= 5x1 + 2x2

40
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM
x1, x2,…, xj,…, xN ≥0
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM
x1, x2,…, xj,…, xN ≥0
∑
=
=
N
j
j
j x
c
Z
1
∑
=
≤
N
j
i
j
ij b
x
a
1
0
≥
j
x
M
i ,.........
2
,
1
=
N
j ,.........
2
,
1
=
Maximizar
Outras formas do modelo. 1º. Forma Cartesiana.
O problema é Impossível
•Se não existissem soluções admissíveis (o conjunto de soluções
admissíveis é vazio), então o problema não tem nenhuma solução, o
problema é impossível.
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM
x1, x2,…, xj,…, xN ≥0
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM
x1, x2,…, xj,…, xN ≥0
Maximizar
b
AX ≤
0
≥
X
X
c
Z '
=
[ ] [ ]
N
N x
x
x
X
c
c
c
c ,...,
,
,
,...,
, 2
1
'
2
1 =
=
[ ] [ ]
'
)
(
0
,...,
0
,
0
0
, =
=
× N
M
ij
a
A
[ ] ,
,...,
,
'
2
1 M
b
b
b
b =
Outras formas do modelo. 2º. Forma Matricial.

41
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM
x1, x2,…, xj,…, xN ≥0
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN ≤ b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN ≤ b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN ≤ bM
x1, x2,…, xj,…, xN ≥0
Outras formas do Modelo. 3º. Forma Vectorial
Maximizar
Maximizar
o
N
N P
P
x
P
x
P
x ≤
+
+
+ ...
2
2
1
1
0
≥
j
x
N
j ,.........
2
,
1
=
[ ]'
2
1 ,...,
, Mj
j
j
j a
a
a
P = [ ]
'
2
1
0 ,...,
, M
b
b
b
P =
[ ] [ ]'
2
1
'
2
1 ,...,
,
,
,...,
, N
N x
x
x
X
c
c
c
c =
=
X
c
Z '
=
• Capítulo 2:
– A Programação Linear em termos de actividades.
– Hipóteses do modelo de Programação Linear.
– Exemplos reformulados em termos de actividades
Natureza conceptual da PL
•A natureza conceptual da PL está baseada na construção de modelos que
descrevem o comportamento e as interrelações entre componentes de um
sistema: homens,serviços, máquinas, etc.
•Um sistema nestas condições é composto por um conjunto de funções
elementares chamadas actividades.

42
Actividade
•Uma actividade funciona em PL como uma “caixa negra” na qual entram
recursos (“inputs”), tais como:
– mão-de-obra,
– matérias-primas,
– equipamentos
•e donde saem diversos produtos (“outputs”).
•Ambos, recursos e produtos, são considerados os bens de uma actividade.
Uma actividade consiste em produzir um certo conjunto de bens: produtos,
utilizando outro conjunto de bens: recursos .
Uma actividade consiste em produzir um certo conjunto de bens: produtos,
utilizando outro conjunto de bens: recursos .
A medida quantitativa de cada actividade designa-se por nível de actividade.
A medida quantitativa de cada actividade designa-se por nível de actividade.
Actividade. Nível de Actividade.
Problema de planeamento da produção de curto prazo
•O problema de planeamento da produção de curto prazo consiste na
utilização óptima de recursos por parte de uma empresa tendo como
objectivo a maximização do resultado global, num certo período de
tempo, supondo que a empresa opera num mercado de concorrência.
•A adaptação a outro tipo de problemas não se reveste de grande
dificuldade.

43
Problema de PL em Termos de Actividades (1)
•Suponha-se que uma empresa pode desenvolver N actividades e dispõe
para tal de M recursos em quantidades limitadas.
– Os níveis das actividades constituem as variáveis de decisão do
problema;
– As restrições iniciais descrevem as possibilidades tecnológicas da
empresa e as limitações de recursos.
•Uma actividade j pode ser representada pelo vector
[ ] t
Mj
ij
j
j
j a
a
a
a
P ..,
,
, 2
1
=
onde aij representa a quantidade do recurso i gasto na
actividade j, j=1,..,N.
Formulação do Problema de PL em Termos de Actividades
(Minimizar)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN = b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM
x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0
(Minimizar)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1N xN = b1
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2N xN = b2
…
aM 1 x1 + aM 2 x2 + …+ aM N xN = bM
x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0
(Minimizar)
sujeito a
x1 P1 + x2 P2 + …+ xN PN = P0
onde Pj =[a1j , a2j , …, aMj]t, j=1,…,N
P0 =[b1 , b2 ,…, bM] t
x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0
(Minimizar)
sujeito a
x1 P1 + x2 P2 + …+ xN PN = P0
onde Pj =[a1j , a2j , …, aMj]t, j=1,…,N
P0 =[b1 , b2 ,…, bM] t
x1 , x2 ,…, xj,…, xN ≥0
Forma Padrão Em Termos de Actividades

44
N
N
M
M
Pj =[a1 j , a2 j , …, aM j ]t
Pj =[a1 j , a2 j , …, aM j ]t
x1 , x2 ,…, xj ,…, xN
x1 , x2 ,…, xj ,…, xN
Total de actividades
Total de actividades
Total de recursos
Total de recursos
Actividades
Actividades
Níveis das actividades
Níveis das actividades
Terminologia do Problema de PL em Termos de Actividades
xj Pj ( j=1,2,…, N )
xj Pj ( j=1,2,…, N ) O funcionamento da actividade j
ao nível xj.
O funcionamento da actividade j
ao nível xj.
Terminologia do Problema de PL em Termos de Actividades
Z
Z
cj xj
cj xj
Medida da vantagem
(desvantagem)
Medida da vantagem
(desvantagem)
A contribuição no valor da f.o. da
actividade Pj ao nível xj
A contribuição no valor da f.o. da
actividade Pj ao nível xj
bi
bi
aij
aij
Quantidade do recurso i
disponível
Quantidade do recurso i
disponível
Quantidade do recurso i gasto
na actividade j, j=1,..,N.
Quantidade do recurso i gasto
na actividade j, j=1,..,N.

45
O problema de planeamento da produção como problema
de PL, formulado em termos de actividades, consiste em
determinar os níveis das diversas actividades por forma a
maximizar a medida da vantagem ou minimizar a medida
da desvantagem, respeitando as limitações de recursos e a
quantidade de produtos a produzir.
O problema de planeamento da produção como problema
de PL, formulado em termos de actividades, consiste em
determinar os níveis das diversas actividades por forma a
maximizar a medida da vantagem ou minimizar a medida
da desvantagem, respeitando as limitações de recursos e a
quantidade de produtos a produzir.
Problema de PL em Termos de Actividades. Conclusões.
Hipóteses do modelo de PL
•Qualquer modelo de PL deve cumprir as seguintes hipóteses que
garantem a linearidade da função objectivo e das restrições do
problema:
– Proporcionalidade
– Aditividade
– Divisibilidade e não negatividade
– Linearidade da função objectivo

46
[ ] [ ]'
2
1
'
2
1 ..,
,.
,
..,
,.
, j
M
j
ij
j
j
j
j
j
j
M
ij
j
j
j
j
j a
x
a
x
a
x
a
x
a
a
a
a
x
P
x =
=
Hipóteses do modelo de PL: H1- Proporcionalidade.
•Em cada actividade a quantidade de bens que entram e saem são
sempre proporcionais ao nível da mesma .
por exemplo:
– se for duplicado o nível duma actividade, ter-se-ão de
duplicar todos os inputs (os recursos utilizados) sendo
duplicados todos os outputs (os produtos).
[ ] [ ]'
1
'
1 ,...,
,..., s
M
s
s
s
r
M
r
r
r
s
s
r
r a
x
a
x
a
x
a
x
P
x
P
x +
=
+
[ ]'
1
1 ,..., s
M
s
r
M
r
s
s
r
r a
x
a
x
a
x
a
x +
+
=
Hipóteses do modelo de PL: H2- Aditividade.
•Dadas N actividades, o resultado do emprego conjunto das mesmas é a
sua adição.
•por exemplo:
– combinando as actividades Pr e Ps tem-se uma nova actividade,
resultante da combinação destas:

47
Hipóteses do modelo de PL: H3 y H4.
•
•H3
H3 -
- Divisibilidade e não negatividade.
Divisibilidade e não negatividade. O nível de uma actividade pode assumir
qualquer valor positivo de um dado intervalo, o que equivale a supor que os
bens são perfeitamente divisíveis, isto é, susceptíveis de variar em quantidades
infinitesimais.
•
H4
H4 –
– Linearidade da função objectivo.
Linearidade da função objectivo. Cada actividade contribui para o objectivo
global perseguido pelo sistema (por exemplo, cada actividade normalmente
tem associado um certo lucro ou um certo custo). Esta hipótese indica que
essa contribuição para a função económica é proporcional ao nível da
actividade.
A contribuição total é a soma das contribuições de todas as actividades.
As hipóteses H1 e H3 traduzem a linearidade das actividades e,
atendendo a H4, pode concluir-se que se está em presença de um
modelo linear.
As hipóteses H1 e H3 traduzem a linearidade das actividades e,
atendendo a H4, pode concluir-se que se está em presença de um
modelo linear.
Hipóteses do modelo de PL. Conclusões
Problema de Transporte (PT).
•Considere-se um sistema de distribuição de um produto de M unidades
produtoras para N armazéns receptores.
•Conhecendo-se os custos de transporte, a procura prevista para cada
armazém e as capacidades de produção (ofertas) de cada unidade
produtora, pretende-se:
OPTIMIZAR O PROGRAMA DE DISTRIBUIÇÃO DESTE PRODUTO

48
Problema de Transporte (PT):
Formulação em Termos de Actividades.
Actividade
Actividade
Distribuição do produto da
unidade i para o armazém j
Distribuição do produto da
unidade i para o armazém j
Quantidade a transportar de i
para j : xij
Quantidade a transportar de i
para j : xij
Recursos e restrições
Função Objectivo
Função Objectivo
Oferta da unidade i ;
Procura do armazém j.
Oferta da unidade i ;
Procura do armazém j.
Minimizar o custo GLOBAL de
Transporte.
Minimizar o custo GLOBAL de
Transporte.
s.a.
∑
ij
ij
ij x
c
min
∑ ≤
j
i
ij a
x
∑ =
i
j
ij b
x
0
≥
ij
x
Problema de Transporte (PT): O Modelo de PL.
cij - custo de
transporte de uma
unidade de produto da
unidade i para o
armazém j
M unidades produtoras ⇒
M restrições de oferta;
ai -OFERTA da unidade
produtora i; i=1…..M;
N armazéns receptores ⇒
N restrições de procura;
bj- PROCURA do armazém
receptor j , j=1,…N;

49
Problema de Composição da Dieta.
•Conhecendo-se os conteúdos calóricos e vitamínicos de diversos alimentos,
bem como os seus preços,
•OPTIMIZAR A COMPOSIÇÃO DA DIETA
•de modo a minimizar o seu custo e a satisfazer níveis mínimos de calorias e
vitaminas.
Problema de Composição da Dieta:
Actividade
Actividade
Colocação do alimento
i na dieta
Colocação do alimento
i na dieta
xj: quantidade do alimento i
na dieta
xj: quantidade do alimento i
na dieta
Função Objectivo
Função Objectivo
Níveis calóricos e vitamínicos
mínimos
Níveis calóricos e vitamínicos
mínimos
Minimizar o custo GLOBAL da
composição da dieta.
Minimizar o custo GLOBAL da
composição da dieta.

50
sendo:
ai e bi - o conteúdo calórico e vitamínico unitário de cada alimento i,
ci - o custo unitário de i , e u e v, os níveis mínimos exigidos.
nível calórico
nível vitamínico
com
∑
i
i
i x
c
min
∑ ≥
i
i
i u
x
a
∑ ≥
i
i
i v
x
b
0
≥
i
x
Problema de Composição da Dieta: O modelo de PL
Problema de Produção.
•Suponha que uma fábrica é capaz de produzir N produtos utilizando M
recursos limitados, os quais podem ser:
– horas de trabalho,
– tempos de operação de várias máquinas,
– matérias primas,
– serviços, etc.
•
Conhecendo-se o lucro unitário, as quantidades de recurso utilizada para cada
produto, e as quantidades de recursos disponíveis, determinar:
•O PLANO ÓPTIMO DE PRODUÇÃO COM O MAIOR LUCRO.

51
Problema de Produção:
Actividade
Actividade
Produção do produto j
Produção do produto j
Quantidade a produzir do produto j:
xj
Quantidade a produzir do produto j:
xj
Função Objectivo
Função Objectivo
Quantidade de recurso disponível; a
quantidade de recurso i gasta na
produção de uma unidade de produto
j
Quantidade de recurso disponível; a
quantidade de recurso i gasta na
produção de uma unidade de produto
j
Maximizar o lucro global da
produção
Maximizar o lucro global da
produção
sendo i=1…..M, j=1,…N,
cj o lucro obtido por cada unidade do produto j ,
aij a quantidade de recurso i gasto na produção de uma
unidade do produto j, e
bi a quantidade de recurso disponível.
restrições dos recursos
com
∑
j
j
j x
c
max
i
j
j
ij b
x
a ≤
∑
0
≥
j
x
Problema de Produção: O modelo de PL.

52
• Capítulo 3:
• Propriedades fundamentais da Programação Linear:
– Redução à Forma Padrão
– Conceitos Fundamentais.
– Teorema Fundamental da PL.
Redução à Forma Padrão (1)
•O primeiro passo para a resolução de um problema de PL consiste na
sua redução à Forma Padrão. Para isto é preciso converter as restrições
funcionais de desigualdade em restrições equivalentes de igualdade.
– uma restrição de desigualdade de tipo “≤” pode ser convertida
numa restrição de igualdade adicionando uma nova variável não
negativa (variável de desvio ou folga) x
xN+1
N+1:
ai 1 x1 + …+ ai N xN ≤ bi ⇔ ai 1 x1 + …+ ai N xN + xN+1 = bi
x N+1 ≥ 0
– uma restrição de desigualdade de tipo “≥” pode ser convertida
numa restrição de igualdade subtraindo uma nova variável não
negativa (variável de desvio ou folga) x
xN+1
N+1:
ai 1 x1 + …+ ai N xN ≥ bi ⇔ ai 1 x1 + …+ ai N xN - xN+1 = bi
x N+1 ≥ 0

53
x1 ≤ 4
x1 ≤ 4
2 x2 ≤ 12
2 x2 ≤ 12
3 x1 + 2 x2 ≤ 18
3 x1 + 2 x2 ≤ 18
x1 + x3 = 4
x1 + x3 = 4
2 x2 + x4 = 12
2 x2 + x4 = 12
3 x1 + 2 x2 + x5 = 18
3 x1 + 2 x2 + x5 = 18
x3
x
x3
3
x4
x
x4
4
x5
x
x5
5
1ª
1ª
2ª
2ª
3ª
3ª
Exemplo Protótipo. Redução à Forma Padrão.
Restrição de
desigualdade
Restrição de
igualdade
Variável de folga
Exemplo Protótipo.
Redução à Forma Padrão.
Maximizar Z= 3 x1 + 5 x2
sujeito a
x1 ≤ 4
2 x2 ≤ 12
3 x1 + 2 x2 ≤ 18
x1 , x2 ≥0
sujeito a
x1 ≤ 4
2 x2 ≤ 12
3 x1 + 2 x2 ≤ 18
x1 , x2 ≥0
sujeito a
x1 + x3 = 4
2 x2 + x4 = 12
3 x1 + 2 x2 + x5 = 18
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
sujeito a
x1 + x3 = 4
2 x2 + x4 = 12
3 x1 + 2 x2 + x5 = 18
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
Forma Canónica Forma Padrão
As variáveis de
folga têm
coeficientes nulos
na f.o.
As variáveis de
folga têm
coeficientes nulos
na f.o.

54
Conceitos Fundamentais.
• Suponha-se que:
– m - número de restrições funcionais,
– n - número total de variáveis (de decisão e de folga);
– bi ≥ 0, (i=1,2,…,m) - em caso contrário multiplicar por (-1)
– o problema de PL se encontra na forma padrão:
A introdução destes conceitos são
necessários para a compreensão do
método Simplex.
A introdução destes conceitos são
necessários para a compreensão do
método Simplex.
Maximizar Z= c 1x 1+ c 2x2+ …+ cnxn (3.1)
sujeito a
a
11x1+ a
12x 2+ …+ a
1nxn = b1 (3.2)
a
21x1+ a
22x 2 + …+ a
2nxn = b2
…
a
m 1x1+ a
m 2x2+ …+ a
m n
xn = b m
x 1, x2,…,xm,…, x n ≥ 0 (m ≤ n ) (3.3)
Qualquer conjunto de valores para as variáveis (x1, x2,…, xn) que satisfaça
as restrições do modelo, i,e, que seja uma solução do sistema de equações
lineares (3.2 designa-se por solução.
Qualquer conjunto de valores para as variáveis (x1, x2,…, xn) que satisfaça
as restrições do modelo, i,e, que seja uma solução do sistema de equações
lineares (3.2 designa-se por solução.
Uma solução admissível é uma solução X= (x1, x2,…, xn), X ∈ℜn
,que
também verifica as condições de não negatividade (3.3), i.e., todos os seus
valores são não negativos.
Uma solução admissível é uma solução X= (x1, x2,…, xn), X ∈ℜn
,que
também verifica as condições de não negatividade (3.3), i.e., todos os seus
valores são não negativos.
Conceitos Fundamentais
Uma solução óptima maximiza (minimiza) a função objectivo sobre toda
a região de admissibilidade.
Uma solução óptima maximiza (minimiza) a função objectivo sobre toda
a região de admissibilidade.

55
Como determinar uma solução do problema
de PL na forma Padrão?
•Para determinar uma solução do problema de PL é preciso resolver o sistema
de equações lineares (3.2). Este sistema é constituído por m equações e n
incógnitas, Suponha que a característica da matriz do sistema é igual a m,
c(A)=m, e que m ≤ n . Este sistema tem uma infinidade de soluções, tratando-
se portanto dum sistema possível e indeterminado de grau n- m. Isto significa
que podemos exprimir m variáveis em função das n- m restantes.
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn (3.1)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 (3.2)
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2
…
am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn = bm
x1, x2,…, xm,…, xn ≥0 (m ≤ n ) (3.3)
Maximizar Z= c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn (3.1)
sujeito a
a11 x1 + a12 x2 + …+ a1n xn = b1 (3.2)
a21 x1 + a22 x2 + …+ a2n xn = b2
…
am 1 x1 + am 2 x2 + …+ am n xn = bm
x1, x2,…, xm,…, xn ≥0 (m ≤ n ) (3.3)
c(A) - característica de
uma matriz Amxn que
corresponde ao número
máximo de colunas de
A linearmente
independentes
c(A) - característica de
uma matriz Amxn que
corresponde ao número
máximo de colunas de
A linearmente
independentes
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
Exemplo Protótipo.
Resolução do Sistema de Equações Lineares.
X
x1
x2
x3 x4
x5
P0
4
12
18
=
=
O sistema de equações lineares é constituído por 3 equações e 5
incógnitas, onde 3 ≤ 5. A característica c(A)=3.
Este sistema tem uma infinidade de soluções, tratando-se
portanto dum sistema possível e indeterminado de grau 5-
3=2, o que significa que podemos exprimir 3 variáveis em função
das restantes 2.
Maximizar Z= 3 x1 + 5x2
sujeito a
x1 + x3 = 4
2x2 + x4 = 12
3x1 + 2 x2 + x5 = 18
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0
Maximizar Z= 3x1 + 5x2
sujeito a
x1 + x3 = 4
2x2 + x4 = 12
3 x1 + 2 x2 + x5 = 18
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥0

56
Resolução do sistema de equações lineares
pelo Método Gauss-Jordan.
I- Reduzir 3 colunas de A a uma matriz identidade I.
I- Reduzir 3 colunas de A a uma matriz identidade I.
P1 P2 P3 P4 P5 Po
1 0 1 0 0 4
0 2 0 1 0 12
3 2 0 0 1 18
P1 P2 P3 P4 P5 Po
1 0 1 0 0 4
0 1 0 1/2 0 6
0 2 -3 0 1 6
P1 P2 P3 P4 P5 Po
1 0 1 0 0 4
0 1 0 1/2 0 6
0 0 -3 -1 1 - 6
P1 P2 P3 P4 P5 Po
1 0 1 0 0 4
0 1 0 1/2 0 6
0 0 1 1/3 -1/3 2
P1 P2 P3 P4 P5 Po
1 0 0 -1/3 1/3 2
0 1 0 1/2 0 6
0 0 1 1/3 -1/3 2
1º: L2 / 2
2º: L1 x(-3) + L3
3º:
L2x(-2)+L3
4º: L3 / -3
5º: L1-L3 Ficam reduzidas as
colunas {P1, P2, P3} a
uma matriz identidade I.
L1→
L2 →
L3 →
Resolução do sistema de equações lineares
pelo Método Gauss-Jordan.
P1 P2 P3 P4 P5 Po
1 0 0 -1/3 1/3 2
0 1 0 1/2 0 6
0 0 1 1/3 -1/3 2
x4 =λ1, λ1 ∈ℜ
x5 =λ2, λ2 ∈ℜ
x1=2 +1/3 λ1-1/3 λ2
x2=6-1/2 λ1
x3=2-1/3 λ1+1/3 λ2
x4 =λ1, λ1 ∈ℜ
x5 =λ2, λ2 ∈ℜ
x1=2 +1/3 λ1-1/3 λ2
x2=6-1/2 λ1
x3=2-1/3 λ1+1/3 λ2
Infinidade de
soluções
II- Atribuindo valores arbitrários a x4 e x5 , as variáveis x1, x2 , x3
podem ser expressas em função de x4 e x5 .
II- Atribuindo valores arbitrários a x4 e x5 , as variáveis x1, x2 , x3
podem ser expressas em função de x4 e x5 .
Obviamente, quando λ1= λ2 = 0, uma
solução seria: x1=2, x2=6 , x3=2 , x4=0 ,
x5=0 , i.e., X=(2, 6, 2, 0, 0).
Obviamente, quando λ1= λ2 = 0, uma
solução seria: x1=2, x2=6 , x3=2 , x4=0 ,
x5=0 , i.e., X=(2, 6, 2, 0, 0).

57
Se uma submatriz Bmxm da matriz A do sistema de equações
correspondente às restrições (3.2) é não singular, i.e., o determinante de
Bmxm é não nulo, então Bmxm designa-se por base.
Se uma submatriz Bmxm da matriz A do sistema de equações
correspondente às restrições (3.2) é não singular, i.e., o determinante de
Bmxm é não nulo, então Bmxm designa-se por base.
Base do Sistema. Variáveis básicas e não básicas.
As m variáveis x1 , x2 ,…, xm , correspondentes às colunas de Bmxm
,designam-se por variáveis básicas e as restantes n-m variáveis xm+1,
xm+2 ,…, xn designam-se por variáveis não básicas.
As m variáveis x1 , x2 ,…, xm , correspondentes às colunas de Bmxm
,designam-se por variáveis básicas e as restantes n-m variáveis xm+1,
xm+2 ,…, xn designam-se por variáveis não básicas.
Obtém-se uma solução básica para o sistema (3.2) atribuindo o valor 0
às n-m variáveis não básicas xm+1 , xm+2 ,…, xn, e determinando uma
solução para as restantes m variáveis básicas x1 , x2 ,…, xm ,i.e.,
X = (x1 , x2 ,… , xm ,0,…,0), onde XB =(x1 , x2 ,…, xm) é a única solução
do sistema B XB =b.
Obtém-se uma solução básica para o sistema (3.2) atribuindo o valor 0
às n-m variáveis não básicas xm+1 , xm+2 ,…, xn, e determinando uma
solução para as restantes m variáveis básicas x1 , x2 ,…, xm ,i.e.,
X = (x1 , x2 ,… , xm ,0,…,0), onde XB =(x1 , x2 ,…, xm) é a única solução
do sistema B XB =b.
Se todas as variáveis básicas da solução básica
X= (x1 , x2 ,… , xm, 0,…,0) são não negativas então X é uma solução
básica admissível (SBA).
Se todas as variáveis básicas da solução básica
X= (x1 , x2 ,… , xm, 0,…,0) são não negativas então X é uma solução
básica admissível (SBA).
Solução Básica e Solução Básica Admissível.
Sem perda de generalidade, suponha que a
base B é composta pelas m primeiras colunas,
i.e., B= { P1 , P2 ,..., Pm }
como o determinante de
B é não nulo (pela
definição de base), o
sistema de equações
BXB =b tem solução
única
como o determinante de
B é não nulo (pela
definição de base), o
sistema de equações
BXB =b tem solução
única

58
Se alguma variável básica x1 , x2 ,…, xm for igual a zero, a solução
básica designa-se por solução básica degenerada.
Se alguma variável básica x1 , x2 ,…, xm for igual a zero, a solução
básica designa-se por solução básica degenerada.
Solução Básica Degenerada.
Se todas as variáveis básicas são não nulas a solução
básica designa-se por solução básica não degenerada.
Se todas as variáveis básicas são não nulas a solução
básica designa-se por solução básica não degenerada.
Suponha-se X = (x1 , x2 ,… , xm ,0,…,0) uma solução básica para o
sistema (3.2) com as correspondentes variáveis básicas x1 , x2 ,…, xm.
Exemplo Protótipo: Base, SBA.
•A matriz B composta pelas colunas B={ P3 , P4 , P5 } é uma base do sistema.
O determinante de B é não nulo, pelo que o sistema de equações BXB=b tem
solução única.
resolvendo
BXB=b XB
x3
x4
x5
P0
4
12
18
=
=
P3 P4 P5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
P1 P2 P3 P4 P5 Po
1 0 1 0 0 4
0 2 0 1 0 12
3 2 0 0 1 18
B
X = ( 0, 0, 4, 12, 18 )
X = ( 0, 0, 4, 12, 18 ) é
uma solução básica admissível (SBA)
correspondente a esta base.
x3=4 , x4=12, x5=18 são variáveis
básicas e x1 =0, x2 =0
são variáveis não básicas.
Obviamente x3=4, x4=12, x5=18 é
a única solução deste sistema.
Obviamente x3=4, x4=12, x5=18 é
a única solução deste sistema.

59
Matriz das restrições
do exemplo Protótipo
B
B1
1 =
={
{ P
P1
1 , P
, P2
2 , P
, P3
3 }
}
B
B2
2 =
={
{ P
P1
1 , P
, P3
3 , P
, P4
4 }
}
B
B3
3 =
={
{ P
P1
1 , P
, P4
4 , P
, P5
5 }
}
B
B4
4 =
={
{ P
P1
1 , P
, P2
2 , P
, P4
4 }
}
B
B5
5 =
={
{ P
P1
1 , P
, P2
2 , P
, P5
5 }
}
10
3
5
=








)!
(
!
!
m
n
m
n
m
n
−
=








P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
Quantas soluções básicas tem um problema de PL?
O número de soluções básicas
é igual ao número de matrizes 3x3
que podem ser extraídas da
matriz A com determinante não
nulo
Existem 10 submatrizes candidatas a bases:
B
B6
6 =
={
{ P
P1
1 , P
, P3
3 , P
, P5
5 }
} →
→ determinante nulo
B
B7
7 =
={
{ P
P2
2 , P
, P3
3 , P
, P4
4 }
}
B
B8
8 =
={
{ P
P2
2 , P
, P3
3 , P
, P5
5 }
}
B
B9
9 =
={
{ P
P2
2 , P
, P4
4 , P
, P5
5 }
} →
→ determinante nulo
B
B10
10 =
={
{ P
P3
3 , P
, P4
4 , P
, P5
5 }
}
x2=0
x4=0
O determinante de B6 é nulo ⇒ B não é base
⇒ o sistema é indeterminado
P1 P3 P5
1 1 0
0 0 0
3 0 1
B6=
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A = | B6| =0
x1=0
x3=0
O determinante de B9 é nulo ⇒ B não é base
⇒ o sistema é indeterminado
P2 P4 P5
0 0 0
2 1 0
2 0 1
B9=
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A = | B9| =0
Exemplo Protótipo:
Matrizes com determinante nulo.

60
x1=0
x2=0
Det(B10) não nulo ⇒SBA X=( 0, 0, 4, 12, 18)
X=( 0, 0, 4, 12, 18)
x4=0
x5=0
Det(B1) não nulo ⇒ SBA X= (2, 6, 2, 0, 0)
X= (2, 6, 2, 0, 0)
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
XB=B-1 P0
XB=B-1 P0
XB
x3
x4
x5
P0
4
12
18
=
P3 P4 P5
1 0 0
0 1 0
0 0 1
B10=
P0
4
12
18
XB
x1
x2
x3
=
=
P1 P2 P3
1 0 1
0 2 0
3 2 0
B1=
Exemplo Protótipo.
Soluções Básicas Admissíveis.
x3=0
x5=0
X=( 4, 3, 0, 6, 0)
x2=0
x3=0
Det(B3) não nulo ⇒ SBA X= (4, 0, 0, 12, 6)
X= (4, 0, 0, 12, 6)
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
XB
x1
x2
x4
P0
4
12
18
=
P1 P2 P4
1 0 0
0 2 1
3 2 0
B4=
Exemplo Protótipo.
P0
4
12
18
XB
x1
x4
x5
P1 P4 P5
1 0 0
0 1 0
3 0 1
B3 =
=

61
x1=0
x4=0
X=( 0, 6, 4, 0, 6)
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
XB=B-1 P0
XB=B-1 P0
XB
x2
x3
x5
P0
4
12
18
=
P2 P3 P5
0 1 0
2 0 0
2 0 1
B8 =
Exemplo Protótipo.
x1=0
x5=0
Det(B7) não nulo ,x4 0 ⇒SBNA X=( 0, 9, 4,
X=( 0, 9, 4, -
-6
6, 0)
, 0)
x2=0
x5=0
Det(B2) não nulo, x3 0 ⇒ SBNA X= (6, 0,
X= (6, 0, -
-2
2, 12, 0)
, 12, 0)
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
X
x2
x3
x4
P0
4
12
18
=
P2 P3 P4
0 1 0
2 0 1
2 0 0
B7 =
P0
4
12
18
X
x1
x3
x4
=
P1 P3 P4
1 1 0
0 0 1
3 0 0
B2 =
Exemplo Protótipo.
Soluções Básicas Não Admissíveis (SBNA).

62
x3=0
x4=0
Det(B5) não nulo, x5 0 ⇒SBNA X=( 4, 6, 0, 0,
X=( 4, 6, 0, 0, -
-6
6)
)
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
A =
X
x1
x2
x5
P0
4
12
18
=
P1 P2 P5
1 0 0
0 2 0
3 2 1
B5 =
Exemplo Protótipo.
Soluções Básicas Não Admissíveis (SBNA).
A
A
(0,0)
SBA
SBA
E
E
(4,0)
SBA
SBA
K
K
3x1+2x2=18
x1=4
x2=6
x1=0
x2=0
D
D
(4,3)
(4,3)
SB
SB
A
A
B
B
(0,6)
SBA
SBA
C
C
(2,6)
SBA
SBA
Existem 5 SBA que correspondem a 5 pontos extremos de K.
Exemplo Protótipo.
Soluções Básicas Admissíveis (SBA).
B={ P
B={ P1
1 , P
, P4
4 , P
, P5
5 }
}
X=(4,0,0,12,6)
X=(4,0,0,12,6)
E=(4,0)
E=(4,0)
B={ P
B={ P1
1 , P
, P2
2 , P
, P4
4 }
}
X=(4,3,0,6,0)
X=(4,3,0,6,0)
D=(4,3)
D=(4,3)
B={ P
B={ P1
1 , P
, P2
2 , P
, P3
3 }
}
X=(2,6,2,0,0)
X=(2,6,2,0,0)
C=(2,6)
C=(2,6)
B={ P
B={ P2
2 , P
, P3
3 , P
, P5
5 }
}
X=(0,6,4,0,6)
X=(0,6,4,0,6)
B=(0,6)
B=(0,6)
B={P
B={P3
3 , P
, P4
4 , P
, P5
5 }
}
X=(0,0,4,12,18)
X=(0,0,4,12,18)
A=(0,0)
A=(0,0)
Base
SBA
Pontos
Extr.

63
Existem 3 SBNA que correspondem àqueles pontos
onde se intersectam pelo menos duas restrições e que
ficam fora da região de admissibilidade.
A
A
(0,0)
SBA
SBA
E
E
(4,0)
SBA
SBA
K
K
3x1+2x2=18
x1=4
x2=6
x1=0
x2=0
D
D
(4,3)
(4,3)
SBA
SBA
B
B
(0,6)
SBA
SBA
C
C
(2,6)
SBA
SBA
H
H
(6,0)
SBNA
SBNA
G
G
(4,6)
(4,6)
SBNA
SBNA
F
F
(0,9)
SBNA
SBNA
Exemplo Protótipo.
Soluções Básicas Não Admissíveis (SBNA)
B={ P1 , P3 , P4 }
X=(6,0,-2,12,0)
H=(6,0)
B={ P1 , P2 , P5 }
X=(4,6,0,0,-6)
G=(4,6)
B={P2 , P3, P4 }
X=(0,9,4,-6, 0)
F=(0,9)
Base
SBNA
Teorema Fundamental da PL.
•Se existe uma solução admissível do problema de PL definido
pelas expressões (3.1), (3.2) e (3.3), então existe uma solução
básica admissível, e se existe uma solução óptima admissível
então existe uma solução óptima básica admissível.

64
)!
(
!
!
m
n
m
n
m
n
−
=








Número de Soluções Básicas.
•Do teorema fundamental da PL conclui-se que não é necessário
procurar a solução óptima entre todas as soluções admissíveis,
mas apenas entre as soluções básicas admissíveis.
•O número máximo destas soluções básicas para um problema
com m restrições e n variáveis, é dado pelo número de possíveis
combinações de m números que podem ser obtidas usando n
números:
A solução óptima poderia ser
encontrada pela experimentação de
todas as soluções básicas
admissíveis, porém este método é
tremendamente ineficaz.
A solução óptima poderia ser
encontrada pela experimentação de
todas as soluções básicas
admissíveis, porém este método é
tremendamente ineficaz.
A Programação Linear procura :
1. Desenvolver um método que permita passar de uma solução
básica admissível para uma outra solução básica
admissível que corresponda a um melhor valor da função
objectivo.
2. Dispor de um critério que permita saber quando se
alcançou a solução óptima sem necessidade de
experimentar todas as soluções básicas.
Conclusões

65
• Capítulo 3:
• Propriedades fundamentais da Programação Linear (2).
Os vectores X1, X2,…,Xn do espaço vectorial E sobre ℜ
dizem-se linearmente dependentes se e só se algum deles é
combinação linear dos outros, i.e.,se existirem em ℜ escalares α1, α2
,…, αn não todos nulos tais que α1X1+ α2X2+....+αnXn =0
Os vectores X1, X2,…,Xn do espaço vectorial E sobre ℜ
dizem-se linearmente dependentes se e só se algum deles é
combinação linear dos outros, i.e.,se existirem em ℜ escalares α1, α2
,…, αn não todos nulos tais que α1X1+ α2X2+....+αnXn =0
Se a igualdade α1X1+ α2X2+....+αnXn =0 é satisfeita apenas com todos
os escalares iguais a zero, i.e., α1= α2= .... = αn = 0 , então os vectores
X1, X2,.…,Xn dizem-se linearmente independentes.
Se a igualdade α1X1+ α2X2+....+αnXn =0 é satisfeita apenas com todos
os escalares iguais a zero, i.e., α1= α2= .... = αn = 0 , então os vectores
X1, X2,.…,Xn dizem-se linearmente independentes.
Dependência Linear de Vectores.
O conjunto dos pontos (x1,x2) ∈ ℜ2 que satisfazem a equação:
a1 x1 + a2 x2=b , com a1, a2 e b constantes, é uma recta perpendicular ao
vector (a1, a2) ∈ ℜ2. Diz-se então que esta equação define uma recta no plano.
O conjunto dos pontos (x1,x2) ∈ ℜ2 que satisfazem a equação:
a1 x1 + a2 x2=b , com a1, a2 e b constantes, é uma recta perpendicular ao
vector (a1, a2) ∈ ℜ2. Diz-se então que esta equação define uma recta no plano.
O conjunto dos pontos x1 , x2 , x3 ∈ ℜ3 que satisfazem a equação:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3=b , com a1 , a2 ,a3 e b constantes, é um plano perpendicular
ao vector (a1, a2 ,a3) ∈ ℜ3. Diz-se então que esta equação define um plano no
espaço ℜ3
O conjunto dos pontos x1 , x2 , x3 ∈ ℜ3 que satisfazem a equação:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3=b , com a1 , a2 ,a3 e b constantes, é um plano perpendicular
ao vector (a1, a2 ,a3) ∈ ℜ3. Diz-se então que esta equação define um plano no
espaço ℜ3
Rectas e Planos.
O conjunto dos pontos (x1, x2 , …, xn ) ∈ ℜn que satisfazem a equação: a1 x1 + a2
x2+...+ an xn=b , com a1 ,a2 ,…,an e b constantes, define um hiperplano
perpendicular ao vector (a1, a2,…, an) em ℜn. Diz-se então que esta equação
define um hiperplano em ℜn.
O conjunto dos pontos (x1, x2 , …, xn ) ∈ ℜn que satisfazem a equação: a1 x1 + a2
x2+...+ an xn=b , com a1 ,a2 ,…,an e b constantes, define um hiperplano
perpendicular ao vector (a1, a2,…, an) em ℜn. Diz-se então que esta equação
define um hiperplano em ℜn.
Um hiperplano é uma generalização do conceito de plano num
espaço n-dimensional
Hiperplanos.

66
Designando este hiperplano por H(X), tem-se:
{ }
b
X
a
R
X
X
H t
n
=
∈
=
)
(
{ }
b
X
a
R
X t
n

∈
{ }
b
X
a
R
X t
n
=
∈
{ }
b
X
a
R
X t
n

∈
semi-espaço aberto
{ }
b
X
a
R
X
X
H t
n
≤
∈
=
−
)
(
{ }
b
X
a
R
X
X
H t
n
≥
∈
=
+
)
(
semi-espaço aberto
semi-espaço fechado
semi-espaço fechado
divide o espaço em:
Hiperplanos e Semi-espaços.
Chama-se combinação linear convexa de um número
finitos de pontos X1, X2,…,Xn ao ponto
X=λ1X1+ λ2X2+...+λnXn , onde ∑λ i =1, λ i ≥ 0, i=1,…n
Chama-se combinação linear convexa de um número
finitos de pontos X1, X2,…,Xn ao ponto
X=λ1X1+ λ2X2+...+λnXn , onde ∑λ i =1, λ i ≥ 0, i=1,…n
Conjunto convexo K é um conjunto que contém todas as
combinações lineares convexas dos seus pontos, ou seja;
quaisquer que sejam X1, X2 ∈ K e 0≤λ ≤ 1 tem-se:
X=λ X1+ ( 1-λ )X2 ∈ K
Conjunto convexo K é um conjunto que contém todas as
combinações lineares convexas dos seus pontos, ou seja;
quaisquer que sejam X1, X2 ∈ K e 0≤λ ≤ 1 tem-se:
X=λ X1+ ( 1-λ )X2 ∈ K
Conjuntos Convexos.
Conjunto convexo K é um conjunto que contém o
segmento de recta que une dois quaisquer dos seus pontos
Conjunto convexo K é um conjunto que contém o
segmento de recta que une dois quaisquer dos seus pontos

67
Um conjunto convexo é fechado se contém a sua fronteira.
Um conjunto convexo é fechado se contém a sua fronteira.
Conjuntos Convexos Fechados.
Exemplos de conjuntos convexos fechados :
Um hiperplano H(X) em ℜn .
Os semi-espaços fechados H-(X) e H+(X).
x1
x2
x1
x2
Exemplos de Conjuntos Convexos.
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
x 2 = 6
3x 1 + 2 x 2 = 18
Região das
soluções
admissíveis
A região de admissibilidade do exemplo protótipo

68
x1
x2
x1
x2
Exemplos de Conjuntos Não Convexos.
Ponto extremo X' de um conjunto convexo K é um ponto de K que não
pode ser obtido por combinação linear convexa positiva de pontos de K,
i.e. quaisquer que sejam X1, X2 ∈ K, X1≠ X2 não existe um λ, 0 λ 1 ,
tal que X'=λ X1+ ( 1-λ )X2
Ponto extremo X' de um conjunto convexo K é um ponto de K que não
pode ser obtido por combinação linear convexa positiva de pontos de K,
i.e. quaisquer que sejam X1, X2 ∈ K, X1≠ X2 não existe um λ, 0 λ 1 ,
tal que X'=λ X1+ ( 1-λ )X2
x
1
x
2
A B
C
D
E
Ponto Extremo de um Conjunto Convexo.

69
Teorema 1 A intersecção finita de conjuntos
convexos é um conjunto convexo.
Teorema 2 A intersecção finita de conjuntos
convexos fechados é um conjunto convexo
fechado
Propriedades de Conjuntos Convexos
define um hiperplano H(X) em ℜn
X =[x1, x2,….., xn ]t
define um hiperplano H(X) em ℜn
X =[x1, x2,….., xn ]t
A equação com n incógnitas
a1 x1 + a2 x2+...+ an xn= b
com a1 ,a2 ,…,an e b constantes
A equação com n incógnitas
a1 x1 + a2 x2+...+ an xn= b
O sistema de m equações
com n incógnitas
a11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn= b
am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn= b
com aij , i=1,..m, j=1, n e b constantes
O sistema de m equações
com n incógnitas
a11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn= b
am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn= b
H(X)é um conjunto
convexo fechado
H(X)é um conjunto
convexo fechado
define a intersecção de m hiperplanos
em ℜn
define a intersecção de m hiperplanos
em ℜn
a intersecção é um conjunto
convexo fechado
convexo fechado
convexo fechado
Teorema 2
Exemplos de Conjuntos Convexos

70
definem os semi-espaços
fechados H-(X) e H+(X) em ℜn
X =[x1, x2,….., xn ]t
definem os semi-espaços
fechados H-(X) e H+(X) em ℜn
X =[x1, x2,….., xn ]t
As inequaçôes
a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≤ b
a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≥ b
As inequaçôes
a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≤ b
a1 x1 + a2 x2+...+ an xn≥ b
O sistema de m inequações
a11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn≤(≥)b
am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn≤(≥) b
O sistema de m inequações
a11 x1 + a12 x2+...+ a1n xn≤(≥)b
am1 x1 + am2 x2+...+ amn xn≤(≥) b
H-(X) e H+(X) são conjuntos
convexos fechados
H-(X) e H+(X) são conjuntos
conjuntos
convexos fechados
convexos fechados
define a intersecção de m
semi-espaços fechados em ℜn
define a intersecção de m
semi-espaços fechados em ℜn
convexo fechado
convexo fechado
convexo fechado
Teorema 2
Teorema 2
Dado um conjunto qualquer S, o conjunto de todas as combinações lineares
convexas dos seus pontos designa-se por
invólucro convexo e representa-se por E(S).
Dado um conjunto qualquer S, o conjunto de todas as combinações lineares
convexas dos seus pontos designa-se por
invólucro convexo e representa-se por E(S).
x1
x2
s
E(S)
Invólucro Convexo.

71
O invólucro convexo de um conjunto S com um número finitos de
pontos designa-se por politopo (poliedro convexo limitado).
O invólucro convexo de um conjunto S com um número finitos de
pontos designa-se por politopo (poliedro convexo limitado).
O politopo gerado por
n+1 pontos em ℜn
designa-se por
simplex.
O politopo gerado por
n+1 pontos em ℜn
designa-se por
simplex.
A região sombreada
fornece um poliedro
convexo gerado pelos
pontos A,B,C,D,E,F
A região sombreada
fornece um poliedro
convexo gerado pelos
pontos A,B,C,D,E,F
x1
x2
K
A
A B
B
C
C
D
D
E
E
F
F
Politopo: Poliedro Convexo Limitado.
Exemplos de Conjuntos Convexos Fechados
– O conjunto das soluções dum sistema de equações (inequações) lineares K é
um conjunto convexo fechado.
– O conjunto definido pelas restrições do problema de PL é um conjunto
convexo fechado.
O conjunto das soluções admissíveis, K, de um problema de PL é um
conjunto convexo fechado.
Prova:
Num problema de PL qualquer restrição define um conjunto convexo
fechado. Como o conjunto das soluções admissíveis, K, de um problema
de PL é a intersecção dos conjuntos definidos por todas as restrições do
problema e como a intersecção de convexos é ainda um convexo e a
intersecção de fechados é ainda um fechado, K é um conjunto convexo
fechado.
Teorema 3.1.

72
Podemos demonstrar mais estritamente que K é um conjunto
convexo:
0
, 1
1 ≥
= X
b
AX
0
, 2
2 ≥
= X
b
AX
2
1 )
1
( X
X
X λ
λ −
+
= 1
0 ≤
≤ λ
K
X ∈
2
,
1
X
AX ]
)
1
(
[ 2
1 X
X
A λ
λ −
+
=
2
1 )
1
( AX
AX λ
λ −
+
= b
b )
1
( λ
λ −
+
= b
=
Suponha-se
K é o conjunto das soluções admissíveis do
problema de PL, ∀ X∈K, AX=b, onde Amxn -
matriz das restrições, X =[x1, x2,….., xn ]
K é o conjunto das soluções admissíveis do
problema de PL, ∀ X∈K, AX=b, onde Amxn -
matriz das restrições, X =[x1, x2,….., xn ]
para demonstrar a convexidade de K, temos de demonstrar que
qualquer combinação linear convexa de X1 e X2 também pertence a K.
o que prova que X é também uma solução admissível, i.e. X ∈ K ⇒ K é um
conjunto convexo
Suponha-se
então:
0
)
1
( 2
1 ≥
−
+
= X
X
X λ
λ
0
1 ≥
X
λ 0
)
1
( 2 ≥
− X
λ
Teorema 3.1:
Prova (continuação...)
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
x 2 = 6
3x 1 + 2 x 2 = 18
Região das soluções
admissíveis
A
A
B
B C
C
D
D
E
E
Exemplo Gráfico.
•No exemplo protótipo o conjunto de admissibilidade, como é evidente,
é um conjunto convexo fechado cujos pontos extremos são A,B,C,D,E.

73
Região de Admissibilidade.
•Dado, que o conjunto das soluções admissíveis, K, resulta da
intersecção de um número finito de hiperplanos, então, decorrem as
seguintes 3 situações, mutuamente exclusivas:
– K é vazio ⇒ o problema não têm solução, é impossível.
– K é não vazio e limitado ⇒ K é um poliedro convexo limitado
(politopo)
o problema têm óptimo finito, tem uma ou múltiplas soluções óptimas
– K é não vazio e não limitado ⇒ K é um poliedro convexo não limitado.
o problema pode ter óptimo finito ou pode não ter, depende do
gradiente da f.o . Se o valor da f.o. cresce indefinidamente então o
problema não tem óptimo finito
Uma função linear sobre um poliedro convexo limitado, K, atinge o óptimo
num ponto extremo de K . No caso de atingir o óptimo em mais de um
ponto extremo, qualquer combinação linear convexa destes pontos extremos
corresponde ainda uma solução óptima.
Teorema 3.2.
Um ponto X ∈ K é ponto extremo sé e só se X é uma solução básica
admissível (SBA) do problema de PL
Teorema 3.3.

74
no exemplo protótipo temos
só uma solução óptima:
(2,6) onde a função
objectivo alcança o seu
valor máximo: 36.
no exemplo protótipo temos
só uma solução óptima:
(2,6) onde a função
objectivo alcança o seu
valor máximo: 36.
A função objectivo alcança o seu valor máximo no ponto extremo C.
A função objectivo alcança o seu valor máximo no ponto extremo C
C.
A
A
B
B C
C
D
D
E
E 6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
Região das
soluções
admissíveis
Z =36= 3x1 + 5x2
Z =20= 3x1 + 5x2
Z =10= 3x1 + 5x2
Uma Solução Óptima. Representação Gráfica.
•A primeira parte do teorema 3.2. analisa uma solução óptima:
sujeito a
x 1 ≤ 4
2x 2 ≤ 12
3x1 + 2x 2 ≤ 18
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
O gradiente da função
objectivo coincide
com o gradiente da
recta da 3ª restrição
do exemplo, i.e., as
rectas da função
objectivo seriam
paralelas à recta
3x1 + 2x2 = 18 .
O gradiente da função
objectivo coincide
com o gradiente da
recta da 3ª restrição
do exemplo, i.e., as
rectas da função
objectivo seriam
paralelas à recta
3x1 + 2x2 = 18 .
A função objectivo alcança o seu valor máximo em qualquer
ponto do segmento de recta CD que constitui o conjunto de todas
as combinações lineares convexas dos pontos C e D.
A função objectivo alcança o seu valor máximo em qualquer
ponto do segmento de recta CD
CD que constitui o conjunto de todas
as combinações lineares convexas dos pontos C
C e D
D.
4 6
2
2
4
•6
8
x1
x2
SOLUÇÕES MÚLTIPLAS
SOLUÇÕES MÚLTIPLAS
C
C
D
D
A
A
B
B
E
E
Múltiplas Soluções Óptimas. Representação Gráfica.
•A segunda parte do teorema 3.2. analisa as soluções múltiplas:

75
Propriedades Fundamentais da PL.
– O conjunto de admissibilidade, K, de um problema de PL é um
conjunto convexo fechado.
– A cada ponto extremo de K está associada uma SBA, e corresponde-
lhe um sistema de m vectores linearmente independentes (base) de
entre os n vectores da matriz A de restrições.
– O número de pontos extremos de K é finito.
– No caso de K ser um poliedro convexo limitado (politopo), existe pelo
menos um ponto extremo de K que optimiza a função objectivo.
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
x 2 = 6
3x 1 + 2 x 2 = 18
admissíveis
A
A
B
B C
C
D
D
E
E
F
F
G
G
H
H
Exemplo Protótipo: SBA , SBNA.
•Em ℜ2, a cada solução básica corresponde um ponto que é obtido através da
intersecção de duas rectas definidas pelas restrições (este ponto é a solução de
um sistema de 2 equações lineares).
– quando este ponto de intersecção é um ponto extremo da região de
admissibilidade, a solução básica correspondente é admissível (pontos
extremos A, B, C, D , E).
– quando este ponto fica fora da região de admissibilidade a solução
básica é não admissível (pontos F, G, H).
S B A Equações
A- (0,0) x1=0
x2=0
B- (0,6) x1=0
2x2=12
C- (2,6) 2x2=12
3x1 + 2 x 2=18
D- (4,3) 3x1 + 2 x 2=18
x1=4
E- (4,0) x1=4
x2=0
S B N A Equações
F- (0,9) x1=0
3x1 + 2 x2=18
G- (4,6) 2x2=12
x1=4
H- (6,0) 3x1 + 2 x2=18
x2=0

76
P1 P2 P3 P4 P5
1 0 1 0 0
0 2 0 1 0
3 2 0 0 1
Ponto extremo
de K
Variáveis
não básicas
Base Solução
Básica
Natureza
da solução
A=(0,0) x1, x2 { P3, P4, P5 } X=(0,0,4,12,18) SBA
B=(6,0) x1, x4 { P2, P3, P5 } X=(0,6,4,0,6 ) SBA
C=(2,6) x4, x5 { P1, P2, P3 } X=(2,6,2,0,0 ) SBA
D=(4,3) x5, x3 { P1, P2, P4 } X=(4,3,0,6,0 ) SBA
E=(4,0) x3, x2 { P1, P3, P5 } X=(4,0,0,12,6) SBA
F=(0,9) x1, x5 { P2, P3, P4 } X=( 0,9,4,-6,0 ) SBNA
G=(4,6) x4, x3 { P1, P2, P5 } X=( 4,6,0,0,-6 ) SBNA
H=(0,6) x5, x2 { P1, P3, P4 } X=(6,0,-2,12,0) SBNA
Exemplo Protótipo: Pontos Extremos SBA.
•O problema protótipo tem 8 soluções básicas, das quais, apenas 5
correspondem a pontos extremos de K, i.e, apenas 5 são SBA.
Matriz A de restrições:
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
x 2 = 6
3x 1 + 2 x 2 = 18
admissíveis
A
A
B
B C
C
D
D
E
E
F
F
G
G
H
H
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
x 2 = 6
3x 1 + 2 x 2 = 18
admissíveis
A
A
B
B C
C
D
D
E
E 6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
x 2 = 6
3x 1 + 2 x 2 = 18
admissíveis
6
4
2 x1
2
4
6
8
x2
x 1 = 4
x 2 = 6
3x 1 + 2 x 2 = 18
admissíveis
A
A
B
B C
C
D
D
E
E
F
F
G
G
H
H

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